2018中考冲刺专题—隐形圆模型基本类型图形解读与应用

初中数学冲刺重难点：隐圆问题的7种模型初中数学中的隐圆问题是一个较为复杂的概念，涉及多种模型。

以下是七种常见的隐圆模型：模型一：动点到定点的距离等于定长在这个模型中，一个动点到一个固定点的距离始终等于一个定长。

这个模型可以通过在圆上任意选择一个点，并连接该点和圆心，形成一个半径，然后通过旋转半径来寻找符合条件的点。

模型二：定点到动点的距离随动点的移动而变化在这个模型中，一个定点到另一个动点的距离会随着动点的移动而不断变化。

这个模型可以通过在圆上选择一个定点，并连接该点和圆心，形成一个半径，然后移动半径来寻找符合条件的点。

模型三：直角所对的直径在这个模型中，一个直径所对的圆周角必须是直角。

这个模型可以通过在圆上选择一个点，并连接该点和圆心，形成一个直径，然后通过旋转直径来寻找符合条件的点。

模型四：四点共圆在这个模型中，四个点都在同一个圆上。

这个模型可以通过在圆上选择四个点，并连接这四个点形成一个四边形，然后通过旋转四边形的边来寻找符合条件的点。

模型五：三角形外接圆在这个模型中，一个三角形有三个顶点，这三个顶点都在同一个圆上。

这个模型可以通过在圆上选择三个点，并连接这三个点形成一个三角形，然后通过旋转三角形的边来寻找符合条件的点。

模型六：圆与多边形的内切与外接在这个模型中，一个圆与一个多边形相切或相离。

这个模型可以通过在圆上选择一个点，并连接该点和圆心，形成一个半径，然后通过旋转半径来寻找符合条件的点。

模型七：两圆相交、相切、相离在这个模型中，两个圆相交、相切或相离。

这个模型可以通过在两个圆上分别选择两个点，并连接这两组对应点形成两个直径，然后通过旋转直径来寻找符合条件的点。

隐形圆(4大模型与6类题型)第一部分【模型梳理与题型目录】隐形圆模型是初中数学中的重要知识点，常用于解决一些看似没有直接使用圆的知识但实际上需要运用圆的性质来解决的问题，隐形圆常常用于解决最值问题.本专题梳理了隐形圆四大模型，供大家参考使用.【模型1】 定点定长模型【模型分析】(1)出现共端点、等线段时，可以利用圆的定义构造辅助圆；(2)如图1，若OA=OB =OC，则A、B、C在以O为圆心，OA为半径的圆上.由圆周角定理可得：∠ABC= 1∠AOC,∠ACB=12∠AOB,∠BAC=12∠BOC.2图1【模型2】 90°圆周角模型【模型分析】如图2，在△ABC中，∠C=90°，点C为动点，则点C的轨迹是以AB为直径的⊙O (不包含A、B两点)．注：作出辅助圆是关键，计算时结合求点圆、线圆、最值等方法进行相关计算．图2应用：常用于解决直角三角形中动点的轨迹问题。

