高中数学必修四常考题型总结

必修四常考题型总结三角函数篇三角函数的基础知识与基本运算：。

的值为1．585sin3232??(D) (C) (B)(A)22222.（列关系式中正确的是（）000000BA．．cos10sin11?sin11sin168?cos10??sin168000000CD．．cos10?sin168?sin11sin11?sin168?cos10?1???”是“．（2009北京理）“）”的（3?cos2)?Z?(kk?226 ．必要而不充分条件 BA．充分而不必要条件．既不充分也不必要条件 D C．充分必要条件??? 4．(2008浙江理)( )tan???5,若cos则?2sin11 D）（）C（B）2 ）（A（?2?22图像与性质：1．已知是实数，则函数的图象不可能是( )aax?asin)f(x?1．．．?2??f()??，则的图象如图所示，=Acos(3.已知函数)=)xf((0)f?x232211?(B) (C)－(D) ）（Aw.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3223????，数数为（常函4.）,?AsinA(x?,)y??上的图象如图所）在闭区间,0]?0?[A?0,?. 示，则=??????示，则图）的知函数y=sin（图x+）（像>0, -如<所已4.??=________________?7?????f。

的图像如图所示，则5.已知函数)xf()??2sin(x??12??w.w.w.k.s.5.u.c.o.m???7.已知函数的图象如图所示，0)???xf()sin(x)(?则＝????(cos0))?3sinxx?(fx y?f(x)的图像与直线，已知函数的2y??，则的单调递增区间是两个相邻交点的距离等于)f(x????5115）A ）（（B?????k[],k?Zk,?Z],k?,k??k[12121212????2（D）（C）????Z],?[kk?,k?Z?,?],[kk?k3663?4?? 2．如果函数的最小值的图像关于点中心对称，那么,0)(||)?y?3sin(2x 3 C）为（????（B）（A）（C）(D) 3264?，下面结论错误的是3．已知函数)?R?sin(x?)(xf(x)．．2?A．函数的最小正周期为)(xf2?函数在区间上是增函数B．][0,)(xf2x 0 C．函数的图象关于直线对称＝)xf(函数是奇函数 D．)f(x?（本小题共12分）已知函数．4．x)cos?f(x)?2sin(x的最小正周期；（Ⅰ）求)(xf????,?上的最大值和最小值．在区间（Ⅱ）求)x(f??26??????????0,0A?0,?，的周期为已知函数）（其中．5Rf(x?sin(Ax?),x)?2?2,?2)M(．且图象上一个最低点为3?][0,?x，求求（Ⅱ）当的解析式；的最值．)( Ⅰ)x(x(f)f12?2x. f(x)=cos(2x+)+sin本小题满分12分)设函数2. (3(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期.C11(2)设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，，且C为锐角，??f()?324求sinA.4.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）???xx2．设函数1)?2cos?f(x)?sin(?468（Ⅰ）求的最小正周期．)(xf4（Ⅱ）若函数与的图像关于直线对称，求当时][0,x?)f()y?g(xxy?1?x 3的最大值．)g(xy?图像的变换：????的单位后，得到函数．将函数的图象向左平移20 ＜1)(xy?sin??的图象，则等于（）)?sin(xy?6????7511 D. B． C. A．6666 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m????))(x?0?tan(y?个单位长度后，与函数2．若将函数的图像向右平移64???)xy?tan(?的最小值为的图像重合，则61111(B)(A) (C) (D) 21世纪教2346育网?个单位, 再向上平移1将函数的图象向左平移个单位,所得图象的3．xy?sin24 )．函数解析式是(?2C．B．A．xy?2cos)x?y?1?sin(2xcosy?242．D x?2siny??，的最小正周期为的图4．已知函数)0w?f(x)?sin(wx?R)(x?,)(xy?f4??的一个值是（y轴对称，则）像向左平移个单位长度，所得图像关于||????3 B C D A 8824????，为了得到函数5．已知函数的最小正周期为0),?)(x?f(x)?sin(Rx?4?的图象，只要将的图象)(xyg(x)?cos?xf??个单位长度 B 向右平移个单位长度 A 向左平移88??个单位长 D 向右平移个单位长度21世纪教育网C 向左平移44 度三角恒等变换：22???????sin?sincos2cos1．已知，则2tan?4345??）（）D（B）（）（AC 54432．函数最小值是xcos)?sinx(fx11?C． B A．-1 ．D．12211???2?cossin”的21世纪教育网3.“”是“22A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件f(x)?(1?3tanx)cosx的最小正周期为4 ．函数??3??．C D．．．A B 2222x?sin2xy?2cos的最小值是_____________________ ．函数5．??x0?x)xcostan3(1)(fx??，则，6．若函数的最大值为)x(f2．23?1?3．． C ．D A．1 B2??3。

