【高三月考】2021届高三上学期月考试题(十二月) 数学(理)试题

2021年高三12月联考数学理含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．选出符合题目要求的一项填在机读卡上．1．若集合，且，则集合可能是A．B．C．D．2．复数在复平面上对应的点的坐标是A．B．C．D．3．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是A．B．C．D．4．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为），则该棱锥的体积是A．B．C．D．正视图侧视图5．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A．B．C．D．6．已知数列为等比数列，，，则的值为A．B．C．D．7．已知函数在上是增函数，，若，则的取值范围是A．B．C．D．8．设、分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．P DB A CE9．已知，且为第二象限角，则的值为 ． 10．已知向量．若为实数，∥，则的值为 ．11．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，的小大为 ． 12．若曲线的某一切线与直线平行，则切点坐标为 ，切线方程为 ． 13． 若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是 ． （写出所有正确命题的编号）．①； ②； ③ ； ④； ⑤14． 已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分分）已知：在中, 、、分别为角、、所对的边，且角为锐角， （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当，时，求及的长．16．（本小题满分分）已知：函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求 函 数的 解 析 式； （Ⅱ）在△中，角的 对 边 分 别 是，若的 取 值 范 围．17．（本小题满分分）已知：如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，且，为中点．（Ⅰ）证明：//平面； （Ⅱ）证明：平面平面； （Ⅲ）求二面角的正弦值． 18．（本小题满分13分）已知：数列的前项和为，且满足，．（Ⅰ）求：，的值；（Ⅱ）求：数列的通项公式；（Ⅲ）若数列的前项和为，且满足，求数列的前项和．19．（本小题满分14分） 已知：函数，其中．（Ⅰ）若是的极值点，求的值； （Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围． 20．（本小题满分分）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦 点构成的三角形的面积为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点．①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②若点，求证：为定值．参考答案（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）一、选择题1．A 2．D 3．B 4．A 5．C 6．D 7．B 8．D二、填空题9．10．11．12．（1，2），13．①③⑤14．15．（本小题满分分）解：（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin2C=，及所以sinC=．…………………………4分（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得c=4 ………7分由cos2C=2cos2C-1=，及得OE C ABDP P DB AC E cosC= ………………………9分 由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC ，得b 2－b-12=0 …………………… 12分 解得 b=2 ……………………13分 16．（本小题满分分） 解：（Ⅰ）由图像知，的最小正周期，故 …… 2分将点代入的解析式得，又故 所以 ……………… 5分 （Ⅱ）由得所以……………………8分因为 所以 ………………9分 ……………………11分 ……………………13分 17．（本小题满分分）解： （Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ． ……………………1分 O 为BD 中点，E 为PD 中点， ∴EO//PB ． ……………………2分EO 平面AEC ，PB 平面AEC ， ……………………3分 ∴ PB//平面AE C ． （Ⅱ）证明：PA ⊥平面ABC D ． 平面ABCD ，∴． ……………………4分 又在正方形ABCD 中且， ……………………5分zyx E C ABDP ∴CD 平面PA D ． ……………………6分 又平面PCD ，∴平面平面． ……………………7分 （Ⅲ）如图，以A 为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系． ………8分由PA=AB=2可知A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为 A （0, 0, 0）, B （2, 0, 0）,C （2, 2, 0）,D （0, 2, 0）, P （0, 0, 2）,E （0, 1, 1） ． ……………9分 PA 平面ABCD ，∴是平面ABCD 的法向量，=（0, 0, 2）． 设平面AEC 的法向量为, ,则 即 ∴∴ 令,则． ………………11分 ∴31322||||,cos =⨯=⋅>=<n AP , …………………12分二面角的正弦值为 …………………13分 18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）令 ，解得；令，解得 ……………2分 （Ⅱ）所以，（）两式相减得 ……………4分 所以，（） ……………5分 又因为所以数列是首项为，公比为的等比数列 ……………6分 所以，即通项公式 （） ……………7分 （Ⅲ），所以所以)2()323()222()121(321n n T nn -⋅++-⋅+-⋅+-⋅=)321()2232221(321n n T nn ++++-⋅++⋅+⋅+⋅= ……9分令 ①13222)1(22212+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S ②①－②得……………11分112)1(22)21(2++⋅-+=⋅+-=n n n n n n S ……………12分 所以 ……13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：． 依题意，令，解得 ．经检验，时，符合题意． ……4分 （Ⅱ）解：① 当时，．故的单调增区间是；单调减区间是． …………………5分 ② 当时，令，得，或． 当时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和． 当时，的单调减区间是． 当时，，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和．③ 当时，的单调增区间是；单调减区间是． 综上，当时，的增区间是，减区间是； 当时，的增区间是，减区间是和； 当时，的减区间是；当时，的增区间是；减区间是和．……11分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知 时，在上单调递增，由，知不合题意．当时，在的最大值是，由，知不合题意．当时，在单调递减，可得在上的最大值是，符合题意．所以，在上的最大值是时，的取值范围是． …………14分 20．（本题满分分）解：（Ⅰ）因为满足， ，…………2分 。

中学2021级高三上学期12月月考试题制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日数学〔理工类〕〔考试用时：120分全卷满分是：150分〕考前须知：1.答题时，先将本人的姓名、准考证号填写上在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的规定的正确位置。

2.选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用2B铅笔把答题卡上对应题目之答案涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的答题：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选做题的答题：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置需要用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.在在考试完毕之后以后，请将答题卡上交；第Ι卷〔选择题局部，一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．，，那么A∩B=〔〕A. B. C. 〔0，1] D. 〔0，3]【答案】D【解析】由解得，所以，由解得，所以，故，选D.是虚数单位，复数为纯虚数，那么实数的值是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，应选A。

3.假设命题：“，〞为假命题，那么的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】原命题假设为假命题，那么其否认必为真，即ax2﹣ax﹣2≤0恒成立，由二次函数的图象和性质，解不等式可得答案．【详解】∵命题〞为假命题，命题“∀x∈R，ax2﹣ax﹣2≤0〞为真命题，当a＝0时，﹣2≤0成立，当a≠0时，a＜0，故方程ax2﹣ax﹣2＝0的△＝a2+8a≤0解得：﹣8≤a＜0，故a的取值范围是：[﹣8，0]应选：D．【点睛】此题考察了命题真假的判断与应用，其中将问题转化为恒成立问题，是解答此题的关键．4.：，，假设函数和有完全一样的对称轴，那么不等式的解集是A. B.C. D.【答案】B【解析】，所以因此，选B.5.执行程序框图，假设输入两个数是、，那么输出的=( )A. B. C. 4 D.【答案】C【解析】分析：模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，的值，用裂项法即可得解．详解：模拟执行程序框图，可得是、，，满足条件，满足条件满足条件不满足条件，退出循环，输出的值是4．应选C．点睛：此题主要考察了循环构造的程序框图，考察了数列的求和，属于根底题．6.某多面体的三视图如下图，正视图中大直角三角形的斜边长为，左视图为边长是1的正方形，俯视图为有一个内角为的直角梯形，那么该多面体的体积为〔〕A. 1B.C.D. 2【答案】C【解析】由题可知，，所以，应选C。

2021年高三（上）12月月考数学试卷（理科） Word版含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）若复数）是纯虚数，则实数a的值为﹣1 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：将化为再判断即可．解答：解：∵==是纯虚数，∴a+1=0且1﹣a≠0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，将复数的分母实数化是关键，属于基础题．2．（5分）（xx•松江区一模）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为4．考点：并集及其运算．专题：计算题．分根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得，即可得答案．析：解答：解：∵A={0，2，a}，B={1，a2}，A∪B={0，1，2，4，16} ∴∴a=4，故答案为：4．点评：本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题．3．（5分）经过点（2，﹣1），且与直线2x﹣3y﹣1=0垂直的直线方程是3x+2y﹣4=0．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由题意易得直线2x﹣3y﹣1=0的斜率为，进而可得所求直线的斜率，又该直线过定点，由点斜式可得方程，化为一般式即可．解答：解：根据题意，易得直线2x﹣3y﹣1=0的斜率为，根据互相垂直的直线的斜率的关系，可得l的斜率为，又由直线经过点（2，﹣1），则所求的直线方程为y+1=﹣（x﹣2），即3x+2y﹣4=0，故答案为：3x+2y﹣4=0．点评：本题为直线方程的求解，由垂直关系找出直线的斜率是解决问题的关键，注意最后要化为直线方程的一般式，属基础题．4．（5分）平面直接坐标系xoy中，角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=﹣x 上，则sinα=±．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：因为知道了角α的终边，可以在角的终边上任取一点，求出该点到原点的距离，直接运用三角函数的定义求解．解答：解：在直线y=﹣x上任意取一点（a，﹣a），且a≠0 则，r==2|a|，再由sinα===±，故答案为±．点评：本题考查了任意角的三角函数定义，解答此题的关键是熟记定义，是基础题．5．（5分）某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题．分析：由于学校有两个食堂，不妨令他们分别为食堂A、食堂B，则甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，代入相互独立事件的概率乘法公式，即可求出他们同在食堂A用餐的概率，同理，可求出他们同在食堂B用餐的概率，然后结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．解答：解：甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，则他们同时选中A食堂的概率为：=；他们同时选中B食堂的概率也为：=；故们在同一个食堂用餐的概率P=+=故答案为：点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．6．（5分）右图是一个算法流程图，则执行该算法后输出的s=81．考点：循环结构．专题：计算题．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．解答：解：当i=1时，不满足退出循环的条件，S=3，i=2；当i=2时，不满足退出循环的条件，S=9，i=3；当i=3时，不满足退出循环的条件，S=27，i=4；当i=4时，不满足退出循环的条件，S=81，i=5；当i=5时，满足退出循环的条件，故答案为：81点本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环评：的结果，找规律，属于基础题．7．（5分）（xx•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=．考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a与b的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sinC，c及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值．解答：解：∵C为三角形的内角，cosC=，∴sinC==，又a=1，b=2，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：c2=1+4﹣1=4，解得：c=2，又sinC=，c=2，b=2，∴由正弦定理=得：sinB===．故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键．8．（5分）设向量，，，的夹角为120°，则实数k=3．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由向量夹角公式可得，cos120°==＜0可知，k＞0，解方程即可求解k解答：解：由向量夹角公式可得，cos120°===﹣∴k＞0整理可得，k2=9∴k=3故答案为：3点评：本题主要考查了向量夹角公式的坐标表示，解题中不要漏掉对k的范围的判断，本题容易漏掉判断k而产生两解k=±39．（5分）（xx•东城区一模）过点的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为2x﹣4y+3=0．考直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．点：专题：计算题．分析：研究知点在圆内，过它的直线与圆交于两点A，B，当∠ACB最小时，直线l与CM 垂直，故先求直线CM的斜率，再根据充要条件求出直线l的斜率，由点斜式写出其方程．解答：解：验证知点在圆内，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，由圆的方程，圆心C（1，0）∵k CM==﹣2，∴k l=∴l：y﹣1=（x﹣），整理得2x﹣4y+3=0 故应填2x﹣4y+3=0点评：本题考点是直线与圆的位置关系，考查到了线线垂直时斜率之积为﹣1，以及用点斜式写出直线的方程．10．（5分）已知函数f（x）=，若f（3﹣2a2）＞f（a），则实数a的取值范围是a＜﹣或a＞1．考点：函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：当x≥0时，是减函数，所以y=log2（）也是减函数．此时的最大值是f（0）=log2（）=log21=0．当x＜0时，y=（）2x﹣1是减函数．此时的最小值（）0﹣1=0．所以函数在R上是减函数．因为f（3﹣2a2）＞f（a），所以3﹣2a2＜a，2a2+a﹣3＞0，解得a＞1或a＜﹣．解答：解：当x≥0时，是减函数，所以y=log2（）也是减函数．此时的最大值是f（0）=log2（）=log21=0．当x＜0时，y=（）2x﹣1是减函数．此时的最小值（）0﹣1=0．所以函数在R上是减函数．因为f（3﹣2a2）＞f（a），所以3﹣2a2＜a，2a2+a﹣3＞0，解得a＞1或a＜﹣．故答案为：a＞1或a＜﹣．点评：本题考查函数解析式的求解和常用方法，解题时要认真审题，注意分段函数的性质和应用．11．（5分）设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，…，根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n（x）=．考点：归纳推理．专题：归纳法．分析：由已知所给的前几函数的特点：分子都是x，分母是关于x的一次式，其常数项为2n，一次项的系数比常数项小1，据此即可得出答案．解答：解：观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，…，可知：分子都是x，分母是关于x的一次式，其常数项为2n，一次项的系数比常数项小1，故f n（x）=．故答案为点评：善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键．12．（5分）（xx•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：解法一：可先直线A2B2的方程为，直线B1F的方程为，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．根据题设条件求出直线B1T方程，直线直线B1T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．解答：解法一：由题意，可得直线A2B2的方程为，直线B1F的方程为两直线联立得T（），由于此点在椭圆上，故有，整理得3a2﹣10ac﹣c2=0即e2+10e﹣3=0，解得故答案为解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．延长TO交圆O于N易知直线A1B1斜率为1，TM=MO=ON=1，，设T（x′，y′），则，y′=x′+1，由割线定理：TB2×TA1=TM×TN，（负值舍去）易知：B1（0，﹣1）直线B1T方程：令y′=0，即F横坐标即原椭圆的离心率e=．故答案：．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．13．（5分）已知函数f（x）=，若关于的方程满足f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根，且α，β分别是三个根中最小根和最大根，则的值为．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．分析：同一坐标系内作出函数y=f（x）的图象和直线y=m，因为两图象有且仅有三个公共点，所以m=1．再解方程f（x）=1，得最小根β=，最大根α=，将它们代入再化简，即可得到要求值式子的值．解答：解：函数f（x）=的图象如下图所示：可得函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣）和（，π）；单调增区间为（﹣，）和（π，+∞），f（x）的极大值为f（）=1，极小值为f（﹣）=﹣和f（π）=0将直线y=m进行平移，可得当m=1时，两图象有且仅有三个不同的公共点，相应地方程f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根．令f（x）=1，得x1=，x2=，x3=，所以β=，α=，∴β•sin（+α）=•sin=•（﹣）=故答案为：点评：本题以分段函数为例，求方程的最大根和最小根，并且用这个根来求值，着重考查了函数与方程的关系，以及三角函数求值等知识，属于中档题．14．（5分）（2011•盐城二模）已知f（x）=cosx，g（x）=sinx，记S n=2﹣，T m=S1+S2+…+S m，若T m＜11，则m的最大值为5．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：先将数列通项化简，再求和，利用T m＜11，即可求得m的最大值．解答：解：由题意，a n=2﹣=∴S n==∴T m=S1+S2+…+S m=2m+1﹣＜11 ∴m的最大值为5．故答案为：5点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明步骤．15．（14分）（xx•湖北模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．考点：余弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）通过求出，利用二倍角以及三角形的内角和化简，即可求出它的值；（Ⅱ）利用，结合余弦定理，求出a，c的关系，通过基本不等式求出a，c，然后求出三角形的面积最大值．解答：（本小题满分13分）解：（I）因为，所以．…（1分）又==+=．…（6分）（II）由已知得，…（7分）又因为，所以．…（8分）又因为，所以ac≤6，当且仅当时，ac取得最大值．…（11分）此时．所以△ABC的面积的最大值为．…（13分）点评：本题考查二倍角公式，余弦定理，基本不等式的应用，考查计算能力．16．（14分）已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（1）求⊙C的方程；（2）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值．考点：关于点、直线对称的圆的方程；平面向量数量积的运算．专题：综合题．分析：（1）设圆心的坐标，利用对称的特征，建立方程组，从而求出圆心坐标，又⊙C过点P（1，1），可得半径，故可写出⊙C方程．（2）设Q的坐标，用坐标表示两个向量的数量积，化简后再进行三角代换，可得其最小值．解答：解：（1）设圆心C（a，b），则，解得a=0，b=0则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标（1，1）代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2；（2）设Q（x，y），则x2+y2=2，=（x﹣1，y﹣1）•（x+2，y+2）=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2，令x=cosθ，y=sinθ，∴=cosθ+sinθ﹣2=2sin（θ+ ）﹣2，∴θ+=2kπ﹣时，sin（θ+）的最小值为﹣1，所以的最小值为﹣2﹣2=﹣4．点评：本题考查圆的对称性，考查圆的标准方程，考查两个向量的数量积公式的应用，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．17．（14分）如图，xx年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．考点：平面向量数量积坐标表示的应用．专题：平面向量及应用．分析：（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO 中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（﹣cosα，﹣sinα），由（Ⅰ）知S（3，﹣），利用向量的数量积的坐标表示可求cos∠MSN=∈[，1]，结合余弦函数的性质可求答案．解答：解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA==3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=，又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．…（6分）（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（﹣cosα，﹣sinα），由（Ⅰ）知S（3，﹣）．…（8分）故=（cosα﹣3，sinα+），=（﹣cosα﹣3，﹣sinα+），∴•=（cosα﹣3）（﹣cosα﹣3）+（sinα﹣）（﹣sinα﹣）=11（10分）||•||=×=×==由α∈[0，2π）知||•||∈[11，13]…（12分）所以cos∠MSN=∈[，1]，∴∠MSN＜60°恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面点评：本题考查的是解三角形的应用，解题的关键是准确理解基本概念：仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义及正弦、余弦定理．18．（16分）如图，椭圆C：+=1的右顶点是A，上下两个顶点分别为B，D，四边形DAMB 是矩形（O为坐标原点），点E，P分别是线段OA，MA的中点．（1）求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．（2）过点B的直线l1，l2与椭圆C分别交于R，S（不同于B点），且它们的斜率k1，k2满足k1•k2=﹣求证：直线SR过定点，并求出此定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）确定直线DE与BP的直线方程，可得交点坐标，满足椭圆方程，可得结论；（2）设出直线方程，求得R，S的坐标，利用R，S关于原点O对称，即可得到结论．解答：证明：（1）由题意，A（4，0），B（0，2），D（0，﹣2），E（2，0），P（4，1），则直线DE的方程为y=x﹣2，直线BP的方程为联立方程，可得直线DE与BP的交点坐标为（）∵椭圆C：+=1，∴（）满足方程，∴直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．（2）直线BR的方程为y=k1x+2解方程组，可得或∴R的坐标为（，）∵k1•k2=﹣，∴直线BS的斜率k2=﹣，∴直线BS的方程为y=﹣x+2 解方程组得或∴S的坐标为（，）∴R，S关于原点O对称∴R，O，S三点共线∴直线SR过定点，定点的坐标为O（0，0）．点评：本题考查直线的交点，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（16分）（xx•昌平区二模）设数列{a n}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p=2（a1+a2…+a n），（其中k、b、p是常数）．（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S n是数列{a n}的前n项和，a2﹣a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*，都有S n≠0，且．若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：综合题；压轴题；等差数列与等比数列．分析：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是等差数列，从而可求数列{a n}的通项公式；（3）确定数列{a n}的通项，利用{a n}是“封闭数列”，得a1是偶数，从而可得，再利用，验证，可求数列{a n}的首项a1的所有取值．解答：解：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），①用n+1去代n得，3（a1+a n+1）﹣4=2（a1+a2…+a n+a n+1），②②﹣①得，3（a n+1﹣a n）=2a n+1，a n+1=3a n，（2分）在①中令n=1得，a1=1，则a n≠0，∴，∴数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，∴a1+a2+a3+…+a n=．（4分）（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），③用n+1去代n得，（n+1）（a1+a n+1）=2（a1+a2…+a n+a n+1），④④﹣③得，（n﹣1）a n+1﹣na n+a1=0，⑤（6分）用n+1去代n得，na n+2﹣（n+1）a n+1+a1=0，⑥⑥﹣⑤得，na n+2﹣2na n+1+na n=0，即a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n，（8分）∴数列{a n}是等差数列．∵a3=3，a9=15，∴公差，∴a n=2n﹣3．（10分）（3）由（2）知数列{a n}是等差数列，∵a2﹣a1=2，∴a n=a1+2（n﹣1）．又{a n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N*，必存在p∈N*使a1+2（n﹣1）+a1+2（m ﹣1）=a1+2（p﹣1），得a1=2（p﹣m﹣n+1），故a1是偶数，（12分）又由已知，，故．一方面，当时，S n=n（n+a1﹣1）＞0，对任意n∈N*，都有．另一方面，当a1=2时，S n=n（n+1），，则，取n=2，则，不合题意．（14分）当a1=4时，S n=n（n+3），，则，当a1≥6时，S n=n（n+a1﹣1）＞n（n+3），，，又，∴a1=4或a1=6或a1=8或a1=10．（16分）点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列、等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．20．（16分）已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①；②曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：证明题；新定义．分析：（I）根据对数函数的定义求得函数的定义域，再根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间；（II）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）．…（1分）解答：由已知得，．…（2分）（1）当a＞0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（3分）（2）当a＜0时，①当时，即a＜﹣1时，令f'（x）＞0，解得或x＞1；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；…（4分）②当时，即a=﹣1时，显然，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；…（5分）③当时，即﹣1＜a＜0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（6分）综上所述，（1）当a＞0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；（2）当a＜﹣1时，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；（3）当a=﹣1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（4）当﹣1＜a＜0时，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（7分）（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，则，．==…（8分）曲线在点M（x0，y0）处的切线斜率k=f'（x0）==，…（9分）依题意得：=．化简可得：=，即==．…（11分）设（t＞1），上式化为：，即．…（12分）令，=．因为t＞1，显然g'（t）＞0，所以g（t）在（1，+∞）上递增，显然有g（t）＞2恒成立．所以在（1，+∞）内不存在t，使得成立．综上所述，假设不成立．所以，函数f（x）不存在“中值相依切线”．…（14分）点此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化评：简求值，掌握反证法进行命题证明的方法，是一道综合题，属难题．34187 858B 薋23556 5C04 射22578 5832 堲38930 9812 頒38483 9653 陓234549 86F5 蛵37228 916C 酬39823 9B8F 鮏?28745 7049 灉35973 8C85 貅24280 5ED8 廘u。

