2020届高三毕业班5月质量检测数文试题

【新结构】(龙岩三模)福建省龙岩市2024届高中毕业班五月教学质量检测数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若全集，集合，，则()A. B. C. D.2.若复数z满足，则复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量，，若在上的投影向量为，则()A.2B.3C.4D.55.已知球的体积为，且该球的表面积与底面半径为2的圆锥的侧面积相等，则该圆锥的体积为()A. B. C. D.6.声音的等级单位：与声音强度单位：满足喷气式飞机起飞时，声音的等级约为若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，则一般说话时声音的等级约为()A.120dBB.100dBC.80dBD.60dB7.已知曲线与曲线相交于A，B两点，直线AB交x轴于点P，则点P的横坐标的取值范围为()A. B.C. D.8.已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上有且仅有1个零点，则的最大值为()A.11B.9C.7D.5二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知函数，则()A.在单调递增B.是的零点C.的极小值为0D.是奇函数10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则()A.B.若，，则C.若，则面积的最大值为D.若，则11.已知抛物线与圆交于A，B两点，且过焦点F的直线l与抛物线C交于M，N两点，点P是抛物线C上异于顶点的任意一点，点Q是抛物线C的准线与坐标轴的交点，则()A.若，则直线l的斜率为B.的最小值为18C.为钝角D.点P与点F的横坐标相同时，最小三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}22A x x x =<，{}21B x x =-<<，则A B =U （ ） A.()2,1- B.()2,2- C.()0,1 D.()0,2【答案】B【解析】由集合{}22{|02}A x x x x x =<=<<，利用集合的并集运算，即可求解． 【详解】由题意，集合{}22{|02}A x x x x x =<=<<，{}21B x x =-<<， 则{|22}A B x x ⋃=-<<，即(2,2)A B ⋃=-， 故选B ．2．若复数z 满足()13i z i -=+（其中i 为虚数单位），则z =（ ）A.1C.2【答案】D【解析】由复数的除法运算，化简复数得12z i =+，再利用复数模的计算公式，即可求解． 【详解】由复数z 满足()13i z i -=+，则3(3)(1)24121(1)(1)2i i i iz i i i i ++++====+--+，则z ==，故选D ．3．若抛物线22(0)y px p =>上一点()0,1M x 到焦点的距离为1，则该抛物线的焦点坐标为（ ） A.1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,0D.()0,1【答案】A4．为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关扶植政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息：2019年2月份新能源汽车销量结构图根据上述图表信息，下列结论错误的是（）A.2018年4月份我国新能源汽车的销量高于产量B.2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆C.2019年2月份我国插电式混合动力汽车的销量低于1万辆D.2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆【答案】C5．已知α为锐角，若3sin45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos2=α（）A.2125B.2425C.2125- D.2425-【答案】B6．如图，点C在以AB为直径的圆上，且满足CA CB=，圆内的弧线是以C为圆心，CA为半径的圆的一部分.记ABC∆三边所围成的区域（灰色部分）为Ⅰ，右侧月牙形区域（黑色部分）为Ⅱ.在整个图形中随机取一点，记此点取自Ⅰ，Ⅱ的概率分别为1P，2P，则（）A ．12P P =B ．12P P >C ．1241P P π+=+ D ．2111P P π-=+ 【答案】A7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.76π B.43π C.2πD.136π【答案】A8．函数()3sin 3x f x x =+的图像大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D9．朱世杰是我国元代伟大的数学家，其传世名著《四元玉鉴》中用诗歌的形式记载了下面这样一个问题：我有一壶酒，携着游春走.遇务①添一倍，逢店饮斛九②.店务经四处，没了这壶酒.借问此壶中，当原多少酒？①“务”：旧指收税的关卡所在地；②“斛九”：1.9斛.下图是解决该问题的算法程序框图，若输入的x 值为0，则输出的x 值为（ ）A.5740B.13380C.5732D.589320【答案】C10．已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，则ω的取值范围是（ ）A.51,2⎛⎫⎪⎝⎭B.51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.5,42⎛⎫⎪⎝⎭D.5,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D11．已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形12F NF M 的周长为p ，面积为S ，且满足232S p =，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A.12y x =±B.22y x =±C.32y x =±D.33y x =±【答案】B12．已知函数()2f x ax b x=--，若对任意的正实数a ，b ，总存在[]01,2x ∈，使得()0f x m ≥成立，则实数m 的取值范围是（ ）A.1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C.2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D.(],1-∞ 【答案】B【解析】设()f x 的最大值为()M b ，令()2u x ax b x=--，当[1,2]x ∈时，函数()u x 单调递减，得到()122a b u x a b --≤≤--，又由1220a b a b --+--=，解得332ab -=，分类讨论，即可求解． 【详解】设()f x 的最大值为()M b ，令()2u x ax b x=--， 当[1,2]x ∈时，函数()u x 单调递减，所以()122a b u x a b --≤≤--， 因为0a >，所以122a b a b --<--， 又由1220a b a b --+--=，解得332ab -=， （1）由01a <≤，当332ab ->时，()21M b a b =+-； 当332a b -<时，()2M b a b =--；当332a b -=时，min 11()(,1]22a Mb +=∈； （2）由12a ≤≤时，min ()211,()211M b a b b M b a b =+-≥+=+->； （3）由2a ≥时，min 20,()211,()13a b M b a b a M b a --<=+-≥+=+≥； 综上可得：min 1()2M b >，所以实数m 的取值范围是1(,]2-∞．二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件2020y x y x y ≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则11y x ++的取值范围是______.【答案】[]1,314．321x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为______（用数字作答）. 【答案】315．已知锐角ABC ∆外接圆的半径为1，45B ∠=︒，则BA BC ⋅u u u r u u u r的取值范围是______.【答案】(2,1+16．已知等边ABC ∆的边长为43，M ，N 分别为AB ，AC 的中点，将AMN ∆沿MN 折起得到四棱锥A MNCB -.点P 为四棱锥A MNCB -的外接球球面上任意一点，当四棱锥A MNCB -的体积最大时，P 到平面MNCB 距离的最大值为______. 【答案】131+ 【详解】 由题意得3MBC π∠=，取BC 的中点E ,则E 是等腰梯形MNCB 外接圆圆心，F 是AMN ∆的外心， 作OE ⊥平面MNCB ，OF ⊥平面MNCB ，则O 是四棱锥A MNCB -的外接球的球心，且3,2OF DE AF ===， 设四棱锥A MNCB -的外接球半径为R ，则22213R AF OF =+=，321OE DF AD AF ==-=-=，所以当四棱锥A MNCB -的体积最大时，点P 到平面MNCB 距离的最大值max 131d R OE =+=+．【点睛】本题主要考查了折叠问题与几何体的性质，同时考查了面面垂直、线面垂直的判定定理和性质定理的应用，以及点到平面距离的计算，对于立体几何问题中点到平面的距离常转化为几何体的高，构造方程方程求解，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式（2）若数列{}n n b a -是等差数列，且12b =，314b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）13-=n n a ；（2）2312n n -+【解析】（1）当1n =时，求得11a =，当2n ≥时，递推作差得13n n a a -=，即13nn a a -=，得到数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）求得21n c n =-，得到1213n n n n b c a n -=+=-+，利用分组求和，即可求解． 【详解】（1）当1n =时，1112231S a a ==-，所以11a =， 当2n ≥时，因为231n n S a =-，所以11231n n S a --=-，两式作差得13n n a a -=，即13nn a a -=，因为11a =， 所以数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，故13n n a -=；（2）令n n n c b a =-，则1111c b a =-=，3331495c b a =-=-=， 所以数列{}n c 的公差3151222c cd --===，故21n c n =-， 所以1213n n n n b c a n -=+=-+，所以()212113312132n n n n n T n +---=+=+-. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，以及数列的“分组求和”的应用，其中解答中根据数列的通项和前n 项和之间的关系，求得数列的通项公式，再利用等差、等比数列的前n 项和公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 18．如图所示，半圆弧»AD 所在平面与平面ABCD 垂直，且M 是»AD 上异于A ，D 的点，AB CD ∥，90ABC ∠=︒，22AB CD BC ==.（1）求证：AM ⊥平面BDM ；（2）若M 为»AD 的中点，求二面角B MC D --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）33【解析】（1）取AB 的中点为E ，连接DE ，利用勾股定理，证得BD AD ⊥，在利用面面垂直的性质，证得BD ⊥平面ADM ，最后利用线面垂直的判定定理，即可证得AM ⊥平面BDM ；（2）以O 为坐标原点，分别以,,OE OD OM u u u v u u u v u u u u v为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，求得平面MBC 和平面MCD 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解． 