高一数学必修四知识点加题型高一数学必修四是一门重要的学科，其中包括了多个知识点和题型。

下面将为大家详细介绍这些内容以及相应的解题方法。

1. 二次函数二次函数是高一数学必修四中的重点内容。

它的一般形式为f(x) = ax² + bx + c。

其中，a、b、c为常数，a ≠ 0。

我们可以通过以下几个步骤来解二次函数相关题目：- 确定抛物线的开口方向：若a > 0，则开口向上；若a < 0，则开口向下。

- 求解顶点坐标：顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

- 求解零点：根据二次函数的解的性质，利用求根公式或配方法可以求得二次函数的零点。

2. 三角函数三角函数在高一数学必修四中也占有重要地位。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

我们可以通过以下几个步骤来解三角函数相关题目：- 根据已知条件确定所需求的角所在象限。

- 利用三角函数的定义和性质，结合已知条件求解所需角的值。

- 结合三角函数的图像和周期性，求解三角函数的方程式。

3. 数列与数列的通项公式数列是高一数学必修四中的基础内容。

在解数列的相关题目时，我们可以采用以下几个方法：- 根据给定的数列前几项，观察它们之间的规律，推测数列的通项公式。

- 利用已知的数列通项公式，计算指定位置上的项的值。

- 根据数列的性质，如等差数列、等比数列等，解决相应题目。

4. 平面向量平面向量也是高一数学必修四的重点内容。

在解平面向量相关题目时，我们可以采用以下几个步骤：- 确定平面向量的坐标或起点和终点的坐标。

- 利用平面向量的定义和性质进行向量的运算，如加法、减法、数量乘法等。

- 根据已知条件和向量运算的结果，求解题目所需的向量。

5. 概率与统计概率与统计是高一数学必修四的重要内容。

在解概率与统计的相关题目时，我们可以采用以下几个步骤：- 确定事件的样本空间和可能的结果。

- 利用概率的定义和性质，计算事件发生的概率。

- 对样本数据进行统计分析，如计算平均值、方差、标准差等。

高中数学必修四 题型归类山石第一章 三角函数1.1任意角和弧度制题型一：终边相同角1.与2003-终边相同的最小正角是______________，最大负角是_________。

2.终边在y 轴上的角的集合为________。

3.若角α与5α的终边关于y 轴对称，则角α的集合________ __ 。

题型二：区域角1.第二象限的角的集合为______ __2.如图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是______ __3.若α是第二象限的角，确定2α的终边所在位置 .确定2α的终边所在位置 .题型三：弧度制1.若扇形的面积是1cm 2，它的周长是4cm 2，则扇形圆心角的弧度数为 .2.若扇形周长为一定值c (c >0)，当α= ，该扇形面积最大．1.2任意角的三角函数题型一：三角函数定义y45030x1.α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝42x，则sin α的值为 .2.已知角α的终边在直线3x+y=0上，则sin α= ,tan α=题型二：三角函数值的符号与角所在象限的关系1.4tan 3cos 2sin 的值。

