复旦考研数学分析试题

x0 = 0; x0 = 0;
4 − x2 ，
x −1 ， x0 = 1; x +1 1+ x ⑼ ln ， x0 = 0; 1− x
⑴
⑻ (1+x) ln (1-x), ⑽
e−x , x0 = 0。 1− x
1 , n2 Sn(x) = nx(1 - x)n , x x Sn(x) = ln , n n xn , Sn(x) = 1+ xn Sn(x) = (sin x)n , x2 +
1 n
(ii) x ∈ (1,+∞ ) )； (ii) x ∈ (1,+∞ ) ；
⑽ Sn(x) = (sin x) ,
1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。
(i) x ∈ (0,1) ， x ∈ (0,+∞ ) ； (i) x ∈ (−∞,+∞ ) ， (i) x ∈ (0,1) ， x ∈ ( −∞,+∞ ) ； x ∈ [0,1] ； (i) x ∈ (0,1) ， (i) x ∈ (0,1) ， x ∈ [0, π ] ； (i) x ∈ [0,1] ，
3n ⎛ x − 1 ⎞ ⑸ ∑ ⎜ ⎟ ; n =1 n ! ⎝ 2 ⎠
∞
n
ln 2 n n 2 ⑹ ∑ n x ; n=2 n
⑻
∞
⑺ ⑼
n! n x ； ∑ n n =1 n
∞
( n !) 2 n x ; ∑ n =1 ( 2n) !
∞
∑ (2n + 1)!!xn =1 ∞来自∞(2n )!!
n
。
2. 设 a＞b＞0，求下列幂级数的收敛域。
习
1. 求下列幂级数的收敛半径与收敛域。

习
⒈ 对于
题
5.2
x→a +
lim
f ′( x ) = +∞ 或 − ∞ g ′( x )
⒉
的情况证明 L'Hospital 法则。 求下列极限： ⑴ lim
x→0
e x − e− x ; sin x
⑶ lim π
x→ 2
ln(sin x ) ; ( π − 2 x )2
sin 3 x ; tan 5 x xm − am ; lim n ⑷ x →a x − a n
x →+∞
26． 设 f ( x ) 在 ( a , + ∞ ) 上可导，并且 lim f ′( x ) = 0 ，证明 lim
x →+∞
27．设 f ( x ) 在 [ a , b] 连续，在 ( a, b) 二阶可导，证明存在 η ∈ ( a , b ) ，成立
2
f (x) = 0。 x
a+b ⎛b−a⎞ f (b) + f (a ) − 2 f ( )=⎜ ⎟ f " (η ) 。 2 ⎝ 2 ⎠ b−a ⎡a + b ⎤ （提示：在区间 ⎢ ） )。 , b ⎥ 上考虑函数 g ( x) = f ( x) − f ( x − 2 ⎦ ⎣ 2
⑴ 1） (1 + x) ln (1 + x) < x ；
2 2
1 1 1 1 −1 < − < 。 ln 2 ln(1 + x) x 2 14． 对于每个正整数 n （ n ≥ 2 ） ，证明方程 n x + x n −1 + " + x 2 + x = 1 在 (0,1) 内必有唯一的实根 x n ，并求极限 lim x n 。

2. (1) 建立区间 [ a , b ] 与 [ 0, 1 ] 之间的一一对应； (2) 建立区间 ( 0, 1 ) 与 ( −∞,+∞) 之间的一一对应。 解（1） f : [a, b] → [0,1]
x y= x−a ； b−a
（2） f : (0,1) → (−∞,+∞ )
x 1 tan( x − )π = − cot(π x) 。 2
解
12.
一玻璃杯装有汞、水、煤油三种液体，比重分别为13.6，1，0.8 上层煤油液体高度为5厘米， 中层水液体高度 克／厘米 (图1.2.9)， 为4厘米，下层汞液体高度为2厘米，试求压强 P 与液体深度 x 之间 的函数关系。
３
解
⎧78.4 x ⎪ P( x) = ⎨98 x − 98 ⎪1332.8 x − 11211.2 ⎩
。
Байду номын сангаас
8
第一章
习 题
集合与映射
1.1 集合
⒈ 证明由 n 个元素组成的集合 T = { a1，a2 ， ，an } 有 2 n 个子集。 解
k k 由 k 个元素组成的子集的个数为 C n ， ∑ Cn = (1 + 1) n = 2 n 。
k =0 n
⒉ 证明： (1) 任意无限集必包含一个可列子集； (2) 设 A 与 B 都是可列集，证明 A ∪ B 也是可列集。 证（1） 设 T 是一个无限集， 先取 a1 ∈ T 。 由于 T 是无限集， 必存在 a 2 ∈ T ，
（2）令
9.
证明：定义于 ( −∞,+∞) 上的任何函数都可以表示成一个偶函数与一 个奇函数之和。
证
显然
f ( x) + f (− x) f ( x) − f (− x) 是偶函数， 是奇函数，而 2 2 f ( x) + f (− x) f ( x) − f (− x) 。 + f ( x) = 2 2

