作业17【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】

河北省衡水中学2021-2021学年度高三一轮复习周测卷〔一〕理数一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 以下说法正确的选项是〔〕A. 0与的意义一样B. 高一〔1〕班个子比拟高的同学可以形成一个集合C. 集合是有限集D. 方程的解集只有一个元素【答案】D【解析】因为0是元素，是含0的集合，所以其意义不一样；因为“比拟高〞是一个不确定的概念，所以不能构成集合；当时，，故集合是无限集；由于方程可化为方程，所以〔只有一个实数根〕，即方程的解集只有一个元素，应选答案D。

2. 集合，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：,，所以.考点：集合交集，一元二次不等式.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.在求交集时注意区间端点的取舍.纯熟画数轴来解交集、并集和补集的题目.3. 设命题“〞，那么为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】因为全称命题的否认是存在性命题，所以为，应选答案B。

4. 集合，那么集合〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，应选答案C。

5. 设，那么“〞是“〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，所以，，但时，即，不能保证为正数，所以“〞是“〞的充分不必要条件，应选A.6. 设，假设是的充分不必要条件，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以由题意可得：，应选答案B。

7. 命题有解，命题，那么以下选项中是假命题的为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：对于m命题p：方程x2-mx-1=0，那么△=m2+4＞0，因此：∀m∈R，x2-mx-1=0有解，可得：命题p是真命题．对于命题q：由x2-x-1≤0，解得，，因此存在x=0，1∈N，使得x2-x-1≤0成立，因此是真命题．∴以下选项中是假命题的为，应选：B．考点：复合命题的真假8. 集合，那么集合不可能是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以当时，那么；由于是点集，所以；当时，那么；由于所以，应选答案D。

题组层级快练(七十六)1．若A 2n 3＝10A n 3，则n ＝( ) A ．1 B ．8 C ．9 D ．10答案 B解析 原式等价于2n(2n －1)(2n －2)＝10n(n －1)(n －2)，整理得n ＝8.2．平面内有n 条直线任意两条都相交，任意三条都不交于一点，则这n 条直线的交点的个数为( ) A ．n(n －1) B ．(n －1)(n －2) C.n （n －1）2D.（n －1）（n －2）2答案 C解析 这n 条直线交点的个数为C n 2＝n （n －1）2. 3．(2014·辽宁，理)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72 D ．24答案 D解析 利用排列和排列数的概念直接求解．剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A 43＝4×3×2＝24.4．(2019·江西八校联考)若一个四位数的各位数字之和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2 017”．试问用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的无重复数字且大于2 017的“完美四位数”的个数为( ) A ．53 B ．59 C ．66 D ．71 答案 D解析 记千位为首位，百位为第二位，十位为第三位，由题设中提供的信息可知，和为10的无重复的四个数字有(0，1，2，7)，(0，1，3，6)，(0，1，4，5)，(0，2，3，5)，(1，2，3，4)，共五组．其中第一组(0，1，2，7)中，7排在首位有A 33＝6种情形，2排在首位，1或7排在第二位上时，有2A22＝4种情形，2排在首位，0排在第二位，7排在第三位有1种情形，共有6＋4＋1＝11种情形符合题设；第二组中3，6分别排在首位共有2A33＝12种情形；第三组中4，5分别排在首位共有2A33＝12种情形；第四组中2，3，5分别排在首位共有3A33＝18种情形；第五组中2，3，4分别排在首位共有3A33＝18种情形．依据分类加法计数原理可知符合题设条件的“完美四位数”共有11＋12＋12＋18＋18＝71(个)，选D. 5．(2019·山东临沂重点中学模拟)马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有()A．60种B．20种C．10种D．8种答案 C分析先安排四盏不亮的路灯，再利用“插入法”，插入三盏亮的路灯，即可得结果．解析根据题意，可分两步：第一步，先安排四盏不亮的路灯，有1种情况；第二步，四盏不亮的路灯排好后，有5个空位，在5个空位中任意选3个，插入三盏亮的路灯，有C53＝10种情况．故不同的开灯方案共有10×1＝10(种)，故选C.6．(2020·山东师大附中模拟)甲、乙、丙三人轮流值日，从周一到周六每人值班两天，若甲不值周一，乙不值周六，则可以排出不同的值日表有()A．50种B．72种C．48种D．42种答案 D解析先排甲．按甲是否排周六分类．第一类：甲排周六．则甲再从二、三、四、五4天中选一天有C41种选法；乙有C42种，丙有C22种．第二类：甲不排周六，则甲从二、三、四、五4天中选两天有C42种选法，乙有C32种，丙有C22种．C41·C42·C22＋C42·C32·C22＝42，故选D.7．有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法数为()A．56 B．63C．72 D．78答案 D解析若没有限制，5列火车可以随便停，则有A55种不同的停靠方法；快车A停在第3道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；快车A停在第3道上，且货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A33种．故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为A55－2A44＋A33＝120－48＋6＝78. 8．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种答案 D解析共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数2个偶数，故不同的取法有C54＋C44＋C52C42＝66(种)．9．(2020·沧州七校联考)身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有() A．24 B．28C．36 D．48答案 D解析分类计数原理，按红红之间有蓝无蓝两类来分．(1)当红红之间有蓝时，则有A22A42＝24(种)；(2)当红红之间无蓝时，则有C21A22C21C31＝24(种)．因此，这五个人排成一行，穿相同颜色衣服的人不能相邻，则有48种排法．故选D. 10．某电视台从录制的5个新闻报道和4个人物专访中选出5个，准备在7月1日至7月5日中每天播出一个，若新闻报道不少于3个，则不同的播出方法共有()A．81种B．810种C．9 600种D．9 720种答案 D解析(C53C42＋C54C41＋C55)·A55＝9 720种．11．(2017·天津，理)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个(用数字作答)．答案 1 080解析一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有C41C53A44＝960(个)，四个数字都是奇数的四位数有A54＝120(个)，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．12．(2020·开封定位考试)从2019届开始，我省实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为________．答案19解析从六科中选考三科的选法有C63种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意一科，这种选法有1种，因此学生甲的选考方法共有C63－1＝19(种)．13．(2020·山东日照一模)从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为________．答案112解析根据分层抽样，从12个人中抽取男生1人，女生2人，所以抽取2个女生1个男生的方法有C82C41＝112(种)．14．一份试卷有10道考题，分为A，B两组，每组5题，要求考生选答6题，但每组最多选4题，则每位考生有________种选答方案．答案200解析分三类：A组4题B组2题，A组3题B组3题，A组2题B组4题．共有C54C52＋C53C53＋C52C54＝50＋100＋50＝200(种)．15．(2020·四川成都二诊)各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有________种．答案180解析从7个专业选3个，有C73＝35种选法，甲、乙同时兼报的有C22·C51＝5种选法，则专业共有35－5＝30种选法，则按照专业顺序进行报考的方法种数为A33×30＝180. 16．甲、乙两人从4门课程中各选2门，求(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不同的选法有多少种？答案(1)24(2)30解析(1)甲、乙两人从4门课程中各选2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C42C21C21＝24(种)．(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门的选法种数为C42C42，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C42种，因此满足条件的选法种数为C42C42－C42＝30(种)．。

题组层级快练(八)1．函数y ＝x 2＋8x ＋12在某区间上是减函数，这区间可以是( ) A ．[－4，0] B ．(－∞，0] C ．(－∞，－5] D ．(－∞，4]答案 C2．若二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为( ) A ．f(x)＝－x 2－x －1 B ．f(x)＝－x 2＋x －1 C ．f(x)＝x 2－x －1 D ．f(x)＝x 2－x ＋1 答案 D解析 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a （x ＋1）2＋b （x ＋1）＋c －（ax 2＋bx ＋c ）＝2x.故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则f(x)＝x 2－x ＋1.故选D. 3．已知m>2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2－2x 的图象上，则( ) A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 3<y 2<y 1 C ．y 1<y 3<y 2 D ．y 2<y 1<y 3答案 A解析 ∵m ＞2，∴m －1＞1.∴三点均在对称轴的右边，而在[1，＋∞)上函数是增函数，∴y 1＜y 2＜y 3. 4．(2020·杭州学军中学月考)若函数f(x)＝x 2－2x ＋m ，若f(x 1)＝f(x 2)(x 1≠x 2)，则f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22的值为( ) A ．1 B ．2 C ．m －1 D ．m答案 C解析 由题意知，函数的对称轴为直线x ＝x 1＋x 22＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f(1)＝m －1.故选C. 5．已知函数f(x)＝－x 2＋4x ，x ∈[m ，5]的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)B ．(－1，2]C ．[－1，2]D ．[2，5)答案 C解析 二次函数f(x)＝－x 2＋4x 的图象是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x ＝2时取得，而当x ＝5或－1时，f(x)＝－5，结合图象可知m 的取值范围是[－1，2]． 6．已知函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，4) B ．[0，4] C ．(0，4] D ．[0，4)答案 B解析 因为函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f(x)＝1，其定义域是实数集R ；当m>0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是0≤m ≤4.7．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )答案 C8．已知二次函数f(x)图象的对称轴是x ＝x 0，它在区间[a ，b]上的值域为[f(b)，f(a)]，则( ) A ．x 0≥b B ．x 0≤a C ．x 0∈(a ，b) D ．x 0∉(a ，b)答案 D解析 若x 0∈(a ，b)，f(x 0)一定为最大值或最小值．9．(2020·山东济宁模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c （x ≤0），2 （x>0），若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．3答案 D解析 由解析式可得f(－4)＝16－4b ＋c ＝f(0)＝c ，解得b ＝4.由f(－2)＝4－8＋c ＝－2，可求得c ＝2.∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2 （x ≤0），2 （x>0）.又f(x)＝x ，则当x ≤0时，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x 1＝－1，x 2＝－2. 当x>0时，x ＝2，综上可知有三解．10．(2019·郑州质检)若二次函数y ＝x 2＋ax ＋1对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒有y ≥0成立，则a 的最小值是( ) A ．0 B ．2 C ．－52D ．－3答案 C解析 设g(x)＝ax ＋x 2＋1，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，则g(x)≥0在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立．令h(x)＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，又h(x)＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上为单调递增函数，当x ＝12时，h(x)max ＝h ⎝⎛⎭⎫12，所以使a ≥h(x)max＝－⎝⎛⎭⎫12＋2即可，解得a ≥－52. 11．(1)已知函数f(x)＝4x 2＋kx －8在[－1，2]上具有单调性，则实数k 的取值范围是________． 答案 (－∞，－16]∪[8，＋∞)解析 函数f(x)＝4x 2＋kx －8的对称轴为x ＝－k 8，则－k 8≤－1或－k8≥2，解得k ≥8或k ≤－16.则k 的取值范围为(－∞，－16]∪[8，＋∞)(2)若函数y ＝x 2＋bx ＋2b －5(x<2)不是单调函数，则实数b 的取值范围为________． 答案 (－4，＋∞)解析 函数y ＝x 2＋bx ＋2b －5的图象是开口向上，以x ＝－b2为对称轴的抛物线，所以此函数在⎝⎛⎭⎫－∞，－b 2上单调递减．若此函数在(－∞，2)上不是单调函数，只需－b2<2，解得b>－4.所以实数b 的取值范围为(－4，＋∞)．12．已知y ＝(cosx －a)2－1，当cosx ＝－1时，y 取最大值，当cosx ＝a 时，y 取最小值，则a 的取值范围是________． 答案 0≤a ≤1解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤0，－1≤a ≤1，∴0≤a ≤1.13．函数f(x)＝x 2＋2x ，若f(x)>a 在区间[1，3]上满足：①恒有解，则a 的取值范围为________； ②恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 ①a<15 ②a<3解析 ①f(x)>a 在区间[1，3]上恒有解，等价于a<f(x)max ，又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，当x ＝3时，f(x)max ＝15，故a 的取值范围为a<15.②f(x)>a 在区间[1，3]上恒成立，等价于a<f(x)min ，又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，当x ＝1时，f(x)min ＝3，故a 的取值范围为a<3. 14．如果函数f(x)＝x 2－ax －a 在区间[0，2]上的最大值为1，那么实数a ＝________． 答案 1解析 因为函数f(x)＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点处取得．因为f(0)＝－a ，f(2)＝4－3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a>4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.15．(2017·北京)已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，1解析 x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2＝x 2＋(1－x)2＝2x 2－2x ＋1，x ∈[0，1]， 则令f(x)＝2x 2－2x ＋1，x ∈[0，1]，函数的对称轴为x ＝12，开口向上，所以函数的最小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝2×14－2×12＋1＝12. 最大值为f(1)＝2－2＋1＝1. 则x 2＋y 2的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，1.16．二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a>0)，设f(x)＝x 的两个实根为x 1，x 2. (1)如果b ＝2且|x 2－x 1|＝2，求a 的值；(2)如果x 1<2<x 2<4，设函数f(x)的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1. 答案 (1)a ＝－1＋22(2)略解析 (1)当b ＝2时，f(x)＝ax 2＋2x ＋1(a>0)． 方程f(x)＝x 为ax 2＋x ＋1＝0.|x 2－x 1|＝2⇒(x 2－x 1)2＝4⇒(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4.由韦达定理，可知x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a .代入上式，可得4a 2＋4a －1＝0. 解得a ＝－1＋22，a ＝－1－22(舍去)．(2)证明：∵ax 2＋(b －1)x ＋1＝0(a>0)的两根满足x 1<2<x 2<4，设g(x)＝ax 2＋(b －1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧g （2）<0，g （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2（b －1）＋1<0，16a ＋4（b －1）＋1>0⇒⎩⎨⎧2a>14，b<14.∴2a －b>0.又∵函数f(x)的对称轴为x ＝x 0，∴x 0＝－b2a >－1.。

