江苏省无锡一中2020届高三数学12月考数学试题(1)

2020年江苏省无锡市重点中学高三数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC 中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E ，F 为边BC 的三等分点，则=（ ）．B ．C ．D参考答案：A 略2. 设全集U 是实数集R ，，则 (A)(B)(C)(D)参考答案：A3. 已知函数有三个不同的零点，（其中），则的值为（ ）A ．B ．C ．-1D ．1参考答案：D4. 的展开式的系数是 （ ）A.B.C.0D.3参考答案： A5. 函数恰有两个零点，则实数k 的范围是（ ）A.（0，1)B.（0，l ）U （1,2）C. (1，＋oo ） D 、（一oo,2)参考答案：B【知识点】函数的零点与方程根的关系．B9解析：由题意，令f （x ）=0，则令，，则y1==，图象如图所示表示过点（0，0）的直线，结合图像以及斜率的意义，∴k 的取值范围是（0，1）∪（1，2）， 故选B.【思路点拨】令f （x ）=0，则，构建函数，作出函数的图象，即可求得k 的取值范围．6. 对于函数f (x)和g(x)，其定义域为[a, b]，若对任意的x∈[a, b]总 有 |1－|≤， 则称f (x)可被g(x)置换，那么下列给出的函数中能置换f (x)= x∈[4，16]的是()A. g(x)=2x+6 x∈[4，16]B. g(x)=x 2+9 x∈[4，16]C. g(x)=(x+8) x∈[4，16] D. g(x)=(x+6) x∈[4，16]参考答案：D7. 设为两个非零向量、的夹角，已知对任意实数，的最小值为1（ ）A.若确定，则唯一确定B.若确定，则唯一确定C.若确定，则唯一确定D.若确定，则唯一确定参考答案：D8. 设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（）A．B．C．D．参考答案：C9. 若实数a，b满足，则ab的最小值为（）A．B．2 C．D．4参考答案：A【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：实数满足，∴a，b＞0，∴≥2，化为：ab，当且仅当b=2a=．则ab的最小值为．故选：A．10. 若实数a，b，c，d满足，则的最小值为（）A．B．8 C．D．2参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿桑涛侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的内切球的表面积为参考答案：12. 已知曲线f（x）=2x2+1在点M（x0，y0）处的瞬时变化率为﹣8，则点M的坐标为．参考答案：（﹣2，9）【考点】导数的几何意义．【分析】求导函数，令其值为﹣8，即可求得结论．【解答】解：∵y=2x2+1，∴y′=4x，令4x0=﹣8，则x0=﹣2，∴y0=9，∴点M的坐标是（﹣2，9），故答案为：（﹣2，9）．13. 在平面直角坐标系xOy中，过x轴上的点P作双曲线C：的一条渐近线的垂线，垂足为M，若，则双曲线C的离心率的值是参考答案：14. （极坐标系与参数方程）极坐标系下曲线表示圆，则点到圆心的距离为；参考答案：曲线方程的直角坐标方程为，所以圆心为（0,2），又点的直角坐标方程为，所以点A 与圆心的距离为。

