高中数学选修2-1教案 第三章 空间向量与立体几何 3.2立体几何中的向量方法

3.2立体几何中的向量方法（二）教学目标：掌握利用向量法解决空间中的垂直关系教学重点：证明空间中垂直关系的方法教学难点：空间中的垂直关系如何转化为向量的运算问题教学过程：一.复习引入直线的方向向量和平面的法向量二.思考分析直线的方向向量和平面的法向量可以确定直线和平面的位置．因此，可用向量方法解决线面垂直关系的判断及证明．问题1：直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线与平面有什么关系？提示：垂直．问题2：若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？提示：垂直．三.抽象概括证明垂直关系的向量方法用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系，主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键．四.例题分析及练习[例1]在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.[思路点拨]分析题意→建立空间直角坐标系→表示出A1，F，C1，E的坐标→A1F⊥C1E[精解详析]以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．设AE ＝BF ＝x ，则E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)．∴1A F u u u r＝(－x ，a ，－a )， 1C E u u u r＝(a ，x －a ，－a )． ∵1A F u u u r ·1C E u u u r ＝(－x ，a ，－a )·(a ，x －a ，－a )＝－ax ＋ax －a 2＋a 2＝0， ∴1A F u u u r ⊥1C E u u u r，即A 1F ⊥C 1E .[感悟体会] 利用向量法证明线线垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标进而求直线的方向向量． 训练题组11．设直线l 1的方向向量为a ＝(2,1，－2)，直线l 2的方向向量为b ＝(2,2，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝( )A ．1B ．－2C ．－3D ．3解析：l 1⊥l 2⇔a ⊥b ，∴2×2＋1×2＋(－2)×m ＝0，∴m ＝3. 答案：D2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AC 的中点．证明：(1)BD 1⊥AC ；(2)BD 1⊥EB 1.证明：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示 的空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为1，则B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，A (1，0,0)，C (0,1,0)， E (12，12，0)，B 1(1,1,1)．(1) 1BD u u u r＝(－1，－1,1)，AC uuu r ＝(－1，1,0)，∴1BD u u u r ·AC uuu r ＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0，∴1BD u u u r ⊥AC uuur ，∴BD 1⊥AC .(2) 1BD u u u r ＝(－1，－1,1)，1EB u u u r ＝(12，12，1)，∴1BD u u u r ·1EB u u u r ＝(－1)×12＋(－1)×12＋1×1＝0，∴1BD u u u r ⊥1EB u u u r，∴BD 1⊥EB 1.[例2] 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点． 求证：EF ⊥平面B 1AC .[思路点拨] 思路一：EF ⊥AB 1→EF ⊥B 1C →EF ⊥平面B 1AC思路二：求平面B 1AC 的法向量n EF ⊥平面B 1AC[精解详析] 法一：设AB uu u r ＝a ，AD uuu r＝c ，1AA u u u r ＝b ，则EF uuu r ＝1EB u u u r ＋1B F u u u r ＝12(1BB u u u r ＋11B D u u u u r )＝12(1AA u u u r ＋BD uuu r )＝12(1AA u u u r ＋AD uuu r －AB uu u r)＝12(－a ＋b ＋c )． ∵1AB u u u r ＝AB uu u r ＋1AA u u ur ＝a ＋b ，∴EF uuu r ·1AB u u u r ＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b )＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0.∴EF uuu r ⊥1AB u u ur ，即EF ⊥AB 1.同理，EF ⊥B 1C .又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC .法二：设正方体的棱长为2，以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2,2,1)，F (1,1,2)．∴EF uuu r＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)，1AB u u u r＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)， AC uuu r＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．∴EF uuu r ·1AB u u ur ＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，EF uuu r ·AC uuur ＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0，∴EF uuu r ⊥1AB u u u r ，EF uuu r ⊥AC uuur ，∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC .又AB 1∩AC ＝A ，∴EF ⊥平面B 1AC .法三：同法二得1AB u u u r ＝(0,2,2)，AC uuu r ＝(－2,2,0)，EF uuu r＝(－1，－1,1)．设平面B 1AC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则1AB u u u r·n ＝0，AC uuu r ·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，－2x ＋2y ＝0.取x ＝1，则y ＝1，z ＝－1，∴n ＝(1,1，－1)， ∴EF uuu r ＝－n ，∴EF uuu r∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC .[感悟体会] 法一选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明．法二、法三建立空间直角坐标系，利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的． 训练题组23．已知直线l 与平面α垂直，直线的一个方向向量为u ＝(1,3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝________.解析：∵l ⊥α，v ∥α，∴u ⊥v .∴(1,3，z )·(3，－2,1)＝0，即3－6＋z ＝0，z ＝3. 答案：34.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .证明：法一：设11A B u u u u r ＝a ，11AD u u u u r ＝b ，1A A u u u r ＝c ，则a ·b ＝0，b ·c ＝0，a ·c ＝0. 而1AO u u u r ＝1A A u u u r ＋AO uuu r ＝1A A u u u r ＋12(AB uu u r ＋AD uuu r )＝c ＋12(a ＋b )， BD uuu r ＝AD uuu r －AB uu u r＝b －a ， OG uuu r ＝OC uuu r ＋OG uuu r ＝12(AB uu u r ＋AD uuu r )＋121CC u u u r ＝12(a ＋b )－12c ，∴1AO u u u r ·BD uuu r ＝(c ＋12a ＋12b )·(b －a )＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a )＝c ·b －c ·a ＋12(b 2－a 2) ＝12(|b |2－|a |2)＝0. ∴1AO u u u r ⊥BD uuu r ，∴A 1O ⊥BD .同理可证，A 1O ⊥OG .又∵OG ∩BD ＝O ，∴A 1O ⊥平面GBD .法二：如图，取D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则O (1,1,0)，A 1(2,0,2)，G (0,2,1)，B (2,2,0)，D (0,0,0)，∴1OA u u u r ＝(1，－1,2)，OB uuu r ＝(1,1,0)，BG uuu r ＝(－2,0,1)．而1OA u u u r ·OB uuur ＝1－1＋0＝0， 1OA u u u r ·BG uuu r ＝－2＋0＋2＝0，∴1OA u u u r ⊥OB uuu r ，1OA u u u r ⊥BG uuur ，即OA 1⊥OB ，OA 1⊥BG .而OB ∩BG ＝B ，∴OA 1⊥平面GBD .[例3] 三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如右图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 的中点．证明：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.[思路点拨] 思路一：证明BC ⊥AD →证明BC ⊥AA 1→BC ⊥平面A 1AD →平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1思路二：求平面A 1AD 的法向量n 1→求平面BCC 1B 1的法向量n 2→证明n 1·n 2＝0→ 平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1[精解详析] 法一：如下图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,1，3)．∵D 为BC 的中点，∴D 点坐标为(1,1,0)．∴AD uuu r＝(1,1,0)，1AA u u u r ＝(0,0，3)，BC uuu r ＝(－2,2,0)．∴AD uuu r ·BC uuur ＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0，1AA u u u r ·BC uuu r ＝0×(－2)＋0×2＋3×0＝0. ∴AD uuu r ⊥BC uuur ，1AA u u u r ⊥BC uuu r .∴BC ⊥AD ，BC ⊥AA 1.又A 1A ∩AD ＝A ，∴BC ⊥平面A 1AD .又BC ⊂平面BCC 1B 1，∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.法二：同证法一建系后，得1AA u u u r ＝(0,0，3)，AD uuu r＝(1,1,0)，BC uuu r ＝(－2,2,0)，1CC u u u r ＝(0，－1，3)．设平面A 1AD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·1AA u u u r ＝0，n 1·AD uuu r＝0，得⎩⎨⎧3z 1＝0，x 1＋y 1＝0.