题组层级快练(二十二)1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 ①中，－3π4是第三象限角，故①错．②中，4π3＝π＋π3，从而②正确．③中，－400°＝－360°－40°，从而③正确．④中，－315°＝－360°＋45°，从而④正确． 2．已知tan α＝33，且α∈[0，3π]，则α的所有不同取值的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 B解析 ∵tan α＝33，且α∈[0，3π]，∴α的可能取值分别是π6，7π6，13π6，∴α的所有不同取值的个数为3.3．集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．4．(2020·济南市三中月考)设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 B解析 ∵θ为第三象限角，∴θ2为第二或第四象限角．又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0，∴θ2是第二象限角．5．若tan α>0，则( ) A ．sin2α>0 B ．cos α>0 C ．sin α>0 D ．cos2α>0 答案 A解析 ∵tan α>0，∴角α终边落在第一或第三象限，故B 、C 错；sin2α＝2sin αcos α>0，A 正确；cos2α＝cos 2α－sin 2α，正负不定，D 错，故选A.6．(2020·青岛模拟)已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎫－12，y ，则sin α·tan α＝( ) A ．－33B ．±33 C ．－32D ．±32答案 C解析 由三角函数的定义得cos α＝－12，∴sin 2α＝1－cos 2α＝34，sin α·tan α＝sin 2αcos α＝－32.7．sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在答案 A解析 ∵π2<2<3<π<4<3π2，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0.∴sin2·cos3·tan4<0，∴选A.8．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )A ．sin α＋cos α<0B ．tan α－sin α<0C ．cos α－tan α<0D ．tan αsin α<0答案 B解析 在第三象限，sin α<0，cos α<0，tan α>0，则可排除A ，C ，D 三项． 9．(2020·沧州七校联考)已知角x 的终边上一点坐标为(sin 5π6，cos 5π6)，则角x 的最小正值为( ) A.5π6 B.5π3 C.11π6D.2π3答案 B解析 因为sinx ＝cos 5π6＝－32，cosx ＝sin 5π6＝12，所以x ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝5π3，即角x 的最小正值为5π3，故选B.10．若一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π3 B.2π3 C. 3 D. 2 答案 C解析 设圆的半径为R ，由题意可知，圆内接正三角形的边长为3R ，∴圆弧长为3R.∴该圆弧所对圆心角的弧度数为3RR＝ 3. 11．sin1，cos1，tan1的大小关系是( ) A ．sin1<cos1<tan1 B ．tan1<sin1<cos1 C ．cos1<tan1<sin1 D ．cos1<sin1<tan1答案 D解析 如图，单位圆中∠MOP ＝1 rad>π4 rad.因为OM<22<MP<AT ，所以cos1<sin1<tan1.故选D.12．(2018·北京)在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( )A.AB ︵B.CD ︵C.EF ︵D.GH ︵答案 C解析 设点P 的坐标为(x ，y)，利用三角函数的定义可得yx <x<y ，所以x<0，y>0，所以P 所在的圆弧是EF ︵，故选C.13．－2 020°角是第________象限角，与－2 020°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________． 答案 二 140° －220°解析 ∵－2 020°＝－6×360°＋140°，∴－2 020°角的终边与140°角的终边相同． ∴－2 020°角是第二象限角，与－2 020°角终边相同的最小正角是140°.又是140°－360°＝－220°，故与－2 020°终边相同的最大负角是－220°.14．若扇形的周长为6，半径为2.则其中心角的大小为________弧度． 答案 1解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋α·r ＝6，r ＝2，得α＝1.15．若0≤θ≤2π，则使tan θ≤1成立的角θ的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，54π∪⎝⎛⎦⎤32π，2π 16．函数y ＝lg(sinx －cosx)的定义域为________． 答案 {x|π4＋2k π<x<5π4＋2k π，k ∈Z }解析 利用三角函数线．如图，MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使sinx>cosx ，只需π4<x<5π4(在[0，2π]上)．所以定义域为{x|π4＋2k π<x<5π4＋2k π，k ∈Z }．17．(2020·安徽合肥市二中月考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值；(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合； (3)若α∈⎝⎛⎦⎤0，2π3，请写出劣弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．答案 (1)－34 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝π3＋2k π，k ∈Z (3)S ＝12α－12sin α，α∈⎝⎛⎦⎤0，2π3解析 (1)由题意可得B ⎝⎛⎭⎫－45，35，根据三角函数的定义得tan α＝y x ＝－34. (2)若△AOB 为等边三角形，则∠AOB ＝π3，故与角α终边相同的角β的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β|β＝π3＋2k π，k ∈Z .(3)若α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，2π3，则S 扇形＝12αr 2＝12α，而S △AOB ＝12×1×1×sin α＝12sin α，故劣弓形AB 的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝12α－12sin α，α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2π3.。

2021 2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版2021-2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版2021-2021学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.21．（5分后）子集a={x|lnx≥0}，b={x|x＜16}，则a∩b=（）a．（1，4）b．[1，4）c．[1，+∞）d．[e，4）0.92．（5分后）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c的大小关系就是c （）a．a＜b＜cb．a＜c＜bc．b＜a＜cd．c＜a＜b3．（5分后）未知a＞1，a．0＜x＜1b．1＜x＜0，则f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（）c．2＜x＜0d．2＜x＜14．（5分）已知函数22，则f（f（f（1）））的值等同于（）a．π1b．π+1c．πd．0与x轴所围站图形的面积为（）5．（5分）曲线a．4b．2c．1d．36．（5分）函数y=sin（2x）的图象与函数y=cos（x）的图象（）a．存有相同的对称轴但并无相同的对称中心b．存有相同的对称中心但并无相同的对称轴c．既有相同的对称轴也存有相同的对称中心d．既并无相同的对称中心也并无相同的对称轴7．（5分后）未知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能将就是（）a．f（x）=x3b．f（x）=+xc．f（x）=3xd．f（x）=3+x38．（5分后）设f（x）就是奇函数，对任一的实数x、y，存有f（x+y）=f（x）+f （y），当x＞0时，f（x）＜0，则f（x）在区间[a，b]上（）a．有最大值f（a）b．有最小值f（a）c．有最大值d．存有最小值9．（5分）已知函教f（x）=asin（ωx+φ）（a＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜a）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是（）a．[6kπ，6kπ+3]，k∈zb．[6k3，6k]，k∈zc．[6k，6k+3]，k∈zd．[6kπ3，6kπ]，k∈z1页10．（5分）若不等式lg≥（x1）lg3对任意x∈（∞，1）恒成立，则a的取值范围就是（）a．（∞，0]b．[1，+∞）c．[0，+∞）d．（∞，1]11．（5分后）设f（x）就是定义在r上的函数，其Auron函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2021，则xx不等式ef（x）＞e+2021（其中e为自然对数的底数）的边值问题为（）a．（2021，+∞）b．（∞，0）∪（2021，+∞）c．（∞，0）∪（0，+∞）d．（0，+∞）12．（5分后）设立函数f（x）=sin，若存有f（x）的极值点x0满足用户x0+[f（x0）]＜m，则m的值域222范围就是（）a．（∞，6）∪（6，+∞）b．（∞，4）∪（4，+∞）c．（∞，2）∪（2，+∞）d．（∞，1）∪（1，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分后）若非零向量，满足用户|+|=||=2||，则向量与+的夹角为．14．（5分后）设立函数y=f（x）在r上加定义，对于任一取值的正数p，定义函数2，则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）=x2x1，p=2，则下列结论不成立的是：．①fp[f（0）]=f[fp（0）]；②fp[f（1）]=f[fp（1）]；③fp[fp （2）]=f[f（2）]；④fp[fp（3）]=f[f（3）]．15．（5分后）未知f（x）就是定义在r上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2x+|，若函数y=f（x）a在区间[3，4]上加10个零点（互不相同），则实数a的值域范围就是．16．（5分后）未知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的对边，a=2且（2+b）（sinasinb）=（cb）sinc，则△abc面积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）2217．（10分）已知a∈r，命题p：“?x∈[1，2]，xa≥0”，命题q：“?x∈r，x+2ax+2a=0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，谋实数a的值域范围．18．（12分后）在△abc中，内角a，b，c面元的边分别为a，b，c，未知sinc+sin （ba）=sin2a，a≠．2（ⅰ）求角a的取值范围；（ⅱ）若a=1，△abc的面积s=x，c为钝角，求角a的大小．19．（12分后）未知函数f（x）=e+ax1（e为自然对数的底数）．（ⅰ）当a=1时，谋过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围起的三角形的面积；2（ⅱ）若f（x）≥x在（0，1）上恒设立，谋实数a的值域范围．20．（12分）已知函数f（x）满足2f（x+2）f（x）=0，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax当x∈（4，2）时，f（x）的最大值为4．（ⅰ）求实数a的值；2页，（ⅱ）设b≠0，函数，x∈（1，2）．若对任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），并使f（x1）g（x2）=0，谋实数b的值域范围．21．（12分后）未知函数f（x）=x+3+ax+b，g（x）=x+3+lnx+b，（a，b为常数）．（ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，5），求b的值；（ⅱ）设立函数f（x）的导函数为f′（x），若关于x的方程f（x）x=xf′（x）存有唯一求解，谋实数b的值域范围；（ⅲ）令f（x）=f（x）g（x），若函数f（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．22．（12分后）未知函数，（ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并推论与否存有极值；（ⅱ）若对任意的x＞1，恒有ln（x1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围；（ⅲ）证明：（n∈n+，n≥2）．3页2021-2021学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.21．（5分后）（2021?重庆三模）子集a={x|lnx≥0}，b={x|x＜16}，则a∩b=（）a．（1，4）b．[1，4）c．[1，+∞）d．[e，4）【分析】求出a与b中不等式的解集确定出a与b，找出两集合的交集即可．【解答】解：由a中lnx≥0=ln1，得到x≥1，即a=[1，+∞）；由b中的不等式解得：4＜x＜4，即b=（4，4），则a∩b=[1，4）．故选：b．【评测】此题考查了关连及其运算，熟练掌握关连的定义就是求解本题的关键．2．（5分）（2021?东城区二模）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c 的大小关系是c（）a．a＜b＜cb．a＜c＜bc．b＜a＜cd．c＜a＜b【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．0.9【解答】解：∵0＜a=log0.80.9＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.1＞1，∴b＜a＜c．故选：c．【评测】本题考查了指数与对数函数的单调性，属基础题．3．（5分）（2021?南昌校级二模）已知a＞1，，则f（x）＜1设立的一个充份不必要条件就是0.9（）a．0＜x＜1b．1＜x＜0c．2＜x＜0d．2＜x＜1【分析】谋出来不等式的边值问题即为不等式设立的充要条件；据当子集a?子集b且b?a时，a就是b的充份不必要条件．【解答】解：f（x）＜1成立的充要条件是∵a＞12∴x+2x＜0∴2＜x＜0∴f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是1＜x＜0故选项为b【评测】本题考查不等式的边值问题就是不等式的充要条件；据子集之间的关系推论条件关系．4．（5分）（2021春?玉溪校级期末）已知函数22，则f（f（f（1）））的值等同于（）a．π1b．π+1c．πd．0【分析】根据分段函数的定义域，算出f（1）的值，再根据分段函数的定义域展开代入解；4页【答疑】求解：函数2，f（1）=π+1＞0，∴f（f（1））=0，可得f（0）=π，∴f（f（f（1）））=π，故选c；【评测】此题主要考查函数值的解，就是一道基础题；5．（5分）（2021春?进贤县校级月考）曲线a．4b．2c．1d．3上的积分可求出答案．上的积分，与x轴所围站图形的面积为（）【分析】根据面积等于cosx的绝对值在0≤x≤【解答】解：面积等于cosx的绝对值在0≤x≤即s==3=3=3，故选：d．【评测】本题主要考查余弦函数的图象和用定分数谋面积的问题．属于基础题6．（5分）（2021?开封模拟）函数y=sin（2x）的图象与函数y=cos（x）的图象（）a．存有相同的对称轴但并无相同的对称中心b．存有相同的对称中心但并无相同的对称轴c．既有相同的对称轴也存有相同的对称中心d．既并无相同的对称中心也并无相同的对称轴【分析】分别求出2函数的对称轴和对称中心即可得解．【解答】解：由2xz．由x=kπ，k∈z，解得函数y=cos（x）的对称轴为：x=kπ，k∈z．=k，k∈z，解得函数y=sin（2x）的对称轴为：x=+，k∈k=0时，二者存有相同的对称轴．由2x由x=kπ，k∈z，可解得函数y=sin（2x=k）的对称中心为：（）的对称中心为：（kπ+，0），k∈z．，0），k∈z．，k∈z，可解得函数y=cos（x故2函数没相同的对称中心．故选：a．【评测】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属基本知识的考查．7．（5分后）（2021?厦门演示）未知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能将就是（）5页。

