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等比数列

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高一数学必修5

《等比数列》（第一课时）导学案

班级 姓名

学习目标

1．通过实例，发现数列的等比关系并归纳等比数列的概念，进而探索等比数列的通项公式，并能初步应用。

2.通过对等比数列通项公式的探索，体会类比思想以及特殊到一般思想方法的应用。

重点难点

重点：等比数列概念的理解和通项公式的探索及初步应用。

难点：等比数列通项公式的探索及初步应用。

课前热身

请你从游戏和实例中抽象数列的模型，并把所得的数列填空。

1．悄悄话游戏中不同时刻知道悄悄话的同学个数依次组成的数列： ___；

2．“一尺之棰，日取其半，万事不竭。”得到的数列： ___；

3．病毒每一轮感染的计算机数构成的数列： 。

思考：请同学们观察上面的数列①②③，说说它们有什么共同特点？

学习探究

（一）等比数列概念的形成

归纳：

(二)等比中项的概念

（三）等比数列的通项公式：

请你写出上面三个等比数列的通项公式，类比等差数列的通项公式的推导过程，请你补全首项为1a，公比是q的等比数列{}na的通项公式： qaan1

知识应用

例. 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第n项。

合作交流，解决问题

在等比数列{}na中，

(1) 已知122,54,;aaq求 （2）已知4124,2,;aqa求

(3) 已知 11,2,32,.naqa求n （4）已知3a=20，1606a，求na.

展示提炼

达标检测

1.已知在等比数列{}na中，13a，2q，则4a=______.

2.2和8的等比中项是( )

(A)4 (B)－4 (C)±4 (D)2

3. 已知等比数列{}na中，427a，3q，则该数列的通项na=( )

(A)3n (B)13n (C) 13n (D) 3n

分层作业

基础性作业：（必做）1、自习课本例1、例2

2、完成课本P53习题2.2[A组]的第1、2题。

（选做）课本P53习题2.2[B组]1题。

拓展性作业：查阅并思考推导等比数列通项公式的方法。

(2) 已知4124,2,;aqa求122,54,;aaq求

(4)已知 11,2,32,.naqa求n

课堂训练（2）已知320a，6160a，求na。

1．判断下列数列是否为等比数列，若是，请指出公比q，若不是，说明理由。

（1）1,2, 8，32，128,… 。 （2）16,8,4,2,…

（3）1,－5，25，－125,…。 （4）-1，-2，-3，-4，…。

（5）0, 0，0, 0,…。 （6） 1，0，1，0，… 。

（7） 2，2，2，2，… 。

2.求下列各组数中插入怎样的数后是等比数列。

（1）1， ____ ， 9 （2）-1，____ ，-4

2.求下列各组数的等比中项：

（1）4与16 （2）9与81

3.在等比数列{}na中，

思考：若a,G,b三个数成等比数列，那么这三个数有何恒等关系？

思考：什么样的两数有等比中项，若有有几个？

1.

2.

3. 在等比数列中填空

① 1, 5, 10 …,中第5项____________.

② 4，-8,16…, 中第6项____________.

4. 求下列各组数的等比中项

①4，9 ②21，21.

3. 已知等比数列{}na中，427a，3q，求na.

2.2＋3和2－3的等比中项是( )

(A)1 (B)－1 (C)±1 (D)2

在等比数列{}na中

思考：等比数列的定义中，可否去掉“q≠0”的条件？为什么？能否将“ ”的条件改写成“ ”？为什么？

已知一张白纸的厚度为1，将白纸对折.对折1次、2次、3次、4次 ．．． 28次， 观察纸的层数是怎样变化的？

对折1次层数是 层；

对折2次层数是 层；

对折3次层数是 层；

对折4次层数是 层；

对折5次层数是 层；……

在对折过程中纸的层数构成一个什么样的数列？

数列①从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____；

数列②从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____；

数列③从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____；

实例分析3：一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄，通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是什么？

实例分析1：请同学们观察某种细胞分裂的模型，细胞分裂个数可组成什么样的的数列？

实例分析2：中国战国时，《庄子》一书中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的关于物质无限可分的观点。用现代语言如何叙述？如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？

( 2 )一个等比数列的第2项是10，第3项是20，

则它的第4项是 ；

( 3 )一个等比数列的第2项是10，第6项是160，

则它的第4项是 ；

(4)已知等比数列{ an }的a2=2， a5=54，则q= ；

(5)已知等比数列{ an }的a5=1， an=256，q=2，则n= .

1 1416642562 24816323 01248 3,3,3,3,，，，，，；，，，，，；，，，，，;,3,27)1(74aqa求qaann1qaann1

等差数列 等比数列

定义

数学表达式

通项公式

等差中项、等比中项

154111),2,______212),1,______8naaqaaaq等比数列中，已知则已知则

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等比数列

等比数列

1 等比数列

教学过程

【典型试题】

一、等比数列的计算问题的解题策略

1、小题型（通项公式及性质计算）

如果1,,,,9abc成等比数列，那么（ ）

A、3,9bac B、3,9bac C、3,9bac D、3,9bac

已知各项均为正数的等比数列{an}, a1a2a3=5, a7a8a9=10, 则a4a5a6=( )

已知na等比数列，324202,3aaa，求na的通项公式。

2

在等比数列na，已知51a，100109aa，则18a=

已知等比数列{an}为递增数列. 若a1> 0, 且2(an+an+2) =5an+1, 则数列{an}的公比q= .

