章末知识复习

章末复习教学目标1．复习立体图形与平面图形，直线、射线、线段，以及角的相关知识．2．通过复习本章知识绘制出知识结构图．教学重点应用直线、射线、线段的相关知识，借助数学语言的转化解决有关问题．教学难点体会从实际背景中抽象出数学问题，应用相关知识解决问题．教学过程复习导入请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！1．下面是本章学到的一些数学名词，你能简短地描述这些数学名词吗？你能画出图形来表示它们吗？立体图形平面图形展开图两点的距离余角补角2．你能举出几个立体图形和平面图形的实例吗？3．找几个简单的立体图形，分别画出它们的展开图和从不同方向观察到的平面图形．你能由此说说立体图形与平面图形的联系吗？4．在本章中，关于直线和线段有哪些重要结论？5．本章学习了有关角的哪些知识？有哪些重要结论？【设计意图】以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识产生设疑，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望．要点复习考点一从不同方向观察立体图形【例1】从正三棱锥上面看到的平面图形是________．（填“A”或“B”）【答案】A【解析】从上面能看到正三棱锥的顶点及与顶点相连的三条棱．【归纳】（1）从前面观察物体看到的平面图形体现物体的长和高，从上面观察物体看到的平面图形体现物体的长和宽，从左面观察物体看到的平面图形体现物体的宽和高．（2）画从不同方向观察立体图形得到的平面图形时，看得见的部分用实线，看不见的部分用虚线．【跟踪训练1】如图是由几个小正方体搭成的几何体的从上面看到的平面图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，画出从前面和左面看到的平面图形．【分析】根据图中的数字，可知从前面看有3列，从左到右的个数分别是1，2，1；从左面看有2列，个数都是2．【答案】解：从前面看从左面看【归纳】根据从上面看到的标数字的形状图确定从前面和左面看到的形状图，只需比较对应各行、各列数字的大小即可，一般按如下技巧进行：（1）从前面看到的形状图由各列的最大数字确定；（2）从左面看到的形状图由各行的最大数字确定；（3）最后将数字转化为正方形的个数，画出形状图．【设计意图】通过例1及跟踪训练1，考查学生对从不同方向观察立体图形这类问题的掌握情况．考点二立体图形的展开图【例2】在下列图形中（每个小四边形皆为相同的正方形），可以是一个正方体展开图的是（）．A．B．C．D．【答案】C【归纳】正方体的展开图可按如下口诀记忆：中间四个面，上、下各一面；中间三个面，一、二隔“河”见；中间两个面，“楼梯”就出现；中间没有面，三、三连一线．【跟踪训练2】根据下列立体图形的平面展开图，填写立体图形的名称．（1）_______，（2）_______，（3）________．【答案】长方体三棱柱三棱锥【归纳】根据展开图判断立体图形形状的规律（1）展开图全是长方形或正方形时，要考虑长方体和正方体；（2）展开图中有三角形时，要考虑三棱柱或棱锥；（3）展开图中有长方形（或正方形）和圆时，要考虑圆柱；（4）展开图中有扇形时，要考虑圆锥．【设计意图】通过例2及跟踪训练2，让学生掌握立体图形和平面图形之间的相互转化，并能够解决立体图形的展开图这类问题．考点三直线、线段的基本事实【例3】A，B两地间修建曲路与修建直路相比，虽然有利于游人更好地观赏风光，但增加了路程．其中蕴含的数学道理是（）．A．经过一点可以作无数条直线B．经过两点有且只有一条直线C．两点之间，有若干种连接方式D．两点之间，线段最短【答案】D【解析】两地间修建曲路与修建直路相比，增加了路程，其中蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短．【跟踪训练3】经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是_____________________．【答案】两点确定一条直线【解析】经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是：两点确定一条直线．【归纳】直线、线段的性质在日常生活中有很多应用，我们要善于抓住问题的实质．【设计意图】通过例3及跟踪训练3，让学生体会数学知识在生活中的应用价值．考点四线段的有关计算【例4】两根木条，一根长20 cm，另一根长24 cm，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条的中点之间的距离为（）．A．2 cm B．4 cmC．2 cm或22 cm D．4 cm或44 cm【答案】C【解析】设较长的木条为AB＝24 cm，较短的木条为BC＝20 cm，点M，N分别为线段AB，BC的中点，则BM＝12 cm，BN＝10 cm．（1）如图①，点C不在线段AB上时，MN＝BM＋BN＝12＋10＝22（cm）；（2）如图②，点C在线段AB上时，MN＝BM－BN＝12－10＝2（cm）．综上所述，两根木条的中点之间的距离是2 cm或22 cm．【归纳】（1）遇到有关线段的计算问题，应认真分析图形及已知条件，找出已知与未知之间的关系，运用线段和、差、倍、分的意义及线段的中点的性质解题．（2）在题目没有给出图示的情况下，注意必要时分类讨论，在各种情况下分别求解后，得到题目的最终答案．【设计意图】通过例4的讲解学习，锻炼学生的思维严谨性，培养分类讨论的习惯．考点五角的有关计算【例5】如图，∠AOB＝60°，射线OC平分∠AOB，以OC为一边作∠COP＝15°，则∠BOP＝（）．A．15°B．45°C．15°或30°D．15°或45°【答案】D【解析】因为∠AOB＝60°，射线OC平分∠AOB，所以∠AOC＝∠BOC＝12∠AOB＝30°．以OC为一边作∠COP＝15°，分两种情况讨论：（1）如图①，当OP在∠BOC内部时，∠BOP＝∠BOC－∠COP＝30°－15°＝15°；（2）如图②，当OP在∠AOC内部时，∠BOP＝∠BOC＋∠COP＝30°＋15°＝45°．综上所述，∠BOP＝15°或45°．【归纳】解与角有关的计算题的依据是平角、直角的度数及角的平分线的性质，熟练掌握角的平分线的性质是求解的关键；当题目中的条件在图形中没有明确给出时，要注意是否需要进行分类讨论．