上海市嘉定区封浜高中2019-2020学年高一下学期期末考试试题 数学【含答案】

2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数，则（）A. B. C. D. 5【答案】C【解析】【分析】根据复数模的定义直接求解即可.【详解】故选：C【点睛】本题考查复数模，考查基本求解能力，属基础题.2. 数据1，2，3，4，5，6的60%分位数为（）A. 3B. 3.5C. 3.6D. 4【答案】D【解析】【分析】根据一组数据的百分位数定义，求出对应的数值即可.【详解】由660%=3.6，所以数据1，2，3，4，5，6的60%分位数是第四个数，故选：D【点睛】本题考查分位数的定义与计算，属于简单题.3. 设为所在平面内一点，且，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由可知,然后利用向量的加法和减法法则运算即可得到答案.【详解】由可知,则故选：A【点睛】本题考查向量加法，减法法则的应用，属于基础题.4. 若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据侧面积得到母线长，再计算，计算体积得到答案.【详解】设圆锥母线长为，则侧面积为，故.故圆锥的高，圆锥体积为.故选：C.【点睛】本题考查了圆锥的侧面积和体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.5. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据斜二测画法原图与直观图面积的关系，求得原平面图形的面积.【详解】在斜二测画法中，设原图面积为，直观图面积为，则.依题意，所以原平面图形的面积.故选：B【点睛】本小题主要考查斜二测画法的有关计算.6. 甲、乙、丙、丁四位同学的身高各不相同，从这四位同学中随机抽出三人排成一排，则抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出从甲、乙、丙、丁四位同学中随机抽出三人排成一排的基本事件总数，再求出抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置包含的基本事件个数，利用古典概型公式计算可得出答案．【详解】从甲、乙、丙、丁四位同学中随机抽出三人排成一排，基本事件总数为抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置包含的基本事件个数为则抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置的概率为故选：B【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7. 如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则四棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先确定四棱锥的高，再根据锥体体积公式求结果.【详解】取中点连接,因为正三棱柱，所以为正三角形，所以,因为正三棱柱，所以平面平面，因此平面，从而四棱锥的体积为,故选：D【点睛】本题考查锥体体积、线面垂直，考查基本分析求解能力，属基础题.8. 在中，，，，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用已知条件得到，再利用诱导公式和二倍角公式得到，又，可得；已知，可以根据正弦定理求出的长度，再根据三角形的面积公式，即可得出结果.【详解】由题意得：，，又，，，，，，由正弦定理得，，即，，为锐角，，，.故选：A.【点睛】本题主要考查了解三角形的相关内容，主要包括诱导公式，二倍角公式以及正弦定理和三角形的面积公式.属于中档题.二、多项选择题：本大题共4个小题.9. 下列命题中，正确的是（）A. 复数的模总是非负数B. 复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C. 如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D. 相等的向量对应着相等的复数【答案】ABD【解析】【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A，，故A正确．对于B，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B正确．对于B，复数对应的向量为，且对于平面内的任一向量，其对应的复数为，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B正确．对于C，如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C错．对于D，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D正确．故选：ABD．【点睛】本题考查复数几何意义，注意复数对应的向量的坐标为，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．10. 2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌.花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，则7个有效评分与9个原始评分相比，可能变化的数字特征是（）A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】BCD【解析】【分析】根据中位数、平均数、方差、极差概念逐一辨析即可选择.【详解】因为7个有效评分是9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，所以中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化，所以变化的数字特征是平均数、方差、极差，故选：BCD【点睛】本题考查中位数、平均数、方差、极差概念，考查基本辨析能力，属基础题.11. 设向量，满足，且，则以下结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可.【详解】，且,平方得，即，可得，故A正确；，可得，故B错误；，可得，故C正确；由可得，故D错误;故选：AC【点睛】本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.12. 如图，矩形中，，为边的中点.将沿直线翻折成（点不落在底面内），若在线段上（点与，不重合），则在翻转过程中，以下命题正确的是（）A. 存在某个位置，使B. 存在点，使得平面成立C. 存在点，使得平面成立D. 四棱锥体积最大值为【答案】CD【解析】【分析】利用反证法可得A、B错误，取为的中点，取的中点为，连接，可证明平面，当平面平面时，四棱锥体积最大值，利用公式可求得此时体积为.【详解】如图（1），取的中点为，连接，则，，故，故即．若，因为，故，而，故平面，因为平面，故，矛盾，故A错．若平面，因为平面，故，因为，，故平面，因为平面，故，但，矛盾，故B错．当平面平面时，四棱锥体积最大值，由前述证明可知，而平面平面，平面，故平面，因为为等腰直角三角形，，故，又四边形的面积为，故此时体积为，故D正确．对于C，如图（2），取为的中点，取的中点为，连接，则，而，故即四边形为平行四边形，故，因为平面，平面，故平面，故C正确．故选：CD.【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不成立，往往需要利用反证法来处理，本题属于难题.三、填空题：本大题共4小题.13. 复数______.【答案】【解析】【分析】利用复数除法运算进行化简，由此求得正确结果.【详解】依题意，原式故答案为：【点睛】本小题主要考查复数除法运算，属于基础题.14. 若正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则它的外接球的体积为____________．【答案】.【解析】试题分析：通过分析可知，正方体的外接球的直径是正方体的对角线长为，由球的体积公式可得，外接球体积为.考点：球的体积.15. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，10，12，8.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为______.【答案】2【解析】【分析】利用平均数和方差列方程，解方程求得，由此求得的值.【详解】依题意，解得或，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查平均数和方差的计算，属于基础题.16. 在平面直角坐标系中，已知向量，，.若，则______；若存在两个不同的值，使得恒成立，则实数的取值范围为______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）由向量共线得，则，即可得；（2）计算得，则，，由条件可转化得在上有两个不同的解，故可得的取值范围.【详解】（1）由向量共线得，则，又，则；（2）计算得，则，又存在两个不同的值，使得恒成立，则在上有两个不同的解，令，令，则，如图：所以有.故答案为：（1）；（2）【点睛】本题考查向量共线，向量数量积的坐标运算，三角函数的性质，考查了函数与方程的关系，考查了转化与化归和数形结合的思想.四、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知复数满足，且的虚部为，在复平面内所对应的点在第四象限.（1）求；（2）若，在复平面上对应的点分别为，，为坐标原点，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设代数形式，根据解得；（2）先根据复数得向量坐标，再根据向量夹角公式得结果.【详解】（1）设：，因为：，所以，得或，又在复平面内所对应的点在第四象限，所以；（2），所以，，，，，所以，所以.【点睛】本题考查复数代数运算、复数概念、向量夹角公式，考查基本分析求解能力，属基础题.18. 已知向量，.（1）若，求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由数量积的坐标公式得，计算即得；（2）先算出，，再由夹角公式列方程，解方程即得结果.【详解】（1）因为，所以，即，得；（2），，，所以，整理得，得或【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，向量的夹角公式，考查学生的运算求解能力，属于基础题.19. 某城市100户居民的月平均用电量（单位：千瓦时），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图.（1）求直方图中的值；（2）在月平均用电量为，，的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？【答案】（1）0.0125；（2）3户.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程，能求出的值．（2）月平均用电量在，的用户有25户，月用电量在，的用户有15户，月平均用电量在，的用户有10户，求出抽取比例为，由此能求出月平均用电量在，的用户中应该抽取的户数．【详解】（1）由频率分布直方图得：，解得．（2）月平均用电量在，的用户有（户，月用电量在，的用户有（户，月平均用电量在，的用户有（户，抽取比例为：，月平均用电量在，的用户中应该抽取：（户．【点睛】本题考查频率、频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20. 如图，在三棱柱中，侧面是矩形，平面平面，是棱的中点.，.（1）求证：；（2）若是的中点，求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先证得，根据面面垂直的性质定理得到平面，由此证得.（2）通过构造面面平行的方法来证得平面.【详解】（1）因为，，所以三角形是等边三角形，由于是的中点，所以.因为平面平面且两个平面的交线为，所以平面，又平面，所以.（2）取中点，连结，.因为是的中点，是的中点，所以在中，，由于平面，平面，所以平面.又在三棱柱中，所以，即，且.所以四边形平行四边形，所以，由于平面，平面，所以平面.因为，所以平面平面，又平面.所以平面.【点睛】本小题主要考查线线垂直、线面平行的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21. 在平面四边形中，已知，.（1）若，求；（2）求.【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】(1)在中，利用余弦定理求出，进而在中求出；(2)在和中分别使用余弦定理表示，联立方程组可得出的值．【详解】(1)在中，，，，，得，所以，，；(2)在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，，得，所以为定值1.【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查学生数形结合思想和计算能力，属于基础题．22. 为进一步增强全市中小学学生和家长的防溺水安全意识，特在全市开展“防溺水安全教育”主题宣传活动.该市水利部门在水塘等危险水域设置警示标志，警示标志如下图所示.其中，，均为正方形，且，.其中，为加强支撑管.（1）若时，求到地面距离；（2）若记，求支撑管最长为多少？【答案】（1）米；（2）3米.【解析】【分析】（1）由勾股定理可得，再由三角形的面积公式计算可得到的距离，即可求解；（2）在中，分别应用余弦定理和正弦定理，以及辅助角公式和正弦函数的值域，即可求得其最大值，得到答案.【详解】（1）当时，，点离的距离，所以点离地面的距离为米；（2）在中，由于，利用余弦定理得，所以，设，在中，利用余弦定理得，所以，①在中，由正弦定理得，所以，②②代入①式得，其中，所以当时，最大，最大值为，所以加强钢管最长为3米.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数，则（）A. B. C. D. 5【答案】C【解析】【分析】根据复数模的定义直接求解即可.【详解】故选：C【点睛】本题考查复数模，考查基本求解能力，属基础题.2. 数据1，2，3，4，5，6的60%分位数为（）A. 3B. 3.5C. 3.6D. 4【答案】D【解析】【分析】根据一组数据的百分位数定义，求出对应的数值即可.【详解】由660%=3.6，所以数据1，2，3，4，5，6的60%分位数是第四个数，故选：D【点睛】本题考查分位数的定义与计算，属于简单题.3. 设为所在平面内一点，且，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由可知,然后利用向量的加法和减法法则运算即可得到答案.【详解】由可知,则故选：A【点睛】本题考查向量加法，减法法则的应用，属于基础题.4. 若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据侧面积得到母线长，再计算，计算体积得到答案.【详解】设圆锥母线长为，则侧面积为，故.故圆锥的高，圆锥体积为.故选：C.【点睛】本题考查了圆锥的侧面积和体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.5. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据斜二测画法原图与直观图面积的关系，求得原平面图形的面积.【详解】在斜二测画法中，设原图面积为，直观图面积为，则.依题意，所以原平面图形的面积.故选：B【点睛】本小题主要考查斜二测画法的有关计算.6. 甲、乙、丙、丁四位同学的身高各不相同，从这四位同学中随机抽出三人排成一排，则抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出从甲、乙、丙、丁四位同学中随机抽出三人排成一排的基本事件总数，再求出抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置包含的基本事件个数，利用古典概型公式计算可得出答案．【详解】从甲、乙、丙、丁四位同学中随机抽出三人排成一排，基本事件总数为抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置包含的基本事件个数为则抽出的三人中恰好身高最高的同学位于中间位置的概率为故选：B【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7. 如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则四棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先确定四棱锥的高，再根据锥体体积公式求结果.【详解】取中点连接,因为正三棱柱，所以为正三角形，所以,因为正三棱柱，所以平面平面，因此平面，从而四棱锥的体积为,故选：D【点睛】本题考查锥体体积、线面垂直，考查基本分析求解能力，属基础题.8. 在中，，，，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用已知条件得到，再利用诱导公式和二倍角公式得到，又，可得；已知，可以根据正弦定理求出的长度，再根据三角形的面积公式，即可得出结果.【详解】由题意得：，，又，，，，，，由正弦定理得，，即，，为锐角，，，.故选：A.【点睛】本题主要考查了解三角形的相关内容，主要包括诱导公式，二倍角公式以及正弦定理和三角形的面积公式.属于中档题.二、多项选择题：本大题共4个小题.9. 下列命题中，正确的是（）A. 复数的模总是非负数B. 复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C. 如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D. 相等的向量对应着相等的复数【答案】ABD【解析】【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A，，故A正确．对于B，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B正确．对于B，复数对应的向量为，且对于平面内的任一向量，其对应的复数为，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B 正确．