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2020年福建省福州市师范大学附属中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知i为虚数单位，复数z满足z=i（z﹣i），则复数z所对应的点Z在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：∵z=i（z﹣i）=i?z+1，∴z=，∴复数z所对应的点Z的坐标为（），在第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2. 将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则等于A．B．C．D．参考答案：D将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，即将向右平移吗，得到，所以，所以，又，定义当时，，选D.3. 若定义在R上昀函数满足，且当时, ，函数,则函数在区间[-4，4]内的零点个数为(A)9 (B)7 (C)5 (D)4参考答案：C略4. 以的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为A． B. C. D.参考答案：D略5. 记集合和集合表示的平面区域分别为若在区域内任取一点，则点落在区域的概率为A． B． C． D．参考答案：A区域为圆心在原点，半径为4的圆，区域为等腰直角三角形，两腰长为4，所以，故选A．6. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（）A．B．C．D．参考答案：A略7. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．8 D．16参考答案：C程序执行中的数据变化如下：k=0,S=1,0＜3, S =1,k=1,1＜3, S =2,k=2,2＜3, S =8,k=3,3＜3不成立，输出s=8.8. 如果函数的图像与函数的图像关于坐标原点对称，则的表达式为（）A． B． C． D．参考答案：D9. 已知为虚数单位，则的值等于A.B. C.D.参考答案：C10. 已知定义在R上的可导函数f (x)的导函数为，满足，f (0) = 1，则不等式的解集为（）A．(0,+∞)B．(1,+∞)C．(－2,+∞)D．(4,+∞)参考答案：A令，则，故为上的减函数，有等价于，即，故不等式的解．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设x,y满足约束条件若目标函数的最大值为1，则的最小值为________.参考答案：略12. （5分）计算定积分（x2+sinx）dx= ．参考答案：【考点】：定积分．【专题】：计算题．【分析】：求出被积函数的原函数，再计算定积分的值．解：由题意，定积分===．故答案为：．【点评】：本题考查定积分的计算，确定被积函数的原函数是关键．13. 甲盒子里装有分别标有数字1、2、4、7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1、4的2张卡片，若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是。
福建师大附中2020-2021学年上学期期中考试高三数学试卷时间：120分钟 满分： 150分 第Ⅰ卷（选择题，共70分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.-1. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（ ） A. 2 B.32C. 3D. 4C根据等差数列的求和公式即可得出． ∵a 1=12，S 5=90， ∴5×12+542⨯ d=90， 解得d=3．故选C ．2. 已知直线a ，b 和平面α，β，满足 a α⊂，b β⊂，则“a 和b 相交”是“a 和β相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 A由充分条件和必要条件的定义判断即可解：若a 和b 相交于点O ，则,O a O b ∈∈，因为 a α⊂，b β⊂，所以,O O αβ∈∈，所以a 和β相交，若a 和β相交于直线l ，当a α⊂，b β⊂时，a 和b 可能相交，可能平行，可能异面， 所以“a 和b 相交”是“a 和β相交”的充分不必要条件，故选：A 3. 已知复数z 的共轭复数为z ，且满足232z z i +=+，则||z =（ ）A. B. C. 3D. 5B设复数(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，代入232z z i +=+中求出,a b 的值，再根据复数模公式求得结果.设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 又因为232z z i +=+，即332a bi i +=+， 所以1,2a b ==，所以|z |5=，故选：B. 4. 已知数列{}n a 满足2112n n n a a a +=+-，且112a =，则该数列前2016项的和为（ ） A. 2015 B. 2016 C. 1512 D. 30252C通过计算出数列的前几项确定数列{}n a 是以2为周期的周期数列，进而计算可得结论． 依题意，112a =， 22112111112222a a a =+-=+-=， 2232211111222a a a =+-=+-=， ⋯从而数列{}n a 是以2为周期的周期数列， 于是所求值为20161(1)151222⨯+=，故选：C 5. 如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ）A. 43π+B. 2π+C. 23π+D. 223π+A根据三视图还原几何体可得该几何体是由一个半圆柱和一个四棱锥组合而成，由此可求出其体积.如图，根据三视图还原几何体可得该几何体是由一个半圆柱和一个四棱锥组合而成，根据三视图可知，半圆柱的底面半径为1，高为2，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为1，所以该几何体的体积211412221233V ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+.故选：A.6. 已知ABC 是边长为2的等边三角形，且AE EB =，2AD DC =，则BD CE ⋅=（ ） A. 3- B. 2- C. 1- D. 3B由平面向量的线性运算可得2132BD CE AC AB AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由平面向量数量积的运算即可得解.由题意画出图形，如图，因为AE EB =，2AD DC =，所以12AE AB =，23AD AC =，所以()()2132BD CE AD AB AE AC AC AB AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22241241422cos6042332332AC AC AB AB =-+⋅-=-⨯+⨯⨯-⨯=-.故选：B. 7. 在正方体1111ABCD A B C D -中，记平面11CB D 为α，若α平面ABCD m =，α⋂平面11ABB A n =，则m ，n 所成角的余弦值为（ ）A. 32B.62C.33D.12D由线面平行的性质可得出1A BD ∠即为m ，n 所成角，则求出即可.如图，连接11,,BD A B A D ，可得在正方体中，111B B CC DD ，即四边形11BB D D 是平行四边形，11//B D BD ∴，BD ⊂平面ABCD ，11B D ⊄平面ABCD ，∴11//B D 平面ABCD ，又α平面ABCD m =，11B D α⊂，11//B D m ∴，//BD m ∴，同理可得1//CD 平面11ABB A ，α⋂平面11ABB A n =，1CD α⊂， 1//CD n ∴，1//A B n ， 1A BD ∴∠即为m ，n 所成角，1A BD 为等边三角形，160A BD ∴∠=，11cos 2A BD ∴∠=.故选：D.8. 在四面体ABCD 中，22BD AC ==，2AB BC AD ===，AD BC ⊥，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ） A. 2πB. 43πC. 162πD. 163πB由题可得四面体ABCD 可还原成棱长为2的正方体，即可由此求出外接球半径，得出体积.2,22AB AD BD ===，满足222AB AD BD +=，AB AD ∴⊥，由AD BC ⊥，∴四面体ABCD 可还原成棱长为2的正方体，设外接球的半径为R ，则222222223R =++=3R =∴外接球的体积343433V.故选：B.9. 已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ）A. 1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B. 1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. (,0)(0,22)-∞D. (,0)(22,)-∞+∞D由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案. 注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根 即可， 令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有1个不同交点，不满足题意； 当0k <时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意； 当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D .【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.10. 已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则（ ） A. 1324,a a a a << B. 1324,a a a a ><C. 1324,a a a a <>D. 1324,a a a a >>B先证不等式ln 1x x ≥+，再确定公比的取值范围，进而作出判断.令()ln 1,f x x x =--则1()1f x x'=-，令()0,f x '=得1x =，所以当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，因此()(1)0,ln 1f x f x x ≥=∴≥+，若公比0q >，则1234123123ln()a a a a a a a a a a +++>++>++，不合题意；若公比1q ≤-，则212341(1)(1)0,a a a a a q q +++=++≤ 但212311ln()ln[(1)]ln 0a a a a q q a ++=++>>，即12341230ln()a a a a a a a +++≤<++，不合题意； 因此210,(0,1)q q -<<∈，22113224,0a a q a a a q a ∴>=<=<，选B.11. 在公比为q 等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若521127,==a a a ，则下列说法正确的是（ ） A. 3q = B. 数列{}2n S +是等比数列 C. 5121S = D. ()222lg lg lg 3n n n a a a n -+=+≥ACD根据等比数列的通项公式，结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可. 因为521127,==a a a ，所以有431127273q a q q q a ⋅=⋅⇒=⇒=，因此选项A 正确；因为131(31)132n n n S -==--，所以131+2+2(3+3)132nn n S -==-， 因为+1+111(3+3)+222=1+1+21+3(3+3)2n nn n n S S -=≠常数， 所以数列{}2n S +不是等比数列，故选项B 不正确； 因为551(31)=1212S =-，所以选项C 正确； 11130n n n a a q --=⋅=>，因为当3n ≥时，22222lg lg =lg()=lg 2lg n n n n n n a a a a a a -+-++⋅=，所以选项D 正确.故选：ACD12. 已知曲线1C ：cos y x =，2C ：2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）A. 把曲线1C 向左平移6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到曲线2C B. 把曲线1C 向左平移3π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线2CC. 把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移6π个单位长度，得到曲线2CD. 