令y 1＝－1，则x 1＝1，z 1＝0，∴n 1＝(1，－1,0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC uuu r ＝0，n 2·1CC u u u r ＝0，得⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0.令y 2＝1，则x 2＝1，z 2＝33，∴n 2＝(1,1，33)．∵n 1·n 2＝1－1＋0＝0，∴n 1⊥n 2.∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.[感悟体会] 证明面面垂直通常有两种方法，一是利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明；二是证明两个平面的法向量互相垂直． 训练题组35．在正棱锥P －ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△P AB 的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2.求证：平面GEF ⊥平面PBC .证明：法一：如图，以三棱锥的顶点P 为原点，以P A ，PB ，PC 所在直线分别作为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．令P A ＝PB ＝PC ＝3，则A (3,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0,3)，E (0,2,1)，F (0,1,0)，G (1,1,0)，P (0,0,0)，于是PA u u r ＝(3,0,0)，FG uuu r ＝(1,0,0)，故PA u u r＝3FG uuu r ，∴P A ∥FG .而P A ⊥平面PBC ，∴FG ⊥平面PBC .又FG ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PBC . 法二：同证法一，建立空间直角坐标系，则E (0,2,1)，F (0,1,0)，G (1,1,0)．∴EF uuu r＝(0，－1，－1)，EG uuu r ＝(1，－1，－1)．设平面EFG 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则有n ⊥EF uuu r，n ⊥EG uuu r .∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，x －y －z ＝0.令y ＝1，得z ＝－1，x ＝0，即n ＝(0,1，－1)． 显然PA u u r＝(3,0,0)是平面PBC 的一个法向量．又n ·PA u u r ＝0，∴n ⊥PA u u r ，即平面PBC 的法向量与平面EFG 的法向量互相垂直，∴平面EFG ⊥平面PBC .6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，求证：平面AED ⊥平面A 1FD 1. 证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz .设正方体棱长为1，则E (1,1，12)，D 1(0,0,1)，F (0，12，0)，A (1,0,0)．∴DA uuu r ＝(1,0,0)＝11D A u u u u r ，DE uuu r ＝(1,1，12)， 1D F u u u u r ＝(0，12，－1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面AED 和A 1FD 1的一个法向量．由⎩⎨⎧m ·DA uuu r ＝0，m ·DE uuu r ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，x 1＋y 1＋12z 1＝0.令y 1＝1，得m ＝(0,1，－2)． 又由⎩⎪⎨⎪⎧n ·11D A u u u u r＝0，n ·1D F u u u u r＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，12y 2－z 2＝0.令z 2＝1，得n ＝(0,2,1)． ∵m ·n ＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴m ⊥n ，故平面AED ⊥平面A 1FD 1. 五.课堂小结与归纳1．用向量法证明线面垂直的方法与步骤(1)基向量法⎩⎪⎨⎪⎧①设出基向量，用基向量表示直线的方向向量②找出平面内两条不共线向量并分别用基向量表示③分别证明直线的方向向量与平面内两不共线向量垂直(2)坐标法⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧方法一⎩⎪⎨⎪⎧①建立空间直角坐标系②将直线的方向向量用坐标表示③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示④分别证明直线的方向向量与平面内两向量垂直方法二⎩⎪⎨⎪⎧①建立空间坐标系②将直线的方向向量、平面的法向量分别用坐标表示④证明平面的法向量与直线的方向向量平行2．利用空间向量证明面面垂直，通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直，进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直． 六.当堂训练1．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(2,3,8)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直 D ．以上均不正确 解析：u ·v ＝(1,2，－1)·(2,3,8)＝1×2＋2×3－1×8＝0，∴u ⊥v .∴α⊥β.答案：B2．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，12，2)，则m 为( )A ．－4B ．－6C ．－8D ．8解析：∵l ∥α，平面α的法向量为(1，12，2)，∴(2，m,1)·(1，12，2)＝0.∴2＋12m ＋2＝0.∴m ＝－8.答案：C3．已知AB uu u r ＝(1,5，－2)，BC uuu r ＝(3,1，z )，若AB uu u r ⊥BC uuu r ，BP u u u r ＝(x －1，y ，－3)，且BPu u u r⊥平面ABC ，则BP u u u r等于( )A ．(337，－157，4)B ．(337，－157，－3)C ．(407，－157，4)D ．(407，157，－3)解析：由AB uu u r ·BC uuu r ＝0得3＋5－2z ＝0，∴z ＝4.又BP u u u r⊥平面ABC ， ∴⎩⎨⎧BP u u u r ·AB uu u r ＝0， BP u u u r ·BC uuur ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧x ＝407，y ＝－157.答案：B4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1DD ．AA 1解析：建立如图所示的坐标系．设正方体棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)， C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，E (12，12，1)．∴CE ―→＝(12，12，1)－(0,1,0)＝(12，－12，1)，AC uuu r ＝(－1,1,0)，BD uuu r＝(－1，－1,0)，1A D u u u r ＝(－1,0，－1)，1A A u u u r ＝(0,0，－1)．∵CE u u u r ·BD uuu r ＝(12，－12，1)·(－1，－1,0)＝－12＋12＋0＝0， ∴CE u u u r ⊥BD uuu r，∴CE ⊥BD .答案：B5．在直角坐标系Oxyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]．若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．解析：由题意得OP uuu r ⊥OQ uuu r.∴cos x ·(2cos x ＋1)－(2cos 2x ＋2)＝0.∴2cos 2x －cos x ＝0.∴cos x ＝0或cos x ＝12.又x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3.答案：π2或π36．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，且有AB uu u r ＝(2，－1，－4)，ADuuu r＝(4,2,0)，AP uu u r ＝(－1,2，－1)．给出结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP uu u r是平面ABCD的法向量；④AP uu u r ∥BD uuu r.其中正确的是________．解析：由AP uu u r ·AB uu u r＝－2－2＋4＝0知AP ⊥AB ，故①正确； 由AP uu u r ·AD uuu r＝－4＋4＋0＝0，知AP ⊥AD ，故②正确；由①②知AP uu u r是平面ABCD 的法向量，故③正确，④不正确．答案：①②③7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．求证：PC ⊥平面BEF .解：如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∵AP ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝22，四边形ABCD 是矩形，∴A ，B ，C ，D ，P 的坐标为A (0，0,0)，B (2,0,0)，C (2,22，0)，D (0,22，0)，P (0,0,2)． 又E ，F 分别是AD ，PC 的中点，∴E (0，2，0)，F (1，2，1)．∴PC uuu r (2,22，－2)，BF uuu r ＝(－1，2，1)，EF uuu r＝(1,0,1)， ∴PC uuu r ·BF uuu r ＝－2＋4－2＝0，PC uuu r ·EF uuu r ＝2＋0－2＝0，∴PC uuu r ⊥BF uuu r ，PC uuu r ⊥EF uuu r ，∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF .又BF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面BEF . 8.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点．(1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．解：以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )．设E (0，a ，e )(0≤e ≤a )．(1) 1A E u u u r ＝(－a ，a ，e －a )，BD uuu r ＝(－a ，－a,0)，1A E u u u r ·BD uuu r ＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0， ∴1A E u u u r ⊥BD uuu r，即A 1E ⊥BD .(2)设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)．∵DB uuu r ＝(a ，a,0)，1DA u u u r ＝(a,0，a )，DE uuu r ＝(0，a ，e )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0.⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0. 取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝(1，－1，ae )．由平面A 1BD ⊥平面EBD 得n 1⊥n 2.∴2－a e ＝0，即e ＝a 2.∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。

