【教学课件】复数的加法和减法

【答案】
61 2
命题方向1 复数加、减法运算 例 1 计算： (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
解：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i) ＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i. (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)] ＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i ＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.
跟踪训练 2.已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O、A、C 对应的 复数分别为 0、3＋2i、－2＋4i，试求： (1)A→O表示的复数； (2)C→A表示的复数； (3)B 点对应的复数．
解：(1)∵A→O＝－O→A，∴A→O表示的复数为－(3＋2i)， 即－3－2i. (2)C→A＝O→A－O→C， ∴C→A表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)O→B＝O→A＋A→B＝O→A＋O→C， ∴O→B表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 即 B 点对应的复数为 1＋6i.
即学即练
2.设向量O→P、P→Q、O→Q对应的复数分别为 z1，z2，z3，
那么( D )
A．z1＋z2＋z3＝0
B．z1－z2－z3＝0
C．z1－z2＋z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
【解析】 ∵O→P＋P→Q－O→Q＝O→Q－O→Q＝0.
∴z1＋z2－z3＝0.
三、复数的几何意义的应用 (1)复平面内|z|的意义 我们知道，在实数集中，实数 a 的绝对值，即|a|是 表示实数 a 的点与原点 O 间的距离，那么在复数集中．类 似地，有|z|是表示复数 z 的点 Z 到坐标原点间的距离， 也就是向量O→Z的模，|z|＝|O→Z|.

复习引入
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)复数加法法则及其几何意义 y (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
Z2
Z
Z1
o
x
(2)复数减法法则及其几何意义. y (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i Z2
Z1
x o
让更多的孩子得到更好的教育
青黑色：～发。②昏暗。 【灿】（燦）光彩耀眼：～然｜～若云锦｜黄～～的菜花。 【灿烂】形光彩鲜明耀眼：星光～｜～辉煌◇～的笑容。 【灿亮】形 光亮耀眼：明光～。 【灿然】形形容明亮：阳光～｜～炫目｜～一新。 【掺】（摻）古代一种鼓曲：渔阳～（就是渔阳三挝）。 【孱】义同“孱”（）， 用于“孱头”。 【孱头】?〈方〉名软弱无；304不锈钢板 304不锈钢板；能的人（骂人的话）。 【粲】〈书〉鲜明；美好：～ 然｜云轻星～。 【粲然】〈书〉形①形容鲜明发光：星光～。②形容显著明白：～可见。③笑时露出牙齿的样子：～一笑。 【璨】①美玉。②同“粲”。 【仓】（倉）①名仓房；仓库：粮食满～。②指仓位?：补～｜减～。③（）名姓。 【仓储】动用仓库储存：～超市｜～物资。 【仓促】形匆忙：～应战｜ 时间～，来不及细说了。也作仓猝。 【仓猝】同“仓促”。 【仓房】名储藏粮食或其他物资的房屋。 【仓庚】同“鸧鹒”。 【仓皇】形匆忙而慌张：～失
【苍凉】形凄凉：月色～。 【苍龙】名①二十八宿中东方七宿的统称。也叫青龙。参看页〖二十八宿〗。②古代传说中的一种凶神恶煞。现在有时用来比
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例2. 根据复数的意义和向量表示,求复平面 内的圆的方程.

解：(1)A，B，C 三点分别对应复数 1，2＋i，－1＋2i. 所以O→A，O→B，O→C对应的复数分别为 1，2＋i，－1＋2i(O 为坐 标原点)， 所以O→A＝(1，0)，O→B＝(2，1)，O→C＝(－1，2)． 所以A→B＝O→B－O→A＝(1，1)， A→C＝O→C－O→A＝(－2，2)， B→C＝O→C－O→B ＝(－3，1)． 即A→B对应的复数为 1＋i，A→C对应的复数为－2＋2i，B→C对应的 复数为－3＋i.
A．－1－1＋i z(1 ＋ i) ＝ 2i ， 得
z
＝
2i 1＋i
＝
2i（1－i） （1＋i）（1－i）
＝
2i（12－i）＝i(1－i)＝1＋i.
复数 z＝14＋ －ii的虚部为________． 解析：z＝41－ ＋ii＝（ （41－ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝3－2 5i＝32－52i. 答案：－52
z1z2＝__z_2_z1__
结合律
(z1z2)z3＝__z_1_(z_2_z_3_) ____
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝__z_1_z2_＋__z_1_z3___
■名师点拨 对复数乘法的两点说明
(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行 运算，但结果要将实部、虚部分开(i2 换成－1)． (2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．
复数的四则运算
第七章 复 数
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
第七章 复 数
考点 复数加法、 减法的运算
复数加法 的几何意义
学习目标 掌握复数代数形式的加法、 减法运算法则 理解复数代数形式的加法、 减法运算的几何意义