把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2C AD先利用诱导公式把2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭化简得，2sin 2cos 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用三角函数图像变换规律求解即可解：2sin 2sin 2cos 23266y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以将曲线1C ：cos y x =向左平移6π个单位长度，得cos 6⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x π，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到曲线cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 或将曲线1C ：cos y x =上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到cos 2y x =，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到cos 2cos 2126y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：ADA．∵OB β⊥，∴OB AB ⊥，∴OA =，∴点A 在以O 的球面运动，A 正确；B ．由题意知A 在平面β内绕点B 作圆周运动，当AB 垂直于水平面时，投影长度为0，当AB 平行于水平面时，投影长度为AB ，∴线段AB 在水平地面上的正投影长度范围为[0,]AB ，B 错误；C ．当AB α⊥时，直线OA 与平面α的所成的角的正弦值为最大值，此时线面角为AOB ∠，37sin 3737AB AOB OA AB∠===，C 正确． D ．画出该模型的直观图，∵β与水平面所成的角为θ，且02πθ<<，∴DCE θ∠=，∵直线OB 与水平面所成的角为δ，且//FC OB ， ∴FCG δ∠=，∵OB CD ⊥，∴FC CD ⊥，∴2FCG DCE π∠+∠=，即θδ+为定值，定值为2π，D 正确．故选：ACD ． Ⅱ卷（非选择题，共80分）三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 15. 已知向量()1,2a =,(),1b t =,若a ,b 5,则实数t 的值为____. 34-. 根据向量夹角的坐标公式求解即可. 因为,a b 夹角的余弦值为5,所以25551t =⋅+,即221t t +=+,22441t t t ++=+.解得34t =-.故答案为：34-16. 函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________．2π.将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.函数()2sin 2f x x ==142cos x-,周期为2π 17. 16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即b a N = ⇔ log a b N =. 现在已知23a =， 34b =，则ab =__________. 2先根据要求将指数式转为对数式，作乘积运算时注意使用换底公式去计算. ∵23a =， 34b = ∴2log 3a =， 3log 4b = ∴23ln3ln4ln4log 3log 42ln2ln3ln2ab =⋅=⋅== 故答案为218. 设12(21)(21)n n n n b +=--，n T 为{}n b 的前n 项和，则使得20152016n T >成立的n 的最小值是______. 10利用裂项相消法求出n T ，然后解不等式20152016n T >即可得答案 解：因为11211(21)(21)2121n n nn n n b ++==----- ， 所以12231111111212121212121n n n T +=-+-+⋅⋅⋅+-------， 11121n +=--， 要使20152016n T >，只要1120151212016n +->-，即11111212016n +->--， 122017n +>，所以111n +≥，即10n ≥， 所以n 的最小值是10， 故答案为：1019. 已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x R ∈,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 ．由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭,所以2ππ42ωω+=⇒=20. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2n n n n S a n N *=--∈则 （1）3a =_____；（2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________．116-；10011(1)32-. （1）令1n =，114a =-；443311,,168S a S a =-=--两式对减得到3116=-a ； （2）由1(1),,2n n n n S a n N *=--∈可得1(1(1),,)22n n n nn S n N n S S -*=--∈≥- 当n 为偶数时，可得222121,2k k k k S S S -=--整理得2121,2k k S --=当n 为奇数时，可得21212211(,2)k k k k S S S +++-=--整理得221212221111202222k k k k k S S ++++=-+⨯+==，所以501210013991001114411(1)13214S S SS S S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+==--.四、解答题：本题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21. 在①112n n a a +=-，②116n n a a +-=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，______________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．选①，312n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，n S 存在最大值，且最大值为4；选②，12566n a n =-+，n S 存在最大值，且最大值为50；选③，217242n n n a -+=，n S 不存在最大值，理由见解析．选①先判断{}n a 是首项为4，公比为12-的等比数列，再求n a ，最后分n 为奇数和n 为偶讨论，分别判断n S 存在最大值并求出最大值即可；选②先判断{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列，再求出12566n a n =-+，最后判断n S 存在最大值并求出n S 的最大值；选③先求出217242n n n a -+=，再判断n S 不存在最大值． 解：选①：因为112n n a a +=-，14a =，所以{}n a 是首项为4，公比为12-的等比数列． 所以1311422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．当n 为奇数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为81132n⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增大而减小，所以此时n S 的最大值为14S =； 当n 为偶数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭+，且81814323n n S ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭， 综上，n S 存在最大值，且最大值为4．选②：因为116n n a a +-=-，14a =，所以{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列．所以()112541666n a n n ⎛⎫=+-⋅-=-+ ⎪⎝⎭，由于125066n -+≥，得25n ≤，所以n S 存在最大值，且最大值为25S 或24S ， 因为25252414255026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为50．选③：因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-， 所以217a a -=-，326a a -=-，…，19n n a a n --=-， 所以()()()()()2111221791171622n n n n n n n n n a a a a a a a a ----+---+-=-+-+⋅⋅⋅+-==，又14a =，所以217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值．22. 如图，单位圆O 与,x y 轴正半轴的交点分别为,A D ，圆O 上的点C 在第一象限.（1）若点C 的坐标为31,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，延长CD 至点B ，使得2DB =，求OB 的长；（2）圆O 上的点E 在第二象限，若23EOC π∠=，求四边形OCDE 面积的最大值.(1) 7OB =；(2)32. 试题分析：⑴由点312C ⎫⎪⎪⎝⎭，可得30AOC ∠=︒，故60COD ∠=︒，所以120CDB ∠=︒，由余弦定理求出OB 的长；⑵设62COD ππθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则23DOE πθ∠=-，从而可得四边形OCDE 的面积()S θ，由θ的取值范围得当3πθ=时，四边形OCDE 的面积有最大值，且最大值为32解析：（1）由点31,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在单位圆上，可知30AOC ︒∠=， 由图像可得60COD ︒∠=；在CDB ∆中，1OD =，120CDB ︒∠=，2DB =； 由余弦定理得222OB OD DB =+ 2cos120OD OB ︒-⋅⋅； 解得7OB =；（2）设62COD ππθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，23DOE πθ∠=- 1sin 2COD S θ∆=，12sin 23EOD S πθ∆⎛⎫=-⎪⎝⎭四边形OCDE 的面积()EOD CODS S S θ∆∆=+ 112sin sin 223πθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 62ππθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭131sin sin 22θθθ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦33sin 4θθ= 36πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭62ππθ<<，2363πππθ∴<+<当62ππθ+=，即3πθ=时，四边形OCDE 的面积S 的最大值为3. 【详解】23. 如图，在棱柱ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 为平行四边形，4DD CD '==，2AD =，3BAD π∠=，且D 在底面上的投影H 恰为CD 的中点.（1）过D H '作与 BC 垂直的平面α，交棱BC 于点N ，试确定点N 的位置，并说明理由； （2）在线段D C ''上是否存在点P ，使二面角P BH A --为34π？若存在，请确定点P 的位置；若不存在，请说明理由.（1）N 为棱BC 的中点；理由见解析；（2）存在，P 的位置与C '重合.（1）取BC 中点N ，利用余弦定理求得NH ，可证明NH BC ⊥，从而可证得得BC ⊥平面D HN '； （2）由（1）得AD BD ⊥，分别以DA ，DB 为x ，y 轴的正方向，以过D 点垂直于平面ABCD 的方向为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，设D P D C λ'''=，由向量法求二面角P BH A --，由二面角的大小可求得λ，得P 点位置．解：（1）当点N 为棱BC 的中点时，符合题目要求，证明如下： 分别连结NH ，ND '.