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09复旦数学分析考研试题一、 数学分析(90)1. 计算(每个6分)（1） 设∑为：2224(3)6(2)(1)36x y z -+-++≤曲面的外侧，求232x dydz ydxdz +∑⎰⎰=_______。
（2） 1320(1)(1)x dx x x ++⎰=_______。
（3）ln x -(0,)+∞上有唯一的零点，A =_______。
（4） ()f x 在原点存在二阶导数，''(0)0f ≠，'()(0)()x f x f f x θ-=，则0lim x x θ→=_______。
（填某个值或不一定存在或无法确定） （5） 1sin 2009k xk k απ∞=∑在(0,)+∞上一致收敛，则α的取值范围为_______。
2. 证明（每个15分）（1）(,)f x y 定义在[,][,]a b c d ⨯上，且(,)f x y 关于x 连续，且对于某一固定的0[,]y c d ∈， 00[,]lim sup |(,)(,)|0y y x a b f x y f x y →∈-=证明：(,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续。
（2）21sin()n n n a a a n-=-求证：lim 0n n a →∞= （3）()f x 在(,)-∞+∞上任意有限区间上可积，求证：对任意的,,,,a b c d()()bd d ba c c a dx f x t dt dt f x t dx +=+⎰⎰⎰⎰ （4）()f x 定义在区间(,)ab 上，对任一(,)x a b ∈0()()lim0y f x y f y y→+-> （注：左式可以为+∞），求证：()f x 在(,)a b 上严格单调。
二、 常微分方程（30）已知2(,)3...x y x Φ=+（这个式子都记不清楚了） 和系统[*] 3dx y dt λ=+ ...dy dt = [*]（1）(,)x y C Φ=是[*]的首次积分，确定[*]中λ的值。
一﹑细心填一填，你一定能行（每空2分，共20分）1．当 = 时，分式的值为零.2．某种感冒病毒的直径为0.0000000031米，用科学记数法表示为．3．请你写出一个图象在第一、三象限的反比例函数．4．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为：，，，，则小麦长势比较整齐的试验田是(填“甲”或“乙”)．5．如图，□ABCD中，AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的角平分线，请添加一个条件使四边形AECF为菱形．6．计算．7．若点（）、、都在反比例函数的图象上，则的大小关系是．8．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，BD=2 ，AE为梯形的高，且BE=1，•则AD=______．9．如图，中，，，，分别以为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为（平方单位）．10．如图，矩形ABCD的对角线BD过O点，BC∥x轴，且A（2，-1），则经过C点的反比例函数的解析式为．二﹑精心选一选，你一定很棒（每题3分，共30分）11．下列运算中，正确的是A． B． C． D．12．下列说法中，不正确的是A．为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法B．众数在一组数据中若存在，可以不唯一C．方差反映了一组数据与其平均数的偏离程度D．对于简单随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差13．能判定四边形是平行四边形的条件是A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边相等，一组邻角相等C．一组对边平行，一组邻角相等 D．一组对边平行，一组对角相等14．反比例函数在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是A．1 B．2 C．3 D．415．在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（，0），C（0，），D（，0），则以这四个点为顶点的四边形是A．矩形B．菱形 C．正方形 D．梯形16．某校八年级（2）班的10名团员在“情系灾区献爱心”捐款活动中，捐款情况如下（单位：元）：10 8 12 15 10 12 11 9 10 13．则这组数据的A．平均数是11 B．中位数是10 C．众数是10.5 D．方差是3.917．一个三角形三边的长分别为15cm，20cm和25cm，则这个三角形最长边上的高为A.15cmB.20cmC.25cmD.12cm18．已知，反比例函数的图像经过点M（k+2,1）和N(-2, )，则这个反比例函数是A. B. C. D.19．如图所示，有一张一个角为600的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是A.邻边不等的矩形B.等腰梯形C.有一角是锐角的菱形D.正方形20．甲、乙两班举行跳绳比赛，参赛选手每分钟跳绳的次数经统计计算后填入下表：班级参加人数中位数方差平均次数甲 35 169 6.32 155乙 35 171 4.54 155某同学根据上表分析得出如下结论：①甲、乙两班学生跳绳成绩的平均水平相同，②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟跳绳次数≥170为优秀），③甲班的成绩的波动情况比乙班的成绩的波动大。