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问题导学
预习教材 P75－P77 的内容，思考以下问题： 1．复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？ 2．复数的加、减法的几何意义是什么？
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注意到 i 2 1 ，虚数单位 i 可以和实数进行运 算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我 们已经是自然而然地在进行着， 只要把这些零散的 操作整理成法则即可了！
1.复数加、减法的运算法则： 已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数） (1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
3.2.1《复数代数形式的的 四则运算-复数的加法与减法》
教学目标
• 掌握复数的加法与减法的运算及几何意义 • 教学重点： • 掌握复数的加法与减法的运算及几何意义
复数的四则运算(一)
问题引入
复数的运算 法则
复数加减运算 巩固练习 的几何意义
作业:自由安排
复数的四则运算(一)
我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律： ab ba ab ba (a b) c a (b c) (ab)c a(bc) a(b c) ab ac 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应 怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？
2.复数的乘法法则：
2
说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数； (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在 运算过程中把 i 2 换成－1，然后实、虚部分别合并. (3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律
即对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有
z z z z z z ) z z z z ) , 1 2 2 1 , ( 1 2 3 1( 2 3 zz (2 z ) z z z z . 1 3 12 13
y

+ = ,
+ = .
解得 = −, = ± .所以 = − ± ,
即方程 + + = 的根为 = − ± .
=

.③

= −.
典型例题
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
典例6 在复数范围内解方程: + + = .
思路 本题考查复数四则运算的应用,在复数范围内解方程,复数范围内,利用实系数一
元二次方程 + + = ≠ 求解方法.
(1)求根公式法
①当 ⩾ 时, =
于的周期性要记熟,即 + + + + + + = ∈ ∗ .另外记住以下结果,
可提高运算速度:① +
由于
=
−
+

= , −

= −.②
−
+
=
+
−,
−
= −,所以 = − + − + − = −.
虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数,如 +
+ = − + , +


= +
= + + + =
− + − .
解析
−
=

−


−
2.复数加、减法的几何意义
如图所示,设复数 = + , = + ∈ 对应的向量分别为
, ,四边形 为平行四边形,则与 + 对应的向量是,与

OZ1=(a,b) OZ2=(c,d)
z z 1 z2 a c b d i
uuur uuur uuuur y
Z(a+c,b+d)
OZ = OZ1 + OZ2 = (a,b) + (c,d )
Z2(c,d)
= (a + c,b + d )
Z1(a,b)
结论：复数的加法o可以按照向量的加法来进行 x
-
13
1.已知复数z对应点A,说明下列各式所 表示的几何意义.
(1)|z－(1+2i)| 点Z到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|点Z到点(－1, －2)的
距离
(3)|z+2i| 点Z到点(0, －2)的距离
(4)|z－1| 点A到点(1,0)的距离
-
14
2. 设复数z=x+yi,(x,y∈R),在下列
3+x=5, ∴ 2-y=-6.
x=2 ∴
y=8
∴z1 - z2 = (2+2i) - (3-8i) = -1+10i
-
8
例4、设Z , Z ∈C，求证：
12
Z +Z
12
=
Z 1+
Z
2
，Z -Z=
12
Z- 1
Z
2
证明：设Z=1 a1+b1i ， Z2= a2+b2i (a1 , a2 , b1 , b2) ∈R ，则
(a+bi)-(c+di)=(a+bi)+(-c-di)
=(a-c)+(b-d)i
两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部