2021年高三上学期12月月考数学理试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（xx•江西）对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式．分析：不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac2＞bc2”必须有c2＞0这一条件．解答：解：主要考查不等式的性质．当C=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边故选B点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．2．（5分）已知t＞0，若∫0t（2x﹣2）dx=8，则t=（）A．1B．2C．4D．4或2 考点：定积分．专题：计算题．分析：先求出一次函数的f（x）=2x﹣2的原函数，然后根据定积分的定义建立等式关系，解之即可．解答：解：∫0t（2x﹣2）dx=（x2﹣2x）|0t=t2﹣2t=8，（t＞0）∴t=4或t=﹣2（舍）．故选C．点评：此题考查定积分的性质及其计算，要掌握定积分基本的定义和性质，解题的关键是找出原函数，属于基础题．3．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．考奇偶函数图象的对称性．点：专题：数形结合．分析：确定函数的定义域，考查函数的性质，即可得到函数的图象．解答：解：设f（x）=，则函数的定义域为R∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x）∴函数为奇函数∵，∴函数在原点右侧，靠近原点处单调增故选C．点评：本题考查函数的图象，解题的关键是确定函数的单调性与奇偶性，属于基础题．4．（5分）（xx•泰安二模）下列命题中的真命题是（）A．B．∀x∈（0，π），sinx＞cosxC．∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x D．∀x∈（0，+∞），e x＞x+1考点：特称命题；全称命题．分析：选项A应把sinx+cosx化积求值域；B选项可取特值排除，C命题可用幂函数的单调性；D分析较为困难，可建立辅助函数，求导分析单调性解决．解答：解：由sinx+cosx=，最大值为小于x不存在∴A不正确；B选项（特值）可取x=，sin=cos，∴不是全部都符合，排除B．C选项，∀x∈（﹣∞，0），x一旦选定就是一个具体值，运用幂函数在幂指数小于0时为减函数，都有2x＞3x，排除C．D选项分析：可令辅助函数y=e x﹣x﹣1，y′=e x﹣1，当x∈（0，+∞）时恒大于0，∴函数f（x）=e x﹣x﹣1在0，∞）上位增函数，∴f（x）＞0，即e x﹣x﹣1＞0，即e x ＞x+1．得到结论正确．故选D点评：对于全称命题和特称命题排除法是解决的常用方法，全称可以举反例验证，或者结合已知条件证明出来5．（5分）（xx•济宁二模）对于平面α和共面的直线m，n，下列命题是真命题的是（）A．若m，n与α所成的角相等，则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m⊂α，n∥α，则m∥n考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用直线和平面平行、垂直的判定和性质，判断命题A、B、C都不正确，只有D正确，从而得到结论．解答：解：由于平面α和共面的直线m，n，若m，n与α所成的角相等，则直线m，n平行或相交，故A不正确．若m∥α，n∥α，则，直线m，n平行或相交，故B不正确．若m⊥α，m⊥n，则n与平面α平行或n在平面α内，故C不正确．若m⊂α，n∥α，根据直线m，n是共面的直线，则一定有m∥n，故D正确，故选D．点评：本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判定，命题的真假的判断，属于基础题．6．（5分）（2011•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且c=4，B=45°，面积S=2，则b等于（）A．5B．C．D．25考点：正弦定理．专题：计算题．分析：利用三角形的面积公式求出边a；利用三角形的余弦定理求出边b．解答：解：∵S==2∴a=1由余弦定理得=25∴b=5故选A点评：本题考查三角形的面积公式：三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦的一半、考查利用三角形的余弦定理求边长．7．（5分）（xx•莆田模拟）若点（m，n）在直线4x+3y﹣10=0上，则m2+n2的最小值是（）A．2B．C．4D．考点：点到直线的距离公式．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意知点（m，n）为直线上到原点最近的点，直角三角形OAB中，OA=，OB=，斜边上的高h即为所求m2+n2的算术平方根，由此能求出m2+n2的最小值．解答：解：由题意知点（m，n）为直线上到原点最近的点，直线与两轴交于A（，0），B（0，），直角三角形OAB中，OA=，OB=，斜边AB==，斜边上的高h即为所求m2+n2的算术平方根，∵△OAB面积=×OA×OB=×AB×h，∴h===2，∴m2+n2的最小值=h2=4，故选C．点评：本题考查点到直线的距离的最小值，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．8．（5分）（xx•郑州二模）如图曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形（阴影部分）的面积为（）A．B．C．D．考点：定积分．专题：计算题．分析：先联立y=x2与y=的方程得到交点，继而得到积分区间，再用定积分求出阴影部分面积即可．解答：解：由于曲线y=x2（x＞0）与y=的交点为（），而曲线y=x2和直线x=0，x=1，y=所围成的图形（阴影部分）的面积为S=，所以围成的图形的面积为S===．故答案选D．点评：本题考查了定积分在研究平面几何中的应用，主要是利用定积分求曲线围成的图形面积，关键是要找到正确的积分区间．9．（5分）（xx•泰安二模）在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（）A．B．C．D．考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：先判定三角形形状，然后建立直角坐标系，分别求出，向量的坐标，代入向量数量积的运算公式，即可求出答案．解答：解：∵在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，∴根据余弦定理可知BC=由AB=2，AC=1，BC=满足勾股定理可知∠BCA=90°以C为坐标原点，CA、CB方向为x，y轴正方向建立坐标系∵AC=1，BC=，则C（0，0），A（1，0），B（0，）又∵E，F分别是Rt△ABC中BC上的两个三等分点，则E （0，），F （0，）则=（﹣1，），=（﹣1，）∴=1+=故选A ．点评： 本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中建立坐标系，将向量数量积的运算坐标化可以简化本题的解答过程．10．（5分）若函数，若af （﹣a ）＞0，则实数a 的取值范围是（ ）A ． （﹣1，0）∪（0，1）B ． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C ． （﹣1，0）∪（1，+∞）D ． （﹣∞，﹣1）∪（0，1）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析： 由已知中函数，分别讨论a ＜0时和a ＞0时不等式af （﹣a ）＞0的解集，最后综合讨论结果，可得答案．解答： 解：当a ＜0时，﹣a ＞0若af （﹣a ）＞0，即f （﹣a ）=log 2（﹣a ）＜0，解得0＜﹣a ＜1∴﹣1＜a ＜0当a ＞0时，﹣a ＜0若af （﹣a ）＞0，即f （﹣a ）=＞0，解得0＜a ＜1综上实数a 的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）故选A点评： 本题是分段函数与对数函数的综合应用，分段函数分段处理是解答分段函数最常用的方法．11．（5分）（xx •泰安二模）已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y=sin （ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜一个周期内的图象上的五个点，如图所示，，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，在x 轴上的投影为，则ω，ϕ的值为（ ）A ．B ．C ．D ．考由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：通过函数的图象，结合已知条件求出函数的周期，推出ω，利用A的坐标求出ϕ的值即可．解答：解：因为A，B，C，D，E是函数y=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜一个周期内的图象上的五个点，如图所示，，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D 关于点E对称，在x轴上的投影为，所以T=4×（）=π，所以ω=2，因为，所以0=sin（﹣+ϕ），0＜ϕ＜，ϕ=．故选B．点评：本题考查三角函数的解析式的求法，正确利用函数的图象与性质是解题的关键，考查计算能力．12．（5分）（xx•泰安二模）已知，实数a、b、c满足f（a）f（b）f（c）＜0，且0＜a＜b ＜c，若实数x0是函数f（x）的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是（）A．x0＜a B．x0＞b C．x0＜c D．x0＞c考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：探究型；函数的性质及应用．分析：确定函数为减函数，进而可得f（a）、f（b）、f（c）中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的，分类讨论分别求得可能成立选项，从而得到答案．解答：解：∵在（0，+∞）上是减函数，0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，∴f（a）、f（b）、f（c）中一项为负的、两项为正的；或者三项都是负的．即f（c）＜0，0＜f（b）＜f（a）；或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0．由于实数x0是函数y=f（x）的一个零点，当f（c）＜0，0＜f（b）＜f（a）时，b＜x0＜c，此时B，C成立．当f（a）＜f（b）＜f（c）＜0时，x0＜a，此时A成立．综上可得，D不可能成立故选D．点评：本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题纸的相应位置．13．（4分）（xx•泰安二模）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=．考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值．专计算题．分析：由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．解答：解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故答案为：﹣．点评：本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．14．（4分）（xx•泰安二模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各侧面均为正方形，侧面AA1C1C 的对角线相交于点A，则BM与平面AA1C1C所成角的大小是．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题；空间角．分析：确定三棱柱为直三棱柱，取AC中点D，连接BM，DM，则可得∠BMD为BM与平面AA1C1C所成角，由此可求结论．解答：解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各侧面均为正方形∴三棱柱的侧棱垂直于底面，三棱柱为直三棱柱取AC中点D，连接BM，DM，则BD⊥平面AA1C1C，∴∠BMD为BM与平面AA1C1C 所成设正方形的边长为2a，则DM=a，BM=a，∴tan∠BMD=∴∠BMD=故答案为：点评：本题考查直线与平面所成的角，确定三棱柱为直三棱柱，正确作出线面角是关键．15．（4分）（xx•宝鸡模拟）已知实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x+3y的最大值为4．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=x+3y的最大值．解答：解：约束条件的可行域如下图示：由图易得目标函数z=x+3y在（1，1）处取得最大值4，故答案为：4．点评：点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．16．（4分）已知函数f（x）的定义域[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示x ﹣1 0 2 4 5F（x） 1 2 1.5 2 1下列关于函数f（x）的命题；①函数f（x）的值域为[1，2]；②函数f（x）在[0，2]上是减函数③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a最多有4个零点．其中正确命题的序号是①②④．考点：命题的真假判断与应用；函数的单调性与导数的关系．专题：导数的概念及应用．分析：由导函数的图象得出单调性和极值点，再由对应值表得出极值和最值，进而得出函数的值域，并画出图象．即可判断出答案．解答：解：由f（x）的导函数y=f′（x）的图象可看出：如表格，由表格可知：函数f（x）在区间[﹣1，0）上单调递增，在区间（0，2）上单调递减，在区间（2，4）上单调递增，在区间（4，5]上单调递增．∴②正确．∴函数f（x）在x=0和x=4时，分别取得极大值，在x=2时取得极小值，且由对应值表f（0）=2，f（2）=1.5，f（4）=2，又f（﹣1）=1，f（5）=1．∴函数f（x）的值域为[1，2]．∴①正确．根据已知的对应值表及表格画出图象如下图：③根据以上知识可得：当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，则t=0，或4．故③不正确．④由图象可以看出：当1.5＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；当a=2时，函数y=f（x）﹣a有2个3零点；当a=1.5时，函数y=f（x）﹣a有3个零点；当1≤a＜1.5时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；∴当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a最多有4个零点．故④正确．综上可知①②④正确．故答案为①②④．点评：由导函数的图象和对应值表得出单调性、极值、最值及值域并画出图象是解题的关键．三、解答题：本大题共6个小题，满分74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题纸的相应位置．17．（12分）（xx•泰安二模）已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5=35，且a2，a7，a22成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设数列的前n项和为T n，求T n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（I）设数列的首项为a1，利用S5=35，且a2，a7，a22成等比数列，等差数列{a n}的公差d≠0，求得数列的首项与公差，即可求得数列{a n}的通项公式；（II）先求出S n，再用裂项法，可求数列的前n项和．解答：解：（I）设数列的首项为a1，则∵S5=35，且a2，a7，a22成等比数列∴∵d≠0，∴d=2，a1=3∴a n=3+（n﹣1）×2=2n+1；（II）S n=∴∴T n===﹣点评：本题考查等差数列的通项，考查数列的求和，正确求通项，利用裂项法求数列的和数关键．18．（12分）（xx•泰安二模）已知函数．（I）若，求sin2x的值；（II）求函数F（x）=f（x）•f（﹣x）+f2（x）的最大值与单调递增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：计算题．分析：（I）将函数f（x）展开，再用降次公式化简整理，得f（x）=sinx+cosx．将平方，再结合同角三角函数基本关系和正弦的二倍角公式，可得sin2x的值；（II）将函数f（x）和f（﹣x）表达式代入，得函数F（x）=1+sin2x+cos2x，化简得：F（x）=sin（2x+）+1．由此结合正弦函数最值和单调区间的结论，可得函数F（x）的最大值与单调递增区间．解答：解：=1+2sincos﹣（1﹣cosx）∴f（x）=sinx+cosx（I）f（x）=sinx+cosx=，两边平方得（sinx+cosx）2=∴1+2sinxcosx=，可得2sinxcosx=，即sin2x=（II）∵f（x）•f（﹣x）=（sinx+cosx）（﹣sinx+cosx）=cos2x﹣sin2x=cos2x，f2（x）=（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=1+sin2x∴函数F（x）=f（x）•f（﹣x）+f2（x）=1+sin2x+cos2x，化简，得数F（x）=sin（2x+）+1当2x+=+2kπ时，即x=+kπ（k∈Z）时，函数F（x）的最大值为+1令﹣+2kπ＜2x+＜+2kπ（k∈Z），得﹣+kπ＜x＜+kπ∴函数F（x）单调递增区间为（﹣+kπ，+kπ）．点评：本题将已知三角函数式化简，并求与之相关的另一个函数的最值和单调区间，着重考查了同角三角函数基本关系、三角函数的最值和三角函数中的恒等变换应用等知识，属于中档题．19．（12分）（xx•泰安二模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，，点E是棱PB的中点．（I）求证：平面ECD⊥平面PAD；（II）求二面角A﹣EC﹣D的平面角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．专题：综合题．分析：（I）证明CD⊥平面PAD，利用面面垂直的判定，可证平面ECD⊥平面PAD；（II）过点D作DF⊥CE，过点F作FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角，先利用AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，从而求得DE，在Rt△CBE中，利用勾股定理求得CE，进而可知CE=CD推断出△CDE为等边三角形，求得DF，因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG平行且等于AE的一半，从而求得FG，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，求得DG，最后利用余弦定理求得答案．解答：（I）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥CD∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD∵CD⊂平面ECD，∴平面ECD⊥平面PAD；（II）解：过点D作DF⊥CE，过点F作FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角．∵AD⊥AB，AD⊥PA，AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥AE，从而DE=在Rt△CBE中，CE==，∵CD=，∴△CDE为等边三角形，故F为CE的中点，且DF=CD•sin60°=因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG∥AE．且FG=AE，从而FG=，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，DG==，所以cos∠DFG==．点评：本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定定理，正确作出面面角，求出三角形的三边，利用余弦定理求面面角．20．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）．现已知此商品每件售价为500元，且该厂年内生产此商品能全部销售完．（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）根据年利润=销售额﹣投入的总成本﹣固定成本分0＜x＜80和当x≥80两种情况得到L与x的分段函数关系式；（2）当0＜x＜80时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x≥80时，利用基本不等式来求L的最大值．解答：解：（1）当0＜x＜80，x∈N*时，当x≥80，x∈N*时，L（x）=﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）∴．（2）当0＜x＜80，x∈N*时，，当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950当x≥80，x∈N，∵，∴当，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000＞950．综上所述，当x=100时L（x）取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．点评：考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．21．（12分）（xx•泰安二模）已知椭圆＞b＞0）的离心率为，且过点．（I）求椭圆的方程；（II）已知点C（m，0）是线段OF上一个动点（O为原点，F为椭圆的右焦点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使|AC|=|BC|，并说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）根据椭圆＞b＞0）的离心率为，且过点，建立方程组，即可求得椭圆的方程；（II）设过点F且与x轴不垂直的直线l的方程为：y=k（x﹣2）代入椭圆方程，消去y可得一元二次方程，求出AB垂直平分线的方程，将C的坐标代入，即可求得结论．解答：解：（I）由题意，，∴，∴椭圆的方程为；（II）设过点F且与x轴不垂直的直线l的方程为：y=k（x﹣2）代入椭圆方程，消去y可得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，则△=16k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）=﹣16k2+8＞0，∴k2＜设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，y1+y2=﹣∴AB的中点的坐标为（）∴AB的垂直平分线的方程为y+=﹣（x﹣）将点C（m，0）代入可得0+=﹣（m﹣）∴m=∵0＜m＜2∴恒成立∴存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使|AC|=|BC|．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，确定椭圆的方程，求出AB 的垂直平分线的方程是关键．22．（14分）（xx•泰安二模）已知函数f（x）=ax﹣lnx（a＞．（I）求证f（x）≥1+lna；（II）若对任意的，总存在唯一的（e为自然对数的底数），使得g（x1）=f（x2），求实数a 的取值范围．考点：函数与方程的综合运用；函数的值域．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（I）求导数，由导数的正负取得函数的单调性，从而可得函数的最值，即可证明结论；（II）首先确定g（x）∈[，2]，再分类讨论确定函数f（x）的值域，利用对任意的，总存在唯一的（e为自然对数的底数），使得g（x1）=f（x2），建立不等式，即可求实数a的取值范围．解答：（I）证明：求导数可得f′（x）=a﹣（x＞0）令f′（x）＞0，可得x＞，令f′（x）＜0，可得0＜x＜∴x=时，函数取得最小值∴f（x）≥f（）=1+lna；（II）解：g′（x）=＞0，∴函数g（x），当时，函数为增函数，∴g（x）∈[，2]当时，函数f（x）在上单调减，∴f（x）∈[，ae﹣1]∴，无解；当时，函数f（x）在上单调减，在上单调增，f（）=1+lna≤，∴a≤，∴＜a≤当时，函数f（x）在上单调增，∴f（x）∈[，ae﹣1]，∴，无解综上知，＜a≤．点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，函数解析式的求解及常用方法，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2021年高三上学期12月月考数学试卷含解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={1，2，3，5}，则∁U（A ∩B）= ．2．若实数a满足，其中i是虚数单位，则a= ．3．双曲线的两条渐近线方程为．4．若变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值．5．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为．6．函数f（x）=xlnx的减区间是．7．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为cm．8．在等比数列{an }中，Sn为其前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q为．9．已知椭圆（a＞b＞0），A为左顶点，B为短轴一顶点，F为右焦点且AB⊥BF，则这个椭圆的离心率等于．10．设f（x）=x2﹣3x+a，若函数f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围为．11．在△ABC中，已知•=4，||=3，M、N分别是BC边上的三等分点，则= ．