第3章空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3．1.1 空间向量及其线性运算3．1.2 共面向量定理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解空间向量与平面向量的联系与区别．(2)理解空间向量的线性运算及其性质．(3)理解共面向量定理．2．过程与方法(1)学生通过类比平面向量的学习过程了解空间向量的研究内容和方法，经历向量及其运算由平面向空间的推广，体验数学概念的形成过程．(2)通过类比平面向量基本定理，得出共面向量基本定理，并能利用共面向量基本定理证明向量共面，学会判定与证明向量共面及四点共面的方法．3．情感、态度与价值观逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知能力．●重点难点重点：了解空间向量与平面向量的联系与区别，理解空间向量的线性运算及其性质．难点：共面向量定理的理解及应用．先回顾平面向量的定义及线性运算法则，类比得出空间向量的有关定义及运算法则，并通过空间图形进行严格的理论验证，从而突出教学重点．对于共面向量定理，完全可由平面向量基本定理类比得出，重在应用其证明共面问题，通过例题，体现向量法证明线线平行、线面平行的方法与步骤，从而突破教学难点．(教师用书独具)●教学建议本节内容是第三章《空间向量与立体几何》的第一节，由于是起始节，所以这节课中也包含了章引言的内容．章引言中提到了本章的主要内容和研究方法，即类比平面向量来研究空间向量的概念和运算．向量是既有大小又有方向的量，它能像数一样进行运算，本身又是一个“图形”，所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，在很多数学问题的解决中有着重要的应用．本章要学习的空间向量，将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具．采用的教学方式是通过问题启发引导学生自主完成概念的探究过程，紧紧围绕教学重点展开教学，并从教学过程的每个环节入手，努力突破教学难点．●教学流程回顾平面向量的定义，类比得出空间向量的定义、几何表示、符号表示；找出空间向量与平面向量的区别与联系．⇒回顾平面向量的线性运算法则，得出空间向量的线性运算法则，并通过空间图形加以验证，得出空间向量线性运算满足的运算律．理解单位向量、共线向量、平行向量等概念，理解共线向量定理成立的条件及作用．⇒理解共面向量的定义，区分向量共面与直线共面的区别，理解共面向量定理的内涵，会用共面向量定理证明向量共面，从而证明立体几何问题如共面问题、线面平行问题等．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握空间向量的线性运算法则，在常见的立体图形中，灵活的应用三角形和平行四边形法则进行空间向量的运算，实现利用给定向量表示某一向量的目的．⇒通过例2及变式训练，使学生体会共线向量定理的两个应用，正向可用来证明线线平行，逆用可用来求解字母参数，体会向量法解证立体几何问题的步骤与规律．⇒通过例3及变式训练，使学生体会共面向量定理的两个应用，正向可用来证明线面平行，四点共面，逆用可用来求解字母参数，体会向量法解证立体几何问题的步骤与规律．⇒通过易错易误辨析，体会零向量的特殊性，在分析向量间关系及向量运算时，应注意零向量的特殊性．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.在空间，把既有大小又有方向的量叫做空间向量．已知空间四边形ABCD ，则AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0还成立吗？【提示】 成立．根据向量的加法法则，表示相加向量的有向线段依次首尾相接，其和为从第一个向量的首指向最后一个向量的尾，故AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝AA →＝0.向量加法可以推广到有限个向量的和，并且可用口诀记忆：首尾首尾首指向尾．【问题导思】共线向量一定是同一直线上的向量吗？【提示】 共线向量不一定是同一直线上的向量，而是表示向量的有向线段只要可以平移到同一直线上即可，因此共线向量也叫平行向量．对空间任意两个向量a，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa .如果两个向量a 、b )，使得p ＝x a ＋y b .图3－1－1如图3－1－1，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：【思路探究】 观察各式涉及的向量在图形中的位置特点，将减法运算转化为加法运算，利用向量加法的三角形法则即可化简．【自主解答】(3)设M 是线段AC ′的中点，则12AD →＋12AB →－12＝12AD →＋12AB →＋12＝12(AD →＋AB →＋)＝12＝AM →.向量，AM →如图所示．1．进行向量的线性运算，实质是进行向量求和，解题时应抓住两条主线：一是基本“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和；二是基于“数”，熟练掌握AB →＋BC →＝AC →及向量中点公式．2．用已知向量表示空间向量，实质是向量的线性运算的反复应用．图3－1－2如图3－1－2，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别为AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示：(1)AC 1→；(2)AP →； (3)A 1N →；(4)MP →＋NC 1→.【解】 (1)AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝b ＋c ＋a . (2)∵P 为D 1C 1→的中点， ∴D 1P →＝12D 1C 1→＝12AB →＝12b ，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(3)A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－AA 1→＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(4)∵MP →＝MA 1→＋A 1D 1→＋D 1P → ＝12AA 1→＋AD →＋12AB → ＝12a ＋c ＋12b . NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a .∴MP →＋NC 1→＝(12a ＋c ＋12b )＋(12c ＋a )＝32a ＋12b ＋32c .图3－1－3如图3－1－3，已知点E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，其中E ，H 是中点，F ，G是三等分点，且CF ＝2FB ，CG ＝2GD .试判断四边形EFGH 的形状．【思路探究】 证明向量EH →∥FG →且模不相等． 【自主解答】 ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →. 又∵CF →＝2FB →，CG →＝2GD →， ∴CF →＝23CB →，CG →＝23CD →，∴FG →＝CG →－CF →＝23CD →－23CB →＝23(CD →－CB →)＝23BD →， ∴BD →＝32FG →，∴EH →＝34FG →，∴EH →∥FG →，|EH →|＝34|FG →|.又点F 不在直线EH 上，∴EH ∥FG ，且EH ≠FG ， ∴四边形EFGH 是梯形．1．证明EFGH 为梯形，必须证明两点：①EH →∥FG →； ②|EH →|≠|FG →|.2．利用向量共线可证空间图形中的两直线平行，为向量法证明立体几何问题奠定了基础．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A 、B 、D 三点共线，求实数k 的值． 【解】 ∵BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2. ∴BD →＝BC →＋CD →＝(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝6e 1＋6e 2. ∵A ，B ，D 三点共线， ∴AB →＝λBD →.∴e 1＋k e 2＝λ(6e 1＋6e 2)．∵e 1，e 2是不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝6λ ，k ＝6λ ，∴k ＝1.(2012·辽宁高考)如图3－1－4，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．证明：MN ∥平面A ′ACC ′.图3－1－4【思路探究】 利用向量的线性运算得到向量MN →可以由平面A ′ACC ′内两个不共线的向量表示即可．【自主解答】 因为MN →＝MA ′→＋A ′N →，且点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点，所以MN →＝12BA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′C ′→)＝12(B ′A ′→＋AA ′→)＋12(A ′B ′→＋A ′C ′→)＝12AA ′→＋12A ′C ′→. 因为MN ⊄平面A ′ACC ′，所以MN ∥平面A ′ACC ′.1．判断三个向量共面，即利用向量的线性运算实现其中一个向量能用另外两个向量惟一表示．2．利用向量判断线面平行有两种方法：一是利用共线向量定理，找出平面内的一个向量与直线上的向量共线；二是利用共面向量定理，找出平面内不共线的两个向量能表示出直线上的向量．两种方法中注意说明直线不在平面内．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，求证：A ，B ，C ，D 四点共面． 【证明】 令λ(e 1＋e 2)＋μ(2e 1＋8e 2)＋ν(3e 1－3e 2)＝0， 则(λ＋2μ＋3ν)e 1＋(λ＋8μ－3ν)e 2＝0.∵e 1，e 2不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＋3ν＝0，λ＋8μ－3ν＝0，解得λ＝－5，μ＝1，ν＝1是其中一组解， 则AB →＝15AC →＋15AD →，∴A 、B 、C 、D 四点共面.忽略零向量导致错误下列命题：①空间任意两个向量a ，b 不一定是共面的； ②a ，b 为空间两个向量，则|a |＝|b |⇔a ＝b ； ③若a ∥b ，则a 与b 所在直线一定平行； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中错误命题的序号是________． 【错解】 ②【错因分析】 ①空间任意两个向量都是共面的．②向量的模相等时，两个向量不一定相等，还要看向量的方向．③当a ∥b 时，它们所在直线平行或重合．④当b ＝0时，a 与c 不一定平行．【防范措施】 向量的平行(共线)不具备传递性，即若a ∥b ，b ∥c ，不一定有a ∥c ，但当b 为非零向量时，向量平行(共线)具备传递性，即若b ≠0，则当a ∥b ，b ∥c 时，有a ∥c .【正解】 ①②③④1．空间向量是平面向量的拓广和延伸，空间向量的线性运算法则和运算律与平面向量具有可类比性，但空间向量比平面向量应用范围更广泛．2．共线向量定理是判定两向量共线的充要条件，利用共线向量定理可以解决两方面的问题：(1)判定两向量共线；(2)由两向量共线，求待定字母的值．3．共面向量定理是判断三向量共面的理论依据，依此可以证明三向量共面，从而证明四点共面与线面平行问题．1．在空间四边形ABCD 中，AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝______. 【解析】 AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA →＝AD →＋DA →＝0. 【答案】 02．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简式子：DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋CB 1→－CB →＝________. 【解析】 DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋CB 1→－CB →＝BA →＋BC →＋BB 1→＝BD →＋BB 1→＝BD 1→. 【答案】 BD 1→3．有下列命题：①平行于同一直线的向量是共线向量；②平行于同一平面的向量是共面向量；③平行向量一定是共面向量；④共面向量一定是平行向量．其中正确的命题有________．【解析】 “共面向量一定是平行向量”不正确，即共面向量不一定共线．①②③均正确． 【答案】 ①②③图3－1－54．如图3－1－5，在空间四边形ABCD 中，E 、F 为AB 、CD 的中点，试证EF →，BC →，AD →共面． 【证明】 空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，利用多边形加法法则可得⎭⎬⎫EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →.①又E 、F 分别是AB 、CD 的中点，故有EA →＝－EB →，DF →＝－CF →.②将②代入①中，两式相加得2EF →＝AD →＋BC →. 所以EF →＝12AD →＋12BC →，即EF →与BC →、AD →共面．一、填空题1．下列命题中真命题的个数是________． ①空间中任两个单位向量必相等；②将空间中所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个圆； ③若两个非零向量a ，b 满足a ＝k b ，则a ，b 同向； ④向量共面即它们所在的直线共面．【解析】 ①是假命题，单位向量模相等，但方向不一定相同，因此空间中任两个单位向量不一定相等； ②是假命题，将空间中所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个球面； ③是假命题，当k >0时，a ，b 同向，当k <0时，a ，b 反向；④是假命题，表示共面向量的有向线段所在的直线可以“平移”(平行移动)到同一平面，但不一定共面． 【答案】 02．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →＝________. 【解析】 B 1M →＝B 1B →＋BM →＝c ＋12BD →＝c ＋12B 1D 1→＝c ＋12b －12a ＝－12a ＋12b ＋c .【答案】 －12a ＋12b ＋c3．