题组层级快练(十)1．log 29·log 34的值为( ) A ．14 B ．12 C ．2 D ．4答案 D解析 原式＝log 232·log 322＝4log 23·log 32＝4·lg3lg2·lg2lg3＝4.2．若log a 23<1(a>0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23 B ．(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，23∪(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫23，1 答案 C解析 当0<a<1时，log a 23<log a a ＝1，∴0<a<23；当a>1时，log a 23<log a a ＝1，∴a>1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23∪(1，＋∞)． 3．(2020·河北保定模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b ＜c B ．a ＝b ＞c C ．a ＜b ＜c D ．a ＞b ＞c 答案 B解析 a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，因此a ＝b ，而log 233＞log 22＝1，log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c ，故选B. 4．函数y ＝ln1|2x －3|的图象为( )答案 A解析 易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C 、D 项．当x>32时，函数为减函数，当x<32时，函数为增函数，所以选A.5．(2019·衡水中学调研卷)若0＜a ＜1，则不等式1log a x ＞1的解是( )A ．x ＞aB ．a ＜x ＜1C ．x ＞1D ．0＜x ＜a答案 B解析 易得0＜log a x ＜1，∴a ＜x ＜1.6．(2014·新课标全国Ⅱ，理)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c>b>a B ．b>c>a C ．a>c>b D ．a>b>c答案 D解析 a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图象，由三个图象的相对位置关系，可知a>b>c ，故选D.7．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x<1，2x －1，x ≥1，则f(－2)＋f(log 212)等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 C解析 因为－2<1，所以f(－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3. 因为log 212>1，所以f(log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6. 所以f(－2)＋f(log 212)＝9.故选C.8．若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是( ) A ．a<b<c B ．b<a<c C ．c<b<a D ．a<c<b答案 C解析 根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0，即log 2c<log 2b<log 2a<0，可得c<b<a<1.故选C. 9．(2017·课标全国Ⅱ)设0＜a ＜1，则( ) A ．log 2a>log 2 a B ．log2a>log 2a C ．log 2a<log2aD ．log 2a<log2a答案 B解析 ∵0＜a ＜1，∴0＜a 2＜a ＜a ＜1，∴在A 中，log 2a ＝log 2a ，故A 错误；在B 中，log2a>log 2a ，故B 正确；在C 中，log 2a>log2a ，故C 错误； 在D 中，log 2a>log2a ，故D 错误．10．函数f(x)＝2|log 2x|的图象大致是( )答案 C解析 ∵f(x)＝2|log 2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x ，0<x<1，∴选C.11．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋2)在区间(－∞，1]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．[2，＋∞) C ．[2，3) D ．(1，3)答案 C解析 当0<a<1时，由复合函数与对数函数的性质知，不合题意；当a>1时，要满足⎩⎪⎨⎪⎧12－a ＋2>0，a 2≥1，解得2≤a<3.故a 的取值范围是[2，3)． 12．(2020·湖北宜昌一中模拟)已知函数f(x)＝xln(e 2x ＋1)－x 2＋1，f(a)＝2，则f(－a)的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－2 答案 B解析 方法一：f(x)＋f(－x)＝xln(e 2x ＋1)－x 2＋1＋[－xln(e －2x ＋1)－(－x)2＋1] ＝x[ln(e 2x ＋1)－ln(e －2x ＋1)]－2x 2＋2＝xlne 2x ＋1e －2x ＋1－2x 2＋2＝xlne 2x －2x 2＋2＝2x 2－2x 2＋2＝2，所以f(a)＋f(－a)＝2， 因为f(a)＝2，所以f(－a)＝2－f(a)＝0.故选B.方法二：∵f(a)＝aln(e 2a ＋1)－a 2＋1＝2，∴f(－a)＝－aln(e －2a ＋1)－a 2＋1＝－aln 1＋e 2ae2a －a 2＋1＝－aln(1＋e 2a )＋2a 2－a 2＋1＝－aln(e 2a ＋1)＋a 2＋1＝－[aln(e 2a ＋1)－a 2＋1]＋2 ＝－f(a)＋2＝0.故选B.13．(1)若log a (x ＋1)>log a (x －1)，则a ∈________，x ∈________． (2)若log a 3<log a π，则实数a 的取值范围是________． (3)若log 3a<log πa ，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1)(1，＋∞) (1，＋∞) (2)a>1 (3)0<a<1 14．(2020·沧州七校联考)函数f(x)＝log 2x ·log 2(2x)的最小值为________．答案 －14解析 f(x)＝12log 2x ·[2(log 2x ＋1)]＝(log 2x)2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14，∴当log 2x ＝－12，即x ＝22时，f(x)最小值为－14. 15．(2019·皖南八校联考)已知函数f(x)＝lgx ，若f(ab)＝1，则f(a 2)＋f(b 2)＝________． 答案 2解析 由f(ab)＝1，得ab ＝10.于是f(a 2)＋f(b 2)＝lga 2＋lgb 2＝2(lg|a|＋lg|b|)＝2lg|ab|＝2lg10＝2.16．设函数f(x)＝|lgx|，(1)若0<a<b 且f(a)＝f(b)．证明：ab ＝1； (2)若0＜a ＜b 且f(a)＞f(b)．证明：ab ＜1. 答案 略证明 (1)由|lga|＝|lgb|，得－lga ＝lgb.∴ab ＝1. (2)由题设f(a)＞f(b)，即|lga|＞|lgb|.上式等价于(lga)2＞(lgb)2，即(lga ＋lgb)(lga －lgb)＞0，lg(ab)lg ab ＞0，由已知b ＞a ＞0，得0＜ab＜1. ∴lg ab ＜0，故lg(ab)＜0.∴ab ＜1.。