12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=2x﹣2，则不等式f（x﹣1）≤2的解集是．13．已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+4）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为．14．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的导函数为f′（x）．对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为．二、解答题（本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知acosC+ccosA=2bcosA．（1）求角A的值；（2）求sinB+sinC的取值范围．16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是侧面AA1B1B对角线的交点，F是侧面AA1C1C对角线的交点，D是棱BC的中点．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面AEF⊥平面A1AD．17．某城市A计划每天从蔬菜基地B处给本市供应蔬菜，为此，准备从主干道AD的C处（不在端点A、D处）做一条道路CB，主干道AD的长为60千米，设计路线如图所示，测得蔬菜基地B在城市A的东偏北60°处，AB长为60千米，设∠BCD=θ，运输汽车在主干道AD上的平均车速为60千米/小时，在道路CB 上的平均车速为20千米/小时．（1）求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t关于θ的函数关系式t （θ），并指出其定义域；（2）求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点F是椭圆E：=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B，C分别为椭圆E的右、下、上顶点，满足，椭圆的离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若P为线段FC（包括端点）上任意一点，当取得最小值时，求点P的坐标；（3）设M为线段BC（包括端点）上的一个动点，射线MF交椭圆于点N，若，求实数λ的取值范围．19．已知数列{a n}中，a2=1，前n项和为S n，且．（1）求a1，a3；（2）求证：数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．附加题21．设是矩阵的一个特征向量，求实数a的值．22．在极坐标系中，设直线θ=与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标．23．一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，1，1，2，2，3，现从袋中一次随机抽取3个球．（1）若有放回的抽取3次，求恰有2次抽到编号为3的小球的概率；（2）记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列与数学期望．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px （p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．xx学年江苏省苏州市张家港市暨阳中学高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置）1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={1，2，3，5}，则∁U（A ∩B）={2，4，6} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先利用并集的定义，求出全集U=A∪B，再利用交集的定义求出A∩B，再利用补集的定义求得集合∁U（A∩B）．【解答】解：∵集合A={1，3，5}，B={1，2，3，5}，∴A∩B={1，3，5}，又全集U={1，2，3，4，5，6}，∴集合∁U（A∩B）={2，4，6}，故答案为：{2，4，6}．2．若实数a满足，其中i是虚数单位，则a=2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件可得2+ai=2i（1﹣i），再利用两个复数相等的充要条件，求得a 的值．【解答】解：∵实数a满足，∴2+ai=2i（1﹣i），∴2+ai=2+2i，解得a=2，故答案为2．3．双曲线的两条渐近线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：4．若变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值4．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x+y 得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C（2，0）时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．将C的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×2+0=4．即z=2x+y的最大值为4．故答案为：45．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为π．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期．【解答】解：函数f（x）=（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=1﹣six2x；所以函数的最小正周期为：T=，故答案为：π．6．函数f（x）=xlnx的减区间是．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求定义域，再令导数≤0解不等式，取交集可得．【解答】解：由题意函数的定义域为（0，+∞），求导数可得f′（x）=x′lnx+x（lnx）′=1+lnx，令f′（x）=1+lnx≤0，解之可得x≤故函数的减区间为：故答案为：7．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2cm的半圆，则该圆锥的高为cm．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】根据半圆的周长等于圆锥底面圆的周长求出底面圆的半径，再根据圆锥的轴截面图形求高即可．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，则2πr=2π⇒r=1cm，∴h==cm．故答案是．8．在等比数列{a n}中，S n为其前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q为3．【考点】等比数列的前n项和．【分析】分q=1，及q≠1，两种情况，结合等比数列的通项公式及求和公式分别表示已知，解方程可求q【解答】解：∵a5=2S4+3，a6=2S5+3，若q=1，则，不符合题意若q≠1∴两式相减整理可得，∴∴q=3故答案为：3法二：∵a5=2S4+3，a6=2S5+3，两式相减可得，a6﹣a5=2（s5﹣s4）=2a5即a6=3a5∴q=3故答案为：39．已知椭圆（a＞b＞0），A为左顶点，B为短轴一顶点，F为右焦点且AB⊥BF，则这个椭圆的离心率等于．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先求出A、B、F的坐标，由AB⊥BF及a，b、c的关系建立关于离心率e的方程，解方程求得椭圆C的离心率e．【解答】解：由题意得A（﹣a，0）、B（0，b），F（c，0），∵AB⊥BF，∴，∴（a，b）•（c，﹣b）=ac﹣b2=ac﹣a2+c2=0，∴e﹣1+e2=0，解得e=，故答案为：．10．设f（x）=x2﹣3x+a，若函数f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围为（0，] ．【考点】函数零点的判定定理；函数奇偶性的性质．【分析】函数f（x）在区间（1，3）内有零点，即a=﹣x2+3x在x∈（1，3）上成立即可，转化出求函数的值域问题即可获得问题的解答．【解答】解：函数f（x）在区间（1，3）内有零点，即a=﹣x2+3x在x∈（1，3）上成立，∵a=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，x∈（1，3）∴a∈（0，]．故答案为：（0，]．11．在△ABC中，已知•=4，||=3，M、N分别是BC边上的三等分点，则=6．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设BC的中点为O，由•=4，求得=．再根据=（+）•（+）=﹣，计算求得结果．【解答】解：如图，设BC的中点为O，由•=4、||=3，可得（+）•（+）=（+）•（﹣）=﹣=﹣=4，求得=．则=（+）•（+）=（+）•（﹣）=﹣=﹣=6，故答案为：6．12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=2x﹣2，则不等式f （x﹣1）≤2的解集是[﹣1，3] ．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】判断函数当x≥0时的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=2x﹣2，∴此时函数单调递增，由f（x）=2x﹣2=2得2x=4，则x=2，即不等式f（x﹣1）≤2等价为f（x﹣1）≤f（2），∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴不等式等价为f（|x﹣1|）≤f（2），即|x﹣1|≤2，则﹣2≤x﹣1≤2即﹣1≤x≤3，则不等式的解集为[﹣1，3]，故答案为：[﹣1，3]13．已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+4）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为[] ．【考点】圆的切线方程．【分析】由题意画出图形，利用两点间的距离关系求出OP的距离，再由题意得到关于a的不等式求得答案．【解答】解：如图，圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则∠APO=30°，在Rt△PAO中，PO=2，又圆M的半径等于1，圆心坐标M（a，a﹣4），∴|PO|min=|MO|﹣1，|PO|max=|MO|+1，∵，∴由，解得：2．故答案为：[]．14．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的导函数为f′（x）．对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为2﹣2．【考点】二次函数的性质．【分析】由已知可得ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，即△=（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）=b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，进而利用基本不等式可得的最大值．【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+c，∴f′（x）=2ax+b，∵对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，∴ax2+bx+c≥2ax+b恒成立，即ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，故△=（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）=b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，即b2≤4ac﹣4a2，∴4ac﹣4a2≥0，∴c≥a＞0，∴，故≤===≤=2﹣2，故答案为：2﹣2二、解答题（本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知acosC+ccosA=2bcosA．（1）求角A的值；（2）求sinB+sinC的取值范围．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简acosC+ccosA=2bcosA，结合三角形的内角和，求解A即可．（2）转化sinB+sinC为B的正弦函数，条公交的范围，推出相位的范围，然后求解函数的最值．【解答】解：（1）因为acosC+ccosA=2bcosA，所以sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，即sin（A+C）=2sinBcosA．因为A+B+C=π，所以sin（A+C）=sinB．从而sinB=2sinBcosA．…因为sinB≠0，所以cosA=．因为0＜A＜π，所以A=．…（2）sinB+sinC=sinB+sin（﹣B）=sinB+sincosB﹣cossinB=sinB+cosB=sin（B+）．…因为0＜B＜，所以＜B+＜．所以sinB+sinC的取值范围为（，]．…16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是侧面AA1B1B对角线的交点，F是侧面AA1C1C对角线的交点，D是棱BC的中点．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面AEF⊥平面A1AD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接A1B和A1C，易证EF∥BC，利用线面平行的判断定理即可证得EF∥平面ABC；（2）依题意，可证EF⊥AA1，EF⊥AD，而AA1∩AD=A，从而可证得EF⊥平面A1AD，利用面面垂直的判定定理即可证得平面AEF⊥平面A1AD．【解答】解：（1）连接A1B和A1C，因为E、F分别是侧面AA1B1B和侧面AA1C1C 对角线的交点，所以E、F分别是A1B和A1C的中点．所以EF∥BC…3分又BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，故EF∥平面ABC；…6分（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴BC⊥AA1，又EF∥BC，∴EF⊥AA1…8分又D是棱BC的中点，且△ABC为正三角形，所以BC⊥AD．由EF∥BC得EF⊥AD…10分而AA1∩AD=A，AA1，AD⊂平面A1AD，所以EF⊥平面A1AD，…12分又EF⊂平面AEF，故平面AEF⊥平面A1AD…14分17．某城市A计划每天从蔬菜基地B处给本市供应蔬菜，为此，准备从主干道AD的C处（不在端点A、D处）做一条道路CB，主干道AD的长为60千米，设计路线如图所示，测得蔬菜基地B在城市A的东偏北60°处，AB长为60千米，设∠BCD=θ，运输汽车在主干道AD上的平均车速为60千米/小时，在道路CB 上的平均车速为20千米/小时．（1）求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t关于θ的函数关系式t （θ），并指出其定义域；（2）求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出BC，AC，可得运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t关于θ的函数关系式t（θ），并指出其定义域；（2）求导数，确定函数的单调性，即可求运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值．【解答】解：（1）在△ABC中，，则，…又，则，…所以，运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t（θ）====，其定义域为{θ|60°＜θ＜120°}．…（2）=，…令t'（θ）=0，则，当时，t'（θ）＞0；当时，t'（θ）＜0，…所以，当时，因为60°≤θ≤120°，所以时，t（θ）取得最小值，此时，最小值为．答：运输汽车从城市A到蔬菜基地B处所用的时间t的最小值为．…18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点F是椭圆E：=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B，C分别为椭圆E的右、下、上顶点，满足，椭圆的离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若P为线段FC（包括端点）上任意一点，当取得最小值时，求点P的坐标；（3）设M为线段BC（包括端点）上的一个动点，射线MF交椭圆于点N，若，求实数λ的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（1）由点的坐标得到向量的坐标，由数量积等于5，结合离心率即隐含条件联立求解a，b c的值，则椭圆的方程可求；（2）由题意求出线段FC的方程，设出P点坐标，代入数量积公式后化为关于x 的表达式，利用配方法求最值，并求出取得最值时的P点坐标；（3）设出M点坐标，由把N点的坐标用含有λ和m的代数式表示，把N代代入椭圆方程得到m和λ的关系式，由m得范围进一步求解λ的范围．【解答】解：（1）设F（﹣c，0）．∵A（a，0），B（0，﹣b），C（0，b），∴．∵，∴ac+b2=5①．又，a2=b2+c2②．由①②得．∴椭圆E的方程为；（2）由题意可得线段FC的方程为．设P（x，y），则．=．当取得最小值时，，此时点P的坐标为；（3）设M（0，m），由，得N（﹣1﹣λ，﹣λm）．代入椭圆的方程得：3（﹣1﹣λ）2+4（﹣λm）2﹣12=0．即4（λm）2=12﹣3（1+λ）2．∵，∴0≤4（λm）2≤12λ2．则0≤12﹣3（1+λ）2≤12λ2．解得：﹣3≤λ≤﹣1（舍）或．19．已知数列{a n}中，a2=1，前n项和为S n，且．（1）求a1，a3；（2）求证：数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b1，b p，b q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列的通项公式；等比关系的确定．【分析】（1）在中，分别令n=2，n=3即可求得答案；（2）由，即①，得②，两式作差得（n﹣1）a n+1=na n③，从而有na n+2=（n+1）a n+1④，③+④，根据等差数列中项公式即可证明；（3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，b p，b q成等比数列，则lgb1，lgb p，lgb q成等差数列，从而可用p表示出q，观察可知（p，q）=（2，3）满足条件，根据数列单调性可证明（p，q）=（2，3）唯一符合条件．【解答】（1）解：令n=1，则a1=S1==0，令n=3，则，即0+1+a3=，解得a3=2；（2）证明：由，即①，得②，②﹣①，得（n﹣1）a n+1=na n③，于是，na n+2=（n+1）a n+1④，③+④，得na n+2+na n=2na n+1，即a n+2+a n=2a n+1，又a1=0，a2=1，a2﹣a1=1，所以数列{a n}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以a n=n﹣1．（3）假设存在正整数数组（p，q），使b1，b p，b q成等比数列，则lgb1，lgb p，lgb q成等差数列，于是，．所以，（☆）．易知（p，q）=（2，3）为方程（☆）的一组解．当p≥3，且p∈N*时，＜0，故数列{}（p≥3）为递减数列于是≤＜0，所以此时方程（☆）无正整数解．综上，存在唯一正整数数对（p，q）=（2，3），使b1，b p，b q成等比数列．20．已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．【分析】（1）f（x）在（1，+∞）上为减函数，等价于f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为f′（x）max≤0，根据二次函数的性质可得f′（x）max；（2）命题“若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1）易求f′（x）max+a，从而问题等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min”，分①a，②a＜两种情况讨论：当a时易求f（x）min，当a＜时可求得f′（x）的值域为[﹣a，]，再按（i）﹣a≥0，（ii）﹣a＜0两种情况讨论即可；【解答】解：（1）因f（x）在（1，+∞）上为减函数，故f′（x）=﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，又f′（x）=﹣a=﹣+﹣a=﹣，故当，即x=e2时，，所以0，于是a，故a的最小值为．（2）命题“若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f'（x2）+a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（1），当x∈[e，e2]时，f′（x）max=，所以f′（x）max+a=，问题等价于：“当x ∈[e，e2]时，有f（x）min”，①当a时，由（1），f（x）在[e，e2]上为减函数，则f（x）min=f（e2）=，故a，；②当a＜时，由于在[e，e2]上为增函数，故f′（x）的值域为[f′（e），f′（e2）]，即[﹣a，]．（i）若﹣a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在[e，e2]上恒成立，故f（x）在[e，e2]上为增函数，于是，f（x）min=f（e）=e﹣ae≥e＞，不合题意；（ii）若﹣a＜0，即0＜a＜，由f′（x）的单调性和值域知，∃唯一，使f′（x0）=0，且满足：当x∈（e，x0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；所以，，，所以a﹣＞，与0＜a＜矛盾，不合题意；综上，得a．附加题21．设是矩阵的一个特征向量，求实数a的值．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】利用特征向量的定义，建立方程，即可求实数a的值．【解答】解：设是矩阵M属于特征值λ的一个特征向量，则，…5分故解得…10分．22．在极坐标系中，设直线θ=与曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】方法一：将直线直线θ=化为普通方程得，x，将曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为普通方程得，x2+y2﹣10x+4=0，联立消去y得，2x2﹣5x+2=0，利用中点坐标可得线段AB的坐标，再化为极坐标即可．方法2：联立直线l与曲线C的方程组可得ρ2﹣5ρ+4=0，解得ρ1=1，ρ2=4，利用中点坐标公式即可得出．【解答】解：方法一：将直线θ=化为普通方程得，x，将曲线ρ2﹣10ρcosθ+4=0化为普通方程得，x2+y2﹣10x+4=0，联立并消去y得，2x2﹣5x+2=0，∴x1+x2=，∴AB中点的横坐标为=，纵坐标为，∴=化为极坐标为．方法2：联立直线l与曲线C的方程组，消去θ，得ρ2﹣5ρ+4=0，解得ρ1=1，ρ2=4，∴线段AB中点的极坐标为，即．23．一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，1，1，2，2，3，现从袋中一次随机抽取3个球．（1）若有放回的抽取3次，求恰有2次抽到编号为3的小球的概率；（2）记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【分析】（1）确定一次从袋中随机抽取3个球，抽到编号为3的小球的概率，即可求出恰有2次抽到编号为3的小球的概率；（2）确定随机变量X所有可能的取值，求出相应的概率，即可求出随机变量X 的分布列与数学期望．【解答】解：（1）一次从袋中随机抽取3个球，抽到编号为3的小球的概率为P==∴有放回的抽取3次，恰有2次抽到编号为3的小球的概率为==；（2）随机变量X所有可能的取值为1，2，3，则P（X=1）==；P（X=2）==；P（X=3）==∴随机变量X的分布列为：X12 3P∴E（X）=1×+2×+3×=．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px （p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，然后求解抛物线方程．（2）：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），通过抛物线方程，求解k PQ，通过P，Q 关于直线l对称，点的k PQ=﹣1，推出，PQ的中点在直线l上，推出=2﹣p，即可证明线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②利用线段PQ中点坐标（2﹣p，﹣p）．推出，得到关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，列出不等式即可求出p的范围．【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0，∴l与x轴的交点坐标（2，0），即抛物线的焦点坐标（2，0）．∴，∴抛物线C：y2=8x．（2）证明：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则：，即：，k PQ==，又∵P，Q关于直线l对称，∴k PQ=﹣1，即y1+y2=﹣2p，∴，又PQ的中点在直线l上，∴==2﹣p，∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②因为Q中点坐标（2﹣p，﹣p）．∴，即∴，即关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，∴△＞0，（2p）2﹣4（4p2﹣4p）＞0，∴p∈．xx年1月17日p33233 81D1 臑21347 5363 卣25727 647F 摿33148 817C 腼I40462 9E0E 鸎bt37336 91D8 釘38676 9714 霔{24026 5DDA 巚d36890 901A 通。

