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第五章习题解5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 rze r U 024πε-=）（)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r Edr e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,434410200300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ）⎰∞'=τψψd H E 111 ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<，故102≈-r a Ze 。
∴ ⎰⎰+--=0302404220330024)1(1)3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z Eπεπε2030024505030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 23002410r a e Z πε= 2032452r a e Z s = #5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
第五章 量子力学的表象与表示§5.1 幺正变换和反幺正变换1, 幺正算符定义对任意两个波函数)(r v ϕ、)(r vψ，定义内积r d r r vv v )()(),(ψϕψϕ∗∫=(5.1)按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()r vψ时，找到粒子处在状态()r vϕ的几率幅。
依据内积概念，可以定义幺正算符如下：“对任意两个波函数ϕ、ψ，如果算符$U恒使下式成立 ),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U(5.2) 而且有逆算符1ˆ−U存在，使得I U U U U ==−−11ˆˆˆˆ1，称这个算符U ˆ为幺正算符。
”任一算符Aˆ的厄米算符+A ˆ定义为：+A ˆ在任意ϕ、ψ中的矩阵元恒由下式左边决定),ˆ()ˆ,(ψϕψϕ+=A A(5.3) 由此，幺正算符Uˆ有另一个等价的定义： “算符Uˆ为幺正算符的充要条件是 I U U U U==++ˆˆˆˆ (5.4a) 或者说1ˆˆ−+=U U 。
” (5.4b)证明：若),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U成立，则按+U ˆ定义， ),ˆˆ()ˆ,ˆ(),(ψϕψϕψϕU U U U+== 由于ϕ、ψ任意，所以I U U=+ˆˆ 又因为Uˆ有唯一的逆算符1ˆ−U 存在，假定取ψψϕϕ11ˆ,ˆ−−=′=′U U ，则有 ()),ˆ)ˆ((ˆ,ˆ),()ˆ,ˆ(),(1111ψϕψϕψϕψϕψϕ−+−−−==′′=′′=U U U U U U所以I U U=−+−11ˆ)ˆ( 由于11)ˆ()ˆ(−++−=U U，上式即 I U U=+ˆˆ 这就从第一种定义导出了第二种定义。
类似，也能从第二种定义导出第一种定义。
从而，幺正算符的这两种定义是等价的。
1这里强调了$U−1既是对$U右乘的逆又是对$U 左乘的逆。
和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符$U有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为$U−1。
第五章 力学量随时间的演化与守恒量§1 力学量随时间的变化在经典力学中，处于一定状态下的体系的每一个力学量作为时间的函数，每一个时刻都有一个确定值；但是， 在量子力学中，只有力学量的平均值才可与实验相比较，力学量随时间的演化实质是平均值和测量值的几率分布随时间的演化。
一、守衡量力学量ˆA在任意态()t ψ上的平均值随时间演化的规律为 ˆˆ1ˆˆ,dA A A H dt t i ∂⎡⎤=+⎣⎦∂， 其中ˆH为体系的哈密顿量。