2021数学分析考研南京师大与复旦配套考研真题一、南京师范大学《602数学分析》考研真题二、复旦大学第一部分极限初论第1章变量与函数一、选择题是（）。
[同济大学研]A．右界函数B．单调函数C．周期函数D．偶函数【答案】D查看答案【解析】二、解答题1．证明下列不等式：[浙江师范大学2006研]证明：因为|a＋b|≤|a|＋|b|，所以2．设，当y=1时，z=x，求f（x）和z。
[西安交通大学研] 解：依题意令，则，所以3．设求f（x）的表达式。
[北京大学研]解：令t=lnx，则，所以4．设，求f（x）的定义域和[中国人民大学研] 解：由，解得，从而f（x）的定义域为5．求函数的定义域和值域．[华东师范大学研]解：由可得．解得函数的定义域为又因为所以函数的值域：6．已知的定义域为，求的定义域．[武汉大学研]解：，即f（x）的定义域为．再由解得，∴所求定义域为7．设函数f（x）在（－∞，＋∞）上是奇函数，f（1）＝a且对任何x值均有（1）试用a表示f（2）与f（5）；（2）问a取什么值时，f（x）是以2为周期的周期函数．[清华大学研]解：（1）在①式中，令x＝－1．（2）由①式知当且仅当f（2）＝0，即a＝0时，f（x）是以2为周期的周期函数．8．已知，设．[南京邮电大学研]解：令，可用数学归纳法证明①当n＝1时，显然①式成立．假设当n＝k时，①式成立．当n＝k＋1时，即对n＝k＋1，①式也成立。
命题得证．9．已知．求．[北京理工大学研]解：由解得，互换x，y得当10．设，试验证，并求．[华中科技大学研]解：又。
09复旦数学分析考研试题
一、 数学分析(90)
1. 计算(每个6分)
（1） 设∑为：222
4(3)6(2)(1)36x y z -+-++≤曲面的外侧，求232x dydz ydxdz +∑
⎰⎰=_______。
（2） 13
20
(1)(1)x dx x x ++⎰=_______。
（3）
ln x -(0,)+∞上有唯一的零点，A =_______。
（4） ()f x 在原点存在二阶导数，''(0)0f ≠，
'()(0)()x f x f f x θ-=，则0lim x x θ→=_______。
（填某个值或不一定存在或无法确定） （5） 1sin 2009k xk k α
π∞=∑在(0,)+∞上一致收敛，则α的取值范围为_______。
2. 证明（每个15分）
（1）(,)f x y 定义在[,][,]a b c d ⨯上，且(,)f x y 关于x 连续，且对于某一固定的0[,]y c d ∈， 00[,]lim sup |(,)(,)|0y y x a b f x y f x y →∈-=
证明：(,)f x y 在[,][,]a b c d ⨯上连续。
（2）21sin()n n n a a a n
-=-
求证：lim 0n n a →∞= （3）()f x 在(,)-∞+∞上任意有限区间上可积，求证：对任意的,,,,a b c d
()()b
d d b
a c c a dx f x t dt dt f x t dx +=+⎰⎰⎰⎰ （4）()f x 定义在区间(,)a
b 上，对任一(,)x a b ∈
0()()lim
0y f x y f y y
→+-> （注：左式可以为+∞），求证：()f x 在(,)a b 上严格单调。
二、 常微分方程（30）
已知2
(,)3...x y x Φ=+（这个式子都记不清楚了） 和系统[*] 3dx y dt λ=+ ...dy dt = [*]
（1）(,)x y C Φ=是[*]的首次积分，确定[*]中λ的值。
（或者是0δ的值，具体不是很清楚） （只要明白首次积分的概念就能做的题目）
（2）证明解对参数的连续性
（3）求系统[*]在0λ>，0δδ<时在李亚普诺夫意义下的稳定性。
三、 实变函数（30）
1. 叙述积分的法杜（Fatou ）引理。
（10分）
2. （20分）{()}n f x 为定义在可测集上的可测函数列，{()}n f x 在勒贝格测度意义下收敛
于()f x
求证：
（1）存在子列{()}k n f x 1()k k n n +<，满足
12k k mE <，1{:|()()|}2k k n k
E x E f x f x =∈-≥ （2）证明上述子列几乎处处收敛于()f x 。
（这个整个是一个定理，分成两步证明了。
Rieze 引理）。
