广西桂林中学2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
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2017-2018学年广西桂林中学高二（下）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x2=1}，则A∩B=（ ）
A．{﹣1，0，1 } B．{﹣1，0} C．{﹣1，1} D．{0，1}
2．函数f（x）=log2x与g（x）=（）x+1在同一直角坐标系中的图象是（ ）
A． B． C． D．
3．复数﹣1+在复平面上对应的点的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）
4．直线ax+2y﹣1=0与x+（a﹣1）y+2=0垂直，则a等于（ ）
A． B． C．﹣1 D．2或﹣1
5．已知a＞0，b＞0，且ab=4，则2a+3b的最小值为（ ）
A．5 B．10 C． D．
6．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的离心率，则b等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．“φ=”是“函数y=sin（x+φ）为偶函数的”（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．利用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，则不等式0＜log2（3a﹣1）＜1成立的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．若x，y满足约束条件，则z=3x﹣y（ ）
A．有最小值﹣8，最大值0 B．有最小值﹣4，最大值0
C．有最小值﹣4，无最大值 D．有最大值﹣4，无最小值
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则当n＞1时，Sn=（ ）
A．（）n﹣1 B．2n﹣1 C．（）n﹣1 D．（﹣1）
11．直线分割成的两段圆弧长之比为（ ）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
12．已知函数f（x）的导数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极大值，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（0，+∞）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分．
13．log212﹣log23=______．
14．如图是某学校一名篮球运动员在10场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这10场比赛中得分的中位数为______．
15．已知α为第三象限的角，且cosα=，则tanα=______．
16．已知奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），且x∈（0，1）时，f（x）=2x，则f（）的值为______．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知复数z=a+i（a∈R），且（1+2i）z为纯虚数．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）若ω=，求复数ω的模|ω|．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，b=5，△ABC的面积为．
（Ⅰ）求a，c的值；
（Ⅱ）求的值．
19．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3+a5=a4+8．
（Ⅰ）求S7的值；
（Ⅱ）若a1=2且a3，ak+1，Sk成等比数列，求正整数k的值．
20．某高中地处市区，学校规定家到学校的路程在10里以内的学生可以走读，因交通便利，所以走读生人数很多．该校学生会先后5次对走读生的午休情况作了统计，得到如下资料：
①若把家到学校的距离分为五个区间：[0，2）、[2，4）、[4，6）、[6，8）、[8，10），午休的走读生的分布情况如频率分布直方图所示；
②走读生是否午休与下午开始上课的时间有着密切的关系． 5次调查结果的统计表如表：
下午开始
上课时间 2：10 2：20 2：30 2：40 2：50
平均每天
午休人数 250 350 500 650 750
（1）若随机地调查一位午休的走读生，估计家到学校的路程（单位：里）在[2，6）的概率是多少？
（2）如果把下午开始上课时间2：10作为横坐标0，然后上课时间每推迟10分钟，横坐标x增加1，并以平均每天午休人数作为纵坐标y，试列出x与y的统计表，并根据表中的数据求平均每天午休人数与上课时间x之间的线性回归方程=bx+a；
（3）预测当下午上课时间推迟到3：00时，家距学校的路程在6里路以上的走读生中约有多少人午休？
（注：线性回归直线方程系数公式b==，a=﹣b．）
21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为e=，其左右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=2．设点M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆上不同两点，且这两点与坐标原点的连线斜率之积﹣． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证：x12+x22为定值，并求该定值．
22．已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=﹣x．
（I）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设h（x）=af（x）+（a+1）g（x），其中0＜a≤1，证明：函数h（x）仅有一个零点．
2017-2018学年广西桂林中学高二（下）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x2=1}，则A∩B=（ ）
A．{﹣1，0，1 } B．{﹣1，0} C．{﹣1，1} D．{0，1}
【考点】交集及其运算．
【分析】求出B中方程的解确定出B，找出A与B的交集即可．
【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x2=1}={﹣1，1}，
∴A∩B={﹣1，1}，
故选：C．
2．函数f（x）=log2x与g（x）=（）x+1在同一直角坐标系中的图象是（ ）
A． B． C． D．
【考点】指数函数与对数函数的关系．
【分析】根据f（x）的定义域、单调性，及它的图象过（1，0），再由函数的定义域、单调性，图象过
（0，），从而得出结论．
【解答】解：由于函数函数f（x）=log2x与是（0，+∞）上的增函数，且它的图象过（1，0）．
函数g（x）=（）x+1 =2﹣x﹣1 是R上的减函数，且它的图象过（0，）．
故选：B．
3．复数﹣1+在复平面上对应的点的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵﹣1+=﹣1+=﹣1﹣i，
∴复数﹣1+在复平面上对应的点的坐标是（﹣1，﹣1）．
故选：D．
4．直线ax+2y﹣1=0与x+（a﹣1）y+2=0垂直，则a等于（ ）
A． B． C．﹣1 D．2或﹣1
【考点】两条直线垂直的判定．
【分析】本题考查的知识点是两条直线垂直的判定与性质，根据两条直线垂直，对应相乘和为0的原则，我们可以构造一个关于a的方程，解方程即可得到a的值．
【解答】解：∵直线ax+2y﹣1=0与x+（a﹣1）y+2=0垂直，
∴a+2（a﹣1）=0
解得：a=
故选A
5．已知a＞0，b＞0，且ab=4，则2a+3b的最小值为（ ）
A．5 B．10 C． D．
【考点】基本不等式．
【分析】利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，且ab=4，则2a+3b=，当且仅当2a=3b=2时取等号．
∴2a+3b的最小值值为4．
故选：D．
6．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的离心率，则b等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由双曲线x2﹣=1（b＞0）的离心率，可得a=1，c=，求出b，即可求出b的值．
【解答】解：∵双曲线x2﹣=1（b＞0）的离心率为，
∴a=1，c=，
∴b==3，
故选：B．
7．“φ=”是“函数y=sin（x+φ）为偶函数的”（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】正弦函数的奇偶性；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】通过φ=⇒函数y=sin（x+φ）为偶函数，以及函数y=sin（x+φ）为偶函数推不出φ=，判断充要条件即可．
【解答】解：因为φ=⇒函数y=sin（x+φ）=cosx为偶函数，所以“φ=”是“函数y=sin（x+φ）为偶函数”充分条件，
“函数y=sin（x+φ）为偶函数”所以“φ=kπ+，k∈Z”，
所以“φ=”是“函数y=sin（x+φ）为偶函数”的充分不必要条件．
故选A．
8．利用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，则不等式0＜log2（3a﹣1）＜1成立的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【分析】求满足事件“0＜log2（3a﹣1）＜1”发生的a的范围，利用数集的长度比求概率．
【解答】解：由0＜log2（3a﹣1）＜1得1＜3a﹣1＜2得：＜a＜1，长度为
数集（0，1）的长度为1，
∴事件“0＜log2（3a﹣1）＜1”发生的概率为．
故选：C．
9．若x，y满足约束条件，则z=3x﹣y（ ）
A．有最小值﹣8，最大值0 B．有最小值﹣4，最大值0
C．有最小值﹣4，无最大值 D．有最大值﹣4，无最小值
【考点】简单线性规划．
【分析】根据约束条件，作出平面区域，平移直线3x﹣y=0，推出表达式取得最值时的点的坐标，求出最值即可．