【详解】（1）取AB 的中点为E ，连接DE ，因为2AB CD =，所以CD BE =，又AB CD P ，所以四边形BCDE 为平行四边形， 又CD BC =，90ABC ∠=︒，所以BCDE 为正方形，不妨设1CD =， 则1BC DE BE AE ====，2AB =，2BD AD ==所以222BD AD AB +=，即BD AD ⊥，又平面ADM ⊥平面ABCD ，平面ADM ⋂平面ABCD AD =，所以BD ⊥平面ADM ，又AM ⊂平面ADM ，所以AM BD ⊥，因为M 是半圆弧AD 上异于A ，D 的点，所以AM DM ⊥，又DM BD D ⋂=， 所以AM ⊥平面BDM ；（2）取AD 的中点为O ，连接OM ，OE ，则OE BD P ，所以OE AD ⊥， 当M 为AD 的中点时，有MA MD =，则OM AD ⊥，因为平面ADM ⊥平面ABCD ，平面ADM ⋂平面ABCD AD =，所以OM ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以,,OE OD OM u u u v u u u v u u u u v为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-，由（1）知，22,,02B⎛⎫⎪⎪⎭，2,2,02C⎛⎫⎪⎪⎝⎭，20,,02D⎛⎫⎪⎪⎝⎭，20,0,2M⎛⎫⎪⎪⎝⎭，MCu u u u r22,2,22⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，BCuuu r22,,022⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，MDu u u u r220,,22⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，设mu r()111,,x y z=是平面MBC的一个法向量，则m MCm BC⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u vvu u u vv，即1111120x y zx y+-=⎧⎨-=⎩，令11x=，则11y=，13z=，mu r()1,1,3=，设nr()222,,x y z=是平面MCD的一个法向量，则n MCn MD⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u vvu u u u vv，即2222220x y zy z+-=⎧⎨-=⎩，令21y=，则21x=-，21z=，nr()1,1,1=-，所以33cos,113m nm nm n⋅===⋅⨯v vv vv v，由图可知所求二面角为钝角，所以二面角B MC D--的余弦值为33-.【点睛】本题考查了线面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19．某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据：根据以上数据，绘制了散点图.观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型by a x=+和指数函数模型dxy ce =分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为$0.296.54x y e -=，ln y 与x 的相关系数10.94r =-.参考数据（其中1i iu x =）：（1）用反比例函数模型求y 关于x 的回归方程；（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.01），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；（3）该企业采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单的概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2；若单价定为90元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为10元，根据（2）的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100元还是90元，请说明理由.参考公式：对于一组数据()11,u υ，()22,u υ，…，(),n n u υ，其回归直线u υαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：µ1221ni i i nii u nu unuυυβ==-=-∑∑，$µau υβ=-，相关系数1222211ni ii n ni i i i u nu r u nu n υυυυ===-=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑.【答案】（1）$10011y x=+；（2）当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为21元；（3）见解析 【解析】（1）令1u x =，则b y a x=+可转化为ˆˆy a bu =+，分别求出ˆˆ,b a 的值，即可求解；（2）直接利用相关关系公式求得y 与1x的相关系数，可得12r r <，得到用反比例函数模型拟合效果更好，取10x =，可得当10千件时，每件产品的分原料成本； （3）分别求出产品单价为100元与产品单价为90元企业的利润，即可得到答案． 【详解】 （1）令1u x =，则by a x=+可转化为y a bu =+， 因为360458y ==，所以8182218183.480.3445611001.5380.1150.ˆ618i i i i i u y uy b u u ==--⨯⨯====-⨯-∑∑，则45ˆˆ1000.3411ay bu =-=-⨯=，所以11100ˆy u =+， 所以y 关于x 的回归方程为10011ˆyx=+； （2）y 与1x的相关系数为：82610.9961.4u y nuyr -===≈，因为12r r <，所以用反比例函数模型拟合效果更好， 当10x =时，100112110y =+=（元）， 所以当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为21元； （3）（i ）若产品单价为100元，记企业利润为X （千元）， 订单为9千件时，每件产品的成本为100219+元，企业的利润为611（千元）， 订单为10千件时，每件产品的成本为31元，企业的利润为690（千元）， 企业利润X （千元）的分布列为所以6110.86900.2626.8EX =⨯+⨯=（千元）； （ii ）若产品单价为90元，记企业利润为Y （千元），订单为10千件时，每件产品的成本为31元，企业的利润为590（千元）， 订单为11千件时，每件产品的成本为1002111+元，企业的利润为659（千元）， 企业利润Y （千元）的分布列为所以5900.36490.7638.3EY =⨯+⨯=（千元）， 故企业要想获得更高利润，产品单价应选择90元. 【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及应用，其中解答中认真审题，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．20．已知Q 为圆221x y +=上一动点，Q 在x 轴，y 轴上的射影分别为点A ，B ，动点P 满足BA AP =u u u r u u u r，记动点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线与曲线C 交于M ，N 两点，判断以MN 为直径的圆是否过定点？求出定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）定点()0,1 【解析】（1）设()00,Q x y ，(),P x y ，利用所给条件建立关系式，利用点Q 在上可得,x y 的方程，即为所求；（2）设顶点为H ，设出直线l 的方程，与椭圆的方程联立方程组，得到根与系数的关系，以及HM HN ⊥，利用向量的数量积为0得到恒等式，求得H 的坐标即可． 【详解】（1）设()00,Q x y ，(),P x y ，则22001x y +=，由BA AP =u u u v u u u v ，可得002x x y y⎧=⎪⎨⎪=-⎩，代入22001x y +=，得2214x y +=，故曲线C 的方程为2214x y +=；（2）假设存在满足条件的定点，由对称性可知该定点必在y 轴上，设定点为()0,H m ， 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为35y kx =-， 联立223514y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()222464140525k x kx +--=， 设()11,M x y ，()22,N x y ， 则()12224514k x x k +=+，()122642514x x k =-+，所以()()12122665514y y k x x k +=+-=-+， ()()2212121212233399100555252514k y y kx kx k x x k x x k -⎛⎫⎛⎫=--=-++= ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭，因为()11,HM x y m =-u u u u v ，()22,HN x y m =-u u u v，所以()()()22221212122100125305502514m k m m HM HN x x y y m y y m k -++-⋅=+-++==+u u u u v u u u v ，对任意的k 恒成立，所以()22100102530550m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得1m =，即定点为()0,1H ，当直线l 的斜率不存在时，以MN 为直径的圆也过点()0,1， 故以MN 为直径的圆过定点()0,1. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 21．已知函数()22ln f x x a x x=--有两个不同的极值点()1212,x x x x >. （1）求实数a 的取值范围；（2）若a >，求证：1x >()()121242ln 23f x f x x x -<-+. 【答案】（1）4a >；（2）见解析【解析】（1）求得函数的导数()2222'x ax f x x-+=，令()222g x x ax =-+，根据函数()g x 在()0,∞+上有两个变号零点，列出不等式组，即可求解；（2）由（1）知()f x有两个不同的极值点，利用韦达定理得211220x -+>，化简()()1122111222412ln 1x f x f x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=-++，令21122x t x x ==>，得出()()()1212412ln 1f x f x t t x x t --=-++，令()()()412ln 21t t t t t ϕ-=->+，利用导数求解函数的单调性与最值，即可求解． 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222222'2a x ax f x x x x-+=-+=， 令()222g x x ax =-+，则函数()g x 在()0,+∞上有两个变号零点，所以()21600400a a g ⎧∆=->⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩， 解得4a >；（2）因为4a >>，由（1）知()f x 有两个不同的极值点，且121221a x x x x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，所以1211122a x x x x +=+=>，所以211220x -+>，解得12x <或1x 12x x >，所以11x >，所以1x()()()()121212121212222ln ln x x a x x f x f x x x x x x x ⎛⎫----- ⎪-⎝⎭=++ ()()()211121221212222ln x x x x x x x x x x x x ---+-=+ ()1122111122224142ln 2ln 1x x x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭=-=-++①，设21122x t x x ==>，①()412ln 1t t t -=-+， 令()()()412ln 21t t t t t ϕ-=->+，则()()()()2222182'011t t t t t t ϕ--=-=<++， 所以()t ϕ在()2,+∞上是减函数，所以()()422ln23t ϕϕ<=-，即()()121242ln23f x f x x x -<-+， 所以原命题得证. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为4cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 103πρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）已知点A 为曲线C 上的动点，当点A 到直线l 的距离最大时，求点A 的直角坐标.【答案】（1）曲线C 的普通方程为221163x y +=，直线l的直角坐标方程为：20x ++=；（2）16,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】(1)本题可根据22cos sin 1a a +=以及4cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩得出曲线C 的普通方程，根据两角差的余弦公式以及cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得出直线l 的直角坐标方程；(2)本题首先可以根据题意设()4cos A αα，然后根据点到直线距离公式以及两角和的正弦公式得出()5sin 22d ++=a j，最后根据三角函数性质即可得出点A 的直角坐标。

