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整合提升一、知识网络二、重点突破三角恒等变换的依据是三角函数的基本公式，它是研究三角函数问题的基础，在三角变换中，要从以下三个方面解题：（1）发现差异——观察角、名、形三方面的差异；（2）寻找联系——根据式子的结构特征，找出差异间的联系；（3）合理转化——选取恰当公式，进行恒等变形.1.求值三角函数求值主要有两种题型，给角求值与给值求值.【例1】 求sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°的值.思路分析：思路1——见到平方式就降幂；思路2——拆角80°=60°+20°；思路3——构造对偶式.解法1：原式=21（1-cos40°）+21（1+cos160°）+23（sin100°-sin60°） =1+21（cos160°-cos40°）+23sin100°43 =41-sin100°sin60°+23sin100° =41. 解法2：原式=sin 220°+cos 2（60°+20°）+3sin20°cos （60°+20°）=sin 220°+（21cos20°-23sin20°）+3sin20°（21cos20°-23sin20°） =41sin 220°+41cos 220°=41. 解法3：令M=sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°，则其对偶式N=cos 220°+sin 280°+3cos20°sin80°.因为M+N=（sin 220°+cos 220°）+（cos 280°+sin 280°）+3（sin20°cos80°+cos20°sin80°） =2+3sin100°，①M-N=（sin 220°-cos 220°）+（cos 280°-sin 280°）+3（sin20°cos80°-cos20°sin80°） =-cos40°+cos160°-3sin60°=-2sin100°sin60°-23 =-3sin100°-23，② 所以①+②得2M=21，M=41， 即sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°的值为41. 【例2】 已知0＜β＜4π，4π＜α＜43π，cos （4π-α）=53，sin （43π+β）=135.求sin （α+β）的值.思路分析：本题主要考查给值求值问题.首先找到已知条件中角与所求式中角的联系.注意（43π+β）-（4π-α）=2π+（α+β），可通过求出43π+β和4π-α的正余弦值来求sin （α+β）. 解：∵4π＜α＜43π，∴-2π＜4π-α＜0. ∴sin （4π-α）=54)53(12-=--. 又∵0＜β＜4π，∴43π＜43π+β＜π. ∴cos （43π+β）=1312)135(12-=--. sin(α+β)=-cos(2π+α+β) =-cos ［（43π+β）-（4π-α）］ =-cos （43π+β）cos （4π-α）-sin （43π+β）·sin （4π-α） =-（-1312）×53-135×（-54）=6556. 思想方法小结：给角求值一般是利用和、差、倍公式进行变换，使其出现特殊角，若为非特殊角，则应变为可消去或约分的情况，从而求出其值.给值求值一般应先化简所求的式子，弄清实际所求，或变化已知的式子，寻找已知与所求的联系，再求值.2.化简三角函数式的化简是三角变换应用的一个重要方面，其基本思想是统一角，统一三角函数各称.【例3】化简下列各式：（1）1+tan3αtan 23α；（2）︒-︒70sin 120sin 3. 思路分析：（1）将切函数化为弦函数，通分，凑两角和与差的三角公式.（2）通分，凑成asinx+bcosx.解：（1）原式=1+23cos 3cos 23sin 3sin 23cos 3cos 23cos 3cos 23sin2sin αααααααα+= =ααααα3cos 123cos 3cos )233cos(=-. （2）原式=︒︒︒-︒=︒-︒20cos 20sin 20sin 20cos 320cos 120sin 3 =.420cos 20sin 40sin 220cos 20sin )2060sin(220cos 20sin )20sin 2120cos 23(2=︒︒︒=︒︒︒-︒=︒︒︒-︒ 思想方法小结：在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一.通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简.最后结果求为：（1）能求值尽量求值；（2）三角函数名称尽量少；（3）项数尽量少；（4）次数尽量低；（5）分母、根号下尽量不含三角函数.3.证明三角函数式的证明主要有绝对恒等式与条件恒等式.【例4】 已知锐角三角形ABC 中，sin （A+B ）=53，sin （A-B ）=51.求证：tanA=2tanB. 思路分析：已知（A±B ）的正弦值，求A 、B 的正切关系，不妨利用两角和与差的三角公式展开.将sinAcosB 和cosAsinB 分别视为一个整体，解关于它们的方程组.证明：∵sin （A+B ）=53，sin （A-B ）=51， ∴.2tan tan ,51sin cos ,52cos sin ,51sin cos cos sin ,53sin cos cos sin =⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+B A B A B A B A B A B A B A 所以tanA=2tanB.思想方法小结：证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，采取化繁为简，左右归一，变更命题等方法，通过三角恒等变换，使等式的两边化异为同.条件恒等式的证明则要认真观察、比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径.常用代入法、消去法、两头凑等.。
必修4 第三章三角恒等变换知识点详解3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-2. 倍角公式：()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-3. 正切变形公式tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)3.2 简单的三角恒等变换三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）， （2）公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。
第三章 三角恒等变换复习（一）1. 通过对本章的知识的复习、总结，使学生对本章形成一个知识框架网络.2. 能灵活运用公式进行求值、证明恒等式.）二、新课导学※ 典型例题1、已知三角函数值求三角函数值1、已知cosa+cos β=12,sina+sin β=13,求cos(a-β)的值。
2332.(1)cos ,,52cos )22ππθθθ=-<θ<-已知求(sin的值..sin 512cos 2sin )2(的值求，已知ααα=-.2sin 95cos sin )3(44的值求，已知θθθ=+.cos sin 532cos )4(44的值求，已知θθθ+=.tan tan 53)cos(51)cos(.3的值，求，已知βαβαβα⋅=-=+4.已知534cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+x π，471217ππ<<x ，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值。
.40tan 20tan 120tan 40tan 20tan .5oo oo o 的值求⋅++例2、证明恒等式.cos 832cos 44cos .14ααα=++证明：.21tan 212sin cos 22sin 1.22+=++αααα证明：2223.sin cos 2sin ,sin cos sin 2cos 2.θθθθ+=α=β,α=β已知求证:4cos三、小结反思1. 给值求角时，先要求所求角的某一三角函数值，需结合角的范围确定角的符号；2. 证明三角恒等式时，要灵活地运用公式.教材P.146第8题第(3)、(4)问； P.146第1、2、3题； P.146第4题第(1)、(2)、(3)问； P.147第3题；。