A 小于0 B 大于0 C 等于0 D 无法确定 （ ）2.已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ2的终边在 ( )A ．第二、四象限B ．第一、三象限C ．第一、三象限或x 轴上D ．第二、四象限或x 轴上题型三：三角函数线1.设MP 和OM 分别是角1819π的正弦线和余弦线，则MP 、OM 和0的大小关系为______2.1sin 、1cos 、1tan 的大小关系为_______________题型四：同角公式1.化简1－2sin200°cos160°＝________.2.222tan1tan 2tan 88tan 89sin 1sin 2sin 89οοοοοοο⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯++⋅⋅⋅+的值为________． 3.已知ααcos sin 21=,求下列各式的值： （1）ααααcos 9sin 4cos 3sin 2--; （2） 4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α.4.tan110°＝k ，则sin70°的值为 ( )A ．－k 1＋k 2 B.k 1＋k2C.1＋k 2k D ．－1＋k2k5.已知51cos sin =-θθ ()πθ,0∈ 求值：（1）θθcos sin ; （2）θθcos sin -;（3）θtan ; (4) θθ33cos sin -1.3三角函数的诱导公式题型：诱导公式1.437tan323cos 641sin πππ-= ________．2.已知cos(3π2＋α)＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)=3.已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于 ( )A ．2B ．223-πC ．2－π2D.π2－24.已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin(－α－3π2)sin(3π2－α)tan 3αcos(π2－α)cos(π2＋α)＝1.4．三角函数的图像与性质题型一：三角函数的定义域1.（1）函数)12sin 2lg(+-=x y 的定义域是（2）函数y ＝1)43tan(-+πx 的定义域是________________．题型二：三角函数的值域1.（1）函数y ＝cos 2x ＋sin x －1的值域为___________．（2）函数xx y cos 31cos 2+-=的值域为___________．（3）函数f(x)＝sin xsin(x －π3)在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的最大值与最小值的和为________．(4) 函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin xcos x 在⎣⎡⎦⎤－π6，π3的值域为____ 2.设函数f (x )＝A ＋B sin 2x ，若B ＜0时，f (x )的最大值是32，最小值是－12，则A ＝________，B ＝________．3.(1)(2012·高考湖南卷)函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2，2]B ．[－3，3]C ．[－1，1]D ．[－32，32]题型三：三角函数的周期1.画出函数x y tan =的图象并指出函数的周期______2.（1）函数y ＝2sin （4π－2x）+1的周期为_____.（2）函数y ＝－2tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的周期____（3）函数21)42sin(-+=πx y 的周期_______3．设函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．4.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝________.题型四：三角函数的奇偶性1.判断下列函数的奇偶性 （1）)234cos(2π-=x x y （2）3tan 2-=x y（3）xxx y sin 1cos sin 12+-+=2.函数()f x =(x +1)2+sin xx 2+1的奇偶性_________________3.函数f (x )＝sin(x+φ-π12) 是R 上的奇函数，则ϕ的值是__________________4.已知f (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )A.π6B.π3 C ．－π6 D ．－π3题型五：三角函数的单调性1.将52sinπ，56cos π，57tan π按从小到大的顺序排列，依次是_________________2.指出下列函数的的单调递减区间 （1）y ＝2)24sin(x-π+1（2）y ＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4 ．（3）x y 2sin log 3.0= .3.下列函数中，周期为π，且在(0, π2)上单调递增的是 ( )A ．y ＝tan|x|B ．y ＝sin|x|C ．y ＝|sinx|D ．y ＝|cosx|4.函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－M ，f (b )＝M ，则函数g (x )＝M cos(ωx ＋φ)在[a ，b ]上 ( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M5.已知ω是正实数，函数f (x )＝2sin ωx 在[－π3，π4]上是增函数，那么ω的取值范围是________．6.★已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求ω和φ的值．7.已知函数y =x x x cos sin 23cos 212+ +1,x ∈R.(1)当函数y 取最大值时，求自变量x 的集合；（2）指出此函数的振幅、周期、初相、频率和单调区间；题型六：三角函数的对称性1.函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称轴为 ，对称中心为 ．2. 函数y ＝2sin(3x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________；3.函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝________．4.已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f(x)＝sin (ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4 B.π3 C.π2 D.3π45.如果函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线8π-=x 对称，那么=a（ ）A ，2B ，2-C ，1D ，1-6.把函数y x －sin x 的图象向左平移m （m ＞0）个单位，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值是 ．7.已知函数f(x)＝3sin (ωx －π6)(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈[0，π2]，则f(x)的取值范围是( )A ．[－32，3]B ．[－3，3]C ．[－12，32]D ．[0，32]8.函数f(x)＝sin xsin(x －π3)的最小正周期、最值、对称中心、单调区间.1.5 函数y=Asin(ωx+φ)图象题型一：三角函数的图象变换1.要得到y ＝)2sin(x -的图象，只需将y ＝)62sin(π--x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位 D ．向右平移π6个单位2.已知函数y =23sin （2x +6π）（1）当[)+∞∈,0x ，指出此函数的振幅、周期、初相、相位、频率；(2)用五点作图法画出函数y =23sin （2x +6π）[]0,4x π∈的图象；（3）说明此函数的图象可以由y =sin x 的图象经怎样的变换得到？3. (2013·济宁模拟)给出下列六种图象变换方法：①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12；②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；③图象向右平移π3个单位长度；④图象向左平移π3个单位长度；⑤图象向右平移2π3个单位长度；⑥图象向左平移2π3个单位长度．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图象变换到函数y ＝sin(x 2＋π3)的图象，那么这两种变换正确的标号是________________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．4.已知函数21cos sin 3cos )(2++=x x x x f （1）先将)(x f y =化成B x A y ++=)sin(ϕω)0,0(>>ωA 的形式，再求函数()f x的周期；（2）列表、描点画出)(x f y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππ1211,12上的图象。