在HNC △中，222cos 33NH NC CH NC CH π=+-⋅⋅=所以222HC NC HN =+，因此2HNC π∠=，即NH BC ⊥，因为D 在底面上的投影H 恰为CD 的中点，所以D H '⊥平面ABCD ， 又BC ⊂平面ABCD ，所以D H BC '⊥， 又NH BC ⊥，D H NH H '=，D H '，NH ⊂平面D HN '，所以BC ⊥平面D HN '，因此，点N 即所求，平面D HN '即为α.（2）存在满足条件的点P ，且P 的位置与C '重合.证明如下： 由（1）知可得HN BC ⊥，//HN DB ，//AD BC ，所以AD BD ⊥，分别以DA ，DB 为x ，y 轴的正方向，以过D 点垂直于平面ABCD 的方向为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，23HD '=，(0,0,0)D ，()1,3,0H -，()0,23,0B ，()1,3,23D '-，()2,23,0C -，()3,33,23C '-，设()()2,23,02,23,0D P D C λλλλ'''==-=- 易得平面AHB 的一个法向量为()0,0,1m =，()1,3,0HB =，(0,0,23HD '=，(2,233HP HD D P λλ''=+=-， 设(,,)n x y z =为平面PBH 的一个法向量，则：00n HB n HP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即得30223230x y x y z λλ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩， 令3x =，得()3,1,2n λ=-，因为二面角P BH A --为34π， 所以3cos ,cos4m n π<>=，即22m n m n ⋅=-⋅22244λλ=+， 又因为二面角P BH A --的大小为钝角，故1λ=. 24. 已知函数2()2ln f x x x a x =--，()g x ax =. （1）讨论函数()()()F x f x g x =+的单调性； （2）若不等式sin ()2cos xg x x≤+对任意0x ≥恒成立，求a 的取值范围.（1）答案见解析；（2）1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（1）求导数()F x '，分类讨论确定其正负，得()F x 的单调性；（2）设sin ()(0)2cos x h x ax x x=-≥+，求出212cos ()(2cos )x h x a x +'=-+，然后用换元法， 设cos t x =，求出212()(2)t t t ϕ+=+的取值范围11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，由根据a 的范围分类讨论，确定的正负，13a ≥与0a ≤都易得结论，当103a <<时，对于02x π<<，由不等式性质得sin ()3x h x ax <-，令sin ()3xT x ax =-，用导数研究它的单调性得不可能恒成立，从而得a 的范围．（1）2()2ln F x x x a x ax =--+，定义域为(0,)+∞.22(2)(2)(1)()x a x a x a x F x x x'+--+-==， ①02a-≤即0a ≥时，()F x 在(0,1)上递减，()F x 在(1,)+∞上递增， ②012a <-<即20a -<<，()F x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(1,)+∞上递增，在,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，③12a-=即2a =-时，()F x 在(0,)+∞上递增. ④12a ->即2a <-时，()F x 在(0,1)和,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，()F x 在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，（2）设sin ()(0)2cos xh x ax x x=-≥+，则212cos ()(2cos )x h x a x +'=-+，设cos t x =，则[]1,1t ∈-，212()(2)t t t ϕ+=+，432(2)(1)2(1)()0(2)(2)t t t t t t ϕ-+---'==≥++， ()t ϕ∴在[]1,1-上递增，()t ϕ∴的值域为11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，①当13a ≥时，()0h x '≥，()h x 为[]0,+∞上的增函数，()(0)0h x h ∴≥=，适合条件.②当0a ≤时，10222h a ππ⎛⎫=⋅-< ⎪⎝⎭，∴不适合条件.③当103a <<时，对于02x π<<，sin ()3x h x ax <-，令sin ()3x T x ax =-，cos ()3xT x a '=-，存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00,x x ∈时，()0T x '<，()T x ∴在()00,x 上单调递减，()0(0)0T x T ∴<<，即在()00,x x ∈时，()0h x <，∴不适合条件.综上，a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。
福建师大附中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2≤1}，B ={x|x ≤0}，则A ∪B =( )A. (−∞,1]B. [1,+∞)C. [−1,0]D. [0,1]2. 复数(1+i)i 的虚部为( )A. 1B. −1C. iD. −i3. 已知命题p ：∀x <2，x 3−8<0，那么￢p 是( )A. ∀x ≤2，x 3−8>0B. ∃x ≥2，x 3−8≥0C. ∀x >2，x 3−8>0D. ∃x <2，x 3−8≥04. 用数学归纳法证明12+32+52+⋯+(2n −1)2=13n(4n 2−1)过程中，由n =k 递推到n =k +1时，不等式左边增加的项为( )A. (2k)2B. (2k +3)2C. (2k +2)2D. (2k +1)25. 古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增.共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？( )A. 2B. 3C. 4D. 56. 三个数a =0.67，b =70.6，c =log 0.76的大小关系为( )A. b <c <aB. b <a <cC. c <a <bD. c <b <a7. 己知实数x ，y 满足不等式组{x −y +2≥02x +y −3≤00≤y ≤a，若z =x −2y 的最小值为−3，则a 的值为( )A. 1B. 32C. 2D. 73 8. 平行四边形ABCD 中AB =2,AD =1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，点M 在边CD 上，则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( )A. √2−1B. √3−1C. 2D. 09. 函数f(x)=e x−1x 的大致图象为( )A. B.C. D.10.函数f(x)=(x−1)lnx2的图象大致为()A. B.C. D.11.已知函数f(x)=√3sin(ωx−π6)−32(ω>0)在(0,π2)上有且只有3个零点，则实数ω的最大值为()A. 5B. 163C. 173D. 612.已知关于x的方程x2+2alog2(x2+2)+a2−3=0有唯一解，则符合条件的实数a值是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则a⃗⋅b⃗ =_______．14.设x，y满足约束条件{2x−y+2≥08x−y−4≤0x≥0,y≥0，若目标函数z=abx+y(a>0,b>0)的最大值为8，则a+b的最小值为________15.现有五张相同的卡片，卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中卡片上的数字推测谁手中卡片上的数字更大．甲看了看自己手中卡片上的数字，想了想说：我不知道谁手中卡片上的数字更大；乙听了甲的判断后，看了看自己手中卡片上的数字，思索了一下说：我也不知道谁手中卡片上的数字更大．如果甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中卡片上的数字是________．16.若函数f(x)=ax+bcx+d (c≠0)，其图象的对称中心为(−dc,ac)，现已知f(x)=2−2x2x−1，数列{a n}的通项公式为a n=f(n2020)(n∈N+)，则此数列前2020项的和为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图、在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB=1，AC=√7，ΔABC的面积为SΔABC=√32，DC=4√75．(1)求BC的长．(2)求∠ACD的大小．18.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=5，a5=5.数列{b n}满足b1=−2，且b n+1−b na n=3n+1．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{b n}的通项公式．19. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：{x =3+3cosφy =3sinφ(φ为参数，φ∈[0,2π))，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线C 的普通方程；(2)若点B 是射线l ：θ=α(ρ≥0,α∈[0,π))与曲线C 的公共点，当|OB|=3√3时，求α的值及点B 的直角坐标．20. 已知函数f(x)=|2x −1|+|2x +a|，g(x)=x +3．(Ⅰ)当a =−2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(Ⅱ)当x ∈(12,1)时，f(x)≤g(x)成立，求a 的取值范围．(ω>0)的最小正周期是π．21.已知函数f(x)=√3sinωxcosωx−cos2ωx+12(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)将函数f(x)的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移π个单位，得3函数g(x)的图象．若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a+c=4，且当x=B时，g(x)取得最大值，求△ABC周长的取值范围．lnx．(1)若a>0，求函数f(x)的极值点；22.已知函数f(x)=x|x+a|−12(2)若f(x)>0，求a取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．解不等式化简集合A，根据并集的定义写出A∪B．解：集合A={x|x2≤1}={x|−1≤x≤1}，B={x|x≤0}，则A∪B={x|x≤1}=(−∞,1]．故选A．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵(1+i)i=−1+i，∴复数(1+i)i的虚部为1．故选：A．3.答案：D解析：本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，比较基础．根据全称命题的否定是特称命，即可得到结论．解：因为p：∀x<2，x3−8<0，所以¬p是∃x<2，x3−8≥0．故选D．4.答案：D解析：本题主要考查数学归纳法，属于基础题．分别写出n=k与n=k+1时左边的项，再比较即可．解：当n=k时，左边为12+32+52+⋅⋅⋅+(2k−1)2，当n=k+1时，左边为12+32+52+⋅⋅⋅+(2k−1)2+(2k+1)2，多了一项(2k+1)2．故选D．5.答案：B解析：本题考查了等比数列的定义求和公式，考查了推理能力与计算能力，设尖头a1盏灯，每层灯数由上到下形成等比数列{a n}，公比q=2.利用求和公式即可得出．解：设尖头a1盏灯，每层灯数由上到下形成等比数列{a n}，公比q=2．∴a1(27−1)2−1=381，解得a1=3．故选B．6.答案：C解析：解：∵0<a=0.67<1，b=70.6>1，c=log0.76<0，∴c<a<b，故选：C．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.答案：A解析：解：实数x，y满足不等式组{x−y+2≥02x+y−3≤00≤y≤a的可行域如图，当直线z=x−2y过点A(a−2,a)时，z取得最小值，即a−2−2a=−3可得a=1．故选：A ．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值列出方程，求解即可．本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．8.答案：C解析：本题考查平面向量的数量积及坐标运算．属中档题．建立平面直角坐标系将几何问题代数化是解题的关键．解：如图，以点D 为原点，DC 所在的直线为x 轴，过点D 作垂直于DC 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，由AB =2，AD =1，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠DAB =−1， 得∠DAB =120°，则易得A (12,√32)，B (52,√32)， 设M(a,0)(0≤a ≤2)，则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12−a,√32)⋅(52−a,√32) a 2−3a +2=(a −32)2−14，易得当a =0时，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值2，故选C ．。
