广西桂林中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(文)试题Word版含解析
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广西省桂林中学2017-2018学年上学期高二年级段考
数学科试卷（文科）
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1. 若,则下列不等式中成立的是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，所以B,D错误，
∵ ，∴ C错误，故选A.
2. 双曲线的渐近线方程是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由双曲线标准方程可知，，且焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为，故选A.
3. 命题“ ”的否定是
A. 不存在 B.
C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：命题的否定，除结论要否定外，存在量词必须作相应变化，例如“任意”与“存在”相互转换．
考点：命题的否定．
4. 在中，已知A=60°，，则B的度数是
A. 45°或135° B. 135° C. 75° D. 45°
【答案】D
【解析】由正弦定理得 .选D.
5. 在等差数列中，若，则= A. 11 B. 12 C. 13 D. 不确定
【答案】C
【解析】 是等差数列，,故选C.
点睛：本题考查了等差数列的定义，求数列的前n项和，属于中档题.解决数列问题时，一般要紧扣等差数列的定义通项公式，数列求和时，一般根据通项的特点选择合适的求和方法，其中裂项相消和错位相减法考查的比较多，在涉及数列的恒成立问题时，一般要考虑数列项的最值或前n项和的最值，进行转化处理即可.
6. 设集合，，则“x∈A”是“x∈B”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为,但推不出
所以“”是“”的充分不必要条件，选A.
7. 已知椭圆上的一点到焦点的距离为2,是的中点,O为原点,则等于
A. 2 B. 4 C. 8 D.
【答案】B
8. 已知，则的最小值为
A. 8 B. 6 C. D.
【答案】C
【解析】因为
当且仅当时取等号，故选C.
点睛：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题.解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件，应用均值不等式.
9. 已知中，三内角的度数成等差数列，边依次成等比数列．则是 A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
【答案】B
【解析】∵△ABC中，三内角的度数成等差数列，
∴，
又，
∴°.
又边依次成等比数列，
∴，
在△ABC中,由余弦定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴为等边三角形。
故选B.
10. 已知满足约束条件若的最大值为4,则=
A. 3 B. 2 C. -2 D. -3
【答案】B
【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，如图（阴影部分），则，，若过点A时取得最大值4，则．此时目标函数为，即，平移直线，当直线过点A时截距最大，此时z的最大值为4，符合题意．若过点B时取到最大值4，则，此时目标函数为，即，平移直线，当直线过点A时截距最大，此时z的最大值为6，不符合题意．．
考点：简单的线性规划．
【名师点睛】本题主要考察线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．
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11. 若双曲线的中心为原点,是双曲线的焦点,过的直线与双曲线相交于,两点,且的中点为,则双曲线的方程为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可设双曲线方程为,F(3,0)是双曲线的焦点,所以
设 ,(1)-(2)得：,
的中点为(－12,－15),,又的斜率是，,即,将代入可得
所以双曲线的标准方程为,答案为D
12. 已知椭圆和双曲线焦点相同，且离心率互为倒数，是它们的公共焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设 ， 在椭圆中
， ，即
在双曲线中
， 即，则
所以，由题知，则椭圆离心率，选A.
点睛：本题主要考查了椭圆和双曲线的定义，离心率，及基本量之间的关系，涉及焦点三角形问题的综合运用，属于难题.在处理焦点三角形问题时，一般要考虑椭圆和双曲线的定义，注意余弦定理的应用，得到基本量之间的关系，从而转化为离心率问题，一般此类问题比较灵活，需要基础扎实，运算能力强.
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在中，，且边，则的面积等于_____________
【答案】
【解析】由三角形面积公式得：故填.
14. 椭圆被直线截得的弦长为________.
【答案】
【解析】由 消去y并化简得
设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则
所以弦长. 故填.
15. 已知直线与双曲线的左、右支各有一个公共点，则的取值范围是________．
【答案】 【解析】由，依题意有
.
16. 椭圆的焦点为,点为其上的动点,当为钝角时点的横坐标的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】试题分析：在中，由余弦定理知，因为∠为钝角，所以，即，化简得，设，因为在椭圆上，所以，解不等式得：，所以答案应填：．
考点：1、余弦定理；2、椭圆的简单几何性质；3、解不等式．
【方法点晴】本题主要考查了椭圆中的关系、椭圆的定义，余弦定理，解不等式，属于难题．利用余弦定理及椭圆的定义知，∠为钝角时，，再由两点间的距离公式代入化简得：，，所以，从而解得：，本题对计算能力要求较高．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 已知为等差数列，且，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列满足，，求的前n项和公式.
【答案】(1) (2)
【解析】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前n项和的综合运用。、
（1）设公差为，由已知得
解得
（2），等比数列的公比
利用公式得到和。 18. 已知△的周长为10，且．
（Ⅰ）求边长的值；
（Ⅱ）若，求角的余弦值．
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：（Ⅰ）由正弦定理将条件转化为边的关系，结合周长即可求出；
（Ⅱ）将条件代入余弦定理，即可求出A的余弦值.
试题解析：
（Ⅰ）根据正弦定理，可化为
联立方程组解得
所以，边长
（Ⅱ）由又由（Ⅰ）得得
=
点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.
19. 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形的休闲区（阴影部分）A1B1C1D1和环公园人行道组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米（如图）
（Ⅰ）若设休闲区的长求ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；
（Ⅱ）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
【答案】(1) (2) 要使所占面积最小，休闲区的长为100米，宽为40米
【解析】试题分析：先表示出休闲区的面积，再利用基本不等式求解即可．
试题解析：（1）
（2）∵
∴
当且仅当即时取“=”
答：面积最小时长为100m，宽为40m．
考点：基本不等式在最值问题中的应用
20. 设p:实数x满足,其中a≠0,q:实数x满足.错误！未指定书签。
(I)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围.
(II)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
【答案】(1) (2,3) (2) a∈(1,2]
【解析】试题分析：（1）化简条件p,q，根据p∧q为真,可求出；
（2）化简命题，写成集合，由题意转化为(2,3](3a,a)即可求解.
试题解析：
(I)由,得q:2
当a=1时,由x2-4x+3<0,得p:1
因为p∧q为真,所以p真,q真.
(II)由x2-4ax+3a2<0,得(x-a)(x-3a)<0.
①当a>0时,p:a
由题意,得(2,3](a,3a),所以即1
②当a<0时,p:3a
由题意,得(2,3](3a,a),所以无解.
综上,可得a∈(1,2]. 21. 已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根，数列的前项的和为，且．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：解：（1）因为是方程的两根，且数列的公差，
所以，公差.所以.
又当时，有，所以.
当时，有，所以.
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
（2）因为，
则 ，①
，②
由①-②，得 ，
整理，得.
考点：数列的通项公式；数列的前n项和公式
点评：对于求一般数列的通项公式或前n项和时，常用方法有：错位相减法、裂变法等，目的是消去中间部分。
22. 平面内动点P（x，y）与两定点A（-2, 0）, B（2,0）连线的斜率之积等于，若点P的轨迹为曲线E，过点Q作斜率不为零的直线交曲线E于点．
（I）求曲线E的方程；
（II）求证：；
（III）求面积的最大值．