必修 3 重要知识点梳理第一部分 知 回 ： 一、算法与程序框 ：1. 程序框 相关符号及 名称和功能 .2. 基本 构： 序 构、 条件 构 和循 构 .3. 基本算法 句： 入 句、 出 句、 句、条件 句、循 句.4. 算法案例：求最大公 数 ---- 相除法 与更相减 ；秦九韶算法； 位制 .二、 ： （一）随机抽[ 来源 : 学 #科 #网 ]抽 方法：随机抽 ( 抽 法和 随机数法 )系 抽分 抽 .（二）用 本估 体：1. 用 本的 率分布估 体分布 率分布表， 率分布直方 ，茎叶 ， 率分布折 ， 体密度曲.2. 用 本的数字特征估 体的数字特征通 原始数据求众数、中位数、平均数和方差/ 准差 .通 率分布直方 估 数据的众数、中位数、平均数和方差/ 准差 .（三） 量 的相关关系1. 相关关系 -- 正相关和 相关2. 两个 量的 性相关回 直 ， 最小二乘法求回 直 方程 三、概率：（一）随机事件的概率事件、 数和 率以及概率的正确理解 . 事件的关系：包含、相等、互斥和 立 .事件的运算：并 ( 和) 事件和交 () 事件 .概率的基本性.（二） 古典概型和几何概型 ：相 概率模型的特征及运算公式.第二部分 巩固：算法和程序框图部分：1.如果 行下面的程序框 ，那么 出的S 等于 ()A ． 2 450B ． 2 500C ． 2 550D ． 2 652 2.若下面的程序框 出的 S 是 126， ① () A ． n ≤ 5? B ． n ≤ 6? C ． n ≤ 7?D ． n ≤ 8?3. 下列程序， 其 出的 果() 633112715A.64B.32C.128D.16S ＝ 0n ＝ 2 i ＝ 1 DOS ＝S ＋ 1/n n ＝ n*2 i ＝ i ＋ 1LOOP UNTIL i> ＝ 7 PRINT S END第 1第 2第 34.如 是求x 1， x 2 ，⋯， x 10 的乘 S 的程序框 ， 中空白框中 填入的内容()A ． S ＝ S*( n ＋1)B ． S ＝ S*x n ＋ 1C ． S ＝ S* nD ． S ＝ S*x n5．某程序框 如 所示，若 出的S ＝ 57， 判断框内()A ． k>4?B ． k>5?C ． k>6?D ． k>7?6. 如 所示的程序框，运行相 的程序 ，若 出的 果是 16，那么在程序框中的判断框内 填写的条件是 ________．第 5第 4第 5第 67 已知三个数 12(16)， 25(7)， 33(4)，将它 按由小到大的 序排列________．8把 10 231(5)化 四 制数 ________．统计部分：1.某 位有老年人 27 人，中年人 54 人，青年人 81 人， 了 他 的身体状况的某 指 ，需从他中 抽取一个容量 36 的 本 ， 老年人 、中年人 、青年人分 抽取的人数是()A ． 7,11,19B ． 6,12,18C ． 6,13,17D ． 7,12,1712.已知一 数据 x 1， x 2， x 3， x 4， x 5 的平均数是 2，方差是 3，那么另一 数3x 1 －2,3x 2－ 2,3x 3－ 2,3x 4－2,3x 5－ 2 的平均数 ，方差分 是 ( )12A ． 2， 3B ．2,1C ． 4，3D ． 4,3 3.如果在一次实验中 ，测得 (x ， y)的四组数值分别是 A(1,3)，B(2,3.8) ，C(3,5.2) ，D(4,6) ，则 y 与 x 之间 的回归直线方程是 ( )^^^^A. y ＝ x ＋1.9B. y ＝ 1.04x ＋ 1.9C.y ＝ 0.95x ＋ 1.04D.y ＝ 1.05x －0.9 4.某商店统计了最近 6个月某商品的进价x 与售价 y(单位：元 )的对应数据如下表： x 3 5 2 8 9 12y46391214假设得到的关于 x 和 y 之间的回归直线方程是 ^^ ^y ＝ b x ＋a ，那么该直线必过的定点是 ________．5.某单位为了了解用电量y 度与气温 x ℃之间的关系 ，随机统计了某4 天的用电量与当天气温 .