∫
a
0
f ( x)dx +
∫0
b
f −1 ( y )dy ≥ ab
（ a > 0, b > 0 ） 。
lim ∫a | f h ( x ) − f ( x )| dx = 0 。
h→ 0
b
12．设 f ( x ) 和 g ( x ) 在 [a , b] 上都可积，证明不等式 (1) （Schwarz 不等式） ⎡
f ( x) g ( x)dx ⎤ ≤ ∫ f 2 ( x)dx ⋅ ∫ g 2 ( x)dx ； ⎥ a a ⎦
b b
2
2
( x)dx
} + {∫ g ( x)dx}
1 2 b 2 a
1 2
。
lim ∫ [ f ( x)] g ( x)dx
n →∞ a
{
b
} = max f ( x)
7.3
⑵ F(x) =
⑴ 6.
⑵
⎧ − 1, x为有理数, f (x) = ⎨ x为无理数; ⎩1,
x ≠ 0, ⎧ sgn(sin π x ), = ⑷ f (x) ⎨ x = 0. ⎩ 0,
1 在 f ( x)
设 f ( x ) 在 [a , b] 上可积，且在 [a , b] 上满足 | f ( x ) |≥ m > 0 （ m 为常数） ，证明
⑴ lim⎜
n→∞
8.
求下列定积分： ⑴ ⑶ (5)
∫0 cos n xdx ; ∫0 ( a 2 − x 2 ) n dx ;
1 ∫0 x
π 2
π
⑵ ⑷
∫−π sin n x dx ;
∫0 x
e
1 2

ln n
2
2n 2 ; ⑵ ∑ 3 n =1 n + 3n ∞ 1 ⑷ ∑ ; n =1 n ! ∞ π⎞ ⎛ ⑹ ∑ ⎜1 − cos ⎟ ; n⎠ n =1 ⎝
⑻ ⑽
∞
1
n
∑(
n =1
∞
n
n − 1) ;
n2 ; ∑ n n =1 2
∞
∑n
n =1 ∞ n =1
∞
2
e −n ;
[2 + (−1) n ]n ; ∑ 2 2 n +1 n =1 ∞ 2 n n! ⑿ ∑ n ; n =1 n
1+ 15. 利用级数的 Cauchy 乘积证明： (1)
1 ∞ (−1) n ⋅∑ = 1； ∑ n! n =0 n ! n =0
∞
(2) ⎜
⎛
∞ ⎞ n ⎞ ⎛ q qn ⎟ = ⎟ ⎜ ∑ ∑ ⎝ n =0 ⎠ ⎝ n =0 ⎠ ∞
∑ (n + 1)q
n =0
∞
n
=
1 (｜q｜＜1 ) 。 (1 − q ) 2
12. 已知任意项级数
14. 利用
1 1 1 + + … + - ln n → γ ( n → ∞ )， 2 3 n ∞ (−1) n +1 其中 γ 是 Euler 常数(见例 2.4.8)，求下述 ∑ 的更序级数的和： n n =1 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + - + … 。 3 2 5 7 4 9 11 6
(a＞0)。
2. 利用级数收敛的必要条件，证明： (1) lim
n →∞
(2)

09复旦数学分析考研试题一、 数学分析(90)1. 计算(每个6分)（1） 设∑为：2224(3)6(2)(1)36x y z -+-++≤曲面的外侧，求232x dydz ydxdz +∑⎰⎰=_______。

（2） 1320(1)(1)x dx x x ++⎰=_______。

（3）ln x -(0,)+∞上有唯一的零点，A =_______。

（4） ()f x 在原点存在二阶导数，''(0)0f ≠，'()(0)()x f x f f x θ-=，则0lim x x θ→=_______。

（填某个值或不一定存在或无法确定） （5） 1sin 2009k xk k απ∞=∑在(0,)+∞上一致收敛，则α的取值范围为_______。

2. 证明（每个15分）（1）(,)f x y 定义在[,][,]a b c d ⨯上，且(,)f x y 关于x 连续，且对于某一固定的0[,]y c d ∈， 00[,]lim sup |(,)(,)|0y y x a b f x y f x y →∈-=证明：(,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续。