2021年高三12月月考数学（理）试题本试卷共21小题,满分150分,考试用时120分钟.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1.若集合24{|90,*},{|*},A x x x x NB y N A By=-<∈=∈则中元素个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数（）A. B. C.0 D.13.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（）A.30人,30人，30人B.30人，45人，15人C.25人，50人，15人D.30人，50人，10人4.在等差数列{a n}中，若的值为（）A．20 B．30 C．40 D．505．如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为等边三角形，俯视图为一个半径为3的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（）. . .6. 若点(x,y)在不等式组表示的平面区域内运动，则的取值范围是( ).[2,1].[2,1].[1,2].[1,2]A B C D----7. 防疫站有A、B、C、D四名内科医生和E、F两名儿科医生，现将他们分成两个3人小组分别派往甲、乙两地指导疾病防控。

两地都需要既有内科医生又有儿科医生，而且A只能去乙地。

则不同的选派方案共有( )A．种B．种C．种D．种8.设表示不超过的最大整数(如,),对于给定的,定义,,则当时,函数的值域是( )二、填空题(每小题5分, 其中从14－15题中任选一题，共30分)9. 已知向量则实数k等于______.10. 按下列程序框图来计算：如果输入的x = 5, 应该运算_______次才停止.11.已知那么12. 从圆外一点作这个圆的切线，设两条切线之间所夹的角为，则．13．为迎接校庆，学校准备投入a元建造一个花圃（如图）．已知矩形ABCD的造价为40元/m2，其余的两个半圆及两个圆的造价为20元/ m2．两圆及两个半圆的直径分别为矩形的长和宽，由于矩形ABCD要种名贵花卉，故建造时要求矩形ABCD的面积越大越好．那么，当矩形ABCD的面积达到最大时，______ .㈡选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程）在以O为极点的极坐标系中，直线l的极坐标方程是，直线l与极轴相交于点M，以OM为直径的圆的极坐标方程是___ .15.（几何证明选讲）如图，是圆O的内接三角形，圆O的半径，，，是圆的切线，·则_______．三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(满分12分)已知函数．（1）若，求的值；（2）求的单调增区间．17. (满分12分)某次体能测试中，规定每名运动员一开始就要参加且最多参加四次测试.一旦测试通过,就不再参加余下的测试,否则一直参加完四次测试为止.已知运动员甲的每次通过率为(假定每次通过率相同). (1) 求运动员甲最多参加两次测试的概率;(2) 求运动员甲参加测试的次数ξ 的分布列及数学期望(精确到0.1).18、（满分14分）如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2,CA CB CD BD AB AD ======（Ⅰ）求证：平面BCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求点E 到平面ACD 的距离．19、（满分14分）已知一动圆M ,恒过点F (1,0)，且总与直线相切, （Ⅰ）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）在曲线C 上是否存在异于原点的两点,当时,直线AB 恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.20. (满分14分）设函数. (1)求的单调区间;(2)若当时,(其中不等式恒成立,求实数m 的取值范围; (3)试讨论关于x 的方程:在区间[0,2]上的根的个数.21.(满分14分)设函数.若方程的根为0和2,且. (1). 求函数的解析式;(2) 已知各项均不为零的数列满足:为该数列的前n 项和),求该数列的通项; (3)如果数列满足.求证:当时,恒有成立.CE连州中学xx 届高三级12月月考数学（理科）答案一、选择题:DABC DCAD（2）单调递增，故，…………10分即，…………… 11分从而的单调增区间为．…………… 12分ξ 1 2 340.70.210.063 0.027………… 10分4.1027.04063.0321.027.01≈⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………… 12分是直角斜边AC 上的中线，∴ (9)分方法二：(2)解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则133,0),(0,0,1),(,(1,0,1),(1,3,0).22C A E BA CD =-=-， …… 9分ACDOBEzx19、解：(1) 因为动圆M,过点F且与直线相切,所以圆心M到F的距离等于到直线的距离. …………2分所以,点M的轨迹是以F为焦点, 为准线的抛物线,且,, ……4分所以所求的轨迹方程为……………6分20.解:(1)函数的定义域为. ……… 1分由得; ……… 2分由得, ………3分故时,不等式恒成立. ………9分时,方程有两个不等的解.………14分21.(1)设()⎪⎩⎪⎨⎧+==∴⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯-=+∴=++-=-+21,1212,01,22cbababcacxxbxcbxax得…2分(2)由已知得……5分两式相减得,……6分当.若……8分.•c>31006 791E 礞#t36811 8FCB 迋29751 7437 琷40021 9C55 鱕39043 9883 颃28943 710F 焏28497 6F51 潑。

2021年高三上学期12月月考数学试卷（理科）含解析）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设集合 M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（）A．[1，2）B．[1，2] C．（2，3] D．[2，3]2．“x＞2”是“x2＞4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A 到B的映射的是（）A．f：x→y=x2B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x24．下列各图形中，不可能是某函数y=f（x）的图象的是（）A．B．C．D．5．若函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向上且顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）A． B． C． D．6．函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）7．若f（10x）=x，则f（3）的值为（）A．log310 B．lg3 C．103D．3108．已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x）=﹣f（4﹣x），且当x∈[2，4）时，f（x）=log2（x﹣1），则f的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．函数f（x）=x3﹣3x2+7的极大值是．10．幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，），则满足f（x）=27的x的值是．11．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a等于．12．若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是．13．函数f（x）=（）|x﹣1|的单调减区间是．14．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．设集合A={x||x﹣a|＜2}，B={x|＜1}，若A∩B=A，求实数a的取值范围．16．已知函数f（x）=x3﹣3x及曲线y=f（x）上一点P（1，﹣2），（I）求与y=f（x）相切且以P为切点的直线方程；（Ⅱ）求过点P并与y=f（x）相切且切点异于P点的直线方程．17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值，并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点（1，0）处相切，（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间．18．已知函数f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；（Ⅱ）在（I）的条件下，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若x＞1时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．19．已知曲线C：y=e ax．（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．20．国庆“黄金周”及其前后是旅游旺季．某宾馆通过对9月26日至10月15日这20天的调查，得到部分日经济收入Q与这20天中的第t天（t∈N*）的部分数据如下表：天数T（单位：天） 1 3 8 12 15日经济收入Q（单位：万元）218 248 288 284 260（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最恰当的函数描述Q与t的变化关系：Q=at+b，Q=﹣t2+at+b，Q=a•b t，Q=a•log b t，并求出该函数的解析式；（2）利用你选择的函数，确定日经济收入最高的是第几天；并求出最高日经济收入．xx学年北京市海淀区科迪实验中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（）A．[1，2）B．[1，2]C．（2，3]D．[2，3]【考点】交集及其运算．【分析】根据已知角一元二次不等式可以求出集合M，将M，N化为区间的形式后，根据集合交集运算的定义，我们即可求出M∩N的结果．【解答】解：∵M={x|x2+x﹣6＜0}={x|﹣3＜x＜2}=（﹣3，2），N={x|1≤x≤3}=[1，3]，∴M∩N=[1，2）故选A2．“x＞2”是“x2＞4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先后分析“x＞2”⇒“x2＞4”与“x2＞4”⇒“x＞2”的真假，进而根据充要条件的定义，得到答案．【解答】解：当x＞2时，x2＞4成立，故“x＞2”⇒“x2＞4”为真命题故“x＞2”是“x2＞4”的充分条件；当x2＞4时，x＜﹣2或x＞2，即x＞2不成立故“x2＞4”⇒“x＞2”为假命题故“x＞2”是“x2＞4”的不必要条件；综上“x＞2”是“x2＞4”的充分不必要条件；故选A3．设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则下述对应法则f中，不能构成A到B的映射的是（）A．f：x→y=x2B．f：x→y=3x﹣2 C．f：x→y=﹣x+4 D．f：x→y=4﹣x2【考点】映射．【分析】按照映射的定义，一个对应能构成映射的条件是，A中的每个元素在集合B中都有唯一的确定的一个元素与之对应．判断题中各个对应是否满足映射的定义，从而得到结论．【解答】解：对于对应f：x→y=x2，当1≤x≤2 时，1≤x2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故A中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=3x﹣2，当1≤x≤2 时，1≤3x﹣2≤4，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=﹣x+4，当1≤x≤2 时，2≤﹣x+4≤3，在集合A={x|1≤x≤2}任取一个值x，在集合B={y|1≤y≤4}中都有唯一的一个y值与之对应，故B中的对应能构成映射．对于对应f：x→y=4﹣x2 ，当x=2 时，y=0，显然y=0不在集合B中，不满足映射的定义，故D中的对应不能构成A到B的映射．故选D．4．下列各图形中，不可能是某函数y=f（x）的图象的是（）A．B．C． D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的定义可知，B中不满足y值的唯一性．【解答】解：根据函数的定义可知，对应定义域内的每一个x，都要唯一的y与x对应，A，C，D满足函数的定义．B中当x＞0时，对应的y值有两个，所以不满足函数的定义，所以B不是函数的图象．故选B．5．若函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向上且顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）A． B． C． D．【考点】导数的运算．【分析】先根据二次函数的判断出a，b的符号，再求导，根据一次函数的性质判断所经过的象限即可．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口向上且顶点在第四象限，∴a＞0，﹣＞0，∴b＜0，∵f′（x）=2ax+b，∴函数f′（x）的图象经过一，三，四象限，∴选项A符合，故选：A．6．函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出f′（x）令其小于0即可得到函数是减函数的区间．【解答】解：由f′（x）=3x2﹣6x＜0，得0＜x＜2∴函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的区间为（0，2）．故答案为D．7．若f（10x）=x，则f（3）的值为（）A．log310 B．lg3 C．103D．310【考点】函数的值．【分析】法一：根据题意可得f（3）=f（10lg3），代入已知函数解析式可求法二：利用换元法可求出函数解析式，然后把t=3代入即可求解函数值【解答】解：法一：∵f（10x）=x，∴f（3）=f（10lg3）=lg3故选B法二：∵f（10x）=x，令t=10x，则x=lgt∴f（t）=﹣lgt∴f（3）=lg3故选B8．已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x）=﹣f（4﹣x），且当x∈[2，4）时，f（x）=log2（x﹣1），则f的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题设条件知本题中所给的函数是一个周期性函数，故可以利用周期性与函数是偶函数这一性质将要求的函数值转化到区间[2，4）上求解．【解答】解：定义在R上的偶函数f（x），满足f（x）=﹣f（4﹣x）恒成立，故可得f（x）=f（x﹣8），可得此函数的周期是8．又当x∈[2，4）时，f（x）=log2（x﹣1），由此f=f（2）+f（3）=log2（2﹣1）+log2（3﹣1）=1，故选：C．二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．函数f（x）=x3﹣3x2+7的极大值是7．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】令f′（x）=0，可得x=0或x=2，根据导数在x=0和x=2两侧的符号，判断故f（0）为极大值．【解答】解：∵f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，∴函数f（x）在（﹣∞，0）是增函数，在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）是增函数，∴函数f（x）在x=0时取得极大值7，故答案为：7．10．幂函数y=f（x）的图象经过点（﹣2，），则满足f（x）=27的x的值是．【考点】幂函数的性质．【分析】先设出幂函数的解析式，把点代入求出α的值，再把27代入解析式求出x的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，∵过点，∴=（﹣2）α，解得α=﹣3，∴f（x）=x﹣3，∴f（x）=27=x﹣3，解得x=．故答案为：．11．函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a等于5．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）在x=﹣3时取得极值，可以得到f′（﹣3）=0，代入求a值．【解答】解：对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax+3∵f（x）在x=﹣3时取得极值∴f′（﹣3）=0⇒a=5故答案为：512．若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是．【考点】二次函数的性质．【分析】有顶点公式可得出对称轴，对称轴应在（﹣∞，2]的右侧，可得不等式，求解．【解答】解：∵函数y=x2+（2a﹣1）x+1的对称轴为x=﹣a，又∵函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，∴﹣a≥2，∴a≤﹣，故答案为（﹣∞，﹣]．13．函数f（x）=（）|x﹣1|的单调减区间是[1，+∞）．【考点】指数式与对数式的互化．【分析】由于函数=，利用复合函数的单调性的判定方法即可得出．【解答】解：函数=，利用复合函数的单调性的判定方法可知：当x≥1时，函数f（x）单调递减；当x＜1时，函数f（x）单调递增．∴函数f（x）的单调减区间是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．14．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（0，）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出函数f（x）的图象，关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，即为直线y=a（x+1）与曲线y=相交时，与f（x）的图象有三个交点，求出直线与曲线y=相切时的斜率，即可得到a的取值范围．【解答】解：作出函数f（x）的图象，如右图：作出直线y=a（x+1），则直线恒过（﹣1，0），关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，即为当直线与曲线y=相交时，与f（x）的图象有三个交点，当直线与曲线y=相切时，设切点为（m，），则y′=，则切线斜率为=a，又a（m+1）=，由此解得，a=（负的舍去），故a的取值范围是（0，）．故答案为（0，）．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．设集合A={x||x﹣a|＜2}，B={x|＜1}，若A∩B=A，求实数a的取值范围．【考点】集合关系中的参数取值问题．【分析】解绝对值不等式可求出集合A，解分式不等式可以求出集合B，由A∩B=A可得A ⊆B，结合集合包含关系定义，可构造关于a的不等式组，解得实数a的取值范围．【解答】解：若|x﹣a|＜2，则﹣2＜x﹣a＜2，即a﹣2＜x＜a+2故A={x||x﹣a|＜2}={x|a﹣2＜x＜a+2}．…若，则，即，即﹣2＜x＜3．…因为A∩B=A，即A⊆B，所以．解得0≤a≤1，…故实数a的取值范围为[0，1]…16．已知函数f（x）=x3﹣3x及曲线y=f（x）上一点P（1，﹣2），（I）求与y=f（x）相切且以P为切点的直线方程；（Ⅱ）求过点P并与y=f（x）相切且切点异于P点的直线方程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）求出f（x）的导数，可得P处切线的斜率，可得切线方程；（Ⅱ）设切点为（m，n）（异于P点），代入f（x）可得n=m3﹣3m，求得切线的斜率和方程，代入（1，﹣2），可得m的方程，解得m，即可得到所求切线的方程．【解答】解：（I）函数f（x）=x3﹣3x的导数为f′（x）=3x2﹣3，点P（1，﹣2）处的切线斜率为3﹣3=0，则与y=f（x）相切且以P为切点的直线方程为y=﹣2；（Ⅱ）设切点为（m，n）（异于P点），且n=m3﹣3m，可得切线的斜率为3m2﹣3，切线的方程为y﹣n=（3m2﹣3）（x﹣m），点P（1，﹣2）代入上式，可得﹣2﹣m3+3m=（3m2﹣3）（1﹣m），整理可得2m3﹣3m2+1=0，即为（m﹣1）2（2m+1）=0，解得m=﹣（1舍去），可得切线的斜率为﹣，则所求切线的方程为y+2=﹣（x﹣1），即为9x+4y﹣1=0．17．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值，并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点（1，0）处相切，（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f′（x），因为函数在x=﹣2处取得极值，所以f′（﹣2）=0，又因为函数与直线在点（1，0 ）处相切，所以f′（1）=﹣3，代入求得两个关于a与b的二元一次方程，求出解集得到a和b，又因为函数过点（1，0），代入求出c的值即可．（2）由（1）求出的值可得导函数的解析式，分别令其大于、小于0可求增、减区间．【解答】解：（1）∵f′（x）=3x2+2ax+b，∴f′（﹣2）=3×（﹣2）2+2a×（﹣2）+b=0∴12﹣4a+b=0 ①又f′（1）=3+2a+b=﹣3 ②，由①②解得a=1，b=﹣8又f（x）过点（1，0），∴13+a×12+b×1+c=0，∴c=6所以f（x）的解析式为：f（x）=x3+x2﹣8x+6（2）由（1）知：f（x）=x3+x2﹣8x+6，所以f′（x）=3x2+2x﹣8令3x2+2x﹣8＜0解得，令3x2+2x﹣8＞0解得x＜﹣2，或故f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（，+∞），f（x）的单调递减区间为（﹣2，）18．已知函数f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；（Ⅱ）在（I）的条件下，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若x＞1时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）求出函数的导数，求得切线的斜率，由题意可得斜率为0，可得a=3：（II）求出导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；（Ⅲ）运用参数分离，可得a＜在x＞1时恒成立，令h（x）=1+x2﹣lnx，求得导数，判断函数的单调性，运用单调性即可求得a的取值范围．【解答】解：（I）f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．定义域为（0，+∞），导数．依题意，f′（1）=0．所以f′（1）=3﹣a=0，解得a=3；（II）a=3时，f（x）=lnx+x2﹣3x，定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x﹣3=，当0＜x＜或x＞1时，f′（x）＞0，当＜x＜1时，f′（x）＜0，故f（x）的单调递增区间为（0，），（1，+∞），单调递减区间为（，1）；（III）由f（x）＞0，得a＜在x＞1时恒成立，令g（x）=，则g′（x）=，令h（x）=1+x2﹣lnx，则h′（x）=2x﹣=，所以h（x）在（1，+∞）为增函数，h（x）＞h（1）=2＞0．故g'（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）为增函数，即有g（x）＞g（1）=1，所以a≤1，即实数a的取值范围为（﹣∞，1]．19．已知曲线C：y=e ax．（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义，y=e ax在x=0处的切线方程为y﹣1=y′（0）x，再比较已知条件，可得；（Ⅱ）原题意可转化为对于∀x，a∈R，e ax＞ax+b恒成立，法1：进一步转化为∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=e ax﹣ax﹣b，分别从a=0和a≠0两种情况通过求导的方式进一步分析；法2：进一步转化为∀x，a∈R，b＜e ax﹣ax恒成立，再令t=ax，则等价于∀t ∈R，b＜e t﹣t恒成立，再通过研究函数g（t）=e t﹣t的性质求解．【解答】解：（Ⅰ）y'=ae ax，因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：y=2x+m，所以1=2×0+m且y'|x=0=2．解得m=1，a=2（Ⅱ）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于∀x，a∈R，都有e ax＞ax+b，即∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=e ax﹣ax﹣b，①若a=0，则g（x）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；②若a≠0，g'（x）=a（e ax﹣1），由g'（x）=0得x=0，g'（x），g（x）的情况如下：0 （0，+∞）x （﹣∞，0）g'（x）﹣0 +g（x）↘极小值↗所以g（x）的最小值为g（0）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；综上，实数b的取值范围是b＜1．法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于∀x，a∈R，都有e ax＞ax+b，即∀x，a∈R，b＜e ax﹣ax恒成立，令t=ax，则等价于∀t∈R，b＜e t﹣t恒成立，令g（t）=e t﹣t，则g'（t）=e t﹣1，由g'（t）=0得t=0，g'（t），g（t）的情况如下：t （﹣∞，0 （0，+∞）0）g'（t）﹣0 +g（t）↘极小值↗所以g（t）=e t﹣t的最小值为g（0）=1，实数b的取值范围是b＜1．20．国庆“黄金周”及其前后是旅游旺季．某宾馆通过对9月26日至10月15日这20天的调查，得到部分日经济收入Q与这20天中的第t天（t∈N*）的部分数据如下表：天数T（单位：天） 1 3 8 12 15日经济收入Q（单位：万元）218 248 288 284 260（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最恰当的函数描述Q与t的变化关系：Q=at+b，Q=﹣t2+at+b，Q=a•b t，Q=a•log b t，并求出该函数的解析式；（2）利用你选择的函数，确定日经济收入最高的是第几天；并求出最高日经济收入．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入Q与天数的变化关系的函数不可能为常数函数，也不可能是单调函数，故选取二次函数Q=at2+bt+c进行描述，将（1，218）、（8，288）代入Q=﹣t2+at+b，代入Q，即得函数解析式；（2）由二次函数的图象与性质，利用配方法可求取最值．【解答】解：（1）由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入Q与天数的变化关系的函数不可能为常数函数，从而用四个中的任意一个进行描述时都应有，而Q=at+b，Q=a•b t，Q=a•log b t三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，∴选取二次函数进行描述最恰当．…将（1，218）、（8，288）代入Q=﹣t2+at+b，可得，解得a=19，b=200．∴Q=﹣t2+19t+200，（1≤t≤20，t∈N*）；（2）Q=﹣t2+19t+200=﹣（t﹣）2+，∵1≤t≤20，t∈N*，∴t=9或10时，Q取得最大值290万元．精品文档xx年11月30日Q29452 730C 猌30791 7847 硇27496 6B68 歨37042 90B2 邲`26773 6895 梕x39106 98C2 飂27219 6A53 橓31600 7B70 筰33470 82BE 芾;D实用文档。