气温 (℃ ) 14 12 8 6用电量 (度)22263438^^^^由表中数据得回归方程 y ＝b x ＋ a 中b ＝－ 2，据此预测当气温为 5℃时 ，用电量的度数约为 ______．6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨 )与相应的生产能耗 y(吨标准煤 )的几组对照数据 .x 3 4 5 6y 2.53 4 4.5(1) 请画出上表数据的散点图；^^^(2) 请根据上表提供的数据 ，用最小二乘法求出y 关于 x 的回归直线方程 y ＝ bx ＋ a ；(3) 已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为90 吨标准煤．试根据 (2)求出回归直线方程 ，预测生产100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值： 3× 2.5＋ 4× 3＋ 5×4＋ 6× 4.5＝ 66.5)7.农科院的专家为了了解新培育的甲 、乙两种麦苗的长势情况 ，从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6 株麦苗测量麦苗的株高 ，数据如下： ( 单位： cm)(1) 在下面给出的方框内绘出所抽取的甲 、乙两种麦苗株高的茎叶图；(2) 分别计算所抽取的甲 、乙两种麦苗株高的平均数与方差 ，并由此判断甲 、乙两种麦苗的长势情况．甲： 9,10,11,12,10,20乙： 8,14,13,10,12,21.8.今年西南一地区遭遇严重干旱 ，某乡计划向上级申请支援 ，为上报需水量 ，乡长事先抽样调查了 100户村民的月均用水量 ，得到这 100 户村民月均用水量的频率分布表如下表： (月均用水量的单位：吨 )用水量分组 频数 频率[0.5,2.5)12 [2.5,4.5)[4.5,6.5) 40[6.5,8.5)0.18[8.5,10.5]6合计1001(1) 请完成该频率分布表 ，并画出相对应的频率分布直方图和频率分布折线图； (2) 估计样本的中位数是多少？(3) 已知上级将按每户月均用水量向该乡调水 ，若该乡共有 1 200 户，请估计上级支援该乡的月调水量是多少吨？9.从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛 ，由成绩得到如下的频率分布直方图．试利用频率分布直方图求：(1)这 50 名学生成绩的众数与中位数．(2)这 50 名学生的平均成绩．3.若 A 表示四件产品中至少有一件是废品的事件,B 表示废品不少于两件的事件,试问对立事件 A 、B 各表示什么 ?4.回答下列问题：(1)甲、乙两射手同时射击一目标 ,甲的命中率为 0.65,乙的命中率为 0.60,那么能否得出结论：目标被命中的概率等于 0.65+0.60=1.25, 为什么 ?(2) 一射手命中靶的内圈的概率是0.25,命中靶的其余部分的概率是0.50,那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.25+0.50=0.75, 为什么 ?(3) 两人各掷一枚硬币, “同时出现正面”的概率可以算得为12 .由于“不出现正面”是上述事件的对立事132件 ,所以它的概率等于12,这样做对吗 ?说明道理 .245.在一只袋子中装有7 个红玻璃球 ,3 个绿玻璃球 .从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个.试求：(1)取得两个红球的概率； (2)取得两个绿球的概率；(3) 取得两个同颜色的球的概率；(4)至少取得一个红球的概率.6.盒中有 6 只灯泡 ,其中 2 只次品 ,4 只正品 ,有放回地从中任取两次,每次取一只 ,试求下列事件的概率：(1)取到的 2 只都是次品； (2)取到的 2 只中正品、次品各一只；(3) 取到的 2 只中至少有一只正品.概率部分：随机事件的概率：1.一口袋内装有大小一样的 4 只白球与 4 只黑球 ,从中一次任意摸出 2 只球 .