2023年5月福建省福州市普通高中毕业班质量检测语文试题（解析版）一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，17分）阅读下面的文字，完成下面小题。

材料一：由于中国和西方历史文化发展进程之不同，中西民族在哲学观念、文化传统、性格气质和审美心理等方面都有明显的差别，反映到民族的艺术性格上也有许多不同。

这种不同在各种艺术中都有表现，建筑艺术也不例外。

和其他艺术门类一样，中国建筑艺术也散发着中华大地特有的泥土芳香，显示了与西方不同的风貌性格。

西方的建筑重在坦率地呈现人心中的激情，把内心的狂热、幻想和茫然，都化成为实在的视觉形象：超人的巨大尺度、强烈的空间对比、神秘的光影变幻、出人意表的体形、飞扬跋扈的动势、骚动不安的气氛。

这些在埃及神庙、拜占庭尤其是哥特或巴洛克教堂以至现代教堂中，都可以找到大量例证。

中国的建筑则与此相反，并不注重表现人心中的狂热，而是重在“再现”精神的宁静与平和。

从艺术角度而言，中国建筑的美就隐蓄在“群”的内部，需要周览全局才能一一呈现。

它鄙视一目了然，不屑于急于求成，因而也更加含蓄温文，更为内在。

即就建筑单体美而言，中国建筑也颇不同于西方之注重外形的奇诡新巧、变化多端，而更多地存在于体、面、线、点的组合显示的整体与局部之间的关系所赋予的和谐、宁静及韵味。

中国建筑更具有一种“绘画”之美。

群中的每一座建筑单体就像是画中的一些长短粗细浓淡不同的线，如果离开全画，这些线就失掉了意义。

太和殿只有在紫禁城的庄严氛围中才有价值，祈年殿也只是在松柏浓郁的天坛环境中才有生命。

群外围绕的城墙或院墙则是画框。

城楼、角楼或院门，则是画框上的重点装饰。

“画框”里面的单体建筑内向而收敛。

西方建筑则更具有一种“雕塑”之美，本身就是完然具足的，雕塑感很强，外向而放射，几乎每座不同，争奇斗胜，突现自己。

中国的建筑重在创造一种群体的内在意境之美，比较含蓄，更多潜化之道；西方则重在创造单体建筑的外在形体之美，比较张扬，更多震撼之力。

2020届湖北省黄冈中学高三下学期5月第三次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．在复平面内，复数11z i=-对应的点位于（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】()()111111122i z i i i i +===+--+Q ， ∴复数11z i =-对应的点的坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限． 故选A ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 2．已知命题:p x R ∀∈,210x x -+>，则p ⌝（ ） A ．x R ∃∈，210x x -+≤ B ．x R ∀∈，210x x -+≤ C ．x R ∃∈，210x x -+> D ．x R ∀∈，210x x -+≥【答案】A【解析】根据全称命题与特称命题互为否定的关系，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题:p x R ∀∈,210x x -+>， 则:p ⌝x R ∃∈，210x x -+≤，故选A ． 【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称性命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．已知m ，n 是空间中的两条不同的直线，α，β是空间中的两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）.A ．若//m n ，//m α，则//n α.B ．若//αβ，//m α，则//m β.C ．若m n ⊥，n ⊂α，则m α⊥.D ．若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥. 【答案】D【解析】由直线n 还可以在平面α内判断A ；由直线m 还可以在平面β内判断B ；由直线m 还可以在平面α内，可以与平面α斜交，或者与平面α平行判断C ；根据面面垂直的判定定理判断D ． 【详解】对于选项A ，符合已知条件的直线n 还可以在平面α内，所以选项A 错误； 对于选项B ，符合已知条件的直线m 还可以在平面β内，所以选项B 错误； 对于选项C ，符合已知条件的直线m 还可以在平面α内，与平面α斜交，或者与平面α平行，所以选项C 错误；对于选项D ，根据面面垂直的判定定理可知其正确性，所以选项D 正确，故选D ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.4．设双曲线2222:1x y C a b-=(00a b >>，)的虚轴长为4，一条渐近线为12y x =，则双曲线C 的方程为A ．221164x y -=B ．221416x y -=C ．2216416x y -=D ．2214y x -=【答案】A【解析】由虚轴长求b ，再由渐近线方程求a ，从而可得到结果. 【详解】因为双曲线2222:1x y C a b-=(00a b >>，)的虚轴长为4，所以24b =，2b =，因为双曲线2222:1x y C a b-=(00a b >>，)的一条渐近线为12y x =，所以1242b a b a =⇒==， ∴双曲线M 的方程为221164x y -=，故选A.【点睛】本题考査双曲线的方程与简单性质,考査双曲线的渐近线，是基础题. 若双曲线方程为22221x y a b -=，则渐近线方程为b y x a =±. 5．已知1cos sin 5αα-=，则cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=( ).A ．2425-B ．45-C ．2425D ．45【答案】C【解析】将1cos sin 5αα-=两边平方，求出24sin 225α=，利用诱导公式可得结果. 【详解】因为1cos sin 5αα-=， 所以22cos 2sin cos sin 1sin 2ααααα-+=-=125， 所以24sin 225α=，cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭24sin 225α=，故选C.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．6．如图，在ABC ∆中，23AN NC =u u u v u u u v ，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u v u u u v u u u v，则实数t 的值为（ ）A．23B．25C．16D．34【答案】C【解析】由题意，可根据向量运算法则得到25AP mAC=+u u u r u u u r（1﹣m）ABu u u r，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值.【详解】由题意及图，()()1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又，23AN NC=u u u r u u u r，所以25AN AC=u u u r u u u r，∴25AP mAC=+u u u r u u u r（1﹣m）ABu u u r，又AP=u u u rt13AB AC+u u u r u u u r，所以12153m tm-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得m56=，t16=，故选C．【点睛】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.7．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图，下列结论正确的是（ ）A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值 【答案】D 【解析】【详解】选项A 错，并无周期变化，选项B 错，并不是不断减弱，中间有增强．C 选项错，10月的波动大小11月分，所以方差要大．D 选项对，由图可知，12月起到1月份有下降的趋势，所以去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值．选D.8．已知函数()()x xf x x e e -=-，对于实数a b ，，“0a b +>”是“()()0f a f b +>”的( ).A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】先判断出函数为奇函数，且为R 的单调增函数，结合单调性与奇偶性利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】因为()()()()xx x x f x x ee x e ef x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，0x >时，()1x x f x x e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在()0,∞+上递增，所以函数()f x 在R 上为单调增函数， 对于任意实数a 和b ，若0a b +>，则()(),a b f a f b >-∴>-，Q 函数()f x 为奇函数，()()f a f b ∴>-，()()0f a f b ∴+>，充分性成立；若()()0f a f b +>，则()()()f a f b f b >-=-，Q 函数在R 上为单调增函数，a b ∴>-，0a b ∴+>，必要性成立，∴对于任意实数a 和b ，“0a b +>”，是“()()0f a f b +>”的充要条件，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性以及充分条件与必要条件的定义，属于综合题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.9．已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2448π+，则r =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】通过三视图可知：该几何体是一个三棱锥和14圆锥组成的几何体，利用几何体的体积求出r 的值. 【详解】通过三视图可知：该几何体是一个三棱锥和14圆锥组成的几何体，设组合体的体积为V , 所以21111943342448,24332V r r r r r r ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⇒+=，故本题选B. 