2021年高三12月份月考试题数学理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、考号、考试科目、班级填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（客观题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}{}2|2,,|,x M y y x R N y y x x R M N ==∈==∈,则等于（A ） （B ） （C ）（D ）（2）曲线在处的切线斜率为 （A ）0 （B ） （C ）3（D ）（3）一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，该球的表面积是12π，那么这个正方体的体积是 （A ）（B ）（C ）8（D ）24（4）不等式的解集为（A ）[-5.5] （B ）[-4,4] （C ） （D ）（5）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）（6））函数（其中A＞＜）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（A）向右平移个长度单位（B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位（D）向左平移个长度单位（（7）如图，某简单几何体的正（主）视图与侧（左）视图都是边长为1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是（8）在等差数列{}中，，其前n项和，若，则的值为(A)xx （B）xx （C）-xx （D）-xx（9）函数的大致图象是（10）已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，下列命题中的假命题是（A）（B）（C）（D）（11）已知函数，若且，则的取值范围（A）（B）（C）（D）（12）已知，把数列的各项排列成如右图所示的三角形状，记表示第行的第个数，则=A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2021年高三上学期第四次（12月）月考数学（理）试题 含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，则中元素的个数为（ ）A ．3B ．2C ．7D ．52．1.已知，其中 为虚数单位，则（ ） A ． B. C. D.3．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是( )A .B .C .D . 4．设曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）A ．2B ．C ．D ．5．为平行四边形的一条对角线，（ ） A ．B ．C ．D ．6．已知，若，则=（ ）A .1B . 4C .- 2或4D . -2 7．已知变量满足条件 ，则 的最小值是（ ）A .B .C .D .8．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ． B ． C ． D ． 9．已知，，则的最小值是（ ）A . 3B . 4C .D .10．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ． 11．已知函数，若存在且，使得 成立，则实数的取值范围是（ ）A .B .C .D .12．已知函数20134321)(2013432x x x x x x f ++-+-+= ，设，且函数的零点均在区间内，圆的面积的最小值是（ ） A .B .C .D .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知等差数列的前项和为，若，则_____________. 14．若不等式的解集为，则实数_____________.15.已知函数的图像与直线有且只有两个交点，且交点的横坐标分别为，那么=_____________.16．已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为_____________．俯视图侧视图正视图第（10）题三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. (本题满分12分)在等差数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设，，求.19. (本小题满分12分)如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE∥DF，∠DEF＝90°.(1)求证：BE∥平面ADF；(2)若矩形ABCD的一边AB＝3，EF＝23，则另一边BC的长为何值时，三棱锥F­BDE的体积为3？20.(本小题满分12分) 已知，数列是首项为，公比也为的等比数列，令（Ⅰ）求数列的前项和；（Ⅱ）当数列中的每一项总小于它后面的项时，求的取值范围.21. (本小题满分12分)已知函数.（1）是否存在实数，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（2）求证：e n n n<+++⨯+⨯+⨯+-])12)(12(21[)9581)(5341)(3221(1 （其中，是自然对数的底数）．22.选做题1、（本小题满分10分）设函数（1）若的最小值为3，求的值；（2）求不等式的解集.2、（本小题满分10分）解关于的不等式：崇义中学xx年上学期高三理科数学月考4试卷（答案）一、1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A B C D A B C A B A C C二、13、28 ; 14、 ; 15、； 16、三、17.19. (1)证明：过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM.∵CE∥DF，∴四边形CEMD是平行四边形．可得EM＝CD且EM∥CD，于是四边形BEMA也是平行四边形，∴有BE∥AM.而AM⊂平面ADF，BE⊄平面ADF，∴BE∥平面ADF.。

2021年高三12月月考试题数学（理）一．选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.只有一项是符合题目要求的.）1．已知复数，则它的共轭复数等于 （ ）A ．2-iB ．2+iC ．-2+iD ．-2-i2．平面向量夹角为= （ ）A ．7B ．C ．D ．33. 在ABC AB ABC ∆=+⋅∆则中，若,02的形状是 （ ）A ．∠A 为直角的直角三角形B ．∠B 为直角的直角三角形C ．锐角三角形D ． ∠C 为钝角的三角形4．已知等比数列中，，且有，则( )A ．B ．C ．D ． 5．给出下面结论： ①;"023,:""023,:"22<+-∈∀⌝≥+-∈∃x x R x p x x R x p 的否定为命题② 命题：,使得③ 若¬p 是q 的必要条件，则p 是¬q 的充分条件；④“”是“”的充分不必要条件。

其中正确结论的个数为 （ ）A ．4B ．3C ．2D ．16.设表示不同直线, 表示三个不同平面,则下列命题正确是 （ ） A. B. C. D.7．若，则 ( )A . 1B . 2C .D .8．定义方程的实数根x 0叫做函数的“新驻点”，如果函数， ，（）的“新驻点”分别为，，，那么，，的大小关系是： （ ） A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)9. 函数的定义域是10．已知，，，则的最小值是．11．一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中正（主）视图是直角三角形，侧（左）视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是cm3。

12. 右图是一程序框图，则输出结果为。

13.在中，、、所对的边分别为、、，若，、分别是方程的两个根，则等于______．14．如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点．则第11行的实心圆点的个数是．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（本题满分12分）已知函数()23sin cos sin()2424x xf x xπππ⎛⎫⎛⎫=++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

2021年高三12月月考调研数学（理）试题含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸．．．上．1．若，则= .2．函数的最大值是3．幂函数y=f(x)的图象过点（2，2），则 .4．若是定义在R上的函数，则“”是“函数为奇函数”的条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个）．5．已知，,则 .6．设函数，则满足的的取值范围是 .7．设，函数是偶函数，若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为______．8．给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是。

①若；②函数的图象关于x=对称；③函数为偶函数；④函数是周期函数，且周期为2。

9．函数，，在R上的部分图像如图所示，则．10．已知函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围为．11．在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知，若，则 .12．定义在(－1,1)上的函数f(x)＝-3x ＋sinx ，如果f(1－a)＋f(1－)>0，则实数的取值范围为 ．13．若函数与函数的定义域为，它们在同一点有相同的最小值，则 ．14．已知函数， .若存在使得，则实数的取值范围是________________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数的值域为集合，关于的不等式的解集为，集合,集合．（1）若,求实数的取值范围；（2）若,求实数的取值范围．16．在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为，已知，（1）求的值;（2）若三角形ABC 的面积，求a 的值.17．已知命题指数函数在上单调递减，命题关于的方程的两个实根均大于3.若“或”为真,“且”为假,求实数的取值范围.18．已知函数22()sin cos sin cos f x x x a x a x b =+-+，．（1）若，求函数的单调增区间；（2）若时，函数的最大值为3，最小值为，求的值．19．如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD，设梯形部件ABCD的面积为平方米．(1)按下列要求写出函数关系式：①设(米)，将表示成的函数关系式；②设，将表示成的函数关系式．(2)试选择适当的函数表达式，求梯形部件ABCD面积的最大值．20．设函数，，其中为实数．（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论．314 20 7ABC 窼24892 613C 愼20342 4F76 佶40796 9F5C 齜33375 825F 艟39542 9A76 驶21235 52F3 勳*-38287 958F 閏26593 67E1 柡`28741 7045 灅。

2021-2022年高三数学上学期12月月考试卷理说明：1、测试时间：120分钟总分：150分2、客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上第Ⅰ卷（60分）一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，，若，则（）A. B. C. D.2．若奇函数f（x）的定义域为R，则有（）A．f（x）＞f（-x）C．f（x）≤f（-x）C．f（x）·f（-x）≤0 D．f（x）·f（-x）＞03．若a,b是异面直线，且a∥平面，那么b与平面的位置关系是（）A．b∥B．b与相交C．b D．以上三种情况都有可能4.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（）（A）（B）（C）（D）5.已知等比数列{}的前n项和，则…等于（）A．B．C． D．6．若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣的夹角是（ ） A ． B ． C ． D ．7．设变量x ，y 满足约束条件，则z=﹣2x+y 的最小值为（ ）A ． ﹣7B ． ﹣6C ． ﹣1D ． 28．下列函数中在上为减函数的是（ ） A ．y=﹣tanxB ．C ．y=sin2x+cos2xD ．y=2cos 2x ﹣1 9.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则( ) （A ） （B ） （C ） （D ）10.已知三个互不重合的平面，且c b a ===γβγαβα ,,，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确命题个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．已知点P 为函数f （x ）=lnx 的图象上任意一点，点Q 为圆[x ﹣（e+）]2+y 2=1任意一点，则线段PQ 的长度的最小值为（ ） A ． B ．C ．D ．e+﹣112．已知f （x ）=x （1+lnx ），若k ∈Z ，且k （x ﹣2）＜f （x ）对任意x ＞2恒成立，则k 的最大值为（ ）A ． 3 B. 4 C ． 5 D ． 6第Ⅱ卷（90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分， 共20分）_____)1()10()0(2)0)(1(log )(.13123=-+⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=+f f x x x x f x ，则________15．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为，此时四面体ABCD 外接球表面积为______．16 ．过双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点F （﹣c ，0）作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2=4cx 于点P ，O 为原点，若，则双曲线的离心率为 ．三．解答题（本大题共6小题,满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分） 已知函数)0(2sin 2)sin(3)(2>+-=ωωωm xx x f 的最小正周期为，当时，函数的最小值为0. （Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）在△ABC ，若A C A B B C f sin ),cos(cos sin 2,1)(2求且-+==的值 18. （本小题满分12分）设各项均为正数的数列的前项和为,满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且构成等比数列. (1) 证明:;(2) 求数列的通项公式; (3) 证明:对一切正整数,有1223111112n n a a a a a a ++++<. 19. （本小题满分12分）如图，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，SD 平面ABCD ，SD=2a ，点E 是SD 上的点，且（Ⅰ）求证：对任意的，都有（Ⅱ）设二面角C —AE —D 的大小为，直线BE 与平面ABCD 所成的角为，若，求的值.20. （本小题满分12分）已知点为抛物线的焦点，点是准线上的动点，直线交抛物线于两点，若点的纵坐标为，点为准线与轴的交点．（1）求直线的方程；（2）求的面积范围；（3）设，，求证为定值 21. （本小题满分12分） 设函数.(Ⅰ)证明:当时,;(Ⅱ)设当时,,求a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

F E 2021年高三上学期12月月考试题 数学 含答案第I 卷(必做题 共160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上．1．已知复数，则z 的实部为＿＿▲＿＿．2．如图是一次青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，则的大小关系是______▲_______(填，，)3．命题是 ▲ 命题（选填“真”或“假”）．4．若长方体相邻三个侧面的面积分别是，，，则该长方体的体积是 ▲ ．5．已知圆：，若直线与圆相切，且切点在第四象限，则＿▲＿＿＿．6．已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切 线斜率为 ▲ ．7．函数的图像可由函数的图像至少向右平移___▲______个单位长度得到．8．已知直线平面且，，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题是_____▲_____________．9．已知点满足则点构成的图形的面积为＿＿▲＿＿．10．以抛物线的焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是 ___▲___．11．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为 ▲ ．12．对任意，函数满足，设 ，数列的前15项的和为，则＿▲＿＿＿＿．13．若实数，满足，则当取得最大值时，的值为 ▲ ．14．已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则___▲___.二、解答题：(本大题6小题，共90分)15．(本题满分14分)在锐角中,角、、所对的边长分别为、、向量,且.(1)求角的大小;(2)若面积为,,求的值.16．(本题满分14分)在四棱锥中，底面是正方形，为的中点． (1)求证：∥平面；(2)若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．17．(本题满分14分)如图所示，把一些长度均为4米（PA＋PB＝4米）的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐蓬，根据人们的生活体验知道：人在帐蓬里“舒适感”k与三角形的底边长和底边上的高度有关，设AB为，AB边上的高PH为y，则，若k越大，则“舒适感”越好。