提示：运用通项公式。

已知数列1, a1, a2, 4成等差数列，1, b1, b2, b3, 4成等比数列，则221baa_______．

3

2、小题型（求和公式）

在各项都为正数的等比数列{}na中，首项13a，前三项和为21，则345aaa（ ）

在等比数列{}na（nN*）中，若11a，418a，则该数列的前10项和为（ ）

A．4122 B．2122 C．10122 D．11122

设等比数列}{na的前n项和为nS，已,62a30631aa，求na和nS

4

已知等比数列{}na中，113a，公比13q．nS为{}na的前n项和，证明：12nnaS

设4710310()22222()nfnnN，则()fn等于（ ）

A．2(81)7n B．12(81)7n C．32(81)7n D．42(81)7n

等比数列 2

等比数列 2

等比数列

一、定义： na、q均不等于0 . 1nnaqa，nN （或1nnaqa，2n）， 其中q为常数 .

注：（1）特殊之处：奇数项同号，偶数项同号 .（2）由定义可知：

1nnaqa，2nna为等比数列 .

二、通项公式： ★ 11nnaaq （推导方法：累乘法）

等比中项：若a，G ，b成等差数列，则G叫作a与b的等比中项，2Gab， 即 Gab .

提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，一般等比中项有两个：ab

三、前n项和公式： ★1q， 1(1)1nnaqSq11naaqq； 1q， 1nSna. （推导方法：错位相减法）

提醒：等比数列求和时，先判断公比q是否为1，再选求和公式，无法判断q是否为1时，分1q和1q讨论.

四、性质： ★ 在等比数列na中，若mnpq，则mnpqaaaa .

☆ 若na为等比数列，则nS，2nnSS，32nnSS， 仍为等比数列 .

测试题

1．设数列na的首项17a，且满足12nnaa，则na______________ . （定义）

1．已知na是等比数列，48a，2q，则7a （ ） （基本量运算）

A．64 B．64 C．48 D．48

2．已知na是等比数列，22a，514a，则公比q （ ）

A．21 B．2 C．2 D．12

等比数列 3

等比数列 3

012636464222......22S课题：等比数列的前n项和

教学目标：

（1）、理解等比数列的前n项和公式的推导方法，掌握其中的乘公比错项相减法。

（2）、掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题；

教学重点：

（1）、等比数列的前n项和公式；

（2）、等比数列的前n项和公式的应用；

教学难点：等比数列的前n项和公式的推导；

教学方法：问题探索法及启发式讲授法

教学过程：

一、复习提问

回顾等比数列定义，通项公式。

（1）等比数列定义：（，

（2）等比数列通项公式：

（3）等差数列前n项和公式的推导方法：倒序相加法。

二、问题引入：

阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。

问题:如何计算

三、课内探究

等比数列求和

计算：0126364222......22

方法一：（借来还去法）

方法二：（乘公比错项相减法）

方法三：（公式法）

四、总结公式

等比数列前n项和的公式为

nS

五、课堂练习

等比数列 4

等比数列 4

基础强化练习　

班级　姓名　得分　

等比数列　

一、填空题（本大题共１０小题，每小题５分，共计５Ｏ分）　

１．在等比数列｛ａ　）中，ａｚ一２，　一１８，则公比ｇ一　２．已知等比数列｛ｎ　）的前三项依次为口一２，口＋２，ｎ＋８，则以　一　

３．在等比数列｛ａ　）中，若ａ３ａ５以７一一８，则ａ２ａ８＝＝＝　．　

４．在等比数列｛口　｝中，ｓ。＝＝＝　，ｓｅ一譬，则以　一　

５．已知各项均为正数的等比数列｛以　）的前　项和为Ｓ　，若口。一１８，Ｓ。一２６，则｛盘　）的　

公比ｑ一——．　６．设Ｓ　是等比数列｛口　）的前　项和，已知３Ｓ。＝＝＝口　一２，３Ｓ。一ｎ。一２，则｛口　）的公比ｑ　

７・已知等比数列｛ａｎ）的首项为２，公比为２，则　■　一——・　

８．已知等比数列｛口　）的前７ｚ项和Ｓ　一　・５一　一÷，则实数￡一　．　

９．已知｛　｝是公差不为０的等差数列，｛ｂ　）是等比数列，其中口　一３，ｂ　一１，ｎ。一６　，３ａ　一６。，若存在常数　，　，对任意正整数Ｔ１，都有ａ　＝＝＝３　ｌｏｇ　ｂ　＋　，则　＋　＝＝＝　．　１０．如图，将数列｛ａ　）中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排　

成数表．已知表中的第１列ａｌ，ａ２，ａ５，…构成一个公比为２的等比数列，且　。　

从第２行起每一行都是一个公差为ｄ的等差数列．若ａ　：＝＝５，ａ。。＝＝＝５１８，则…．．　

一　．　（第１０题）　

二、解答题（本大题共３小题，共计５Ｏ分）　

儿．（本小题满分１４分）求和：Ｓ　一１＋２　＋３　＋…＋衄一　。　

・　９　・　酣　ｌＩ　ｌ　

峨　ｈ）　０　厶　卜　

亘口｝　

蛐　ｉ葛　

回　舔　１２．（本小题满分１７分）已知数列｛以　｝和（　）满足：口　＝　，以　一号ｎ　＋ｎ一４，　一　

（－－１）”（　－－３ｎ＋２１），其中　为实数，　为正整数．　（１）对任意实数　，证明数列｛ｎ　）不是等比数列；　

（２）试判断数列｛　）是否为等比数列，并证明你的结论．　

１３．（本小题满分１９分）设数列（ａ　｝的前　项和为Ｓ　，对于任意的　∈Ｎ　，都有Ｓ　一