必修4第三章三角恒等变形复习课

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高中数学必修4第三章 三角恒等变换知识点1、同角关系:⑴商的关系:①sin tan cos y x θθθ== ②cos cot sin x y θθθ== ③sin cos tan y r θθθ==⋅ ④cos sin cot x rθθθ==⋅ ⑵倒数关系：tan cot 1θθ⋅=⑶平方关系：22sin cos 1θθ+=2、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-;⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+） ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-） 3、二倍角的正弦、余弦和正切公式:⑴sin22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=,21cos 2sin 2αα-= ⑶22tan tan 21tan ααα=- 4、万能公式： ①22tan sin 21tan θθθ=+ ②221tan cos 21tan θθθ-=+ ③22tan tan 21tan θθθ=- ④222tan sin 1tan θθθ=+ ⑤221cos 1tan θθ=+5、半角公式cos 2α=sin 2α=sin 1cos tan 21cos sin ααααα-===+ ⇒ （后两个不用判断符号，更加好用） 6、)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a（其中辅助角ϕ与点(,)a b 在同一象限，且tan b a ϕ=）。

第三章 三角恒等变换知识④思维导图专题④综合串讲专题1三角函数式的求值【例1】已知0<α<π4，0<β<π4，且3sin β＝sin （2α＋β），4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值. 【分析】 本题主要考查三角函数式的恒等变换及已知三角函数值求角，因为2α＋β＝α＋（α＋β），β＝（α＋β）－α，可先将条件式3sin β＝sin （2α＋β）展开后求α＋β的正切值.【解】∵3sin β＝sin （2α＋β），即3sin （α＋β－α）＝sin （α＋β＋α），整理得2sin （α＋β）cos α＝4cos （α＋β）sin α.即tan （α＋β）＝2tan α.又4tan α2＝1－tan 2α2， ∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12， tan （α＋β）＝2tan α＝2×12＝1. 又0＜α＜π4，0＜β＜π4， ∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α＋β＝π4. 【方法总结】三角函数式求值的类型与方法三角函数式的求值主要有三种类型：一是给角求值；二是给值求值；三是给值求角.1. 给角求值：这类题目的解法相对简单，主要是利用所学的诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等，化非特殊角为特殊角，在转化过程中要注意上述公式的正用及逆用.2. 给值求值：这类题目的解法较上类题目灵活、多变，主要解答方法是利用三角恒等变形中的拆角变形及同角三角函数的基本关系式，和、差、倍、半角公式的综合应用.由于此类题目在解答过程中涉及的数学方法及数学思想相对较多，因此也是平时乃至高考考查的一个热点.3. 已知三角函数值求角问题，通常分两步：（1）先求角的某个三角函数值（由题中已知名称和范围确定），确定求所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定；（2）根据角的范围确定角及角的范围.必要时，可利用值缩小角的范围.几种形式的题目本质上都是“给值求值”，只不过往往求出的值是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.【变式训练1】已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值． 【解】 ∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4. ∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＞0，∴3π2＜α＋π4＜7π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. ∴cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725. ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－725＝－31250. 专题2三角函数式的化简【例2】化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α. 【分析】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系及角的变换，从角的特点及内在联系上探求.π4－α与π4＋α互余，可先用诱导公式减少角的种类.或π4－α与π4＋α均化为α的三角函数. 【解】解法一：原式＝2cos 2α－12sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝2cos 2α－12·sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2cos 2α－1sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1. 解法二：原式＝cos 2α2·1－tan α1＋tan α（22sin α＋22cos α）2 ＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α·（sin α＋cos α）2＝cos 2α（cos α－sin α）（cos α＋sin α）＝cos 2αcos 2α－sin 2α＝cos 2αcos 2α＝1. ,【方法总结】三角函数式化简的分类与解题技巧1.