（2）21sin()n n n a a a n-=-求证：lim 0n n a →∞= （3）()f x 在(,)-∞+∞上任意有限区间上可积，求证：对任意的,,,,a b c d()()bd d ba c c a dx f x t dt dt f x t dx +=+⎰⎰⎰⎰ （4）()f x 定义在区间(,)ab 上，对任一(,)x a b ∈0()()lim0y f x y f y y→+-> （注：左式可以为+∞），求证：()f x 在(,)a b 上严格单调。

二、 常微分方程（30）已知2(,)3...x y x Φ=+（这个式子都记不清楚了） 和系统[*] 3dx y dt λ=+ ...dy dt = [*]（1）(,)x y C Φ=是[*]的首次积分，确定[*]中λ的值。

连续函数．由连续函数的最值性知，存
由于对任意的 y∈[c，d]，有下式成立
所以有
即
．
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第 2 部分 多变量微分学
第 14 章 偏导数和全微分
解答题 1．已知
1 确定，且 h（x）具有所需的性质．求
所以对任意的 ε＞0，取 在（0，0）处连续．
，则当
时，有
，故 f（x，y）
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由于当（x，y）≠（0，0）时，
，故
4．讨论
在（0，0）点的连续性和可微性．[武汉大学研] 解：（1）连续性．可以令 x＝ζcosθ，y＝ζsinθ，因为
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故
12．
解：由
又由
得
[上海交通大学研] 得
，于是
13．设 z 由 求 [南京大学研]
解：由
得 ①式两端再对 x 求导得
定义为 x，y 的隐函数，其中 为二次连续可微，
两边对 x 求导 ①
所以 f（x，y）在（0，0）点连续． （2）可微性．由于 从而
选取特殊路径 y＝kx，有 为 1，所以 f（x，y）在（0，0）点不可微．
5． 解：由于
，求 dz．[华东师范大学研]
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，极限不
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故
．
6．函数 数．[天津大学研]
同时
，
．
5．若函数 f（x，y）在 上对 x 连续，且存在 L＞0，对任意的 x、y′有

x − cos y = sin y − x ；
e x 2 + y − xy 2 = 0 ；
2 y sin x + x ln y = 0 ；
6． 设所给的函数可导，证明： ⑴ 奇函数的导函数是偶函数；偶函数的导函数是奇函数； ⑵ 周期函数的导函数仍是周期函数。 7．求曲线 xy + ln y = 1 在 M (1,1) 点的切线和法线方程。 8． 对下列参数形式的函数求
x →a + 0 x→a + 0
⑵ 若 lim f ′( x ) = ∞ ，那么能否断定也有 lim f ( x ) = ∞ ？
x→a + 0 x →a + 0
证明 f ( x ) 在 x = 0 处可导的充分必要条件是： 存在在 x = 0 11． 设函数 f ( x ) 满足 f (0) = 0 。 处连续的函数 g ( x ) ，使得 f ( x ) = xg ( x ) ，且此时成立 f ′(0) = g (0) 。
⑷ y = ln( x + x 2 + a 2 ) ；
⑸ ⒊
1 y = ( x x 2 − a 2 − a 2 ln( x + x 2 − a 2 ) . 2
设 f ( x ) 可导，求下列函数的导数：
⑴ ⑶ ⑸
f (3 x 2 ) ；
⑵ ⑷ ⑹
⎛ 1 ⎞ f⎜ ⎟； ⎝ ln x ⎠
arc tan f ( x ) ； sin ( f (sin x )) ；
1 ； x + cos x
f ( x) = x 2 (3 tan x + 2 sec x) ；
f (x) = 2 sin x + x − 2 x ； 3 x2