对于C，如果复数对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C错．对于D，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D正确．故选：ABD．【点睛】本题考查复数几何意义，注意复数对应的向量的坐标为，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．10. 2020年2月8日，在韩国首尔举行的四大洲花样滑冰锦标赛双人自由滑比赛中，中国组合隋文静/韩聪以总分217.51分拿下四大洲赛冠军，这也是他们第六次获得四大洲冠军.中国另一对组合彭程/金杨以213.29分摘得银牌.花样滑冰锦标赛有9位评委进行评分，首先这9位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从9个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分，则7个有效评分与9个原始评分相比，可能变化的数字特征是（）A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】BCD【解析】【分析】根据中位数、平均数、方差、极差概念逐一辨析即可选择.【详解】因为7个有效评分是9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，所以中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化，所以变化的数字特征是平均数、方差、极差，故选：BCD【点睛】本题考查中位数、平均数、方差、极差概念，考查基本辨析能力，属基础题.11. 设向量，满足，且，则以下结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可.【详解】，且,平方得，即，可得，故A 正确；，可得，故B错误；，可得，故C正确；由可得，故D错误;故选：AC【点睛】本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.12. 如图，矩形中，，为边的中点.将沿直线翻折成（点不落在底面内），若在线段上（点与，不重合），则在翻转过程中，以下命题正确的是（）A. 存在某个位置，使B. 存在点，使得平面成立C. 存在点，使得平面成立D. 四棱锥体积最大值为【答案】CD【解析】【分析】利用反证法可得A、B错误，取为的中点，取的中点为，连接，可证明平面，当平面平面时，四棱锥体积最大值，利用公式可求得此时体积为.【详解】如图（1），取的中点为，连接，则，，故，故即．若，因为，故，而，故平面，因为平面，故，矛盾，故A错．若平面，因为平面，故，因为，，故平面，因为平面，故，但，矛盾，故B错．当平面平面时，四棱锥体积最大值，由前述证明可知，而平面平面，平面，故平面，因为为等腰直角三角形，，故，又四边形的面积为，故此时体积为，故D正确．对于C，如图（2），取为的中点，取的中点为，连接，则，而，故即四边形为平行四边形，故，因为平面，平面，故平面，故C正确．故选：CD.【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不成立，往往需要利用反证法来处理，本题属于难题.三、填空题：本大题共4小题.13. 复数______.【答案】【解析】【分析】利用复数除法运算进行化简，由此求得正确结果.【详解】依题意，原式故答案为：【点睛】本小题主要考查复数除法运算，属于基础题.14. 若正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则它的外接球的体积为____________．【答案】.【解析】试题分析：通过分析可知，正方体的外接球的直径是正方体的对角线长为，由球的体积公式可得，外接球体积为.考点：球的体积.15. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，10，12，8.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为______.【答案】2【解析】【分析】利用平均数和方差列方程，解方程求得，由此求得的值.【详解】依题意，解得或，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查平均数和方差的计算，属于基础题.16. 在平面直角坐标系中，已知向量，，.若，则______；若存在两个不同的值，使得恒成立，则实数的取值范围为______.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）由向量共线得，则，即可得；（2）计算得，则，，由条件可转化得在上有两个不同的解，故可得的取值范围.【详解】（1）由向量共线得，则，又，则；（2）计算得，则，又存在两个不同的值，使得恒成立，则在上有两个不同的解，令，令，则，如图：所以有.故答案为：（1）；（2）【点睛】本题考查向量共线，向量数量积的坐标运算，三角函数的性质，考查了函数与方程的关系，考查了转化与化归和数形结合的思想.四、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知复数满足，且的虚部为，在复平面内所对应的点在第四象限.（1）求；（2）若，在复平面上对应的点分别为，，为坐标原点，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设代数形式，根据解得；（2）先根据复数得向量坐标，再根据向量夹角公式得结果.【详解】（1）设：，因为：，所以，得或，又在复平面内所对应的点在第四象限，所以；（2），所以，，，，，所以，所以.【点睛】本题考查复数代数运算、复数概念、向量夹角公式，考查基本分析求解能力，属基础题.18. 已知向量，.（1）若，求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由数量积的坐标公式得，计算即得；（2）先算出，，再由夹角公式列方程，解方程即得结果.【详解】（1）因为，所以，即，得；（2），，，所以，整理得，得或【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，向量的夹角公式，考查学生的运算求解能力，属于基础题.19. 某城市100户居民的月平均用电量（单位：千瓦时），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图.（1）求直方图中的值；（2）在月平均用电量为，，的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？【答案】（1）0.0125；（2）3户.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程，能求出的值．（2）月平均用电量在，的用户有25户，月用电量在，的用户有15户，月平均用电量在，的用户有10户，求出抽取比例为，由此能求出月平均用电量在，的用户中应该抽取的户数．【详解】（1）由频率分布直方图得：，解得．（2）月平均用电量在，的用户有（户，。

2019-2020学年上海市嘉定区高一(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.3函数的图像大致是()A. B.C. D.2.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2cos2A+√3sin2A=2，b=2，S△ABC=√32，则a+b+csinA+sinB+sinC=()A. 14B. 12C. 2D. 43.用数学归纳法证明等式“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×……×(2n−1)”时，第二步“假设n=k(n∈N∗，且k≥1)时，等式成立，证明当n=k+1时等式也成立”的过程中，得到(k+2)(k+3)……(2k+2)=(k+1)(k+2)…(2k−1)⋅2k⋅A，其中A的表达式为()A. 2k+1B. 2(2k+1)C. 2D. 2k+24.以下命题：①在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直；②已知平面α，β的法向量分别为u⃗,v⃗，则α⊥β⇔u⃗⋅v⃗=0；③两条异面直线所成的角为θ，则0≤θ≤π2；④直线与平面所成的角为φ，则0≤φ≤π2．其中正确的命题是()A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5.下列四个命题中，正确的是______(写出所有正确命题的序号)①函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(2x)的定义域为[0,4]；②设集合A={−1,0，1}，B={−1,1}，则在A到B的所有映射中，偶函数共有4个；③不存在实数a，使函数f(x)=πax2+2ax+3的值域为(0,1]④函数f(x)=log12(x2−ax+3a)在[2,+∞)上是减函数，则−4<a≤4．6.已知α，β∈(0,π)，且cos(2α+β)−2cos(α+β)cosα=35，则sin2β=______ ．7.在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么，的值为．120.518.若函数(其中为常数且)，满足，则的解集是．9.cos15°sin30°cos75°sin150°的值等于______．10.设等差数列{a n}的前n项和为S n若a11−a8=3，S11−S8=3，则使a n>0的最小正整数n的______11.下列说法中：①函数y=√6−x2|x+3|−3为奇函数；②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；③函数y=2 1x的值域是(0,+∞)；④若函数f(2x)的定义域为[1,2]，则函数f(2x)的定义域为[1,2]；⑤函数y=lg(−x2+2x)的单调递增区间是(0,1]．其中正确的序号是______ .(填上所有正确命题的序号)12.已知sin(π3−α)=35，则cos(α+π6)=______．13.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式；弧田面积=12(弦×矢+矢 2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中，“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为2π3，半径等于4m 的弧田，则矢是______ m ，所得弧田面积是______ m 2． 14. 给出下列四个命题：①若|x −lgx|<x +|lgx|成立，则x >1； ②若p =a +1a−2(a >2)，q =(12)x2−2(x ∈R)，则p >q ，③已知|a ⃗ |=|b ⃗ |=2，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π3，则a ⃗ +b ⃗ 在a⃗ 上的投影为3； ④已知f(x)=asinx −bcosx ，(a,b ∈R)在x =π4处取得最小值，则f(3π2−x)=−f(x)． 其中正确命题的序号是______ .(把你认为正确的命题的序号都填上)15. 在△ABC 中，bcosC +ccosB =asinA ，则三角形ABC 的形状是______ ． 16. 已知等差数列{a n }的前n 项和S n =48，S 2n =60，则S 3n = ______ ． 三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 在△ ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，．(Ⅰ)若，求△ABC 面积的最大值；(Ⅱ)若△ABC 为钝角三角形，且，求的取值范围．18. 求值sin 2120°+cos180°+tan45°−cos 2(−330°)+sin(−210°)19. 计算下列各式的值：(1)log 4√8+lg50+lg2+5log 53+(−9.8)0； (2)(2764)23−(254)0.5+(0.008)−23×25．)．20. 已知函数f(x)=2sin(2x−π4(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间．]，求f(x)的值域．(2)若x∈[0,π221. 已知函数f(x)=log√2x，且数列{f(a n)}是首项为2，公差为2的等差数列．(1)求证：数列{a n}是等比数列；(2)设b n=a n⋅f(a n)，求数列{b n}的前n项和T n．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查指数函数的图象，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．解：由已知可得：，函数的定义域为R，排除A，D，当x>0时，函数单调递增，排除C．故选：B2.答案：C解析：解：根据2cos2A+√3sin2A=2，∴cos2A+√3sin2A=1，即2sin(2A+π6)=1∵0<A<π∴2A+π6=5π6，则A=π3．∵b=2，S△ABC=√32=12cbsinA，即c×2×12×√32=√32，∴c=1．余弦定理：a2=b2+c2−2bc⋅cosA=5−2=3得：a=√3．正弦定理，可得a+b+csinA+sinB+sinC =2R=asinA=√3sinπ3=2，故选：C．根据2cos2A+√3sin2A=2，利用二倍角公式，求解A，b=2，S△ABC=√32=12cbsinA，可得c，余弦定理即可求解a，正弦定理可得a+b+csinA+sinB+sinC=2R，即可求解．本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．3.答案：B解析：解：假设n=k(n∈N∗，且k≥1)时，等式成立，即(k+1)(k+2)…(k+k)=2k×1×3×……×(2k−1)，证明当n=k+1时等式也成立，得到(k+2)(k+3)…(2k+2)=(k+2)…(2k−1)⋅2k⋅(2k+1)⋅2(k+1)=(k+1)(k+2)…(2k−1)⋅(2k+1)⋅2k⋅2(2k+1)，故A=2(2k+1)．故选：B．取n=k+1时，需要出现归纳假设，因此要把最后的2k+2拆分为2(k+1)，把k+1拿到最前面，最后剩余2(2k+1)．本题考查利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，关键是证题过程要利用归纳假设，注意分析n= k+1时的变形，是中档题．4.答案：C解析：解：①在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直，根据三垂线定理可知正确；②已知平面α，β的法向量分别为u⃗,v⃗，则α⊥β⇔u⃗⋅v⃗=0，正确；③两条异面直线所成的角为θ，则0<θ≤π2，因此不正确；④直线与平面所成的角为φ，则0≤φ≤π2，正确．其中正确的命题是①②④．①根据三垂线定理可知正确；②利用面面垂直的判定与性质定理可得α⊥β⇔u⃗⋅v⃗=0；③利用异面直线所成的角定义可得：0<θ≤π2；④利用线面角的范围即可判断出正误．本题考查了三垂线定理、空间角的范围、面面垂直与法向量的关系，考查了推理能力与理解能力，属于基础题．5.答案：②③④解析：解：对于①，函数f(x)的定义域为[0,2]，0≤2x ≤2，则函数f(2x)的定义域为[0,1]，故错； 对于②，依题意可知f(−1)=f(1)，进而分值域中有1、2个元素进行讨论．当值域中只有一个元素时，此时满足题意的映射有2种，当值域中有两个元素时，此时满足题意的映射有2个，共有4个，故正确；对于③，若存在实数a ，使函数f(x)=πax 2+2ax+3的值域为(0,1]时，ax 2+2ax +3的值域为(−∞,0]，即{a <04a 2−12a =0，a ∈⌀，故正确； 对于④，函数f(x)=log 12(x 2−ax +3a)在[2,+∞)上是减函数，则令t =x 2−ax +3a ，则由函数f(x)=g(t)=log 12t 在区间[2,+∞)上为减函数，可得函数t 在区间[2,+∞)上为增函数且t(2)>0，解得−4<a ≤4，故正确． 故答案为：②③④①，函数f(x)的定义域为[0,2]，0≤2x ≤2，则函数f(2x)的定义域为[0,1]；②，依题意可知依题意可知f(−1)=f(1)，进而分值域中有1、2个元素进行讨论．当值域中只有一个元素时，此时满足题意的映射有2种，当值域中有两个元素时，此时满足题意的映射有2个； ③，若存在实数a ，使函数f(x)=πax 2+2ax+3的值域为(0,1]时，ax 2+2ax +3的值域为(−∞,0]，即{a <04a 2−12a =0，a ∈⌀； ④，令t =x 2−ax +3a ，则由函数f(x)=g(t)=log 12t 在区间[2,+∞)上为减函数，可得函数t 在区间[2,+∞)上为增函数且t(2)>0，解得a ．本题考查了命题真假的判定，涉及到函数的概念及性质，属于中档题．6.答案：−2425解析：解：cos(2α+β)−2cos(α+β)cosα=35， 得cos[(α+β)+α]−2cos(α+β)cosα=35，即cos(α+β)cosα−sin(α+β)sinα−2cos(α+β)cosα=35，∴−[cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα]=35，则−cosβ=35，cosβ=−35． 又β∈(0,π)，∴sinβ=45，则sin2β=2sinβcosβ=2×45×(−35)=−2425．故答案为：−2425．由已知利用拆角方法及两角和与差的余弦求得cosβ，再由同角三角函数的基本关系式结合角的范围求得sinβ，代入二倍角公式求得sin2β．本题考查三角函数的化简求值，考查两角和与差的余弦及倍角公式的应用，是基础的计算题．7.答案：1解析：试题分析：根据已知横行成等差数列，数列成等比数列及表格中所提供的数据可把每一表格的没一个数据求解出来，从而可求出x ，y ，z 的值即可.根据已知条件，由于表格中的数据满足，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则可知第一列的数字分别是：第二列的数字分别是，第三列的数字分别是，由此可得第四行的数字为，故可知x +y +z =1.故答案为1．考点：等差数列与等比数列的定义点评：本题是等差数列与等比数列的定义的最基本的应用，其关键是要根据表格中提供的数据求解出每一行及每一列中的数据，属于基础试题8.