[证明] 力学量ˆA的平均值表示为()ˆ()(),()A t t A t ψψ=，()A t 对时间t 求导得 ()()ˆ()()()ˆˆ,()(),(),()ˆ11ˆˆˆˆ (),()(),()ˆ11ˆˆˆˆ (),()(),()1 d A t t t A A t t A t t dt t t t A H t A t t AH t i i t A t HA t t AH t i i tψψψψψψψψψψψψψ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭∂=-+ψ+∂=ˆˆˆ,AA H i t∂⎡⎤+⎣⎦∂1ˆˆ,A H i ⎡⎤+⎣⎦1、 守恒量的定义若ˆA不显含t ， 即ˆ0A t ∂∂=， 当ˆˆ,0A H ⎡⎤=⎣⎦，那么力学量ˆA 称为守恒量。
2、守恒量的性质(1)、在任意态()t ψ上，守恒量的平均值都不随时间变化0dA dt =。
(2)、在任意态()t ψ上，守恒量的取值几率分布都不随时间变化。
[证明] 由于ˆˆ[,]0A H =知，存在正交归一的共同本征函数组{}nψ（n 是一组完备的量子数），即 ˆˆn n nn n nH E A A ψψψψ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 正交归一化条件(),n m mn ψψδ=对于体系的任意状态()t ψ可展开为： ()()n nnt a t ψψ=∑， 展开系数为()(),()n n a t t ψψ=在体系的任意态()t ψ上测量力学量ˆA 时，得到本征值nA 的几率为2|()|n a t ， 而 ()()()()()()*2*()()()()()()(),,()(),,1()1() ,,()(),,11ˆ (),,()n n n n n n n n n n n n n n n da t da t d a t a t a t dt dt dtt t t t t t t t i t t i i t i t H t t i i ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ=+∂∂⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=-+()()()()()()()()()()ˆ(),,()11ˆˆ (),,()(),,() (),,()(),,()0n n n n n n n n n n n n t H t t H t t H t i i E Et t t t i i ψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ=-+=-+= 这表明2|()|n a t 是与时间无关的量。
137第5章力学量的算符表示§5.1 算符及其运算规则在第二章中，已经引入了算符的概念，动量算符和哈密顿量算符分别为∇-= i ˆp(5.1.1) )(2ˆ22r V mH +∇-= (5.1.2) 在量子力学中，算符表示对它后面的波函数的一种运算或者操作，上述的动量算符与哈密顿算符皆表示对其后面的波函数的微商运算，本章的后面将引入的宇称算符πˆ则表示对其后面的波函数的一种操作，即把波函数中的坐标变量改变一个符号。
由算符化规则可知，物理上可观测的力学量（例如，坐标、动量、角动量和能量等）与相应的算符相对应，并要求相应的算符为线性厄米特算符，力学量的取值情况由相应算符满足的本征方程的解来决定。
§5.1.1 算符及其运算规则1、线性算符138满足下列运算规则22112211ˆˆ)(ˆψψψψA c A c c c A +=+ (5.1.3)的算符Aˆ，称之为线性算符，其中，21,c c 是两个任意复常数，21,ψψ是两个任意的波函数。
在量子力学中，可观测量对应的算符都是线性算符，这是状态叠加原理所要求的。
如无特殊声明，下面所涉及到的算符皆为线性算符。
2 、单位算符若对任意的波函数ψ，算符I ˆ满足ψψ=Iˆ (5.1.4)则称Iˆ为单位算符。
3、 算符之和若对任意的波函数ψ，下式ψψψB A B Aˆˆ)ˆˆ(+=+ (5.1.5) 总是成立，则称算符B Aˆˆ+为算符A ˆ与算符B ˆ之和。
算符的加法运算满足交换律和结合律，即A B B A ˆˆˆˆ+=+ (5.1.6) C B A C B Aˆ)ˆˆ()ˆˆ(ˆ++=++ (5.1.7) 4、 算符之积两个算符A ˆ和B ˆ之积记为)ˆˆ(B A ，对任意的波函数ψ，算符)ˆˆ(B A的作用定义为下列运算)ˆ(ˆ)ˆˆ(ψψB A B A= (5.1.8)139即算符之积)ˆˆ(B A 对任意波函数的运算过程是，先用算符B ˆ对ψ进行运算，得到一个新的波函数（ψB ˆ），然后，再用算符Aˆ对（ψB ˆ）进行运算。