记摸出 2 只白球为事件 A, 摸出 1 只白球和 1 只黑球为事件 B.问事件 A 和 B 是否为互斥事件？是否为对立事件？2.在一个盒子内放有10 个大小相同的小球,其中有 7 个红球、 2 个绿球、 1 个黄球 ,从中任取一个球,求：（1）得到红球的概率；（ 2）得到绿球的概率；（3）得到红球或绿球的概率；（ 4）得到黄球的概率 .（5）“得到红球”和“得到绿球”这两个事件 A 、B 之间有什么关系 ,可以同时发生吗？（6）（ 3）中的事件 D“得到红球或者绿球”与事件 A 、 B 有何联系？7.某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲、乙两队夺取冠军的概率分别是3和1.试求该市74足球队夺得全省足球赛冠军的概率.古典概型：8.在大小相同的 5 个球中 ,2 个是红球 ,3 个是白球 ,若从中任取 2 个 ,则所取的 2 个球中至少有一个红球的概率是 _____________.9.抛掷 2 颗质地均匀的骰子,求点数和为8 的概率 .10.豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定,其中决定高的基因记为D,决定矮的基因记为d,则杂交所得第一子代的一对基因为 Dd, 若第二子代的 D,d 基因的遗传是等可能的 ,求第二子代为高茎的概率（只要有基因 D 则其就是高茎 ,只有两个基因全是 d 时 ,才显现矮茎） .11.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4，(1) 从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于 4 的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求 n＜ m＋ 2 的概率．几何概型：12.有一段长为 10 米的木棍 ,现要将其截成两段 ,要求每一段都不小于 3 米 ,则符合要求的截法的概率是多大？13.郭靖、潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛,比赛规则如下：在很远的地方有一顶帐篷,可以3看到里面有一张小方几,要将一枚铜板扔到这张方几上.已知铜板的直径是方几边长的,谁能将铜板整4个地落到方几上就可以进行下一轮比赛 .郭靖一扔 ,铜板落到小方几上 ,且没有掉下 ,问他能进入下一轮比赛的概率有多大？14 甲、乙两人相约在上午 9：00 至 10：00 之间在某地见面 ,可是两人都只能在那里停留 5 分钟 .问两人能够见面的概率有多大？15.在 5 升水中有一个病毒,现从中随机地取出 1 升水 ,含有病毒的概率是多大？现在我们将这个问题拓展一下：16.在 5 升水中有两个病毒,现从中随机地取出 1 升水 ,含有病毒的概率是多大？17.在圆心角为90°的扇形中 ,以圆心为起点作射线OC,求使得∠ AOC 和∠ BOC 都不小于 30°的概率 .18.设关于x的一元二次方程x22ax b20 .(1)若a是从 0， 1， 2， 3 四个数中任取的一个数，b是从 0， 1，2 三个数中任取的一个数，求使上述方程组有实数根都概率 .(2)若a是从[0,3]上任取的一个数，b是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率.19. 某工厂生产A、B两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7.5为正品，小于7.5为次品 .现从一批产品中随机抽取这两种元件各 5 件进行检测，检测结果记录如下：A777.599.5B6x8.58.5y由于表格被污损，数据x 、 y 看不清，统计员只记得x y ，且 A 、 B 两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等 .求表格中 x 与 y 的值从被检测的 5 件B种元件中任取2 件，求 2 件都为正品的概率.。