2023-2024学年江苏省无锡市高一上册12月月考数学试题一、单选题1．2022°是第（）象限角．A ．一B ．二C ．三D ．四【正确答案】C【分析】将2022︒表示为360k α⋅︒+（Z k ∈）的形式，由此确定正确答案.【详解】20225360222︒=⨯︒+︒，所以2022︒是第三象限角.故选：C2．已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的弧长为A ．4cm B ．6cm C ．8cm D ．10cm【正确答案】C【分析】设扇形所在圆的半径为R ，得到242612l R R R R +=+==，解得2R =，即可得到扇形的弧长，得到答案.【详解】由题意，设扇形所在圆的半径为R ，则扇形的弧长为4l R =，所以242612l R R R R +=+==，解得2R =，所以扇形的弧长为428l cm =⨯=，故选C.本题主要考查了扇形的弧长公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．函数()()3log 21+f x x x =+-的零点所在的一个区间是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【正确答案】A将选项中区间的端点代入运算，然后利用零点存在性定理判断零点所在区间.【详解】解：因为函数()()3log 21f x x =+-，所以3(0)log 210f =-<，3(1)log (12)+111>0f =+-=，所以(0)(1)0f f <，根据零点存在性定理，函数3()log (2)1f x x x =++-的零点所在的一个区间是(0,1)，故选：A.4．已知tan 2α=，则6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值为（）A ．4-B ．134C ．134-D ．134±【正确答案】B【分析】根据题意，利用同角三角函数之间的关系即可求得结果.【详解】由tan 2α=，6sin cos 3sin 2cos αααα+-分子分母同时除以cos α，可得：6sin cos 6tan 1621133sin 2cos 3tan 23224αααααα++⨯+===--⨯-.故选：B.5．设5log 4a =，则151log 3b =，0.20.5c -=，则a ，b ，c 的大小关系是（）．A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c<a<b【正确答案】B【分析】根据对数的运算、指数运算的性质，结合对数函数的性质、指数函数的性质进行求解判断即可.【详解】11515551log log 3log 3log 413b --===<<，所以有b a <，因为10.20.20.2(2)210.5c ---===>，所以有b a c <<，故选：B6．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某K 地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t (t 的单位：天)的Logistic 模型：()()0.24531t K I t e--=+，其中K 为最大确诊病例数.当()0.9I tK *=时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）(注：e 为自然对数的底数，ln 9 2.2≈)A ．60B ．62C ．66D ．69【正确答案】B由题()()0.24530.91t KI t K e**--==+，可得()0.245319t e *--=，取对数即可求出.【详解】 ()()0.24530.91t K I t K e**--==+，()0.24531019t e *--∴+=，()0.245319t e *--=，则()10.2453ln ln 9 2.29t *--==-≈-，解得62t *≈.故选：B.7．函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】由函数为偶函数可排除AC ，再由当()0,1∈x 时，()0f x <，排除D ，即可得解.【详解】设()2ln ||2x y f x x ==+，则函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，又()()()2ln ||2x f x f x x --==-+，所以函数()f x 为偶函数，排除AC ；当()0,1∈x 时，2ln 0,20x x +，所以()0f x <，排除D.故选：B.8．已知函数2log ,8()11,8x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩且三个实数a ，b ，c （其中a b c <<）满足()()()f a f b f c ==，则cab的取值范围是（）A ．()0,6B ．()6,9C ．()8,11D ．()5,8【正确答案】C【分析】画出函数的图象，根据()()()f a f b f c ==，又有a b c <<，求出cab的范围即可.【详解】作出函数()f x 的图象，如图所示：结合图象可知：22log log a b -=，所以222log log log 0a b ab +==，则有1ab =，由图象可知：811c <<，所以811cab<<，即cab的取值范围是()8,11故选：C.二、多选题9．下列命题是真命题的是（）A ．命题“R x ∃∈，使得210x x ++<”的否定是“R x ∀∈，都有210x x ++≥”B ．函数y =2C ．11x -<是2x <的充分不必要条件D ．若(121f x +=+，则2()243f x x x =++，[)1,x ∞∈+【正确答案】AC【分析】根据存在量词命题的否定即可判断A ；根据基本不等式即可判断B ；根据一元二次不等式的解法和充分条件、必要条件的定义即可判断C ；根据换元法即可求出函数解析式，进而判断D.【详解】A ：命题“R x ∃∈，使得210x x ++<”的否定为“R x ∀∈都有210x x ++≥”，故A 正确；B00>，得2y =，当且仅当=即23x =-时取到等号，不成立，所以2y =，故B 错误；C ：由11x -<，得2(1)10x --<，解得02x <<，所以“11x -<”是“2x <”的充分不必要条件，故C 正确；D ：令1t =+1t ≥且2(1)x t =-，所以()()222112431f t t t t t =-+=-+≥，，即()[)22431,f x x x x ∞=-+∈+，，故D 错误.故选：AC10．已知0a >，0b >，1a b +=，则（）．A ．14ab ≤B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D ．114a b+≥【正确答案】ABD【分析】根据基本不等式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，因为0a >，0b >，1a b +=，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号，故A 正确；对于B 选项，由0a >，0b >，1a b +=可得1b a =-，所以()1211122222a a a ba -----==>=，故B 正确；对于C 选项，22221log log log log 24a b ab +=≤=-，故C 错误；对于D 选项，11224a b a b b a a b a b a b +++=+=++≥+=，当且仅当a bb a=且1a b +=，即12a b ==时取等号，故D 正确故选：ABD ．11．设()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R ，则()f x （）A ．为偶函数B ．值域为(],0-∞C ．在()0,∞+上是减函数D ．在()0,∞+上是增函数【正确答案】AC【分析】依题意，根据函数奇偶性的定义可判断A 正确，当0x >时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合指数函数的性质判断CD ，根据12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(]0,1判断B 错误.【详解】函数()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭定义域为R ，()()111122xxf x f x -⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确；当0x >时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合指数函数的性质知()f x 在()0,∞+上是减函数，故C 正确，D 错误，由12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(]0,1，得函数()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值域为(]1,0-，故B 错误.故选：AC12．若直线3y a =与函数1(0xy a a =->，且1)a ≠的图象有两个公共点，则a 可以是（）A ．2B ．13C ．14D ．18【正确答案】CD【分析】分类讨论作出两函数的图象，数形结合可得．【详解】由题意，直线3y a =与函数1(0xy a a =->，且1)a ≠的图象有两个公共点，当01a <<时，|1|x y a =-的图象如图（1）所示，由已知得031a <<，103a ∴<<；当1a >时，|1|x y a =-的图象如图（2）所示，由已知可得031a <<，103a ∴<<，结合1a >可得a 无解．综上可知a 的取值范围为1(0,3．故选：CD ．三、填空题13．函数()f x =________．【正确答案】[2，+∞）【详解】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.14．函数()212log 21y x x =--的单调递减区间为____________.