【设计意图】通过例5的讲解学习，让学生学会运用分类讨论思想解决有关角的平分线的问题．考点六余角和补角【例6】已知∠A和∠B互为补角，并且∠B的一半比∠A小30°，求∠A，∠B．【答案】解：设∠A＝x°，则∠B＝180°－x°．根据题意，得∠B＝2(∠A－30°)，得180－x＝2(x－30)，解得x＝80．所以，∠A＝80°，∠B＝100°．【归纳】余角、补角的相关计算往往利用方程思想，即设一个角的度数为α，则它的余角和补角的度数分别为90°－α，180°－α，再根据题目所给的条件列方程求解．【跟踪训练4】一只蚂蚁从O点出发，沿东北方向爬行2.5 cm，碰到障碍物B后，折向北偏西60°方向爬行3 cm到C点．（1）画出蚂蚁的爬行路线；（2）求出∠OBC的度数．【答案】解：（1）如图所示；（2）∠OBC＝45°＋30°＝75°．【归纳】解答与表示方向的角有关的问题，需要从图形的角度入手，解题的关键是找准中心，正确画出表示方向的角．【设计意图】通过例6及跟踪训练4，让学生掌握应用方程思想解决角的问题，以及应用方位角的相关知识解决实际问题．课堂小结板书设计一、从不同方向观察立体图形二、立体图形的展开图三、直线、线段的基本事实四、线段的有关计算五、角的有关计算六、余角和补角课后任务完成教材第185页复习题6第1～7题．教学反思_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________。

章末复习【知识与技能】1.理解并掌握三角形及三角形的重要线段的概念；2.掌握三角形的三边间的关系；3.会利用三角形的内角和定理及外角公式计算角度.4.掌握证明命题的一般步骤.【过程与方法】理解并掌握三角形及三角形的重要线段的概念；掌握三角形的三边间的关系；会利用三角形的内角和定理及外角公式计算角度.掌握证明命题的一般步骤，经历知识的形成过程，增强学生的逻辑思维能力.【情感与态度】培养合作交流、探索求实的思想.【教学重点】重点是会灵活运用内角和定理及外角公式计算角度.【教学难点】难点是证明命题推理分析的过程.一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识框图，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.教学时，边回顾边建立知识框图.二、典例精析，复习新知例1一个三角形的两边长分别为2和9,第三边为奇数,则此三角形的周长是多少？（三边关系：判定能否成三角形；求线段的取值范围；证明线段的不等关系）【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可得出第三边取值范围，再根据第三边为奇数得出第三边，最后根据周长公式即可得出答案.【解】设第三边长为x，根据三角形三边关系，∴9-2＜x＜2+9，即7＜x＜11，∵x为奇数，∴x=9，∴三角形的周长为2+9+9=20.针对性练习：若一个等腰三角形的周长为17cm，一边长为3cm,则它的另一边长是__________________.例2 如图,已知△ABC中,∠ABC和∠ACB的角平分线BD,CE相交于点O,且∠A=60°，求∠BOC的度数.（内角和定理）【分析】利用角平分线的性质求出∠2+∠4的度数，再由三角形的内角和定理便可求出∠BOC.【解】∵∠ABC和∠ACB的角平分线BD、CE相交于点O，∴∠1=∠2，∠3=∠4，故∠BOC=180°-（∠2+∠4）=180°-60°=120°.思考：若∠A=n°，则∠BOC的度数为多少？例3如图，已知AB∥CD，若∠A=20°，∠E=35°，求∠C.（三角形的外角）【分析】根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和以及平行线的性质进行求解.【解】∵∠A=20°，∠E=35°，∴∠EFB=∠A+∠E=55°，∵AB∥CD，∴∠C=∠EFB=55°.针对性练习：一个零件的形状如图所示，按规定∠A=90°，∠B、∠D分别是32°和21°，要测量这个零件是否合格，检验工人测量∠BCD的度数，如果∠BCD=150°，就判定这个零件不合格，你知道这是为什么吗？请说明原因.例4已知：如图，∠A=∠F，∠C=∠D.求证：BD∥CE.（证明思路）【分析】由∠A=∠F，根据内错角相等，两直线平行，即可求得AC∥DF，即可得∠C=∠FEC，又由∠C=∠D，可得∠FEC=∠D则可根据同位角相等，两直线平行，证得BD∥CE.【证明】∵∠A=∠F，∴AC∥DF，∴∠C=∠FEC，∵∠C=∠D，∴∠D=∠FEC，∴BD∥CE.针对性练习：如图，△ABC中，AB=AC，D是CA延长线上的一点，且∠B=∠DAM.求证：AM∥BC.三、复习训练，巩固提高1.下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）2.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B落在点B′的位置,则线段AC具有性质( )A.是边BB′上的中线B.是边BB′上的高C.是∠BAB′的平分线D.以上三种3.有下列长度的三条线段,能组成三角形的是( )A.1cm,2cm,3cmB.1cm,2cm,4cmC.2cm,3cm,4cmD.2cm,3cm,6cm4.已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为( )A.9B.12C.15D.12或155.如果三角形的三个内角的度数比是2∶3∶4,则它是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.钝角或直角三角形6.下列语句是命题的是（）A.延长线段AB到CB.用量角器画∠AOB=90°C.两点之间线段最短D.任何数的平方都不小于0吗【参考答案】1.A 2.D 3.C 4.C 5.A 6.C四、师生互动，课堂小结让学生口述本章的主要内容，教师帮助梳理成系统知识.1.课本第90页A组复习题4、5、6、7、8、9.2.完成练习册中相应的复习课练习.本节采用“知识框图，整体把握——典例精析，复习新知——复习训练，巩固提高”三个环节，使学生理解并掌握三角形及三角形的重要线段的概念；掌握三角形三边间的关系；会利用三角形的内角和定理及外角公式计算角度；掌握证明命题的一般步骤，经历知识的形成过程，增强学生的逻辑思维能力.。