专题层级快练(十八)1．(2019·山东陵县一中月考)已知函数f(x)＝x 2e x ，当x ∈[－1，1]时，不等式f(x)<m 恒成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．[1e ，＋∞)B ．(1e ，＋∞)C ．[e ，＋∞)D ．(e ，＋∞)答案 D解析 由f ′(x)＝e x (2x ＋x 2)＝x(x ＋2)e x ，得当－1<x<0时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，当0<x<1时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，且f(1)>f(－1)，故f(x)max ＝f(1)＝e ，则m>e.故选D. 2．已知函数f(x)＝x ＋4x ，g(x)＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1，∃x 2∈[2，3]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a ≥1 C ．a ≤2 D ．a ≥2 答案 A解析 由题意知f(x)min ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，1≥g(x)min (x ∈[2，3])，因为f(x)min ＝5，g(x)min ＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1，故选A.3．(2020·衡水中学调研)设函数f(x)＝ax 2－xlnx －(2a －1)x ＋a －1(a ∈R )．若对任意的x ∈[1，＋∞)，f(x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞解析 f ′(x)＝2ax －1－lnx －(2a －1)＝2a(x －1)－lnx(x>0)， 易知当x ∈(0，＋∞)时，lnx ≤x －1， 则f ′(x)≥2a(x －1)－(x －1)＝(2a －1)(x －1)．当2a －1≥0，即a ≥12时，由x ∈[1，＋∞)得f ′(x)≥0恒成立，f(x)在[1，＋∞)上单调递增，f(x)≥f(1)＝0，符合题意．当a ≤0时，由x ∈[1，＋∞)得f ′(x)≤0恒成立，f(x)在[1，＋∞)上单调递减， f(x)≤f(1)＝0，显然不合题意，a ≤0舍去．当0<a<12时，由lnx ≤x －1，得ln 1x ≤1x －1，即lnx ≥1－1x ，则f ′(x)≤2a(x －1)－⎝⎛⎭⎫1－1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x (2ax －1)． ∵0<a<12，∴12a>1.当x ∈⎣⎡⎦⎤1，12a 时，f ′(x)≤0恒成立，∴f(x)在⎣⎡⎦⎤1，12a 上单调递减， ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤1，12a 时，f(x)≤f(1)＝0，显然不合题意，0<a<12舍去． 综上可得，a ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞.4．(2020·贵州适应性考试)已知函数f(x)＝ax －e x (a ∈R )，g(x)＝lnxx .(1)求函数f(x)的单调区间；(2)∃x 0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－e x 成立，求a 的取值范围．答案 (1)当a ≤0时，f(x)在R 上单调递减；当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，lna)，单调递减区间为(lna ，＋∞) (2)(－∞，12e ]解析 (1)因为f ′(x)＝a －e x ，x ∈R .当a ≤0时，f ′(x)＜0，f(x)在R 上单调递减； 当a ＞0时，令f ′(x)＝0得x ＝lna.由f ′(x)＞0得f(x)的单调递增区间为(－∞，lna)； 由f ′(x)＜0得f(x)的单调递减区间为(lna ，＋∞)．(2)因为∃x 0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－e x ，则ax ≤lnx x ，即a ≤lnxx 2.设h(x)＝lnx x 2，则问题转化为a ≤⎝⎛⎭⎫lnx x 2max ，由h ′(x)＝1－2lnx x 3，令h ′(x)＝0，则x ＝ e.当x 在区间(0，＋∞)内变化时，h ′(x)，h(x)的变化情况如下表：由上表可知，当x＝e时，函数h(x)有极大值，即最大值为12e.所以a≤12e.5．(2017·课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)e x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．答案(1)f(x)在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)上单调递减，在(－1－2，－1＋2)上单调递增(2)[1，＋∞)解析(1)f′(x)＝(1－2x－x2)e x.令f′(x)＝0得x＝－1－2或x＝－1＋ 2.当x∈(－∞，－1－2)时，f′(x)<0；当x∈(－1－2，－1＋2)时，f′(x)>0；当x∈(－1＋2，＋∞)时，f′(x)<0.所以f(x)在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)上单调递减，在(－1－2，－1＋2)上单调递增．(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)e x.方法一：当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)e x，h′(x)＝－xe x<0(x>0)，因此h(x)在[0，＋∞)上单调递减，而h(0)＝1，故h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.当0<a<1时，设函数g(x)＝e x－x－1，则g′(x)＝e x－1>0(x>0)，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，而g(0)＝0，故e x≥x＋1.当0<x<1时，f(x)>(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，取x0＝5－4a－12，则x0∈(0，1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，故f(x0)>ax0＋1.当a≤0时，取x0＝5－12，则x0∈(0，1)，f(x0)>(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1.综上，a的取值范围是[1，＋∞)．方法二：令g(x)＝f(x)－ax－1＝(1－x2)e x－(ax＋1)．g(0)＝0.即当x≥0时，g(x)≤0＝g(0)．g′(x)＝(1－x2－2x)e x－a.g″(x)＝－(x2＋4x＋1)e x.当x ≥0时，g ″(x)<0. ∴g ′(x)在[0，＋∞)单调递减．∴g ′(x)≤g ′(0)＝1－a ，要使g(x)≤g(0)在[0，＋∞)恒成立． ∴1－a ≤0，∴a ≥1.6．已知函数f(x)＝x －(a ＋1)lnx －a x (a ∈R )，g(x)＝12x 2＋e x －xe x .(1)当x ∈[1，e]时，求f(x)的最小值；(2)当a<1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2，0]，f(x 1)<g(x 2)成立，求a 的取值范围．答案 (1)当a ≤1时，f(x)min ＝1－a ；当1<a<e 时，f(x)min ＝a －(a ＋1)lna －1；当a ≥e 时，f(x)min ＝e －(a ＋1)－a e (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－2e e ＋1，1 解析 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝（x －1）（x －a ）x 2.①当a ≤1时，x ∈[1，e]，f ′(x)≥0，f(x)为增函数，f(x)min ＝f(1)＝1－a.②当1<a<e 时，x ∈[1，a]时，f ′(x)≤0，f(x)为减函数；x ∈[a ，e]时，f ′(x)≥0，f(x)为增函数；所以f(x)min ＝f(a)＝a －(a ＋1)lna －1.③当a ≥e 时，x ∈[1，e]时，f ′(x)≤0，f(x)在[1，e]上为减函数． f(x)min ＝f(e)＝e －(a ＋1)－ae .综上，当a ≤1时，f(x)min ＝1－a ； 当1<a<e 时，f(x)min ＝a －(a ＋1)lna －1； 当a ≥e 时，f(x)min ＝e －(a ＋1)－ae.(2)由题意知f(x)(x ∈[e ，e 2])的最小值小于g(x)(x ∈[－2，0])的最小值． 由(1)知当a<1时f(x)在[e ，e 2]上单调递增，f(x)min ＝f(e)＝e －(a ＋1)－ae .g ′(x)＝(1－e x )x.当x ∈[－2，0]时，g ′(x)≤0，g(x)为减函数，g(x)min ＝g(0)＝1，所以e －(a ＋1)－ae<1，即a>e 2－2ee ＋1，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－2e e ＋1，1.7．(2020·石家庄市高三一检)已知函数f(x)＝axe x －(a ＋1)(2x －1)． (1)若a ＝1，求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程； (2)当x>0时，函数f(x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 答案 (1)y ＝－3x ＋2 (2)⎣⎡⎭⎫1e －1，＋∞解析 (1)若a ＝1，则f(x)＝xe x －2(2x －1)， f ′(x)＝xe x ＋e x －4，则f ′(0)＝－3，f(0)＝2， 所以所求切线方程为y ＝－3x ＋2. (2)由已知可得，f(1)≥0，得a ≥1e －1>0， f(x)≥0对任意的x>0恒成立可转化为aa ＋1≥2x －1xe x 对任意的x>0恒成立． 设函数F(x)＝2x －1xe x (x>0)，则F ′(x)＝－（2x ＋1）（x －1）x 2e x.则函数F(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以F(x)max ＝F(1)＝1e .于是a a ＋1≥1e ，解得a ≥1e －1.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e －1，＋∞.。

题组层级快练(八十六)1．在极坐标系中，极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6的点到极点和极轴的距离分别为( )A ．1，1B ．1，2C ．2，1D ．2，2答案 C解析 点(ρ，θ)到极点和极轴的距离分别为ρ，ρ|sin θ|，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到极点和极轴的距离分别为2，2sin π6＝1.2．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A ．两个圆B ．两条直线C ．一个圆和一条射线D ．一条直线和一条射线答案 C解析 因为(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)，所以ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)．ρ＝1⇒x 2＋y 2＝1，得x 2＋y 2＝1，表示圆心在原点的单位圆；θ＝π(ρ≥0)表示x 轴的负半轴，是一条射线． 3．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，－π3到圆ρ＝－2cos θ的圆心的距离为( )A ．2 B. 4＋π29C.9＋π29D.7答案 D解析 在直角坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3的直角坐标为(1，－3)，圆ρ＝－2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2x ，即(x ＋1)2＋y 2＝1，圆心为(－1，0)，所以所求距离为（1＋1）2＋（－3－0）2＝7.故选D.4．(2019·皖北协作区联考)在极坐标系中，直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫2，π6B.⎝⎛⎭⎫2，π3C.⎝⎛⎭⎫4，π6D.⎝⎛⎭⎫4，π3答案 A解析 ρ(3cos θ－sin θ)＝2可化为直角坐标方程3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，故选A.5．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程是( ) A ．ρsin θ＝2 B ．ρcos θ＝2 C ．ρcos θ＝4 D ．ρcos θ＝－4答案 B解析 方法一：圆的极坐标方程ρ＝4sin θ，即ρ2＝4ρsin θ，所以直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0.选项A ，直线ρsin θ＝2的直角坐标方程为y ＝2，代入圆的方程，得x 2＝4，∴x ＝±2，不符合题意；选项B ，直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，代入圆的方程，得(y －2)2＝0，∴y ＝2，符合题意．同理，C 、D 选项都不符合题意． 方法二：如图，⊙C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，CO ⊥Ox ，OA 为直径，|OA|＝4，直线l 和圆相切， l 交极轴于点B(2，0)，点P(ρ，θ)为l 上任意一点， 则有cos θ＝|OB||OP|＝2ρ，得ρcos θ＝2.6．在极坐标系中，曲线ρ2－6ρcos θ－2ρsin θ＋6＝0与极轴交于A ，B 两点，则A ，B 两点间的距离等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．215 D ．4答案 B解析 方法一：化极坐标方程为直角坐标方程得x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0，易知此曲线是圆心为(3，1)，半径为2的圆，如图所示．可计算|AB|＝2 3.方法二：令θ＝0代入方程，得ρ2－6ρ＋6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρA ＋ρB ＝6，ρA ·ρB ＝6.∴|AB|＝|ρA －ρB |＝2 3. 7．(2016·北京)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB|＝________． 答案 2解析 将直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0化为直角坐标方程为x －3y －1＝0，将圆ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，则圆心坐标(1，0)，半径为1，由于圆心(1，0)在直线x －3y －1＝0上，因此|AB|＝2.8．(2018·北京，理)在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a(a>0)与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝________． 答案 1＋ 2解析 利用x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得直线的方程为x ＋y －a ＝0，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心(1，0)，半径r ＝1，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|1－a|2＝1，∴a ＝1＋2或1－2，又a>0，∴a ＝1＋ 2.9．在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2与曲线C 2：ρ＝4sin θ(π2<θ<π)交点的极坐标是________．答案 ⎝⎛⎭⎫2，5π6解析 由题意分析可得，曲线C 1是圆心为(0，0)，半径为2的圆，曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝4.对ρ＝4sin θ变形得ρ2＝4ρsin θ，所以曲线C 2的方程为x 2＋y 2＝4y.联立两个方程，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1.又∵π2<θ<π，∴交点为(－3，1)，转化为极坐标ρ＝2，tan θ＝1－3，由题意θ＝5π6，所以交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π6.10．在极坐标系中，设曲线C 1：ρ＝2sin θ与C 2：ρ＝2cos θ的交点分别为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为________． 答案 ρsin θ＋ρcos θ＝1⎝⎛⎭⎫或ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22解析 曲线C 1：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 2：ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，所以AB 的方程为－x ＋y ＝0.又易知AB 的垂直平分线斜率为－1，经过圆C 1的圆心(0，1)，所以AB 的垂直平分线的方程为x ＋y －1＝0，化为极坐标方程为ρsinθ＋ρcos θ＝1，或化成ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.11．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，半径r ＝2，点P 的极坐标为(2，π)，过P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点． (1)求圆C 的直角坐标方程； (2)求|PA|·|PB|的值．答案 (1)(x －1)2＋(y －1)2＝2 (2)8解析 (1)圆C 的圆心的极坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，∴x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)点P 的极坐标为(2，π)，化为直角坐标为P(－2，0)．当直线l 与圆C 相切于点D 时，则|PD|2＝|PC|2－r 2＝(－2－1)2＋(0－1)2－(2)2＝8. ∴|PA|·|PB|＝|PD|2＝8.12．(2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1: x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．答案 (1)C 1：ρcos θ＝－2 C 2：ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0 (2)S ＝12解析 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2，|MN|＝ρ1－ρ2＝2，因为C 2的半径为1，则△C 2MN 的面积S ＝12×2×1×sin π4＝12.13．(2020·福州质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝2.已知点Q 为曲线C 1上的动点，点P在线段OQ 上，且满足|OQ|·|OP|＝4，动点P 的轨迹为C 2. (1)求C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△AOB 面积的最大值．答案 (1)⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1(不包含点(0，0)) (2)32 解析 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ )(ρ>0)，Q 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)， 由题设，知|OP|＝ρ，|OQ|＝ρ1＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6，由|OQ|·|OP|＝4，得C 2的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π6)(ρ>0)，因此C 2的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1，但不包括点(0，0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)，由题设知|OA|＝2，ρB ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6，于是△AOB 面积S ＝12|OA|·ρB ·sin ∠AOB ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6·|sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3|＝2|sin 2α－34|≤32，当α＝0时，S 可取得最大值32，所以△AOB 面积的最大值为32.14．(2019·课标全国Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A(2，0)，B ⎝⎛⎭⎫2，π4，C ⎝⎛⎭⎫2，3π4，D(2，π)，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝⎛⎭⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ，曲线M 2是弧BC ，曲线M 3是弧CD.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP|＝3，求P 的极坐标． 答案 (1)ρ＝2cos θ(0≤θ≤π4) ρ＝2sin θ⎝⎛⎭⎫π4≤θ≤3π4 ρ＝－2cos θ⎝⎛⎭⎫3π4≤θ≤π (2)⎝⎛⎭⎫3，π6或⎝⎛⎭⎫3，π3或(3，2π3)或(3，5π6)解析 (1)由题意可知M 1，M 2，M 3的直角坐标方程分别为：(x －1)2＋y 2＝1(2≥x ≥1，1≥y ≥0)，x 2＋(y －1)2＝1(－1≤x ≤1，1≤y ≤2)，(x ＋1)2＋y 2＝1(－2≤x ≤－1，0≤y ≤1)，所以M 1，M 2，M 3的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ(0≤θ≤π4)，ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4，ρ＝－2cosθ⎝⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π. (2)设P(ρ，θ)由题设及(1)知，若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，cos θ＝32，θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，sin θ＝32，θ＝π3或θ＝2π3；若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，cos θ＝－32，θ＝5π6，所以P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或(3，2π3)或(3，5π6)．。