长江中学2021-2021学年度第一学期12月月考高三数学(理科〕本套试卷分为第一卷和第二卷，考试时间是是120分钟．考试范围：【集合、函数、导数、三角函数、解三角形、平面向量、数列、不等式】第一卷一、选择题1.集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，那么 A. {|0}A B x x =< B. A B R = C. {|1}AB x x =>D. AB =∅【答案】A 【解析】∵集合{|31}xB x =< ∴{}|0B x x =< ∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<，{}|1A B x x ⋃=< 应选A2.假设函数f (x )＝(21)(2)x x x a +-为奇函数，那么a 等于( )A. 1B. 2C.12D. －12【答案】A 【解析】 【分析】由于函数为奇函数，那么()()f x f x -=-，化简后可求得a 的值. 【详解】依题意得()()()()()212212x xf x x x a x x a ---==-+---+，由于函数为奇函数，故()()f x f x -=-，即()()()()212212x xx x a x x a --=-++-，比照可得1a =，应选A .【点睛】本小题主要考察函数的奇偶性，考察利用函数的奇偶性来求参数即求函数的解析式.在利用奇偶性来解题时，主要把握的是()()f x f x -=-，或者者()()f x f x -=.属于根底题.3.假设x∈〔0，1〕，a ＝lnx ，b ＝ln 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝e lnx ，那么a ，b ，c 的大小关系为〔 〕A. b ＞c ＞aB. c ＞b ＞aC. a ＞b ＞cD. b ＞a ＞c【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】∵x ∈〔0，1〕， ∴a ＝lnx ＜0，b ＝〔12〕lnx ＞〔12〕0＝1， 0＜c ＝e lnx ＜e 0＝1，∴a ，b ，c 的大小关系为b ＞c ＞a ． 应选A ．【点睛】此题考察三个数的大小的判断，考察指数函数、对数函数的单调性等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．4.记函数()223f x x ax =+-在区间(],3-∞-上单调递减时a 的取值集合为A ，不等式12+≥-x a x 〔2x >〕恒成立时实数a 的取值集合为B ，那么“x A ∈〞是“x B ∈〞的〔 〕A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A 、B ，再根据集合A 与B 的关系即可判断x A ∈与x B ∈之间的逻辑关系. 【详解】函数()223f x x ax =+-在区间(]3-∞-,上单调递减，2332a a ∴-≥-⇒≤，即{}3A a a =≤，不等式12+≥-x a x 〔2x >〕恒成立等价于min 12⎛⎫+≥ ⎪-⎝⎭x a x 〔2x >〕，又当2x >时，20x ->，11222422x x x x ∴+=-++≥=--，当且仅当122x x -=-时即3x =时等号成立，符合条件， min 142⎛⎫∴+= ⎪-⎝⎭x x ，4a ∴≤，即{}4B a a =≤，那么A B ，∴“x A ∈〞是“x B ∈〞的充分不必要条件.应选：B ．【点睛】此题主要考察充分条件、必要条件的判断，属常规考题.5.正三角形ABC 中，D 是线段BC 上的点，6AB =，2BD =，那么AB AD ⋅=〔 〕 A. 12B. 18C. 24D. 30【答案】D 【解析】 【分析】先用AB ，BC 表示出AD ，再计算AB AD ⋅即可. 【详解】先用AB ，BC 表示出AD ，再计算数量积． 因为6AB =，2BD =，那么13BD BC =，13=+AD AB BC所以221111··666303332AB AD AB AB BC AB AB BC ⎛⎫⋅=+=+=-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 应选：D.【点睛】此题主要考察平面向量的数量积的运算，属根底题. 6.在以下给出的四个结论中，正确的结论是A. 函数()f x 在区间(,)a b 内有零点，那么()()0f a f b <B. 假设1a b +=，那么3是3a 与3b 的等比中项C. 假设12,e e 是不一共线的向量，且122,m e e =-1236n e e =-，那么m ∥nD. 角α终边经过点(3,4)-，那么4cos 5α=-【答案】C 【解析】 【分析】A.运用举反例断定；B.计算可知错误；C.由题可得()121236323,n e e e e m =-=-=故C 正确；D. 计算可知错误.【详解】A. 因为函数f 〔x 〕在区间〔a ，b 〕内有零点，可取函数f 〔x 〕=x 2-2x-3，x∈〔-2，4〕，那么f 〔-2〕•f〔4〕＞0，所以错；B.假设1a b +=，(23333,aba b+⋅=== 即3a 与3b 的等比中项，故B 错；C. 假设12,e e 是不一共线的向量，且122,m e e =- ()121236323,n e e e e m =-=-= 故m ∥n ，即C 正确；D.角α终边经过点()3,4-，那么3cos 5α=，故D 错误. 【点睛】此题考察命题的真假判断，解题时注意运用举反例这一重要数学方法，可快速解决．此题是一道根底题．7.等比数列{}n a 的各项均为正数，向量()45,a a a =，()76,b a a =，且4a b ⋅=，212224log 1og 1og ++⋅⋅⋅+= a a a 〔 〕A. 12B. 10C. 5D.22log 5+【答案】C 【解析】 【分析】先由4a b ⋅=得出47564a a a a +=，再根据对数的运算性质及等比数列的性质计算即可. 【详解】解：向量()45,=a a a ，()76,=b a a 且4a b ⋅=，47564∴+=a a a a ， 由等比数列的性质可得：11047562a a a a a a =⋅⋅⋅===，那么5512221021210212102log log log log ()log ()log 25++⋅⋅⋅+=⋅===a a a a a a a a ．应选：C ．【点睛】此题主要考察平面向量数量积的坐标运算及对数的运算性质、等比数列的性质等，综合性稍强，属常规考题.8.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，假设sin cos cos =+c C a B b A ，且222b c a +-=，那么角B 的大小〔 〕 A.6π B.3π C.2π D.23π 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理由sin cos cos =+c C a B b A 求出角C ，再利用余弦定理由222b c a +-=求出角A ，由三角形内角和为π即可求得角B .【详解】由正弦定理得()()2sin sin cos cos sin sin sin sin =+=+=-=C A B A B A B C C π得sin 1C =，所以2C π=．又222cos 2b c a A bc +-==，得6A π=．所以3B π=． 应选：B ．【点睛】此题主要考察正弦定理、余弦定理的应用，属常规考题. 9.函数()()21ln 22=--f x a x x 在[)1,+∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是〔 〕A. [)1,-+∞B. ()1,-+∞C. (),1-∞-D.(],1-∞-【答案】D 【解析】 【分析】由()()20a f x x x'=--≤在[)1,+∞恒成立，再转化为()2min2a x x ≤-即可.【详解】()21ln (2)2=--f x a x x 在[)1,+∞上是减函数，()()20'∴=--≤af x x x在[)1,+∞恒成立，()2222(1)1∴≤-=-=--a x x x x x ，2(1)11--≥-x ，1a ∴≤-.应选：D ．【点睛】此题主要考察函数的单调性求参数的取值范围问题，属常规考题.10.函数()22sin cos -f x x x x ωωω〔0>ω〕在区间()0,π内有且只有一个极值点，那么ω的取值范围为〔 〕 A. 50,12⎛⎤⎥⎝⎦B. 110,12⎛⎤⎥⎝⎦C. 511,1212⎛⎤⎥⎝⎦ D.511,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】先将函数化简为()2sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由0πx <<可得22333-<-<-x πππωωπ，令32232<-≤πππωπ解之即可求得ω的取值范围.【详解】函数()22sin cos 2sin 23f x x x x x πωωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 由0πx <<，可得22333-<-<-x πππωωπ，因为()f x 在区间()0,π内有且只有一个极值点， 根据函数的单调性可得32232<-≤πππωπ且0>ω，所以5111212<≤ω. 应选：C ．【点睛】此题主要考察正弦型函数的图像和性质，属中等难度题.11.函数())2log f x x =，假设对任意的正数,a b ，满足()()310f a f b +-=，那么31a b+的最小值为〔 〕 A. 6 B. 8C. 12D. 24【答案】C 【解析】 【分析】先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得31a b +=，最后根据根本不等式求最值.0,x x x x >≥-=所以定义域为R ，因为()2log f x =，所以()f x 为减函数因为()2log f x =，())2log f x x -=,所以()()()f x f x f x =--，为奇函数，因为()()310f a f b +-=，所以()()1313f a f b a b =-=-，，即31a b +=，所以()3131936b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，因为96b a a b +≥=， 所以3112a b +≥〔当且仅当12a =，16b =时，等号成立〕，选C 【点睛】此题考察函数奇偶性与单调性以及根本不等式求最值，考察根本分析求解才能，属中档题.12.定义在R 上的可导函数()f x 满足()11f =，且()2'1f x >，当3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式23(2cos )2sin22x f x +>的解集为( ) A. 4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 4,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭D.,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()()1122g x f x x =--，可得()g x 在定义域内R 上是增函数，且()10g =，进而根据23(2cos )2sin022x f x +->转化成()(2cos )1g x g >，进而可求得答案 【详解】令11()()22g x f x x =--，那么1()'()0'2g x f x =->，()g x ∴在定义域R 上是增函数，且11(1)(1)022g f =--=，1(2cos )(2cos )cos 2g x f x x ∴=--23=(2cos )2sin 22x f x +-，∴23(2cos )2sin 022x f x +->可转化成()(2cos )1g x g >，得到2cos 1x >，又3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可以得到,33x ππ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭应选D【点睛】此题考察利用函数的单调性求取值范围，解题的难点在于如何合理的构造函数，属于中档题第II 卷二、填空题13.sin 63⎛⎫+=⎪⎝⎭πα，那么cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．【解析】 【分析】由cos cos sin 3266ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即可求解. 【详解】632++-=πππαα326⎛⎫∴-=-+ ⎪⎝⎭πππααcos cos sin 3266⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππααα.故答案为：3. 【点睛】此题主要考察诱导公式cos sin 2πθθ⎛⎫-=⎪⎝⎭的应用，属根底题. 14.设函数()()3222f x x a x x =+-+，假设()f x 为奇函数，那么曲线()y f x =在点()1,3处的切线方程为______．【答案】520x y --= 【解析】 【分析】先由()f x 为奇函数求出2a =，再利用导数的几何意义求出切线的斜率即可.【详解】函数()()3222f x x a x x =+-+，假设()f x 为奇函数，可得2a =，所以函数()32f x x x =+，可得()232'=+f x x ，()13f =；曲线()y f x =在点()1,3处的切线的斜率为5，那么曲线()y f x =在点()1,3处的切线方程为：()351y x -=-．即520x y --=.故答案为：520x y --=.【点睛】此题主要考察函数的奇偶性求参数及利用导数的几何意义求切线的方程问题，属常规考题.15.向量,a b 夹角为45︒，且1,210a a b =-=，那么b =__________．【答案】32【解析】试题分析：的夹角，，，，.考点：向量的运算.【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.【此处有视频，请去附件查看】16.将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最正确分解．当p q ⨯〔p q ≤且p 、q N *∈〕是正整数n 的最正确分解时我们定义函数()f n q p =-，例如()12431f =-=．那么()88f 的值是______，数列(){}5n f ()n N *∈的前2020项的和为______．【答案】 (1). 3 (2). 101051-【解析】【分析】由88118244188422=⨯=⨯=⨯=⨯，即可求得()88f 的值；对于数列(){}5n f ，分n 为奇数、偶数两种情况讨论求出通项公式，再利用公式法求和即可.【详解】88118244188422=⨯=⨯=⨯=⨯，可得()881183=-=f ；当n 为偶数时，()225550=-=n n n f当n 为奇数时，()11122255545+--=-=⨯n n n n f ()10100110091010202015455545115-∴=++⋅⋅⋅+=⨯=--S .故答案为：3；101051-. 【点睛】此题主要考察自定义概念的理解及数列的求和问题，属常规考题，难度中等.三、解答题〔第17题10分，第18题至22题每一小题12分，一共计70分〕17.数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列， 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕假设2log n n b a =()n N *∈，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【答案】〔1〕212n na -=；〔2〕21n n T n =+ 【解析】【分析】 〔1〕按等比数列的概念直接求解即可；〔2〕先求出n b 的表达式，再利用裂项相消法即可求得数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【详解】〔1〕由等比数列通项公式得：112222n n n n a --=⋅= 212n n a -∴=〔2〕由〔1〕可得：212log 221n n b n -==- ()()111111212122121-⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭b n b b n n n n 11111111112335212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ 【点睛】此题主要考察数列的通项公式问题及利用裂项相消法求和的问题，属常规考题.18.在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos 23cos()1A B C -+=．〔1〕求A 的值；〔2〕假设ABC ∆的面积为3b =，求sin sin B C 的值． 【答案】〔Ⅰ〕3πA =〔Ⅱ〕913 【解析】【分析】〔1〕根据二倍角和诱导公式可得cos A 的值；〔2〕根据面积公式求c ，然后利用余弦定理求a ，最后根据正弦定理求sin sin B C 的值.【详解】〔1〕A B C π++=,()cos cos B C A ∴+=-，所以原式整理为22cos 3cos 20A A +-=,解得：cos 2A =-〔舍〕或者1cos 2A =0A π<<,3A π∴=;〔2〕11sin 322S bc A c =⋅=⨯= 解得4c =， 根据余弦定理22212cos 916234132a b c bc A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=,a ∴=sin sin sin abc A B C==，代入解得：sin 2613B C ==, 9sin sin 13B C ∴=. 【点睛】此题考察了根据正余弦定理解三角形，属于简单题.19.向量()()2,22=+a x ωϕ，2,22⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭b ，其中0>ω，02πϕ<<，函数()f x a b =⋅的图像过点()1,2B ，点B 与其相邻的最高点的间隔 为4．〔1〕求函数()f x 的单调递减区间；〔2〕计算()()()122019f f f ++⋅⋅⋅+的值．【答案】〔1〕[]41,43++k k ，k Z ∈；〔2〕2021.【解析】【分析】〔1〕先求出()1cos2()f x x ωϕ=-+，那么()1,2B 为函数()f x 的图象的一个最高点，又点B 与其相邻的最高点的间隔 为4，所以242πω=，可得4πω=，再将点()1,2B 代入求出4πϕ=即可求出()1sin 2f x x π=+，最后令322222k x k πππππ+≤≤+解之即可求出函数()f x 的单调递减区间；〔2〕根据函数()f x 的最小正周期4，那么()()()()()()()()()()1220195041234123f f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++++++⎡⎤⎣⎦求出()1f 、()2f 、()3f 、()4f 的值代入计算即可.【详解】〔1〕因为()()2,22=+a x ωϕ，2,2⎛= ⎝⎭b()22()1cos 2()2∴=⋅=⋅+=-+f x a b x x ωϕωϕ ()max 2∴=f x ，那么点()1,2B 为函数()f x 的图象的一个最高点．点B 与其相邻的最高点的间隔 为4，242∴=πω，得4πω=． 函数()f x 的图象过点()1,2B ，1cos 222⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭πϕ即sin 21=ϕ. 02πϕ<<，4πϕ∴=．()1cos 21sin 442⎛⎫∴=-+=+ ⎪⎝⎭f x x x πππ，由322222k x k πππππ+≤≤+， 得4143k x k +≤≤+，k Z ∈．()f x ∴的单调递减区间是[]41,43++k k ，k Z ∈．〔2〕由〔1〕知，()1sin 2=+f x x π，()f x ∴是周期为4的周期函数，且()12f =，()21f =，()30f =，()41f =()()()()12344∴+++=f f f f而201945043=⨯+，()()()12201945042102019∴++⋅⋅⋅+=⨯+++=f f f【点睛】此题主要考察三角函数解析式的求法、三角函数的单调区间的求法及根据函数的周期性求函数值的问题，试题综合性强，属中等难度题.20.如图,有一块边长为1〔百米〕的正方形区域ABCD,在点A 处有一个可转动的探照灯,其照射角PAQ ∠始终为45〔其中点P ，Q 分别在边BC ，CD 上〕,设,tan PAB t θθ∠==．〔Ⅰ〕用t 表示出PQ 的长度,并探求CPQ ∆的周长l 是否为定值；〔Ⅱ〕问探照灯照射在正方形ABCD 内部区域阴影局部的面积S 最大为多少〔平方百米〕?【答案】〔1〕定值；〔2〕平方百米.【解析】 【详解】1,0 1.1BP t t CP t =≤≤=-（）设则 1 45,tan(45),1t DAQ DQ t θθ︒︒-∠=-=-=+---2分 12 1.11t t CQ t t-=-=++ 2222221 (1)()11t t PQ CP CQ t t t+∴=+=-+=++ 221 1211t t l CP PQ QC t t t+=++=-++=++=定值 11 (2)1?221ABP ADQ ABCD t t S S S S t∆∆-=--=--+正方形当 12 2(1)2221t t =-++≤-+ 21.t =-当且仅当时取等号-所以探照灯照射在正方形内阴影局部的面积最大为平方百米.21.数列{}n a 满足()1112,21n n n n a a a na n a ++=+=+，设n nn b a =. 〔I 〕求证：数列{}1-n b 为等比数列，并求{}n a 的通项公式；〔II 〕设1=n nc b ，数列{}n c 的前n 项和n S ，求证：2<+n S n . 【答案】〔I 〕221⋅=-nn n n a ；〔II 〕证明见解析. 【解析】试题分析：〔I 〕()1121n n n n a a na n a +++=+可化为()1211n n n n a a +++=即121n n b b +=+， ()11112n n b b +-=-，从而可得数列{}1n b -为等比数列，进而可得{}n a 的通项公式；〔II 〕由〔I 〕可得112n n b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 12112121112n n n n n c ∴===+--⎛⎫- ⎪⎝⎭，分组求和后，利用放缩法可得结论.试题解析：〔I 〕由易得0n a ≠，由()1121n n n n a a na n a +++=+ 得()1211n n n n a a +++=即121n n b b +=+； ∴, 又1111112b a -=-=-, {}1n b ∴+是以12-为首项，以12为公比的等比数列. 从而11111222n n n b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即112n n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，整理得221n n n n a ⋅=-即数列{}n a 的通项公式为221nn n n a ⋅=-. 〔II 〕112n n b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 12112121112n n n n n c ∴===+--⎛⎫- ⎪⎝⎭ ， 23111121212121n n S n ∴=+++++----， 012111112222n n -≤+++++ ， 11222n n n -≤+-<+. 22.函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠.〔1〕设12,2a b ==. ①求方程()f x =2的根；②假设对任意x ∈R ，不等式(2)()6f x mf x ≥-恒成立，务实数m 的最大值；〔2〕假设01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值. 【答案】〔1〕①0 ②4 〔2〕1【解析】【分析】〔1〕①根据指数间倒数关系转化为一元二次方程，求方程根；②根据指数间平方关系，将不等式转化为一元不等式，再利用变量别离转化为对应函数最值，最后根据根本不等式求最值；〔2〕根据导函数零点情况，确定函数单调变化趋势，结合图象确定唯一零点必在极值点获得，从而建立等量关系，求出ab 的值.【详解】〔1〕因为12,2a b ==，所以()22x x f x -=+. ①方程()2f x =，即222x x -+=，亦即2(2)2210x x -⨯+=，所以2(21)0x -=，于是21x =，解得0x =.②由条件知2222(2)22(22)2(())2x x x x f x f x --=+=+-=-.因为(2)()6f x mf x ≥-对于x ∈R 恒成立，且()0f x >， 所以2(())4()f x m f x +≤对于x ∈R 恒成立.而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=，且2((0))44(0)f f +=， 所以4m ≤，故实数m 的最大值为4.〔2〕因为函数()()2g x f x =-只有1个零点，而00(0)(0)220g f a b =-=+-=，所以0是函数()g x 的唯一零点.因为'()ln ln x x g x a a b b =+，又由01,1a b <知ln 0,ln 0a b ，所以'()0g x =有唯一解0ln log ()ln b a a x b=-. 令()'()h x g x =，那么22'()(ln ln )'(ln )(ln )x x x x h x a a b b a a b b =+=+，从而对任意x ∈R ，'()0h x >，所以'()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数， 于是当0(,)x x ∈-∞，0'()'()0g x g x <=；当0(,)x x ∈+∞时，0'()'()0g x g x >=. 因此函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数，在0(,)x +∞上是单调增函数.下证00x =.假设00x <，那么0002x x <<，于是0()(0)02x g g <=， 又log 2log 2log 2(log 2)220a a a a g a b a =+->-=，且函数()g x 在以02x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不连续，所以在02x 和log 2a 之间存在()g x 的零点，记为1x . 因为01a <<，所以log 20a <，又002x <，所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点〞矛盾. 假设00x >，同理可得，在02x 和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点，矛盾. 因此，00x =.于是ln1lnab-=，故ln ln0a b+=，所以1ab=.【点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或者最值，结合函数的单调性、草图等确定其中参数的范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