【模型3】 定弦定角模型【模型分析】固定的线段只要对应固定的角度，那么这个角的顶点轨迹为圆的一部分．如图①，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等；(注意：弦AB所对的劣弧(AB)上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)如图②，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知点C不唯一．当∠C<90°时，点C在优弧上运动；当∠C=90°时，点C在半圆上运动，且线段AB是⊙O的直径；当∠C >90°时，点C在劣弧上运动．【模型4】‌四点共圆模型【模型分析】在四边形ABCD中，若∠A+∠C=1800，则A、B、C、D在圆O上，称之为A、B、C、D四点共圆.图3应用：常用于解决四点共圆的问题，如角度相等、线段最值等问题.【题型1】‌定点定长模型......................................................3;【模型2】 90°圆周角模型...................................................6;【题型3】‌定弦定角模型.....................................................11；【题型4】‌四点共圆模型.....................................................15；【题型5】直通中考.........................................................20；【题型6】拓展延伸.........................................................23.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】 定点定长模型1.(23-24九年级上·福建福州·期末)如图，在等边△ABC中，AB=4，D，E分别是边AB,BC上的动点(不与△ABC的顶点重合)，连接AE,CD相交于点F，连接BF，若∠BDF+∠BEF=180°，则BF的最小值为．【433/433【∠BDF +∠BEF =180°，∠DFE =120°，∠AFC =120°，F 在以O 为圆心OA 的长为半径∠AOC =120°的圆弧上运动OA ,OC ,OB ,OF ，OA =OC =OF ,BF ≥OB -OF ，△AOB ≌△COB ，△AOB 为含30度角的直角三角形进行求解即可．解∵等边△ABC ，∴∠ABC =60°，AB =BC ，∵∠BDF +∠BEF =180°，∴∠DFE +∠ABC =360°-∠BDF +∠BEF =180°，∴∠DFE =120°，∴∠AFC =120°，∴点F 在以O 为圆心OA 的长为半径∠AOC =120°的圆弧上运动OA ,OC ,OB ,OF ，OA =OC =OF ,BF ≥OB -OF ，∵AB =BC ，OB =OB ,OA =OC ，∴△AOB ≌△COB ，∴∠ABO =∠CBO =12∠ABC =30°，∠AOB =∠BOC =12∠AOC =60°，∴∠BAO =90°，∴BO =2AO ，AB =3AO =4，∴AO =433，∴BO =2OA =833，OF =AO =433，∴BF ≤433，BF 的最小值为433；故答案为433．【30度角的直角三角形一点到圆上一点的最值F 的运动轨迹．2.(24-25九年级上·全国·课后作业)如图，P 是边长为1的正方形ABCD 内的一个动点，且满足∠PBC +∠PDC =45°，则CP 的最小值是()A.2-2B.12C.22D.2-1【答案】D【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理，在凹四边形BCDP中，求出∠BPD=135°，得点P在运动过程中，使得∠BPD=135°，即点P在正方形ABCD内，以A为圆心，AB长为半径的圆弧上，如解图，连接AP，AC，当A、P、C三点共线时，CP取得最小值，最小值为AC-AP，求出AC和AP的长度，即可得到结果，解本题的关键是证明∠BPD是定值，从而得到点P的轨迹．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，在凹四边形BCDP中，∵∠BCD=90°，∠PBC+∠PDC=45°，∴∠BPC+∠CPD=360°-∠BCD-(∠PBC+∠PDC)=225°，∴∠BPD=360°-(∠BPC+∠CPD)始终为135°，得点P在运动过程中，使得∠BPD=135°，即点P在正方形ABCD内，以A为圆心，AB长为半径的圆弧上，如解图，连接AP，AC，，由解图可得AP+CP≥AC，当A、P、C三点共线时，CP取得最小值，最小值为AC-AP，在Rt△ABC中，∵AB=BC=1，∴AC=AB2+BC2=2，∵AP=AB=1，∴CP最小=AC-AP=2-1，故选：D．3.(24-25九年级上·江苏宿迁)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF=4，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为()A.30B.32C.35D.38【答案】D【分析】首先连接AC，BG，证明G在以B为圆心，2为半径的圆弧上，过B作BH⊥AC于H，当G在BH 上时，△ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，再进一步解答即可．解：连接AC，BG，∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，S矩形=48，∵EF=4，G为EF的中点，∴BG=12EF=2，∴G在以B为圆心，2为半径的圆弧上，过B作BH⊥AC于H，当G在BH上时，△ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，四边形AGCD面积=三角形ACG面积+三角形ACD面积，即四边形AGCD面积=三角形ACG面积+24．设圆弧交BH于G ，此时四边形AGCD面积取最小值，由勾股定理得：AC=62+82=10，∵1 2AC⋅BH=12AB⋅BC，∴BH=4.8，∴G H=2.8，即四边形AGCD面积的最小值=12×10×2.8+24=38．故选：D．【点拨】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，圆的确定，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出G点的运动轨迹．【题型2】 90°圆周角模型4.(2024·湖南娄底·一模)如图，正方形ABCD的边长为a，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，AE与BF相交于点G，连接CG，则CG的最小值为．【答案】5-1 a2【分析】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握90°的圆周角所对的弦是直径是解答本题的关键．