答案：解析：试题分析：函数定义域为，由，知函数为单调递减函数，所以.由知，满足：，解得．考点：1.不等式求解；2.对数的单调性；3.函数的定义域．9.答案：116解析：解：cos15°sin30°cos75°sin150°=cos15°sin30°sin15°sin30°=cos15°⋅12⋅sin15°⋅12=14⋅12sin30°=116， 故答案为：116．利用诱导公式、二倍角公式，化简所给的式子，可得结果． 本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．10.答案：10解析：解：设公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n 若a 11−a 8=3，S 11−S 8=3， 则{a 11−a 8=3a 9+a 10+a 11=3a 10=3，解得：a10=1，d=1，故：a n=a10+(n−10)=n−9，当a n>0的最小正整数n为10．故答案为：10直接利用等差数列的通项公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：等差数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.答案：①④⑤解析：本题考查了通过命题真假的判断，考查了函数的奇偶性，单调性以及求函数的定义域、值域的问题，是综合题目．①判断函数y=f(x)是定义域上的奇函数；②举例说明奇函数的图象不一定过直角坐标系的原点；③求出函数y=2 1x的值域；④当函数f(2x)的定义域为[1,2]时，求出函数f(2x)的定义域是什么；⑤求出函数y=lg(−x2+2x)的单调增区间是什么，即可得到答案，属于中档题．解：对于①，∵函数y=f(x)=√6−x2|x+3|−3的定义域是(−√6,0)∪(0,√6)，任取x∈(−√6,0)，则f(x)=√6−x2x+3−3=√6−x2x，−x∈(0,√6)，∴f(−x)=−f(x)；同理，x∈(0,√6)f(−x)=−f(x)，∴f(x)是定义域上的奇函数，①正确；对于②，奇函数的图象不一定通过直角坐标系的原点，如f(x)=1x是减函数，但在原点处无意义，∴②错误；对于③，∵x=0时，函数y=21x无意义，∴函数y=2 1x的值域是(0,1)∪(1,+∞)，∴③错误；对于④，当函数f(2x)的定义域为[1,2]时，2≤2x≤4，即2≤2x≤4，∴1≤x≤2，即函数f(2x)的定义域为[1,2]，④正确；对于⑤，∵函数y=lg(−x2+2x)的定义域是(0,2)，且x∈(0,1]时，函数y是增函数，∴函数y的单调增区间是(0,1]，⑤正确．综上，正确的命题序号是①④⑤．故答案为①④⑤．12.答案：35解析：解：∵sin(π3−α)=35，∴cos(α+π6)=cos[π2−(π3−α)]=sin(π3−α)=35， 故答案为：35由诱导公式可得cos(α+π6)=cos[π2−(π3−α)]=sin(π3−α)，代值可得． 本题考查诱导公式，整体法是解决问题的关键，属基础题．13.答案：2 4√3+2解析：解：如图所示，由题意可得：∠AOB =2π3，OA =4，在Rt △AOD 中，可得：∠AOD =π3，∠DAO =π6，OD =12AO =12×4=2， 可得：矢=4−2=2，由AD =AO ⋅sin π3=4×√32=2√3，可得：弦=2AD =4√3，所以：弧田面积=12(弦×矢+矢 2)=12×(4√3×2+22)=4√3+2． 故答案为：2，4√3+2．根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系求出矢和弦的值，代入公式计算求值即可． 本题考查了弧田面积计算问题，也考查了理解与运算能力，是数学运算核心素养的考查，属于基础题．14.答案：①③④解析：解：①若|x −lgx|<x +|lgx|成立，则{x >0lgx >0⇒x >1，①正确 ②p =a +1a−2=a −2+1a−2+2≥4(a >2)，q =(12)x2−2≤12−2=4，则p ≥q ，②错误③由|a ⃗ |=|b ⃗ |=2，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π3可得a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ 的夹角为投影为30°，根据投影的定义可得，a ⃗ +b ⃗ 在a⃗ 上的投影为 |a ⃗ +b ⃗ |cos30°=2√3×√32=3，③正确。

上海封浜高级中学高一数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则的值域是A ．（0，1）B ．C ．D ．参考答案：C2. 函数y=Asin （ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（ ）A ．y=2sin （2x+）B ．y=2sin （2x+）C ．y=2sin （﹣）D ．y=2sin （2x ﹣）参考答案：A【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据已知中函数y=Asin （ωx+?）在一个周期内的图象经过（﹣，2）和（﹣，2），我们易分析出函数的最大值、最小值、周期，然后可以求出A ，ω，φ值后，即可得到函数y=Asin （ωx+?）的解析式．【解答】解：由已知可得函数y=Asin （ωx+?）的图象经过（﹣，2）点和（﹣，2）则A=2，T=π即ω=2则函数的解析式可化为y=2sin （2x+?），将（﹣，2）代入得﹣+?=+2kπ，k∈Z， 即φ=+2kπ，k∈Z，当k=0时，φ=此时故选A【点评】本题考查的知识点是由函数y=Asin （ωx+?）的部分图象确定其解析式，其中A=|最大值﹣最小值|，|ω|=，φ=L?ω（L 是函数图象在一个周期内的第一点的向左平移量）．3. 根据表中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（ ）A ．（－参考答案：C4. 一项实验中获得的一组关于变量y ，t 之间的数据整理后得到如图所示的散点图．下列函数中可以 近视刻画y 与t 之间关系的最佳选择是( )A ．y=a tB ．y=log a tC ．y=at 3D ．y=a参考答案：B【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】可以判断各选项中的函数的增长速度的大小关系，增长速度相近的是B和D，都显然小于A，C的增长速度，从而来判断B，D应选哪个：若用y=log a t刻画时，根据第一个点（2，1）容易求出a=2，从而可以判断（4，2），（8，3），（16，4）这几个点都满足函数y=log2t，这便说明用该函数刻画是可以的，而同样的方法可以说明不能用D选项的函数来刻画．【解答】解：各选项函数的增长速度的大小关系为：y=a t和y=at3的增长速度显然大于的增长速度，现判断是函数y=log a t和中的哪一个：（1）若用函数y=log a t刻画：由图看出1=log a2，∴a=2；∴log24=2，log28=3，log216=4；显然满足图形上几点的坐标；∴用y=log a t刻画是可以的；（2）若用函数y=a刻画：由1=a得，；∴，而由图看出t=8时，y=3；∴不能用函数来刻画．故选B．【点评】考查函数散点图的概念，清楚指数函数，对数函数和幂函数的增长速度的关系，清楚本题各选项中函数的图象，待定系数求函数解析式的方法，通过几个特殊点来验证一个函数解析式能否来反映散点图中两个变量关系的方法．5. △ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a=，b=，B=45°，则角C的大小为（）A．15° B．75° C．15°或75°D．60°或120°参考答案：C【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得sinA=，结合范围A∈（45°，180°），可求A，利用三角形内角和定理可求C 的值．【解答】解：∵a=，b=，B=45°，∴由正弦定理可得：sinA===，∵A∈（45°，180°），∴A=60°，或120°，∴C=180°﹣A﹣B=15°或75°．故选：C．6. 执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A. B.C. D.参考答案：D【分析】根据循环确定求和，再根据等比数列求和公式得结果.【详解】由图知输出的结果．故选D.【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 7. 若函数的定义域为[0，m]，值域为，则m 的取值范围是A. （0，2]B.C.D.参考答案：C 略8. 函数f （x ）=（A ＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则=（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】根据图象，求出A ，ω，φ，再求出相应的函数值． 【解答】解：由题意，可得A=2，T=π，∴ω=2，∵=2， =﹣2，∴φ=，∴f （x ）=．∴==﹣2，故选D ．9. 已知全集，，，，则集合C =（ ）．A ．B ．C ．D ．参考答案：B解:∵全集，，，∴，∴．故选．10. 在直角坐标系中，直线的倾斜角是（ ）A ．B ．C ．D ．参考答案： D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若幂函数的图象经过点，那么这个函数的解析式是．参考答案：12. 已知为等差数列，若，则。

上海市嘉定区封浜高中2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（满分100分，答题时间90分钟）一.填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题3分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．已知一个扇形的半径为4，圆心角大小为2弧度，则扇形的弧长为 ． 2．已知点(3,4)P -在角α的终边上，则sin α= ． 3．已知193x +=，则x= ．4．函数π()2sin(2)3f x x =+的最小正周期是 ．5．已知在等差数列{}n a 中，首项11a =，公差2d =，则10a = ． 6．已知{}n a 是等比数列，12a =，414a =，则公比q = ． 7．函数π()sin()3f x x =-的单调递增区间是 ．8．已知)sin(5cos 4sin 3ϕ+=-x x x ，则tan ϕ= ．9．已知数列{}n a 的前n 项和为32-+=n n S n ，则数列{}n a 的通项公式=n a ．10．已知等比数列{}n a 的前n 项和4nn S a =+，则a = ．11．已知某等腰三角形一个底角的余弦值为32，则这个三角形顶角的大小为_____ ________（结果用反三角表示）．12．曲线)0,0(sin >>+=ωωA k x A y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ωπ2,0上截直线4=y 和6-=y 所得弦长相等且不为0，则参数k 和A 要同时满足 ．二.选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．“4πα=”是“sin 2α=”的……………………………………………………（ ）． （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件14．在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点3455⎛⎫⎪⎝⎭，，则tan(π)θ+的值为…………………………………………………………………………………………（ ）． （A ）34（B ）34-（C ）43（D ）43-15．数列{}n a 成等比数列的充要条件是……………………………………………………（ ）．（A ）q q a a n n (1=+为常数） （B ）0221≠=++n n n a a a （C ）q qa a n n (11-=为常数） （D ）21++=n n n a a a16．已知函数sin()y A x ωϕ=+,(0,0,)2A πωϕ>><的图象如下图所示，则该函数的解析式是……………………………………………………………………………………（ ）．（A ）2π2sin 76y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （B ）2π2sin 76y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（C ）π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （D ）π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭三．解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．(本题满分8分）.解关于x 的方程222log (4)log (1)1log (1)x x x ++-=++．18．(本题满分10分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分.数列{}n a 中，)(12,1*11N n a a a n n ∈+==+．（1）证明：数列{}1+n a 为等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式n a ．19．(本题满分10分）本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分. 已知常数a ∈R ，函数2()sin 22cos f x a x x =+，x ∈R ． （1）当1a =时，求函数()f x 的值域； （2）若()f x 为偶函数，求a 的值．20．(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.如图所示，某货轮在A 处看到灯塔B 、C 分别在货轮的北偏东75︒和北偏西30︒的位置，其中A 、B 相距126海里，A 、C 相距83海里，当货轮由A 处向正北方向航行到D 处时，此时灯塔B 在货轮的北偏东120︒的位置． （1）求货轮从A 行驶到D 处的距离； （2）求灯塔C 与D 处的距离．21.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分. 定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．（1）若2n n a =(*n ∈N )，试举反例说明数列{}n a 不是T 数列；（2）若27n b n n =-+ (*n ∈N )，证明：数列{}n b 是T 数列．2019学年第二学期高一年级测试 数学试题 2020.06.（满分100分，答题时间90分钟）学生注意：1． 本试卷包括试题纸和答题纸两部分．2． 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3． 可使用符合规定的计算器答题．一.填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题3分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．已知一个扇形的半径为4，圆心角大小为2弧度，则扇形的弧长为 ．8 2．已知点(3,4)P -在角α的终边上，则sin α= ．4sin 5α= 3．已知193x +=，则x= ．14．函数π()2sin(2)3f x x =+的最小正周期是 ．π5．已知在等差数列{}n a 中，首项11a =，公差2d =，则10a = ．19 6．已知{}n a 是等比数列，12a =，414a =，则公比q = ．21 7．函数π()sin()3f x x =-的单调递增区间是 ．π5π2π,2π,66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 8．已知)sin(5cos 4sin 3ϕ+=-x x x ，则tan ϕ= ．43-9．已知数列{}n a 的前n 项和为32-+=n n S n ，则数列{}n a 的通项公式=n a ．1(1)2(2)n n a n n -=⎧=⎨≥⎩10．已知等比数列{}n a 的前n 项和4nn S a =+，则a = ．1-11．已知某等腰三角形一个底角的余弦值为32，则这个三角形顶角的大小为_____ ________（结果用反三角表示）．954arcsin或（91arccos ） 12．曲线)0,0(sin >>+=ωωA k x A y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ωπ2,0上截直线4=y 和6-=y 所得弦长相等且不为0，则参数k 和A 要同时满足 ． 5,1>-=A k二.选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分. 13．“4πα=”是“sin α=A ）． （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件14．在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点3455⎛⎫⎪⎝⎭，，则tan(π)θ+的值为……………………………………………………………………（ C ）． （A ）34（B ）34-（C ）43（D ）43-15．数列{}n a 成等比数列的充要条件是 …………………………………（ B ）．（A ）q q a a n n (1=+为常数） （B ）0221≠=++n n n a a a （C ）q qa a n n (11-=为常数） （D ）21++=n n n a a a16．已知函数sin()y A x ωϕ=+,(0,0,)2A πωϕ>><的图象如下图所示，则该函数的解析式是 …………………………………………………………………（ D ）．（A ）2π2sin 76y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （B ）2π2sin 76y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（C ）π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （D ）π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭三．