三角函数式的化简，主要有以下几类：（1）三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；（2）三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；（3）二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段，以实现三角函数式的化简.2. 化简三角函数式时:（1）若切函数、弦函数共存时，可利用切化弦；（2）若含分式三角函数的问题，一般需分子、分母化简后出现公因式，以便于约分.【变式训练2】化简sin ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos 2α2＋2sin α2cos α2－1. 【解】原式＝sin αcosπ4＋cos αsin π4cos α＋sin α＝22（sin α＋cos α）cos α＋sin α＝22. 专题3三角恒等式的证明【例3】求证：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝tan x 2. 【分析】本题主要考查二倍角公式及其变形应用，因等式右端为tan x 2，故可将左边的角4x ，2x ，x 化为x 2的形式. 【解】∵左边＝2sin 2xcos 2x 2cos 22x ·cos 2x 2cos 2x ·cos x 2cos 2x 2＝2sin 2x·cos 22x·cos x 2cos 22x·2cos 2x·2cos 2x 2＝sin 2x 2cos x·2cos 2x 2＝2sin x 2cos x 22cos 2x 2＝sin x 2cos x 2＝tan x 2＝右边， ∴等式成立.【方法总结】三角函数等式的证明策略三角函数等式的证明包括无条件三角函数等式的证明和有条件三角函数等式的证明.对于无条件三角函数等式的证明，要认真分析等式两边三角函数式的特点，找出差异，化异角为同角，化异次为同次，化异名为同名，寻找证明的突破口.对于有条件三角函数等式的证明，要认真观察条件式与被证式的区别与联系，灵活使用条件等式，通过代入法、消元法等方法进行证明.【变式训练3】求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A .【证明】∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 2 2A －13＋4cos 2A ＋2cos 2 2A －1＝⎝⎛⎭⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2 A 2cos 2 A 2＝(tan 2 A )2 ＝tan 4 A ＝右边．∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4 A . 专题4三角函数与平面向量的综合应用【例4】设a ＝（1＋cos α，sin α），b ＝（1－cos β，sin β），c ＝（1，0），α∈（0，π），β∈（π，2π），a 与c 的夹角为θ1，b 与c 的夹角为θ2，且θ1－θ2＝π6，求sin α－β4的值. 【分析】 利用向量的夹角公式得三角函数式，然后利用三角函数知识得出角之间的关系.【解】 由题意知|a |＝（1＋cos α）2＋sin 2α＝2cos α2， |b |＝（1－cos β）2＋sin 2β＝2sin β2，|c |＝1. 又a·c ＝1＋cos α＝2cos 2α2，b·c ＝1－cos β＝2sin 2β2， ∴cos θ1＝a·c |a||c|＝cos α2，cos θ2＝b·c |b||c|＝sin β2. ∵α∈（0，π），∴α2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴θ1＝α2. 又β∈（π，2π），∴β2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，即0<β2－π2<π2. 由cos θ2＝sin β2＝cos ⎝⎛⎭⎫β2－π2，得θ2＝β2－π2. 由θ1－θ2＝π6，得α2－⎝⎛⎭⎫β2－π2＝π6， ∴α－β2＝－π3，∴α－β4＝－π6. ∴sin α－β4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. 【方法总结】三角函数与平面向量的解题策略三角函数与平面向量相结合包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图象与性质的结合等几个方面.此类题目所涉及向量的知识往往比较基础，所涉及的三角函数往往是讨论三角函数的图象与性质，以及三角函数的化简、求值.【变式训练4】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝（22，－22），n ＝（sin x ，cos x ），x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. （1）若m ⊥n ，求tan x 的值；（2）若m 与n 的夹角为π3，求x 的值. 【解】（1）∵m ＝（22，－22），n ＝（sin x ，cos x ），且m ⊥n ， ∴m ·n ＝（22，－22）·（sin x ，cos x ）＝22sin x －22cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝0. 又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴x －π4＝0，即x ＝π4，∴tan x ＝tan π4＝1. （2）由（1）知cos π3＝m ·n |m |·|n |＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4（22）2＋（－22）2·sin 2x ＋cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 又x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4，∴x －π4＝π6，即x ＝5π12.。

必修四 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式 一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等. 三、教学设想：（一）导入：问题1：我们在初中时就知道2cos 452=，3cos 302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-=（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示。