通过证明△ABE ≌△BCF SAS ，可证∠AGB =90°，则点G 在以AB 为直径的一段弧上运动，当点G 在OC 与弧的交点处时，CG 最短，然后根据勾股定理求出OC 的长即可求解．解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =∠BCF =90°，AB =BC =a ，∴在△ABE 和△BCF 中，AB =BC∠ABC =∠BCFBE =CF∴△ABE ≌△BCF SAS ，∴∠BAE =∠CBF ，∵∠ABF +∠CBF =90°，∴∠ABF +∠BAE =90°，∴∠AGB =90°，∴点G 在以AB 为直径的一段弧上运动，设AB 的中点为O ，则当点G 在OC 与弧的交点处时，CG 最短，∵AB =a ，∴OB =OG =a 2，∴OC =a 2 2+a 2=52a ，∴CG=OC -OG =5-1 a 2，故答案为：5-1 a 2．5.(23-24九年级下·山东日照)如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点F 是正方形内一点，连接CF ,DF ，且∠ADF =∠DCF ，点E 是AD 边上一动点，连接EB ,EF ，则EB +EF 长度的最小值为()A.13-1B.10-1C.10D.5+1【答案】A【分析】根据正方形的性质得到∠ADC=90°，推出∠DFC=90°，得到点F在以CD为直径的半圆上移动，如图，设CD的中点为O，正方形ABCD关于直线AD对称的正方形ADC B ，则点B 的对应点是B，连接B O交AD于E，交半圆O于F，线段B F的长即为EB+EF的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，∴∠ADF+∠CDF=90°，∵∠ADF=∠DCF，∴∠DCF+∠CDF=90°，∴∠DFC=90°，∴点F在以CD为直径的半圆上移动，如图，设CD的中点为O，正方形ABCD关于直线AD对称的正方形ADC B ，则点B 的对应点是B，连接B O交AD于E，交半圆O于F，线段B F的长即为EB+EF的长度最小值，OF=1，∵∠C =90°,B C =C D =CD=2，∴OC =3，∴OB =B C 2+OC 2=13，∴B F=13-1，∴FD+FE的长度最小值为13-1，故选：A．【点拨】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，轴对称的性质，点的运动轨迹，勾股定理，最小值问题，正确理解点的运动轨迹是解题的关键．6.(24-25九年级上·广东深圳·开学考试)如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE= DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为1，则线段DH长度的最小值是()A.52-1 B.5-12C.52D.5-1【答案】B【分析】由SAS可判定△ABE≌△DCF，由全等三角形的性质得∠ABE=∠DCF，同理可证∠DCG=∠DAG，由角的和差得∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH，H的运动轨迹为以O为圆心，OH=1 2AB=12为半径的半圆，当O、H、D三点共线时，DH最小，即可求解．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=CD=1，∠BAE=∠CDF=90°，∠ADG=∠CDG，∵∠BAH+∠DAG=90°，在△ABE和△DCF中，AB=CD∠BAE=∠CDFAE=DF，∴△ABE≌△DCF(SAS)，∴∠ABE=∠DCF，在△ADG和△CDG中，AD=CD∠ADG=∠CDGDG=DG，∴△ADG≌△CDG(SAS)，∴∠DCG=∠DAG，∴∠ABE=∠DAG，∴∠ABE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，如下图，取AB的中点O，连接OH，∴OA=12，∴H的运动轨迹为以O为圆心，OH=12AB=12为半径的半圆，如图，当O、H、D三点共线时，DH最小，∴OD=OA2+AD2=122+12=52，∴DH=OD-OH=52-1 2=5-12；故选：B．【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，圆外一点到圆上任一点距离的最值等；能找出动点的运动轨迹及取得最小值的条件，熟练利用勾股定咯求解是解题的关键．【题型3】 定弦定角模型7.(22-23九年级上·江苏南京·阶段练习)如图，CD是△ABC的高，若AB=2，∠ACB=45°，则CD长的最大值为()A.1+2B.4-2C.2D.4【答案】A【分析】在AB上方作以AB为斜边的等腰直角三角形△AOB，根据“定线段对定角度”确定点C在以O为圆心，OA长为半径的圆上运动，当CD经过圆心时CD最长，再计算即可．解：在AB上方作以AB为斜边的等腰直角三角形△AOB，∵∠ACB=45°∴点C在以O为圆心，OA长为半径的圆上运动，∵AB=2，∴OA=OC=2，当CD经过圆心时CD最长∵CD是△ABC的高，∴AD=BD=OD=1AB=12此时CD=OC+OD=2+1，故选：A．【点拨】本题考查几何最值问题，解题的关键是确定点C在以O为圆心，OA长为半径的圆上运动．8.(20-21九年级上·江苏无锡·期末)如图，在平面直角坐标系中，动点A、B分别在x轴上和函数y=x的图象上，AB=4，CB⊥AB，BC=2，则OC的最大值为()A.22+2B.22+4C.25D.25+2【答案】A【分析】根据y=x与x轴的夹角为45°，以AB为斜边作等腰直角三角形，连接AD,CD,OD，则∠DBC= 45°，根据勾股定理求得DB的长，进而证明△DCB是直角三角形，求得DC的长，根据OD+DC≥OC，即可求得OC的最大值解：如图，以AB为斜边作等腰直角三角形，连接AD,CD,OD，∵y=x与x轴的夹角为45°，∴∠AOB=45°=1∠ADB2∴A,O,B在⊙D上，∵AB=4，∠ADB=90°，∴BD=AD=22，∴∠ABD=45°∵BC⊥AB∴∠CBA=90°∴∠CBD=45°∴△BCD中BC=2,BD=22,∠CBD=45°过点C作CE⊥BD于点E，如图则BE=CE=2=DE∴CD=CB=2∵OD+DC≥OC∴当O,D,C三点共线时，OC取得最大值，最大值为OD+DC=DB+DC=22+2故选A【点拨】本题主要考查了勾股定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，找到⊙D是解决本题的关键．9.(19-20九年级上·浙江宁波·期末)如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=2，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PBC=∠PCA，则线段AP长的最小值为()A.0.5B.2-1C.2-2D.13【答案】C 【分析】先计算出∠PBC +∠PCB =45°，则∠BPC =135°，利用圆周角定理可判断点P 在以BC 为弦的⊙O 上，如图，连接OA 交BC 于P ′，作BC 所对的圆周角∠BQC ，利用圆周角定理计算出∠BOC =90°，从而得到△OBC 为等腰直角三角形，四边形ABOC 为正方形，所以OA =BC =2，OB =2，根据三角形三边关系得到AP ≥OA -OP (当且仅当A 、P 、O 共线时取等号，即P 点在P ′位置)，于是得到AP 的最小值.