非零向量e 1、e 2不共线，若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则k ＝________. 【解析】 若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，λk ＝1，∴k ＝±1.【答案】 ±14．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA →上，且OM →＝2MA →，N 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b ，c 表示)【解析】 如图， MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA → ＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c .【答案】 －23a ＋12b ＋12c5．如图3－1－6，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为BD 1→的是________．图3－1－6①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→.【解析】 (A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→，(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→. 【答案】 ①② 6．有四个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ； ③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P 、M 、A 、B 共面； ④若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题是________(填序号)．【解析】 由共面向量定理知，①真；若p 与a ，b 共面，当a 与b 共线且p 与a 和b 不共线时，就不存在实数组(x ，y )使p ＝x a ＋y b 成立，故②假．同理③真，④假．【答案】 ①③7．在下列各式中，使P ，A ，B ，C 四点共面的式子的序号为________． ①OP →＝OA →－OB →－OC →； ②OP →＝17OA →＋14OB →＋12OC →；③PA →＋PB →＋PC →＝0； ④OP →＋OA →＋OB →＋OC →＝0； ⑤OP →＝12OA →－OB →＋32OC →.【解析】 根据四点共面的充要条件，易知①②④不适合，③⑤适合． 【答案】 ③⑤8．(2013·平遥高二检测)已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ＝________.【解析】 如图，取AB 的中点D ， OG →＝OC →＋CG → ＝OC →＋23CD →＝OC →＋23·12(CA →＋CB →)＝OC →＋13[(OA →－OC →)＋(OB →－OC →)]＝13OA →＋13OB →＋13OC →. ∴OA →＋OB →＋OC →＝3OG →. 【答案】 3 二、解答题图3－1－79．如图3－1－7，已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，M 是线段CC ′的中点，G 是线段AC ′的三等分点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)AB →＋BC →； (2)AB →＋AD →＋AA ′→； (3)AB →＋AD →＋12CC ′→；(4)13(AB →＋AD →＋AA ′→)．【解】 (1)AB →＋BC →＝AC →.(2)AB →＋AD →＋AA ′→＝AC →＋AA ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→. (3)AB →＋AD →＋12CC ′→＝AB →＋BC →＋CM →＝AC →＋CM →＝AM →.(4)13(AB →＋AD →＋AA ′→)＝13AC ′→＝AG →. 向量AC →，AC ′→，AM →，AG →如图所示．10．如图3－1－8所示，四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形且不共面，M 、N 分别是AC 、BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．图3－1－8【解】 ∵M 、N 分别是AC 、BF 的中点，四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →，MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →， ∴CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)＝2MN →， ∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．图3－1－911．如图3－1－9，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，AB ＝2EF ，H 为BC 的中点．求证：FH ∥平面EDB . 【证明】 因为H 为BC 的中点，所以FH →＝12(FB →＋FC →)＝12(FE →＋EB →＋FE →＋ED →＋DC →)＝12(2FE →＋EB →＋ED →＋DC →)．因为EF ∥AB ，CD ∥AB ，且AB ＝2EF ，所以2FE →＋DC →＝0，所以FH →＝12(EB →＋ED →)＝12EB →＋12ED →.因为EB →与ED →不共线，由共面向量定理知，FH →，EB →，ED →共面． 因为FH ⊄平面EDB ，所以FH ∥平面EDB .(教师用书独具)已知A 、B 、M 三点不共线，对于平面ABM 外的任一点O ，确定下列各条件下，点P 是否与A 、B 、M 一定共面． (1)OB →＋OM →＝3OP →－OA →； (2)OP →＝4OA →－OB →－OM →.【思路探究】 判断点P 是否在平面MAB 内，可先看MP →能否用向量MA →、MB →表示．当MP →能用MA →、MB →表示时，点P 位于平面MAB 内，否则点P 不在平面MAB 内．【自主解答】 (1)原式可变形为 OP →＝OM →＋(OA →－OP →)＋(OB →－OP →) ＝OM →＋PA →＋PB →，∴OP →－OM →＝PA →＋PB →， ∴PM →＝－PA →－PB →，∴P 与M 、A 、B 共面． (2)原式可变形为 OP →＝2OA →＋OA →－OB →＋OA →－OM →＝2OA →＋BA →＋MA →， ∴AP →＝－AO →－AB →－AM →，表达式中还含有AO →， ∴P 与A 、B 、M 不共面．1．解答本题中注意构造以P 、A 、B 、M 中某一点为起点，另三点为终点的三个向量来判断此三向量是否共面，若共面又共起点，此四点必共面，否则不共面．2．要证四点共面，可先作从同一点出发的三个向量，由向量共面推知点共面，应注意待定系数法的应用．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →、MB →、MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． 【解】 (1)∵OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，∴13(OA →－OM →)＋13(OB →－OM →)＋13(OC →－OM →)＝0， ∴MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴MA →＝－MB →－MC →，∴MA →、MB →、MC →三个向量是共面向量． (2)由(1)知MA →、MB →、MC →三个向量共面， 又有共同起点M ，所以M 、A 、B 、C 四点共面， 即点M 在平面ABC 内．3．1.3 空间向量基本定理 3．1.4 空间向量的坐标表示(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1)掌握空间向量基本定理，能恰当地选择基底，用基向量表示空间任一向量． (2)理解空间向量的正交分解，理解向量坐标的意义．(3)掌握向量加法、减法、数乘的坐标运算法则，会应用向量坐标进行线性运算，能判断向量共线． 2．过程与方法(1)由平面向量基本定理，类比得出空间向量基本定理，体会定理的条件及内涵；会在具体空间图形中，选取基底表示空间向量． (2)类比平面向量坐标运算法则，得出空间向量坐标运算法则，并运用这些法则进行向量坐标线性运算． (3)运用向量坐标进行向量共线的判定与应用． 3．情感、态度与价值观能过教师的引导，学生探究，激发学生求知欲望和学习兴趣，使学生具备探究、归纳、应用的能力，形成严谨的思维习惯． ●重点难点重点：用基底表示空间向量，向量线性运算的坐标表示． 难点：用基底表示空间向量．教学时，应采用类比思维的方法，先回顾平面向量基本定理及坐标表示，得出空间向量基本定理及坐标表示，降低问题的难度，在具体的常见几何体(正方体、三棱锥、棱柱)中，展示用基底表示空间向量的方法与过程，突出本节的重点，化解教学的难点．(教师用书独具)●教学建议空间向量基本定理是向量法研究立体几何问题的基石，是本章的重中之重，空间向量的坐标表示及坐标运算，是坐标法研究立体几何的工具．因此本节课是全章内容的工具性内容，为学生学习立体几何提供新角度、新手段、新方法．由于学生已学习了平面向量基本定理及坐标运算，因而本节宜采用类比教学法，多发挥学生自主探究能力，通过回顾→类比→完善→应用的环节获取新知识，应用新知识．除使用常规的教学手段外，还将使用多媒体投影和计算机辅助教学，增加教学的直观性和趣味性．●教学流程回顾平面向量基本定理，类比得出空间向量基本定理，强调基向量的不共面性，线性表示的惟一性，常见几何体中基底的一般选法，定义单位正交基，推导空间向量基本定理的推论 .⇒回顾平面向量的坐标表示，得出空间向量的坐标表示，理清向量坐标的实际意义，向量坐标与点坐标的关系．⇒回顾平面向量线性运算的坐标表示，得出空间向量的线性运算的坐标表示，向量坐标与起始点坐标的关系，共线向量的坐标条件．⇒通过例1及变式训练，让学生掌握基底的选取条件，即不共面向量，加深对基底概念的理解．⇒通过例2及变式训练，让学生掌握如何选取基向量，如何用基底表示某一向量，在具体操作中运用向量的线性运算法则．⇒通过例3及变式训练，让学生掌握向量坐标运算法则，掌握如何运用起点、终点坐标表示向量坐标．⇒通过例4及变式训练，让学生掌握向量共线的坐标条件的应用，由此判定向量共线或求值．⇒通过易错易误辨析，让学生分清向量共线与向量同向的区别，以免概念混淆，解题出错．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.p＝x e1＋y e2＋z e3.如果三个向量e1，e2，e3如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i ，j ，k }表示．设O ，A ，B ，C 是不共面的四点，则对空间任意一点P ，都存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使得OP ＝xOA →＋yOB →＋zOC →.【问题导思】空间直角坐标系中，点的坐标与向量坐标有何联系与区别？【提示】 在空间直角坐标系中，当起点为原点时，向量坐标就是其终点坐标；当起点不是原点时，向量坐标是终点坐标减去起点坐标．所以向量坐标不是点的坐标，而是终点坐标与起点坐标的差值．在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点坐标就是向量a 的坐标．【问题导思】空间向量的坐标运算与几何运算相比较，有哪些好处？【提示】 坐标运算实际上是实数间的运算，运算起来更为简捷方便． 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量OD →＝2e 1－e 2＋3e 3；若不能，请说明理由．【思路探究】 判断{OA →，OB →，OC →}能否作为基底，关键是判断它们是否共面，一般假设其共面，利用共面向量定理分析；求OD →的表示式，设OD →＝pOA →＋qOB →＋zOC →，利用待定系数法求系数．【自主解答】 假设OA →、OB →、OC →共面，由向量共面的充要条件知存在实数x 、y 使OA →＝xOB →＋yOC →成立． ∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3，∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解，即不存在实数x 、y 使OA →＝xOB →＋yOC →， ∴OA →，OB →，OC →不共面．故{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底． 设OD →＝pOA →＋qOB →＋zOC →，则有2e 1－e 2＋3e 3＝p (e 1＋2e 2－e 3)＋q (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋z (e 1＋e 2－e 3)＝(p －3q ＋z )e 1＋(2p ＋q ＋z )e 2＋(－p ＋2q －z )e 3 ∵{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底，∴⎩⎪⎨⎪⎧p －3q ＋z ＝2，2p ＋q ＋z ＝－1，－p ＋2q －z ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝17，q ＝－5，z ＝－30，∴OD →＝17OA →－5OB →－30OC →.1．判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助，进行判断．2．求一向量在不同基底下的表示式(或坐标)，一般采用待定系数法，即设出该向量在新基底下的表示式(或坐标)，转化为在原基底下的表示式，对比系数．若{a ，b ，c }是空间的一个基底．试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为空间的一个基底．【解】 假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )成立，即a ＋b ＝μa ＋λb ＋(λ＋μ)c . ∵{a ，b ，c }是空间的一个基底， ∴a ，b ，c 不共面． ∴⎩⎪⎨⎪⎧μ＝1λ＝1λ＋μ＝0，此方程组无解．即不存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )成立，∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面． 