电现象及电路知识点一、静电现象：1、带电现象、带电体：物体能够吸引轻小物体的现象叫做带电现象，带了电的物体叫做带电体.2、带电方法：（１）、摩擦起电；（２）、接触带电；（3）、感应起电接触带电：用不带电的导体接触带电物体时，导体会带电，这种方法叫接触带电。

摩擦起电：用摩擦的方法使物体带电的方法叫做摩擦起电。

正电荷:用丝绸摩擦过的玻璃棒带的电荷.负电荷:用毛皮摩擦过的橡胶棒带的电荷.3、摩擦起电的原因：（1）原子是由原子核和核外电子组成，原子核带正电，电子带负电，通常情况下，原子是电中性的，物体也是电中性的；（2）不同的原子核束缚电子的本领不同；（3）两个物体相互摩擦时,哪个物体的原子核束缚电子的本领弱,它的一些电子就会转移到另一个物体上.失去电子的物体因缺少电子而带正电,得到电子的物体因为有了多余电子而带等量的负电.4、摩擦起电的实质: 摩擦起电并不是创造了电荷,只是电荷从一个物体转移到另一个物体,使正负电荷分开.注意：转移的电荷是负电荷,而不是正电荷.例题：（湖北）电视机的荧光屏上经常有许多灰尘，这主要是因为（ D )A.灰尘的自然堆积B.荧光屏有较强的吸附灰尘的能力C.电视机工作时，屏表面温度较高，吸附灰尘D.电视机工作时，屏表面有静电吸附灰尘练习：1、摩擦起电并不是创造了电荷，只是电荷从一个物体转移到另一个物体，使正负电荷分开，如图所示，小女孩用橡胶棒去摩擦动物的皮毛后，橡胶棒带上了_负电.2、下列物体一定带负电的是（A )A.与毛皮摩擦过的橡胶棒B.与丝绸摩擦过的玻璃棒C.失去电子的玻璃棒D.与带正电的物体相吸引的轻小物体知识点二、电荷间的相互作用1、电荷间的作用规律：同种电荷相互排斥,异种电荷相互吸引.﹡带电体之间的吸引或排斥是通过电场来实现的，电场是一种特殊的物质，通过电场带电体不需要接触就能发生相互作用2、判断物体是否带电的方法：(1)、物体能否吸引轻小物体(2)、依据电荷间的作用规律判断(3)、用验电器检验，金属箔张开说明带电，工作原理：同种电荷相互排斥例题：1、用线悬挂着A,B,C,D,E,F六个轻质小球，它们之间的作用情况如图所示，则肯定带电的小球是B、C、D ，肯定不带电的小球是A, F ，不能肯定是否带电的小球是E2、（滨州）取两个相同的验电器A和B,使A带上负电荷，可以看到A金属箔张开，B的金属箔闭合.用带有绝缘柄的金属棒把A和B连接起来，观察到A(金属箔张开的角度减小，B的金属箔由闭合变为张开•下列描述错误的是（ D )A.金属杆是导体B.两金属箔片能够张开是因为带上了同种电荷C.实验中金属杆和金属球接触的一瞬间，B验电器中的金属箔带上了负电荷D.实验中金属杆和金属球接触的一瞬间，金属杆中电流方向是自A流向B练习：1、(湖州）甲和乙两个泡沫塑料小球用绝缘细线悬挂，甲带正电，乙不带电，会出现的情形是下列图中的（B )2、.四个悬挂着的通草球，静止时的位置关系如图所示，下列说法正确的是（ D ）A.A球与C球一定带有异种电荷B.B球与D球一定带有同种电荷C.B球可能带电，也可能不带电D. D球可能带电，也可能不带电3、(厦门）如图所示，一带负电橡胶棒靠近用细线挂住的轻细吸管A端时，吸管发生了转动.对吸管A 端带电性质判断正确的是（D )A.若相互吸引，一定带正电B.若相互吸引，一定带负电C.若相互排斥，一定带正电D.若相互排斥，一定带负电知识点三、电流1、电流：电荷的定向移动就形成电流. 物理学规定,正电荷定向移动的方向为电流的方向.电流方向的判断: 如负电荷的移动方向从A到B，则电流方向为B到A。

章末复习与测试教学目标1．知识与技能目标(1)帮助学生进一步加深对合情推理和演绎推理的理解，力争使学生做到规范的应用这两种推理方法去解决相关问题；(2)掌握两种证明方法的思维过程和特点，并熟练掌握两种证明方法的操作流程；(3)进一步理解数学归纳法的基本原理、步骤，通过证明数学命题巩固对数学归纳法原理的再认识．2．过程与方法目标通过本章的学习，理解推理与证明的原理与方法，培养和提高学生的合情推理或演绎推理的能力，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，培养学生由具体到抽象的思维方法，提高学生的理性思维能力．3．情感、态度与价值观通过本章的学习，培养学生言之有理、论证有据的习惯，并能在今后的学习中有意识地使用这些推理与证明的方法．重点难点重点：(1)能利用归纳、类比、“三段论”进行简单推理；(2)了解综合法、分析法和反证法的思考过程与特点；(3)了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n有关的数学命题．难点：(1)根据归纳、类比、“三段论”推理的结构和特点，进行简单推理(2)根据问题的特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法综合使用；(3)理解数学归纳法的思想实质，了解第二个步骤的作用，并且能够根据归纳假设作出证明．教学过程形成网络1．本章的知识结构图：2．本章基本知识点：(1)合情推理与演绎推理：①归纳推理的概念：根据一类事物的______对象具有某种性质，推出该类事物的____对象都具有这种性质的推理，或有____事实概括出________的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由______到________，由______到______的推理．②类比推理的定义：这种由两个(两类)对象具有__________和其中一类对象的某些__________，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由______到________的推理．③合情推理的定义：根据已有的事实，经过__________、__________、__________、__________，再进行__________、__________，然后提出猜想的推理，我们把它统称为合情推理．④演绎推理的定义：从____出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．演绎推理是由______到______的推理．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括(ⅰ)大前提——____________；(ⅱ)小前提——____________；(ⅲ)结论——______________.