解：解：∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ACB =45°，即∠PCB +∠PCA =45°，∵∠PBC =∠PCA ，∴∠PBC +∠PCB =45°，∴∠BPC =135°，∴点P 在以BC 为弦的⊙O 上，如图，连接OA 交BC于P ′，作BC 所对的圆周角∠BQC ，则∠BCQ =180°-∠BPC =45°，∴∠BOC =2∠BQC =90°，∴△OBC 为等腰直角三角形，∴四边形ABOC 为正方形，∴OA =BC =2，∴OB =22BC =2，∵AP ≥OA -OP (当且仅当A 、P 、O 共线时取等号，即P 点在P ′位置)，∴AP 的最小值为2-2．故选：C ．【点拨】本题考查了圆周角定理及等腰直角三角形的性质.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.【题型4】四点共圆模型10.(22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠D =90°，连接AC ，点F 为边CD 上一点，连接BF 交AC 于点E ，AB =AE ，∠FGC +∠FBG =90°，∠BFG +2∠GFC =180°，若AD =722，BG =4，则CG 的长为．【答案】8【分析】延长BA 与CD 的延长线相交于点H ，证明∠FGC =∠ABF ，∠GFC =∠BFD ，由三角形内角和定理得到∠H=∠ACB，BH=BC，进一步得到∠H=∠DAH=45°，则AD=DH=722，由勾股定理得到AH=AD2+DH2=7，证明点C、G、E、F四点共圆，如图，连接EG，证明CE=CG，设CE=CG=x，则BH=BC=4+x，AE=AB=x-3，AC=2x-3，由勾股定理得AB2+BC2=AC2，即x-32+x+42 =2x-32，解方程即可得到答案．解：延长BA与CD的延长线相交于点H，∵∠FGC+∠FBG=90°，∠FBG+∠ABF=∠ABC=90°∴∠FGC=∠ABF，∵∠BFG+2∠GFC=180°，∠BFG+∠BFD+∠CFG=180°，∴2∠GFC=∠BFD+∠CFG，∴∠GFC=∠BFD，∵∠H+∠ABF+∠BFD=180°=∠ACB+∠FGC+∠GFC，∴∠H=∠ACB，∵∠ABC=90°，∴∠H=∠ACB=45°，BH=BC，∵∠ADH=90°，∴∠H=∠DAH=45°，∴AD=DH=722，∴AH=AD2+DH2=7，∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∵∠FGC=∠ABE，∠CEF=∠AEB，∴∠FGC=∠CEF，∴点C、G、E、F四点共圆，如图，连接EG，∴∠GFC=∠CEG，∠BFD=∠CGE，∵∠GFC=∠BFD，∴∠CGE=∠CEG，∴CE=CG，设CE=CG=x，则BH=BC=BG+CG=4+x，∴AE=AB=BH-AH=x+4-7=x-3，∴AC=AE+CE=x-3+x=2x-3，由勾股定理得，AB2+BC2=AC2，∴x-32+x+42=2x-32，解得x=-1(不合题意，舍去)或x=8，∴CG=8，故答案为：8【点拨】此题考查了等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、四点共圆、圆周角定理、圆内接四边形的性质、解一元二次方程等知识，关键在于等腰直角三角形的判定和性质与证明四点共圆．11.(24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习)如图，等边三角形ABC中，AB=5,P为AB边上一动点，PD⊥BC ,PE ⊥AC ，垂足分别为D ,E 则DE 的最小值为．【答案】154【分析】如图，连接PC ，取CP 的中点O ，连接OE ，OD ，过点O 作OH ⊥DE 于H ，首先证明△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，当OE 的值最小时，DE 的值最小，即可求出PC 的最小值．解：如图，连接PC ，取CP 的中点O ，连接OE ，OD ，过点O 作OH ⊥DE 于H ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，AB =BC =AC =5，∵PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，∴∠PEC =∠PDC =90°，∵OP =OC ，∴OE =OP =OC =OD ，∴C 、D 、P 、E 四点共圆，∴∠EOD =2∠ECD =120°，∴当OE 的值最小时，DE 的值最小，根据垂线段最短可得，当CP ⊥AB 时，PC =532，此时OE 最小，OE =534，∵OE =OD ，OH ⊥DE ，∴DH =EH ，∠DOH =∠EOH =60°，∴∠OEH =30°，∴OH =12OE =538，∴DH =EH =OE 2-OH 2=158，∴DE =2DH =154，∴DE 的值最小为154，故答案为：154．【点拨】本题考查了四点共圆、垂线段最短、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；正确判断当CP ⊥AB 时OE 最小是解题的关键．12.(23-24九年级下·江苏南京·阶段练习)如图，在△ABC 中，∠ACB =90°,AC =BC =2，点P 是射线AB 上一动点，∠CPD =90°，且PC =PD ，连接AD 、CD ，则AD +CD 的最小值是．【答案】25【分析】取AC中点H，连接DH交AB于点G，连接BD,PH，当DH⊥AC时，DH有最小值，此时易得△ACD是等腰三角形，推出AD=CD，即AD,CD有最小值，则AD+CD有最小值，此时根据∠AHD=∠CHD=∠ACB=90°，推出DH∥BC，设CD中点为O，根据∠CHD=∠CPD=90°，易得点C,H,P,D在以点O为圆心CD为直径的圆上，易得∠CHP+∠PDC=180°，由∠ABC=45°，易得此时点B在圆O上，进而推出∠CBD+∠CPD=180°，则∠CBD=90°，得到四边形BCHD是矩形，即HD=BC=2，利用勾股定理即可计算出CD的最小值，进而得出结果．解：取AC中点H，连接DH交AB于点G，连接BD,PH，当DH⊥AC时，DH有最小值，∵点H是AC中点，DH⊥AC，∴△ACD是等腰三角形，∴AD=CD，∵AH,CH是定值，DH有最小值时，即AD,CD有最小值，则AD+CD有最小值，∵∠AHD=∠CHD=∠ACB=90°，∴DH∥BC，设CD中点为O，∵∠CHD=∠CPD=90°，∴点C,H,P,D在以点O为圆心CD为直径的圆上，∴∠CHP+∠PDC=180°，∵∠ABC=45°，∴此时点B在圆O上，∴∠CBD+∠CPD=180°，∴∠CBD=90°，∵DH∥BC，∴四边形BCHD是矩形，∴HD=BC=2，∵HC=1AC=1，2在Rt△CHD中，∴CD=CH2+HD2=5，∴AD+CD的最小值为2CD=25，故答案为：25．【点拨】本题考查勾股定理求最短距离，圆周角定理，四点共圆，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正确作出辅助线，证明四点共圆是解题的关键．