福建省师范大学附属中学2020届高三数学上学期期中试题 文试卷说明：（1）本卷共三大题，22小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。
（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}20,21x A x x x B x =-<=<,则A.{}0A B x x =<I B ．A B R =UC ．{}1A B x x =>UD ．A B =∅I2.设向量=（1，-2），=（0，1），向量λ+与向量+3垂直，则实数λ=A. B. 1 C. D.3．是“直线和直线垂直”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若326-=S S ，则5S = A ．15B.30C ．40D ．605．设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是 A ．若l αP ，m αP ，则l m PB ．若l αP ，m l ⊥，则m α⊥C ．若α⊥l ，m l ⊥，则m αPD.若α⊥l ，m α⊥，则l m P6．已知函数()()3sin cos 0f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，将()f x 的图象向右平移π6个 单位长度得到函数()g x 的图象，有下列四个结论：1p ：()g x 在ππ(,)63-单调递增；2p ：()g x 为奇函数；3p ：()y g x =的图象关于直线5π6x =对称； 4p ：()g x 在π[0,]2的值域为[1,1]-． 其中正确的结论是 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．34,p p7.已知曲线221:430c x y y +-+=与y 轴交于A ，B 两点，P 为2:10c x y --=上任意一点，则|PA |+|PB |的最小值为 A.2B.C.D. 48．已知直线与直线互相平行且距离为.等差数列的公差为，且，令，则的值为A ． 36B ． 44C ． 52D ． 609．函数()e 2xf x x=的部分图象大致为11O x y11yxO11yxO11yxOA. B. C. D.10.已知函数()2sin 4f x wx π⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则w 的最大值为 A. B. 1C. 2D. 411.玉琮是古人祭祀的礼器．如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆外方，前后对穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想．该玉琮的三视图及尺寸数据（单位：cm ）如图所示．根据三视图可得该玉琮的体积（单位：3cm ）为A. 25614π+ B ．25616π+ C ．25629π- D ．25622π-12．定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()+=-f x f x ，且当[]0,1∈x 时，()2cos xf x x =-，则下列结论正确的是 A ．20202019()()(2018)32f f f <<B ．20202019(2018)()()32f f f << C.20192020(2018)()()23f f f << D ．20192020()()(2018)23f f f << Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：每小题5分,共20分.13．若x ，y 满足约束条件，则z=x+2y 的最小值为 ．14．若直线1y x =+与函数()ln f x ax x =-的图像相切，则a 的值为 ． 15.已知函数()2113sin 2122x f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪-⎝⎭，则122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值为 ．16. 已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AD =，若球O 的表面积为29π，则三棱锥A BCD -的侧面积的最大值为 ．三、解答题:共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本题满分10分） 数列}{n a 满足：n n n a a a n +=++⋅⋅⋅++221132，*N ∈n . （Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n a b 1=，数列}{n b 的前n 项和为n S ，求满足209>n S 的最小正整数n .18．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩,其中a为参数,在以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点P 的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭,直线l 的极坐标方程为sin 04πρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程;（Ⅱ）若Q 是曲线C 上的动点,M 为线段PQ 的中点，求点M 到直线l 的距离的最大值.19．（本题满分12分） 已知函数35)(+--=x x x f . （Ⅰ）解关于x 的不等式1)(+≥x x f ；（Ⅱ）记函数)(x f 的最大值为m ，若420,0,abab m a b e e e ->>⋅=，求ab 的最小值.20．（本题满分12分）在如图所示的多面体中，面ABCD 是平行四边形，四边形BDEF 是矩形。
福建师大附中2018-2019学年第一学期高三期中考试卷数学 (理科)本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分 一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合 A ＝{x |x 2－3x ＋2≥0}，B ={x |2x ＜4}，则 A ∪B ＝ ( **** ) A. R B. ∅C. {x |x ≤1}D. {x |x ＞2}2.若复数22i1ia ++(a ∈R )是纯虚数,则复数i a 22+在复平面内对应的点在( **** ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知命题p ：“0a ∀>，都有1ae ≥成立”，则命题p ⌝为（**** ） A ．0a ∃≤，有1a e <成立 B ．0a ∃≤，有1ae ≥成立 C ．0a ∃>，有1a e ≥成立 D ．0a ∃>，有1ae <成立4．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2) …(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是(**** ) A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋15. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（****） A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏6.设()250.2log 4,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（**** ） A ．a b c >> B ．b c a >> C.a c b >> D ．b a c >>7.记不等式组220,1,2x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩解集为D ,若,则实数a 的最小值是( **** )A ．0B ．1C ．2D ．48.如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，0120BAD ∠=，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE 的最小值为（**** ）A ．2116B ．32C ．2516D ．39.已知函数121)(--=x e x f x （其中e 为自然对数的底数），则)(x f y =的大致图象大致为( **** )A.B.C.D10.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（**** ）11.已知函数()sin (0),f x x x =>ωωω若方程()1f x =-在(0,)π上有且只有 四个实数根，则实数ω的取值范围为（ **** ） A. 137(,]62 B. 725(,]26 C. 2511(,]62 D. 1137(,]2612.已知关于x 的方程222log (||2)5xxe e a x a -+-++=有唯一实数解，则实数a 的值为（****）A ．1-B ．1C ．1-或3D ．1或3- 第Ⅱ卷 共90分 二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.13.已知向量a ，b 的夹角为60︒，2a =，1b =，则2a b +=__****__.14．已知x y 、满足约束条件11,22x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为__****__. 15．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭（*,5n n ∈≤≤N 1）五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是_***__.16．在数列{}n a 中，若存在一个确定的正整数T ，对任意*n N ∈满足n T n a a +=，则称{}n a 是周期数列，T 叫做它的周期.已知数列{}n x 满足121,(1)x x a a ==≥，21n n n x x x ++=-，若数列{}n x 的周期为3，则{}n x 的前100项的和为 **** . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 如图，在ABC ∆中, 3B π=,2BC =,点D 在边AB 上, AD DC =, DE AC ⊥,E 为垂足.(Ⅰ)若BCD ∆,求CD 的长;(Ⅱ)若DE =求A ∠的大小.18.(本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 和为n S ，若0n a >，1n a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若3nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．EDCA19.（本小题满分12分）在直角坐标系中，曲线,曲线为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线与曲线分别交于点（异于原点），当时，求的取值范围.20.（本小题满分12分）已知函数()1f x a x x a =-+- （0a > ）. （Ⅰ）当2a =时，解不等式()4f x ≤； （Ⅱ）若()1f x ≥，求a 的取值范围．21. （本小题满分12分）函数()()sincos3cos 022xxf x x ωωωω=⋅+>，在一个周期内的图象如图所示, A 为图象的最高点, B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()f x 的图象上每个点的横坐标缩小为原来的4π倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位得到函数()g x ，若设()g x 图象在y 轴右侧第一个最高点为P ，试问()g x 图象上是否存在点()()(),2Q g θθπθπ<<，使得OP OQ ⊥，若存在请求出满足条件的点Q 的个数，若不存在，说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()()()2e xf x x ax =--．