【点睛】本题考查了通过三视图识别组合体的形状，并根据体积求参数问题，考查了数学运算能力.10．已知过抛物线22y x =焦点F 的直线与抛物线交于点A ，B ，3AF FB =u u u v u u u v，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，AM l ⊥于点M ，则四边形AMCF 的面积为（） A ．123 B ．12C ．83D ．63【答案】A【解析】过B 作BN l ⊥于N ，作BK AM ⊥于K ，设BF m =，3AF m =，根据抛物线定义和长度关系可求得3222CF p m ===，进而得到m ，利用m 求得梯形的上下底边长和高，利用梯形面积公式求得结果. 【详解】过B 作BN l ⊥于N ，过B 作BK AM ⊥于K设BF m =，3AF m =，则4AB m =，2AK m =60BAM ︒∴∠= 3222CF p m ∴=== 42m ∴= 342AM m ∴==3sin 603262MC AF m ==⨯=o ()(1122422612322AMCF S CF AM MC ∴=+⋅=⨯⨯=本题正确选项：A 【点睛】本题考查抛物线中四边形面积的求解问题，关键是能够灵活运用抛物线的定义，得到图形中的等量关系，进而求得所需的线段长度.11．设{}(*)n a n N ∈是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n T 是其前n 项的积，且56678T T T T =，，则下列结论错误的是( ) A ．01q <<B ．71a =C ．6T 与7T 均为n T 的最大值D ．95T T >【答案】D【解析】∵{}n a 是各项为正数的等比数列,q 是其公比,n T 是其前n 项的积，由67T T =可得a 7=1，故B 正确； 由56T T <可得a 6>1,∴q=76a a ∈(0,1)，故A 正确； 由{}n a 是各项为正数的等比数列且q ∈(0,1)可得数列单调递减， ∴95T T <，故D 错误；结合56678T T T T T ，=，可得C 正确． 故选D.点睛：本题主要研究的是利用等比数列的性质来研究等比数列积的变化情况，首先确定数列的正负，由条件知是正项数列后，那么积的大小关系就可以转化为项和1的大小关系.12．若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】方程化为，令，求出函数的值域，只需令属于所求值域的补集即可得结果. 【详解】 因为不满足方程， 所以原方程化为化为，，令，时，；时，，令，+ 0-递增 递减当，即时，，综上可得，的值域为，要使无解，则，即使关于的方程没有实数根的实数的取值范围是，故选A.【点睛】本题主要考查利用导数研究方程的根，以及转化与划归思想的应用，属于难题. 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、填空题13．设函数241,0()log ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())2f f =________．【答案】34-【解析】先求得12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，然后求得1(())2f f 的值. 【详解】依题意211log 122f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()113(())14124f f f -=-=-=-. 故答案为：34- 【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，属于基础题.14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，35S a =，2019m a =，则m =________【答案】1010【解析】由题意首先求得数列的公差，然后结合通项公式确定m 的值即可. 【详解】根据题意，设等差数列{}n a 公差为d ， 则()32133S a a d ==+，又由11a =，35S a =，则()3114d d +=+，2d =， 则()11212019m a a m d m =+-=-=，解可得1010m =； 故答案为1010． 【点睛】本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的通项公式，属于中等题．15．设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上的一点，若124PF PF a +=，且12PF F △，则双曲线C 的离心率为__________.【解析】利用双曲线的定义求出1||PF ，12||F F ，2||PF ，然后利用最小内角的余弦值，结合余弦定理，求出双曲线的离心率． 【详解】解：因为1F ，2F 是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上一点，且满足124PF PF a +=，不妨设P 是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知122PF PF a -=， 所以122F F c =，13PF a =，2PF a =，因为12PF F ∆的最小内角的余弦值为3， 由余弦定理可得2222121121122cos PF F F PF F F PF PF F =+-∠，即222492233a c a c a =+-⨯⨯⨯，2220c a -+=，即c =，所以ce a==故答案为：2 【点睛】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力，属于中档题． 16．如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，矩形的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，且球的表面积为16π，点P 在球面上，则四棱锥P ABCD -体积的最大值为__________.【答案】163【解析】由球O 的表面积是16π，求出2R =．四棱锥P ABCD -底面为矩形且矩形的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，推导出底面为正方形时，底面面积最大，由此能求出四棱锥P ABCD -体积的最大值． 【详解】解：因为球O 的表面积是16π，所以2416S R ππ==，解得2R =.如图，四棱锥P ABCD -底面为矩形且矩形的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，设矩形的长宽为x ，y ，则222(2)2x y R xy +=…，当且仅当x y =时上式取等号，即底面为正方形时，底面面积最大，此时228ABCD S R ==.点P 在球面上，当PO ⊥底面ABCD 时，PO R =，即max h R =， 此时四棱锥P ABCD -体积有最大值为1168233⨯⨯=，故答案为：163.【点睛】本题考查四棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．三、解答题17．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，已知222a c b ac +-=，且23b c =.（1）求角A 的大小；（2）设函数()1cos2)cos2f x x B x =++-（，求函数的最大值【答案】（1）512π； （2）max ()2f x = . 【解析】（1）在ABC ∆中利用余弦定理求得cos B 的值，可得B 的值，23b c =，由正弦定理可得C 的值，从而求得A 的值；（2）利用三角恒等变换化简()f x 的解析式，再根据正弦函数的最大值求得()f x 的最大值． 【详解】（1）在△ABC 中，因为2221cos 22a cb B ac +-==，所以3B π=．在△ABC 23b c =2sin 3sin B C =， 所以2sin 2C =，203C π<<，4C π=，故253412A πππ=-=（2）由（1）得()1cos 2cos23f x x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭131cos2cos22x x x =+-- 311cos22x x =- 71sin 26x π⎛⎫=++⎪⎝⎭， 所以()max 2f x =． 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18．如图所示的几何体中，ABC-A 1B 1C 1为三棱柱，且AA 1⊥平面ABC ， AA 1=AC ，四边形ABCD 为平行四边形，AD=2CD=4，∠ADC=60°.（Ⅰ）求证：111AC A B CD ⊥平面； （Ⅱ）求三棱锥11C ACD -的体积． 【答案】（1）见解析；（2）4【解析】（1）推导出AC 1⊥A 1C ，AC ⊥AB ，AA 1⊥AB ，从而AB ⊥平面ACC 1A 1，进而A 1B 1⊥AC 1，由此能证明AC 1⊥平面A 1B 1CD ．（2）由CD ＝2，得AD ＝4，AC ＝AA 1164=-=23，三棱谁C 1﹣A 1CD 的体积：1111C A CD D A C C V V --=，由此能求出结果．【详解】(1)∵111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，1AA AC =，四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，60ADC o ∠=．11AAC C ∴是正方形，11AC AC∴⊥， 设CD a =，则2AD a =，22422cos603AC a a a a a =+-⨯⨯⨯o ，222CD AC AD ∴+=，AC DC ∴⊥，AC AB ∴⊥，1AA AB ⊥Q ，1AC AA A ⋂=Q ，AB ∴⊥平面11ACC A ，111A B AC ∴⊥，1111A B AC A ⋂=Q ，1AC ∴⊥平面11A B CD ． 解：(2)∵2CD =，4AD ∴=，116423AC AA ==-=，∴三棱谁11C A CD -的体积：11111113C A CD D A C C A C C V V CD S --==⨯⨯V ，1122323432=⨯⨯⨯⨯=． 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x 与烧开一壶水所用时间y 的一组数据，且作了一定的数据处理（如下表），得到了散点图（如下图）.xy w()1021ii x x =-∑ ()1021ii w w =-∑ ()()101iii x x y y =--∑ ()()101iii w w y y =--∑1.47 20.60.782.35 0.81 19.3- 16.2表中21i i w x =，101110i i w w ==∑.