一般情况下，ψψ)ˆˆ()ˆˆ(A B B A≠ (5.1.9) 即A B B Aˆˆˆˆ≠ (5.1.10) 此即算符运算与普通代数运算的重要差别。
5、 算符之幂算符Aˆ的n 次幂定义为 个n n A A A A ˆˆˆˆ= (5.1.11)同一个算符的不同幂之积，满足n m n m A A A +=ˆˆˆ (5.1.12)6、 算符之逆设ϕψ=Aˆ (5.1.13) 能够惟一地解出ψ，则可定义算符Aˆ的逆算符1ˆ-A 为 ψϕ=-1ˆA(5.1.14) 应该说明的是，并非所有的算符都具有相应的逆算符。
若算符A ˆ的逆算符1ˆ-A存在，则有 I A A A Aˆˆˆˆˆ11==-- (5.1.15)1407、 算符的复共轭算符A ˆ的复共轭算符*ˆA 是将A ˆ中的所有复量换成共轭复量。
例如，动量算符的x 分量的复共轭算符x x px x p ˆi i ˆ**-=∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-= (5.1.16) 8、 算符的转置对任意的波函数ψ和ϕ，算符Aˆ的转置算符A ~ˆ满足 ⎰⎰=)(~ˆ)(d )(ˆ)(d **x A x x x A x x ϕψψϕ (5.1.17) 根据算符转置的定义，可以证明()A B B A~ˆ~ˆˆˆ ~= (5.1.18) 9、 算符的共轭对任意的波函数ψ和ϕ，算符A ˆ的厄米特共轭（简称为共轭）算符+Aˆ满足 ⎰⎰=+)()](ˆ[d )(ˆ)(d **x x A x x A x x ψϕψϕ (5.1.19) 由转置算符的定义知⎰⎰⎰==+)(~ˆ)(d )(ˆ)(d )(ˆ)(d *****x A x x x A x x x A x x ψϕϕψψϕ (5.1.20) 于是，有*~ˆˆA A=+(5.1.21) 一个算符的共轭为此算符转置后再取其复共轭。
10、 厄米特算符141若算符Aˆ满足 ⎰⎰=)()](ˆ[d )(ˆ)(d **x x A x x A x x ψϕψϕ (5.1.22) 则称算符Aˆ为厄米特算符。
由共轭算符的定义可知，厄米特算符满足 A Aˆˆ=+ (5.1.23) 显然，若一个算符的共轭等于该算符自身，则此算符是厄米特算符，故厄米特算符也称之为自共轭算符。
下面将会看到，量子力学中可观测量对应的算符都是厄米特的。
11、 幺正算符如果算符Aˆ满足 1ˆˆ-+=A A (5.1.24)则称之为幺正算符。
12、 算符函数若函数)(x F 的各阶导数均存在，且对其作幂级数展开时是收敛的，即nn n x n F x F ∑∞==0)(!)0()( (5.1.25)则对应算符Aˆ的算符函数)ˆ(A F 为(5.1.26)§5.1.2 对易子代数1、对易子142为了描述两个算符之积的交换关系，引入符号[]A B B A B Aˆˆˆˆˆ,ˆ-≡ (5.1.27) 称之为算符A ˆ与B ˆ的对易关系或对易子。
如果[]B A ˆ,ˆ＝0，则称算符Aˆ与Bˆ是可对易（交换）的，否则，称A ˆ与B ˆ是不对易的。
对于坐标与动量算符而言，显然，有[][]z y x p p ,,, ,0ˆ,ˆ0,===νμνμνμ (5.1.28) 根据所研究的对象的不同，有时要用到反对易关系 []{}A B B A B A B A ˆˆˆˆˆ,ˆˆ,ˆ+≡≡+(5.1.29) 2、对易子的计算（1）、对于最基本的对对易关系，需要通过直接计算来求出例1. 计算[]x px ˆ,。
解: 对于任意的状态)(x ψ，有[]{})(i )()()(i )(ˆ)(ˆ)(ˆ,''x x x x x x x x p x px x p x x x x ψψψψψψψ =---=-= (5.1.30) 由于)(x ψ是一个任意的状态，所以，[] i ,=x p x (5.1.31) 进而，有[]z y x p,,, , i ˆ,==νμδμμνν (5.1.32) 此即著名的海森堡对易关系。
它是量子力学中最基本的对易关系。
用类似的方法可知，时间t 与能量算符Eˆ的对易关系为143[]i ˆ,-=Et (5.1.33) 例2. 在一维情况下，计算[]x ,ˆπ。
解: 对于任意的状态)(t ψ，有[]()()()()()()()x x t x x x x x t x x t x ψπψψψψππψπˆ22ˆˆ,ˆ-=--=----=-= (5.1.34)所以，[]ππˆ2,ˆx x -= (5.1.35)或者，[]0,ˆ=+x π(5.1.36) 例3. 计算[]x px f ˆ),(。