【正确答案】()1,+∞【分析】先由2210x x -->，求得函数的定义域，然后令221x x t =--，由复合函数的单调性求解.【详解】由2210x x -->，解得12x <-或1x >，所以函数()212log 21y x x =--的定义域为{1|2x x <-或}1x >，因为221x x t =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上递减，在()1,+∞上单调递增12log y t =在()0,∞+递减，所以函数()212log 21y x x =--的单调递减区间为()1,+∞.故()1,+∞15．已知log 189＝a ，18b ＝5，则log 3645＝_____（用a ，b 表示）．【正确答案】2a b a+-【分析】根据对数的运算律，整理条件，利用换底公式，可得答案.【详解】∵log 189＝a ，b ＝log 185，∴a +b ＝log 189+log 185＝log 18（9×5）＝log 1845，log 1836＝log 18（2×18）＝1+log 182＝18181log 9+＝2﹣log 189＝2﹣a ；∴log 3645＝1818log 45log 36＝2a ba+-．故2a ba+-．16．若,a b 是方程()242lg lg 10x x -+=的两个实根，则10->x ab 的解集为______．（结果用区间表示）【正确答案】()2,-+∞【分析】原方程变形得()22lg 4lg 10x x -+=，设lg t x =，方程转化为22410t t -+=，设两个根为12,t t ，表示出韦达定理，令12lg ,lg t a t b ==，则可表示出lg lg a b +，从而得ab ，即可得不等式的解集.【详解】原方程可变形为()22lg 4lg 10x x -+=，设lg t x =，则22410t t -+=，设方程两根为12,t t ，所以121212,2+==t t t t ，不妨令12lg ,lg t a t b ==，则()lg lg lg 2a b ab +==，解得100ab =，求10->x ab ，即求10010->x ，得2x >-.故答案为.()2,-+∞四、解答题17．计算下列各式：(1)01363470.001168-⎛⎫-++⎪⎝⎭(2)7log 23log lg 25lg 47-+-.(3)23π12πcos1500sin 810sin cos tan 6π65⎛⎫++-+⋅ ⎪⎝⎭【正确答案】(1)89(2)54(3)2【分析】（1）根据指数幂的运算性质可得结果；（2）根据对数的运算性质可得结果；（3）根据诱导公式化简后，利用特殊角的函数值可求出结果.【详解】（1）原式()()1334323410122310187289--=-++⋅=-++=.（2）原式14315log 32lg 52lg 224-=++-=.（3）原式π2πcos(436060)sin(236090)sin(4π)cos(2πtan 065=⨯++⨯++-+++⋅π2π11cos60sin 90sincos 01026522=+++⋅=+++= .18．如图，在平面坐标系xOy 中，第二象限角α的终边与单位圆交于点A ，且点A 的纵坐标为45.(1)求tan α的值；(2)求2sin sin cos ααα+的值.【正确答案】(1)43-(2)425【分析】（1）根据三角函数的定义求出4sin 5α=，再利用同角三角函数关系结合角的范围，求出tan α；（2）在第一问的基础上，代入求解即可.【详解】（1）由题知，4sin 5α=，因为22sin cos 1αα+=，所以3cos 5α=±，又α为第二象限角，所以3cos 5α=-，即sin tan s 43co ααα==-（2）224434sin sin cos 55525ααα⎛⎫⎛⎫+=+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.19．已知“x ∃∈R ，方程2260x x m +-+=有实根”是真命题.(1)求实数m 的取值集合A ；(2)设0a >，关于x 的不等式(21)(31)0x a x a -+-+<的解集为B ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分条件，求a 的取值范围.【正确答案】(1)[5,)+∞(2)[3,)+∞【分析】(1)一元二次方程有实根的充要条件是44(6)0m ∆=--+≥；(2)先判断二次函数与x 轴交点的大小，再求集合B ，通过集合A 和B 的关系，可以求参数a .【详解】（1）若“x ∃∈R ，方程2260x x m +-+=有实根”是真命题，则44(6)0m ∆=--+≥，所以5m ≥，因此[5,)A =+∞.（2）因为0a >，所以31(21)03121a a a a a ---=>->-，，所以不等式(21)(31)0x a x a -+-+<的解集(21,31)B a a =--，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分条件，则B 是A 的子集，所以215a -≥，解得3a ≥，所以a 的取值范围是[3,)+∞.20．已知集合(){}22log 2log 0A x x x =⋅≤.（1）求集合A ；（2）求函数()2144x x y x A +=+∈的值域.【正确答案】（1）112A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）[]18,68.【分析】（1）根据对数函数的单调性得到22log 0log 2x x ≤≤且0x >，由此求解出x 的取值范围，则集合A 可知；（2）采用换元法令[]42,4x t =∈，将函数变形为关于t 的二次函数，根据二次函数的对称轴以及开口方向确定出单调性并求解出最值，由此可求函数的值域.【详解】（1）因为()22log 2log 0x x ⋅≤，且2log y x =在()0,∞+上单调递增，所以22log 0log 20x x x ≤≤⎧⎨>⎩，所以222log log 1log 20x x x ≤≤⎧⎨>⎩，所以120x x x ≤≤⎧⎨>⎩，所以112A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）因为21144,12x x y x +⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()2444x x y =⋅+，令[]42,4x t =∈，所以24y t t =+，对称轴为18t =-且开口向上，所以22max min 44468,42218y y =⨯+==⨯+=，所以函数的值域为[]18,68.21．经调查，某产品在过去两周内的日销售量(单位：千克)与日销售单价(单位：元)均为时间t (天)的函数.其中日销售量为时间t 的一次函数，且1t =时，日销售量为34千克，10t =时，日销售量为25千克.日销售单价满足函数2525,1 8N ()114, 814Nt t f t t t t t ⎧-<∈⎪=+⎨⎪+∈⎩且且.（1）写出该商品日销售额y 关于时间t 的函数(日销售额=日销售量×销售单价)；（2）求过去两周内该商品日销售额的最大值.【正确答案】（1）2525(35),18,,1(14)(35),814,,t t t y t t t t t ⎧⎛⎫--<∈⎪ ⎪=+⎝⎭⎨⎪+-∈⎩N N ；（2）第5天的销售额最大.（1）利用待定系数法求得日销售量()g t 的解析式，由此求得日销售额y 关于时间t 的函数解析式.（2）结合分段函数的性质、基本不等式、二次函数的性质，求得过去两周内该商品日销售额的最大值.【详解】（1）设日销售量()g t (千克)关于时间t (天)的函数为()g t kt b =+，则34,1025,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得1k =-，35b =，所以，()35g t t =-，所以2525(35),18,,1(14)(35),814,,t t t y t t t t t ⎧⎛⎫--<∈⎪ ⎪=+⎝⎭⎨⎪+-∈⎩N N （2）当18t <时，362537(1)(37256251y t t ⎡⎤=-+--⨯=⎢⎥+⎣⎦，当且仅当2(1)36t +=，即5t =时，取等号.当814t 时，221490y t t =-++，对称轴2110.52t ==，故当10t =或11t =时，max 600y =，因为625600>，所以5t =时，max 625y =.答：第5天的销售额最大，最大日销售额为625元.22．已知定义在R 上的函数()121x f x a =++是奇函数.(1)求实数a 的值；(2)若对任意的[]1,2t ∈-，不等式()()2220f t f t k -+-<恒成立，求实数k 的范围.【正确答案】(1)12a =-(2)(),3-∞-【分析】（1）由定义在R 上的奇函数()f x ，可得()00f =，解得a ，检验可得所求值；（2）先判断()f x 的单调性；由()f x 的奇偶性和单调性，可得222t k t ->-对任意的[]1,2t ∈-恒成立，再由参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围.【详解】（1）定义在R 上的函数()121x f x a =++是奇函数，可得()00f =，即01021a +=+，解得12a =-，则()()1112221212x x x f x -=-+=++，有()()()()1212212212x xx x f x f x -----==-=-++，可得()f x 为R 上的奇函数，故12a =-（2）因为函数21x y =+为R 上的增函数，且210x +>，所以()11221x f x =-++为R 上的减函数，对任意的[]1,2t ∈-，不等式()()2220f t f t k -+-<恒成立，即为()()()2222f t f t k f k t -<--=-，即222t k t ->-对任意的[]1,2t ∈-恒成立，即有()2min 22k t t <+-，由()222213y t t t =+-=+-在[]1,2-递增，可得222y t t =+-的最小值为3-，则3k <-，即k 的范围是(),3-∞-.。