（1）根据散点图判断，y a bx =+与2dy c x=+哪一个更适宜作烧水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型？（不必说明理由） （2）根据判断结果和表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）若单位时间内煤气输出量t 与旋转的弧度数x 成正比，那么，利用第（2）问求得的回归方程知x 为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据()()()()112233,,,,,,,,n n u v u v u v u v L ，其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为()()()121ˆnii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，ˆv u αβ=- 【答案】（1）选取2d y c x =+更合适；（2）2205y x=+；（3）2x =时，煤气用量最小. 【解析】（1）根据散点图的特点，可得2dy c x=+更适合；（2）先建立y 关于w 的回归方程，再得出y 关于x 的回归方程；（3）写出函数关系，利用基本不等式得出最小值及其成立的条件. 【详解】 （1）选取2dy c x=+更适宜作烧水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型；（2）y c dw =+由公式可得：()()()101102116.2ˆ200.81iii i i w w y y dw w ==--===-∑∑， ˆˆ20.6200.785cy dw =-=-⨯=， 所以所求回归直线方程为：2205y x=+； （3）根据题意，设,0t kx k =>，则煤气用量220205520k S yt kx kx k x x ⎛⎫===+≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当205kkx x=时，等号成立， 即2x =时，煤气用量最小. 【点睛】此题考查根据题意求回归方程，利用线性回归方程的求法得解，结合基本不等式求最值. 20．已知ABC ∆的直角顶点A 在y 轴上，点10B D （，），为斜边BC 的中点，且AD 平行于x 轴.（Ⅰ）求点C 的轨迹方程；（Ⅱ）设点C 的轨迹为曲线Γ，直线BC 与Γ的另一个交点为E .以CE 为直径的圆交y 轴于,M N 、即此圆的圆心为P ,,MPN α∠=求α的最大值. 【答案】（1）24(0)y x x =≠（2）2.3π【解析】试题分析：（1）设BC 的中点D 的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭，根据B AC ⊥,得2•0,4y AB AC x =-=u u u v u u u v 即24y x =；（2）（2）讨论BC 的斜率，求出圆P 的半径和横坐标，计算cos 2α的最小值，进而得到α的最大值.详解：设点C 的坐标为（(),x y ，则BC 的中点D 的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭，点A 的坐标为0,2y ⎛⎫⎪⎝⎭， 1,,,22y y AB AC x ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u uv由AB AC ⊥,得2•0,4y AB AC x =-=u u u v u u u v 即24y x =，经检验，当点C 运动至原点时，A 与C 重合，不合题意舍去. 所以，轨迹Γ的方程为()240y x x =≠.（Ⅱ）依题意，可知直线CE 不与x 轴重合，设直线CE 的方程为1x my =+，点C 、E 的坐标分别为（()()1122,,x y x y 、，圆心P 的坐标为()00,x y .由24,1y xx my ⎧=⎨=+⎩可得2440,y my --= 12124, 4.y y m y y ∴+==- ()21212242,x x m y y m ∴+=++=+ 212021,2x x x m +∴==+∴圆P 的半径 ()()221211124422222r CE x x m m ==++=+=+. 过圆心P 作PQ MN ⊥于点Q ,则2MPQ α∠=.在Rt PQM ∆中，即CE 垂直于x 轴时，cos 2α取得最小值为12，2α取得最大值为3π， 所以，α的最大值为2.3π点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 21．已知函数()ln ()af x x a R x=+∈. （Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性； （Ⅱ）令(5)2()a k g a a--=，若对任意的x ＞0，a ＞0，恒有f （x ）≥g （a ）成立，求实数k 的最大整数. 【答案】（1）见解析（2）7 【解析】（1）()221,a x af x x x x-='=-讨论0a ≤和0a >两种情况；（2）由()()()min 1ln 1f f x a x g a （），=+≥ 成立转化为()()min max f x g a ≥，分离k,构造函数求最值即可. 【详解】（1）此函数的定义域为()0,+∞，()221,a x af x x x x-='=- （1）当0a ≤时，()0,f x '> ()f x ∴在()0,+∞上单调递增，（2）当0a >时， ()()()0,,0,x a f x f x <'∈单调递减，()()(),,0,x a f x f x '∈+∞> 单调增综上所述：当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增当0a >时， ()()0,,x a f x ∈单调递减，()(),,x a f x ∈+∞ 单调递增. （2）由（Ⅰ）知()()min ln 1,f x f a a ==+()()f x g a ∴≥恒成立，则只需()ln 1a g a +≥恒成立，则()522ln 15,a k a k aa--+≥=--2ln 6a k a⇔+≥-，令()2ln ,h a a a=+则只需()min 6,h a k ≥- 则 ()22122,a h a a a a-='=- ()()()0,2,0,a h a h a '∴∈<单调递减， ()()()2,,0,a h a h a '∈+∞>单调递增，()()min 2ln21h a h ==+即ln216,ln27,k k k +≥-∴≤+∴的最大整数为7. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，求最值，考查双变元恒成立问题，综合性强,第二问转化为()()min max f x g a ≥是关键.22．选修4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xoy 取相同单位长度的极坐标系中，曲线2C ：sin()16πρθ-=.（1）求曲线1C 的普通方程以及曲线2C 的平面直角坐标方程；（2）若曲线1C 上恰好存在三个不同的点到曲线2C 的距离相等，求这三个点的极坐标. 【答案】（1）224x y +=， 20x -+=;（2）22,3A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，72,6C π⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】(1)把曲线1C 的参数方程与曲线2C 的极坐标方程分别转化为直角坐标方程；(2)利用图象求出三个点的极径与极角. 【详解】解：（1）由22x cos y sin αα=⎧⎨=⎩消去参数α得224x y +=，即曲线1C 的普通方程为224x y +=， 又由sin 16πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得sin cos cos sin 166ππρθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭即为20x +=，即曲线2C的平面直角坐标方程为20x -+=（2）∵圆心O 到曲线2C：20x -+=的距离112d r ===，如图所示，所以直线40x -+=与圆的切点A 以及直线0x -=与圆的两个交点B ，C 即为所求．∵OA BC ⊥，则3OA k =-OA l 的倾斜角为23π， 即A 点的极角为23π，所以B 点的极角为2326πππ-=，C 点的极角为27326πππ+=，所以三个点的极坐标为22,3A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，72,6C π⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成y 和x 即可.23．[选修4-5：不等式选讲]:已知函数()2f x x a x a =++-. （1）当1a =时，求不等式()42f x x ≥-+的解集； （2）设0a >，0b >，且()f x 的最小值为t .若33t b +=，求12a b+的最小值. 【答案】（1） 7(,][1,)3-∞--+∞U （2）322+【解析】（1）当1a =时，()|2||1|f x x x =++-，原不等式可化为2|2||1|4x x ++-≥，分类讨论即可求得不等式的解集；（2）由题意得，()f x 的最小值为t ，所以3t a =，由333a b +=，得1a b +=，利用基本不等式即可求解其最小值． 【详解】（1）当1a =时，()21f x x x =++-，原不等式可化为2214x x ++-≥，① 当2x ≤-时，不等式①可化为2414x x ---+≥，解得73x ≤-，此时73x ≤-； 当21x -<<时，不等式①可化为2414x x +-+≥，解得1x ≥-，此时11x -≤<； 当1x ≥时，不等式①可化为2414x x ++-≥，解得13x ≥，此时1x ≥， 综上，原不等式的解集为][7,1,3⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭.（2）由题意得，()2f x x a x a =++-≥ ()()23x a x a a +--=，因为()f x 的最小值为t ，所以3t a =，由333a b +=，得1a b +=，所以()1212a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭ 2333b a a b =++≥+=+ 当且仅当2b aa b =，即1a =，2b =-12a b+的最小值为3+【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