解答题（本大题满分52分）本大题共有5区域内写出必要的步骤. 17．(本题满分8分）.解关于x 的方程222log (4)log (1)1log (1)x x x ++-=++． 解：222log (4)log (1)1log (1)x x x ++-=++4010110x x x x +>⎧⎪∴->⇒>⎨⎪+>⎩…………………………………………………………2分 又22log (4)(1)log 2(1)x x x +-=+…………………………………………4分 即(4)(1)2(1)x x x +-=+……………………………………………………6分23()x x ∴==-或舍即方程的解为2x = …………………………………………………………8分 18．(本题满分10分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分.数列{}n a 中，)(12,1*11N n a a a n n ∈+==+．（1）证明：数列{}1+n a 为等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式n a ． 解：（1）21112111*=+++=++∈+n n n n a a a a N n 时为常数，………………………4分∴数列{}1+n a 是首项为2公比为2的等比数列．…………………………………6分（2）因为数列{}1+n a 是首项为2公比为2的等比数列，…………………………8分所以n n a 21=+，即12-=nn a ． …………………………………………………10分.19．(本题满分10分）本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分. 已知常数a ∈R ，函数2()sin 22cos f x a x x =+，x ∈R ． （1）当1a =时，求函数()f x 的值域； （2）若()f x 为偶函数，求a 的值．解：(1) 当1a =时，2()sin 22cos f x a x x =+2πsin 22cos sin 2cos 212sin(2)14x x x x x =+=++=++………………………3分又x ∈R ，所以()221f x ⎡⎤∈-+⎣⎦+1，………………………………………………4分（2）2()sin 22cos f x a x x =+为偶函数即22()()sin(2)2cos ()sin 22cos f x f x a x x a x x -=⇒-+-=+……………………6分22sin 22cos sin 22cos a x x a x x ∴-+=+………………………………………………8分即2sin 20a x =对一切x ∈R 成立，所以0a =…………………………………………10分20．(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.如图所示，某货轮在A 处看到灯塔B 、C 分别在货轮的北偏东75︒和北偏西30︒的位置，其中A 、B 相距126海里，A 、C 相距83海里，当货轮由A 处向正北方向航行到D 处时，此时灯塔B 在货轮的北偏东120︒的位置． （1）求货轮从A 行驶到D 处的距离； （2）求灯塔C 与D 处的距离．解：(1)在△ABD 中，60ADB ∠=︒，45B =︒，126AB =……………………………2分由正弦定理得2126sin 224sin 3AB BAD ADB⨯===∠(海里)．…………………5分A 处与D处的距离是24海里； ……………………………………………………6分(2)在△ADC 中，由余弦定理，得2222cos CD AD AC AD AC CAD =+-⋅∠………………………………………8分即(22224224CD =+-⨯⨯所以CD =海里)．……………………………………………………………11分∴灯塔C 与D 处的距离为海里. ……………………………………………12分21.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分. 定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．（1）若2n n a =(*n ∈N )，试举反例说明数列{}n a 不是T 数列；（2）若27n b n n =-+ (*n ∈N )，证明：数列{}n b 是T 数列．解：（1）若2nn a =，取12a =、24a = 、38a =，则1352a a +=即1322a aa +> 所以数列{}n a 不是T 数列．（也可以举其它反例）……………………………………6分（2）由27n b n n =-+，得：2222127(2)7(2)2(1)14(1)20n n n b b b n n n n n n +++-=-+-+++++-+=-≤即212n n n b b b +++≤所以数列{}n b 满足212n n n b b b +++≤． ……………………………………………9分 又274924n b n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当3n =或4n =时，n b 取得最大值12，即12n b ≤，故存在常数12M =，使得n b M ≤综上，数列{}n b 是T 数列．………………………………………………………12分。

2023-2024学年上海市嘉定区封浜高级中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z=4−i3−5i(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点所在的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知a=(1,2)，向量b为单位向量，(a+b)⋅a=4，则cos〈a,b〉=( )A. 55B. −55C. 15D. −153.函数y=2sinx−cosx(x∈R)的最小正周期为( )A. 2πB. πC. 3π2D. π24.下列关于平面基向量的说法中，正确的是( )①平面内不平行的任意两个向量都可以作为一组基向量；②基向量中的向量可以是零向量；③平面内基向量一旦确定，该平面内的向量关于基向量的线性分解形式是唯一确定的．A. ①B. ②C. ①、③D. ②、③二、填空题：本题共12小题，共54分。

5.AB+BA=______．6.已知a=(1,2)，b=(1,3)，则a⋅b=______．7.已知复数z1=1+3i，z2=3+2i，则z1−z2在复平面内对应的点位于第______象限．8.已知关于x的实系数二次方程x2+bx+c=0的一根为1−i(其中i是虚数单位)，则b+c=______．9.正方体ABCD−A1B1C1D1中，异面直线AB与DC1所成角的大小为______．10.已知a=(1,0)，b=(3,4)，则向量a在向量b方向上的投影向量为______(用坐标表示)．11.给出下列命题：①书桌面是平面；②平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点；③如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.正确的是______(填写序号)．12.已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下列四个说法：①m//n，m⊥α，n⊥β⇒α//β；②α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n；③m⊥n，m//α⇒n//α；④α//β，m//n ，m ⊥α⇒n ⊥β，其中正确的序号是______．13.已知复数z 满足|z−1+2i|=1，则|z|的最小值为______．14.已知向量a =(1,1),b =(2,−1)，若a +b 与2a +λb 的夹角为锐角，其中λ∈R ，则λ的取值范围是______．15.将函数y =3cos(2x +π3)的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度后，所得函数为奇函数，则φ= ______．16.如图，在四面体A−BCD 中，AC =2,BD = 2,AC 与BD 所成的角为45°，M ，N分别为AB ，CD 的中点，则线段MN 的长为______．三、解答题：本题共5小题，共78分。

上海市2019-2020学年高一下期末检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，若a α⊥，b β⊥，//αβ，则下列三个结论：①//a b 、②a b ⊥、③a β⊥．其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】【分析】根据题意，a α⊥，b β⊥，//αβ，则有b α⊥，因此//a b ，a β⊥，不难判断.【详解】因为a α⊥，b β⊥，//αβ，则有b α⊥，所以//a b ，a β⊥，所以①正确，②不正确，③正确，则其中正确命题的个数为2.故选C【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间推理能力，属于简单题.2．问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会. 方法：Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法.其中问题与方法能配对的是( )A ．①Ⅰ，②ⅡB ．①Ⅲ，②ⅠC ．①Ⅱ，②ⅢD ．①Ⅲ，②Ⅱ 【答案】B【解析】解：（1）中由于小区中各个家庭收入水平之间存在明显差别故（1）要采用分层抽样的方法（2）中由于总体数目不多，而样本容量不大故（2）要采用简单随机抽样故问题和方法配对正确的是：（1）Ⅲ（2）Ⅰ．故选B ．3．已知a b <，则下列不等式成立的是（ ）A ．11a b >B ．a b <C ．22a b <D ．33a b <【答案】D【解析】【分析】利用排除法，取3a =-，2b =，可排除错误选项，再结合函数3y x =的单调性，可证明D 正确.【详解】取3a =-，2b =，可排除A ，B ，C ，由函数3y x =是R 上的增函数，又a b <，所以33a b <，即选项D 正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生的推理论证能力，属于基础题.4．已知数列{}{},n n a b 满足11a =，且1,n n a a +是函数2()2n n f x x b x =-+的两个零点，则10b 等于（ ） A ．24B ．32C ．48D ．64【答案】D【解析】 试题分析：依题意可知，1n n n a a b ++=，12n n n a a +⋅=，1122n n n a a +++⋅=，所以12212n n n n n na a a a a a ++++⋅==⋅.即22n n a a +=，故312a a =，53124a a a ==，75128a a a ==，971216a a a ==.11a =，所以916a =，又可知9910102512,32a a a ⋅==∴=.1010111121024,32a a a ⋅==∴=,故10101164b a a =+=.考点：函数的零点、数列的递推公式5．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】 试题分析：根据题意，甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20min ，在乙地休息10min 后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min ，那么可知先是匀速运动，图像为直线，然后再休息，路程不变，那么可知时间持续10min ，那么最后还是同样的匀速运动，直线的斜率不变可知选D. 考点：函数图像点评：主要是考查了路程与时间的函数图像的运用，属于基础题．6．若a b ，是函数()()200f x x px q p q =-+>>，的两个不同的零点，且2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ）A ．1B ．5C ．9D ．4【答案】C【解析】试题分析：由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4=b a ．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=． 考点：等差中项和等比中项．7．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】先求出基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，由此能求出在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率．【详解】∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，∴基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，则在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率P = 故选：C【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，是基础题．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，686a a +=，963S S -=，则使n S 取得最大值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】【分析】 由题意求得数列的通项公式为172n a n =-，令0n a ≥，解得182n ≤+，即可得到答案. 【详解】由题意，根据等差数列的性质，可得68726a a a +==，即73a =又由96789833S S a a a a -=++==，即81a =，所以等差数列的公差为872d a a =-=-，又由7116123a a d a =+=-=，解得115a =， 所以数列的通项公式为1(1)15(1)(2)172n a a n d n n =+-=+-⨯-=-，令1720n a n =-≥，解得182n ≤+， 所以使得n S 取得最大值时n 的值为8，故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及前n 项和最值问题，其中解答中熟记等差数列的性质和通项公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．圆()()22215x y -++=关于原点对称的圆的方程为( )A ．()()22215x y -+-=B ．()()22125x y ++-=C ．()()22125x y -++=D ．()()22215x y ++-= 【答案】D【解析】【分析】根据已知圆的方程可得其圆心()2,1-，进而可求得其关于原点对称点，利用圆的标准方程即可求解.【详解】由圆()()22215x y -++=，则圆心为()2,1-，半径r =圆心为()2,1-关于原点对称点为()2,1-，所以圆()()22215x y -++=关于原点对称的圆的方程为()()22215x y ++-=.故选：D【点睛】本题考查了根据圆心与半径求圆的标准方程，属于基础题.10．直线210x ay +-=与平行，则a 的值为( ) A ．12 B ．12或0 C ．0 D ．－2或0 【答案】A【解析】【分析】若直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=平行,则1()2(1)0a a a ⨯---=,解出a 值后,验证两条直线是否重合,可得答案.【详解】若直线210x ay +-=与(1)10a x ay --+=平行,则1()2(1)0a a a ⨯---=,解得0a =或12a =, 又0a =时,直线10x -=与10x -+=表示同一条直线, 故12a =, 故选A.本题考查的知识点是直线的一般式方程,直线的平行关系,正确理解直线平行的几何意义是解答的关键. 11．设R a ∈，若关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[]1,2上有解，则（ ）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤ 【答案】D【解析】【分析】根据题意得不等式对应的二次函数()21f x x ax =-+开口向上，分别讨论0,0,0∆=∆>∆<三种情况即可．【详解】由题意得：当02a ∆=⇒=±当()()22052251020222a a a a f f a a ⎧->⎧⎪⇒⇒<-<≤⎨⎨≥≥≤≤⎩⎪⎩或或或或 当022a ∆<⇒-<<综上所述：52a ≤,选D. 【点睛】 本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围．解这类题通常分三种情况：0,0,0∆=∆>∆<．有时还需要结合韦达定理进行解决．12．已知两条直线m ，n ，两个平面α，β，下列命题正确是（ ）A ．m ∥n ，m ∥α⇒n ∥αB ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥nC ．α⊥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ⊥nD ．α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β 【答案】D【解析】【分析】在A 中，n ∥α或n ⊂α；在B 中，m 与n 平行或异面；在C 中，m 与n 相交、平行或异面；在D 中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β． 【详解】由两条直线m ，n ，两个平面α，β，知：在A 中，m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α或n ⊂α，故A 错误； 在B 中，α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m 与n 平行或异面，故B 错误； 在C 中，α⊥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m 与n 相交、平行或异面，故C 错误； 在D 中，由线面垂直的判定定理得：α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β，故D 正确． 