故{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能作为空间的一个基底．图3－1－10如图3－1－10，四棱锥P －OABC 的底面为矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC ，PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF →，BE →，AE →，EF →.【思路探究】选取基向量→观察空间图形→利用线性运算→用基底表示向量【自主解答】 连结OB ，则BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(－OA →－OC →＋OP →)＝ －12a －12b ＋12c . BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12(CO →＋OP →)＝－a ＋12(－b ＋c )＝－a －12b ＋12c .AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12PC →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c .EF →＝12CB →＝12OA →＝－12a .1．空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是惟一的． 2．用基底来表示空间中的向量是用向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则以及平行四边形法则的应用．图3－1－11如图3－1－11，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，＝c ，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AM →；(2)AN →.【解】 (1)AM →＝12(AC →＋)＝12(AB →＋AD →＋AD →＋)＝12(a ＋2b ＋c )＝12a ＋b ＋12c . (2)AN →＝12(＋)＝12[(AB →＋AD →＋)＋(AD →＋)]＝12(AB →＋2AD →＋2)＝12a ＋b ＋c .已知A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求适合下列条件的点P 的坐标．(1)OP →＝12(AB →－AC →)；(2)AP →＝12(AB →－AC →)．【思路探究】 利用向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标求出AB →，AC →，然后进行坐标运算得到OP →，AP →，从而可确定点P 的坐标． 【自主解答】 AB →＝(2,6，－3)，AC →＝(－4,3,1)．(1)OP →＝12(AB →－AC →)＝12(6,3，－4)＝(3，32，－2)，则点P 的坐标为(3，32，－2)．(2)设点P 的坐标为(x ，y ，z )，则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)．由(1)知，AP →＝12(AB →－AC →)＝(3，32，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3y ＋1＝32z －2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y＝12z ＝0，则点P 的坐标为(5，12，0)．1．牢记运算法则是正确进行向量线性运算的关键．2．涉及已知点的坐标进行向量运算时，注意利用终点的坐标减去起点的坐标得到向量的坐标，这是向量运算的前提．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，求AB →，AC →及2AB →＋3AC →. 【解】 AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)，2AB →＋3AC →＝2(1,1,0)＋3(－1,0,2)＝(2,2,0)＋(－3，0,6)＝(－1,2,6)．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,2)，求满足DB ∥AC ，DC ∥AB 的点D 的坐标．【思路探究】 由已知条件DB ∥AC ，DC ∥AB ，转化为向量平行，用共线向量定理及空间向量平行的坐标表示，可求得D 点的坐标． 【自主解答】 设D (x ，y ，z )，则DB →＝(－x,1－y ，－z )，AC →＝(－1,0,2)， 由DB ∥AC ，设DB →＝λAC →，即(－x,1－y ，－z )＝(－λ，0,2λ)， 则⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝－λ，1－y ＝0，－z ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，y ＝1，z ＝－2λ，得D (λ，1，－2λ)．∴DC →＝(－λ，－1,2＋2λ)，AB →＝(－1,1,0)． 又DC →∥AB →，设DC →＝μAB →，即(－λ，－1,2＋2λ)＝(－μ，μ，0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧－λ＝－μ，－1＝μ，2＋2λ＝0.解得λ＝μ＝－1.∴点D 的坐标为(－1,1,2)．1．本例中，求点D 的坐标，主要是利用两向量平行的坐标条件，列出关于点D 的坐标的方程组，通过解方程组求得．2．两向量平行的充要条件有两个：①a ＝λb ，②⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2y 1＝λy 2z 1＝λz 2，依此，既可以判定两向量共线，也可以通过两向量平行求待定字母的值．设a ＝(2,3,0)，b ＝(－3，－2,1)，计算2a ＋3b,5a －6b ，并确定λ，μ的值，使λa ＋μb 与向量b 平行． 【解】 ∵a ＝(2,3,0)，b ＝(－3，－2,1)，∴2a ＋3b ＝2(2,3,0)＋3(－3，－2,1)＝(4,6,0)＋(－9，－6,3)＝(－5,0,3)， 5a －6b ＝5(2,3,0)－6(－3，－2,1)＝(10,15,0)－(－18，－12,6)＝(28,27，－6)． ∵λa ＋μb ＝λ(2,3,0)＋μ(－3，－2,1)＝(2λ－3μ，3λ－2μ，μ)，且(λa ＋μb )∥b ， ∴2λ－3μ－3＝3λ－2μ－2＝μ1. ∴λ＝0，μ∈R ，即λ＝0，μ∈R 时，λa ＋μb 与b 平行.误解“两向量平行”和“两向量同向”已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，求x ，y 的值．【错解】 由题意知a ∥b ，则x 1＝x 2＋y －22＝y3，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ①x 2＋y －2＝2x ②，把①代入②得x 2＋x －2＝0，解得x ＝－2或x ＝1.当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3.【错因分析】 “两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．错解忽略了“同向”这一条件的限制，扩大了范围． 【防范措施】 由于向量具有平移不变性，因此有关向量的平行问题与直线的平行是有区别的，并且两向量同向与向量平行也是不等价的，向量平行则两向量可能同向也可能反向，因此，解决这类问题时要特别注意限制条件．【正解】 由题意知a ∥b ，则x 1＝x 2＋y －22＝y3，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ①x 2＋y －2＝2x ②，把①代入②得x 2＋x －2＝0，解得x ＝－2或x ＝1.当x＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，向量a 与b 反向，不符合题意，故舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，向量a 与b 同向，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3.1．用基底表示空间几何体中一向量时，应结合立体图形，根据空间向量线性运算法则，写出要求的向量表达式． 2．建立空间直角坐标系后，空间向量都有惟一的坐标(x ，y ，z )，两向量间的线性运算也有相应的坐标运算法则．3．对于两向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，a ∥b ⇔a ＝λb ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2y 1＝λy 2z 1＝λz 2(b ≠0)，依此可以判定两向量平行或由两向量平行求待定字母的值.1．下列说法正确的是________．①任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底； ②不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底； ③单位正交基底中的基向量模为1，且互相垂直；④不共面且模为1的三个向量可构成空间的单位正交基底．【解析】 根据基底的有关概念可知：任何三个不共面的向量都可以构成一个基底，当这三个基向量是模为1且两两垂直的向量时，称此基底为单位正交基底，故有③正确，①②④错误．【答案】 ③图3－1－122．如图3－1－12，已知平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′中，OA →＝a ，OC →＝c ，＝b ，D 是四边形OABC 的中心，则OD →＝________.【解析】 结合图形，充分利用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则，利用基向量a 、b 、c 表示OD →.仔细观察会发现OD →与OA →、OC →是共面向量，故它们三者之间具有线性关系，即可得到答案．【答案】 12a ＋12c3．已知a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(－1,2，－1)，则b ＝______. 【解析】 设b ＝(x ，y ，z )，则a ＋b ＝(x ＋1，y －2，z ＋1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－1，y －2＝2，z ＋1＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4，z ＝－2.∴b ＝(－2,4，－2)． 【答案】 (－2,4，－2)4．设a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k . 【解】 法一 ∵a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．∴k a ＋b ＝k (1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)．a －3b ＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(7，－4，－16)．∵(k a ＋b )∥(a －3b )． ∴k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16.∴k ＝－13.法二 ∵(k a ＋b )∥(a －3b )． ∴k a ＋b ＝λ(a －3b )．∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－3λ，∴k ＝－13.一、填空题1．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量，命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的______条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)．【解析】 命题q 中，{a ，b ，c }为空间的一个基底，则根据基底的定义，可知a ，b ，c 为非零向量，且为不共面向量．故q ⇒p ，pD⇒/q ，所以命题p 是命题q 的必要不充分条件．【答案】 必要不充分2．设向量a ，b ，c 不共面，则下列可作为空间的一个基底的是________．①{a ＋b ，b －a ，a }； ②{a ＋b ，b －a ，b }； ③{a ＋b ，b －a ，c }; ④{a ＋b ＋c ，a ＋b ，c }．【解析】 因为只有③中三个向量不共面，所以可以作为一个基底． 【答案】 ③3．已知{i ，j ，k }为空间的一个基底，若a ＝i －j ＋k ，b ＝i ＋j ＋k ，c ＝i ＋j －k ，d ＝3i ＋2j －4k ，又d ＝α a ＋β b ＋γc ，则α＝________，β＝________，γ＝________.【解析】 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝3－α＋β＋γ＝2α＋β－γ＝－4，解之得：⎩⎪⎨⎪⎧α＝12β＝－1γ＝72.【答案】 12 －1 72图3－1－134．如图3－1－13，已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 是底面A ′B ′C ′D ′的中心，a ＝12AA ′→，b ＝12AB →，c ＝13AD →，AE →＝x a ＋y b ＋z c ，则x ，y ，z 的值分别为x ＝________，y ＝________，z ＝________.【解析】 由题意知AA ′→，AB →，AD →为不共面向量，而AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′D ′→)＝AA ′→＋12AB →＋12AD →＝2a ＋b ＋32c ，∴x ＝2，y ＝1，z ＝32.【答案】 2 1 325．已知A (3,2,1)，B (－4,5,3)，C (－1,2,1)，则2AB →＋5AC →的坐标为________． 【解析】 2AB →＋5AC →＝2(－7,3,2)＋5(－4,0,0) ＝(－14－20,6＋0,4＋0)＝(－34,6,4)． 【答案】 (－34,6,4)6．(2013·平遥高二检测)已知a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝ (6,2μ－1,2)，a ∥b ，则λ与μ的值分别为________．。