卜人入州八九几市潮王学校、2021届高三数学上学期12月月考试题理〔含解析〕本卷须知：2．答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡对应的题目之答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答复非选择题时，将答案写在答题卡上.写在试卷上无效. 3．在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回.一、单项选择题：此题一共8小题，每一小题5分，一共40分.在每一小题给出的四个选项里面,只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.{}2(,)6},{(,),A x y x y B x y y x =+===那么A B =〔〕A.{}(2,4)B.{}(3,9)-C.{}(2,4),(3,9)-D.∅【答案】C 【解析】 【分析】联立方程组求解，用列举法表示即可得A B【详解】262,4x y x y x y +==⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩或者39x y =-⎧⎨=⎩，那么A B ={}(2,4),(3,9)- 应选：C【点睛】此题考察集合元素，集合交集，理解集合的含义是关键，为简单题． 2.(,)a bia b R +∈是11ii+-的一共轭复数,那么a b +=〔〕 A.1-B.12-C.12D.1【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法那么求出11i i+-的值，再利用一共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ．【详解】()()21(1)21112i i ii i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ， ∴a ＝0，b ＝﹣1， ∴a +b ＝﹣1， 应选：A ．【点睛】此题主要考察了复数代数形式的乘除运算，考察了一共轭复数的概念，是根底题．ABCD 中，12DEEC =，35AF AD =，那么AE BF ⋅=〔〕 A.1315B.65C.1615D.1415【答案】C 【解析】 【分析】由题中正方形ABCD 可考虑用建立平面直角坐标系的方法进展求解.【详解】以A 为原点,建立如下列图的平面直角坐标系,那么(0,0)A ,2,23E ⎛⎫⎪⎝⎭,(2,0)B ,60,5F ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 故2,23AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭,62,5BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,那么412163515AE BF ⋅=-+=,应选:C ．【点睛】此题主要考虑建立平面直角坐标系的方法进展向量求解的问题.S ABC -中，,4,2,62SAB ABC SB SC AB BC π∠=∠=====，那么三棱锥S ABC -的体积是〔〕A.4B.6C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由题意明确SA ABC ⊥平面，结合棱锥体积公式得到结果.【详解】由4SB =，2AB =，且2SAB π∠=，得SA =；又由2AB =，6BC =，且2ABC π∠=，得AC =因为222SA AC SC +=，从而知2SAC π∠=，即SA AC ⊥所以SA ABC ⊥平面.又由于12662ABCS=⨯⨯=，从而11633S ABCABCV S SA -=⋅=⨯⨯= 应选C.【点睛】此题考察棱锥体积的计算，考察线面垂直的证明，考察计算才能与推理才能，属于根底题.2,AB AC ==的ABC ∆面积的最大值是〔〕A. B. C.3+ D.3+【答案】B 【解析】 【分析】设出C 的坐标，给定,A B 坐标，求解出C 的轨迹方程，根据C 的轨迹即可求解出ABC ∆面积的最大值.【详解】设()()(),,1,0,1,0C x y A B -，因为AC =，所以()()()22221210x y x y y ⎡⎤-+=++≠⎣⎦，所以()()22380x y y ++=≠，所以C 的轨迹是以()3,0-为圆心，半径等于22的圆去掉点()()322,0,223,0---两点，所以()max 1222ABC Sr AB =⨯⨯=. 应选：B.【点睛】此题考察利用坐标法解决平面几何问题，着重考察了圆的相关知识，难度一般.使用坐标法的前提是建立适宜的平面直角坐标系，然后即可根据长度或者者角度关系等确定坐标满足的方程. 6.{}n a 为等比数列，下面结论中正确的选项是〔〕A.1322a a a +≥B.2221322a a a +≥C.假设13a a =，那么12a a =D.假设31a a >，那么42a a >【答案】B 【解析】设{a n }的首项为a 1，公比为q ，当a 1<0，q <0时，可知a 1<0，a 3<0，a 2>0，所以A 不正确；当q ＝－1时，C 选项错误；当q <0时，a 3>a 1⇒a 3q <a 1q ⇒a 4<a 2，与D 选项矛盾．因此根据根本不等式可知B 选项正确．R 的函数()f x 满足以下条件：①对任意R,()()0x f x f x ∈+-=；②对任意12,[1,]x x a ∈，当21x x >时，有21()()0f x f x >>,以下不等式不一定成立的A.()(0)f a f >B.1()()2af f a +>C.13()(3)1a f f a->-+D.13()()1a f f a a->-+ 【答案】C 【解析】【详解】因为对任意R,()()0x f x f x ∈+-=，所以()f x 为奇函数，对任意12,[1,]x x a ∈，当21x x >时，有21()()0f x f x >>，所以()f x 在[1,]a 单调递增，因为1a >，所以一定成立。

五中2021—2021学年度第一学期高三12月份月考数学试题〔理科〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕 1．角α的终边上一点坐标为)32cos ,32(sin ππ，那么角α的最小正值为 〔 〕A ．65π B ．611π C ．32π D ．35π2．)21(22≤≤-=x x x y 的反函数是〔 〕A ．)11(112≤≤--+=x x yB ．)10(112≤≤-+=x x yC ．)11(112≤≤---=x x yD ．)10(112≤≤-=x x y3．假设函数13)2()(2++-=mx x m x f 的图象关于y 轴对称，那么)(x f 在区间〔2，6〕上是〔 〕A ．增函数B ．减函数C ．既不是增函数，也不是减函数D ．偶函数4．在数列*)(,5,1,}{1221N n a a a a a a n n n n ∈-===++已知中，那么a 2021等于 〔 〕A ．1B ．－5C ．－1D ．55．定义在R 上的函数)(),()()()3()(x f x f x f x f x f x f 则及满足-=-=+π可以是〔 〕A ．x x f 31sin2)(= B ．x x f 3sin 2)(=C ．x x f 31cos 2)(=D ．x x f 3cos 2)(= 6．)45cos(,)4sin(απαπ+=-则m =〔 〕A ．mB ．－mC ．21m -D ．－21m -7．x>0，y>0,x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，那么cdb a 2)(+的最小值是〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．48．函数],2[32sin π-⎪⎭ ⎝-=在区间x y 的简图是 〔 〕9．定义运算a*b=,)()(⎩⎨⎧>≤b a b b a a 例如1*2=1，那么函数x x x f cos *sin )(=的值域为 〔 〕A ．[－1，1]B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,22 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,1D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--22,110．函数2)32cos()(+-=πx x f 的导函数)(x f '的图象的一条对称轴方程是〔 〕A ．6π-B ．12π-C ．6π D ．3π 11．设a 为实数，且211i i a +++是实数，那么a=〔 〕A ．21B ．1C ．23D ．2 12．当x x y sin 3cos 2-=获得最大值时，tan x 的值是 〔 〕A ．23B ．－23 C ．13D ．4二、填空题〔本大题一一共5小题，每一小题4分，一共20分，把答案填在题中的横线上。

卜人入州八九几市潮王学校高级2021届高三数学上学期12月月考试题理时间是：120分钟总分值是：150分一、选择题〔一共12小题，每一小题只有一个正确答案，每一小题5分，一共60分〕 1．集合4{|0}2x A x Z x -=∈≥+，1{|24}4x B x =≤≤，那么A B ⋂=〔〕 A.{|12}x x -≤≤ B.{}1,0,1,2- C.{}2,1,0,1,2-- D.{}0,1,22．i 为虚数单位，z 为复数z 的一共轭复数，假设29z z i +=-，那么复数z 在复平面内对应的点位于〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限θ为第二象限角，且cos sin 22θθ-=2θ是〔〕 4．以下列图的程序框图表示求算式"235917"⨯⨯⨯⨯之值，那么判断框内可以填() A.10k≤B ．16k ≤C ．17k ≤D ．34k ≤5．在ABC ∆中，sinA cosA =，是角A ，B ，C ，成等差数列的〔〕 A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也必要条件 6．锐角三角形中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，设2B A =，那么ab的取值范围是〔〕A.⎝⎭B.)2C. D.02（，）7．某几何体的三视图如下列图，那么该几何体体积是〔〕A.(83π+(826π+ C.(86π+ D.(43π+8．在ABC ∆中，点O 是BC 的三等分点〔靠近点B 〕，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同两点M N ，，假设AB mAM =，AC nAN =，,m n 均为正数，那么11m n+的最小值为〔〕A.2B.1+C.1+D.1+9．设{}n a 为等差数列，假设11101a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 获得最小正值时的值是n 〔〕A.18B.19C.20D.2110．为迎接中国一共产HY 的HY 的到来，某校举办了“祖国，你好〞的诗歌朗读比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗读顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗读顺序的种数为〔〕 A.720B.768C.810D.81611．双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ，假设在E 的渐近线上存在点P 使得PA FP ⊥，那么E 的离心率的取值范围是〔〕A.()1,2B.1,4⎛ ⎝⎦C.()2,+∞D.4⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭12．设()f x 是定义在()(),00,ππ-⋃的奇函数，其导函数为()f x '，且当()0,x π∈时，()()sin cos 0f x x f x x '-<，那么关于x 的不等式()2sin 6f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为()A.,00,66ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.,0,66πππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.,,66ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.,0,66πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题〔一共4小题，每一小题只有一个正确答案，每一小题5分，一共20分〕13．曲线y =2y x =-，与x 轴所围成的图形的面积为S ，那么S =__________．14．()()*1log 2nn a n n N +=+∈，观察以下算式：1223lg3lg4log 3log 42lg2lg3a a ⋅=⋅=⋅=；126237lg3lg4lg8log 3log 4log 83lg2lg3lg7a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=；… 假设1232017m a a a a ⋅⋅⋅⋅=，那么m 的值是_____________________．8822107)21)(1x a x a x a a x x ++++=-+ （，那么721a a a +++ 的值______．P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，且2AB BC CA PC ====，那么该三棱锥的外接球的外表积是_________________．三、解答题〔一共6小题，17—21题12分，选做题10分一共70分〕17．设向量()2cos 2,2,1,cos 3ax b xπ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中x R ∈，且函数()f x a b =⋅.〔1〕求()f x 的最小正周期；〔2〕设函数()224gx f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求()f x 在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点. 18．如图，五面体P ABCD-中，CD ⊥平面PAD,ABCD为直角梯形，1,22BCD PD BC CD AD AP PD π∠====⊥，. 〔1〕假设E 为AP 的中点，求证：BE //平面PCD ；〔2〕求二面角P AB C --的余弦值.{}n a 中，5a 和7a 的等差中项为11，且25114a a a a =，其前n 项和为n S ．（1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）求证：1211153n S S S ++⋯+<． 20．给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，称圆心在原点O ，C 的“准圆〞.假设椭圆C 的一个焦点为)0F，，其短轴上的一个端点到F .〔1〕求椭圆C 的方程和其“准圆〞方程；〔2〕点P 是椭圆C 的“准圆〞上的动点，过点P 作椭圆的切线12,l l 交“准圆〞于点,M N . ①当点P 为“准圆〞与y 轴正半轴的交点时，求直线12,l l 的方程并证明12l l ⊥；②求证：线段MN 的长为定值. 21．函数()x kf x e x=-，k R ∈. (1)假设对任意0x <，()0f x <恒成立，求k 的取值范围；(2)假设函数()f x 有两个零点，求k 的取值范围；(3)假设函数()f x 的两个零点为12,x x ，证明：12 2.x x +<-请考生在第22、23题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题计分。

HY 中学2021届高三数学上学期12月月考试题 理〔含解析〕制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