专题层级快练(七十七)1．(2020·湖北宜昌一中月考)从1到10十个数中，任意选取4个数，其中，第二大的数是7的情况共有( )A ．18种B ．30种C ．45种D ．84种答案　C解析　分两步：先从8，9，10这三个数中选取一个数做最大的数有C 31种方法；再从1，2，3，4，5，6这六个数中选取两个比7小的数有C 62种方法，故共有C 31C 62＝45种情况，应选择C.2．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 答案　B解析　将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有C 53C 22×2＝20(种)，故选B.3．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一个盒子中，则不同的放法共有( ) A ．12种 B ．16种 C ．18种 D ．36种 答案　C解析　可先分组再排列，所以有C 42A 33＝18种放法．124．(2020·广东省实验中学月考)甲、乙、丙三个部门分别需要招聘工作人员2名，1名，1名，现从10名应聘人员中招聘4人到甲、乙、丙三个部门，那么不同的招聘方法共有( ) A ．1 260种 B ．2 025种 C ．2 520种 D ．5 040种 答案　C解析　先从10人中选2人去甲部门，再从剩下的8人中选2人去乙、丙两个部门，有C 102A 82＝2 520种不同的招聘方法．5．(2020·长春普通高中检测)要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A ，B ，C 三个班级中，要求每个班级至少分到1人，则甲被分到A 班的分法种数为( ) A ．6B ．12C ．24D ．36答案　B解析　甲和另一个人一起分到A 班的方法有C 31A 22＝6(种)，甲一个人分到A 班的方法有C 32A 22＝6(种)，所以共有12种分法．故选B.6．(2017·课标全国Ⅱ，理)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种答案　D解析　因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2，1，1，有＝6(种)，再分配C 42C 21C 11A 22给3个人，有A 33＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．7．(2020·安徽毛坦厂中学月考)今年，我校迎来了安徽师范大学数学系5名实习教师，若将这5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有( ) A ．180种 B ．120种 C ．90种 D ．60种 答案　C解析　将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少一名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1个，另两组都是2人，有＝15种方法．再将3组分到3个班，C 51·C 42A 22共有15·A 33＝90种不同的分配方案．故选C.8．(2019·山西大同一模)从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为( ) A ．C 102A 84 B ．C 91A 95 C ．C 81A 95 D ．C 81A 85 答案　C解析　先排第1号瓶，从除甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有C 81种方法，再排剩余的瓶子，有A 95种方法，故不同的放法共有C 81A 95种，故选C.9．把甲、乙等6人分成两组(各组人数不一定相同)，则甲、乙不在同一组的分法共有( ) A ．12种 B ．16种 C ．24种 D ．32种 答案　B解析　当甲所在的组只有1人时，共有C 40＝1种分法；当甲所在的组有2人时，共有C 41＝4种分法；当甲所在的组有3人时，共有C 42＝6种方法；当甲所在的组有4人时，共有C 43＝4种分法；当甲所在的组有5人时，共有C 44＝1种分法．所以共有1＋4＋6＋4＋1＝16种分法．故选B.10．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( ) A ．18 B ．24 C ．30 D ．36答案　C解析　排除法．先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有C 42＝6种方法，再将三组同学分配到三个班级有A 33＝6种分配方法，再考虑甲、乙同班的分配方法有A 33＝6种，所以共有C 42A 33－A 33＝30种分法．故选C.11．某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为( ) A ．144 B ．72 C ．36 D ．48答案　C解析　分两步完成：第一步将4名调研员按2，1，1分成三组，其分法有种；第二C 42C 21C 11A 22步将分好的三组分配到3个学校，其分法有A 33种．所以满足条件的分配方案有×A 33C 42C 21C 11A22＝36(种)．12．某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得－30分；选乙题答对得10分，答错得－10分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是( ) A ．24 B ．36 C ．40 D ．44答案　D解析　分以下四种情况讨论：(1)两位同学选甲题作答，一个答对一个答错，另外两个同学选乙题作答，一个答对一个答错，此时共有C 42×2×2＝24种情况；(2)四位同学都选择甲题或乙题作答，两人答对，另外两人答错，共有C 42C 21＝12种情况；(3)一人选甲题作答并且答对，另外三人选乙题作答并且全部答错，此时有C 41＝4种情况；(4)一人选甲题作答并且答错，另外三人选乙题作答并且全部答对，此时有C 41＝4种情况．综上所述，共有24＋12＋4＋4＝44种不同的情况．故选D.13．某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为( ) A ．5 400 B ．3 000 C ．150 D ．1 500答案　D解析　分两步：第一步：从5个培训项目中选取3个，共C 53种情况；第二步：5位教师分成两类：①选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，1人，3人，共C 53种情况；②选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，2人，2人，共C 52C 32A22种情况．故选择情况数为C 53··A 33＝1 500(种)． (C 53＋C 52C 32A22)14．(2020·人大附中期末)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)． 答案　60解析　分情况：一种情况将有奖的奖券按2张，1张分给4个人中的2个人，种数为C 32C 11A 42＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A 43＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种)．15．某学校新来了五名学生，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，则其中学生A 不分配到甲班的分配方案种数是________． 答案　100解析　A 的分配方案有2种，若A 分配到的班级不再分配其他学生，则把其余四人分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是(C 43＋)A 22＝14；若A 分配到的班级再分配一名C 42C 22A 22学生，则把剩余的三名学生分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是C 41C 31A 22＝24；若A 分配到的班级再分配两名学生，则剩余的两名学生就分配到另外的两个班级，分配方法种数是C 42A 22＝12.故总数为2×(14＋24＋12)＝100.16．(2020·北京海淀区二模)某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有________种不同的抽调方法． 答案　84解析　方法一：(分类法)，在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车．可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C 71种；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A 72种；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C 73种．故共有C 71＋A 72＋C 73＝84种抽调方法．方法二：(隔板法)，由于每个车队的车辆均多于4辆，只需将10个份额分成7份．可将10个小球排成一排，在相互之间的9个空当中插入6个隔板，即可将小球分成7份，故共有C 96＝84种抽调方法．。