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考1.(2023·山东泰安·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，点A 的坐标为(-6，4)；Rt △COD 中，∠COD =90°，OD =43，∠D =30°，连接BC ，点M 是BC 中点，连接AM ．将Rt △COD 以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM 的最小值是()A.3B.62-4C.213-2D.2【答案】A【分析】如图所示，延长BA 到E ，使得AE =AB ，连接OE ，CE ，根据点A 的坐标为(-6，4)得到BE =8，再证明AM 是△BCE 的中位线，得到AM =12CE ；解Rt △COD 得到OC =4，进一步求出点C 在以O 为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M 在线段OE 上时，CE 有最小值，即此时AM 有最小值，据此求出CE 的最小值，即可得到答案．解：如图所示，延长BA 到E ，使得AE =AB ，连接OE ，CE ，∵Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，点A 的坐标为(-6，4)，∴AB =4，OB =6，∴AE =AB =4，∴BE =8，∵点M 为BC 中点，点A 为BE 中点，∴AM 是△BCE 的中位线，∴AM =12CE ；在Rt △COD 中，∠COD =90°，OD =43，∠D =30°，∴OC =33OD =4，∵将Rt △COD 以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点C 在以O 为圆心，半径为4的圆上运动，∴当点M 在线段OE 上时，CE 有最小值，即此时AM 有最小值，∵OE =BE 2+OB 2=10，∴CE 的最小值为10-4=6，∴AM 的最小值为3，故选A ．【点拨】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．2.(2022·广西柳州·中考真题)如图，在正方形ABCD中，AB=4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为．【答案】25-2【分析】如图，由EG=2，确定E在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE，再证明△ADE≌△CDF (SAS)，可得AE=CF，可得当A，E，G三点共线时，AE最短，则CF最短，再利用勾股定理可得答案．解：如图，由EG=2，可得E在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE，∵正方形ABCD，∴AD=CD,∠ADC=90°，∴∠ADC=∠EDF=90°，∴∠ADE=∠CDF，∵DE=DF，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴AE=CF，∴当A，E，G三点共线时，AE最短，则CF最短，∵G位BC中点，BC=AB=4，∴BG=2，此时AG=BG2+AB2=22+42=25，此时AE=25-2，所以CF的最小值为：25-2.故答案为：25-2【点拨】本题考查的是正方形的性质，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的利用圆的基本性质求解线段的最小值是解本题的关键．2、拓展延伸3.(2022·辽宁抚顺·中考真题)如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF．当GF最小时，AE的长是．【答案】55-5【分析】根据动点最值问题的求解步骤：①分析所求线段端点(谁动谁定)；②动点轨迹；③最值模型(比如将军饮马模型)；④定线段；⑤求线段长(勾股定理、相似或三角函数)，结合题意求解即可得到结论．解：①分析所求线段GF端点：G是定点、F是动点；②动点F的轨迹：正方形ABCD的边长为10，点E是边AD上一动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF，则BF=BA=10，因此动点轨迹是以B为圆心，BA=10为半径的圆周上，如图所示：③最值模型为点圆模型；④GF最小值对应的线段为GB-10；⑤求线段长，连接GB，如图所示：在RtΔBCG中，∠C=90°，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，则CG=5,BC=10，根据勾股定理可得BG=CG2+BC2=52+102=55，当G、F、B三点共线时，GF最小为55-10，接下来，求AE的长：连接EG，如图所示=SΔEDG+SΔBCG+根据翻折可知EF=EA,∠EFB=∠EAB=90°，设AE=x，则根据等面积法可知S正方形SΔBAE+SΔBEG，即100=12DE⋅DG+12BC⋅CG+12AB⋅AE+12BG⋅EF=1 2510-x+5×10+10x+55x整理得5+1x=20，解得x=AE=205+1=205-15+15-1=55-5，故答案为：55-5．【点拨】本题考查动点最值下求线段长，涉及到动点最值问题的求解方法步骤，熟练掌握动点最值问题的相关模型是解决问题的关键．4.(2024·内蒙古兴安盟·二模)如图，在正方形ABCD中，点M，N分别为AB，BC上的动点，且AM= BN，DM，AN交于点E，点F为AB的中点，点P为BC上一个动点，连接PE，PF，若AB=4，则PE +PF的最小值为．【答案】210-2【分析】证明△DAM≌△ABN SAS，则∠ADM=∠BAN，∠AED=90°，如图，取AD的中点O，则E在以O为圆心，AD为直径的圆上运动，作F关于BC对称的点F ，连接PF ，连接OF 交⊙O于E ，则PF = PF，由PE+PF=PE+PF ，可知当O、E 、P、F 四点共线时，PE+PF最小为E F ，由勾股定理得，OF =AF 2+OA2=210，根据E F =OF -OE ，求解作答即可．解：∵正方形ABCD，∴AD=AB，∠DAM=∠ABN=90°，又∵AM=BN，∴△DAM≌△ABN SAS，∴∠ADM=∠BAN，∴∠ADM+∠DAE=∠BAN+∠DAE=90°，∴∠AED=90°，如图，取AD的中点O，则E在以O为圆心，AD为直径的圆上运动，作F关于BC对称的点F ，连接PF ，连接OF 交⊙O于E ，∴PF =PF，∴PE+PF=PE+PF ，∴当O、E 、P、F 四点共线时，PE+PF最小为E F ，由勾股定理得，OF =AF 2+OA2=62+22=210，∴E F =OF -OE =210-2，故答案为：210-2．【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，90°圆周角所对的弦为直径，轴对称的性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，90°圆周角所对的弦为直径，轴对称的性质，勾股定理是解题的关键．。