(2)直接证明与间接证明：①综合法定义：一般地，利用____________等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②分析法定义：一般地，从______出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)，这种证明方法叫做分析法．③反证法定义：假设__________不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明________，从而证明了__________，这样的证明方法叫做反证法．④数学归纳法定义：一般地，证明一个与正整数n有关的命题P(n)，可按下列步骤进行：(ⅰ)(归纳奠基)证明当______时命题成立；(ⅱ)(归纳递推)假设________命题成立，证明当____也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．提出问题：1.请同学们独立完成知识填空．2．在完成知识填空的同时，回想一下本章主要有哪些基本题型，解决这些基本题型的方法和步骤分别是什么？活动设计：学生独立完成基本知识填空，然后让几位同学口答填空答案，教师借助多媒体投影出知识填空的答案，适当的规范学生的表述，回忆旧知识，并思考、讨论回答所提出的问题．学情预测：学生在前面几节学习的基础上，能够顺利的完成基本知识填空，但在准确、规范表达上会存在着一定的差距；题型和方法的总结更是五花八门．活动结果：知识填空答案：(1)合情推理与演绎推理：①部分全部个别一般结论部分整体个别一般②某些类似特征已知特征特殊特殊③观察分析比较联想归纳类比④一般性的原理一般特殊已知的一般原理所研究的特殊情况据一般原理，对特殊情况作出的判断(2)直接证明与间接证明：①已知条件和某些数学定义、公理、定理②要证明的结论充分条件③原命题假设错误原命题正确④(ⅰ)n取第一个值n0(n0∈N*)(ⅱ)n＝k(k≥n0，k∈N*)时当n＝k＋1时命题设计意图全面系统地梳理基础知识，帮助学生巩固基础，加深对概念、公式、定理的理解，教师利用下一环节“典型示例”和同学们一块总结本章的重点题型和方法．典型示例类型一：归纳推理例1 观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？思路分析：归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质，(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．解：设f (n )为n 个点可连的弦的条数，则f (2)＝1，f (3)＝3，f (4)＝6，…，猜想：f (n )＝n (n －1)2. 点评：归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．巩固练习1．下列推理是归纳推理的是( )A ．A 、B 为定点，若动点P 满足︱P A ︱＋︱PB ︱＝2a ＞︱AB ︱，则点P 的轨迹是椭圆B ．由a 1＝1，a n ＋1＝3a n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的通项a n 和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝1的面积S ＝πr 2，猜想出椭圆的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇2．如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色的？( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大【答案】1.B 2.A类型二：类比推理例2 在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N *)成立．类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式______成立．思路分析：找出两类对象之间可以准确表述的相似特征；然后，由一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而做出一个猜想．解：在等差数列{a n}中，若a10＝0，则a1＋a19＝a2＋a18＝…＝a n＋a20－n＝2a10＝0，所以a1＋a2＋…＋a n＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋a n＝－a19－a18－…－a n＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n.相似地，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则有等式b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b17－n(n＜17，n∈N*)成立．点评：本题主要考查观察分析能力，抽象概括能力，考查运用类比的思想方法，由等差数列{a n}满足的一般结论，而得到等比数列{b n}所满足的一般结论．巩固练习平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行．类似地写出空间的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件．充要条件①________________.充要条件②________________.答案：①底面是平行四边形②两组相对侧面分别平行类型三：演绎推理例3 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为棱AB，BC的中点．证明：平面MNB1⊥平面BDD1B1.思路分析：本题所依据的大前提是面面垂直的判定定理，小前提是平面MNB1与平面BDD1B1之间所满足的证明面面垂直所需要的条件，这是证明本题的关键．证明：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∵BB1⊥平面ABCD，MN⊂平面ABCD，∴BB1⊥MN.∵MN∥AC，AC⊥BD，∴MN⊥BD.