故选：D ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若53a =,392S =,则5S =______. 【答案】10【解析】【分析】将5a 和3S 用首项和公差表示，解方程组，求出首项和公式，利用公式求解5S .【详解】设该数列的公差为d ，由题可知： ()1143932a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故5151010S a d =+=.故答案为：10.【点睛】本题考查由基本量计算等差数列的通项公式以及前n 项和，属基础题.14．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n =-，则其通项公式n a =__________．【答案】0,121,2n n n =⎧⎨-≥⎩【解析】分析：先根据和项与通项关系得当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，再检验，1n =时，1a 不满足上述式子，所以结果用分段函数表示.详解： ∵已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，∴当1n =时，110a S ==，当2n ≥时，222211[(1)1](1)21n n n a S S n n n n n -=-=----=--=-，经检验，1n =时，1a 不满足上述式子，故数列{}n a 的通项公式0,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩． 点睛：给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a . 应用关系式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.15．已知直线20ax y +-=平分圆22(1)()4x y a -+-=的周长，则实数a =________．【答案】1【解析】【分析】由题得圆心在直线上，解方程即得解.【详解】由题得圆心（1，a ）在直线20ax y +-=上，所以20,1a a a +-=∴=.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.16．已知3sin()45πθ-=，则sin 2θ的值为______ 【答案】725 【解析】【分析】根据两角差的正弦公式，化简3sin()cos 4225πθθθ-=-=，解出sin cos θθ-的值，再平方，即可求解.【详解】由题意，可知3sin()45πθθθ-=-=，sin cos θθ∴-=1812sin cos 25θθ-= 72sin cos 25θθ∴=则7sin 225θ=故答案为：725【点睛】本题考查三角函数常用公式()2sin cos 12sin cos θθθθ-=-关系转换，属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项正确）1. 从1，2，3，4，5中随机取出二个不同的数，其和为奇数的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】从1,2,3,4，5中随机取出二个不同的数共有：（1,2）、（1,3）、（1,4）、（1,5）（2，3）、（2，4）、（2,5）、（3,4）、（3，5）、（4,5）10种；其中和为奇数的有：（1,2）、（1,4）（2，3）、（2,5）（3,4）（4,5）6种，所以所求概率为．故选C2. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（）A. 9B. 10C. 12D. 13【答案】D【解析】试题分析：：∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60，∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，丙车间生产产品所占的比例，因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的，所以样本容量n=3÷=13．考点：分层抽样方法3.若（）A. B. C. D.【答案】D【解析】故.【考点定位】本题主要考查基本不等式的应用及指数不等式的解法，属于简单题.4.在等差数列中，已知，，则公差d为（）A. -2B. 2C. 4D. -4【答案】B【解析】【分析】根据通项公式列出方程组，解之即得．【详解】由题意，解得．故选：B．【点睛】本题考查等差数列的基本量运算，利用通项公式列方程组求解是最基本的方法．5.不等式x2＋ax＋4＜0的解集不为空集，则a的取值范围是（）A. ［－4，4］B. （－4，4）C. （－∞，－4］∪［4，＋∞）D （－∞，－4）∪（4，＋∞）【答案】D【解析】【详解】不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a2－16>0，∴a<－4或a>4，故选D.6.已知为等比数列,,,则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由条件可得的值，进而由和可得解.【详解】或.由等比数列性质可知或故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.7.已知向量，不共线，=+，=2-（λ-1），若∥，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据，不共线，以及∥，即可得出：存在k，使得，从而得出，从而解出λ即可．【详解】解：∵，不共线，以及∥∴存在k，使；即；由向量相等可知，解得故选C．【点睛】考查共面向量基本定理，和共线向量基本定理．8.在中，D在BC上，，设，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】转化为以为起点的向量表示，即可求解.【详解】，.故选：A.【点睛】本题考查向量的线性运算，以及向量基本定理，属于基础题.9.若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为A 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】作出满足约束条件的可行域如图所示．将目标函数z＝2x＋y化为y＝－2x＋z，平移直线y＝－2x，经过点A时，z取得最大．由得A(1,1)．∴zmax＝2×1＋1＝3.10.在锐角中，角所对的边长分别为.若（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：考点：正弦定理解三角形11.设不等式表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】试题分析：阴影部分的面积为：，正方形的面积为:,故选.考点：1、几何概型的计算，面积比【方法点晴】本题主要考查的是几何概型，属于中等题，由题作出所对应的图像，可得平面区域为如图所示的正方形区域，而区域内的任意点到原点的距离大于的区域为图中的阴影部分，由几何概型的公式可知概率即为面积之比，易得答案.【详解】12.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由已知，所以，因为数列的各项均为正，所以，．故选C．考点：等差数列与等比数列的性质．二、填空题（每题5分，共20分）13.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为_______．【答案】13【解析】分析】根据平均数的算法，可得，将乙班的学生成绩按从小到大的顺序排好序，以及中位数的概念，可得结果.【详解】观察茎叶图，甲班学生成绩的平均分是，故；乙班学生成绩的中位数是，故.∴．故答案为：13【点睛】本题主要根据茎叶图计算中位数与平均数，属基础题.14.若向量，，，则______________.【答案】【解析】【分析】由条件先求的值，再代入求值.【详解】解得：，.故答案为：【点睛】本题考查向量数量积，模计算，重点考查计算能力，属于基础题型.15.在等差数列中，，且，则的最大值是________.【答案】9【解析】【分析】由等差数列的性质得到，再根据基本不等式求的最大值.【详解】由等差数列的性质可知所以，那么，当时等号成立，所以的最大值是9.故答案为：9【点睛】本题考查等差数列的性质，基本不等式，属于基础题型.16.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点D测得水柱顶端的仰角为45°，沿点D向北偏东30°前进100 m到达点C，在C点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________米.【答案】50【解析】【分析】设，通过解直角三角形求得的长度（用来表示）.在三角形中用余弦定理列方程，解方程可求得的值.【详解】如图，AB为水柱，高度设为h，D在A的正西方向，C在D的北偏东30°方向.且CD＝100 m，∠ACB＝30°，∠ADB＝45°.在△ABD中，AD＝h，在△ABC中，AC＝h.在△ACD中，∠ADC＝60°，由余弦定理得cos60°＝，∴h＝50或－100(舍) .【点睛】本小题主要考查空间立体几何中的长度计算，考查解直角三角形的知识，考查利用余弦定理解三角形，考查了方程的思想，属于中档题.在解题过程中，首先要明确图形是一个例题图形，并且平面，所以三角形和三角形都是直角三角形.三、解答题.（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.演算步骤或证明过程.）17.设等差数列的前n项和为，若，，求此等差数列的首项和公差d.【答案】，.【解析】【分析】由条件列式求首项和公差.【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，解得：，.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题型. 18.在中，角，，所对的边分别为，，，且，.（1）若，求的值；（2）若的面积，求，的值.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）由平方关系以及正弦定理，即可得出的值；（2）由三角形面积公式以及余弦定理，即可得出，的值.【详解】（1）∵，且，∴.由正弦定理得，∴.（2）∵，所以由余弦定理得∴.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.19.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第个家庭的月收入（单位:千元）与月储蓄（单位:千元）的数据资料，计算得，，，.（1）求家庭的月储蓄关于月收入的线性回归方程，并判断变量与之间是正相关还是负相关；（2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.（注:线性回归方程中，，其中，为样本平均值.）【答案】（1），正相关（2）1.7千元【解析】【分析】（1）利用公式求出，，即可得出所求回归方程，再根据变量的值随的值增加而增加，可判断正相关还是负相关；（2）当时带入，即可预测该家庭的月储蓄．【详解】解：（1）由题意知，，，，由此得，所以，故所求回归方程为．由于变量的值随的值增加而增加，故与之间是正相关．（2）将代入回归方程，可得：（千元），可以预测该家庭的月储蓄为（千元）.【点睛】本题考查线性回归方程的求法，以及最小二乘法和变量间的相关关系，还考查计算能力．20.在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c,角A，B，C 成等差数列．⑴求的值；⑵边a，b，c成等比数列，求的值．【答案】(1) ;(2).【解析】（1）由已知,解得，所以（2）解法一：由已知，及，根据正弦定理得，所以解法二：由已知，及，根据余弦定理得，解得所以考点定位：本大题主要考查解三角形中的正弦定理或余弦定理的运用，以及运用三角公式进行三角变换的能力21. 参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：（1）求参加数学抽测的人数、抽测成绩的中位数及分数分别在，内的人数；（2）若从分数在内的学生中任选两人进行调研谈话，求恰好有一人分数在内的概率．【答案】（1）73,4,2;（2）．【解析】【详解】试题分析：（1）注意应用频率分布直方图中矩形的，；（2）设“在内的学生中任选两人，恰好有一人分数在内”为事件，将内的人编号为；内的人编号为在内的任取两人的基本事件为：共15个，其中，恰好有一人分数在内的基本事件有共8个.由古典概型概率的计算公式即得所求.试题解析：（1）分数在内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在内同样有人．由，得，茎叶图可知抽测成绩的中位数为．分数在之间的人数为参加数学竞赛人数，中位数为73，分数在、内的人数分别为人、人．（2）设“在内的学生中任选两人，恰好有一人分数在内”为事件，将内的人编号为；内的人编号为在内的任取两人的基本事件为：共15个其中，恰好有一人分数在内的基本事件有共8个，故所求概率得答：恰好有一人分数在内的概率为考点：茎叶图，频率分布直方图，古典概型.22.已知正项数列，其前n项和满足，且，，是等比数列的前三项.（1）求数列与的通项公式；（2）记，，求.【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】（1）由已知与的关系，利用得的递推关系，得数列是等差数列，由已知求出后，利用，，是等比数列的前三项确定，同时得；（2）用错位相减法求得．【详解】∵，∴，，解得或，又时，，，整理得，∵，∴，即，数列是等差数列，若，则，此时，，不成等比数列，不合题意；若，则，此时，，成等比数列，即，，∴．综上，；（2）由（1），则，两式相减得，∴．【点睛】本题考查由与的关系求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的通项公式，错位相减法求和．已知与的关系，一般由得出的递推关系，然后选择求通项公式的方法，解题时注意的值．错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法、倒序相加法是对一些特殊的数列的求和方法，注意掌握．2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项正确）1. 从1，2，3，4，5中随机取出二个不同的数，其和为奇数的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】从1,2,3,4，5中随机取出二个不同的数共有：（1,2）、（1,3）、（1,4）、（1,5）（2，3）、（2，4）、（2,5）、（3,4）、（3，5）、（4,5）10种；其中和为奇数的有：（1,2）、（1,4）（2，3）、（2,5）（3,4）（4,5）6种，所以所求概率为．故选C2. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（）A. 9B. 10C. 12D. 13【答案】D【解析】试题分析：：∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60，∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，丙车间生产产品所占的比例，因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的，所以样本容量n=3÷=13．考点：分层抽样方法3.若（）A. B. C. D.【答案】D【解析】故.【考点定位】本题主要考查基本不等式的应用及指数不等式的解法，属于简单题.4.在等差数列中，已知，，则公差d为（）A. -2B. 2C. 4D. -4【答案】B【解析】【分析】根据通项公式列出方程组，解之即得．【详解】由题意，解得．故选：B．【点睛】本题考查等差数列的基本量运算，利用通项公式列方程组求解是最基本的方法．5.不等式x2＋ax＋4＜0的解集不为空集，则a的取值范围是（）A. ［－4，4］B. （－4，4）C. （－∞，－4］∪［4，＋∞）D （－∞，－4）∪（4，＋∞）【答案】D【解析】【详解】不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a2－16>0，∴a<－4或a>4，故选D.6.已知为等比数列,,,则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由条件可得的值，进而由和可得解.【详解】或.由等比数列性质可知或故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.7.已知向量，不共线，=+，=2-（λ-1），若∥，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据，不共线，以及∥，即可得出：存在k，使得，从而得出，从而解出λ即可．【详解】解：∵，不共线，以及∥∴存在k，使；即；由向量相等可知，解得故选C．【点睛】考查共面向量基本定理，和共线向量基本定理．8.在中，D在BC上，，设，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】转化为以为起点的向量表示，即可求解.【详解】，.故选：A.【点睛】本题考查向量的线性运算，以及向量基本定理，属于基础题.9.若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为A 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】作出满足约束条件的可行域如图所示．将目标函数z＝2x＋y化为y＝－2x＋z，平移直线y＝－2x，经过点A时，z取得最大．由得A(1,1)．∴zmax＝2×1＋1＝3.10.在锐角中，角所对的边长分别为.若（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：考点：正弦定理解三角形11.设不等式表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】试题分析：阴影部分的面积为：，正方形的面积为:,故选.