（Ⅰ）当0a >时，讨论()f x 的极值情况； （Ⅱ）若()[]1()0e x f x a --+≥，求a 的值．EDCA福建师大附中2018-2019学年第一学期高三期中考试卷解答数学 (理科)一、选择题：ABDBB ;DCADB,BA二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.13. , 14． 7 15．7816．67三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） (Ⅰ)由已知得1sin 2BCD S BC BD B ∆==， 又2BC =，sin B =得23BD =……………3分在BCD ∆中，由余弦定理得CD===所以CD 的长为CD = ……………6分 (Ⅱ)因为sin DE CD AD A ===……………8分 在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin BC CDBDC B =∠，又2BDC A ∠=∠, ……………10分得2sin 2A =，……………11分 解得cos A =,所以4A π=即为所求. ……………12分 18.(本小题满分12分）解:（Ⅰ） 21n a S =， 24(1)n n S a ∴=+．………………………………1分 当1n =时，2114(1)S a =+，得11a =．………………………………2分 当2n ≥时，2114(1)n n S a --=+，22114()(1)(1)n n n n S S a a --∴-=+-+，………………………………3分2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+， 0,n a > 12n n a a -∴-=．………………………………4分∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2，………………………………5分 12(1)21n a n n ∴=+-=-．………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(21)3n n b n =-⋅，231111135(21)3333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，——①………………………………7分2311111113(23)(21)33333n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，——②………………………………8分 ①–②得2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋅⋅⋅+--⋅………………………………9分2111111332(21)13313n n n ++-=+⨯--⋅-，………………………………10分化简得113n nn T +=-．…………………12分 19.（本小题满分12分） 解：(1)因为，所以曲线的普通方程为：，由，得曲线的极坐标方程，对于曲线,,则曲线的极坐标方程为(2)由(1)得,，因为，则20.（本小题满分12分）解：（1）f (x)＝2|x －1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4，x ＜1，x ，1≤x≤2，3x －4，x ＞2．所以，f (x)在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增， 又f (0)＝f ( 83)＝4，故f (x)≤4的解集为{x|0≤x≤ 83}. ....................................6分（2）①若a ＞1，f (x)＝(a －1)|x －1|＋|x －1|＋|x －a|≥a－1，当且仅当x ＝1时，取等号，故只需a －1≥1，得a≥2. .................................7分 ②若a ＝1，f (x)＝2|x －1|，f (1)＝0＜1，不合题意. ...................…9分③若0＜a ＜1，f (x)＝a|x －1|＋a|x －a|＋(1－a)|x －a|≥a(1－a)， 当且仅当x ＝a 时，取等号，故只需a(1－a)≥1，这与0＜a ＜1矛盾. .............11分综上所述， a 的取值范围是[2，＋∞). …...................12分21. （本小题满分12分） 由已知得:()cos 3cos 3cos 223x x f x x x x x ωωπωωωω⎛⎫=⋅+=+=+ ⎪⎝⎭………2分∵A 为图象的最高点，∴A 的纵坐标为,又∵ABC ∆为正三角形，所以4BC =…………3分 ∴42T =可得8T =, 即28πω= 得4πω=…………4分,∴()sin()43f x x ππ=+…………5分,（Ⅱ）由题意可得()g x x =,2P π⎛ ⎝…………7分法一：作出如右下图象，由图象可知满足条件的点Q 是存在的，而且有两个………8分 注：以上方法虽然能够得到答案，但其理由可信度不高，故无法给满分.法二：由OP OQ ⊥得0OP OQ =，即02πθθ+=，即()24sin 2πθθπθπ=-<<，由此作出函数()2y x x πππ=<<及()24sin 2y x x ππ=-<<图象，由图象可知满足条件的Q 点有两个.………10分(注：数形结合是我们解题中常用的方法，但就其严密性而言，仍有欠缺和不足.)法三：由OP OQ⊥得0OP OQ =，即3s i n 02πθθ+=，即()24s i n 02πθθπθπ+=<<，问题转化为研讨函数()()24sin 2h x x x x πππ=+<<零点个数。
福建省仙游县枫亭中学2020届高三数学上学期期中试题 理（含解析）第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．） 1.已知集合()(){}120A x x x =--<，{}124xB x =≤≤，则AB =( )A. {}12x x <<B. {}12x x ≤≤C. {}12x x ≤<D.{}02x x ≤<【答案】A 【解析】因为()(){}{}120|12A x x x x x =--<=<<，{}{}124|02xB x x x =≤≤=≤≤，所以A B ={}12x x <<，故选A.2.复数z 满足(12)3z i i +=+，i 为虚数单位，则z 的共轭复数z =（ ） A. 1 B. 1i -C. 2D. 1i +【答案】D 【解析】 【分析】由()123z i i +=+ ，312iz i+=+ 化简后可求共轭复数 【详解】解：由()123z i i +=+ ，()2(3)12355112145i i i iz i i i +-+-====-+- 所以z 的共轭复数为1i + ，选D.【点睛】该题考查复数代数形式的乘除运算，属基础题，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 3.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =-B. 310n a n =-C. 228n S n n =-D.2122n S n n =- 【答案】A 【解析】【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ． 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断． 4.已知α是第三象限角，且3cos()25πα+=，则sin 2α=（ ） A.2425B. 2425-C.725D. 725-【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式可以求出角α的正弦值，再由同角的正弦值与余弦值的平方和为1这一关系，可求出α的余弦值，最后运用二倍角正弦公式求出sin2α．【详解】3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ⇒ 3sin 5α=-22sin cos 1αα+=， α是第三象限角∴4cos 5α==-∴24sin 22sin cos 25ααα==故本题选A ．【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式、同角正弦函数与余弦函数的关系、二倍角公式． 5.已知向量,a b 均为单位向量，它们的夹角为60°，则2a b +＝（ ）C. 6D. 7【答案】B 【解析】 【分析】 计算227a b+=，得到答案.【详解】2222441247a b a a b b +=+⋅+=++=，故27a b +=.故选：B .【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.6.己知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间(]0-∞，为增函数，且()30f =，则不等式(12)0f x ->的解集为（ ）A. ()10-，B. ()12-，C. ()02，D. ()2，+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】结合函数的奇偶性与单调性得f （x ）在[0，+∞）上为减函数，由f （3）＝0，可得f （1﹣2x ）＞0⇒f （1﹣2x ）＞f （3）⇒|1﹣2x|＜3，解得x 的取值范围即可．【详解】根据题意，因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（一∞，0]为增函数， 所以函数f （x ）在[0，+∞）上为减函数，由f （3）＝0，则不等式f （1﹣2x ）＞0⇒f （1﹣2x ）＞f （3）⇒|1﹣2x|＜3， 解可得：﹣1＜x ＜2，即不等式的解集为（﹣1，2）. 故选B ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题． 7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（ ）. A. 24里 B. 12里C. 6里.D. 3里【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由6378S =求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．【详解】解：记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列， 由6378S =，得166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得：1192a =，65119262a ∴=⨯=， 故选C ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，是基础的计算题．8.若实数x ，y 满足243700x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨⎪⎪≥⎩则z ＝3x ＋2y 的最大值为（ ）A. 7B. 6C. 143D. 9【答案】A 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，根据图像知：当1,2x y ==时，32z x y =+有最大值为7. 故选：A .【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键. 9.已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A. -3 B. -2 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】 【分析】根据向量三角形法则求出t ，再求出向量的数量积.【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=-，221(3)1BC t =+-=，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．10.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若27b =3c =，2B C =，则cos 2C 的值为（ ） 7 B.59C.497【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理可推导出cos C 的取值，再利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理可得：sin sin b cB C=即sin sin 22sin cos 2cos sin sin sin b B C C C C c C C C =====cos C ⇒= 275cos 22cos 12199C C ∴=-=⨯-=本题正确选项：B【点睛】本题考查正弦定理和二倍角公式的应用，属于基础题.11.