又BD∩BB1＝B，∴MN⊥平面BDD1B1.∵MN⊂平面MNB1，∴平面MNB1⊥平面BDD1B1.点评：“三段论”中，第一个判断称为大前提，它提供了一个一般原理，第二判断叫小前提，指出了一个特殊情况，这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提和结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真的，推理的形式是正确的，那么结论必然是真的，但错误的前提可导致错误的结论．巩固练习如果函数f (x ＋1)是偶函数，那么函数y ＝f (2x )的图象的一条对称轴是直线…( )A ．x ＝－1B ．x ＝1C ．x ＝－12D ．x ＝12 【答案】D类型四：直接证明例4 已知a ，b ，c 为正实数，a ＋b ＋c ＝1.求证：a 2＋b 2＋c 2≥13. 思路分析：这是一个条件不等式的证明问题，要注意观察不等式的结构特点和已知条件的合理应用，从而选择出适当的证明方法．证明：(法一)：a 2＋b 2＋c 2－13＝13(3a 2＋3b 2＋3c 2－1)＝13[3a 2＋3b 2＋3c 2－(a ＋b ＋c )2]＝13(3a 2＋3b 2＋3c 2－a 2－b 2－c 2－2ab －2ac －2bc )＝13[(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2]≥0， ∴a 2＋b 2＋c 2≥13. (法二)：(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤a 2＋b 2＋c 2＋a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2，∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1.∴a 2＋b 2＋c 2≥13. (法三)：设a ＝13＋α，b ＝13＋β，c ＝13＋γ.∵a ＋b ＋c ＝1，∴α＋β＋γ＝0. ∴a 2＋b 2＋c 2＝(13＋α)2＋(13＋β)2＋(13＋γ)2＝13＋23(α＋β＋γ)＋α2＋β2＋γ2＝13＋α2＋β2＋γ2≥13.∴a 2＋b 2＋c 2≥13. 点评：充分利用“1”的代换是本题化简证明的关键．巩固练习已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －(12)n －1＋2(n 为正整数)，令b n ＝2n a n ， 求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝－a n －(12)n －1＋2得a 1＝－a 1＋1a 1＝12，并且a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝－a n ＋1－(12)n ＋2－[－a n －(12)n －1＋2]＝a n －a n ＋1＋(12)n ， 得到a n ＋1＝12a n ＋12n ＋1.于是b n ＋1＝2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋1＝b n ＋1. ∴数列{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列．∵b n ＝b 1＋(n －1)d ，∴b n ＝n .又∵b n ＝2n a n ，∴a n ＝n 2n . 类型五：间接证明例5 已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14. 思路分析：这是否定性命题，条件比较简单，直接证明比较难入手，可考虑用反证法．解：假设三式同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14， 三式同向相乘，得(1－a )a (1－b )b (1－c )c >164.① 又(1－a )a ≤(1－a ＋a 2)2＝14，同理，(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14. 所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤164， 与①式矛盾，即假设前提不成立，故结论正确．点评：反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题，也常用反证法．巩固练习已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根．证明：假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )，与已知矛盾，故原命题成立．类型六：数学归纳法例6 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1成立． 解：(1)因为对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r 的图象上，所以得S n ＝b n ＋r .当n ＝1时，a 1＝S 1＝b ＋r ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝b n ＋r －(b n －1＋r )＝b n －b n －1＝(b －1)b n －1.又因为{a n }为等比数列，所以r ＝－1，公比为b ，a n ＝(b －1)b n －1.(2)证明：当b ＝2时，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1，b n ＝2(log 2a n ＋1)＝2(log 22n －1＋1)＝2n ， 则b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n . 下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n >n ＋1成立． ①当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立． ②假设当n ＝k 时不等式成立，即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ＝32·54·76·…·2k ＋12k >k ＋1成立． 