长春市2020届高三质量监测（一）文科数学本试卷共4页．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数2z i +=-，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C 【解析】试题分析：复数2z i =-+的共轭复数为2z i =--，在复平面内对应点的坐标为，所以位于第三象限．选C 考点：复数的概念及运算2.已知集合{2A x x =≥或}2x ≤-，{}230B x x x =->，则AB =（ ）A. ∅B. {3x x >或}2x ≤-C. {3x x >或}0x < D. {3x x >或}1x <【答案】B 【解析】 【分析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可．【详解】解：{}230B x x x =->{|0B x x ∴=<或3}x >，{2A x x =≥或}2x ≤-，{|2AB x x ∴=-或3}x >．故选：B ．【点睛】考查描述法的定义，绝对值不等式和一元二次不等式的解法，以及交集的运算,属于基础题．3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 515S =，45a = ，则9S =( ) A. 45 B. 63C. 54D. 81【答案】B 【解析】 【分析】根据给出条件求出3a ，利用3a ，4a ，5a 成等差数列计算5a ，再根据前n 项和性质计算9S 的值.【详解】由515S =得33a =，45a =,∴57a = ∴95963S a == 故选B.【点睛】等差数列性质：2(2)m n p q c a a a a a m n p q c +=+=+=+=； 等差数列前n 项和性质：12121()(21)(21)2n n n a a n S n a --+-==-.4.已知条件:1p x >，条件:2q x ≥，则p 是q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】利用集合间的关系推出p q 、之间的关系.【详解】{|1}x x>{|2}x x ≥，则p 是q 的必要不充分条件,故选B.【点睛】p 成立的对象构成的集合为A ，q 成立的对象构成的集合为B ：p 是q 的充分不必要条件则有：A B ；p 是q 的必要不充分条件则有：BA .5.2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线ˆ13.7433095.7yx =+，其相关指数2R 0.9817=，给出下列结论，其中正确的个数是( )①公共图书馆业机构数与年份正相关性较强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个 ③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个 A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据ˆb和2R 确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据ˆb 的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测2019年公共图书馆业机构数.【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又2R 0.9817=趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确； 由回归方程，当7x =时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确. 故选D.【点睛】回归直线方程中的ˆb 的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数2R 决定了相关性的强弱，越接近1相关性越强.6.已知直线0x y +=与圆22(1)()2x y b -+-=相切，则b =( )A. 3-B. 1C. 3-或1D.52【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径来求解.=∴|1|2b +=∴13b b ==-或 故选C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系中的相切，难度较易；注意相切时，圆心到直线的距离等于半径.7.已知31()3a =，133b =，13log 3c =，则( )A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】分析每个数的正负以及与中间值1的大小关系.【详解】因为311()()133a <<=，103331>=，1133log 3log 10<=，所以01,1,0a b c <<><，∴c a b <<，【点睛】指数、对数、幂的式子的大小比较，首先确定数的正负，其次确定数的大小（很多情况下都会和1作比较），在比较的过程中注意各函数单调性的使用. 8.已知,,a b c 为直线，,,αβγ平面，则下列说法正确的是( ) ①,a b αα⊥⊥，则//a b ②,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ③//,//a b αα，则//a b ④//,//αγβγ，则//αβ A. ①②③ B. ②③④C. ①③D. ①④【答案】D 【解析】 【分析】①可根据线面垂直的性质定理判断；②③④可借助正方体进行判断.【详解】①由线面垂直的性质定理可知垂直同一平面的两条直线互相平行，故正确；②选取正方体的上下底面为αβ、以及一个侧面为γ，则//αβ，故错误；③选取正方体的上底面的对角线为a b 、，下底面为α，则//a b 不成立，故错误；④选取上下底面为αβ、，任意作一个平面平行上底面为γ，则有 //αβ成立，故正确.所以说法正确的有：①④. 故选D.【点睛】对于用符号语言描述的问题，最好能通过一个具体模型或者是能够画出相应的示意图，这样在判断的时候能更加直观. 9.函数2sin()y x ωϕ=+(0,||)2πωϕ><的图象（部分图象如图所示） ，则其解析式为( )A. ()2sin(2)6f x x π=+ B. ()2sin()6f x x π=+C. ()2sin(4)6f x x π=+D. ()2sin()6f x x π=-【答案】A【分析】（1）通过(0,1)以及ϕ的范围先确定ϕ的取值，再根据()f x 过点11(,0)12π计算ω的取值. 【详解】由2sin(0)1,||2πωϕϕϕ⋅+=<π,∴=6， 由111111242sin()0,,,002121261211k k Z T πωπϕωππωπωω⋅+=⋅+=∈>>∴<<=∴即2sin(2)6y x π=+，即为()f x 解析式.【点睛】根据三角函数的图象求解函数解析式时需要注意：（1）根据周期求解ω的值；（2）根据图象所过的特殊点求解ϕ的值；（3）根据图象的最值，确定A 的值.10.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为51-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A. (35)π-B. 51)πC. 51)πD.(52)π【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角.【详解】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比， 设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ，则αβ=，又2αβπ+=，解得(3απ=- 【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易.扇形的面积公式：21122S r lr α==，其中α是扇形圆心角的弧度数，l 是扇形的弧长.11.已知F 是抛物线24y x =的焦点，则过F 作倾斜角为60︒的直线分别交抛物线于,A B （A 在x 轴上方）两点，则||||AF BF 的值为( )B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的焦半径的倾斜角和焦准距的表示形式将||||AF BF 表示出来，然后代入相应值计算即可.【详解】||1cos60p AF =-︒，||1cos60pBF =+︒∴||10.53||10.5AF BF +==-. 【点睛】焦点在x 轴上的抛物线，过抛物线的焦点倾斜角为θ的直线与抛物线交于,A B 两点，且||||AF BF >，则有||1cos p AF θ=-，||1cos p BF θ=+，22||sin pAB θ=. 12.已知函数1(0)()(0)xe xf x x -⎧-≤⎪=>，若存在0x R ∈ 使得00()(1)1f x m x --≤成立，则实数m 的取值范围为( ) A. (0,)+∞B. [1,0)(0,)-+∞ C. (,1][1,)-∞-+∞D.(,-∞-∞1](0,+)【答案】D 【解析】 【分析】数形结合去分析，先画出()f x 的图象，然后根据直线过(1,1)-将直线旋转，然后求解满足条件的m 取值范围.【详解】如图, 直线0(1)1y m x =--过定点(1,1)P -,m 为其斜率，0m >满足题意，当0m <时，考虑直线与函数1xy e -=-相切，此时000(1)11x x m x e m e --⎧--=-⎨=-⎩，解得010m x =-⎧⎨=⎩，此时直线与1x y e -=-的切点为(0,0)，∴1m ≤-也满足题意.选D【点睛】分段函数中的存在和恒成立问题，利用数形结合的思想去看问题会更加简便，尤其是直线与曲线的位置关系，这里需要注意：（1）直线过定点；（2）临界位置的切线问题. 二、填空题：本题共4小题． 13.已知1sincos225αα-=，则sin α=_____. 【答案】2425【解析】 【分析】将所给式子平方，找到sin α与sin cos22αα-的关系.【详解】1sincos225αα-=平方得242sin cos 2225αα= ∴24sin 25α=.【点睛】sin cos αα±与sin cos αα的关系：2(sin cos )12sin cos αααα±=±；14.设变量x ，y 满足约束条件03420x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于______．【答案】8- 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，3z x y =-得1133y x z =-，利用数形结合即可的得到结论． 【详解】解：画出可行域如图，3z x y =-变形为1133y x z =-，过点(2,2)A --，z 取得最大值4， 过点(2,2)C -取得最小值8-． 故答案为：8-．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 15.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥,10PA =2,2AB AC ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为_____. 【答案】16π 【解析】 【分析】根据题设位置关系，可知以,,AB AC PA 为长、宽、高的长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球，根据这一特点进行计算.【详解】设外接球的半径为R ，则2222(2)16R PA AB AC =++= ∴16S π=【点睛】对于求解多条侧棱互相垂直的几何体的外接球，可考虑将该几何体放入正方体或者长方体内，这样更加方便计算出几何体外接球的半径. 16.已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(,)m b c a b =--,(sin ,sin sin )n C A B =+，且m n ⊥，则A =____;若△ABC 的面积为3ABC 的周长的最小值为_____.【答案】 (1). 3π(2). 6 【解析】【分析】先根据向量垂直得出边角关系，然后利用正、余弦定理求解A的值；根据面积以及在余弦定理，利用基本不等式，从而得到周长的最小值（注意取等号条件）.【详解】由m n ⊥得(,)(sin ,sin sin )()sin ()(sin sin )0m n b c a b C A B b c C a b A B ⋅=--⋅+=-+-+=()()()0b c c a b a b -+-+=得222a b c bc =+-,∴2221cos 22b c a A bc +-==∴3A π=；1sin 2S bc A ==4bc =又222224a b c bc b c =+-=+-所以6a b c b c ++=+（当且仅当2b c ==时等号成立） 【点睛】（1）1122(,),(,)a x y bx y ==，若a b ⊥垂直，则有：12120x x y y +=；（2）222(0,0)a b ab a b +≥>>取等号的条件是：a b =.