2021-2021学年市第一中学高三上学期12月月考数学（文）试题（解析版）20XX-2021学年市第一中学高三上学期12月月考数学（文）试题一、单选题1．设集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】B 【解析】 ,选B. 点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．若，且，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】试题分析：A、B、C三个选项的关系无法判断或错误，而所以,故选D。

【考点】比大小（或者不等式证明）。

3．下列命题的说法错误的是（）A．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0．B．“x=1“是“x2﹣3x+2=0“的充分不必要条．C．“ac2＜bc2“是“a＜b“的必要不充分条．D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．【答案】C 【解析】对于命题p:∀x∈R,x2+x+1>0,则¬p: ∃x0∈R，x02+x0+1≤0，是真命题；“x=1”是“x2−3x+2=0“的充分不必要条，是真命题；若c=0时，不成立，是假命题；命题“若x2−3x+2=0,则x=1”的逆否命题为：“若x≠1,则x2−3x+2≠0”，是真命题；故选：C. 4．已知等差数列的前n项和为，则A．140B．70C．154D．77【答案】D 【解析】利用等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质，即可求出结果. 【详解】等差数列的前n项和为， . 故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n项和的求法和等差数列的性质，属于基础题. 5．已知双曲线（a>0，b>0）的离心率为，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C 【解析】由双曲线（a>0，b>0）的离心率为，得：，即∴椭圆的离心率为故选：C 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6．函数，的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】B 【解析】判断函数的奇偶性排除选项A，C，然后取特殊值，计算判断即可得结果. 【详解】，定义域关于原点对称，∵，所以为偶函数，即图象关于轴对称，则排除A，C，当时，，故排除D，故选B．【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.7．将函数图象向左平移个单位长度，则平移后新函数图象对称轴方程为( ) A．B．C．D．【答案】A 【解析】利用图像左右平移的规律,得到平移后的函数图像对应的解析式,之后结合余弦函数图形的对称性,应用整体角思维得到结果. 【详解】将函数图象向左平移个单位长度，可得, 即,令,解得, 则平移后图像的对称轴方程为, 故选A. 【点睛】该题考查的是有关函数图像的平移变换，以及的图像和性质，结合余弦曲线的对称轴，求得结果. 8．在中，边上的中线的长为，，则（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】由题意得【点睛】本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。

江苏省无锡一中2020届高三数学十二月月考数学I 卷2019．12一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}23x x -<<，B ＝{﹣2，0，2}，则AB ＝ ．2．设复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ），若zi ＝1﹣2i ，则a ＋b ＝ ． 3．函数()f x =的定义域为 ．4．某商场在五一黄金周的促销活动中，对5月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为 万元．5．执行如图的伪代码后，输出的结果是 ．6．已知实数x ，y 满足30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3x y +的最小值为 ．7．函数2sin()sin 3y x x π=-⋅图像的对称轴方程为 ．8．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为4，则此正六棱锥的体积为 ． 9．下图是函数2()A cos()13f x x πϕ=+-（A ＞0，ϕ＜π）的图象的一部分，则3()4f ＝ ．第4题 第5题 第9题10．如图，△ABC 是边长为2的正三角形，以A 为直角项点向外作一等腰直角△ACD ，记DA DB m ⋅=，DC DB n ⋅=，则m ，n 中较大数的数值为 ．11．设x ，y 均为正实数，且33122x y+=++，以点(x ，y )为圆心，R ＝xy 为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为 ．第10题12．设x ，y ∈R ，则222()()x y x y++-的最小值为 ． 13．已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的上顶点为B ，若椭圆上离点B 最远的点为椭圆的下顶点，则椭圆离心率的取值范围为 ．14．若函数2()5f x ax bx =++(a ＜0)对任意实数t ，在闭区间[t ﹣2，t ＋2]上总存在两个实数1x ，2x ，使得12()()8f x f x -≥成立，则负数a 的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cosCcos A =． （1）求角A 的值；（2）若角B ＝6π，BC 边上的中线AM ，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）在四棱锥P —ABCD 中，BC ∥AD ，PA ⊥PD ，AD ＝2BC ，AB ＝PB ，E 为PA 的中点． （1）求证：BE ∥平面PCD ；（2）求证：平面PAB ⊥平面PCD ．17．（本小题满分14分）如图，河的两岸分别有生活小区ABC 和DEF ，其中AB ⊥BC ，EF ⊥DF ，DF ⊥AB ，C ，E ，F 三点共线，FD 与BA 的延长线交于点O ，测得AB ＝3km ，BC ＝4km ，DF ＝94km ，FE ＝3km ， EC ＝32km ．若以OA ，OD 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系xOy ，则河岸DE 可看成是曲线x by x a+=+（其中a ，b 为常数）的一部分，河岸AC 可看成是直线y ＝kx ＋m （其中k ，m 为常数）的一部分．（1）求a ，b ，k ，m 的值；（2）现准备建一 座桥MN ，其中M ，N 分别在DE ，AC 上，且MN ⊥AC ，设点M 的横坐标为t ．①请写出桥MN 的长l 关于t 的函数关系式()l f t =，并注明定义域；②当t 为何值时，l 取得最小值? 最小值是多少？18．（本小题满分16分）己知椭圆C ：22221y x a b +=(a ＞b ＞0)经过点(2，1)，F(0，1)是C 的一个焦点，过F点的动直线l 交椭圆于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求△OAB 面积的最大值； （3）是否存在定点M （异于点F ），对任意的动直线l （斜率存在）都有k MA ＋k MB ＝0，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分16分）已知函数21()ln 2f x x ax x =-+，函数()23g x x =-+． （1）当a ＝2时，求()f x 的极值； （2）讨论函数1()()()2F x f x ag x =+的单调性； （3）若对任意的a ∈[﹣2，﹣1]和1x ，2x ∈[1，2]，不等式121()()()f x f x t g x -≤-2()g x 恒成立，求实数t 的最小值．20．（本小题满分16分）若一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于 2，则称这个数列为“阿当数列”．（1）若数列{}n a 为“阿当数列”，且113a m =-，21a m=，34a =， 求实数m 的取值范围；（2）是否存在首项为1的等差数列{}n a 为“阿当数列”，且其前n 项和n S 满足2n S n n <+？请证明你的结论；（3）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且{}n a 为“阿当数列”，23n n b a =，5(1)2nn n a c n -=+⋅， 当数列{}n b 不是“阿当数列”时， 试判断数列{}n c 是否为“阿当数列”，并说明理由．附加题（共4题，满分40分）21．（本小题满分10分）设矩阵M ＝ 02 1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为x 2＋y 2＝1．求曲线C 的方程． 22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程是22x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+．（1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．23．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 是直角三角形，AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，点P 是棱BB 1上一点．（1）若BP ＝13BB 1，求直线PC 与平面A 1BC 所成角的正弦值； （2）若二面角P —A 1C —B 的正弦值为23，求BP 的长．24．（本小题满分10分）已知n 位数满足下列条件：①各个数字只能从集合{1，2，3，4}中选取；②若其中有数字4，则在4的前面不含2，将这样的n 位数的个数记为n a ．（1）求2a ，3a ，并求数列{}n a 的通项公式；（2）对于集合A ＝{1a ，2a ，…，n a } (n ≥3)，定义集合S ＝{}, 1i j x x a a i j n =+≤<≤，求集合S 中所有元素之和．参考答案1．{0，2} 2．﹣3 3．(0，2) 4．12 5．28 6．﹣57．62k x ππ=+，k ∈Z 8．12 91 10．6+11．22(4)(4)256x y -+-= 12．4 13．(0，2] 14．﹣2 15．（1）∵，∴， 由正弦定理得，即，∵，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）由（1）知，∴，，设，则，又∵在中，由余弦定理：得即，故.16．证明：（1）取PD的中点F,连接EF,CF.因为E为PA的中点，所以，，因为,,所以,.所以四边形BCFE为平行四边形.所以因为平面PCD,平面PCD,所以平面(2)因为,E为PA的中点,所以.因为,所以因为,平面PCD,平面PCD,, 所以平面因为平面PAB,所以平面平面17．（1）将，两点坐标代入到中，得：，解得：；再将，两点坐标代入到中，得：，解得：；（2）①由（1）知直线的方程为，即。