一. 选择题：(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，将正确答案选项涂在答题卡上) 1.集合{}{}11324x A x x B x ，+=-≤=≥，那么A B =〔 〕A. []02，B. ()13，C. []14，D. [)2-+∞，【答案】D 【解析】 【分析】解不等式313x -≤-≤可得集合A ，解1222x +≥可得集合B ，进而得到集合A,B 的并集． 【详解】由题得{}|24A x x =-≤≤，{}|1B x x =≤，那么有{}|2A B x x ⋃=≥-，应选D ． 【点睛】此题考察求集合的并集，属于根底题． 2.设i 是虚数单位，假设复数1z ii=+，那么z 的一共轭复数为〔 〕 A. 11i 22+ B. 11i 2+C. 11i 2-D. 11i 22-【答案】D 【解析】 复数1i z i =+12i += ，根据一共轭复数的概念得到，一共轭复数为：1122i -． 故答案为D ．3.以下命题正确的选项是〔 〕A. 假设>a b ，那么11a b< B. 假设>a b ，那么22a b > C. 假设>a b ，c d <，那么>a c b d -- D. 假设>a b ，>c d ，那么>ac bd【答案】C 【解析】 【分析】对每一个选项进展判断，选出正确之答案. 【详解】A.假设>a b ，那么11a b<，取1,1a b ==- 不成立 B.假设>a b ，那么22a b >，取0,1a b ==- 不成立 C. 假设>a b ，c d <，那么>a c b d --，正确D. 假设>a b ，>c d ，那么>ac bd ，取1,1,1,2a b c d ==-==- 不成立 故答案选C【点睛】此题考察了不等式的性质，找出反例是解题的关键.4.在ABC ∆中，P 为线段AB 上一点，且3BP PA =，假设CP xCA yCB =+，那么2x y +=〔 〕 A.94B.74C.54D.34【答案】C 【解析】 【分析】首先CP CB BP =+，由条件可知34BP BA =，再有BA CA CB =-，这样可用,CA CB 表示出CP ． 【详解】∵3BP PA =，∴34BP BA =， CP CB BP =+=3331()4444CB BA CB CA CB CA CB +=+-=+xCA yCB =+，∴31,44x y ==，∴524x y +=． 应选C ．【点睛】此题考察平面向量根本定理，解题时用向量加减法表示出CP ，然后用基底,CA CB 表示即可． 5.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为〔 〕A. 34π+B. 942π+C. 42π+D.1142π+ 【答案】B 【解析】 【分析】由中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四分之三圆柱，累加各个面的面积， 可得答案．【详解】由中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四分之三圆柱， 其底面半径为1，高为2，故其外表积：2339212122214442S πππ=⨯⨯+⨯+⨯⨯=+， 应选B ．【点睛】此题考察的知识点是圆柱的体积和外表积，简单几何体的三视图，难度不大，属于根底题． 6.向量(1,2)a =-，(1,)b m =，那么“12m <〞是,a b 为钝角的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由充分条件与必要条件的概念，以及向量的夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为(1,2)a =-，(1,)b m =，所以12a b m ⋅=-+，那么2cos ,5a b m a b a b⋅==⋅假设12m <，那么2cos ,05a b m a b a b ⋅==<⋅， 但当2m =-时， ,a b 反向，夹角为180；所以由12m <不能推出,a b 为钝角； 反之，假设,a b 为钝角，那么cos ,0a b <且2m ≠-，即12m <且2m ≠-，能推出12m <；因此，“12m <〞是,a b 为钝角的必要不充分条件.【点睛】此题主要考察充分条件与必要条件的断定，熟记概念即可，属于常考题型.7.设,m n 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，那么以下结论正确的选项是〔 〕 A. 假设m β⊥，n n βα⊥⊥，，那么m α⊥ B. 假设,m ββα⊥，∥，那么m α⊥ C. 假设,m n n α⊥∥，那么m α⊥D. 假设m n n ββα⊥⊥⊥，，，那么m α⊥ 【答案】A 【解析】 【分析】根据立体几何有关定理及结论，逐个判断即可．【详解】A 正确：利用“垂直于同一个平面的两条直线平行〞及“两条直线有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面〞，假设m β⊥且n β⊥，那么//m n ，又n α⊥，所以m α⊥，A 正确；B 错误：假设,m ββα⊥，∥，那么m 不一定垂直于平面α； C 错误：假设,m n n α⊥∥，那么m 可能垂直于平面α，也可能平行于平面α，还可能在平面α内；D 错误：假设m n n ββα⊥⊥⊥，，，那么m 可能在平面α内，也可能平行于平面α，还可能垂直于平面α；【点睛】此题主要考察立体几何中的定理和结论，意在考察学生几何定理掌握纯熟程度． 8.△ABC 的周长为20，且顶点B 〔0，﹣4〕，C 〔0，4〕，那么顶点A 的轨迹方程是〔 〕A. 2213620x y +=〔x≠0〕 B. 2212036x y +=〔x≠0〕C. 221620x y +=〔x≠0〕D. 221206x y +=〔x≠0〕【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A 到两个定点的间隔 之和等于定值，得到点A 的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y 轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．【详解】解：∵△ABC 的周长为20，顶点B 〔0，﹣4〕，C 〔0，4〕， ∴BC ＝8，AB +AC ＝20﹣8＝12， ∵12＞8∴点A 到两个定点的间隔 之和等于定值， ∴点A 的轨迹是椭圆， ∵a ＝6，c ＝4 ∴b 2＝20，∴椭圆的方程是()22102036x y x +=≠应选B ．【点睛】此题考察椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，此题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．9.斜率为2的直线l 过双曲线2222=1x y a b-(0,0)a b >>的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，那么双曲线的离心率e 的取值范围是( )A. 2e <B. 13e <<C. 15e <<D. 5e >【答案】D 【解析】 【分析】利用数形结合，根据直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出,a b 的关系，然后求出离心率的范围．【详解】双曲线的一条渐近线的斜率为b a， 结合图形分析可知， 假设ba小于或者等于2， 那么直线与双曲线的一支相交或者没有交点，不合题意；所以b a 必大于2，即2ba>， 22222214b c a e a a-==-> 解得双曲线的离心率5e >，应选D ．【点睛】此题主要考察利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率范围，属于中档题.求离心率范围问题，应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的取值范围.10.试在抛物线2y 4x =-上求一点P ，使其到焦点F 的间隔 与到()A 2,1-的间隔 之和最小，那么该点坐标为( ) A. 1,14⎛⎫-⎪⎝⎭B. 1,14⎛⎫⎪⎝⎭C. ()2,22--D. ()2,22-【答案】A 【解析】由题意得抛物线的焦点为(1,0)F -，准线方程为:1l x =． 过点P 作PM l ⊥于点M ，由定义可得PM PF =, 所以PA PF PA PM +=+，由图形可得，当,,P A M 三点一共线时，||||PA PM +最小，此时PA l ⊥．故点P 的纵坐标为1，所以横坐标14x =-．即点P 的坐标为1(,1)4-．选A ．点睛：与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般解法是利用抛物线的定义，实现由点到点的间隔 与点到直线的间隔 的转化． (1)将抛物线上的点到准线的间隔 转化为该点到焦点的间隔 ，构造出“两点之间线段最短〞，使问题得解；(2)将抛物线上的点到焦点的间隔 转化为点到准线的间隔 ，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短〞解决．11.假设函数()()20xf x a x a =>+在[)1,+∞a 的值是( )A.31 1【答案】D 【解析】 【分析】 对于函数()()20xf x a x a=>+进展求导，分类讨论，求得函数的单调性和最值，即可求解． 【详解】由题意，函数()()20xf x a x a =>+，那么()()222a x f x x a -=+，当1a >时，即x ()()0,f x f x '<单调递减，当1x <<时，()()0,f x f x '>单调递增，所以当x =()f x 获得最大值23a =，解得314a =<，不合题意；当1a =时，()f x 在[)1,+∞单调递减，所以最大值为()112f =≠当01a <<时，()f x 在[)1,+∞单调递减，此时最大值为()111f a ==+ 解得31a，应选D ．【点睛】此题主要考察了利用求解函数在区间上的最值问题，其中解答中熟记导数与原函数的单调性之间的关系，合理分类讨论求得函数的最值是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于中档试题． 12.如图，设椭圆的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象限上的点，直线BO 交椭圆于C 点，假设直线BF 平分线段AC 于M ，那么椭圆的离心率是〔 〕A.12B.23C.13D.14【答案】C 【解析】 【分析】如图，设AC 中点为M ，连接OM ，那么OM 为△ABC 的中位线，可得△OFA ∽△AFB ，且12OF OM FAAB==，即可得出e ．【详解】如图，设AC 中点为M ，连接OM ，那么OM 为ABC ∆的中位线，于是OFM AFB ∆∆∽，且12OF OM FAAB==，即12c a c =-，可得13c e a ==． 应选：C【点睛】此题考察了椭圆的HY 方程及其性质、三角形中位线定理、相似三角形的性质，考察了数形结合方法、推理才能与计算才能，属于中档题．二、填空题：(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分)13.()f x 是定义域R 上的奇函数,周期为4,且当[0,1]x ∈时,2()log (1)=+f x x ,那么(31)f =_____________.【答案】1- 【解析】 【分析】根据题意，由函数的周期性可得f 〔31〕＝f 〔-1〕，结合奇偶性可得f 〔-1〕＝-f 〔1〕，进而结合函数的解析式计算可得答案．【详解】根据题意，y ＝f 〔x 〕的周期为4，那么f 〔31〕＝f 〔-1〕 又由f 〔x 〕是定义域为R 的奇函数，那么f 〔-1〕＝-f 〔1〕， 假设当x ∈[0，1]时，2()log (1)=+f x x ，那么f 〔1〕＝1 那么(31)f =﹣1； 故答案为：﹣1【点睛】此题考察函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的求值，属于根底题．14.设函数()()(sin ,,f x A x A ωϕωϕ=+为参数，且)0,0,0A ωϕπ>><<的局部图象如下图，那么ϕ的值是______.【答案】3π【解析】 【分析】根据图象首先求得()f x 最小正周期2T ππω==，从而解得2ω=；代入712f A π⎛⎫=-⎪⎝⎭可得到23k πϕπ=+，结合0ϕπ<<即可求得结果.【详解】由图象可得()f x 最小正周期：473126T πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，即2ππω= 2ω∴=又77sin 126f A A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 73262k ππϕπ∴+=+，k Z ∈ 23k πϕπ∴=+，k Z ∈又0ϕπ<< 3πϕ∴=此题正确结果：3π 【点睛】此题考察根据三角函数图象求解函数解析式的问题，关键是可以通过整体对应的方式确定最值所对应的点，从而得到初相的取值.15.假设x ，y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，那么2z x y =-的最大值为______．【答案】10 【解析】 【分析】作出不等式组02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩表示的平面区域，利用线性规划知识求解．【详解】作出不等式组02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩表示的平面区域如下：作出直线:l 20x y -=，当直线l 往下平移时，2z x y =-变大， 当直线l 经过点()2,4A -时，()max 22410z =-⨯-=【点睛】此题主要考察了利用线性规划求目的函数的最值知识，考察作图及计算才能，属于根底题． 16.在数列{}n a 中，1111,,(*)2019(1)n n a a a n N n n +==+∈+，那么2019a 的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】 由11,(*)(1)n n a a n N n n +=+∈+，可得1111(1)1n n a a n n n n +-==-++，利用“累加法〞可得结果.【详解】因为11,(*)(1)n n a a n N n n +=+∈+所以1111(1)1n n a a n n n n +-==-++，2111,2a a -=-3211,23a a -=-...,201920181120182019a a -=-, 各式相加，可得20191112019a a -=-，201911120192019a -=-， 所以，20191a =，故答案为1.【点睛】此题主要考察利用递推关系求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：〔1〕项的序号较小时，逐步递推求出即可；〔2〕项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者者是周期数列；〔3〕将递推关系变形，利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解.三、解答题：(本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤)17.在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设()222tan b c a A +-=.〔1)求角A ；〔2〕假设3a =，那么ABC ∆周长的取值范围.【答案】〔1〕3A π=〔2〕(3⎤+⎦ 【解析】 【分析】〔1〕利用切化成弦和余弦定理对等式进展化简，得角A 的正弦值；〔2〕利用成正弦定理把边化成角，从而实现ABC ∆的周长用角B 的三角函数进展表示，即周长36sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据锐角三角形中角,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求得函数值域.【详解】〔1〕由()222sin 2cos 2bc a A bc A bc+-⋅=，得到sin 2A =， 又0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=.〔2〕3A π=，3BC =，设周长为x ，由正弦定理知2sin sin sin BC AC ABR A B C===， 由合分比定理知sin sin sin sin BC AB BC ACA AB C++=++，=，()sin sin B A B x ⎤∴+++=⎥⎦，即3sin sin 3x B B π⎤⎛⎫=+++= ⎪⎥⎝⎭⎦3sin sin cos cos sin 33B B B ππ⎫+++⎪⎭13sin sin 2B B B ⎫=+++⎪⎪⎭33sin 2B B ⎫=++⎪⎪⎭136cos 22B B ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭36sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 又因为ABC ∆为锐角三角形，所以,62B ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭. sin 62B π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，周长(3x ⎤∈+⎦. 【点睛】对运动变化问题，首先要明确变化的量是什么？或者者选定什么量为变量？然后，利用函数与方程思想，把所求的目的表示成关于变量的函数，再研究函数性质进展问题求解. 18.数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+.〔1〕证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕令3(1)n n b n a =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T【答案】〔1〕见解析〔2〕1(33)26n n T n +∴=-⋅+【解析】 【分析】〔1〕将式子合理变形，即可化成1121n n a a ++=+，从而证明{}1n a +是以首项为2，公比为2的等比数列，并利用等比数列通项公式求出{}n a 的通项公式.〔2〕由数列{}n b 的通项公式是由等比数列与等差数列通项公式乘积得到，即可判断其可运用错位相减法求解前n 项和n T .【详解】〔Ⅰ〕证明：由题意可得： 112(1)n n a a ++=+，那么1121n n a a ++=+，又112a += 故{}1n a +是以首项为2，公比为2的等比数列，所以11222n nn a -+=⨯=，故21n n a =-〔2〕由〔1〕知32nn b n =⋅12313262923(1)232n n n T n n -∴=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ 234123262923(1)232n n n T n n +∴=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅12313(222232n n n T n +∴-=⨯++++⋅）-1(33)26n n T n +∴=-⋅+【点睛】此题主要考察了等比数列的证明，以及错位相减法的运用，属于中档题.对于等比数列的证明主要有两种方法：〔1〕定义法，证得*1,0)(2,n n a qq n n N a -≠=≥∈即可，其中q 为常数；〔2〕等比中项法：证得211n n n a a a +-=即可.19.如图，点H 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线11B D 上，∠HDA =060．〔1〕求DH 与1CC 所成角的大小； 〔2〕求DH 与平面1A BD 所成角的正弦值． 【答案】〔1〕45；〔2〕66【解析】 【分析】〔1〕建立空间直角坐标系，设H 〔m ，m ，1〕〔m ＞0〕，求出1CC 、DH ，利用向量的夹角公式可求DH 与CC ′所成角的大小；〔2〕求出平面A 1BD 的法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．【详解】〔1〕以D 为原点，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -．设H 〔m ，m ，1〕〔m ＞0〕，那么DA =〔1，0，0〕，1CC =〔0，0，1〕，连接BD ，B 1D 1． 那么DH =〔m ，m ，1〕〔m ＞0〕，由DA ＜，DH =＞60°，∴可得2m 221m +，解得m 2=∴DH =〔22，22，1〕， ∴cos DH ＜，122CC =＞， ∴DH ＜，1CC =＞45°，即DH 与CC ′所成角的大小为45°； 〔2〕设平面A BD '的法向量为(,,),n x y z =那么(,,)(1,0,1)0(,,)(1,1,0)0n DA x y z n DB x y z ⎧⋅=⋅='⎨⋅=⋅=⎩，∴0x z x y +=⎧⎨+=⎩，令1,x =得(1,1,1)n =--是平面A BD '的一个法向量．221(1)1(1)622cos 623DH n ⨯+-+⨯-==-⨯，，设DH 与平面A BD '所成的角为θ所以6sin cos 6DH n θ==，． 【点睛】此题考察向量知识的运用，考察空间角，正确运用向量的夹角公式是关键.20.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，过顶点(0,1)A 的直线L 与椭圆C 相交于两点,A B .〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕假设点M 在椭圆上且满足1322OM OA OB =+，求直线L 的斜率k 的值. 【答案】(1);〔2〕.【解析】【详解】(1)因为e=,b=1,所以a=2,故椭圆方程为. 4分(2)设l 的方程为y=kx+1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(m,n).联立221{14y kx x y =++=，解得 (1+4k 2)x 2+8kx=0，因为直线l 与椭圆C 相交于两点，所以△=(8k)2>0,所以x 1+x 2=，x 1×x 2=0，∵1322OM OA OB =+∴点M 在椭圆上，那么m 2+4n 2=4,∴2212121(3)(3)44x x y y +++=,化简得 x 1x 2+4y 1y 2= x 1x 2+4(kx 1+1)(kx 2+1)= (1+4k 2)x 1x 2+4k(x 1+x 2)+4=0,∴4k·()+4=0,解得k=±12.故直线l 的斜率k=±12.21.函数f 〔x 〕=12x 2-〔a +1〕x +a ln x +1 〔Ⅰ〕假设x =3是f 〔x 〕的极值点，求f 〔x 〕的极大值； 〔Ⅱ〕求a 的范围，使得f 〔x 〕≥1恒成立． 【答案】〔Ⅰ〕极大值为()512f =-；〔Ⅱ〕12a ≤- 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕由于x=3是f 〔x 〕的极值点，那么f′〔3〕=0求出a ，进而求出f′〔x 〕＞0得到函数的增区间，求出f′〔x 〕＜0得到函数的减区间，即可得到函数的极大值； 〔Ⅱ〕由于f 〔x 〕≥1恒成立，即x ＞0时，21(1)ln 02x a x a x -++≥恒成立，设21()(1)ln 2g x x a x a x =-++，求得其导函数，分类讨论参数a ，得到函数g 〔x 〕的最小值大于等于0，即可得到a 的范围．【详解】解：〔Ⅰ〕()()'1af x x a x=-++∵x =3是f 〔x 〕的极值点，∴()()'33103af a =-++=，解得a =3 当a =3时，()()()21343'x x x x f x x x---+==， 当x 变化时，f 〔x 〕的极大值为()512f =-；〔Ⅱ〕要使得f 〔x 〕≥1恒成立，即x ＞0时，()21102x a x alnx -++≥恒成立， 设()()2112g x x a x alnx =-++，那么()()()()1'1x x a a g x x a x x--=-++=， 〔ⅰ〕当a ≤0时，由g ′〔x 〕＜0得单减区间为〔0，1〕，由g ′〔x 〕＞0得单增区间为〔1，+∞〕， 故()1()102min g x g a ==--≥，得()()2f x f x k ++≥； 〔ii 〕当0＜a ＜1时，由g ′〔x 〕＜0得单减区间为〔a ，1〕，由g ′〔x 〕＞0得单增区间为〔0，a 〕，〔1，+∞〕，此时()1102g a =--＜，∴不合题意；〔iii 〕当a =1时，f 〔x 〕在〔0，+∞〕上单增，()1102g a =--此时＜，∴不合题意；〔iv 〕当a ＞1时，由g ′〔x 〕＜0得单减区间为〔1，a 〕，由g ′〔x 〕＞0得单增区间为〔0，1〕，〔a ，+∞〕，此时()1102g a =--＜，∴不合题意．综上所述：()()2f x f x k ++≥时，f 〔x 〕≥1恒成立．【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性及函数恒成立时所取的条件．考察考生的运算、推导、判断才能．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕，在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M 的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．〔1〕求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；〔2〕假设N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的间隔 的最大值．【答案】〔1〕40x y --=,2213x y +=；〔2〕2. 【解析】 【分析】〔1〕直接利用极坐标方程、参数方程和普通方程互化的公式求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；〔2〕设N α，sinα〕，α∈[0，2π〕．先求出点P 到直线l 的间隔d =再求最大值.【详解】〔1〕因为直线l 的极坐标方程为πsin 04ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即ρsinθ－ρcosθ＋4＝0．由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ， 可得直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0．将曲线C 的参数方程x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数a ，得曲线C 的普通方程为2213x y +=．〔2〕设N α，sinα〕，α∈[0，2π〕．点M 的极坐标〔3π4〕，化为直角坐标为〔－2，2〕．那么1cos 1,sin 122P αα⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭．所以点P 到直线l 的间隔d ==≤，所以当5π6α=时，点M 到直线l 的间隔 ． 【点睛】此题主要考察参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考察三角函数的图像和性质，考察点到直线的间隔 的最值的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能. 23.〔1〕,a b ，都是正数，且ab ，求证：552323a b a b b a +>+.〔2〕,,a b c ∈R ，且1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥. 【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析日期：2022年二月八日。