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17.已知数列{}n a 中，12a =，1122n n n a a ++=+，设2nn na b =. （Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列； （Ⅱ）求数列11{}n n b b +的前n 项和n S . 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）111n S n =-+ 【解析】 【分析】（1）证明1n n b b c --=（c 为常数）即可；（2）将11n n b b +采用裂项的方式先拆开，然后利用裂项相消的求和方法求解n S .【详解】（Ⅰ）证明：当2n ≥时，111121222n n n n n n n n n a a a a b b ------=-== 11b =，所以{}n b 是以为1首项，为1公差的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，n b n =，所以+11111n n b b n n =-+，所以1111111122311n S n n n =-+-++-=-++. 【点睛】常见的裂项相消形式： （1）111(1)1n n n n =-++；（2=（3）1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+； （4）112311(31)(31)3131n n n n n ++=-----. 18.环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试，以确定它的行车里程的等级，下表是对100辆新车模型在一个耗油单位内行车里程（单位：公里）的测试结果．（1）做出上述测试结果的频率分布直方图，并指出其中位数落在哪一组；（2）用分层抽样的方法从行车里程在区间[)38,40与[)40,42的新车模型中任取5辆，并从这5辆中随机抽取2辆，求其中恰有一个新车模型行车里程在[)40,42内的概率． 【答案】（1）图见解析；中位数在区间[)36,38 （2）35【解析】 【分析】(1)由频率分布表可画出频率分布直方图，由图可求出中位数所在区间．(2)由题意，设从[38，40)中选取的车辆为A ，B ，C ，从[40，42)中选取的车辆为a ，b ，利用列举法从这5辆车中抽取2辆，其中恰有一个新车模型行车里程在[40，42)内的概率． 【详解】（1）由题意可画出频率分布直方图如图所示：由图可知，中位数在区间[)36,38．（2）由题意，设从[)38,40中选取的车辆为A ，B ，C ， 从[)40,42中选取的车辆为a ，b ，则从这5辆车中抽取2辆的所有情况有10种，分别为AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab ，其中符合条件的有6种，Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，所以所求事件的概率为35. 【点睛】本题考查概率与统计的相关知识，考查频率分布直方图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．19.在三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC 、平面1ACC A 、平面11BCC B 两两垂直.（Ⅰ）求证：1,,CA CB CC 两两垂直；（Ⅱ）若1CA CB CC a ===，求三棱锥11B A BC -的体积. 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）316a 【解析】 【分析】（1）通过辅助线以及根据面面垂直的性质定理可证1,,CA CB CC 中任意一条直线垂直于另外两条直线构成的平面，即垂直于另外两条直线；（2）采用替换顶点的方式计算体积，计算出高和底面积即可计算体积. 【详解】（Ⅰ）证明：在ABC ∆内取一点P ，作,PD AC PE BC ⊥⊥，因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，其交线为AC ，所以PD ⊥平面11ACC A ，1PD CC ⊥， 同理1PE CC ⊥，所以1CC ⊥平面ABC ，11,CC AC CC BC ⊥⊥， 同理AC BC ⊥，故1,,CC AC BC 两两垂直.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，三棱锥11A BCB -的高为11A C a =，1211122BCB S BC BB a ∆=⋅=，所以三棱锥11B A BC -的体积为316a . 【点睛】（1）面面垂直的性质定理：两个平面垂直，一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直；（2）计算棱锥的体积时，有时候可考虑采用替换顶点的方式去简化计算.a 20.已知点(1,0),(1,0)M N -，若点(,)P x y 满足||||4PM PN +=. （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）过点(Q 的直线l 与（Ⅰ）中曲线相交于,A B 两点，O 为坐标原点， 求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）AOB ∆面积的最大值为，此时直线l 的方程为3x y =±. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义求解轨迹方程；（2）设出直线方程后，采用1||2AB d ⨯⨯（d 表示原点到直线AB 的距离）表示面积，最后利用基本不等式求解最值.【详解】解：（Ⅰ）由定义法可得，P 点的轨迹为椭圆且24a =，1c =.因此椭圆的方程为22143x y +=.（Ⅱ）设直线l的方程为x ty =-与椭圆22143x y +=交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与椭圆的方程消去x可得22(34)30t y +--=，即12234y y t +=+，122334y y t -=+. AOB ∆面积可表示为1211||||22AOB S OQ y y =⋅-=△2216223434t t ===++u =，则1u ≥，上式可化为26633u u u u=++≤当且仅当u=t = 因此AOB ∆l的方程为x y =-【点睛】常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题：（1）已知点(,0),(,0)M c N c -，若点(,)P x y 满足||||2PM PN a +=且22a c >，则P 的轨迹是椭圆；（2）已知点(,0),(,0)M c N c -，若点(,)P x y 满足||||||2PM PN a -=且22a c <，则P 的轨迹是双曲线. 21.设函数1()ln x f x x x+=+. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若(0,1)x ∈时，不等式1ln 2(1)xx a x +<--恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()2f x =极小值，无极大值；（Ⅱ）01a <≤ 【解析】 【分析】（1）求导后，求解导函数零点，并用列表法分析极值；（2）对所给不等式进行变形，将ln x 分离出来便于求导，同时构造新函数2(1)()ln (01)1a x g x x x x -=-<<+，分析(0,1)x ∈时，()0>g x 恒成立时a 的范围.【详解】解：（Ⅰ）令21()0x f x x-'==，1x =()= (1)2f x f ∴=极小值，无极大值；（II ）由题意可知，0a >，则原不等式等价于2(1)ln 01a x x x -->+，令2(1)()ln (01)1a x g x x x x -=-<<+，22((24)1)()(1)x a x g x x x -+-+'=+，①当01a <≤时，2(24)10x a x +-+≥，()0g x '≤，()g x 在(0,1)上单调递减，()(1)0g x g >=，成立；②当1a >时，2000(0,1),(24)10x x a x ∃∈+-+=，使得当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当0(,1)x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，故当0(,1)x x ∈时，()(1)0g x g <=，不成立；综上所述，01a <≤.【点睛】根据不等式恒成立求解参数范围的问题常用的方法：（1）分类讨论法（所给不等式进行适当变形，利用参数的临界值进行分析）； （2）参变分离法（构造新的函数，将函数的取值与参数结合在一起）.（二）选考题：请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos 3ρρθ-=. （Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与圆C 交于,A B 两点，点(1,2)P ，求||||PA PB ⋅的值.【答案】（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y +-=，圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=.（Ⅱ）2 【解析】 【分析】（1）求直线l 的普通方程，消去参数t 即可；求圆的直角坐标方程利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩互化即可.（2）根据直线所过定点，利用直线参数方程中t 的几何意义求解||||PA PB ⋅的值. 【详解】解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y +-=， 圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=. （Ⅱ）联立直线l 的参数方程与圆C的直角坐标方程可得22(1)(2)4(1)30++---=，化简可得220t +-=. 则12||||||2PA PB t t ⋅==.【点睛】（1）直角坐标和极坐标互化公式：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩；（2）直线过定点P ，与圆锥曲线的交点为A B 、，利用直线参数方程中t 的几何意义求解：||||||AB PA PB 、，则有12||||AB t t =-，12||||||PA PB t t =.23.已知函数()|3||1|f x x x =+-- . （Ⅰ）解关于x 的不等式()1f x x +≥ ；（Ⅱ）若函数()f x 的最大值为M ，设0,0a b >>，且(1)(1)a b M ++=，求+a b 的最小值. 【答案】（Ⅰ）(,5][1,3]-∞--；（Ⅱ）最小值为2 【解析】 【分析】（1）采用零点分段的方法解不等式；（2）计算出()f x 的最大值，再利用基本不等式求解+a b 的最小值.【详解】（Ⅰ）由题意(3)(1),34,3()(3)(1),3122,31(3)(1),14,1x x x x f x x x x x x x x x x ----<--<-⎧⎧⎪⎪=+---≤≤=+-≤≤⎨⎨⎪⎪+-->>⎩⎩当3x <-时，41x -+≥，可得5x ≤-，即5x ≤-.当31x -≤≤时，221x x ++≥，可得1x ≥-，即11x -≤≤. 当1x >时，41x +≥，可得3x ≤，即13x <≤. 综上，不等式()1f x x +≥的解集为(,5][1,3]-∞--.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数()f x 的最大值4M =，且14ab a b +++=， 即23()()2a b a b ab +-+=≤，当且仅当a b =时“=”成立， 可得2(2)16a b ++≥，即2a b +≥，因此+a b 的最小值为2.【点睛】（1）解绝对值不等式，最常用的方法就是零点分段：考虑每个绝对值等于零时x 的值，再逐段分析；（2）注意利用||||||x a x b a b -+-≥-，||||||x a x b a b ---≤-求解最值.。