题组层级快练(八十七)1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tsin70°，y ＝2＋tcos70°(t 为参数)的倾斜角为( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°答案 B解析 方法一：将直线参数方程化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos20°，y ＝2＋tsin20°(t 为参数)，则倾斜角为20°，故选B.方法二：tan α＝cos70°sin70°＝sin20°cos20°＝tan20°，∴α＝20°.另外，本题中直线方程若改为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－tsin70°，y ＝2＋tcos70°，则倾斜角为160°.2．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为( )A.23 B ．－23C.32 D ．－32答案 D3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋2cos θ，y ＝4＋2sin θ(θ为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋2cos θ，y ＝4＋2sin θ(θ为参数)表示的曲线的普通方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，这是圆心为(－3，4)，半径为2的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为1.4．(2020·皖南八校联考)若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)相切，则实数m 为( )A ．－4或6B ．－6或4C ．－1或9D ．－9或1答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)，得直线l ：2x ＋y －1＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)，得曲线C ：x 2＋(y －m)2＝5，因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|m －1|22＋1＝5，解得m ＝－4或m ＝6.5．(2019·北京朝阳二模)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4＋t (t 为参数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，则直线l 和曲线C 的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个答案 B解析 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4＋t(t 为参数)化为普通方程得x －y ＋4＝0；曲线C ：ρ＝42sin(θ＋π4)化成普通方程得(x －2)2＋(y －2)2＝8，∴圆心C(2，2)到直线l 的距离为d ＝|2－2＋4|2＝22＝r.∴直线l 与圆C 只有一个公共点，故选B.6．(2019·人大附中模拟)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＋2sin θ＝0，若在圆C 上存在一点P ，使得点P 到直线l 的距离最小，则点P 的直角坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫32，－12解析 由已知，得直线l 的普通方程为y ＝－3x ＋1＋23，圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，在圆C 上任取一点P(cos α，－1＋sin α)(α∈[0，2π))，则点P 到直线l 的距离为d＝|3cos α＋sin α－2－23|1＋3＝|2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2－23|2＝2＋23－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π32.∵α∈[0，2π]，∴当α＝π6时，d min ＝3，此时P ⎝⎛⎭⎫32，－12.7．(2018·天津，理)已知圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为C ，直线⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝3－22t (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则△ABC 的面积为________． 答案 12解析 直线的普通方程为x ＋y －2＝0，圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为C(1，0)，半径为1，点C 到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|1＋0－2|2＝22，所以|AB|＝21－⎝⎛⎭⎫222＝2，所以S △ABC ＝12×2×22＝12.8．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－t ，y ＝1＋t (t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4.则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为________． 答案 2 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－t ，y ＝1＋t (t 为参数)消去t ，得直线l 的普通方程为x ＋y －4＝0.由ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2cos θ＋2sin θ，得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ.将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入上式，得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2. 方法一：设曲线C 上的点为P(1＋2cos α，1＋2sin α)， 则点P 到直线l 的距离为d ＝|1＋2cos α＋1＋2sin α－4|2＝|2（sin α＋cos α）－2|2＝|2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－2|2.当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1时，d max ＝22，所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为2 2.方法二：设与直线l 平行的直线为l ′：x ＋y ＋b ＝0，当直线l ′与圆C 相切时，得|1＋1＋b|2＝2，解得b ＝0或b ＝－4(舍去)，所以直线l ′的方程为x ＋y ＝0.所以直线l 与直线l ′的距离为d ＝|0＋4|2＝2 2.所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为2 2.方法三：圆心到直线l 的距离为|1＋1－4|2＝2，所以直线l 与圆相切，因此圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为直径长，即2 2.9．(2016·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|＝10，求l 的斜率．答案 (1)ρ2＋12ρcos θ＋11＝0 (2)153或－153解析 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB|＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.10．(2018·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos α，y ＝2＋tsin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率． 答案 (1)x 24＋y 216＝1 x ＝1或y ＝xtan α＋2－tan α (2)－2解析 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝xtan α＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1，2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4（2cos α＋sin α）1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.11．(2019·天星大联考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝－1＋22t(t 为参数)．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos(θ＋π4)，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． (1)若P(0，－1)，求|PA|＋|PB|；(2)若点M 是曲线C 上不同于A ，B 的动点，求△MAB 的面积的最大值． 答案 (1)2103 (2)1059解析 (1)ρ＝22cos(θ＋π4)可化为ρ＝2cos θ－2sin θ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.将直线l 的参数方程化为⎩⎨⎧x ＝13t ′，y ＝－1＋223t ′(t ′为参数)，代入(x－1)2＋(y ＋1)2＝2，得t ′2－23t ′－1＝0，设方程的解为t ′1，t ′2，则t ′1＋t ′2＝23，t ′1t ′2＝－1，因而|PA|＋|PB|＝|t ′1|＋|t ′2|＝|t ′1－t ′2| ＝（t ′1＋t ′2）2－4t ′1t ′2＝2103.(2)将直线l 的参数方程化为普通方程为22x －y －1＝0，设M(1＋2cos θ，－1＋2sin θ)， 由点到直线的距离公式，得M 到直线AB 的距离为d ＝|22（1＋2cos θ）＋1－2sin θ－1|3＝|22＋4cos θ－2sin θ|3＝|22＋32sin （φ－θ）|3，故d 的最大值为523，由(1)知|AB|＝|PA|＋|PB|＝2103，因而△MAB 面积的最大值为12×523×2103＝1059.12．(2020·唐山摸底考试)在极坐标系中，曲线C 的方程ρ2－22ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－4＝0，以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数，0≤α<π)．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||OA|－|OB||的取值范围． 答案 (1)(x －1)2＋(y －1)2＝6 (2)[0，22]解析 (1)由ρ2－22ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－4＝0得，ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0， 所以x 2＋y 2－2x －2y －4＝0，即曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝6.(2)将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2－2x －2y －4＝0并整理得t 2－2(sin α＋cos α)t －4＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2(sin α＋cos α)，t 1t 2＝－4<0.||OA|－|OB||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝|2(sin α＋cos α)|＝|22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4|，因为0≤α<π，所以π4≤α＋π4<5π4，从而得－2<22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤2 2.所以||OA|－|OB||的取值范围是[0，22]．13．(2020·福建省高三质检)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t (t为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4. (1)求C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；(2)设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求|PM|. 答案 (1)x 22＋y 2＝1 (1，1) (2)5541解析 (1)由ρ2＝21＋sin 2θ得ρ2＋ρ2sin 2θ＝2，① 将ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y代入①并整理得，曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1.设点P 的直角坐标为(x ，y)，因为点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1.所以点P 的直角坐标为(1，1)．(2)方法一：将⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t ，代入x22＋y 2＝1，并整理得41t 2＋110t ＋25＝0，Δ＝1102－4×41×25＝8 000>0，故可设方程的两根分别为t 1，t 2， 则t 1，t 2为A ，B 对应的参数，且t 1＋t 2＝－11041.依题意，点M 对应的参数为t 1＋t 22，所以|PM|＝|t 1＋t 22|＝5541.方法二：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t消去t ，得y ＝43x －13.将y ＝43x －13代入x 22＋y 2＝1，并整理得41x 2－16x －16＝0，因为Δ＝(－16)2－4×41×(－16)＝2 880>0， 所以x 1＋x 2＝1641，x 1x 2＝－1641.所以x 0＝841，y 0＝43x 0－13＝43×841－13＝－341，即M ⎝⎛⎭⎫841，－341. 所以|PM|＝⎝⎛⎭⎫841－12＋⎝⎛⎭⎫－341－12＝⎝⎛⎭⎫－33412＋⎝⎛⎭⎫－44412＝5541.。

题组层级快练(十六)1．当x>0时，f(x)＝x ＋4x 的单调递减区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(0，2)C ．(2，＋∞)D ．(0，2)答案 B解析 f ′(x)＝1－4x 2＝（x －2）（x ＋2）x 2<0，又∵x>0，∴x ∈(0，2)，∴选B.2．已知e 为自然对数的底数，则函数y ＝xe x 的单调递增区间是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．[1，＋∞) D ．(－∞，1] 答案 A解析 令y ′＝(1＋x)e x ≥0.∵e x >0，∴1＋x ≥0，∴x ≥－1，选A.3．(2015·陕西)设f(x)＝x －sinx ，则f(x)( ) A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数 答案 B解析 易得f(x)是奇函数，由f ′(x)＝1－cosx ≥0恒成立，可知f(x)是增函数，故选B. 4．函数f(x)＝lnx －ax(a>0)的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，1a B.⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，1a D ．(－∞，a)答案 A解析 由f ′(x)＝1x －a>0，得0<x<1a .∴f(x)的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a . 5．(2020·广东六校联考)已知函数f(x)＝1＋x －sinx ，则f(2)，f(3)，f(π)的大小关系正确的是( )A ．f(2)>f(3)>f(π)B ．f(3)>f(2)>f(π)C ．f(2)>f(π)>f(3)D ．f(π)>f(3)>f(2)答案 D解析 f ′(x)＝1－cosx ，当x ∈(0，π]时，f ′(x)>0，所以f(x)在(0，π]上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)．故选D.6．(2020·湖北宜昌一中模拟)已知函数f(x)＝12x 3＋ax ＋4，则“a>0”是“f(x)在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 f ′(x)＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x)≥0恒成立，故“a>0”是“f(x)在R 上单调递增”的充分不必要条件．故选A.7．(2019·四川双流中学)若f(x)＝x 3－ax 2＋1在(1，3)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，3] B.⎣⎡⎭⎫92，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫3，92 D ．(0，3)答案 B解析 因为函数f(x)＝x 3－ax 2＋1在(1，3)上单调递减，所以f ′(x)＝3x 2－2ax ≤0在(1，3)上恒成立，即a ≥32x 在(1，3)上恒成立．因为32<92，所以a ≥92.故选B.8．若函数y ＝a(x 3－x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－33，33，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞0 B ．－1＜a ＜0 C ．a ＞1 D ．0＜a ＜1答案 A解析 y ′＝a(3x 2－1)＝3a ⎝⎛⎭⎫x －33⎝⎛⎭⎫x ＋33， 若函数y ＝a(x 3－x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－33，33， 则当x ∈⎝⎛⎭⎫－33，33时，y ′＜0，∵⎝⎛⎭⎫x －33⎝⎛⎭⎫x ＋33＜0，∴a ＞0. 9．f ′(x)是f(x)的导函数，若f ′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )答案 C解析 由导函数的图象可知，当x<0时，f ′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0<x<x 1时，f ′(x)<0，即函数f(x)为减函数；当x>x 1时，f ′(x)>0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知C 正确．故选C.10．(2020·河北邯郸一中模拟)函数y ＝ln|x|x的图象大致是( )答案 C解析 易知函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除B.又当x>0时，y ＝lnxx ，y ′＝1－lnx x 2，当x ∈(0，e)时，y ′>0，当x ∈(e ，＋∞)时，y ′<0，所以函数y ＝ln|x|x在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，排除A 、D.故选C.11．若函数f(x)＝kx －lnx 在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞) D ．[1，＋∞)答案 D解析 因为f(x)＝kx －lnx ，所以f ′(x)＝k －1x.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，f ′(x)＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以0<1x <1，所以k ≥1.故选D.12．(2019·合肥一中模拟)函数f(x)在定义域R 内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)·f ′(x)<0，设a ＝f(0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f(3)，则( ) A ．a<b<c B ．c<a<b C ．c<b<a D ．b<c<a答案 B解析 由f(x)＝f(2－x)，可得对称轴为x ＝1， 故f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝f(－1)．又x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x)<0，可知f ′(x)>0.即f(x)在(－∞，1)上单调递增，f(－1)<f(0)<f ⎝⎛⎭⎫12，即c<a<b.13．(2020·湖北荆州质检)函数f(x)＝lnx －12x 2－x ＋5的单调递增区间为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，再由f ′(x)＝1x －x －1>0可解得0<x<5－12.14．已知函数f(x)＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1(k>0)的单调递减区间是(0，4)． (1)实数k 的值为________；(2)若f(x)在(0，4)上为减函数，则实数k 的取值范围是________． 答案 (1)13(2)⎝⎛⎦⎤0，13 解析 (1)f ′(x)＝3kx 2＋6(k －1)x ，由题意知f ′(4)＝0，解得k ＝13.(2)由f ′(x)＝3kx 2＋6(k －1)x ≤0并结合导函数的图象可知，必有－2（k －1）k ≥4，解得k ≤13.又k>0，故0<k ≤13.15．函数f(x)＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上单调递减，求实数a 的取值范围． 答案 ⎣⎡⎭⎫103，＋∞解析 方法一：f ′(x)＝x 2－ax ＋1.∵f(x)在⎝⎛⎭⎫12，3上单调递减， ∴f ′(x)≤0在⎝⎛⎭⎫12，3上恒成立， 即x 2－ax ＋1≤0在⎝⎛⎭⎫12，3上恒成立， ∴ax ≥x 2＋1，∴a ≥⎝⎛⎭⎫x ＋1x max.令g(x)＝x ＋1x ，g(x)在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减，在(1，3)上单调递增． 当x ＝3时，g(3)＝103>g ⎝⎛⎭⎫12＝52，∴a ≥103.方法二：由题意f ′(x)＝x 2－ax ＋1，∵函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎫12，3上单调递减，∴f ′(x)≤0在区间⎝⎛⎭⎫12，3上恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎫12≤0，f ′（3）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧14－12a ＋1≤0，9－3a ＋1≤0，解得a ≥103，∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫103，＋∞.方法三：f ′(x)＝x 2－ax ＋1，Δ＝a 2－4， ①a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，f ′(x)≥0恒成立， 此时f ′(x)单调递增．②a 2－4>0即a>2或a<－2时， 令f ′(x)<0，此时a －a 2－42<x<a ＋a 2－42， ∴f(x)的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42. 由题意⎝⎛⎭⎫12，3⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －a 2－42≤12，a ＋a 2－42≥3，解得a ≥103.16．设函数f(x)＝x(e x －1)－ax 2. (1)若a ＝12，求f(x)的单调区间；(2)若当x ≥0时f(x)≥0，求a 的取值范围．答案 (1)单调递增区间为(－∞，－1]，[0，＋∞)，单调递减区间为(－1，0) (2)(－∞，1]解析 (1)当a ＝12时，f(x)＝x(e x －1)－12x 2，f ′(x)＝e x －1＋xe x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1]时，f ′(x)＞0；当x ∈(－1，0)时，f ′(x)＜0；当x ∈[0，＋∞)时，f ′(x)＞0. 故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在(－1，0)上单调递减． (2)f(x)＝x(e x －1－ax)．令g(x)＝e x －1－ax ，则g ′(x)＝e x －a.若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x)＞0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x ≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.若a ＞1，则当x ∈(0，lna)时，g ′(x)＜0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x ∈(0，lna)时g(x)<0，即f(x)<0.综上得a 的取值范围为(－∞，1]． 17．(2018·天津)已知函数f(x)＝a x ，g(x)＝log a x ，其中a>1. (1)求函数h(x)＝f(x)－xlna 的单调区间；(2)若曲线y ＝f(x)在点(x 1，f(x 1))处的切线与曲线y ＝g(x)在点(x 2，g(x 2))处的切线平行，证明x 1＋g(x 2)＝－2lnlnalna.答案 (1)h(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞) (2)略 解析 (1)由已知，h(x)＝a x －xlna ，有h ′(x)＝a x lna －lna. 令h ′(x)＝0，解得x ＝0.由a>1，可知当x 变化时，h ′(x)，h(x)的变化情况如下表：所以函数h(x)(2)证明：由f ′(x)＝a x lna ，可得曲线y ＝f(x)在点(x 1，f(x 1))处的切线斜率为ax 1lna.由g ′(x)＝1xlna，可得曲线y ＝g(x)在点(x 2，g(x 2))处的切线斜率为1x 2lna.因为这两条切线平行，故有ax 1lna ＝1，即x2ax1(lna)2＝1，两边取以a为底的对数，得log a x2＋x1＋2log a lna＝0，所以x1＋g(x2) x2lna＝－2lnlnalna.。