2020届高三12月月考数学试卷(理科)说明：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第（1）页至第（3）页，第Ⅱ卷第（4）页至第（6）页。

2、本试卷共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级填涂在答题卡上，贴好条形码。

答题卡不要折叠2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。

答在试卷上无效。

3、考试结束后，监考人员将试卷答题卡收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}2|0|2M x x x N x x =-=＜，＜，则 ( )A ．M N ⋂=∅B ．M N M ⋂=C ．M N M ⋃=D ．M N R =U2． “”是“方程表示双曲线”的 （ )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．正项等差数列{}n a 中的11a ，4027a 是函数()3214433f x x x x =-+-的极值点，则20192log a =( ) A ．2B ．3C ．4D ．54．函数1sin cos (0)y x a x a =+>的图象是由函数25sin 5cos y x x =+的图像向左平移ϕ个单位得到的，则cos ϕ=（ ）A ．35B ．45C 32D 225．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是 （ ）A ．获得A 等级的人数减少了B ．获得B 等级的人数增加了1.5倍C ．获得D 等级的人数减少了一半D ．获得E 等级的人数相同6．设()0sin cos a x x dx π=+⎰，且21nx ax ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是 （ ） A ．1 B ．1256 C ．64 D ．1647．直线(1)(2)0()x y R λλλλ+-++=∈恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上，其中0m >，0n >，则21m n+的最小值为 （ ） A ．22B ．4C ．52D ．928．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=⨯（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是 ( )A ．2+43B ．13+2C ．2+83D ．4+839．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是 （ ）A ．3B ．5C ．7D ．910．已知函数()sin (0)f x x ωω=>，点A ，B 分别为()f x 图像在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB ∆为锐角三角形，则ω的取值范围为（ ）A ．30,2π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．3,22ππ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11．设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，x R ∀∈，有3()()f x f x x --=，在(0,)+∞上有22'()30f x x ->，若2(2)()364f m f m m m --≥-+-，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[1,1]-B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞U12．已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）A ．(3)(2019)3f f -+=-B ．()f x 在区间[]4,5上是增函数C ．若方程() 1f x k x =+恰有3个实根，则11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D ．若函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则()61i i i x f x =∑的取值范围是()0,6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．已知34a b R a ib i i+=+∈，（，）其中i 为虚数单位，则a bi +=________； 14．已知数列{}n a的首项11a =，且满足11(2)n n n n a a a a n ---=≥，则122320142015a a a a a a +++=L ；15．如图，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，E 为AB 的中点．将ADE V 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设1A C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM ∥平面1A DE ； ②线段BM 的长为定值；③存在某个位置，使DE 与1A C 所成的角为90°． 其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为_________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2cos 2()3f x x x x R π⎛⎫=--∈⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3()2B f =-，1b =，3c =，且a b >，试求角B 和角C .18．（本小题满分10分）如图，在PBE △中，AB PE ⊥，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且5AC =，122AB AP AE ===，将PBA ∆沿AB 折起使得二面角P AB E --是直二面角． （l ）求证：CD 平面PAB ；（2）求直线PE 与平面PCD 所成角的正切值．19．（本小题满分10分）2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．（1）若12p =，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值．20．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），离心率2e=．（1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线11l y kx m=+：与椭圆G交于A B，两点，直线2212l y kx m m m=+≠：（）与椭圆G交于C D，两点，且AB CD=，如图所示．①证明：120m m+=；②求四边形ABCD的面积S的最大值．21．（本小题满分10分）已知函数()22,02,0xx xf x xax ax xe⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数．()1求实数a的值；()2若函数()()g x f x kx=-有三个零点，求实数k的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos3xyαα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为2sin42πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点()1,0P-，直线l和曲线C交于,A B两点，求||||PA PB+的值．23．已知函数()()210f x x a x a=++->.（1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.（数学理）1-5 BDCBB 6-10 DDADB 11.B 12 BCD13.5 14. 15. ①② 16. 4 317【解析】（1）233()cos2cos2sin2cos23sin23223f x x x x x xππ⎛⎫⎛⎫=--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q，令222,232k x k k Zπππππ--+∈剟，解得5,1212k x k k Zππππ-+∈剟∴故函数()f x的递增区间为5,()1212k k kππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z.（2）313sin,sin2332Bf B Bππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-∴-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，20,,,333366B B B Bπππππππ<<∴-<-<∴-=-=Q即，由正弦定理得：13sin sinsin6aA Cπ==，3sin2C∴=，0Cπ<<Q，3Cπ∴=或23π.当3cπ=时，2Aπ=：当23Cπ=时，6Aπ=（不合题意，舍）所以,63B Cππ==.18．如图，在PBE△中，AB PE⊥，D是AE的中点，C是线段BE上的一点，且5AC=，122AB AP AE===，将PBAV沿AB折起使得二面角P AB E--是直二面角．（l）求证：CD平面PAB；（2）求直线PE与平面PCD所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析.（2）13.【解析】分析：（1）推导出4,AE AC =是Rt ABE ∆的斜边上的中线，从而C 是BE 的中点，由此能证明//CD 平面PAB ；（2）三棱锥E PAC -的体积为E PAC P ACE V V --=，由此能求出结果．详解：（1）因为122AE =，所以4AE =，又2AB =，AB PE ⊥， 所以22222425BE AB AE =+=+=，又因为152AC BE ==， 所以AC 是Rt ABE n 的斜边BE 上的中线，所以C 是BE 的中点，又因为D 是AE 的中点．所以CD 是ABE n 的中位线，所以CD AB n ， 又因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD n 平面PAB ．