2020届普通高中教育教学质量监测考试语文注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

2.全部答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

3.本试卷满分150分,测试时间150分钟。

4.考试范围:高考全部内容。

一、现代文阅读(36分)(一)论述类文本阅读(本题共3小题,9分)阅读下面的文字,完成1-3题。

在大数据基础上,深度学习和强化学习技术势如破竹,正引领着时下人工智能的热潮。

一方面，相比于二十世纪八十年代的浅层神经网络,深层神经网络不仅在图像、语音及自然语言处理等方面大放异彩，而且与人类大脑神经系统的多层结构更加相似;另一方面,强化学习通过与环境互动所获得的奖惩来调节系统权重结构,使主体在最大化期望奖励诱导下不断修订从状态到动作的映射策略，从而实现快速提升系统性能的目的。

前者受到认知神经科学的启发，,后者则与心理学中经典的行为主义范式如出一辙。

更不必说,为了改进深度学习和强化学习技术而引入的注意力、长短时记忆等机制几乎是直接照搬了心理学术语，用心理学词汇和理论武装人工智能现已蔚然成风。

这并不奇怪,毕竟人工智能的核心目标就是研发愈加接近人类的高级的智能系统,而真正的智能也必然具有一定的心理活动。

在这种情况下,公众对人工智能的期望水涨船高,人工智能“友善论"或“威胁论"的论调层出不穷,文学和影视作品则及时将其呈现到人们的眼前，仿佛类人智能机器人明天就会到来一般。

与此同时,人工智能产品也迅速地向心理学领城渗透。

例如,基于面部表情的情绪识别系统,基于大数据分析技术的舆情分析或自杀预警系统,基于GIS的大规模人群跟踪调查系统,基于VR技术的心理健康干预系统,基于行为特征的测谎系统等等。

遗憾的是，琳琅满目的各色项目解决的只是心理学的应用问题,而对于心理学核心的理论问题却没有什么实质性的帮助。

实际上,当前人工智能领域中主流的深度学习和强化学习与人脑和心理差距甚远。

准考证号姓名.（在此卷上答题无效）2023年5月福州市高三毕业班质量检测数学试题注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2,3,5,7,8A =，{}1,5,,8,9B a =，若{}3,5,8A B =I ,则a =A ．2B ．3C ．6D ．72.在复平面内，复数1z对应的点位于第二象限，则复数z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知向量b 在单位向量a 上的投影向量为4-a ，则+⋅=（）a b a A ．3-B ．1-C ．3D ．54.为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例P 关于贷款人的年收入x （单位：万元）的Logistic 模型：0.96800.9680e ()1e kxkxP x -+-+=+．已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%．若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为（精确到0.01万元，参考数据：ln 3 1.0986≈，ln 20.6931≈）A ．4.65万元B ．5.63万元C ．6.40万元D ．10.00万元5.已知ABC △的外接圆半径为1，π3A =，则cos cos AC C AB B ⋅+⋅=A ．12B ．1C ．2D 6.“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨．某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨．现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有A ．15种B ．18种C ．19种D ．36种7.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．若直线l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则A ．α//β，l //αB ．α⊥β，l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l8.已知0a >，函数()()1e a x f x -=，()()222g x x a x b =-+++．若()()f x g x >，则ba的取值范围是A ．2(,)e-∞-B ．(),1-∞-C ．1(,2-∞-D ．2(,0)e-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知互不相同的9个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的7个数据与原9个数据相比，下列数字特征中不变的是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．第40百分位数10.已知椭圆C ：22px qy r +=，其中p ，q ，r 成公比为2的等比数列，则A ．C 的长轴长为2B ．C 的焦距为C ．C 的离心率为2D ．C 与圆()2231x y -+=有2个公共点11.如图，一个半径为3m 的筒车，按逆时针方向匀速旋转1周．已知盛水筒P 离水面的最大距离为5.2m ，旋转一周需要60s ．以P 刚浮出水面时开始计算时间，P 到水面的距离d (单位：m)(在水面下则d 为负数)与时间t (单位：s)之间的关系为()ππsin 0,0,22d A t K A ωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭，[0,60]t ∈，下列说法正确的是A ． 2.2K =B ．π30ω=C ． 2.2sin 3ϕ=D ．P 离水面的距离不小于3.7m 的时长为20s 12.已知函数()f x 定义域为R ，满足()()122f x f x +=，当11x ≤-<时，()f x x =．若函数()y f x =的图象与函数121()(20232023)2x g x x +⎡⎤⎢⎣⎦⎛⎫=- ⎪⎝⎭≤≤的图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L ，（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则A ．()g x 是偶函数B ．2024n =C ．10ni i x ==åD ．10121011122ni i y -==-å第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13.已知变量x 和y 的统计数据如下表：x 678910y3.54566.5若由表中数据得到经验回归直线方程为ˆˆ0.8yx a =+，则10x =时的残差为（注：观测值减去预测值称为残差）．14.写出经过抛物线28y x =的焦点且和圆()2214x y +-=相切的一条直线的方程．15.已知圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为．16.不等式π1sin46x x <+的解集为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）如图，直线12l l ∥，线段DE 与12,l l 均垂直，垂足分别是,E D ，点A 在DE 上，且1,2AE AD ==.,C B 分别是12l l ,上的动点，且满足π3BAC ∠=．设ABD x ∠=，ABC △面积为()S x ．（1）写出函数解析式()S x ；（2）求()S x 的最小值．18.（12分）学校有A ，B 两家餐厅，周同学每天午餐选择其中一家餐厅用餐．第1天午餐选择A餐厅的概率是13，如果第1天去A 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为35；如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为34．（1）记周同学前两天去A 餐厅的总天数为X ，求X 的数学期望；（2）如果周同学第2天去B 餐厅，那么第1天去哪个餐厅的可能性更大？请说明理由．19.（12分）如图，四边形A 1ABB 1是圆柱的轴截面，CC 1是母线，点D 在线段BC 上，直线A 1C //平面AB 1D ．（1）记三棱锥B 1-ABD 的体积为V 1，三棱锥B 1-ABC 的体积为V 2，证明：212V V =；（2）若CA =2，CB =4，直线A 1C 到平面AB 1D 的距离为43，求直线CC 1与平面AB 1D 所成角的正弦值．20.（12分）已知数列{}n a 满足12211,1022n n n a a a a a n ++==++=+．（1）若1n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式；（2）求使n a 取得最小值时n 的值．21.（12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，O 为原点，点(1,1)P 在C 的渐近线上，PAO △的面积为12．（1）求C 的方程；（2）过点P 作直线l 交C 于,M N 两点，过点N 作x 轴的垂线交直线AM 于点G ，H 为NG 的中点，证明：直线AH 的斜率为定值．22.（12分）已知a R Î，函数()()11e x f x x a -=--．（1）讨论()f x 在(,)b -∞上的单调性；（2）已知点(),P m m ．（i ）若过点P 可以作两条直线与曲线()1e 113x y x -=+-<<相切，求m 的取值范围；（ii ）设函数122e 1,11,()ln(1)1,1e 1e x x h x x x --⎧+-<<⎪=⎨-++<<+⎪⎩．若曲线()y h x =上恰有三个点iT （1,2,3i =）使得直线i PT 与该曲线相切于点i T ，写出m 的取值范围（无需证明）．质量抽测数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。