最大公因数与约分

约分和通分板块一：知识点归纳：1、公因数与最大公因数：几个数共有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

2、求两个数的最大公因数的方法：（1）短除法如：求18和27的最大公因数（用短除法）（2）分解质因数的方法：先将这两个数分解质因数，再从分解的质因数中找出这两个数共有的质因数，共有的质因数相乘就是这两个数的最大公因数。

如：27=3×3×3 36=3×3×4 ，则27和36的最大公因数是（）。

3、互质数的意义和判断方法：公因数只有1的两个数叫做互质数。

注意：并不是两个质数才叫互质数，合数和合数也可能成为互质数，判断两个数是否是互质数，就要看他们是不是公因数只有1。

4、互质数的特殊情况：（1）1和任何非0的自然数都是互质数（2）2和任何奇数都是互质数（3）相邻的另个自然数是互质数（4）相邻的两个奇数都是互质数（5）不相同的两个质数都是互质数5、求两个数的最大公因数都特殊情况当两个数成倍数关系时，较小数就是两个数的最大公因数当公因数只有1的两个数（互质数）的最大公因数是1。

6、约分：把一个分数化成和他相等，但是分子和分母都比较小的分数叫做约分。

7、最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。

8、公倍数与最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

9、求最小公倍数的方法：（1）分解质因数法：A=2×3×7，B=2×5×3，则A和B的最小公倍数是（ 210 ）。

（2）短除法10、两个数的最小公倍数的特殊情况：（1）如果两个数种较大的数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。

如求13和52的最小公倍数。

（2）如果两个数都是质数，那么这两个数的积就是这两个数的最小公倍数。

如：求11和12的最小公倍数。

11、分母相同及分子相同的分数大小比较方法：（1）分母相同的两个分数大小比较方法：分母相同，分子越大，分数越大（2）分子相同的两个分数大小比较方法：分子相同，分母越小，分数越大。

最大公因数与约分（教师版）学生姓名年级学科授课教师日期时段核心内容最大公因数、约分课型一对一/一对N教学目标1、了解公因数、最大公因数在现实生活中的应用，并掌握求最大公因数的方法；2、理解约分的意义，掌握约分的方法，并能准确判断约分的结果是不是最简分数；3、分数的大小比较。

重、难点1、通过分数的性质学会分数的约分；2、掌握求最大公因数的方法。

课首沟通1.上次学习的分数的意义和性质都掌握了吗？2.今天我们将继续学习分数的有关内容，你准备好了吗？知识导图课首小测1.[因数、公因数和最大公因数] [难度：★★] 如果a与b是两个不同的质数，那么a与b的最大公因数是（）。

【参考答案】12.[因数、公因数和最大公因数] [难度：★★] A＝2×5×7，B＝2×2×3×5，A和B的最大公因数是（）。

【参考答案】103.[因数、公因数和最大公因数] [难度：★★ ] 六一儿童节那天，某慈善工会买了320个苹果、240个桔子、200个雪梨，去看望福利院的小朋友，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物？【参考答案】40份【题目解析】(320,240,200)=40，所以最多可以分成40份同样的礼物。

4.[因数、公因数和最大公因数] [难度：★★ ] 求下列数的最大公因数。

5和6 64和16 24和56【参考答案】1；16；8【题目解析】5和6互质，最大公因数是1；64和16的最大公因数是2×2×2×2=16；24和56的最大公因数是2×2×2=8导学一：最大公因数知识点讲解 1：最大公因数1.最大公因数：几个数相同的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个因数，叫这几个数的最大公因数。

例如：16的因数有（1、2、4、8、16），12的因数有（1、2、3、4、6、12），12和16的公因数有（ 1、2、4 ），最大公因数是（ 4 ）。

最大公因数与约分
1.约分：分子分母同时除以公因数叫约分。

（约分=化简。

）
“约分找公因数”
2.约分原理：约分利用的是分数的性质的原理之一。

即分子分母同时除以相同的数（不能为0），分数的大小不变。

这里的相同的数就是分子分母的公因数。

6 ÷ 2 = 3
8 ÷ 2 = 4 最简分数
公因数
3.约分结果：将分数化成最简分数。

4.互质数：只有公因数为1的两个数，叫互质数
5.最简分数：分子分母互质（只有公因数1）的分数叫最简分数。

*掌握：短除法约分（找最大公因数法）
例如：12 ÷ 6 = 2
18 ÷ 6 = 3
2 12 18
3 6 9
2 3
最大公因数=左侧相同因数相乘的积. 2×3=6
=左侧的数相乘。