高二数学选修2－1 第三章 第1节 空间向量及其运算人教实验B 版（理）【本讲教育信息】一、教学内容：选修2—1 空间向量及其运算二、教学目标：1．理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。

2．理解共线向量定理和共面向量定理及其意义。

3．掌握空间向量的数量积的计算，掌握空间向量的线性运算，掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系；掌握夹角和距离公式。

三、知识要点分析： 1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）b a AB OA OB+=+=b a-=-=)(R a OP ∈=λλ运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+（2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．共线向量定理：对于空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .4．共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，那么向量p 与向量b a ,共面的充要条件是存在有序实数组),(y x ，使得b y a x p +=。

5．空间向量基本定理：如果三个向量c ,b ,a 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使c z b y a x p ++= 6．夹角定义：b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作b OB a OA ==,，则AOB ∠叫做向量a 与向量b 的夹角，记作><b a , 规定：π>≤≤<b a ,0特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果90b ,a >=<，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。

第三章空间向量与立体几何空间向量及其运算（一）教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量向量是怎样表示的呢［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢相等的向量又是怎样表示的呢［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：AB OA OB +==a +b ， OA OB AB -=（指向被减向量），=OP λa )(R ∈λ［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢请大家验证这些运算律．［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：⑴加法交换律：a + b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 说明：平行四边形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD —A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．解：（见课本P27）说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．Ⅲ.巩固练习课本P92练习Ⅳ.教学反思平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．Ⅴ.课后作业⒈课本P106 1、2、⒉预习课本P92～P96，预习提纲：⑴怎样的向量叫做共线向量⑵两个向量共线的充要条件是什么⑶空间中点在直线上的充要条件是什么⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式⑸怎样的向量叫做共面向量⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么板书设计：教学后记：空间向量及其运算（2）一、课题：空间向量及其运算（2）二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用． 四、教学过程：（一）复习：空间向量的概念及表示；（二）新课讲解：1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

人教版高中选修2-1第三章空间向量与立体几何课程设计立体几何的重要性立体几何是高中数学中的一个重要章节，它是线性代数和微积分等高等数学学科的基础，是一门灵活应用数学知识和推理思维去解决实际问题的课程。

在将来的学习和工作中，对于工程科学、物理科学、计算机科学以及其他领域的学习和工作都具有重要的应用价值和推广意义。

本章主要内容本章主要分为空间向量和立体几何两个部分。

在空间向量中，主要学习空间向量及其线性运算，空间向量的共面条件和空间向量的数量积、向量积等。

在立体几何部分，主要学习平面与空间、立体几何元素、空间直线和空间平面等。

通过以上学习，学生将会在几何学上打下坚实的基础，为未来的学习和工作奠定基础。

课程设计教学目标1.熟练掌握空间向量及其线性运算。

2.掌握空间向量的共面条件和空间向量的数量积、向量积等。

3.熟练掌握平面与空间、立体几何元素、空间直线和空间平面等。

4.培养学生的空间想象能力和空间思维能力。

1.空间向量的定义和线性运算•向量的概念•向量的表示法•向量的线性运算2.空间向量的共面条件和数量积•空间向量的共面条件•向量的数量积•向量投影的概念和计算方法3.空间向量的向量积•向量积的概念和性质•向量积的计算方法和几何意义4.立体几何元素和空间直线•立体几何元素的概念和表示法•空间直线的概念、表示和判定5.空间平面和空间曲面•平面的概念、表示和判定•空间曲面的概念、表示和判定课堂练习1.将向量$-\\vec{a}+\\vec{b}-\\vec{c}+4\\vec{d}$表示成向量$\\vec{x}+\\vec{y}-\\vec{z}+\\vec{u}$的形式。

2.已知$\\vec{a}=2\\vec{i}+\\vec{j}-\\vec{k}$，$\\vec{b}=3\\vec{i}+\\vec{j}+2\\vec{k}$，求向量$\\vec{a}$与$\\vec{b}$的数量积和向量积。