考点：1、几何概型的计算，面积比【方法点晴】本题主要考查的是几何概型，属于中等题，由题作出所对应的图像，可得平面区域为如图所示的正方形区域，而区域内的任意点到原点的距离大于的区域为图中的阴影部分，由几何概型的公式可知概率即为面积之比，易得答案.【详解】12.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由已知，所以，因为数列的各项均为正，所以，．故选C．考点：等差数列与等比数列的性质．二、填空题（每题5分，共20分）13.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为_______．【答案】13【解析】分析】根据平均数的算法，可得，将乙班的学生成绩按从小到大的顺序排好序，以及中位数的概念，可得结果.【详解】观察茎叶图，甲班学生成绩的平均分是，故；乙班学生成绩的中位数是，故.∴．故答案为：13【点睛】本题主要根据茎叶图计算中位数与平均数，属基础题.14.若向量，，，则______________.【答案】【解析】【分析】由条件先求的值，再代入求值.【详解】解得：，.故答案为：【点睛】本题考查向量数量积，模计算，重点考查计算能力，属于基础题型.15.在等差数列中，，且，则的最大值是________.【答案】9【解析】【分析】由等差数列的性质得到，再根据基本不等式求的最大值.【详解】由等差数列的性质可知所以，那么，当时等号成立，所以的最大值是9.故答案为：9【点睛】本题考查等差数列的性质，基本不等式，属于基础题型.16.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点D测得水柱顶端的仰角为45°，沿点D向北偏东30°前进100 m到达点C，在C点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________米.【答案】50【解析】【分析】设，通过解直角三角形求得的长度（用来表示）.在三角形中用余弦定理列方程，解方程可求得的值.【详解】如图，AB为水柱，高度设为h，D在A的正西方向，C在D的北偏东30°方向.且CD＝100 m，∠ACB＝30°，∠ADB＝45°.在△ABD中，AD＝h，在△ABC中，AC＝h.在△ACD中，∠ADC＝60°，由余弦定理得cos60°＝，∴h＝50或－100(舍) .【点睛】本小题主要考查空间立体几何中的长度计算，考查解直角三角形的知识，考查利用余弦定理解三角形，考查了方程的思想，属于中档题.在解题过程中，首先要明确图形是一个例题图形，并且平面，所以三角形和三角形都是直角三角形.三、解答题.（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.演算步骤或证明过程.）17.设等差数列的前n项和为，若，，求此等差数列的首项和公差d.【答案】，.【解析】【分析】由条件列式求首项和公差.【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，解得：，.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题型.18.在中，角，，所对的边分别为，，，且，.（1）若，求的值；（2）若的面积，求，的值.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）由平方关系以及正弦定理，即可得出的值；（2）由三角形面积公式以及余弦定理，即可得出，的值.【详解】（1）∵，且，∴.由正弦定理得，∴.（2）∵，所以由余弦定理得∴.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.19.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第个家庭的月收入（单位:千元）与月储蓄（单位:千元）的数据资料，计算得，，，.（1）求家庭的月储蓄关于月收入的线性回归方程，并判断变量与之间是正相关还是负相关；（2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.（注:线性回归方程中，，其中，为样本平均值.）【答案】（1），正相关（2）1.7千元【解析】【分析】（1）利用公式求出，，即可得出所求回归方程，再根据变量的值随的值增加而增加，可判断正相关还是负相关；（2）当时带入，即可预测该家庭的月储蓄．【详解】解：（1）由题意知，，，，由此得，所以，故所求回归方程为．由于变量的值随的值增加而增加，故与之间是正相关．（2）将代入回归方程，可得：（千元），可以预测该家庭的月储蓄为（千元）.【点睛】本题考查线性回归方程的求法，以及最小二乘法和变量间的相关关系，还考查计算能力．20.在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c,角A，B，C成等差数列．⑴求的值；⑵边a，b，c成等比数列，求的值．【答案】(1) ;(2).【解析】（1）由已知,解得，所以（2）解法一：由已知，及，根据正弦定理得，所以解法二：由已知，及，根据余弦定理得，解得所以考点定位：本大题主要考查解三角形中的正弦定理或余弦定理的运用，以及运用三角公式进行三角变换的能力21. 参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：（1）求参加数学抽测的人数、抽测成绩的中位数及分数分别在，内的人数；（2）若从分数在内的学生中任选两人进行调研谈话，求恰好有一人分数在内的概率．【答案】（1）73,4,2;（2）．【解析】【详解】试题分析：（1）注意应用频率分布直方图中矩形的，；（2）设“在内的学生中任选两人，恰好有一人分数在内”为事件，将内的人编号为；内的人编号为在内的任取两人的基本事件为：共15个，其中，恰好有一人分数在内的基本事件有共8个.由古典概型概率的计算公式即得所求.试题解析：（1）分数在内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在内同样有人．由，得，茎叶图可知抽测成绩的中位数为．分数在之间的人数为参加数学竞赛人数，中位数为73，分数在、内的人数分别为人、人．（2）设“在内的学生中任选两人，恰好有一人分数在内”为事件，将内的人编号为；内的人编号为在内的任取两人的基本事件为：共15个其中，恰好有一人分数在内的基本事件有共8个，故所求概率得答：恰好有一人分数在内的概率为考点：茎叶图，频率分布直方图，古典概型.22.已知正项数列，其前n项和满足，且，，是等比数列的前三项.（1）求数列与的通项公式；（2）记，，求.【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】（1）由已知与的关系，利用得的递推关系，得数列是等差数列，由已知求出后，利用，，是等比数列的前三项确定，同时得；（2）用错位相减法求得．【详解】∵，∴，，解得或，又时，，，整理得，∵，∴，即，数列是等差数列，若，则，此时，，不成等比数列，不合题意；若，则，此时，，成等比数列，即，，∴．综上，；（2）由（1），则，两式相减得，∴．【点睛】本题考查由与的关系求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的通项公式，错位相减法求和．已知与的关系，一般由得出的递推关系，然后选择求通项公式的方法，解题时注意的值．错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法、倒序相加法是对一些特殊的数列的求和方法，注意掌握．。

2020 学年上海市嘉定区高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共 4 小题，共12.0 分）1.是的（）A. 充足非必需条件B.必需非充足条件C. 充要条件D.既非充足又非必需条件【答案】 B【分析】由，得，而得，因此是的必需非充足条件 .应选B2. 设M和m分别表示函数的最大值和最小值，则M+m的值为（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】函数的最大值和最小值，∴ M+m的值为3. 若等差数列和等比数列知足，，A. B. C. 1 D.4【答案】 C【分析】【剖析】等差数列的公差设为 d 和等比数列的公比设为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d， q，计算可得所求值．【详解】等差数列的公差设为 d 和等比数列的公比设为q，由，，可得，可得，，则，应选： C．【点睛】此题考察等差数列、等比数列的通项公式和运用，考察方程思想和运算能力，属于基础题．4. 方程A. B.有两个负实数解，则C.的取值范囤为D.前三个都不正确【答案】B【分析】【剖析】化简可得或，从而议论以确立方程的根的个数，从而解得．【详解】，，或，若，则，其在上单一递减，因此,故当时，无解，当时，有一个解，当时，无解；若，则，时，，当时，有两个不一样解；当时，有一个解；综上所述， b 的取值范围为，应选： B．【点睛】函数的性责问题以及函数零点（方程）问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单一性、奇偶性、周期性以及对称性特别熟习；此外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点. ．二、填空题（本大题共12 小题，共36.0 分）5. 计算：______．【答案】【分析】【剖析】依据反正弦函数的定义，直接写出的值．【详解】，．故答案为：．【点睛】此题考察了反正弦函数的应用问题，是基础题．6. 若数列知足，，，则该数列的通项公式______．【答案】【分析】【剖析】判断数列是等比数列，而后求出通项公式．【详解】数列中，，，可得数列是等比数列，等比为3，．故答案为：．【点睛】此题考察等比数列的判断以及通项公式的求法，考察计算能力．7. 函数的最小正周期是______．【答案】【分析】【剖析】由二倍角的余弦函数公式化简分析式可得，依据三角函数的周期性及其求法即可得解．【详解】．由周期公式可得：．故答案为：【点睛】此题主要考察了二倍角的余弦函数公式的应用，考察了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考察．8. 方程的解为______．【答案】或【分析】【剖析】由指数函数的性质得，由此能求出结果．【详解】方程，，或，解得或．故答案为：或．【点睛】此题考察指数方程的解的求法，是基础题，解题时要仔细审题，注意指数函数的性质的合理运用．9. 已知角的终边经过点, 则的值为______【答案】【分析】角的终边经过点,则.答案为：.10. 方程的解集是______．【答案】【分析】【剖析】把，等价转变为，由此能求出x 即可．【详解】方程，可得，或（舍），．故答案为：．【点睛】此题考察三角方程的求法，注意余弦函数的值域，考察转变思想以及计算能力．11. 若函数与函数的最小正周期同样，则实数______．【答案】【分析】【剖析】求出两个函数的周期，利用周期相等，推出 a 的值．【详解】：函数的周期是；函数的最小正周期是：；由于周期同样，因此，解得故答案为：【点睛】此题是基础题，考察三角函数的周期的求法，考察计算能力．12. 在平行四边形中，已知，，，则该平行四边形的面积等于______．【答案】【分析】【剖析】由已知利用余弦定理可求BC的值，从而利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】，，，在三角形ABC顶用余弦定理：，可得：，解得：，面积．故答案为：．【点睛】此题主要考察了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考察了转变思想和数形联合思想的应用，属于基础题．13. 已知数列的前项和，则该等差数列的通项公式______ ．【答案】【分析】【剖析】由时，时，即可得解 .【详解】，时，．时，，对于上式也建立．．故答案为：．【点睛】给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转变为的递推关系，再求其通项公式；二是转变为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，必定要注意分两种状况，在求出结果后，看看这两种状况可否整合在一同. ．14. 已知等差数列，对于函数知足：，，是该等差数列的前项和，则______．【答案】 6054【分析】【剖析】由函数的分析式，利用函数奇偶性及单一性的性质，易判断函数的定义在R 上的增函数、奇函数，则依据，，我们易求出的值，而后联合等差数列的性质“当时，”，及等差数列前 n 项和公式，易获得答案．【详解】由函数为奇函数且在R上单一递加，，，，即，又为等差数列，．故答案为： 6054【点睛】此题考察的知识点是等差数列的性质，等差数列的前n 项和，此中利用等差数列的性质“当15. 函数时，的值域是”，是解答此题的重点．______．【答案】【分析】【剖析】由，得，令，把原函数转变为对于的三角函数求解．【详解】：由，得．令，则函数化为．，，则故答案为：【点睛】此题考察利用换元法求函数的值域，考察三角函数最值的求法，是中档题，求函数值域的基本方法：①察看法；②利用常有函数的值域，一次函数的值域为，反比率函数的值域为，指数函数的值域为，对数函数的值域为，正、余弦函数的值域为正切函数的值域为；③分别常数法；④换元法；⑤配方法；⑥数形联合法；⑦单一性法；⑧基本不等式法；⑨鉴别式法；⑩有界性法，充足利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．．16. 将函数的图象向右平移个单位后获得函数的图象，若对知足，的、，有的最小值为，则______．【答案】或【分析】【剖析】先求解的分析式，依据可知一个获得最大值一个是最小值，不如设获得最大值，获得最小值，联合三角函数的性质的最小值为，即可求解的值；【详解】由函数的图象向右平移，可得不如设获得最大值，获得最小值，，，．可得的最小值为，即．得或故答案为：或．【点睛】此题主要考察由函数的分析式，函数的图象变换规律，属于中档题．三、解答题（本大题共 5 小题，共52.0 分）17. 已知等差数列的首项为 1，公差不为若，，成等比数列，求数列的通项公式及其前项的和．【答案】看法析 .【分析】【剖析】利用等差数列通项公式和等比数列性质列方程组，求出公差，由此能求出数列的通项公式和前 n 项的和．【详解】等差数列的首项为1，公差不为，，成等比数列，，解得，数列的通项公式，前 n 项的和．【点睛】此题考察等差数列的通项公式、前n 项和公式的求法，考察等差数列、等比数列的性质等基础知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是基础题．18. 已知.若，且，求的值；求函数的最小值 .【答案】（ 1）；（2）.【分析】【剖析】依据两角和差的余弦公式进行计算即可利用一元二次函数的性质利用配方法进行转变求解即可．【详解】若，且，则，则，则．函数，，当时，函数获得最小值，最小值为．【点睛】此题主要考察三角函数值的计算，利用两角和差的余弦公式以及转变一元二次函数求最值是解决此题的重点．19. 已知函数，此中．若函数在区间内有一个零点，求的取值范围；若函数在区间上的最大值与最小值之差为2，且，求的取值范围．【答案】（ 1）；（ 2）.【分析】【剖析】依据对数函数的性质求出，由x 的范围，求出m的范围即可；依据函数的单一性求出最大，最小，作差求出，获得对于m的不等式，解出即可．【详解】由，得，由得：，故 m的范围是；在递加，，，，，由，得，，解得：．【点睛】此题考察了对数函数的性质，考察函数的单一性、最值问题，考察转变思想，是一道中档题．20. 如图，某广场中间有一块扇形绿地，此中为扇形所在圆的圆心，半径为，广场管理部门欲在绿地上修筑参观小道：在弧上选一点，过修筑与平行的小路，与平行的小道，设．当时，求；当取何值时，才能使得修筑的道路与的总长最大？并求出的最大值．【答案】（ 1）；（2）.【分析】【剖析】由正弦定理得，由此能求出CD．由正弦定理得，，从而，，由此能求出结果．【详解】（ 1）某广场中间有一块扇形绿地OAB，此中为扇形所在圆的圆心，半径为r ，．O OAB广场管理部门欲在绿地上修筑参观小道：在弧上选一点 C，过C修筑与 OB平行的小道 CD，与 OA平行的小道 CE，设，当时，由正弦定理得：，，．在中，由正弦定理得：，，，同理，，，，，，，当时，即时，．【点睛】此题考察三角形边长的求法，两线段和的最大值的求法，考察正弦定理、三角函数性质等基础知识，考察运算求解能力，考察函数与方程思想，是中档题．21. 若函数知足且，则称函数为“函数”．试判断能否为“函数”，并说明原因；函数为“函数”，且当时，，求的分析式，并写出在上的单一递加区间；在条件下，当时，对于的方程为常数有解，记该方程所有解的和为，求．【答案】（ 1）不是“函数”；（ 2），；（ 3）.M【分析】【剖析】由不知足，得不是“ M函数”，可得函数的周期，，当时，当时，在上的单一递加区间：，由可得函数在上的图象，依据图象可得：当或 1 时，为常数有2个解，其和为当时，为常数有3个解，其和为．当时，为常数有4个解，其和为即可适当时，记对于x 的方程为常数全部解的和为，【详解】不是“ M函数”．，，不是“ M函数”．函数知足，函数的周期，，当时，当时，，在上的单一递加区间：，；由可得函数在上的图象为：当或 1 时，为常数有2个解，其和为.当时，为常数有3个解，其和为．当时，为常数有4个解，其和为当时，记对于x 的方程为常数全部解的和为，则．【点睛】此题考察了三角函数的图象、性质，考察了三角恒等变形，及三角函数型方程问题，属于难题．。