2021届河北衡水金卷新高考原创预测试卷（十七）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单选题1. 函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（ ） A. ()1,0- B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()1,2【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在原理求出每个区间端点的函数值即可选出正确答案.【详解】311(1)(1)()302f --=--=-<，301(0)0()102f =-=-<，13211112()()()022282f =-=-<，31111(1)1()10222f =-=-=>， 321115(2)2()80222f =-=-=>，由()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本题考查了零点存在原理，考查了数学运算能力.2. 垃圾分类是一种新时尚，沈阳市为推进这项工作的实施，开展了“垃圾分类进小区”的评比活动.现对沈阳市甲、乙两个小区进行评比，从中各随机选出20户家庭进行评比打分，每户成绩满分为100分.评分后得到如下茎叶图.通过茎叶图比较甲、乙两个小区得分的平均值及方差大小（ ）A. x x <甲乙，22s s <甲乙 B. x x >甲乙，22s s <甲乙 C. x x <甲乙，22s s >甲乙D. x x >甲乙，22s s >甲乙【答案】C 【解析】 【分析】根据茎叶图数据分布，比较最小值与最大值以及中间数值可以确定平均值大小，根据数据分布集中情况确定方差大小，即可选择.【详解】因为甲的最大值比乙小，甲的最小值比乙小，甲的中间数值没乙的中间数值大，所以x x <甲乙；因为甲数据没有乙的数据集中，所以22s s >甲乙.故选：C【点睛】本题考查根据茎叶图判断平均值与方差大小，考查基本分析判断能力，属基础题.3. 已知复数z 在复平面中对应的点(,)x y 满足22(1)1x y -+=，则|(22)|z i -+的最大值是（ ）12+D. 2【答案】B 【解析】 【分析】|(22)|z i -+转化为圆22(1)1x y -+=上的点(,)x y 与点()2,2的距离，利用圆心到直线的距离可得答案.【详解】解：|(22)|z i -+的几何意义为圆22(1)1x y -+=上的点(,)x y 与点()2,2的距离，则max |(22)|1z i -+=.故选：B.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查圆上一点到定点的距离最值问题，是基础题. 4. 已知正项等比数列{}n a 中，354a a =，且467,1,a a a +成等差数列，则该数列公比q 为（ ） A.14B.12C. 2D. 4【答案】C 【解析】 【分析】结合等差中项的性质，将已知条件转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值.【详解】由于467,1,a a a +成等差数列，所以()64721a a a +=+，所以()64735214a a a a a ⎧+=+⎨=⎩，即()5361112411214a q a q a q a q a q ⎧+=+⎪⎨⋅=⎪⎩，解得11,24a q ==.故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查等差中项的性质，属于基础题.5. 已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值A. (–1,3)B. (–1,3)C. (0,3)D. (0,3)【答案】A 【解析】 由题意知：双曲线的焦点在x轴上，所以2324m n mn ++-=，解得21m=，因为方程21231xnyn+--=表示双曲线，所以{1030n n +>->，解得{13n n >-<，所以n 的取值范围是(1,3)-，故选A ．【考点】双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c 而不是c,这一点易出错.6. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(2,4)N -的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）（附：()2~,X Nμσ则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=．）A. 906B. 340C. 2718D. 3413【答案】B 【解析】由正态分布曲线的特点，数形结合可得落入阴影部分的概率，乘以10000可得答案. 【详解】解：∵()2~,4X N -， ∴阴影部分的面积11(02)[(62)(40)](0.95450.6827) 0.135922S P X P x P x =≤≤=-≤≤--≤≤=-=，则在正方形中随机投一点，该点落在阴影内的概率为0.13594P =，∴落入阴影部分的点的个数的估计值为0.135910000339.753404⨯=≈. 故选：B.【点睛】本题考查正态分布曲线的特点，数形结合是解决问题的关键，属基础题.7. 设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞和0,1x x ==处函数的特征即可确定函数图像.【详解】函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在1x =处取得极大值，∴当1x >时，()0f x '<；当1x =时，()0f x '=；当1x <时，()0f x '>.0x ∴<时，()0y xf x '=->，01x <<时，()0y xf x '=-<，当0x=或1x=时，()0y xf x'=-=；当1x>时，()0xf x'->.故选：B【点睛】根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度.8. 若x，y满足约束条件40,20,20,x yxx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y=+的最大值为26a+，则a的取值范围是（）A. [1,)-+∞ B. (,1]-∞- C. (1,)-+∞ D. (,1)-∞-【答案】A【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a的范围即可．【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y=+的最大值为26a+，所以z ax y=+在点(2,6)A处取得最大值，则1a-≤，即1a≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．9. 已知实数0x>,0y>，则“224x y+≤”是“1xy≤”的（）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断.【详解】22x y +≥且224x y+≤ ，422x y ∴≤⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又x y +≥，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.故选:C【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.10. 如果将函数y x x =+的图象向右平移02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位得到函数3sin cos (0)y x a x a =+<的图象，则tan θ的值为（ ）A. 2B.12C.13D. 3【答案】A 【解析】 【分析】先根据左右平移不改变最值求得a ，再根据平移规律列θ等量关系，最后根据两角差正切公式解得结果.2101a a a ==<∴=-因为)4y x x x π==+，向右平移θ个单位得到)cos()sin sin()cos 444y x x x πππθθθ=-+=--，而3sin cos 3sin cos y x a x x x =+=-，cos()sin()144ππθθ-=-=-，即1tan()43πθ-=- 从而11()3)]tan ta 211()3n[(44ππθθ--+-==-=-故选：A【点睛】本题考查三角函数图象变换以及两角差正切公式，考查综合分析求解能力，属中档题.11. 过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，(1,2)Q ，若111||||4AB CD +=，则||||PF PQ +的最小值是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=，由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，从而得到()2||21AB p k =+，同理可得21||2(1)CD p k=+，再利用111||||4AB CD +=求得p 的值，当Q ，P ，M 三点共线时，即可得答案. 【详解】根据题意，可知抛物线的焦点为(0,)2p，则直线AB 的斜率存在且不为0， 设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=. 由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，所以()2||21AB p k=+.又直线CD 的方程为12p y x k =-+，同理21||2(1)CD p k=+， 所以221111111||||2(1)242(1)AB C p k p kD p +=+==++，所以24p =.故24x y =.过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足， 则由抛物线的定义可得||||PF PM =.所以||||||||||3PF PQ PM PQ MQ +=+≥=，当Q ，P ，M 三点共线时，等号成立. 故选：C.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件. 12. 如图，矩形ABCD 中，2,AB AD E =为边AB 的中点，将ADE ∆直线DE 翻转成1(A DE A ∆∉平面ABCD )，若,M O 分别为线段1,A C DE 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A. 与平面1A DE 垂直的直线必与直线MB 垂直B. 异面直线BM 与1A E 所成角是定值C. 一定存在某个位置，使DE MO ⊥D. 三棱锥1A ADE -外接球半径与棱AD 的长之比为定值 【答案】C 【解析】【详解】取DC 中点N ，连MN,NB,则1/?/,//MN A D NB DE ， 所以平面/?/MNB 平面1A DE ，即/?/MB 平面1A DE ，A 正确； 取1A D 的中点为F,连接MF,EF ，则平面BEFM 是平行四边形， 所以1A EF ∠为异面直线BM 与1A E 所成角，故B 正确；A 关于直线DE 对称点N ，则DE ⊥平面1A AN ，即过O 与DE 垂直的直线在平面1A AN 上，故C 错误；三棱锥1A ADE-外接球的半径为2AD，故D正确.故选C.二、填空题13. 已知单位向量a与向量()1,2b=方向相同，则向量a的坐标是______.【答案】5555⎛⎫⎪⎪⎝⎭【解析】【分析】设向量(),a x y=，由条件列方程组求解.【详解】设向量(),a x y=，则2212x yx y⎧+=⎨=⎩，解得525xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或525xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由于向量a与向量b 方向相同，所以525,55a⎛=⎝⎭.故答案为：5555⎛⎫⎪⎪⎝⎭【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，意在考查基本公式和计算，属于基础题型.14. 已知等差数列{}n a的前n项和为n S，且1310a a+=，972S=.数列{}n b中，12b=，12n nb b+=-.则72020a b=________.【答案】10-【解析】【分析】先根据条件解得等差数列{}n a 公差与首项，即得7a ；再根据12n n b b +=-解得{}n b 通项公式，即得2020b ，最后求积得结果. 【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，则由1310a a +=，972S =得112210,93672a d a d +=+=，1714,1610a d a a d ∴==∴=+= 112222n n n n n n b b b b b b ++++=-∴=-∴=因为12b =，所以1222020211b b b b =-⇒=-∴=-7202010a b ∴=-故答案为：10-【点睛】本题考查等差数列通项公式以及由递推关系求通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.15. 若35()(2)x y x y a +-+的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母x 且x 的次数为1的项的系数为___________. 【答案】0 【解析】 【分析】取1x y ==，计算得到1a =，再利用二项式定理计算系数得到答案.【详解】取1x y ==，则35()(2)x y x y a +-+的展开式中各项系数的和为：()5321256a ⨯+=.故1a =，则()()3355()(2)21x y x y x y x y a +-+=+-+，()3x y +的展开式：313m m m m T C x y -+=；()521x y -+的展开式：()()51521nnnn T C x y -+=-+取2,5m n ==得到：()5225351C xy C y ⋅-+，取1y =得到系数为0； 取3,4m n ==得到：()43343521C y C x y ⋅⋅-+，取1y =得到系数为0；综上所述：该展开式中含字母x 且x 的次数为1的项的系数为0。