（2）据题设分析知，AB ，AE ，AP 两两互相垂直，以A 为原点，AB ，AE ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为122AB AP AE ===，且C ，D 分别是BE ，AE 的中点， 所以4AE =，2AD =，所以()040E n n ，()120C n n ，()002P n n ，()020D n n ，所以()042PE =-u u n v n u ，()122PC =-u u n v n u ，()100CD =-u u n vn u ， 设平面PCD 的一个法向量为()n x y z '''=n n ，则00n CD n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v ，即0220x x y z ''''-=⎧⎨+-=⎩，所以0x z y =⎧⎨='''⎩，令1y '=，则()011n =n n ，设直线PE 与平面PCD 所成角的大小为θ，则10sin 10PE n PE nθ⋅==⋅u u u v u u u v ． 故直线PE 与平面PCD 所成角的正切值为13．19．2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．（1）若12p =，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值．【答案】(1) 2532 (2) 最高费用为350万元．对应13p =．（1）因为一篇学术论文初评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()2233331C p p C p -+， 一篇学术论文复评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()()2213111C p p p ⎡⎤---⎣⎦， 所以一篇学术论文被认定为“存在 问题学术论文”的概率为()()()()22223313331111f p C p p C p C p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦()()()2223313111p p p p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦5432312179p p p p =-+-+．∴12p =时，125232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以抽检一篇的学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为2532． （2）设每篇学术论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500．()()21315001P X C p p ==-，()()21390011P X C p p ==--，所以()()()()2221133900111500190018001E X C p p C p p p p ⎡⎤=⨯--+⨯-=+-⎣⎦． 令()()21g p p p =-，()0,1p ∈，()()()()()2121311g p p p p p p '=---=--．当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '>，()g p 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '<，()g p 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减． 所以()g p 的最大值为14327g ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以评审最高费用为44300090018001035027-⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭（万元）．对应13p =．20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为F 1（﹣1，0），离心率22e =． （1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线11l y kx m =+： 与椭圆G 交于 A B ， 两点，直线2212l y kx m m m =+≠：（）与椭圆G 交于C D ， 两点，且AB CD = ，如图所示．①证明：120m m += ；②求四边形ABCD 的面积S 的最大值． （1）设椭圆G 的方程为（a ＞b ＞0）∵左焦点为F 1（﹣1，0），离心率e =．∴c =1，a =，b 2=a 2﹣c 2=1椭圆G 的标准方程为：．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）①证明：由消去y 得（1+2k 2）x 2+4km 1x +2m 12﹣2=0 ，x 1+x 2=，x 1x 2=；|AB |==2；同理|CD |=2，由|AB |=|CD |得2=2，∵m 1≠m 2，∴m 1+m 2=0②四边形ABCD 是平行四边形，设AB ，CD 间的距离d =∵m 1+m 2=0，∴∴s =|AB |×d =2×=.所以当2k 2+1=2m 12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为221．已知函数()22,02,0x x x f x x ax ax x e⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数． ()1求实数a 的值；()2若函数()()g x f x kx =-有三个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）12a e =；（2）ln211,2e e ⎧⎫⎡⎫⋃-+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭解：()1当0x <时，()2f x x =-是增函数，且()()00f x f <=，故当0x ≥时，()f x 为增函数，即()'0f x ≥恒成立，当0x ≥时，函数的导数()()()211'2221120()x x x xx e xe x f x ax a a x x a e e e --⎛⎫=+-=+-=--≥ ⎪⎝⎭恒成立，当1x ≥时，10x -≤，此时相应120x a e -≤恒成立，即12x a e ≥恒成立，即max 112()x a e e≥=恒成立，当01x ≤<时，10x ->，此时相应120x a e -≥恒成立，即12x a e ≤恒成立，即12a e ≤恒成立， 则12a e =，即12a e=． ()2若0k ≤，则()g x 在R 上是增函数，此时()g x 最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件． 故0k >，当0x <时，()2g x x kx =--有一个零点k -，当0x =时，()()0000g f =-=，故0也是故()g x 的一个零点， 故当0x >时， ()g x 有且只有一个零点，即()0g x =有且只有一个解，即202x x x x kx e e e +--=，得22x x x xkx e e e+-=，(0)x >， 则112x x k e e e=+-，在0x >时有且只有一个根， 即y k =与函数()112x x h x e e e=+-，在0x >时有且只有一个交点，()11'2x h x e e=-+，由()'0h x >得1102x e e -+>，即112x e e <得2x e e >，得ln21ln2x e >=+，此时函数递增，由()'0h x <得1102x e e -+<，即112x e e>得2x e e <，得0ln21ln2x e <<=+，此时函数递减，即当1ln2x =+时，函数取得极小值，此时极小值为()1ln211ln211ln22h e e e+++=+- ln211ln2111ln21ln2222222e e e e e e e e e e=++-=++-=⋅， ()110101h e e=+-=-，作出()h x 的图象如图，要使y k =与函数()112x x h x e e e=+-，在0x >时有且只有一个交点， 则ln22k e =或11k e≥-， 即实数k 的取值范围是ln211,2e e ⎧⎫⎡⎫⋃-+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点()1,0P - ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．【答案】（1）22193x y +=，10x y -+=；（266（1）因为曲线C 的参数方程为3cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），所以曲线C 的普通方程为22193x y +=.因为2sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin cos 1,10x y ρθρθ-=∴-+=. 所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+=.（2）由题得点()1,0P -在直线l 上，直线l的参数方程为122x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆的方程得2280t -=，所以1212+402t t t t ==-<，所以12|PA|+|PB|=||t t -==. 23．已知函数()()210f x x a x a =++->. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（2）()5,+∞（1）当1a =时，()121f x x x =++-，故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或1314x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或53x >.故不等式()4f x >的解集为5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或.（2）当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->， 即2x a +>，即2a x >-或2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立. 又()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞U . 又0a >，所以5a >， 综上，a 的取值范围为()5,+∞.。