中考数学隐形圆的九大模型中考的数学考题，一直都是考生苦恼的焦点，而圆的相关试题，尤其是隐形圆的题目，也是一个比较头疼的难题。

为了帮助考生解决这一难题，数学专家为大家总结出了中考数学隐形圆的九大模型。

一、抛物线模型。

这种模型中，将隐形圆以抛物线的形式表示出来，可以用简单的方法求出圆心与半径，节省许多时间。

二、正弦模型。

这种模型中，将隐形圆以正弦函数的形式表示出来，可以用简单的方法求出圆心与半径，节省许多时间。

三、双曲线模型。

这种模型中，将隐形圆以双曲线的形式表示出来，可以用简单的方法求出圆心与半径，节省许多时间。

四、重点矩形模型。

这种模型中，将隐形圆以重点矩形的形式表示出来，可以用简单的方法求出圆心与半径，节省许多时间。

五、直角三角形模型。

这种模型中，将隐形圆以直角三角形的形式表示出来，可以用简单的方法求出圆心与半径，节省许多时间。

六、双曲线椭圆模型。

这种模型中，将隐形圆以双曲线椭圆的形式表示出来，可以用简单的方法求出圆心与半径，节省许多时间。

七、正弦余弦模型。

这种模型中，将隐形圆以正弦余弦的形式表示出来，可以用简单的方法求出圆心与半径，节省许多时间。

八、三角函数模型。

这种模型中，将隐形圆以三角函数的形式表示出来，可以用简单的方法求出圆心与半径，节省许多时间。

九、双曲线抛物线模型。

这种模型中，将隐形圆以双曲线抛物线的形式表示出来，可以用简单的方法求出圆心与半径，节省许多时间。

在上述九大模型中，受到数学老师们的青睐的模型包括抛物线模型，正弦模型，双曲线模型，重心矩形模型，直角三角形模型，双曲线椭圆模型，正弦余弦模型，三角函数模型，双曲线抛物线模型。

这些模型都很简单易懂，可以借鉴，更可以助力考生在数学考试中取得更高的成绩。

说到应用，上述的九大模型的应用也是多方面的，除了考试外，在工程实践中也大有用处。

例如，在构建建筑物时，可以结合上述九大模型来计算隐形圆，从而获得更加精准的结果；在科学实验中，也可以借助上述九大模型来计算隐形圆，以便得到准确的实验数据，更好地了解实验结果。

类型一：定点到动点定长点A为定点，点B为动点，AB为定长，则点B的轨迹为圆心为点A，半径为AB的圆。

【经典例题1】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F 是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是___.【解析】如图所示：当∠BFE=∠B′EF，点B′在DE上时，此时B′D的值最小，根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥B′F，∴EB′=EB，∵E是AB边的中点，AB=4，∴AE=EB′=2，∵AD=6，∴DE=1022622=+，∴B′D=102−2.练习1-1如图③，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是AB 边上一点，且AE=2，点F 是BC 边上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG 、CG ，四边形AGCD 的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF 的长度。