数学必修4知识点归纳总结第一章 三角函数周期现象与周期函数周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T ；x 必须是定义域内的任意值； f(x ＋T)＝f(x)。

练习:（1）已知函数f(x)对定义域内的任意x 满足：存在非零常数T ，使得f(x ＋T)＝f(x)恒成立。

求：f(x ＋2T) ，f(x ＋3T)解：f(x ＋2T)＝f[(x ＋T)＋T]＝f(x ＋T)＝f(x)， f(x ＋3T)＝f[(x ＋2T)＋T]＝f(x ＋2T)＝f(x)(2)已知函数f(x)是R 上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2005,求f(11) 解：f(11)＝f(6＋5)＝f(6)＝f(1＋5)＝f(1)＝2005(3)已知函数f(x)是R 上的奇函数，且f(1)＝2，f(x ＋3)＝f(x)，求f(8) 解：f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2 角的概念的推广1、正角、负角、零角的概念一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向(或顺时针方向)旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。

规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，并把这个角叫做零角,如果α是零角，那么α＝0°；钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是负角。

过去我们研究了0°～360°（00360α≤<）范围的角。

如果我们将角α=030的终边OB 继续按逆时针方向旋转一周、两周……而形成的角分别得到390°，750°……的角。

角的概念经过这样的推广以后就成为任意角，任意角包括正角、负角和零角． 2．象限角、坐标轴上的角的概念．由于角是一个平面图形，所以今后我们常在直角坐标系内讨论角，我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴(包括原点)重合，那么角的终边(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 300°、－60°角都是第四象限角；585°角是第三象限角。

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第三章三角恒等变换★1、角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭． ★2、函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ．()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=．()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-．口诀:函数名称不变,符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．★3、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-;⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-★4、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． 22tan tan 21tan ααα=-★5。

高一数学必修4知识点归纳加题型高一数学必修4是一门重要的学科，涵盖了许多重要的数学知识点。

在本文中，将对高一数学必修4中的知识点进行归纳整理，并附加一些相关的题型，以帮助同学们更好地掌握这些知识。

1. 函数与方程1.1 一次函数一次函数的数学表示形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

常见的题型包括求解线性方程组，求解一次函数的图像等。

示例题：已知一次函数的图像为直线y = 2x - 3，求函数的解析式。

1.2 二次函数二次函数的数学表示形式为y = ax^2 + bx + c，其中a为二次项的系数，b为一次项的系数，c为常数。

常见的题型包括求顶点坐标，求零点，绘制二次函数的图像等。

示例题：已知二次函数的顶点坐标为(-2, 5)，且过点(1, 2)，求函数的解析式。

2. 三角函数2.1 正弦函数正弦函数的数学表示形式为y = A*sin(Bx + C) + D，其中A为振幅，B为周期，C为初相位，D为垂直位移。

常见的题型包括求解三角方程，求解三角函数的图像等。

示例题：在区间[0, 2π]上，求解方程sin(2x) = 1的解。

2.2 余弦函数余弦函数的数学表示形式为y = A*cos(Bx + C) + D，其中A为振幅，B为周期，C为初相位，D为垂直位移。

常见的题型包括求解三角方程，求解三角函数的图像等。

示例题：在区间[0, 2π]上，求解方程cos(2x) = -1/2的解。

3. 平面向量平面向量的数学表示形式为A = (x, y)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

常见的题型包括向量的加法、减法，向量的数量积，向量的模等。

示例题：已知向量A = (2, -1)，向量B = (-3, 4)，求向量A与向量B的数量积。

4. 解析几何4.1 直线和圆的方程直线的一般方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。

圆的标准方程为(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k)为圆心坐标，r为半径长度。

三角函数的诱导公式(一)【知识梳理】1. 诱导公式⑴角n+ a与角a的终边关于原点对称. 如图所示.10丿H(2)公式：sin( n+ a = —sin acos( n+ a) =—cos_ a.tan( n+ a = tan_ a2. 诱导公式三(1)角一a与角a的终边关于X轴对称. 如图所示.彳(2)公式：sin( —a = —sin _aCOs(— a) = COs_ atan(— a = —tan_ a3. 诱导公式四(1)角n— a与角a的终边关于y轴对称.如图所示.(2)公式：sin( n— a = sin __ acos( n— a = 一COS_a tan( n— a = —tan_ a.【常考题型】题型一、给角求值问题【例1】 求下列三角函数值:。