函数()log 31(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11m n+的最小值为（ ）A. 3-B. 5C. 3+D. 3+【答案】C 【解析】令31+=x ，则2x =-可得：log 111a y =-=-，据此可得：()2,1A -- 点A 在直线10mx ny ++=上，故：210,21m n m n --+=∴+=，则：()111122333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当m n ==.综上可得：11m n+的最小值为3+本题选择C 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 12.()()(),()()f x R f x f x x R f x f x ∀∈<''设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于 恒成立，则下列各式恒成立的是（ ） A. 2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef << B. 2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef >>C. 2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f ><D. 2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数()()x f x F x e=，求出'()0F x >，得到该函数为R 上的增函数，故得(0)(1)F F <，(0)(2018)F F <，从而可得到结论．【详解】设()()x f x F x e=，x R ∈（） 所以'()()[]x f x F x e '==()()xf x f x e '-因为对于()(),x R f x f x ∀∈<'，所以'()0F x >，所以()F x 是R 上的增函数， 所以(0)(1)F F <，(0)(2018)F F < 即(1)(0)f f e <，2018(2018)(0)f f e <， 整理得()()10f ef >和()20182018(0f ef >）．故答案选B ．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，导数的运算法则的应用，属于中档题．第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．【解析】 【分析】解方程[(0)]2f f =即得a 的值. 【详解】∵0(0)223f =+= ∴[(0)](3)log 2a f f f == ∵[(0)]2f f =∴log 22a =， 因为0,a >所以解得a ．故答案【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查指数对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC 的面积为__________.【答案】【解析】 【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=， 即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 222ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．15.已知曲线32()3f x x =在点()1,(1)f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-+的值为__________．【答案】35【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出tan 2α=，然后将所给齐次式转化为只含有tan α的形式后求解即可．【详解】由()323f x x =得()22f x x '=， ∴()12f '=，故tan 2α=．∴2222212132212215sin cos tan sin cos cos tan ααααααα---===++⨯+． 故答案为35． 【点睛】本题以对数的几何意义为载体考查三角求值，对于含有sin ,cos αα的齐次式的求值问题，一般利用同角三角函数关系式转化为关于tan α的形式后再求解，这是解答此类问题时的常用方法，属于基础题．16.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x，则f (919)＝________. 【答案】6 【解析】 【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值. 【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+= ()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力. 三、解答题（本大题共6小题）17.已知向量2,1(),1,),3,1(b m a b n b a a k -==+=-=-. (1)若mn ，求k 的值；(2)当=2k 时，求m 与n 夹角的余弦值．【答案】（1）-3；（2. 【解析】 【分析】(1)根据向量平行的坐标关系求得.k(2)根据向量的数量积运算求得夹角.【详解】解 (1)由题意，得12(),)2,1(m k k n ==，－－－＋．因为mn ，所以()12)12(k k ⨯⨯＋＝－－－，解得3k =-. (2)当2k ＝时，,)3(4n -=． 设m 与n 的夹角为θ，则||||m ncos m n θ⋅=5==.所以m 与n . 【点睛】本题考查向量的平行关系和向量数量积运算，属于基础题.18.已知函数2()212sin ()f x x x x R =+-∈.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若c =，()22Cf =，sin 2sin B A =，求,a b 的值.【答案】（1）T=π，()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）1,2a b ==. 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式降幂化一，可求周期和单调区间. （2）由22C f ⎛⎫=⎪⎝⎭求出C 的值，结合正余弦定理求得a ，b 的值．【详解】（1）()cos22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 周期为T π=. 因为()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 所以()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以所求函数的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）因为2sin 226C f C π⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又0C π<<，所以3C π=，所以222222cos ,33a b ab a b ab π=+-+-=，①又因为sin 2sin B A =，由正弦定理可得，2b a =，②由①②可得1,2a b ==.【点睛】本题考查了三角函数的倍角公式，考查了y=asinθ+bcosθ型的化一问题，训练了正余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．19.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －n （n ∈N *）．（1）证明：数列{a n ＋1}为等比数列；（2）若数列{b n }为等差数列，且b 3＝a 2，b 7＝a 3，求数列11n n b b +的前n 项和T n . 【答案】（1）证明见解析；（2）1n n T n =+ 【解析】【分析】（1）化简得到121n n a a -=+，计算1121n n a a -+=+得到证明. （2）计算n b n =，故11111n n b b n n +=-+，利用裂项求和法计算得到答案. 【详解】（1）2n n S a n =-，当1n =时，11a =；当2n ≥时，1121n n S a n --=-+，两式相减得到121n n a a -=+，23a =.1111211211n n n n a a a a ---+++==++，验证1n =满足. 故{}1n a +为首项为2，公比为2的等比数列.（2）21n n a =-，故3123b b d =+=，7167b b d =+=，解得11b d ==，故n b n =，()1111111n n b b n n n n +==-++，故111111 (22311)n n T n n n =-+-++-=++. 【点睛】本题考查了等比数列的证明，裂项求和法计算前n 项和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.20.已知{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，且b 1＝a 1＝1，b 3＝a 4，b 1＋b 2＋b 3＝a 3＋a 4.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .【答案】(1)1,2n n n a n b -==；(2)T n ＝(n －1)·2n ＋1.【解析】试题分析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，可得,d q 的方程组，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（2）求得12n n n n c a b n -==⋅，运用乘公比错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求的和.试题解析：(1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，依题意得解得d ＝1，q ＝2. 所以a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，b n ＝1×2n －1＝2n －1.(2)由(1)知c n ＝a n b n ＝n·2n －1，则 T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n －1，①2T n ＝2·20＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n·2n ，②①－②得：－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n·2n＝－n·2n ＝(1－n)·2n－1， 所以T n ＝(n －1)·2n ＋1.21.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边的边长为,,a b c ，且()2cos cos cos cos b a B C c B A =+．（1）求B 的大小；（2）若5a c +=，且3ABC S ∆=，求边长b 的值．【答案】（1）3B π=；（2）13b =． 【解析】【分析】（1）运用正弦定理将条件()2cos cos cos cos b a B C c B A =+中的边化为角，进行三角恒等变形，可得3B π=；（2）运用余弦定理，三角形的面积公式．结合条件5a c +=，即求13b =．【详解】（1）由正弦定理得()sin 2sin cos cos sin cos cos B A B C C B A =+()2cos sin cos sin cos B A C C A =+()2cos sin B A C =+又因为在三角形中， ∴， 可得， 又， 所以.()()()2222213b a c ac a c ac =+-=+-由及余弦定理得：∵25253a c b ac +=∴=-， 13,sin 342ABC S ac B ac ∆===，即 21313b b ∴=∴=【点睛】本题主要考查三角形正弦定理、余弦定理和三角函数的恒等变换公式，及三角形面积．属于中档题．22.已知函数f （x ）=lnx ﹣ax ，其中a 为实数．（1）求出f （x ）的单调区间；（2）在a ＜1时，是否存在m ＞1，使得对任意的x∈（1，m ）,恒有f （x ）+a ＞0，并说明理由.【答案】（1）答案见解析；（2）在a ＜1时，存在m ＞1，使得对任意x∈（1，m ）恒有f （x ）+a ＞0．理由见解析．【解析】【分析】（1）对函数求导，并分a ≤0和a ＞0两种情况讨论．可求出结果；（2）结合（1）将a ＜1分为a≤0和01a <<两种情况进行讨论即可．【详解】（1）∵f（x ）=lnx ﹣ax ，∴ ()1f x a x'=-， 当a≤0时，f'（x ）＞0恒成立，函数f(x)在定义域（0，+∞）递增；无减区间当a ＞0时，令f'（x ）=0，则x=1a ， 当x∈（0，1a ）时，f'（x ）＞0，函数为增函数， 当x∈（1a，+∞）时，f'（x ）＜0，函数为减函数． ()00a ≤+∞综上可得，当时增区间为，，无减区间()110,0,,,a f x a a ⎛⎫⎛⎫>+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时增区间为减区间为 （2）在a ＜1时，存在m ＞1，使得对任意的x∈（1，m ）恒有f （x ）+a ＞0．理由如下：由（1）得当a≤0时，函数f(x)在（1，m ）递增，()()()10f x f a f x a >=-+>此时，即，()1101,0,,,a f x a a ⎛⎫⎛⎫<<+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时增区间为减区间为，11a 而即f （x ）+a ＞0．综上可得：在a ＜1时，存在m ＞1，使得对任意x∈（1，m ）恒有f （x ）+a ＞0．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及恒成立问题，着重考查了转化思想，分类讨论思想，及学生的运算能力、推理能力．属于中档题．。