若不存在，请说明理由。

【解析】（3）如图3，△四边形ABCD 是矩形，△CD=AB=3，AD=BC=4，△ABC=△D=90°，根据勾股定理得，AC=5， △AB=3，AE=2，△点F 在BC 上的任何位置时，点G 始终在AC 的下方，设点G 到AC 的距离为h ，△S 四边形AGCD =S △ACD +S △ACG =21AD×CD+21AC×h=21×4×3+21×5×h=25h+6， △要四边形AGCD 的面积最小，即：h 最小，△点G 是以点E 为圆心，BE=1为半径的圆上在矩形ABCD 内部的一部分点， △EG△AC 时，h 最小，由折叠知△EGF=△ABC=90°，延长EG 交AC 于H ，则EH△AC ，在Rt△ABC 中，sin△BAC=AC BC =54， 在Rt△AEH 中，AE=2，sin△BAC=AE EH =54， △EH=54AE=58，△h=EH -EG=58-1=53 △S 四边形AGCD 最小=25h+6=25×53+6=215． 练习1-2如图，等边△ABC 的边AB=8，D 是AB 上一点，BD=3，P 是AC 边上一动点，将△ADP 沿直线DP 折叠，A 的对应点为A'，则CA'的长度最小值是 .【解析】2练习1-3如图，在平行四边形ABCD 中，△BCD =30°，BC =4，CD=M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△AMN ，连接A'C ，则A'C 长度的最小值是 .【解析】如图，连接MC ；过点M 作ME△CD ，交CD 的延长线于点E ；△四边形ABCD 为平行四边形，△AD△BC ，AD=BC=4，△点M 为AD 的中点，△BCD=30△，△DM=MA=2，△MDE=△BCD=30△， △ME=21DM=1，DE=3， △CE=CD+DE=43，由勾股定理得：CM 2=ME 2+CE 2，第4题图AB C DA'M N△CM=7;由翻折变换的性质得：MA′=MA=2，显然，当折线MA′C 与线段MC 重合时，线段A′C 的长度最短，此时A′C=7−2=5，故答案为5.练习1-4如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60∘，点M 是AD 边的中点，点N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连结A′C ，则A′C 长度的最小值是( ) A. 7 B. 7−1 C. 3 D. 2【解析】如图所示：∵MA′是定值，A′C 长度取最小值时，即A′在MC 上时， 过点M 作MF ⊥DC 于点F ，∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60∘，M 为AD 中点，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60∘，∴∠FMD=30∘，∴FD=21MD=21，∴FM=DM×cos30∘=23， ∴MC=722=+CF FM ，∴A′C=MC−MA′=7−1.故选：B.变式：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F 在边AC 上，并且CF=2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是_____解题思路：同上题，不难看出点P 的运动轨迹为以点F 为圆心，PF 为半径的圆上运动，求点P 到AB 的距离最小，可过点F 作AB 的垂线于点M ，交圆 F 于点P ，此时，最小值为PM 。