则当n ＝k ＋1时，左边＝b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ·b k ＋1＋1b k ＋1＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2>k ＋1·2k ＋32k ＋2＝(2k ＋3)24(k ＋1) ＝4(k ＋1)2＋4(k ＋1)＋14(k ＋1)＝(k ＋1)＋1＋14(k ＋1)>(k ＋1)＋1. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①、②可得不等式对任意的n ∈N *都成立．巩固练习1．用数学归纳法证明对n 为正偶数时某命题成立，若已假设n ＝k (k ≥2偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立2．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立【答案】1.B 2.D拓展实例 例 已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明f (x )＝0没有负数根．思路分析：(1)直接利用函数单调性的定义证明即可．(2)合理利用第(1)问提供的结论，当f (x )＝0有负数根时，利用函数与方程的关系，找到与已知矛盾的结论即可．证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0，所以ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0.又因为x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 2＋1)(x 1＋1)＝3(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1)>0， 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0， 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)设存在x 0<0(x 0≠－1)，满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，又0<ax 0<1，所以0<－x 0－2x 0＋1<1， 即12<x 0<2与x 0<0(x 0≠－1)假设矛盾．故f (x 0)＝0没有负数根． 点评：掌握综合法、分析法和反证法的思考过程、特点；根据问题的特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法综合使用．变练演编例用数学归纳法证明当n ∈N *时，1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －2)·3＋(n －1)·2＋n ·1＝16n (n ＋1)(n ＋2)． 思路分析：与正整数有关的数学命题，可以用数学归纳法进行证明，故只需严格按照数学归纳法的步骤证明即可．证明：(1)当n ＝1时，1＝16·1·2·3，结论成立． (2)假设n ＝k 时结论成立，即1·k ＋2·(k －1)＋3·(k －2)＋…＋(k －2)·3＋(k －1)·2＋k ·1＝16k (k ＋1)(k ＋2)． 当n ＝k ＋1时，则1·(k ＋1)＋2·k ＋3·(k －1)＋…＋(k －1)·3＋k ·2＋(k ＋1)·1＝1·k ＋2·(k －1)＋…＋(k －1)·2＋k ·1＋[1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)]＝16k (k ＋1)(k ＋2)＋12(k ＋1)(k ＋2)＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)，即当n ＝k ＋1时结论也成立．综合上述，可知结论对一切n ∈N *都成立．点评：一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，有如下步骤：(1)证明当n 取第一个值n 0时命题成立；(2)假设当n ＝k (k ≥n 0，k 为自然数)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．提出问题：是否存在常数a ，b 使等式1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －2)·3＋(n －1)·2＋n ·1＝16n (n ＋a )(n ＋b )对一切自然数n 都成立，并证明你的结论．活动设计：引导学生适当改变题目的条件和结论，进行一题多变，学生自己设计题目进行研究，对于数学归纳法不应只满足于证明现成的结论，更应当认真思考结论是如何得到的；归纳推理常起到重要的作用是：“归纳—猜想—证明”是由特殊到一般的重要思维方法．活动结果：令n ＝1，得1＝16(1＋a )(1＋b )，令n ＝2，得4＝26(2＋a )(2＋b )， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋a ＋b ＝5，ab ＋2(a ＋b )＝8.解得a ＝1，b ＝2. 数学归纳法证明过程见“变练演编”中的例题．设计意图通过本题发现，探索性命题的解题思路是：从给出的条件出发，通过观察、实验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳猜想的结论进行证明．达标检测1．下面说法正确的个数有( )①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般形式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式无关．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．若a ，b ，c 是不全相等的实数，求证：a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca .证明过程如下：∵a ，b ，c ∈R ，∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又∵a ，b ，c 不全相等，∴以上三式至少有一个“＝”不成立，∴将以上三式相加得2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac )，∴a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca .此证法是( )A ．分析法B ．综合法C ．分析法与综合法并用D ．反证法3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2 D. 13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 【答案】1.B 2.B 3.B课堂小结1．知识收获：(1)合情推理与演绎推理；(2)直接证明与间接证明；(3)数学归纳法．2．方法收获：(1)推理的三种基本方法：归纳推理、类比推理、演绎推理；(2)证明问题的三种基本方法：综合法、分析法、反证法；(3)用数学归纳法证明与自然数有关的命题．3．思维收获：学会使用日常学习和生活中经常使用的思维方法，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，并养成言之有理，论证有据的好习惯．布置作业本章复习参考题A 组第5题、第7题．补充练习基础练习1．如果数列{a n }是等差数列，则( )A ．a 1＋a 8<a 4＋a 5B ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 52．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2 007(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x3．设a ，b ，c 大于0，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( ) A ．都大于2B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于24．已知f (x ＋1)＝2f (x )f (x )＋2，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝42x ＋2 B ．f (x )＝2x ＋1C ．f (x )＝1x ＋1D ．f (x )＝22x ＋1【答案】1.B 2.D 3.D 4.B拓展练习5．已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1，(1)写出a 1，a 2，a 3，并推测a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．解：(1)a 1＝32，a 2＝74，a 3＝158，猜测a n ＝2－12n . (2)①由(1)已得当n ＝1时，命题成立；②假设n ＝k 时，命题成立，即a k ＝2－12k ， 当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1，且a 1＋a 2＋…＋a k ＝2k ＋1－a k ，∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3.∴2a k ＋1＝2＋2－12k ，a k ＋1＝2－12k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，命题成立．根据①②得n ∈N *，a n ＝2－12n 成立． 设计说明设计思想：通过基础知识填空，帮助学生回顾基本概念、定理和相关结论，通过典型示例总结本章的基本题型和方法；通过练习和作业加深对概念的理解和应用的熟练性．设计意图：由于本章概念多、理论性较强，通过基础知识填空，帮助学生准确记忆相关概念，并形成本章的知识网络；通过典型示例教学总结题型和方法，熟练相关题型的解题步骤和准确规范的表述；教学中不要急于求成，而应在后续的教学中经常借助这些概念表达、阐述和分析．设计特点：从学生的认知基础出发结合具体的题型和方法，加深概念理解的同时，熟练相关方法的应用，同时在应用新知的过程中，将所学的知识条理化，使自己的认知结构更趋合理．。

第六章：圆周运动章末复习知识点一：匀速圆周运动及其描述一、匀速圆周运动1．圆周运动：物体的运动轨迹是圆的运动．2．匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间内通过的圆弧长度相等，这种运动就叫匀速圆周运动．二、匀速圆周运动的线速度、角速度和周期1．线速度(1)定义式：v＝Δs Δt.如果Δt取的足够小，v就为瞬时线速度．此时Δs的方向就与半径垂直，即沿该点的切线方向．(2)线速度的方向：质点在圆周某点的线速度方向沿圆周上该点的切线方向．(3)物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢．2．角速度：半径转过的角度Δφ与所用时间Δt的比值，即ω＝ΔφΔt(如图所示)．国际单位是弧度每秒，符号是rad/s.3．转速与周期(1)转速n：做圆周运动的物体单位时间内转过的圈数，常用符号n表示．(2)周期T：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期，用符号T 表示．(3)转速与周期的关系：若转速的单位是转每秒(r/s)，则转速与周期的关系为T＝1n .4．匀速圆周运动的特点(1)线速度的大小处处相等．(2)由于匀速圆周运动的线速度方向时刻在改变，所以它是一种变速运动．这里的“匀速”实质上指的是“匀速率”而不是“匀速度三、描述圆周运动的各物理量之间的关系1．线速度与周期的关系：v＝2πr T.2．角速度与周期的关系：ω＝2πT.3．线速度与角速度的关系：v＝ωr.知识点二、同轴转动和皮带传动1．同轴转动(1)角速度(周期)的关系：ωA＝ωB，T A＝T B.(2)线速度的关系：vAvB＝rR.2．皮带(齿轮)传动(1)线速度的关系：v A＝v B(2)角速度(周期)的关系：ωAωB＝rR、TATB＝Rr.知识点三、向心力1．