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3.等比数列

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（三）等比数列

一、知识归纳：

1．等比数列的定义用递推公式表示为：qaann1（ q为常数，叫这个数列}{na的公比）

2．等比数列的通项公式：11nnqaa，

3．等比数列的分类：

①当101qa或1001qa时，}{na是递增数列； ②当1001qa或101qa时，}{na是递减数列；

③当1q时，}{na是常数列； ④当0q时，}{na是摆动数列。

4．等比中项： 如果在ba,中间插入一个数G，使bGa,,成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且abG2或abG

5．等比数列的前n项和公式：当1q时，1naSn；当1q时，qqaSnn1)1(1

6．等比数列的主要性质：设}{na是等比数列，则有

（1）knknqaa

（2）若pnm2（,,mnpN），则2pnmaaa，（即pa是ma与na的等比中项）

（3）若qpnm，则qpnmaaaa

如：23121nnnaaaaaa

（4）对于任意正整数n（1n）有：112nnnaaa

（5）若为}{na、}{nb为等比数列，则数列}{nnba也为等比数列。

二、学习要点：

1．运用方程思想，将等比数列问题化归为基本量的关系来解决。等比数列有五个基本量：nnSnqaa,,,,1，只要知道其中的三个，可建立方程组，求出另外的二个。

2．证明一个数列为等比数列的常用方法：

①定义法：证明qaann1常数；

②等比中项法：证明112nnnaaa（1n，Nn），且0na

3．掌握等比数列前n项和公式的推导方法（称为“错位相减法”），它是数列求和的一种重要方法。运用等比数列前n项和公式时，要注意公比q是否为1，如不确定要加以讨论。

4．解决等比数列问题与等差数列一样应注意性质的灵活运用。

三、例题分析：

例1．已知递增的正项等比数列}{na中，5115aa，426aa

（1）求na，nS；

（2）求证：71472114,,SSSSS成等比数列；

（3）若数列{}nb满足2nnba，在直角坐标系中作出()nbfn的图象；

（4）若数列{}nc满足1nnca，其前n项和为nT，试比较nT与2的大小。

例2．已知数列}{na的前n项和记为nS，)1(31nnaS)(Nn

（1）求21,aa；（2）求证：数列}{na是等比数列。（3）求出nS关于n的表达式。

例3．等比数列{na}的前n项和为nS， 已知对任意的nN ，点(,)nnS，均在函数

(0xybrb且1,,bbr均为常数)的图像上.

（1）求r的值；

（2）当2b时，记 1()4nnnbnNa 求数列{}nb的前n项和nT

四、练习题：

1．在各项都为正数的等比数列}{na中，首项13a ，前三项和为21，则345aaa

A．33 B．72 C． 84 D．189

2．等比数列}{na中，243,952aa，则}{na的前4项和为

A．81 B．120 C．168 D．192

3．在等比数列}{na中，3,1101aa，则9832aaaa的值是

A. 81 B. 27527 C. 3 D. 243

4．数列}{na是各项都为正数的等比数列，公比q满足42q，则5443aaaa的值为

A．41 B．2 C．21 D．21

5．在等比数列}{na中，前n项和为nS，若63,763SS，则公比q的值为

A．2 B．2 C．3 D．3

6．在等比数列}{na中，45,106431aaaa，则数列}{na的通项公式为

A．nna42 B．42nna C．32nna D．nna32

7．在等比数列}{na中，)0(65aaaa，baa1615，则2625aa的值为

A．ab B．2)(ab C．ab2 D．2ab

8．设4710310()22222()nfnnN，则()fn等于

A．2(81)7n B．12(81)7n C．32(81)7n D．42(81)7n

9．成等差数列的三个正数的和等于15，且这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，那么这三个数的积是

A．210 B．105 C．70 D．35

10．在等比数列na中,12a,前n项和为nS,若数列1na也是等比数列,则nS等于

A．122n B．3n C．2n D．31n

11．两个数的等差中项为15，等比中项为12，则这两个数为__________.