江苏省2020版数学高三理数12月联考试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·松原月考) 设集合，，则的子集个数为（）A . 2B . 7C . 8D . 32. （2分） (2018高二上·辽宁期中) 若，则下列不等式不成立的是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高一下·张家口期末) 若实数a，b∈R且a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A . a2＞b2B .C . 2a＞2bD . lg（a﹣b）＞04. （2分） (2018高二下·黄陵期末) 下列命题中的假命题是（）A . 任意x∈R，x3＞0B . 存在x∈R，sin x＝0C . 存在x∈R，lg x＝1D . 任意x∈R，2x＞05. （2分） (2019高二上·河南月考) 下列说法正确的是（）A . 命题“若．则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题是一个真命题B . 命题“负数的平方是正数”是特称命题C . 命题“设a，，若，则或”是一个真命题D . 常数数列既是等差数列也是等比数列6. （2分）已知向量=(-1,2),=(3,m),,,则“m=-6”是“”的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分）设A= ，其中a、b是正实数，且a≠b，B=﹣x2+4x﹣2，则A与B的大小关系是（）A . A≥BB . A＞BC . A＜BD . A≤B8. （2分）(2019·厦门模拟) 若满足约束条件，则的最小值为（）A . -6B . 0C . 1D . 29. （2分） (2016高一上·温州期末) 已知ax+by≤a﹣x+b﹣y（1＜a＜b），则（）A . x+y≥0B . x+y≤0C . x﹣y≤0D . x﹣y≥010. （2分） (2018高一下·张家界期末) 已知数列满足则该数列的前18项和为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高三上·成都月考) 函数在区间上的图象为（）A .B .C .D .12. （2分）某工厂第一年年产量为A，第二年增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的年平均增长率记为x，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·上海月考) 数列满足，则 ________14. （1分） (2018高一上·中原期中) 函数，若方程仅有一根，则实数的取值范围是________．15. （1分）(2020·龙岩模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动（无滑动滚动），点D恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则 ________.16. （1分） (2019高二上·开封期中) 在数列中，，，若对于任意的，恒成立，则实数的最小值为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2019高三上·上海月考) 已知向量，，且函数．（1）求函数的最大值以及取最大值时的取值集合．（2）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的面积．18. （10分） (2019高一上·宾县月考) 已知函数（为常数）是奇函数．（1）求的值与函数的定义域；（2）若当时，恒成立．求实数的取值范围．19. （10分） (2020高一下·嘉兴期中) 已知数列满足：．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：，，求数列的通项公式．20. （10分） (2017高一下·河北期末) 在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c（acosB ﹣ b）=a2﹣b2 ．（1）求角A；（2）若a= ，求c﹣b的取值范围．21. （10分） (2018高二上·六安月考) 设公差大于0的等差数列{ }的前n项和为 .已知，且，，成等比数列.记数列的前n项和为 .（1）求；（2）若对于任意的n ，k 恒成立，求实数k的取值范围.22. （10分）已知函数f（x）=（）x ，x∈[﹣1，1]，函数g（x）=f2（x）﹣2af（x）+3的最小值为h（a）．（1）求h（a）的解析式；（2）是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n2 ，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。

2020届高三数学12月月考试题文（历届）第I卷（选择题)一、单选题1．集合，集合，则（）A．B．C．D．2．已知则下列正确的是（）A．B．C．D．3．复数满足：（为虚数单位），为复数的共轭复数，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．4．函数f（x）＝x3﹣2x﹣3一定存在零点的区间是（）A．（2，+∞）B．（1，2）C．（0，1）D．（﹣1，0）5．已知三条边分别是，，，且，若当时，记满足条件的所有三角形的个数为，则数列的通项公式为（）.A．B．C．D．6．数列1，，，…，的前n项和为A．B．C．D．7．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面②在空间中，若角与角的两边分别平行，则③若直线上有一点在平面内，则在平面内④同时垂直于一条直线的两条直线平行；其中正确命题的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．08．函数的部分图象如图所示，则函数表达式为A．B．C．D．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）正视图俯视图侧视图A．B．C．D．10．函数的图象大致是（）A．B．C．D．11．已知曲线，，则下面结论正确的是（）A．把曲线向右平移个长度单位得到曲线B．把曲线向左平移个长度单位得到曲线C．把曲线向左平移个长度单位得到曲线2020届高三数学12月月考试题文（历届）第I卷（选择题)一、单选题1．集合，集合，则（）A．B．C．D．2．已知则下列正确的是（）A．B．C．D．3．复数满足：（为虚数单位），为复数的共轭复数，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．4．函数f（x）＝x3﹣2x﹣3一定存在零点的区间是（）A．（2，+∞）B．（1，2）C．（0，1）D．（﹣1，0）5．已知三条边分别是，，，且，若当时，记满足条件的所有三角形的个数为，则数列的通项公式为（）.A．B．C．D．6．数列1，，，…，的前n项和为A．B．C．D．7．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面②在空间中，若角与角的两边分别平行，则③若直线上有一点在平面内，则在平面内④同时垂直于一条直线的两条直线平行；其中正确命题的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．08．函数的部分图象如图所示，则函数表达式为A．B．C．D．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）正视图俯视图侧视图A．B．C．D．10．函数的图象大致是（）A．B．C．D．11．已知曲线，，则下面结论正确的是（）A．把曲线向右平移个长度单位得到曲线B．把曲线向左平移个长度单位得到曲线C．把曲线向左平移个长度单位得到曲线。

2020年江苏省无锡市综合高级中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数对定义域内的任意都有=，且当时其导函数满足若则( )A．B．C．D．参考答案：C2. （文）函数的零点个数为（）A. 1B. 2C. 3D.4参考答案：B3. 已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则log4f（2）的值为( )A．B．﹣C．2 D．﹣2参考答案：A【考点】幂函数图象及其与指数的关系；对数的运算性质；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】先利用待定系数法将点的坐标代入解析式求出函数解析式，再将x用2代替求出函数值．【解答】解：由设f（x）=x a，图象过点（，），∴（）a=，解得a=，∴log4f（2）=log42=．故选A．【点评】本题考查利用待定系数法求函数解析式、知函数解析式求函数值．4. 设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）A．B．C．24 D．48参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|=10，再由3|PF1|=4|PF2|，求出|PF1|=8，|PF2|=6，由此能求出△PF1F2的面积．【解答】解：F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，∵3|PF1|=4|PF2|，∴设|PF2|=x，则，由双曲线的性质知，解得x=6．∴|PF1|=8，|PF2|=6，∴∠F1PF2=90°，∴△PF1F2的面积=．故选C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．5. 已知两点，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是（）A、B、C、D、参考答案：C略6. 若是上周期为5的奇函数，且满足，则的值为A． B．1 C． D．2参考答案：C7. 安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有（）A. 360种B. 300种C. 150种D. 125种参考答案：C【分析】先把名学生分成组，再分配到个社区即可求得结果。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分. 1. 已知集合U={1， 2， 3， 4}，M={1， 2}，N={2， 3}，则＝________. 2. 若点M在直线a上，a在平面α内，则M和a，以及a与α间的关系可用集合语言表示为 ． 3. 复数(为虚数单位)的虚部是 . 4.命题:的否定是 命题（填“真”、“假”）. 5. 右图是某高中十佳歌手比赛上某一位选手得分的茎叶统计图，去掉一个 最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 . 6．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线 与的位置关系是 ． 7. 直线截得的弦AB的长为 . 8. 图中是一个算法流程图，则输出的n=________. 9. 若向量与满足，则 向量与的夹角等于 ． 10. 已知函数，其中． 若的值域是，则的取值范围是______． 11. 德国数学家洛萨·科拉茨1937年提出了一个猜想：任给一个正整数n，如果它是偶数，就将它减半；如果它是奇数，则将它乘3再加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如初始正整数为6，按照上述变换规则，得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1。