一﹑细心填一填，你一定能行（每空2分，共20分）1．当 = 时，分式的值为零.2．某种感冒病毒的直径为0.0000000031米，用科学记数法表示为．3．请你写出一个图象在第一、三象限的反比例函数．4．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：，，，，则小麦长势比较整齐的试验田是(填“甲”或“乙”)．5．如图，□ABCD中，AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的角平分线，请添加一个条件使四边形AECF为菱形．6．计算．7．若点（）、、都在反比例函数的图象上，则的大小关系是．8．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，BD=2 ，AE为梯形的高，且BE=1，•则AD=______．9．如图，中，，，，分别以为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为（平方单位）．10．如图，矩形ABCD的对角线BD过O点，BC∥x轴，且A（2，-1），则经过C点的反比例函数的解析式为．二﹑精心选一选，你一定很棒（每题3分，共30分）11．下列运算中，正确的是A． B． C． D．12．下列说法中，不正确的是A．为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法B．众数在一组数据中若存在，可以不唯一C．方差反映了一组数据与其平均数的偏离程度D．对于简单随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差13．能判定四边形是平行四边形的条件是A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边相等，一组邻角相等C．一组对边平行，一组邻角相等 D．一组对边平行，一组对角相等14．反比例函数在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是A．1 B．2 C．3 D．415．在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（，0），C（0，），D（，0），则以这四个点为顶点的四边形是A．矩形B．菱形 C．正方形 D．梯形16．某校八年级（2）班的10名团员在“情系灾区献爱心”捐款活动中，捐款情况如下（单位：元）：10 8 12 15 10 12 11 9 10 13．则这组数据的A．平均数是11 B．中位数是10 C．众数是10.5 D．方差是3.917．一个三角形三边的长分别为15cm，20cm和25cm，则这个三角形最长边上的高为A.15cmB.20cmC.25cmD.12cm18．已知，反比例函数的图像经过点M（k+2,1）和N(-2, )，则这个反比例函数是A. B. C. D.19．如图所示，有一张一个角为600的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是A.邻边不等的矩形B.等腰梯形C.有一角是锐角的菱形D.正方形20．甲、乙两班举行跳绳比赛，参赛选手每分钟跳绳的次数经统计计算后填入下表：班级参加人数中位数方差平均次数甲 35 169 6.32 155乙 35 171 4.54 155某同学根据上表分析得出如下结论：①甲、乙两班学生跳绳成绩的平均水平相同，②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟跳绳次数≥170为优秀），③甲班的成绩的波动情况比乙班的成绩的波动大。

2021数学分析考研南京师大与复旦配套考研真题一、南京师范大学《602数学分析》考研真题二、复旦大学第一部分极限初论第1章变量与函数一、选择题是（）。

[同济大学研]A．右界函数B．单调函数C．周期函数D．偶函数【答案】D查看答案【解析】二、解答题1．证明下列不等式：[浙江师范大学2006研]证明：因为|a＋b|≤|a|＋|b|，所以2．设，当y=1时，z=x，求f（x）和z。

[西安交通大学研] 解：依题意令，则，所以3．设求f（x）的表达式。

[北京大学研]解：令t=lnx，则，所以4．设，求f（x）的定义域和[中国人民大学研] 解：由，解得，从而f（x）的定义域为5．求函数的定义域和值域．[华东师范大学研]解：由可得．解得函数的定义域为又因为所以函数的值域：6．已知的定义域为，求的定义域．[武汉大学研]解：，即f（x）的定义域为．再由解得，∴所求定义域为7．设函数f（x）在（－∞，＋∞）上是奇函数，f（1）＝a且对任何x值均有（1）试用a表示f（2）与f（5）；（2）问a取什么值时，f（x）是以2为周期的周期函数．[清华大学研]解：（1）在①式中，令x＝－1．（2）由①式知当且仅当f（2）＝0，即a＝0时，f（x）是以2为周期的周期函数．8．已知，设．[南京邮电大学研]解：令，可用数学归纳法证明①当n＝1时，显然①式成立．假设当n＝k时，①式成立．当n＝k＋1时，即对n＝k＋1，①式也成立。