思考1：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）思考2：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？ （2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=- （三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos 75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302222=+=-=⨯-⨯=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 30222=-=+=⨯=点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活运用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值. 解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===- 又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===- 所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.思考：本题中没有),2ππα⎝⎛∈，呢？（四）练习：1.不查表计算下列各式的值：︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（︒+︒15sin 2315cos 212）（解:︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（ 2160cos )2080cos(=︒=︒-︒=2．教材P127面1、2、3、4题（五）小结α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用. （1）牢记公式．S S C C C ⋅+⋅=-)(βα（2）在“给值求值”题型中，要能灵活处理已、未知关系． （六）作业：《习案》作业二十九3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一） 一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、教学设想： （一）复习式导入：（1）大家首先回顾一下两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．（2）cos sin =α？（二）新课讲授问题：由两角差的余弦公式，怎样得到两角差的正弦公式呢？ 探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-．探究3、我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+探究4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈5、将)(βα+S 、)(βα+C 、)(βα+T 称为和角公式，)(βα-S 、)(βα-C 、)(βα-T 称为差角公式。

必修四 第三章：三角恒等变换【知识点梳理】：考点一：两角和、差的正、余弦、正切公式两角差的余弦：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 两角和的余弦：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- 两角和的正弦：()sin αβ+sin cos cos sin αβαβ=+ 两角差的正弦：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- 两角和的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-两角差的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+注意：对于正切,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．【典型例题讲解】：例题1.已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.例题2.利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值。

例题3.已知()sin αβ+=32，)sin(βα-=51，求βαtan tan 的值。

例题4.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A ．12B ．33C ．22D ．32例题5.已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.例题6.已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____例题7.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 225（1） 求tan()αβ+的值； （2） 求2αβ+的值。

例题8.设ABC ∆中，tan A tan B Atan B +=，sin Acos A =，则此三角形是____三角形【巩固练习】练习1. 求值（1）sin 72cos 42cos72sin 42-； （2）cos 20cos70sin 20sin 70-；练习2.0sin 45cos15cos 225sin15⋅+⋅的值为（A ） -2 1（B ） -2 1（C ）2 （D ）2练习3.若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ） Ａ．3-Ｂ．13-Ｃ．3Ｄ．13练习4. 已知α，β为锐角，1tan 7α=，sin 10β=，求2αβ+.考点二：二倍角公式及其推论：在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式222,,S C T ααα：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，24αα是的二倍，332αα是的二倍等等，要熟悉这多种形 式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键．二倍角公式的推论升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-=降幂公式：ααα2sin 21cos sin =； 22cos 1sin 2αα-=； 22cos 1cos 2αα+=.【典型例题讲解】例题l. ） A ．2sin15cos15 B ．22cos 15sin 15- C ．22sin 151-D ．22sin 15cos 15+例题2.．已知1sin cos 5θθ+=，且432πθπ≤≤，则cos 2θ的值是 ．例题3.化简0000cos10cos 20cos30cos 40••• 例题4.23sin 702cos 10-=-（ ）A ．12B ．2C ．2D例题5.已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)24x x x x x π⋅+-+--+.例题6.若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 。

必修4 第三章《三角恒等变换》期末复习制卷：王小凤 学生姓名【知识结构】【公式及其变形】1．两角和与差的三角函数=±)cos(βα_____________________；=±)sin(βα _____________________ =±)tan(βα_________________★辅助角的三角函数公式：)sin(cos sin 22θ±+=±x b a x b x a(其中a b =θtan . 一般地，θ3,4,6πππ取以下三个特殊角) 2．二倍角公式sin2α=__________________；cos2α= __________ = __________ = ______________ tan2α= ____ __3．降幂公式：2sin α= ________________ 2cos α=____________________ 升幂公式：1cos α+=____________ 1cos α-=______________ 4．正切公式的变形：tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±m【常用技巧及题型】三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。

即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

一．巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换．如：()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等． 【例题1】已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，求tan()4πα+的值．【例题2】已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求cos()αβ+的值．【例题3】已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5αβ+=-，求y 与x 的函数关系．二．三角函数名互化(切化弦)【例题4】求值sin50(13tan10)+两角差的余弦公式和（差）角公式二倍角公式简单的三角恒等变换三．公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±m 。