3.在以A(1,2,−1)，B(2,3,4)，C(1,−1,0)为顶点的三角形ABC中，求向量$\\overrightarrow{AB}$和$\\overrightarrow{AC}$的向量积。

§3.2 立体几何中的向量方法知识点一用向量方法判定线面位置关系(1)设a、b分别是l1、l2的方向向量，判断l1、l2的位置关系：①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)．②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)．(2)设u、v分别是平面α、β的法向量，判断α、β的位置关系：①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，12 -)．②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)．(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，判断直线l与α的位置关系．①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)．②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)．解(1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，∴a＝－13b，∴a∥b，∴l1∥l2.②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.(2)①∵u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，12 -)，∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－35v，∴u∥v，∴α∥β.(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，∴u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a，∴l⊂α或l∥α.②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，∴u＝－14a，∴u∥a，∴l⊥α.知识点二利用向量方法证明平行问题如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.证明方法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M (0,1，12)，N (12,1,1)， D(0,0,0)，A 1(1,0,1)，B(1,1,0)， 于是MN =（12，0，12）， 设平面A 1BD 的法向量是 n=（x ，y ，z ）. n ＝(x ，y ，z)．则n ·DB ＝0，得0,0,x z x y +=⎧⎨+=⎩取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1.∴n ＝(1，－1，－1)．又 MN ·n ＝ (12,0，12)·(1，－1，－1)＝0， 方法二 ∵MN = 111111122C N C M C B C C -=-111111()22D A D D DA =-=∴MN ∥1DA ，又∵MN ⊄平面A 1BD.∴MN ∥平面A 1BD.知识点三 利用向量方法证明垂直问题在正棱锥P —ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△PAB 的重心，E 、F分别为BC 、PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2.(1)求证：平面GEF ⊥平面PBC ；(2)求证：EG 是PG 与BC 的公垂线段． 证明 (1)方法一如图所示，以三棱锥的顶点P 为原点，以PA 、PB 、PC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．令PA ＝PB ＝PC ＝3，则A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0)． 于是PA ＝(3,0,0)，FG ＝(3,0,0)，故 PA ＝3FG ，∴PA ∥FG .而PA ⊥平面PBC ，∴FG ⊥平面PBC ，又FG ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PBC. 方法二 同方法一，建立空间直角坐标系，则 E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)．EF ＝(0，－1，－1)，EG ＝(0，－1，－1)，设平面EFG 的法向量是n ＝(x ，y ，z)， 则有n ⊥EF ，n ⊥PA ，∴0,0,y z x y z +=⎧⎨--=⎩令y ＝1，得z ＝－1，x ＝0，即n ＝(0,1，－1)．而显然PA =（3，0，0）是平面PBC 的一个法向量.这样n ·PA = 0,∴n ⊥PA即平面PBC 的法向量与平面EFG 的法向量互相垂直，∴平面EFG ⊥平面PBC. （2）∵EG =（1， -1， -1），PG =（1，1，0），BC =（0， -3，3），∴EG ·PG =1-1= 0，EG ·BC =3-3 = 0，∴EG ⊥PG ，EG ⊥BC ， ∴EG 是PG 与BC 的公垂线段.知识点四 利用向量方法求角四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PA 与平面ABCD 所成的角为60°，在四边形ABCD 中，∠D ＝∠DAB ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B ，P 的坐标； (2)求异面直线PA 与BC 所成角的余弦值．解 (1)如图所示，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D —xyz ，∵∠D ＝∠DAB ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2， ∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)．由PD ⊥面ABCD 得∠PAD 为PA 与平面ABCD 所成的角． ∴∠PAD ＝60°.在Rt △PAD 中，由AD ＝2，得PD ＝23． ∴P(0,0,23)． （2）∵PA ＝(2,0，－23)， BC =（-2， -3，0）∴cos 〈PA ,BC 〉=1313PA BC PA BC⋅=-∴PA与BC所成角的余弦值为1313．正方体ABEF－DCE′F′中，M、N分别为AC、BF的中点(如图所示)，求平面MNA与平面MNB所成二面角的余弦值．解取MN的中点G，连结BG，设正方体棱长为1.方法一∵△AMN，△BMN为等腰三角形，∴AG⊥MN，BG⊥MN.∴∠AGB为二面角的平面角或其补角．∵AG=BG=64,,AB AG GB=+，设〈AG，GB〉=θ，AB2＝AG 2＋2AG·GB＋GB2，∴1＝(64)2＋2×64×64cosθ＋(64)2.∴cosθ＝13，故所求二面角的余弦值为13．方法二以B为坐标原点，BA，BE，BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B－xyz则M(12，0，12)，N (12,12,0)，中点G(12，14，14)，A(1,0,0)，B(0,0,0)，由方法一知∠AGB为二面角的平面角或其补角．∴GA＝(12，－14，－14)，GB＝(12，－14，－14)，∴ cos<GA, GB>=GA GBGA GB⋅=11833388-=-⨯,故所求二面角的余弦值为13．方法三 建立如方法二的坐标系，∴110,0,AM n AN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即110,22110,22x z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩取n 1＝(1,1,1)．同理可求得平面BMN 的法向量n 2＝(1，－1，－1)． ∴cos 〈n 1，n 2〉＝1212n n n n ⋅1333==-⨯,故所求二面角的余弦值为13知识点五 用向量方法求空间的距离已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离．解如图所示，以C 为原点，CB 、CD 、CG 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系C －xyz.由题意知C(0,0,0)，A(4,4,0)， B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(4,2,0)， F(2,4,0)，G(0,0,2)．BE ＝(0,2,0)，BF ＝(－2,4,0)，设向量BM ⊥平面GEF ，垂足为M ，则M 、G 、E 、F 四点共面，故存在实数x ，y ，z ，使BM = x BE + y BF + z BG ，即BM = x （0，2，0）+y （-2，4，0）+z （-4，0，2） =（-2y -4z ，2x+4y ，2z ）.由BM ⊥平面GEF ，得BM ⊥GE ,BM ⊥EF ，于是BM ·GE ＝0，BM ·EF ＝0， 即(24,24,2)(4,2,2)0,(24,24,2)(2,2,0)0,y x x y z y z x y z --+⋅-=⎧⎨--+⋅-=⎩即50,320,1,x zx y zx y z-=⎧⎪+++⎨⎪++=⎩，解得15,117,113,11xyz⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩∴BM＝(－2y－4z,2x＋4y,2z)＝226,,111111⎛⎫⎪⎭⎝∴|BM|＝222226()()()111111++21111=即点B到平面GEF的距离为21111．考题赏析(安徽高考)如图所示，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝4π，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．(1)求异面直线AB与MD所成角的大小；(2)求点B到平面OCD的距离．解作AP⊥CD于点P.如图，分别以AB、AP、AO所在直线为x、y、z轴建立平面直角坐标系．A(0,0,0)，B(1,0,0)，P (0，22，0)，D (－22，22，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)．(1)设AB与MD所成角为θ，∵AB＝(1,0,0)，MD＝(－22，22，－1)，∴cosθ =12AB MDAG MD⋅=⋅．∴θ＝3π．∴AB与MD所成角的大小为3π．（2）∵OP=（0,22，2-），OD=（-22，22，2-）,∴设平面OCD的法向量为n = ( x, y , z ),则n·OP=0，n·OD= 0.得220,22220,22y zx y z⎧-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩取z=2，解得n = (0,4,2).设点B到平面OCD的距离为d,则d为OB在向量n上的投影的绝对值.∵OB=（1，0，-2），∴d＝OB nn⋅23=,∴点B到平面OCD的距离为23,1．已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是( ) A．(33，33，－33) B．(33，－33，33)C．(－33，33，33) D．(－33，－33，－33)答案 DAB＝(－1,1,0)，是平面OAC的一个法向量．AC＝(－1,0,1)，BC＝(0，－1,1)设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)∴0,0,x yx z-+=⎧⎨-+=⎩令x＝1，则y＝1，z＝1 ∴n＝(1,1,1)单位法向量为：nn±＝± (33,33，33)．2．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是( )A．60°B．45°C．30°D．90°答案 B3．设l1的方向向量a＝(1,2，－2)，l2的方向向量b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝( )A．1 B．2 C．12D．3答案 B解析因l1⊥l2，所以a·b＝0，则有1×(－2)＋2×3＋(－2)×m＝0，∴2m＝6－2＝4，即m＝2.4．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则( ) A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确答案 A解析因v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.5．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是( )A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析设〈AB，CD〉=θ，AB·CD=（AC+CD+DB·CD= |CD|2= 1，cosθ=12AB CDAB CD⋅=,所以θ=60°6．若异面直线l1、l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )A．25-B．25C．－255D．55答案 B解析设异面直线l1与l2的夹角为θ，则cosθ＝a ba b⋅⋅(1)44255416-⨯==⨯⋅+7．已知向量n＝(6,3,4)和直线l垂直，点A(2,0,2)在直线l上，则点P(－4,0,2)到直线l 的距离为________．答案366161， 解析PA =（6，0，0），因为点A 在直线l 上， n 与l 垂直，所以点P 到直线l 的距离为2223636616161634PA n⋅==++ 8．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．答案3π或23π，解析 设n 1＝(1,0，－1)，n 2＝(0，－1,1) 则cos 〈n 1，n 2〉＝100(1)(1)11222⨯+⨯-+-⨯=-⋅〈n 1，n 2〉＝23π．因平面α与平面β所成的角与〈n 1，n 2〉相等或互补，所以α与β所成的角为3π或23π．9．已知四面体顶点A(2,3,1)、B(4,1，－2)、C(6,3,7)和D(－5，－4,8)，则顶点D 到平面ABC 的距离为________．答案 11解析 设平面ABC 的一个法向量为n =（x,y,z ）则0,0,n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ()()x,y,z (2,2,3)0,x,y,z (4,0,6)0,⋅--=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩ 2230,460,x y z x z --=⎧⎨+=⎩2,2,3y x z x =⎧⎪⇒⎨=-⎪⎩令x=1, 则n = (1,2, 23-),AD =（-7，-7，7）故所求距离为14714377311374149AD nn---⋅==⨯=++,10．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于F.(1)证明：PA ∥平面BDE ； (2)证明：PB ⊥平面DEF.证明 (1)如图建立空间直角坐标系，设DC ＝a ，AC ∩BD ＝G ，连结EG ，则A(a,0,0)，P(0,0，a)，C(0，a,0)，E (0，2a ，2a )，G (2a ，2a，0)． 于是PA =（a ，0， -a ），EG =（2a ，0，2a-）,∴PA = 2EG ，∴PA ∥EG .又EG ⊂平面DEB.PA ⊄平面DEB.∴PA ∥平面DEB.(2)由B(a,a,0),得PB =(a, a, -a), 又DE =（0, 2a ,2a）,∵PB ·DE =22a 20,2a -= ∴PB ⊥DE.又EF ⊥PB ，EF ∩DE=E ，∴PB ⊥平面EFD.11．如图所示，已知点P 在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC ′所成角的大小；(2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小． 解如图所示，以D 为原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系D —xyz. 则DA =（1，0，0），'CC = (0,0,1).连结BD,B ′D ′. 在平面BB ′D ′D 中,延长DP 交B ′D ′于H. 设DH = (m,m,1) (m>0),由已知〈DH ,DA 〉= 60°, 由DA ·DH = |DA ||DH |cos 〈DH ,DA 〉,可得2m =221m + 解得m =22，所以DH ＝(22，22，1)， (1) 因为cos 〈DH ,'CC 〉= 220011222212⨯+⨯+⨯=⨯ (2) 所以〈DH ,'CC 〉= 45°, 即DP 与CC ′所成的角为45°.(2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC = (0,1,0).因为cos 〈DH ,DC 〉= 220011222212⨯+⨯+⨯=⨯ 所以〈DH ,DC 〉= 60°,可得DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°.12. 如图，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD=2，∠BAD=60°.平面PBD ⊥平面PAC ，(1)求点A 到平面PBD 的距离;(2)求异面直线AB 与PC 的距离.(1)解 以AC 、BD 的交点为坐标原点，以AC 、BD 所在直线为x 轴、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A （3，0，0），B （0，1，0），C （3-，0，0），D （0， -1，0），P （3，0，2）.设平面PBD 的一个法向量为n 1=（1，y 1，z 1）.由n 1⊥OB ， n 1⊥OP ，可得n 1=（1，0，32-）.（1）OA =（3，0，0），点A 到平面PBD 的距离,11OA n d n ⋅=2217=, 13.如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC = 2a ，BB 1 = 3a ，D 为A 1C 1的中点，在线段AA 1上是否存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ？若存在，求出|AF |；若不存在，请说明理由.解 以B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.假设存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ，并设AF =λ1AA =λ（0，0，3a ）=（0，0，3λa ）（0<λ<1）， ∵D 为A 1C 1的中点，∴D(22a ，22a ,3a) 1B D ＝ (22a ，22a ,3a)－(0,0,3a)＝ (22a ,22a ， 0)， 1B F 1B B BA AF =++=(0,0,3)(2,0,0)(0,0,3)a a a λ-++ ∵CF ⊥平面B 1DF ，∴CF ⊥1B D , CF ⊥1B F ,110,0,CF B D CF B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2300,9920,a λλλ⨯=⎧⎨-+=⎩ 解得λ＝23或λ＝13 ∴存在点F 使CF ⊥面B 1DF ，且 当λ=13时，|AF |=13,|1AA | = a 当λ=23，|AF | =23,|1AA | = 2a. 14．如图(1)所示，已知四边形ABCD 是上、下底边长分别为2和6，高为eq \r(3)的等腰梯形．将它沿对称轴OO 1折成直二面角，如图(2)．(1)证明：AC ⊥BO 1；(2)求二面角O —AC —O 1的余弦值．(1)证明 由题设知OA ⊥OO 1，OB ⊥OO 1.所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OA ⊥OB. 故以O 为原点，OA 、OB 、OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则相关各点的坐标是A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,1, 3)、O 1(0,0, 3)．AC ·1BO ＝－3＋3·3＝0.所以AC ⊥BO 1.（2）解 因为1BO ·OC =3-+ 3·3＝0.所以BO 1⊥OC.由（1）AC ⊥BO 1，所以BO 1⊥平面OAC, 1BO 是平面OAC 的一个法向量.设n=（x ，y ，z ）是平面O 1AC 的一个法向量，由10,0,n AC n O C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩330,0,x y z y ⎧-++=⎪⇒⎨=⎪⎩ 取z= 3，得n=（1，0，3）.设二面角O-AC-O 1的大小为θ，由n 、1BO 的方向可知θ=〈n,1BO 〉， 所以cos θ= cos 〈n ，1BO 〉=113n BO n BO ⋅= 即二面角O —AC —O 13。