中考数学”隐形圆”问题-秒杀隐形圆六大技巧一、圆的两个定义:1.圆的描述性定义: 如图所示, 在一个平面内, 线段OA绕它固定的一个端点旋转一周, 另一个端点A所形成的图形叫做圆.其中固定的端点O叫做圆心, 线段OA叫做半径.2.集合性定义: 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的的图形（形成的轨迹）叫做圆.二、利用圆的概念“找定点寻定长现圆形”题目: （2018西工大附中七模14）例1.如图1-3所示, 在¨ABCD中, AB=6,BC=8,P为BC边上一动点.以直线AP为对称轴将ΔABP翻折得到ΔAB’P,当DB’最小时, 线段CP长为.方法: 找定点寻定长现圆形.在翻转中A点始终固定不变为定点, 而翻转后AB的长也固定不变, 所以AB为定长.则B’的运动轨迹是以A为圆心AB为半径的圆, 如图1-3-1所示, 当点A.B’、D在一条直线上时DB’最小, 最小值为DB’’.可计算得: DB’的最小值为2二、共点的两条线段为定长问题例2.如图2-1所示, 点A为线段BC外一动点, 且BC=8, AB=5.（1）当点A位于时, 线段AC的长取得最大, 最大值为.（2）当点A位于时, 线段AC的长取得最小, 最小值为.（3）当线段BC和AB满足什么位置关系时, SΔABC面积最大.方法总结:当两条线段定长共点时, 可固定其中一线段, 然后以公共点为圆心, 以另一定长线段为半径画圆.简析: 如图2-1-1（1）线段AC最大时, 点A在A1点, 为8+5=13（2）线段AC最小时, 点A在A2点, 为8-5=3（3）因为BC固定, 点A位于A3时, 点A到BC之间的距离最大, 所以当AB⊥BC时, SΔABC面积最大.巩固练习:1.已知四边形ABCD中, AD+DB+BC=16,则四边形ABCD面积的最大值为.2.（1）发现如图2-2, 点A为线段BC外一动点, 且BC=a, AB=b.当点A位于时, 线段AC的长取得最大, 最大值为（用含a, b的式子表示）；（2）应用点A为线段BC外一动点, 且BC=3, AB=1.如图2-3所示, 分别以AB, AC 为边, 作等边△ABD和等边△ACE,连接CD, BE.①请找出图中与BE相等的线段, 并说明理由；②直接写出BE长的最大值.（3）拓展如图2-4, 在平面直角坐标系中, 点A的坐标为（2, 0）点B的坐标（5, 0）, 点P为线段AB外一动点, 且PA=2, PM=PB, ∠BPM=90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.3.如图2-5,如果四边形ABCD中, AD=BC=6,点E、F、G分别是AB.BD.AC的中点, 那么ΔEGF面积的最大值为.三、共点的三条线段为定长问题1.如图3-1所示, 已知AB=AC=AD, ∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44o,则∠CAD的度数为.2.如图3-2所示, 在四边形ABCD中, DC//AB,BC=1,AB=AC=AD=2,BD= .提示: 如图3-2-1所示.四、见直角找斜边（定长）想直径定外心显圆形知识联想:直径所对的圆周角等于90o；反过来90o的圆周角所对的弦是直径.故取斜边中点O为圆心, 以OC长为半径作圆.直角顶点的运动轨迹是圆.例1: （2018西工大附中六模14）如图4-2, 在边长为3的正方形ABCD中, 点E、F分别是边BC、CD上的点, 且AF⊥EF,则AE的最小值.对应练习:1.如图4-3, 在等腰RtΔABC中, ∠ACB=90o,AC=BC=4,点D为线段AC上一动点, 连接BD, 过点C作CH⊥BD于点H, 连接AH, 则AH的最小值为.五、定角定边模型——构造圆问题:如图5-1所示, 已知定线段AB, 在平面上找到所有的点C, 使∠ACB=60o.（请用尺规作图, 保留痕迹）作图方法:1.作AB的垂直平分线2.再作∠ABD=30o,连接AO.（其实质是作圆心角∠AOB=120o）3.以点O为圆心, 以OA为半径画圆,除过A.B两点外圆上任意一点即为C 点.即∠ACB=60o.例: （2018交大附中七模14）如图5-2,已知四边形ABCD中, AD=2,∠B=∠D=60o, 对角线AC⊥AD, 则BD 的最大值为.对应练习:1.如图,在四边形ABCD中, AB=BC,∠ABC=60o,∠ADC=75o,对角线BD=2,则四边形ABCD的面积的最小值为.（此题为旋转+定边定角）六、对角互补的四边形构造圆若平面上四点连成四边形的对角互补则这四点共圆.例: 1（2018西工大附中四模14）如图6-2, 在边长为12的菱形ABCD中, 对角线AC、BD交于点O, ∠BAO=60O,点E为AB上一动点, 过点E作EP⊥AD于点P, EQ//AC交BD于点Q, 连接PQ, ΔDPQ周长的最小值是.对应练习:1.如图, 在ΔABC中, ∠ACB=120o,AC=BC=2,点D是AB边上动点, 连接CD, 将ΔBCD绕点C顺时针旋转至ΔACE, 连接DE, 则ΔADE面积的最大值是.。

中考数学隐形圆的九大模型中考数学考试中，考查学生对隐形圆及其相关知识的理解程度，是一项重要的内容，因此，系统掌握隐形圆的九大模型十分必要。

第一，常用的坐标圆。

通过坐标圆的方式，能够方便的表示出隐形圆的概念，并可以进行更加细致的理解隐形圆的形式特点，以便进一步掌握隐形圆的相关知识。

第二，根系模型。

根系模型可以把隐形圆看作由相互分离的多项式构成，可以更加具体地解析隐形圆的形式特点，有助于更深入理解隐形圆。

第三，椭圆方程模型。

椭圆方程模型可以很好地反映出隐形圆的形态，这也是中考数学考试中，最常考到的模型之一，易于理解，并可以用于高中数学教学和中考数学考试等。

第四，经典及改进的隐形圆绘图方法。

经典的隐形圆绘图方法是比较容易理解的，改进的隐形圆绘图方法可以更加细致地刻画出隐形圆的形态，有助于对隐形圆的掌握。

第五，隐形圆的统计表示方法。

这种方法可以很好的把数据转换成表格，通过表格查看隐形圆的形态特点，可以更加清晰地理解隐形圆。

第六，图形表示方法。

这种表示方法可以利用图形的方式，将隐形圆的形态表示出来，使隐形圆的概念更加清晰，方便学生掌握隐形圆的相关知识。

第七，极坐标表示方法。

极坐标表示方法是通过参数方程把隐形圆中的点用极坐标表示出来，通过极坐标的参数推断，就可以更加清楚的研究隐形圆的形状及性质。

第八，正弦模型。

通过正弦模型，可以把隐形圆中的点表示成不断变化的正弦曲线，加深对隐形圆的理解，掌握隐形圆的相关知识。

第九，圆的参数方程模型。

参数方程模型可以把隐形圆中的点用参数方程描述出来，这有助于找出隐形圆的特性，理解隐形圆的形状。

在中考数学中，隐形圆的考查是一个重要的内容，只有掌握九大模型，才能对隐形圆有更加全面的理解，从而考试时才能做到胸有成竹、有把握，可以取得较好的成绩。

总之，九大模型是理解并掌握隐形圆的重要途径，只有系统掌握九大模型，学生才能在中考数学中更好的发挥自己的能力，取得满意的成绩。