现在请你研究：如果对正整数n（首项），按照上述规则实施变换后的第八项为1（第一次出现），则n的所有可能的值为 . 12. 设tR，若x＞0时均有，则t ＝______________． 13. 在直角坐标系中， 如果两点在函数的图象上，那么称为函数的一组关于原点的中心对称点（与看作一组）.函数关于原点的中心对称点的组数为 ． 14. 设函数的定义域为，若存在非零实数t使得对于任意，有，且，则称为上的t高调函数，如果定义域为的函数是奇函数，当时，，且为上的8高调函数，那么实数的取值范围是____________. 二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本小题满分14分）设△ABC三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且． （Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若△ABC是锐角三角形，，求 的取值范围． 16. （本小题满分14分） 三棱柱中，侧棱与底面垂直，，， 分别是，的中点． （Ⅰ）求证： MN∥平面； （Ⅱ）求证：错误！未找到引用源。

江苏省无锡市2020届高三12月月考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．集合A ＝{0，xe }，B ＝{﹣1，0，1}，若AB ＝B ，则x ＝ ．2．若复数(1i)(1i)z a =+-（i 为虚数单位，a ＞0）满足2z =，则a ＝ ．3．某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45s ，黄灯时间为3s ，绿灯时间为60s ，从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为 ．4．函数()sin f x x x =+，x ∈[0，π]的单调减区间为 ． 5．执行如图所示的流程图，则输出S 的值为 ．6．设正△ABC 的边长为1，t 为任意的实数，则AB AC t +的最小值为 ． 7．已知0x >，0y >，且121x y+≤，则x y +的最小值为 ． 8．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为43π，则该三棱柱的体积是 ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22810x y x m ++-+=与直线10x +=相交于A ，B 两点．若△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为 ．10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且数列也为等差数列，则10a＝．11．如图，已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点F ，双曲线的焦距为2c ，点A 是两曲线的一个交点，若直线AF ，则双曲线的离心率为 ．第5题 第11题12．在平面凸四边形ABCD 中，AB＝CD ＝3，点E 满足DE 2EC =，且AE ＝BE ＝2．若8AE EC 5⋅=，则AD BC ⋅的值为 ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：221x y +=，圆C ：22(4)4x y -+=，动点P在直线20x +-=上的两点E ，F 之间，过点P 分別作圆O ，C 的切线，切点为A ，B ，若满足PB ≥2PA ，则线段EF 的长度为 ．14．已知函数2()2ln ,0x x af x e x x a ⎧≥⎪=⎨⎪<<⎩,．若对任意实数k ，总存在实数0x ，使得00()f x kx =成立，则实数a的取值集合为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，A 为锐角，且sinA ＝35． （1）若AC ＝5，BC ＝3，求AB 的长； （2）若tan(A ﹣B)＝12-，求tanC 的值．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AC，平面BB1C1C⊥底面ABCD，点M、F分别是线段AA1、BC的中点．（1）求证：AF⊥DD1；（2）求证：AF∥平面MBC1．17．（本小题满分14分）为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG（图中阴影部分）．以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（如图所示）．景观湖的边界曲线符合函数1(0)y x xx=+>模型．园区服务中心P在x轴正半轴上，PO＝43百米．（1）若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM，求OM的最短长度；（2）若在线段DE上设置一园区出口Q，试确定Q的位置，使通道直线段PQ最短．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，并且椭圆经过点P(1，2)，直线l 的方程为x ＝4．（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆内一点E(1，0)，过点E 作一条斜率为k 的直线与椭圆交于A ，B 两点，交直线l 于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数21()2ln ()2f x x x ax a R =+-∈． （1）当a ＝3时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个极值点，1x ，2x ，且12x x <，1x ∈(0，1]，求证：12()()f x f x -32ln 22≥-； （3）设()()ln g x f x ax =-，对于任意a ∈(0，2)时，总存在x ∈[1，2]，使()(g x k a >-2)2-成立，求实数k 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，公比为q （q ≠1）．令A ＝{}k k k a b k N*=∈，．（1）设A ＝{1，2}，①当n a n =，求数列{}n b 的通项公式；②设10a >，q ＞0，试比较n a 与n b （n ≥3）的大小？并证明你的结论．（2）问集合A 中最多有多少个元素？并证明你的结论．江苏省无锡市2020届高三12月月考数学试卷参考答案1．0 2．1 3．5124．[6π，π] 5．6480 6．2 7．3+8．．﹣11 10．19 11．23 12．2 13．314．15．（1）AB 的长为4；（2）tan C 的值为112． 16．（1）先由AB ＝AC 证AF ⊥BC ，再由平面BB 1C 1C ⊥底面ABCD 证AF ⊥平面BB 1C 1C ，从而AF ⊥C 1C ，进而AF⊥DD 1；（2）取BC 1中点N ，连接MN 、FN ，先证FN ＝∥12C 1C ，从而FN ＝∥12A 1A ，进而FN ＝∥ AM ，的平面MNFA 是平行四边形，从而AF ∥MN ，最后即可证明AF ∥平面MBC 1．17．解：（1）设1,2M x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则2222211222OM x x x x x ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2212x x+，即22x =时取等号， ∴OM（2）过P 作函数1y x x =+的切线l ，设切线l 的方程为()403y k x k ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，联立方程组431y k x y x x ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩，得()241103k k x x -++=， 令()2164109k k ∆=--=得3k =-或34k =（舍）， ∴直线l 的方程为433y x ⎛⎫=--⎪⎝⎭， 令5y =得13x =-，∴117633DQ =-=. ∴当173DQ =时，通道PQ 最短。