命题得证．9．已知．求．[北京理工大学研]解：由解得，互换x，y得当10．设，试验证，并求．[华中科技大学研]解：又。

复旦大学 数学分析考研真题一．填空题（1）0lim x →ln(1)1cos x x x+-=_____(2)微分方程'y =(1)y x x-的通解是____,这是变量可分离方程（3）设∑是锥面z=22x y +(0≤z ≤1)的下侧，则23(1)x d y d z y d z d x z d x d y ++-=∑⎰⎰____(4)点（2，1，0）到平面3x+4y+5z=0的距离d=____ (5)设A=2112⎛⎫⎪-⎝⎭,2阶矩阵B 满足BA=B+2E,则B =____(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{m a x (,)1}P x y ≤=____一、 选择题（1） 设函数()y f x =具有二阶导数，且'()0f x >，''()0f x >，x 为自变量x 在x，处的增量，y 与dy 分别为()f x 在点x处对应的增量与微分，若0x >，则（ ）（A ）0dx y << （B ）0y dy << （C ）0y dy << （D ）0dy y << （2）设(,)f x y 为连续函数，则41(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（ ）（A ）2210(,)xx dx f x y dy -⎰⎰（B ）22100(,)xdx f x y dy -⎰⎰（C ）2210(,)yydy f x y dx -⎰⎰（D ）2210(,)ydy f x y dx -⎰⎰（3）若级数1nn a∞-∑收敛，则级数（ ）（A ）1nn a∞-∑收敛 （B ）1(1)n nn a ∞--∑收敛（C ）11n n n a a ∞+-∑收敛 （D ）112n n n a a ∞+-+∑收敛（4）设(,)f x y 和(,)x y ϕ均为可微函数，且'(,)y x y ϕ≠0，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（ ） （A ）若'00(,)0x f x y =，则'00(,)0y f x y = （B ）若'00(,)0x f x y =，则'00(,)0y f x y ≠ （C ）若'00(,)0x f x y ≠，则'00(,)0y f x y = （D ）若'00(,)0x f x y ≠，则'00(,)0y f x y ≠ （5）设12,,,s ααα都是n 维向量，A 是m n ⨯矩阵，则（ ）成立（Ａ）若12,,,s ααα线性相关，则12,,s A A A ααα线性相关 （Ｂ）若12,,,s ααα线性相关，则12,,s A A A ααα线性无关 （Ｃ）若12,,,s ααα线性无关，则12,,s A A A ααα线性相关 （Ｄ）若12,,,s ααα线性无关，则12,,s A A A ααα线性无关（６）设Ａ是３阶矩阵，将A 的第2列加到第1列上得B ，将B 的第一列的1-倍加到第2列上得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（ ）（A ）1C P AP -= （B ）1C PAP -= （C ）TC P AP = （D ）TC PAP =（7）设A ，B 为随机事件，()0P B >，()|1P A B =,则必有（ ） （A ）()()P A B P A ⋃> （B ）()()P A B P B ⋃> （C ）()()P A B P A ⋃= （D ）()()P A B P B ⋃=（8）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且12{1}{1}P X P Y μμ-<>-<，则（ ）（A ）12σσ< （B ）12σσ> （C ）12μμ< （Ｄ）12μμ>三、简答题（1） 设区域22{(,)|1,0}D x y x y x =+≤≥，计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰ （2） 设数列{}n x 满足110,sin n n x x x π+<<=（n=1,2）,求：（I ）证明lim n x x →∞存在，并求之（II ）计算211lim n x n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭（3） 设函数()f u 在（0，∞）内具有二阶导数，且22()z f x y =+满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂ （I ）验证'''()()0f u f u u+= （II ）若'(1)0,(1)1f f ==，求函数()f u 的表达式（4） 设在上半平面{(,)|0}D x y y =>内，函数(,)f x y 是有连续偏导数，且对任意的0t >都有2(,)(,)f tx ty t f x y =证明：对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线Ｌ，都有(,)(,)0Lyf x y dx xf x y dy -=⎰（5）已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有３个线性无关的解（Ｉ）证明方程组系数矩阵Ａ的秩 ()2r A = （II ）求 a , b 的值及方程组的通解（6）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量1(1,2,1)T α=--，2(0,1,1)T α=-实线性方程组0Ax =的两个解，（I ）求A 的特征值与特征向量（II ）求：正交矩阵Ｑ与对角矩阵Ａ，使得TQ AQ A =（7）随机变量X 的概率密度为1,1021(),0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他令2,(,)y x F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数（Ｉ）求Ｙ的概率密度()Y f y (II)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭(8)设总体X 的概率密度,01(,0)1,120,x F X x θθ<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他其中θ实未知参数（01θ<<），12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随即样本，记N 为样本值12,,,n x x x 中小于1的个数，求θ的最大似然估计。

f ′(r) + z 2 r2
f ′′(r) ，
所以
div[grad f (r)] = 2 f ′(r) + f "(r) 。
r
由 div[grad f (r)] = 0 ，得 2 f ′(r) + rf ′′(r) = 0 ，解此微分方程，得到
f
(r)
=
c1 r
+
c2
，
其中 c1, c2 为任意常数。
方向 n = i + 2 j + 2k 的环量面密度。
解由
i jk
rotr = ∂ ∂ ∂ = x(z − y)i + y(x − z)j + z( y − x)k ，
∂x ∂y ∂z
xyz xyz xyz
可得
rot r (M ) = −i − 3j + 4k 。
向量场 r = xyz(i + j + k) 在点 M (1,3,2) 沿方向 n 的环量面密度为
（2）圆周 x2 + y2 = 4, z = 1，从 z 轴正向看去为顺时针方向。
解 经计算，可得
a
=
grad⎜⎛ arctan ⎝
y x
⎟⎞ ⎠
=
x2
1 +
y2
(− y, x, 0) ，
2
i
j
k
∂ rot a =
∂
∂ =0，
∂x
∂y
∂z
−y
x
x2 + y2 x2 + y2
0
它在除去 z 轴的空间上是无旋场。
（2）满足 div[grad f (r)] = 0 的函数 f (r) 。