成才之路高中新课程学习指导人教b版数学选修111212第三章32第1课时成才之路高中新课程学习指导人教b版数学选修1112第三章数系的扩充与复数的引入知识点一
第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2复数代数形式的四则运算
本节课学习目标：
掌握复数代数形式的四则运算
知识点一：复数的加减法则
完成： 《自主学习能力测评》P33的【导入新知】 1.复数的加、减法法则 2.复数加法的运算律
（1）复数的加减运算遵循实数运算的运算律和 运算顺序；
（2）复数的乘法与多项式乘法类似；
（3）复数相除的“分母实数化”与实数相除的 “分母有理化”类似。
（对复数加减法的理解：1.…2.…3.…）
完成： 《自主能力测评》P34的例1：
知识点二： 复数乘、除法运算
完成《自主学习能力测评》P36、 P37的【导 入新知】
完成《自主学习能力测评》P37的例1、2. 完成《自主学习能力测评》P39的‘1、基础知识 复数的四则运算法则，运算律. 2、数学思想 类比思想： （代数角度）与实数之间的类比：

(2)对角线C→A所表示的复数； (3)对角线O→B所表示的复数及O→B的长度. 解 (2)因为C→A＝O→A－O→C， 所以C→A所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为对角线O→B＝O→A＋A→B＝O→A＋O→C， 所以O→B所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， 所以|O→B|＝ 12＋62＝ 37.
【训练 2】 (1)已知复平面内的平面向量O→A，A→B表示的复数分别是－2＋i，3＋
2i，则|O→B|＝____1_0___.
(2)若 z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数 z2－z1 所对应的点在第四象限内，则实数 a 的 取值范围是__(_－__∞_，__1_)__. 解析 (1)∵O→B＝O→A＋A→B， ∴O→B表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， ∴|O→B|＝ 12＋32＝ 10. (2)z2－z1＝1＋(a－1)i， 由题意知a－1<0，即a<1.
2.已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于( B )
A.8i
B.6
C.6＋8i D.6－8i
解析 根据复数的加法法则得z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝6.
3.设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( D )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
【 训 练 3 】 设 复 数 z ＝ a ＋ bi(a ， b∈R) ， 1≤|z|≤2 ， 则 |z ＋ 1| 的 取 值 范 围 是 __[0_，__3_]__. 解析 由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图所 示的圆环，而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点 B(－1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合 时，dmin＝0，当点A与点C(2，0)重合时，dmax＝3，∴0≤|z＋1|≤3.

合”的思想解题.
知识点一 复数的加法、减法 (一)教材梳理填空 1．复数的加法、减法的运算法则：
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di 是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝__(_a_＋__c)_＋__(_b_＋__d_)_i __. (2)z1－z2＝__(_a_－__c_)_＋__(b_－__d_)_i__. 2．复数的加法运算律：
又|z1＋z2|＝ 2，∴∠Z1OZ2＝90°，即四边形 OZ1ZZ2 为正方形，故|z1－z2|＝ 2.
[方法技巧] (1)|z－z0|表示复数 z，z0 的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内 变为两复数差的形式．
(2)|z－z0|＝r 表示以 z0 对应的点为圆心，r为半径的圆．
(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题时，均可从两点间距离公式的 复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
【对点练清】 1．设―OZ→1 及―OZ→2 分别与复数 z1＝5＋3i 及复数 z2＝4＋i 对应，计算 z1－z2，并在
复平面内作出―OZ→1 －―OZ→2 . 解：z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i ＝1＋2i，在复平面内作出―OZ→1 －―OZ→2 如图中 Z2Z1―→所示．
•7．2 复数的四则运算
•7．2.1 复数的加、减运算及其几何意义
明确目标
发展素养
1.结合实数的加、减运算法则，
熟练掌握复数代数形式的加、 1.通过学习复数代数形式的加、减运算，
减运算法则．
提升逻辑推理、数学运算素养．
2.理解复数加法、减法运算的几 2.通过对复数加、减法运算几何意义的理
何意义，能够利用“数形结 解，强化直观想象素养.
当且仅当 x＝2y＝32时，2x＋4y 取得最小值 4 2. 答案:C