o 119 n⑴sin( — 1 200 °; (2)tan 945 ; (3)cos_^.［解］(1)si n( — 1 200 )=— sin 1 200 =—°si n(3 x 360 牛 120 ) =— sin 120 =— sin(180 — 60 )3=—sin 60 =——; 2(2)tan 945 =tan(2 x 360 °+ 225 °= tan 225 = tan( 180 4 45 °)= tan 45 = 1;【类题通法】【对点训练】求 sin 585 cos 1 290 4 cos( — 30°)sin 210 4 tan 135 的值.解：sin 585 °s 1 290 C cos(— 30°)sin 210 ° tan 135 = sin(360 ° 225°)cos(3x 360° 4 210) 4 cos 30 gin 210 半 tan(180 —45 ° = sin 225 c6s 210 半 cos 30 s °n 210 — tan 45 = sin( 180 半 45 °)cos(180 4 30 °)4 cos 30 sin(180 4 30 °— tan 45 =sin 45 cbs 30 — cos 30 s i n 30 — tan 45 = 返 x ©_ ?/3x 1—1 乎-也-42 2 2 2 4题型二、化简求值问题cos — a tan 7 n4 asin n — a(2)化简曲:豊4 " * "—1需°cos — 180 — a sin — a — 180 (3)cos 譽 =cos 20 n — n = cos 6 6n =cos ：= 6 【例2】 (1)化简:cos — a tan 7 n4 a 解析］sin n— a cos d an n4 asin acos a tan asin a心=1sin a［答案］1•••a+ 125°= 180°+ ( a — 55°),sin 4X 360 °+ a c os 3 x 360 °— a sin a c os — a (2)［解］原式=—— cos 180 + a ［ — sin 180 + a ］ COS a = =—1. —cos a sin a — COs a 【类题通法】 利用诱导公式一〜四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的;(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变;(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切. 化简： tan 2 n — 0 sin 2 n — 0 cos 6 n —tan — 0s in — 0cos — 0—cos 0sin n+ 0 tan Osin 0cos 0cos 0sin 0 =tan 0 题型三、给角(或式)求值冋题【例3】 1 (1)已知 sin 3= 3, cos(a+ 3=— 1,贝U sin( a+ 2 3)的值为( ) 3 A . 1 B . — 11 Ci 1D 「11⑵已知cos( a — 55 °)=— 3，且a 为第四象限角，求 sin( a+ 125°)的值.(1)［解析］ **cos( a+ 3) = — 1 ,• '•a+ 3= T H- 2k n, k , 1 •'sin( a+ 2 3) = sin ［(a+ 3］ = sin( n+ 3 = — sin 3= — 3.3［答案］D(2)［解］・.cos( a — 55 °)=— ］0,且a 是第四象限角.• a — 55°是第三象限角.sin( a — 55 °)= — i ： 1 — COS ? a — 55 =— 2.23【对点训练】解：原式=••sin( a- 125° = sin[180 — (a — 55°)] = — sin( a — 55°)=警.【类题通法】解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间 的差异及联系.(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.【对点训练】1 、sin( n+ a=— 3,求 cos(5n+ a 的值. 3由诱导公式得，sin( n- a = — sin a,当a 是第一象限角时，cos a= - ；1 — Sin 2 a=彳^2 2A /2 此时，cos(5 n — %)= cos( n+ a = —cos a=— 3 . 3当 a 是第二象限角时，cos a=— • ：1— sin 2 a=— ^^2 ,2占 此时，cos(5 n — %)= cos( n+ a = — cos a= 3 .3 【练习反馈】1.如图所示，角0的终边与单位圆交于点 P ，晋，则cos(n — 的值为(B . — -5 52*5D. 50-五—5，送•'cos( n — ® = — cos 0= 5 .已知 解: 所以sin a= 3，所以a 是第一象限或第二象限角.解析: 选 C 行=1 ,「.cos答案：2 — 2n5.已知 cos 6"coS a+于的值.n —cos 6— a 2. 4 _ 已知 sin( n+%)= 5，且 a 是第四象限角，贝U COS （ a — 2冗）的值是（ ） 3 B.5D.5 4 解析：选 B sin a =-4, 又a 是第四象限角, • 'COS ( a — 2 n )= COS a= \ -1- Sin 2 a= 5. sin a — 3 n + COS n — a 3.设 tan(5 n+ a) = m ,贝U sin — a — COS n+ a 解析： '•ta n(5n+ a = tan a= m , —sin a — cos a — tan a — 1 — m — 1 m + 1 • • •原式= = = = —sin a+ cos a — tan a+ 1 — m + 1 m — 1 答案:cos — 585 ° sin 495 + sin — 570的值是解析: 原式= cos 360 °+ 225 ° sin 360 °+ 135 ° — sin 210 °+ 360 cos 225 cos 180 °+ 45 ° sin 135 — sin 210 °sin 180 °— 45° — sin 180 ° + 30° —cos 45sin 45 + sin 30 —2 .2 1 + _ 2 2 2 — 2.解：cos n+ =— cos n —6 5 n a+E。

高中数学必修四三角函数知识点总结，附真题讲解！
2、象限角角a的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，
则称a为第几象限角．3、
的象限已知a是第几象限角，确定所在象限的
方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则a原来是第几象限对应的标
号即为终边所落在的区域．4、弧度制⑴ 1弧度的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．⑵ 弧长公式 半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为l，则角a的弧度数的绝对值是
．⑶弧度制与角度制的换算公式：，，
．⑷若扇形的圆心角为a（a位弧度制），半径为
r，弧长为l，周长为C，面积为S，则，，
．
【答案】。