高中数学-打印版§ 3. 2. 3利用向量解决平行与垂直问题【学情分析】：教学对象是髙二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识，前面又学习了用向虽表示线线、线而、而面间的位置关系与向疑运算的关系，所以本节课是通过运用这些关系解决立体几何中的平行与垂直问题。

本次课内容不难理解，但学生自己做题时往往会遇到一个如何转化的问题，因此，教学中应重点抓住转换思想来进行.【教学目标】：（1）知识与技能：继续理解用向量表示空间中平行与垂直的关系和方法：会用向量法和坐标法等方法解决立体几何中的平行与垂直问题.（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。

（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。

【教学重点】：向量法与坐标法.【教学难点】：立体几何中的平行与垂直问题向向量问题的转化.【课前准备】：Powerpoint课件【教学过程设计】：高中数学-打印版底面是正三角形，A/T丄丿用駆说厂向量法:= c・b + cm・b-a四、小结a = c •b =—2一一一一=（c-a + 2a-b）^（b + a） = （2°-/?）•（〃 +"）=2a +cfb—b — 2a -b =1 — 1=0所以，结论成立。

坐标法：证明：（图略）设底面边长起，高为儿如图建立空间直角坐和系.A（VIOO）出（0J、0）,C（0,—l,0）・AG/5Q〃）,F（0丄力）,<7（0,-1上）・0 =乔'・疋=3 — 1一力2,力2=2.AB'.BC^ = 0 + 2-h2 = 0. /. BC'丄AB'利用向虽解决平行与垂直问题1.向量法：利用向量的概念技巧运算解决问题。

2.坐标法：利用数及其运算解决问题。

两种方法经常结合起来使用。

反思归纳五、作业1,直三棱柱A3C — A5G中，角ACB是直角.AC=1, CB=©,侧棱A4I = L侧而AA.B.B的两条对角线交点为D, 的中点为M,求证CD平面BDM。