联考2019-2020学年第一学期半期考高三理科数学试题（考试时间：120分钟 总分：150分）试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=-212|4x x A ，集合2={|3100}B x x x --≤，则A B =（ ）A. ∅B. ]3,2[-C.）（5,3D.]5,3[2.已知命题xxR x p 23,:>∈∀，命题:q 若△ABC 中，7,8,5===c b a ,则20-=⋅CA BC ，则下列命题正确的是（ ）A.q p ∧B.q p ∧⌝)（ C.)(q p ⌝∨ D.)()q p ⌝∧⌝（ 3.已知0cos 2sin =-θθ，则=-θθ2sin sin32（ ）A.58B.516 C.2D.514 4.已知函数23log (),0()2(1),0xx t x f x t x ⎧+<⎪=⎨⋅+≥⎪⎩ ，若(1)6f =，则((2))f f -的值为（ ）A ．64B ．18C ．12D ．1125.在ABC ∆中，D 为AB 边上一点，且满足DB AD 2=，E 为BC 边中点，则=ED （ ） A.AC AB 2161+-B.AC AB 2161-C.AC AB 2165+-D.AC AB 3161-- 6.设a 为实数，函数32()(1)f x x a x ax =+-+的导函数为()f x '，且()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为（ ）A ．20x y +=B ．20x y -=C ．0x y -=D ．0x y +=7.函数)||,0,0)(cos()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，现将此图象向左平移12π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ） A ．x x g 2sin 2)(-=B ．)1272cos(2)(π-=x x g C ．x x g 2sin 2)(=D ．)652cos(2)(π-=x x g 8.设0)2()22(:,023:22≤+++-≤+-m m x m x q x x p ，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是（ ）A. ]1,0[B.）（1,0C.),1[]0+∞∞- ，（ D. ），（），（∞+∞-10 9.函数2sin(4)241x x x y π⋅+=-的图象大致为（ ）A.B.C. D.10.已知函数()()f x x R ∈满足(1)(1)f x f x -=-+，若函数11y x=-与()y f x =图象的交点为1122(,),(,),,(,)m m x y x y x y ⋅⋅⋅，则12m x x x +++=（ ） A ．0 B ．m C ．2m D ．4m11.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数为()f x '，当0x ≠时，()()0f x f x x'+<， 若sin(sin )66a f ππ=⋅，2(2)b f =-⋅-，ln 2(ln 2)c f =⋅，则,,a b c 的大小关系为( ) A ．b c a >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>12.设函数()(2ln 1)f x x x ax a =--+，其中0a >，若仅存在两个正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是( )A. 3(0,3ln 3]2-B. (4ln 22,)-+∞C. 3[4ln 22,3ln 3)2-- D. 3(4ln 22,3ln 3]2--第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量),1(),1,3(m b a =-= ，若b b a⊥+)(，则实数=m .14.ABC ∆中，3,260==︒=AB AC C ，,则角=A .15.设()f x 是定义在[3,2]b b --上的偶函数，且在[3,0]b --上为增函数，则不等式)3()1(f x f ≤-的解集为 . 16.已知函数)0)(sin(2)(>+=ωϕωx x f 的图象关于直线2π=x 对称，且183=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,83ππ上单调，则ω的值为. 三、解答题：（本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共60分. 17.（本小题共12分）已知函数2cos sin 32)2(sin 2)(2-+-=x x x x f π.（Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）若,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求)(x f 的值域. 18. （本小题共12分）一家小微企业生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，假设该企业每个月可生产该小型产品x 万件并全部销售完，每万件的销售收入为)4(x -万元，且每生产1万件政府给予补助6ln 1(6)x x x--万元． （Ⅰ）求该企业的月利润()L x （万元）关于月产量x （万件）的函数解析式；（Ⅱ）若月产量[1,6]x ∈万件时，求企业在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生产量值（万件）．（注：月利润＝月销售收入+月政府补助月总成本） 19. （本小题共12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 若)35)((cos 6222b c a c b B abc --+=，且B b sin 5=.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值．20. （本小题共12分）已知函数6)(),1(log )(2221+-=+=ax x x g x x f .（Ⅰ）若关于x 的不等式0)(<x g 的解集为}32|{<<x x ，求函数)1(1)(>-=x x x g y 的最小值； （Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意]4,2[1-∈x ，存在),1[2+∞∈x ，不等式)()(21x f x g ≤成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.21. （本小题共12分）已知函数()()x f xe x R x =∈，e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求证：当1x >时，()12ln 11f x x x x ->---； （Ⅱ）若函数()21()()12g x f x a x =-+有两个零点，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分。
福建师大附中2019-2020学年上学期期中考试高三数学（理科）试卷试卷说明：（1）本卷共三大题，22小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。
（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合{|110}A x x =-<…，集合{|lg 1}B x x =…，则AB =2.若非零向量a ，b 满足||||a b =，向量2a b +与b 垂直，则a 与b 的夹角为3.已知0.21.2512,,2log 22a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为4. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为 5. 设}{n a 是首项为正数的等比数列，公比为，则“0<q ”是“对任意的正整数，0212<+-n n a a ”的6. 若1sin 42a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 22a π⎛⎫+=⎪⎝⎭ A ．{|110}x x -≤< B ．{|110}x x -≤≤ C ．{|010}x x << D ．{|010}x x <≤ A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30°A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件A. 1()sin 1x x e f x xe -=⋅+ B. 1()sin 1xxe f x x e -=⋅+ C. 1()cos 1x x e f x xe -=⋅+D. 1()cos 1xxe f x x e -=⋅+8. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，12BC AC =.根据这些信息，可得sin 234︒=A.B.C.14-D.48+-9. 若x ，y 满足约束条件220330240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，目标函数z ax y =+仅在点（2，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是10. 已知平面向量,PA PB 满足11,2PA PB PA PB ==⋅=-，若1BC =，则AC 的最大值为11.已知函数()21cos (0,R)22xf x x x ωωω=+->∈.若函数()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则的取值范围是10,2）（） B ．3- C ．21+D ．3112.设函数()2e +x f x ax =(a R ∈)有且仅有两个极值点12x x ，(12x x <)，则实数的取值范围是Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：每小题5分,共20分. 13.边界在直线,x e y x ==及曲线1y x =上的封闭的图形的面积为 ．14. 16至17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数．后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即=b a N ⇔=log a b N .现在已知2=3a， 3=4b ，则ab = ．15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.现要测量如图所示的蓝洞的口 径,两点间的距离，在珊瑚群岛上取两点C ，，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠∠==︒，120ACB ∠=︒，则,两点的距离为________．已知数列{}n a 的前项和为nS （*n N ∈），且满足212n n S S n n++=+，若对*1,n n n N a a +∀∈<恒成立，则首项1a 的取值范围是_________．三、解答题：共70分。
2008-2009学年福建师大附中高三数学上学期期中模块测试试卷（理）（满分：150分，时间：120分钟）说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷。