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，'''O A B ∆是水平放置的OAB ∆的直观图，则OAB ∆的面积是（ ）A ．6B ．32C ．62D ．122．若，且满足，则下列不等式成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图像如图所示，关于()f x 有以下5个结论:（1）3ω=；（2）2A =，6π=ϕ；（3）将图像上所有点向右平移1318π个单位得到的图形所对应的函数是偶函数；（4）对于任意实数x 都有7799f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（5）对于任意实数x 都有5501818f x f x ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；其中所有正确结论的编号是（ ） A ．(1)(2)(3)B ．(1)(2)(4)(5)C ．(1)(2)(4)D ．(1)(3)(4)(5)4．函数()()sin f x x ωϕ=+（其中2πϕ<）的图象如图所示，为了得到()sin 2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6πB ．向右平移12πC ．向左平移6π D ．向左平移12π5．若tan 0α>，则（ ） A ．sin 0α>B ．cos 0α>C ．sin 20α>D ．cos20α>6．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ） A．6B．6C．3D．27．已知圆22:680C x y x +-+=，由直线1y x =-上一点向圆引切线，则切线长的最小值为( ) A ．1B ．2CD8．已知函数e 0()ln 0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，，，，则1[()]3f f 的是A ．13B ．1eC ．eD ．39．已知直线()1:4410l m x y -++=和()()2:4110l m x m y +++-=，若12l l ⊥，则实数m 的值为 A ．1或3-B ．12或13-C ．2或6-D ．12-或2310．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图像相邻的两个对称中心之间的距离为4π，且有一条对称轴为直线24x π=，则下列判断正确的是 （ ）A ．函数()f x 的最小正周期为4πB ．函数()f x 的图象关于直线724x π=-对称 C ．函数()f x 在区间713,2424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．函数()f x 的图像关于点7,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称 11．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BB 1中点为M ，BC 中点为N ，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与MN 所成角的余弦值为 A ．1B ．45-C ．34-D ．012．已知向量(,3)a k =，(1,4)b =，(2,1)c =，且)a b c -⊥（，则实数k 的值为 A ．32B ．12C ．1D ．1-二、填空题：本题共4小题13．已知数列{}na 满足11111,111n na a a +=-=++，则10a =__________.14．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有可能值为______15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2224b c a +=，则cos A 的最小值为__________. 16．已知数列{}n a 满足11a =，若1114()n n nn N a a *+-=∈，则数列{}n a 的通项n a =______. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019-2020学年上海市上海中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．用数学归纳法证明：“12213521n n n n nn n N”时，从n k =到1n k =+，等式的左边需要增乘的代数式是（）A ．21k +B ．211k k ++ C ．231k k ++ D ．()221k +【答案】D【解析】根据条件分别求出n k =和1n k =+时左边的式子，从而可求得由n k =到1n k =+时需要增乘的代数式.【详解】当n k =时，左边()()()12k k k k =++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，左边()()()()()111211111k k k k k k k k =++++⋅⋅⋅++-+++++， 所以由n k =到1n k =+时，等式左边应该增乘的代数式是()()()1112211k k k k k k +++++=++.故选：D 【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题.2．“2b ac =”是“,,a b c 依次成等比数列”的（ ）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．既不充分也不必要 D ．充分必要【答案】B【解析】举例说明充分性不成立，根据等比数列定义证必要性成立. 【详解】0a b c ===时满足2b ac =，但,,a b c 不成等比数列，所以充分性不成立，若,,a b c 依次成等比数列，则2c bb ac b a=∴=，即必要性成立. 故选：B 【点睛】本题考查充要关系的判断、等比数列定义，考查基本分析判断能力，属基础题. 3．等差数列{}n a 的公差d 不为零，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数，若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 的值可以为（ ）A ．17B ．17-C ．12D ．12-【答案】C【解析】根据等差数列与等比数列通项化简222123123a a ab b b ++++，再根据正整数性质逐一验证选项即可. 【详解】因为1a d =，21b d =，公差d ，公比q所以222222123222123(2)(3)14(1)1a a a d d d b b b d q q q q ++++==++++++，因为q 是小于1的正有理数，所以舍去B,D, 当17q =时，2141449157Z q q ⨯=∉++，舍去A ， 当12q =时，21481q q =++，符合， 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项、正整数概念，考查基本分析判断能力，属基础题. 4．n S 为实数构成的等比数列{}n a 的前n 项和，则{}n S 中（ ） A ．任一项均不为0 B ．必有一项为0C ．至多有有限项为0D ．或无一项为0，或无穷多项为0【答案】D【解析】根据等比数列求和公式特征直接判断选择. 【详解】因为11,1(1)0,11n n na q S a q q q q =⎧⎪=-⎨≠≠⎪-⎩，，所以当1q =-时，{}n S 有无穷多项为0；当1,0q q ≠-≠时，{}n S 无一项为0， 故选：D本题考查等比数列求和公式，考查基本分析判断能力，属基础题.二、填空题5．在数列{}n a 中，若11a =，1133n na a +=+，则n a =________． 【答案】32n -【解析】根据题意，先得数列{}n a 是公差为3的等差数列，进而可求出结果. 【详解】 因为1133n na a +=+，即13n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为3的等差数列， 又11a =，所以()13132n a n n =+-=-. 故答案为：32n -. 【点睛】本题主要考查求等差数列的通项公式，熟记公式即可，属于基础题型. 6．在首项为2020，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第________项． 【答案】12【解析】先计算等比数列的通项公式，根据该数列是递减的数列，分别计算111213,,a a a ，简单判断可得结果. 【详解】由题可知：等比数列的通项为11=2020()2-⨯n n a所以1112131.97,0.99,0.49≈≈≈a a a所以120.99≈a 与1最接近，所以最接近于1的项是第12项. 故答案为：12 【点睛】本题主要考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 7．等差数列{}n a 的前15项和为90，则8a =________． 【答案】6【解析】根据等差数列求和公式得1151515()2a a S +=,再结合等差数列性质即可求结果.因为等差数列{}n a 的前15项和为90，所以115158815()159062a a S a a +===∴= 故答案为：6 【点睛】本题考查等差数列求和公式、等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．等比数列{}n a 满足78927a a a =．则313233315log log log log a a a a ++++=________．【答案】15【解析】根据等比数列性质求得8a ，再根据对数运算法则以及等比数列性质化简所求式子为1538log a ，最后代入8a 得结果. 【详解】78398827273a a a a a =∴=∴=731323331531231531158log log log log log ()log [()]a a a a a a a a a a a ∴++++=⋅⋅=2715388383log [()]log 15log 315a a a ==== 故答案为：15 【点睛】本题考查等比数列性质、对数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，49S S =，则n S 取最大值时n =________． 【答案】6或7【解析】根据等差数列{}n a 的前n 项和二次函数性质确定最大值取法，即得结果. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为10a >，49S S =，所以0d <2111(1)()222n d dna n n d n S a n =+-=+-为开口向下的二次函数，又49S S =所以对称轴为4913,22n n +== 因为*n N ∈，所以当n =6或7时，n S 取最大值， 故答案为：6或7 【点睛】本题考查等差数列前n 项和、二次函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.10．数列{}n a 由2,(),n n n n a n N a n *⎧⎪=∈⎨⎪⎩为奇数为偶数确定，则{}n a 中第10个3是该数列的第____项． 【答案】1536【解析】根据递推关系式可得奇数项的项为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定，通过前面的项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列，即可求出第10个3在该数列中所占的位置. 【详解】 由题意可得：这个数列各项的值分别为1,1,,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3,，即33a =，63a =，123a =，243a =，，即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列， 所以第10个3是该数列的第101321536-⨯=. 故答案为：1536 【点睛】本题主要考查了递推数列、等比数列的通项公式，属于中档题. 11．已知方程cos 221x x k +=+在区间[0,]2π内有两个相异的解,αβ，则k 的取值范围是________． 【答案】[0,1)【解析】采用数形结合的方法，转化为函数()cos22,1==+f x x x y k 的图象在区间[0,]2π内有两个交点，可得结果.【详解】 由题意可知：方程cos 221x x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，令()cos22=f x x x ，1y k =+ 等价于两函数的图象在区间[0,]2π内有两个交点.由()cos 23sin 22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭如图所以11201≤+<⇒≤<k k 故答案为：[0,1) 【点睛】本题重点考查了数形结合的思想及函数与方程的思想，此外还考查了利用辅助角公式化成同一个角的三角函数的形式，是中档题. 12．在数列{}n a 中，11a =，1()1nn n a a n a *+=∈+N ，则n a =________． 【答案】1n【解析】先由11n n n a a a +=+，得到1111n na a ，求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而可求出结果. 【详解】 因为11n n n a a a +=+，所以11n n n n a a a a +++=，则1111n na a ，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差的等差数列， 又11a =，所以11(1)n n n a =+-=，解得1n a n=. 故答案为：1n. 【点睛】本题主要考查由数列的递推公式求数列的通项公式，关键在于对递推公式进行合适的变形，构造成等差数列或等比数列，属于常考题型.13．111lim[]38(2)n n n →∞+++=+________．【答案】34【解析】利用裂项求和，再求极限，可得结论． 【详解】 解：11111111111111138(2)2322423522n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111112324352n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()3234212n n n +=-++ ()()1113233lim[]lim 38(2)42124n n n n n n n →∞→∞∴⎡⎤++++=-=⎢⎥+++⎣⎦ 故答案为:34． 【点睛】本题考查裂项求和，考查极限知识，正确求和是关键．14．数列{}n a 中，当n 为奇数时，51n a n =+，当n 为偶数时，22nn a =， 则这个数列的前2n 项的和2n S =________ 【答案】21522n n n +++-【解析】当n 为奇数时，51n a n =+，奇数项为等差数列，当n 为偶数时，22nn a =，偶数项为等比数列，利用分组求和的方法可求这个数列的前2n 项的和. 【详解】122122n n n a a a a S -=++⋅⋅⋅++1321242n n a a a a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()2616104222n n =++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+所以数列{}n a 的奇数项是首项为6公差为10的等差数列，数列{}n a 的偶数项首项为2公比为2的等比数列， ∴()()1222121610522212nn nn n n Snn +⨯--=+⨯+=++--.故答案为：21522n n n +++-. 【点睛】本题考查利用分组求和法求数列的前2n 项的和，一定要正确找出等差数列的首项与公差、等比数列的首项与公比，考查运算求解能力，是基础题.15．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是x -，另一个是3x +．若1x =，前n 次生成的所有数．．．中不同的数的个数为n T ，则n T =________． 【答案】1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩【解析】根据计算第一次，第二次，第三次的生成的数，依此类推，利用不完全归纳法，当3n ≥时，{}n T 是公差为4的等差数列，简单计算，可得结果. 【详解】第1次生成的数为“1”；第2次生成的数为“1-、4”； 第3次生成的数为“1、2、4-、7”；第4次生成的数为“1-、4、2-、5、4、1-、7-、10”；… 可观察出：11T =，23T =，36T =，410T =，514T =，…， 当3n ≥时，{}n T 是公差为4的等差数列，∴1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩．故答案为：1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩【点睛】本题考查不完全归纳法以及等差数列的通项公式，关键在于对数据的分析，属基础题. 16．若数列{}n a ，{}n b 满足11a =，11b =，若对任意的n *∈N，都有1n n n a a b +=+，1n n n b a b +=+，设111()3n n n nc a b =+，则无穷数列{}n c 的所有项的和为________． 【答案】1【解析】由已知得：()112+n n n n a b a b +++=，2,n n n a b n N *∴+=∈,11n n a b ++=2n n a b ，12n n n a b -∴=，由此可得：23n nc =，再由等比数列求和公式可得解. 【详解】由题意，11)2(n n n n a b b a +++=+，∴{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，∴2nn n a b +=，而22211()()2n n n n nn n n a b a b a b a b ++⋅=+-+=⋅， 可得12n n n a b -⋅=， 从而11112()333n n n nn n n n n n a b c a b a b +=+=⋅=⋅， 121,33c q ==，其所有项和为12311113c q ==--．故答案为：1. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了转化能力和计算能力.属于中档题.三、解答题17．有三个数,,a b c 依次成等比数列，其和为21，且,,9a b c -依次成等差数列，求,,a b c ． 【答案】1,4,16a b c ===或16,4,1a b c ===【解析】本题由,,9a b c -成等差数列，可设公差为d ，所以,9a b d c b d =--=+，再利用等差中项与等比中项公式联立方程求解即可. 【详解】由题意，可设,,9a b c -公差为d ， 则,9a b d c b d =--=+，于是()()()()29219b d b b d b d b d b ⎧-++++=⎪⎨-++=⎪⎩，解得：43b d =⎧⎨=⎩或412b d =⎧⎨=-⎩ 所以1,4,16a b c ===或16,4,1a b c ===． 【点睛】此题考查等差数列与等比数列的概念问题，可直接利用等差中项与等比中项的公式列式计算，属基础题. 18．解下列三角方程： （1）24cos 4cos 10x x -+=； （2）2sin 3sin cos 10x x x ++=； （3）sin 212(sin cos )120x x x --+=． 