12．在正项等比数列na中，153537225aaaaaa，则35aa______。

13．等比数列{}na的公比0q, 已知2a=1，216nnnaaa，则{}na的前4项和4S=

14. 设等差数列{}na的前n项和为nS，则4S，84SS，128SS，1612SS成等差数列．类

比以上结论有：设等比数列{}nb的前n项积为nT，则4T， ，______，1612TT成等比数列．

15．已知数列}{na满足111,21nnaaan

（1）设2nnban，证明数列{}nb是等比数列；

（2）设数列}{na的前n项和为nS，求na和nS

16．已知数列}{na是各项不相等且均为正数的等差数列，421lg,lg,lgaaa也成等差数列，又nabn21),3,2,1(n （1）证明：}{nb是等比数列；

（2）如果数列}{nb的前3项的和为247，求数列}{na的首项1a和公差d

17．已知递增等比数列}{na满足28432aaa，且23a是42,aa的等差中项

（1）求}{na的通项公式na；

（2）若12lognnnbaa，nnbbbS21，求3021nnnS成立的n的最小值。

18．设数列na的前n项和为nS．已知1aa，13nnnaS，*nN．

（1）设3nnnbS，求数列nb的通项公式；

（2）若1nnaa，*nN，求a的取值范围．

（三）等比数列参考答案

例1．解：（1）设递增的正项等比数列}{na的公比为q，依题设有

4511(1)15aaaq，2421(1)6aaaqq

两式相除，得2152qq，即22520qq，解得2q或12q

因为}{na是递增的正项等比数列，故2q，代入41(1)15aq，得11a

则1112nnnaaq，1(1)211nnnaqSq，12,21nnnnaS

（2）证明：由（1）7721S，141421S，212121S

则771472(21)SS，14721142(21)SS

2147214772114()2(21)()SSSSS

71472114,,SSSSS成等比数列

（3）()2nfn，则()nbfn的图象是函数()2xfx的图象上的一列孤立的点。

（4）1112nnnca，则12nnTccc211111222n11()2112n

12(1)22n

例2．解：（1）由)1(31nnaS，得)1(3111aa211a，

又)1(312212aaaS

得412a

（2）当2n时，)1(31)1(3111nnnnnaaSSa，得211nnaa

故数列}{na是首项为21，公比为21的等比数列。

例3．解:因为对任意的nN,点(,)nnS，均在函数(0xybrb且1,,bbr均为常数)的图像上.所以得nnSbr,

当1n时,11aSbr,

当2n时,1111()(1)nnnnnnnnaSSbrbrbbbb,

又因为{na}为等比数列, 所以1r, 公比为b, 所以1(1)nnabb

（2）当b=2时，11(1)2nnnabb, 111114422nnnnnnnba

则234123412222nnnT

3451212341222222nnnnnT

相减,得23451212111112222222nnnnT

31211(1)112212212nnn12311422nnn

所以113113322222nnnnnnT

练习题：1~10 CBADA ACDBC

解析：

8．数列有4n项

10．因数列na为等比，则12nnaq，因数列1na也是等比数列，

则22121122212(1)(1)(1)22(12)01nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaqqq

即2na，所以2nSn，故选择答案C。

11． _24、6___ 12．_5__. 13． 152___. 14． 81248,TTTT

13．解析 由216nnnaaa得：116nnnqqq，即062qq，0q，

解得：q＝2，又2a=1，所以，112a，21)21(2144S＝152。

15．解：（1）由2nnban，

则11(1)22nnnnbanban(21)32nnannan2(2)22nnanan

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2.3.1 等比数列的概念

2.3.1 等比数列的概念

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2.3.1 等比数列的概念

泰兴市第一高级中学 孙婷

教学目标：

1. 体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等比数列的概念．

2. 利用等比数列解决实际问题．

教学重点：

等比数列的概念．

教学难点：

理解等比数列“等比”的特点．可以通过与等差数列进行类比来突破难点．

教学方法：

启发式、讨论式．

教学过程：

一、问题情境

情境1：某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为

1,2,4,8,16,

情境2：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为

1111,,,,24816

情境3：某轿车的售价约为36万元，年折旧率约为10﹪（就是说这辆车每年减少它的价值的10﹪），那么该车从购买当年算起，逐年的价值依次为

2336,360.9,360.9,360.9,

问题：与等差数列相比，上面这些数列有什么特点？ 凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学设计

二、学生活动

通过观察，发现：

1．上述数列的共同特征，从第2项起，每一项都与它的前一项的比等于同一个常数．而等差数列的特征是，从第2项起，每一项都与它的前一项的差等于同一个常数．

2．根据这一规律可以发现任何一项都可以找出来．

通过讨论，得到这些问题共同的特点是，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数．

三、建构教学

1. 归纳总结，形成等比数列的概念：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示．

2. 符号记法，若数列na为等比数列，公比为q，则)2(1nqaann．

2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题三数列第一讲等差数列与等比数列

2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题三数列第一讲等差数列与等比数列

专题三 数列

第一讲 等差数列与等比数列——小题备考

常考常用结论

1．等差数列

(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；

(2)求和公式：Sn＝n(a1+an)2＝na1＋n(n−1)2d；

(3)性质：

①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；

②an＝am＋(n－m)d；

③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列．

2．等比数列

(1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)；

(2)求和公式：q＝1，Sn＝na1；q≠1，Sn＝a1(1−qn)1−q＝a1−anq1−q；

(3)性质：

①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；

②an＝am·qn－m；

③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(Sm≠0)成等比数列．

微专题1 等差数列与等比数列的基本量计算

保分题

1.[2022·河北石家庄二模]等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a2 021＝6，则S2 022＝( )