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的） 1．已知54sin ),2,2(-=-∈αππα，则αtan 等于 （ ）A ．43-B ．34- C ．53-D ．342．设f x x →：是集合A 到集合B 的映射．若{}2,0,2A =-且A ≠B ，则A B =（ ）A ．{0}B ．{2}C ．{0，2}D ．{2-，0} 3．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）A ．10=b ， 45=A ，70=CB ．60=a ，48=c ，60=BC ．7=a ，5=b ，80=A D ．14=a ，16=b ，45=A4．已知)(x f ＝ ,cos x π x ≤0,,0,1)1(>+-x x f 则⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛3434f f 的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2 5．在等比数列}{n a 中，已知81131=a a a ，那么=82a a（ ）A ．4B ．6C ．12D ．166．在ΔABC 中，cbc A 22sin2-=(c b a ,,分别为A 、B 、C 的对边)，则ΔABC 的形状为（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形7．某市计划从2006年到2010年共5年间全部更新了市内原有的所有出租车，每年更新的车辆数比前一年递增10%，并且5年间市内所有出租车的车辆总数保持不变，那么在2006年底更新了的车辆数约为车辆总数的（参考数据41.1 1.46=，51.1 1.61=） （ ）A ．20%B ．10%C ．16.4%D ．16.8%8．已知点(m,n)在函数xax f =)(的图象上，则下列哪个点一定在函数=)(x g )1,0(l o g ≠>-a a x a 的图象上（ ）A ．(n,m)B ．(n,-m)C ．(m,-n)D ．(-m,n)9．设数列{n a }是等差数列，且n S a a ,6,682=-=是数列{n a }的前n 项和，则 （ ） A ．S 4<S 5 B ．S 4=S 5C ．S 6<S 5D ．S 6=S 510．若函数22)(23--+=x x x x f 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数则方程02223=--+x x x 的一个近似根（精确到0.1）为 （ ）A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.511．把函数x x y sin 3cos -=的图象向左平移m （其中m>0）个单位，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A ．6π B ． 3π C ．32πD ．65π 12．已知函数①325)(-=xx f ；②x e x f c o s 5)(=；③x e x f 5)(=；④x x f ln 5)(=．其中对于)(x f 定义域内的任意一个自变量1x ，都存在唯一的自变量2x ，使5)()(21=x f x f 成立的函数为（ ）A ．①③④B ．②④C ．①③D ．③二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分） 1．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+= .14．二次函数)(x f 满足,3)0(,1)2(),2()2(==-=+f f x f x f 且如果)(x f 在区间[0，m ]上最小值为1，最大值为3，则m 的取值范围是 . 15．)0(51cos sin π<<-=+x x x ，则x cos = . 16．给出如下命题：（1）1+aa a a a --=+++11762；（2）函数y=2sin(2x-4π)的一个单调递减区间是]83,8[ππ-； （3）若)(x f 对任意实数y x ,恒有)()()(y x f y f x f +=+，则)(x f 必为奇函数； （4）函数||1|ln |)(-=x x f 与函数21)(x x g -=的图象有且只有两个交点.其中真命题的序号为 .ABDOC三、解答题：（本大题共6小题，共74分） 17．（本题满分12分）已知集合A={})232lg(|2-+=x x y x ，集合B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=1212|x x y y ，求(R A)∪B.18．（本题满分12分）已知：数列}{n a 是首项为1的等差数列，且公差不为零，而等比数列}{n b 的前三项分别是.,,621a a a（1） 求数列}{n a 的通项公式n a ；（2） 若8521=+++k b b b ，求正整数k 的值. 19．（本题满分12分）已知函数t x x x x x f ++-=ωωωωsin cos 32sin cos )(22（ω>0），若)(x f 图象上有相邻两个对称轴间的距离为23π，且当[]π,0∈x 时，函数)(x f 的最小值为0. （1）求函数)(x f 的表达式；（2）在ΔABC 中，若1)(=B f ，且)cos(cos sin 22B A C C -+=，求∠B 与A sin 的值.20．（本题满分12分）已知：正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，方程0442=-+n S x x 有一根为1-n a . （1）证明数列}{n a 为等差数列；（2）n n n 12n 1113T =,T T .S S S 4+++令求并比较与21．（本题满分12分）如图，海岛O 上有一座海拔1千米的山，山顶上设有一个观察站A （即OA=1千米且OA ⊥平面COB ），上午11时测得一轮船在岛北偏东60º的C 处，俯角为30º，11时10分又测得该船在岛北偏西60º的B 处，俯角为60º. （1）该船的速度为每小时多少千米？（2）若该船不改变航向继续前进到D 处，测得∠CDO 的正弦值为1313，问此时D O 的距离为多少千米?22．（本题满分14分）已知函数.1,0),)(2(log 2)(),1(log )(≠>∈+=+=a a R t t x x g x x f a a 且 （1）若1是关于x 的方程0)()(=-x g x f 的一个解，求t 的值； （2）当110-=<<t a 且时，解不等式)()(x g x f ≤；（3）若函数12)(2)(+-+=t tx a x F x f 在区间(]2,1-上有零点，求t 的取值范围.附加题：（本题解答正确完整给10分，不答或答错不扣分，只有结论没有过程不给分）设函数)(x f 定义域为R ，当x<0时，f(x)>1，且对于任意的x ∈R ，有f(x + y)=f(x)•f(y)成立.数列{a n }满足a 1=f(0)，且f(1+n a )=)()2(1N n a f n ∈--.问：是否存在正数k ，使(1+N n n k a a a n∈+⋅≥++对一切12)11()11)(121 均成立，若存在，求出k 的最大值并证明，否则说明理由.参考答案一、选择题：1. B 2. C 3.D 4.C 5.A 6.B 7.C 8.B 9.B 10.C 11.C 12.D 二、填空题：13. 223 14. 2≤m ≤4 15. 54- 16. ③④ 三、解答题：17.解：∵A={x|2x 2+3x-2>0}={x|x<-2或x>}21又∵12211212+-=+-=x x x y ∵112>+x∴ 11210<+<x ∴112211<+-<-x ∴B={y|-1<y<1} 又∵R A={x|-2≤x ≤}21∴R A ∪B={x|-2≤x<1}.18．解：（1）设数列{n a }的公差为d ≠0，∵a 1、a 2、a 6成等比，∴a 22=a 1a 6 ∴(a 1+d)2=a 1(a 1+5d) ∴3a 1d=d 2∴a 1=31d=1 ∴d=3 ∴n a =3n-2 （2）设数列{n b }的公比为q ，则q=412=a a ∵8521=+++k b b b ∴854141=--k∴442564==k ∴k=4.19．解：（1）∵t x x x f ++=ωω2sin 32cos )(＝2t x x ++⋅)2cos 21232(sin ωω＝t x ++)62sin(2πω∵ππ3232=⨯=T 又∵0>ω ∴ππω322= ∴31=ω ∴t x x f ++=)632sin(2)(π当π≤≤x 0时 656326πππ≤+≤x ∴1)632sin(21≤+≤πx ∴f(x)最小值＝0212=+⨯t ∴t=-1∴f(x)的表达式为：.1)632sin(2)(-+=πx x f （2）在ΔABC 中，∵11)632sin(2)(=-+=πB B f∴1)632sin(=+πB 又∵0＜B ＜π ∴2632ππ=+B ∴2π=B∵)cos(cos sin 22B A C C -+= ∴)2cos()2cos()2(sin 22πππ-+-=-A A A∴2cos 2A=2sinA ∴01sin sin 2=-+A A ∴251sin 251sin --=+-=A A 或（舍去） ∴251sin +-=A 20．解：（1）证明：∵1-n a 是方程0442=-+n S x x 根 ∴04)1(4)1(2=--+-n n n S a a∴04322=--+n n n S a a ┉┉┉┉┉┉┉①当2≥n 时，04321121=--+---n n n S a a ┉┉┉┉┉┉② ①－②得：04221212=--+---n n n n n a a a a a )(2))((111---+=-+n n n n n n a a a a a a ∵0>n a ∴21=--n n a a当n=1时 04321121=--+a a a ∴31=a 或11-=a (舍去) ∴}{n a 是首项为3，公差为2的等差数列 （2）∵)2(222)1(21+=+=⨯-+=n n n n n n na S n ∴)211(211+-=n n S n ∴)2114121311(21+-++-+-=n n T n ∴43)2111(2143)211123(21<+++-=+-+-=n n n n T n 21．解：（1）在Rt ΔABO 中，∵∠ABO=60º,AO=1，∴BO=33, 在Rt ΔACO 中，∵∠ACO=30º,AO=1，∴OC=3,在ΔBOC 中，∵∠BOC=120º，∴BC=022120cos 2BO OC BO OC ⋅-+=339313=∵t=61 ∴392=tBC(km/h) 答：该船的速度为每小时392千米. （2）设∠CBO=α，在ΔBOC 中，∵339120sin 3sin 0=α ∴sin α=26393 在ΔBDO 中，∵CDOBODO ∠=-sin )sin(απ ∴DO=1.5(km)答：此时D O 的距离为1.5千米.22．解：（1） ∵1是方程f(x)-g(x)=0的解，∴log a 2=log a (2+t)2,∴(2+t)2=2 又∵t+2>0 ∴t+2=2 ∴t=22-.（2）∵t=-1时，log a (x+1)≤log a (2x-1)2又∵0<a<1∴ x+1≥(2x-1)2∴ 4x 2-5x ≤0 ∴ 0≤x ≤452x-1>0 x ≥21 x ≥21 ∴解集为：{x|4521≤<x } （3）解法一：∵F(x)=tx 2+x-2t+2由F(x)=0得：t=2(222±≠-+-x x x 且-1<x ≤2） ∴t=2)2(4)2(22++-++-x x x设U=x+2 ( 1<U ≤4且U ≠22±)则 t=UU U U U241242+--=+--令)(U ϕ=U U 2+ ∵222)(UU U -='ϕ ∴当21<<U 时，)(U ϕ是减函数，当42<<U 时，)(U ϕ是增函数， 且29)4(,3)1(,22)2(===ϕϕϕ . ∴29)(22≤≤U ϕ且)(U ϕ≠4. ∴≤-214-U U 2+<0或0<4-UU 2+≤224-,t 的取值范围为：4222+≥-≤t t 或. 解法二：若t=0,则F(x)=x+2在]2,1(-上没有零点. 下面就t ≠0时分三种情况讨论：① 方程F(x)=0在]2,1(-上有重根x 1=x 2，② 则Δ=0，解得：t=422± 又x 1=x 2=t 21-∈]2,1(-，∴t=422+. ②F(x)在]2,1(-上只有一个零点，且不是方程的重根，则有F(-1)F(2)<0 解得：t<-2或 t>1又经检验：t=-2或t=1时，F(x)在]2,1(-上都有零点； ∴t ≤-2或 t ≥1.③方程F(x)=0在]2,1(-上有两个相异实根，则有： t>0 t<0Δ>0 Δ>0 -1<221≤-t 或 -1<221≤-t 解得：1422<<+t F(-1)>0 F(-1)<0F(2)>0 F(2)<0综合①②③可知：t 的取值范围为4222+≥-≤t t 或. 附加题：解：令x=-1,y=0,得f(-1)=f(-1)•f(0), ∵-1<0, ∴f(-1)>1, ∴f(0)=1, ∵f(0)=f(x)f(-x) ∴f(x)>0设x 1<x 2 ∵x 1-x 2<0 ∴f(x 1-x 2)>1 ∴f(x 1)=f(x 1-x 2)f(x 2) ∴f(x 1)>f(x 2)∴f(x)是R 上的减函数. 由1)2()()2(1)(11=--⋅--=++n n n n a f a f a f a f 得,∴).(2,02).0()2(111N n a a a a f a a f n n n n n n ∈=-=--∴=--+++即 又∵a 1=f(0)=1.∴{a n }是等差数列，其首项为1，公差为d=2.∴a n =2n-1. ∴存在正数k ，使12)11()11)(11(21+≥+++n k a a a n成立. 设.11)1(4)1(2)()1(,12)11()11)(11()(221>-++=+++++=n n n F n F n a a a n F n则∴F(n)单调递增. ∴F(1)为F(n)的最小值. 由F(n)≥k 恒成立. ∴k ≤332∴k 的最大值为.332。