定义：物体做匀速圆周运动时所受合力方向始终指向圆心，这个指向圆心的合力就叫做向心力．2．大小：F＝mω2r＝m v2 r.3．方向：总是沿半径指向圆心，方向时刻改变．4．效果力向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力．二：向心力的来源物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供．几种常见的实例如下：实例向心力示意图用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时绳子的拉力和重力的合力提供向心力，F向＝F＋G用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动线的拉力提供向心力，F向＝F T物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝F f小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合知识点四：向心加速度的方向及意义1．物理意义描述线速度改变的快慢，只表示线速度的方向变化的快慢，不表示其大小变化的快慢．2．方向总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即方向始终与运动方向垂直，方向时刻改变．3．圆周运动的性质不论向心加速度a n的大小是否变化，a n的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动．“匀速圆周运动中”的“匀速”应理解为“匀速率”．4．变速圆周运动的向心加速度做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢．所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心．二：向心加速度的公式和应用1．公式a n ＝v2r＝ω2r＝4π2T2r＝4π2n2r＝4π2f2r＝ωv.2．向心加速度的大小与半径的关系(1)当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比．随频率的增大或周期的减小而增大．(2)当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比．(3)当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比．(4)a n与r的关系图象：如图5­5­2所示．由a n­r图象可以看出：a n与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定．图5­5­2知识点五：生活在的圆周运动一：火车转弯问题1．轨道分析火车在转弯过程中，运动轨迹是一圆弧，由于火车转弯过程中重心高度不变，故火车轨迹所在的平面是水平面，而不是斜面．火车的向心加速度和向心力均沿水平面指向圆心．图5­7­32．向心力分析如图5­7­3所示，火车速度合适时，火车受重力和支持力作用，火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，合力沿水平方向，大小F＝mg tan θ.3．规定速度分析若火车转弯时只受重力和支持力作用，不受轨道压力，则mg tan θ＝m v 2 0R，可得v0＝gR tan θ(R为弯道半径，θ为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度)．4．轨道压力分析(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时火车对内外轨道无挤压作用．(2)当火车行驶速度v与规定速度v0不相等时，火车所需向心力不再仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘有挤压作用，具体情况如下：①当火车行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力．②当火车行驶速度v<v0时，内轨道对轮缘有侧压力．二：拱形桥汽车过凸形桥(最高点)汽车过凹形桥(最低点) 受力分析牛顿第二定律求向心力 F n ＝mg －F N ＝m v 2rF n ＝F N －mg ＝m v 2r牛顿第三定律求压力F 压＝F N ＝mg －m v 2rF 压＝F N ＝mg ＋m v 2r讨论v 增大，F 压减小；当v 增大到rg 时，F 压＝0v 增大，F 压增大 超、失重汽车对桥面压力小于自身重力，汽车处于失重状态汽车对桥面压力大于自身重力，汽车处于超重状态知识点六：离心运动1．离心运动的实质离心现象的本质是物体惯性的表现．做圆周运动的物体，由于惯性，总是有沿着圆周切线飞出去的趋向，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用．从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切向方向拉回到圆周上来．2．离心运动的条件做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者合外力不能提供足够大的向心力．3．离心运动、近心运动的判断如图5­7­8所示，物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力F n 与所需向心力⎝ ⎛⎭⎪⎫m v 2r 或mr ω2的大小关系决定．图5­7­8(1)若F n ＝mr ω2(或m v 2r)即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动．(2)若F n＞mrω2(或m v2r)即“提供”大于“需要”，物体做半径变小的近心运动．(3)若F n＜mrω2(或m v2r)即“提供”不足，物体做离心运动．由以上关系进一步分析可知：原来做圆周运动的物体，若速率不变，所受向心力减少(或向心力不变，速率变大)物体将做离心运动；若速度大小不变，所受向心力增大(或向心力不变，速率减小)物体将做近心运动．知识点七.竖直平面的圆周运动１．“绳模型”如上图所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。