解: 对于任意的状态)(x ψ，有[]{})()(i )()()()()()(i )( ˆ),(''''x x f x x f x x f x x f x px f x ψψψψψ =---= (5.1.37) 所以，(5.1.38)（2）、于其它的对易关系，可以利用对易子代数的运算规则来导出对易子代数的运算规则如下：144[][][][][][][][][][]C A B CB AC B A C A B A C B A B A B A A B B A ˆ,ˆˆˆ ˆ,ˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ+=+=+=-=λλ (5.1.39) 式中，λ为常数。
例4. 定义轨道角动量算符p r L ˆˆ ⨯=，计算[]yx L L ˆ,ˆ。
其中， ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-=x y z z x y y z x p y p x x y y x L p x p z z x x z L p z py y z z y L ˆˆi ˆˆˆi ˆˆˆi ˆ (5.1.40)解: 利用对易子代数的运算规则，有[][][][][][][][][][]()zx y y z x z z y z z x y x z z y z x y zz x y zy xL p y p x p p z x p z p y p x p z p x p y p z p z p z py p x p z p y p z pz p y p x p z pz p y L Lˆi ˆˆi ˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆˆˆ,ˆ =-=+=+--=---=--= (5.1.41) 例5. 定义角动量平方算符2222ˆˆˆˆzy x L L L L ++=，计算[]z L L ˆ,ˆ2。
解: 利用对易子代数的运算规则，有[][][][][][][][]()0ˆˆˆˆˆˆˆˆi ˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ2222=--+-=+++=++=xyyxxyyxyzyzyyxzxzxxzzzyzxzL L L L L L L LL L L L L L L L L L L LL L L L L L L L (5.1.42)由上式可知，2ˆL 与zL ˆ是对易的。
同理可证，2ˆL 与x L ˆ及y L ˆ也是对易的。
145§5.1.3 厄米特算符的判别法通常有如下三种方法来判别一个算符是否为厄米特算符。
1、利用厄米特算符的定义直接进行判别例1 证明动量x 分量算符x pˆ是厄米特算符。
证明：对任意两个波函数1ψ和2ψ（为书写简洁，略去其自变量x ），总可以对其作傅立叶展开，即()()()()kkx k C kkx k C d i exp 21d i exp 212211⎰⎰==πψπψ (5.1.43)式中积分的上下限分别为正、负无穷，为简洁起见，将其略去。
用xp x ∂∂-= i ˆ作用上述两式的两端分别得 ()()()()k kx k kC p k kx k kC px x d i exp 2ˆd i exp 2ˆ2211⎰⎰==πψπψ(5.1.44) 再利用傅立叶的逆变换求出展开系数 ()()x pkx k kC xd ˆi exp 2111ψπ⎰-= (5.1.45) ()()x p kx k kC x d ˆi exp 2122ψπ⎰-= (5.1.46) 于是146()()()()[]()[]()()()k k C k kC k k C x p kx x k kx k C px px xxd 2d d ˆi exp 21d d i exp ˆ21d ˆ2*12*12*12*1⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-==πψπψπψψ (5.1.47)而()()[]()()[]()()kk C k kC k x p kx k C x pk kx k C x px xx d 2d d ˆi exp 21d ˆ d i exp 21d ˆ2*1*2*1*12*1⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-==πψπψπψψ (5.1.48)比较上述两式可知()x px p x x d ˆd ˆ2*12*1ψψψψ⎰⎰= (5.1.49) 表明算符x pˆ是厄米特算符。