专题层级快练(三十)1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c)，然后给出了三种测量方案： ①测量A ，C ，b ；②测量a ，b ，C ；③测量A ，B ，a ，则一定能确定A ，B 间的距离的方案的序号为()A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③答案 D解析 由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB.故选D.2.(2019·广东中山上学期期末)如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为()A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m答案 A解析 由题意，得B ＝30°.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝ACsinB，∴AB ＝AC·sin ∠ACB sinB ＝50×2212＝50 2 (m)．故选A.3．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为( ) A ．1千米 B ．2sin10° 千米 C ．2cos10° 千米 D ．cos20° 千米 答案 C解析 由题意知DC ＝BC ＝1，∠BCD ＝160°，∴BD 2＝DC 2＋CB 2－2DC·CB·cos160°＝1＋1－2×1×1·cos(180°－20°)＝2＋2cos20°＝4cos 210°，∴BD ＝2cos10°.4.(2019·湖南师大附中月考)如图所示，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝( ) A ．5 6 B ．15 3 C ．5 2 D ．15 6答案 D解析 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－45°＝135°.由正弦定理得BC sin30°＝30sin135°，所以BC ＝15 2.在Rt △ABC 中，AB ＝BCtan ∠ACB ＝152×3＝15 6.故选D.5．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A ．50 m B ．100 m C ．120 m D ．150 m 答案 A解析 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得(3h)2＝h 2＋1002－2·h·100·cos60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.6.(2014·课标全国Ⅰ)如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°.从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m. 答案 150解析 在△ABC 中，AC ＝1002，在△MAC 中，MA sin60°＝AC sin45°，解得MA ＝1003，在△MNA中，MN1003＝sin60°＝32，故MN＝150，即山高MN为150 m.7．(2020·江西南昌市模拟)某高一学习小组为测出一绿化区域的面积，进行了一些测量工作，最后将此绿化区域近似地看成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，AB＝2 km，BC＝1 km，∠BAD＝45°，∠B＝60°，∠BCD＝105°，则该绿化区域的面积是________km2.答案6－34解析如图，连接AC，由余弦定理可知AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝ 3 km，故∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAC＝∠DCA＝15°，∠ADC＝150°.由正弦定理，得ACsin∠ADC＝ADsin∠DCA，即AD＝AC×sin∠DCAsin∠ADC＝3×6－2412＝32－62(km)，故S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝12×1×3＋12×⎝⎛⎭⎪⎫32－622×12＝6－34(km2)．8．(2020·河北唐山摸底)一艘海监船在某海域实施巡航监视，由A岛向正北方向行驶80海里到M处，然后沿东偏南30°方向行驶50海里至N处，再沿南偏东30°方向行驶303海里至B岛，则A，B两岛之间的距离是________海里．答案70解析在△AMN中，由余弦定理得AN2＝AM2＋MN2－2AM·MN·cos∠AMN∴AN＝70.cos∠MAN＝AM2＋AN2－MN22AM·AN＝1114.∴cos∠ANB＝cos(30°＋∠MAN)＝3314.∴由余弦定理得AB ＝AN 2＋NB 2－2·AN·NB·cos ∠ANB ，代数得AB ＝70.∴在△ANB 中，AB ＝70.9．(2020·衡水中学调研)衡水市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC ，△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D.(1)求AB 的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)？较低造价为多少？(3＝1.732，2＝1.414) 答案 (1)7米(2)小李的设计建造费用较低，为86 600元解析 (1)在△ABC 中，由余弦定理，得cosC ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB 22×8×5.①在△ABD 中，由余弦定理，得cosD ＝72＋72－AB 22×7×7.②由∠C ＝∠D ，得cosC ＝cosD. ∴AB ＝7，∴AB 长为7米．(2)小李的设计建造费用较低，理由如下： S △ABD ＝12AD ·BD ·sinD ，S △ABC ＝12AC ·BC ·sinC.∵AD ·BD>AC ·BC ，∴S △ABD >S △ABC . 故选择△ABC 建造环境标志费用较低．∵AD ＝BD ＝AB ＝7，∴△ABD 是等边三角形，∠D ＝60°.∴S △ABC ＝103＝10×1.732＝17.32. ∴总造价为5 000×17.32＝86 600(元)．10．(2020·上海市徐汇区模拟)如图，某快递小哥从A 地出发，沿小路AB →BC 送快件到C 处，平均速度为20公里/时，已知BD ＝10公里，∠DCB ＝45°，∠CDB ＝30°，△ABD 是等腰三角形，∠ABD ＝120°. (1)试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C 处？(2)快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD →DC 追赶，若汽车平均速度为60公里/时，问汽车能否先到达C 处？ 答案 (1)不能 (2)能解析 (1)由题意知，AB ＝10公里，在△BCD 中，由BD sin45°＝BCsin30°，得BC ＝52(公里)，快递小哥行走的路程为AB ＋BC ＝10＋52(公里)， 其需要的时间t ＝10＋5220×60≈51.21(分)，因为51.21>50，所以快递小哥不能在50分钟内将快件送到C 处．(2)在△ABD 中，由AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ×BD ×cos120°＝102＋102－2×10×10×⎝⎛⎭⎫－12＝300，得AD ＝103(公里)，在△BCD 中，∠CBD ＝105°，由CD sin105°＝52sin30°，得CD ＝5(1＋3)(公里)，则汽车到达C 处所需时间t ′＝103＋5（1＋3）60×60＋15＝20＋153≈45.98(分)，因为45.98<51.21，所以汽车能先到达C 处．。

题组层级快练(十二)1．(2020·河北献县一中月考)函数y ＝x|x|的图象经描点确定后的形状大致是( )答案 D 2．函数y ＝1－1x －1的图象是( )答案 B解析 方法一：y ＝1－1x －1的图象可以看成由y ＝－1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得到的．方法二：由于x ≠1，故排除C 、D.又函数在(－∞，1)和(1，＋∞)上均为增函数，排除A ，所以选B. 3．下列函数f(x)图象中，满足f ⎝⎛⎭⎫14>f(3)>f(2)的只可能是( )答案 D解析 因为f ⎝⎛⎭⎫14>f(3)>f(2)，所以函数f(x)有增有减，不选A 、B.又C 中，f ⎝⎛⎭⎫14<f(0)＝1，f(3)>f(0)，即f ⎝⎛⎭⎫14<f(3)，所以不选C ，选D.4．(2020·济南市质量评估)函数y ＝x 28－ln|x|的图象大致为( )答案 D解析 令f(x)＝y ＝x 28－ln|x|，则f(－x)＝f(x)，故函数为偶函数，排除选项B ；当x>0且x →0时，y →＋∞，排除选项A ；当x ＝22时，y ＝1－ln22<1－lne ＝0，排除选项C.故选D. 5．(2019·山东师大附中月考)函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )答案 A解析 易探索知x ＝2和x ＝4是函数的两个零点，故排除B 、C ；再结合y ＝2x 与y ＝x 2的变化趋势，可知当x →－∞时，0<2x <1，而x 2→＋∞，因此2x －x 2→－∞，故排除D ，选A.6．设a ＜b ，函数y ＝(x －a)2(x －b)的图象可能是( )答案 C解析 由解析式可知，当x ＞b 时，f(x)＞0，由此可以排除A 、B 选项．又当x ≤b 时，f(x)≤0，从而可以排除D.故本题选C.7．(2018·课标全国Ⅱ)函数f(x)＝e x －e －x x 2的图象大致为( )答案 B解析 因为f(－x)＝e －x －e x（－x ）2＝－e x －e －xx 2＝－f(x)(x ≠0)，所以f(x)是定义域上的奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点(0，0)中心对称，排除选项A ；因为f(1)＝e －1e >2，所以排除选项C 、D.故选B.8．已知lga ＋lgb ＝0，函数f(x)＝a x 与函数g(x)＝－log b x 的图象可能是( )答案 B解析 ∵lga ＋lgb ＝0，∴lgab ＝0，ab ＝1，∴b ＝1a.∴g(x)＝－log b x ＝log a x ，∴函数f(x)与g(x)互为反函数，图象关于直线y ＝x 对称，故选B. 9．(2019·衡水中学调研卷)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lgx 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 答案 C解析 ∵y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1.∴选C.10．函数f(x)＝4x －12x 的图象关于( )A ．原点对称B ．直线y ＝x 对称C ．直线y ＝－x 对称D ．y 轴对称答案 A解析 由题意可知，函数f(x)的定义域为R ，且f(x)＝4x －12x ＝2x －2－x ，f(－x)＝2－x －2x ＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选A.11．现有四个函数①y ＝x·sinx ，②y ＝x·cosx ，③y ＝x ·|cosx|，④y ＝x·2x 的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①答案 A解析 ①y ＝x·sinx 在定义域上是偶函数，其图象关于y 轴对称；②y ＝x·cosx 在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称；③y ＝x·|cosx|在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称，且当x>0时，其函数值y ≥0；④y ＝x·2x 在定义域上为非奇非偶函数，且当x>0时，其函数值y>0，且当x<0时，其函数值y<0.故选A.12．(2018·课标全国Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )答案 D解析 方法一：易得函数y ＝－x 4＋x 2＋2为偶函数，y ′＝－4x 3＋2x ＝－2x(2x ＋1)(2x －1)，令y ′>0，即2x(2x ＋1)(2x －1)<0，解得x<－22或0<x<22，所以当y ′<0时，－22<x<0或x>22，所以函数y ＝－x 4＋x 2＋2在⎝⎛⎭⎫－∞，－22，⎝⎛⎭⎫0，22上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－22，0，⎝⎛⎭⎫22，＋∞上单调递减，故选D. 方法二：令x ＝0，则y ＝2，排除A 、B ；令x ＝12，则y ＝－116＋14＋2＝316＋2，排除C.故选D.13．(2018·浙江)函数y ＝2|x|sin2x 的图象可能是( )答案 D解析 设f(x)＝2|x|sin2x ，其定义域关于坐标原点对称，又f(－x)＝2|－x|·sin(－2x)＝－f(x)，所以y ＝f(x)是奇函数，故排除A 、B ；令f(x)＝0，所以sin2x ＝0，所以2x ＝k π(k ∈Z )，所以x ＝k π2(k ∈Z )，故排除C ，故选D.14．(2015·安徽)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，则a 的值为________． 答案 －12解析 函数y ＝|x －a|－1的大致图象如图所示，∴若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，只需2a ＝－1，可得a ＝－12.15．设函数f(x)，g(x)的定义域分别为F ，G ，且FG.若对任意的x ∈F ，都有g(x)＝f(x)，则称g(x)为f(x)在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫12x(x ≤0)，若g(x)为f(x)在R 上的一个延拓函数，且g(x)是偶函数，则函数g(x)的解析式为________． 答案 g(x)＝2|x|解析 画出函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫12x(x ≤0)的图象关于y 轴对称的这部分图象，即可得到偶函数g(x)的图象，由图可知，函数g(x)的解析式为g(x)＝2|x|. 16．已知函数f(x)＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x 的方程f(x)－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． 答案 (1)单调递增区间[1，2]，[3，＋∞)；单调递减区间(－∞，1]，[2，3] (2)⎣⎡⎦⎤－1，－34 解析 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2－1，x ∈（－∞，1]∪[3，＋∞），－（x －2）2＋1，x ∈（1，3）.作出图象如图所示．(1)单调递增区间为[1，2]，[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1]，[2，3]．(2)原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象，如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1，0)时，a ＝－1； 当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a ，y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0.由Δ＝9－4(3＋a)＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈⎣⎡⎦⎤－1，－34时方程至少有三个不等实根．。