A．3 033 B．4 044

C．6 066 D．8 088

2．[2022·辽宁沈阳三模]在等比数列{an}中，a2，a8为方程x2－4x＋π＝0的两根，则a3a5a7的值为( )

A．π√π B．－π√π

C．±π√π D．π3

3．[2022·全国乙卷]已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )

A．14 B．12

C．6 D．3

提分题

例1 (1)[2022·江苏盐城三模]已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝120，则a37＋b37的值为( )

A．760 B．820

C．780 D．860

(2)[2022·广东佛山三模]已知公比为q的等比数列{an}的前n项和Sn＝c＋2·qn，n∈N*，且S3＝14，则a4＝( )

等比数列的前n项和数列总结

等比数列的前n项和数列总结

等比数列的前n项和

一、等比数列的前n项和公式

1．乘法运算公式法

∵Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1

＝a1(1＋q＋q2＋…＋qn－1)

＝a1·1－q1＋q＋q2＋…＋qn－11－q＝a11－qn1－q，

∴Sn＝a11－qn1－q.

2．方程法

∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1

＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－2)

＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－1－a1qn－1)

＝a1＋q(Sn－a1qn－1)，

∴(1－q)Sn＝a1－a1qn.

∴Sn＝a11－qn1－q.

3．等比性质法

∵{an}是等比数列，∴a2a1＝a3a2＝a4a3＝…＝anan－1＝q.

∴a2＋a3＋…＋ana1＋a2＋…＋an－1＝q，

即Sn－a1Sn－an＝q于是Sn＝a1－anq1－q＝a11－qn1－q.

二、等比数列前n项和公式的理解

(1)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，q，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．

(2)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝a11－qn1－q，它可以变形为Sn＝－a11－q·qn＋a11－q，设A＝a11－q，上式可写成Sn＝－Aqn＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．

当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)．

等比数列前n项和性质

（1）在等比数列{an}中，连续相同项数和也成等比数列，即：Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…仍成等比数列．

（2）当n为偶数时，偶数项之和与奇数项之和的比等于等比数列的公比，即S偶S奇＝q.

（3）若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝－Aqn＋A⇔数列{an}为等比数列．

届数学一轮复习第六章数列第三节等比数列及其前n项和学案理含解析

届数学一轮复习第六章数列第三节等比数列及其前n项和学案理含解析

2021

第三节 等比数列及其前n项和

［最新考纲］ ［考情分析］ ［核心素养]

1.理解等比数列的概念。

2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.

3.了解等比数列与指数函数的关系。 等比数列的基本运算,等比数列的判断与证明,等比数列的性质与应用仍是2021年高考考查的热点，三种题型都有可能出现，分值为5~12分. 1.数学运算

2.逻辑推理

‖知识梳理‖

1．等比数列的有关概念

(1)定义

①文字语言：从错误!第2项起，每一项与它的前一项的错误!比都等于错误!同一个常数．

②符号语言：错误!错误!＝q（n∈N*，q为非零常数)．

（2）等比中项：如果a，G,b成等比数列，那么错误!G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝6ab． 2021

2．等比数列的有关公式

(1）通项公式：an＝错误!a1qn－1．

（2)前n项和公式

3．等比数列的性质

（1）通项公式的推广:an＝am·qn－m（m，n∈N＊）．

（2）对任意的正整数m,n，p，q，若m＋n＝p＋q，则错误!am·an＝错误!ap·aq．

特别地，若m＋n＝2p,则am·an＝a2p.

(3）若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm,S3m－S2m仍成等比数列，即（S2m－Sm)2＝13Sm（S3m－S2m）（m∈N＊，公比q≠1）．

(4）数列｛an｝是等比数列，则数列｛pan}(p≠0，p是常数)也是错误!等比数列．

(5)在等比数列{an｝中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k,an＋2k，an＋3k，…为等比数列,公比为错误!qk．

►常用结论

1．若｛an｝，｛bn}（项数相同)是等比数列，则{λan｝（λ≠0),错误!，{a2，n}，{an·bn｝,错误!仍是等比数列．

2．一个等比数列各项的k次幂仍组成一个等比数列，新公比2021

是原公比的k次幂．