【答案】（1）2()3x k k Z ππ=±∈；（2）1arctan 2x k π=-或()4x k k Z ππ=-∈；（3）22x k ππ=+或2()x k k Z ππ=+∈．【解析】（1）先解一元二次方程，再根据余弦函数性质解三角方程；（2）先利用1的代换转化为齐次方程，再根据弦化切转化解一元二次方程，最后根据正切函数性质解三角方程；（3）令sin cos t x x =-，将原方程转化为关于t 的一元二次方程，根据t 的范围解得t 的值，再利用辅助角公式以及正弦函数性质解三角方程. 【详解】 （1）2214cos 4cos 10(2cos 1)0cos 2()23x x x x x k k ππ-+=∴-=∴=∴=±∈Z ；（2）2sin 3sin cos 10x x x ++= 222sin 3sin cos sin cos 0x x x x x ∴+++=，显然cos 0x =不是方程的解，所以两边同除2cos x ，得22tan 3tan 10x x ++=， ∴1tan 2x =-或tan 1x =-， ∴1arctan ()24x k x k k πππ=-=-∈Z 或；（3）令sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，[t ∈，则2sin 21x t =-，从而2112120t t --+=，即212130t t +-=，解得1t =或13t =-（舍），1sin44x xππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴244x kπππ-=+或32()44x k kπππ-=+∈Z，∴22x kππ=+或2()x k k Zππ=+∈．【点睛】本题考查解简单三角方程、解一元二次方程、辅助角公式、弦化切，考查综合分析求解能力，属中档题.19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列12nna-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和．【答案】（1）2na n=-；（2）12nn-.【解析】【详解】(1)设等差数列{a n}的公差为d，由已知条件可得1121210a da d⎧⎨⎩＋＝＋＝－，解得111ad⎧⎨-⎩＝＝，故数列{a n}的通项公式为a n＝2－n.(2)设数列12nna-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为S n，∵1121212222nn n n na n n－－－－－＝＝－，∴S n＝2211121222n⎛⎫⋯⎪⎝⎭－＋＋＋＋＋－21231222nn⎛⎫⋯⎪⎝⎭－＋＋＋＋记T n＝21231222nn⋯－＋＋＋＋，①则12T n＝231232222nn⋯＋＋＋＋，②①－②得：12T n＝1＋211112222n nn-⋯＋＋＋，∴12T n ＝112112n-－－2n n ，即T n ＝4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－12n n -. ∴S n ＝1212112n ⎡⎤⎛⎫⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-－－4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋12n n - ＝4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋12n n -＝12n n -.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；（2）若对任意的n *∈N ，都有[,]n S s t ∈，求t s -的最小值．【答案】（1）1123n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，1311223n n S -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭；（2）23． 【解析】（1）先根据等差中项得46n n S a =+，再根据和项与通项关系求数列{}n a 的通项公式，最后代入46n n S a =+求n S ；（2）根据n 奇偶性分类讨论n S 取值范围，进而确定t s ，范围，即得t s -的最小值．【详解】（1）由题意，46n n S a =+①，令1n =，可得12a =，又1146n n S a ++=+②，②-①，得114n n n a a a ++=-，即113n n a a +=-，又12a =∴{}n a 是首项为2，公比为13-的等比数列， ∴1123n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，163114223n n n a S -+⎛⎫==+⋅- ⎪⎝⎭； （2）①n 为奇数时，1311223n n S -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递减且32n S >恒成立， 此时，1322n S S <=≤；②n 为偶数时，1311223n n S -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递增且32n S <恒成立， 此时，24332n S S =<≤； ∴min 4()3n S s =≥，max ()2n S t =≤，于是min 42()233t s -=-=． 【点睛】本题考查等差中项、利用和项与通项关系求通项、数列单调性，考查综合分析求解能力，属中档题.21．对于实数x ，将满足“01y ≤<且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号||||x 表示．对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：1||||a a =，11||||,0,0,0.n n n na a a a +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩其中1,2,3n =． （1）若a ={}n a ； （2）当14a >时，对任意的*n N ∈，都有n a a =，求符合要求的实数a 构成的集合A ； （3）若a 是有理数，设p a q=（p 是整数，q 是正整数，p q 、互质），问对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0n a =成立，并证明你的结论．【答案】（1）1n a =；（2）13{1,}22--；（3）成立，证明见解析. 【解析】试题分析：（1）利用新定义，可求数列{}n a 的通项公式；（2）分类讨论，利用n a a =，即可求符合要求的实数a 构成的集合A ；（3）由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数，可设n n np a q =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且n p ，n q 互质），利用反证法可得结论．试题解析：（1）1||1a =，211||||||||||1||1a a ====，若1k a =，则11||||||1||1k ka a +===，所以1n a .（2）1||||a a a ==，所以114a <<，所以114a <<， ①当112a <<，即112a<<时，21111||||||||1a a a a a ===-=，所以210a a +-=，解a =得（1(,1)2a =，舍去）. ②当1132a <≤，即123a≤<时，21111||||||||2a a a a a ===-=，所以2210a a +-=，解1a ==（111(,]32a =∉，舍去）. ③当1143a <≤，即134a≤<时，21111||||||||3a a a a a ===-=，所以2310a a +-=，解得32a -+=（311(,]243a --=∉舍去）.综上. （2）成立.由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数， 可设n n n p a q =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且n np q 既约）. ①由111||||p p a q q ==，可得10p q ≤<； ②若0n p ≠，设n n q p αβ=+（0n p β≤<，α，β是非负整数）， 则n n n q p p βα=+，而由n n n p a q =得1n n nq a p =， 11||||||||n n n n n q a a p p β+===，故1n p β+=，1n n q p +=,可得10n n p p +≤<. 若0n p =则10n p +=，若123,,,,q a a a a 均不为0，则这q 正整数互不相同且都小于q ， 但小于q 的正整数共有1q -个，矛盾.故123,,,,q a a a a 中至少有一个为0，即存在(1)m m q ≤≤，使得0m a =.从而数列{}n a 中m a 以及它之后的项均为0，所以对不大于q 的自然数n ，都有0n a .【考点】（1）新定义；（2）数列递推式.。

2014学年度上海市封浜高中第二学期高一年级期末考试数学试卷2015.6完成时间：90分钟 满分100分一、 填空（每题3分，共36分）1. 角α的终边经过点()34P -，，则cos α=____________________2. 已知扇形的圆心角60°，半径为2，则扇形的面积为____________________3. 函数cos 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递减区间为____________________ 4. 已知tan 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan tan 2xx=____________________ 5. 函数2sin 2cos 3y x x =---的最小值为____________________6. 已知函数()arccos 1y x =-，则该函数的定义域为____________________7. 已知数列{}n a 中，1123n n a a a -==+， ()*2n n N ≥∈，，则n a =_____________ 8. 函数()2cos 02y x x π=≤≤和2y =的图像围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为____________________9. cos cos ABC a A b B ∆=中，，则ABC ∆的形状是____________________ 10. ()cos cos5f x x =，则()sin =f x ____________________11. 已知()sin 1f x ax b x =++，若()57f =，则()5f -= ____________________ 12. 下列结论中：1） 函数()()sin y k x k Z π=-∈ 为奇函数班级_________ 考试号 ________ 姓名_________________----------------------------------密----------封----------线----------内----------不----------准----------答----------题---------------------------------2） 函数tan 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 3） 函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像的一条对称轴为23x π=-4） 若()tan 2x π-=，则21cos 5x =其中正确的结论序号为____________________ 二、选择题（每题4分，共16分）13. 下列函数中，以π为周期的偶函数是 ……………………………（ ）A. sin 2y x =B. cos2xy = C. sin2xy = D. cos 2y x =14. 把函数cos 22y x x =+ 的图像经过变化而得到2sin 2y x =的图像，这个变化是…………………………………………………………………（ ）A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移6π个单位D. 向右平移6π个单位 15. 设x 为任意实数，则下列各式正确的是……………………………（ ）A. ()tan arctan x x =B. ()arcsin sin x x =C. ()sin arcsin x x =D. ()cos arccos x x =16. 数列{}n a 满足11121n n a a a +==-+，，则2015a 等于…………………（ ） A. 2B. 13-C. 32-D. 1三、解答题（17题12分，18题8分，19题、20题各9分，21题10分，共48分）17. 解三角形方程（每小题4分）1） 2sin 16x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭2） tan 214x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭3） sin 2sin x x =18. 已知锐角α满足3cos 5α=，()5cos 13αβ+=-，求cos β.（8分）19. 已知()()22cos 2f x x x a a R =+∈1） 若x R ∈，求()f x 的单调递增区间（3分）2） 当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 时，()f x 的最大值为4，求a 的值（3分） 3） 在2）的条件下，求满足()=1f x 且[],x ππ∈-的x 集合（3分）20. 某货轮在A 处看灯塔S 在北偏东30°，它以每小时36海里的速度向正北方向航行，40分钟航行到B 处，看灯塔S 在北偏东75°，求这时货轮到灯塔S 的距离.21. 已知函数()()()sin 00f x x ωϕωϕπ=+><<，的周期为π ，图像的一个对称中心为04π⎛⎫⎪⎝⎭，，将函数()f x 图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像. (1)求函数()f x 与()g x 的解析式；（5分）(2)若()266x h x f g x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，α是第一象限的角，且()h α= ，求22sin 2α的值.（4分）2014学年第二学期高一数学期末试卷答案 一、填空题 1.352.23π3. ()5,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦4.495. 5-6. []02，7. ()31n n N +-∈8. 4π9. 等腰或直角三角形10. sin5x11. 5-12. 1,3,4二、选择题13. D 14. B 15. A 16. B三、简答题17. （1）()1,66kx x x k k Z πππ⎧⎫∈=+--∈⎨⎬⎩⎭g（2）,24k x x x k Z ππ⎧⎫∈=+∈⎨⎬⎩⎭（3）22,33x x x k x k k Z πππ⎧⎫∈==+∈⎨⎬⎩⎭或 18. ()5cos 13αβ+=-Q ()1212sin 1313αβ∴+=或- （2分） ()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++ （2分）当()12sin 13αβ+=时， ()()5312433cos cos cos sin sin =13513565βαβααβα=+++-⨯+⨯=（2分） 当()12sin 13αβ+=-时， ()()5312463cos cos cos sin sin =13513565βαβααβα=+++-⨯-⨯=-（2分） 19. 1）()22cos 2=cos 2212sin 216f x x x a x x a x a π⎛⎫=++++=+++ ⎪⎝⎭由222262k x k πππππ-≤+≤+可得(),36x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦2）当6x π=时，()f x 取最大值=2sin 13=462f a a ππ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭1a ∴=3）由()2sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可得1sin 2=62x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭可解得5,,,2626x ππππ=--20. 236243AB =⨯=海里 30,45A S ∠=∠=o o由正弦定理可得，sin sin SB ABA S =122SB ∴=可得SB =此时，货轮到灯塔S的距离为21. （1）由函数()()sin f x x ωϕ=+的周期为20=2Tππωω>=，，得又曲线()y f x = 的一个对称中心为(),004πϕπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，， 故sin 2044f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得=2πϕ ，所以()cos2f x x = 将函数()f x 图像上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变， 可得cos y x = 的图像， 再将cos y x =的图像向右平移2π 个单位长度后得到函数()cos 2g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的图像，所以()sin g x x =（2）()=cos sin 26636x h x f g x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11=cos cos 2222x x x x x ++-= ()5h α=得到3sin 5α=，因为α是第一象限角，所以4cos 5α= 212sin 1cos 25x x ∴=-=。