约分【知识归纳】1.公因数和最大公因数的意义:几个数公有的因数叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做它们的最大公因数。

2.求两个数的最大公因数的方法:(1)列举法;(2)先找出两个数中较小数的因数,再从中圈出另一个数的因数,找出最大公因数;(3)分解质因数法;(4)短除法3.求两个数的最大公因数的特殊方法:(1)当两个数成倍数关系时,较小数是这两个数的最大公因数;(2)当两个数是互质数时,这两个数的最大公因数是1。

4.约分的意义:把一个分数化成和它相等,但分子和分母都比较小的分数,叫做约分5.最简分数的意义:分子和分母只有公因数1的分数6.约分的方法:(1)逐步约分法;(2)一次约分法。

【重难点点拨】1.把一个分数的分子、分母同时除以公因数,分数的值不变,这个过程叫作约分;像4这样,不能再约分了,叫作最简分数。

2.倍数关系的两个数,最大公因数是较小的数;互质关系的两个数,最大公因数是1.【精典例题】例1、18和27的最大公因数是多少?例2、把2418化简。

专题训练【基础知识】1.求出下面每组数的最大公因数2和6 13和26 1和7 8和92.你能很快说出下列各组数的最大公因数吗?并对每组数的公因数的特点进行总结。

6和12 13和7 1和14 8和9 2和9【能力提高】3.把下列分数化成分母是36的分数(分数的大小不变)43 7212 654.把下列分数化成分子是28的分数(分数的大小不变)6314 41 725.把下面分数约分成最简分数2612 4030 4816123 5511 45256.把43的分子扩大到原来的3倍分母应该怎样变化才能使分数的大小不变?变化后的分数是多少?7.有两根铁丝,一根长12米,另一根长30米,现在要把它们截成相等的小段每根不许有剩余每小段最长多少米?一共可以截成多少段？8.把长是12厘米宽是8厘米的纸板裁成面积相等,最大的正方形而且没有剩余,可以裁成多少块？9.一个分数用3约分了一次,用4约分了两次得52,原来这个分数是多少?通分【知识归纳】1、公倍数和最小公倍数的意义:几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的个数叫做它们的最小公倍数。

《最大公因数》讲义一、什么是最大公因数在数学的世界里，我们经常会碰到“最大公因数”这个概念。

那什么是最大公因数呢？简单来说，最大公因数就是几个整数共有的因数中最大的那个。

比如说，我们来看 12 和 18 这两个数。

12 的因数有 1、2、3、4、6、12；18 的因数有1、2、3、6、9、18。

它们共有的因数有1、2、3、6，其中最大的就是 6，所以 12 和 18 的最大公因数就是 6。

为了更清楚地理解最大公因数，我们还可以从因数的定义说起。

因数就是能够整除一个数的数。

而几个数共有的因数，就是它们的公因数。

在这些公因数中，数值最大的那个就是最大公因数。

二、如何求最大公因数接下来，我们来学习一下如何求出两个数的最大公因数。

1、列举法这是最直观的方法。

就像我们刚才求 12 和 18 的最大公因数那样，分别列出两个数的因数，然后找出它们共有的因数，再从中找出最大的那个。

2、分解质因数法先把这两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数相乘，所得的积就是这两个数的最大公因数。

例如，求 24 和 36 的最大公因数。

24 ＝ 2×2×2×336 ＝ 2×2×3×3它们公有的质因数是 2、2、3，相乘得到 12，所以 24 和 36 的最大公因数是 12。

3、短除法短除法是一种比较常用且有效的方法。

比如求 30 和 45 的最大公因数。

先用 30 和 45 同时除以它们的一个公约数，比如 5，得到 6 和 9；再用 6 和 9 同时除以 3，得到 2 和 3。

此时，2 和 3 互质，所以 30 和 45 的最大公因数就是 5×3 ＝ 15。

三、最大公因数的性质了解了求最大公因数的方法，我们再来看看最大公因数的一些性质。

1、两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质的。

比如 12 和 18 的最大公因数是 6，12÷6 ＝ 2，18÷6 ＝ 3，2 和 3 是互质的。