2016-2017学年北京市昌平区临川学校高二(下)3月月考数学试卷(理科)

2015-2016学年北京市昌平区临川育人学校高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数z=（﹣8+i）i在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（）A．正方形的对角线相等B．平行四边形的对角线相等C．正方形是平行四边形D．以上均不正确3．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0 B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0 D．a、b中只有一个为04．用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（）A．k2+1 B．（k+1）2C．D．（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）25．（1+cosx）dx等于（）A．πB．2 C．π﹣2 D．π+26．因为a，b∈R+，a+b≥2，…大前提x+≥2，…小前提所以x+≥2，…结论以上推理过程中的错误为（）A．小前提B．大前提C．结论 D．无错误7．由曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．8．复数z=，则z的共轭复数在复平面内对应的点（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．6n﹣2 B．8n﹣2 C．6n+2 D．8n+210．给出下列三个类比结论．①（ab）n=a n b n与（a+b）n类比，则有（a+b）n=a n+b n；②log a（xy）=log a x+log a y与sin（α+β）类比，则有sin（α+β）=sinαsinβ；③（a+b）2=a2+2ab+b2与（+）2类比，则有（+）2=+2•+；其中结论正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．311．自然数按如图的规律排列：则上起第2007行左起2008列的数为（）A．20072B．20082C．2006×2007 D．2007×200812．若定义运算：；，例如2⊗3=3，则下列等式不能成立的是（）A．a⊗b=b⊗a B．（a⊗b）⊗c=a⊗（b⊗c）C．（a⊗b）2=a2⊗b2 D．c•（a⊗b）=（c•a）⊗（c•b）（c＞0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．若实数x，y满足（x﹣3y）+（2x+3y）i=5+i，则x+y=．14．设，则=．15．已知数列{a n}的每一项均为正数，a1=1，a2n+1=a n2+1（n=1，2…），试归纳成数列{a n}的一个通项公式为．16．复数的模为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．实数m取什么数值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）表示复数z的点在复平面的第四象限？18．计算由曲线y2=x，y=x3所围成的图形的面积S．19．（Ⅰ）求证： +＜2（Ⅱ）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求证：，中至少有一个小于2．20．试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法，证明下列结论：已知0＜a＜1，则+≥9．21．（1）用数学归纳法证明：12+22+32+…+n2=，n是正整数；（2）用数学归纳法证明不等式：1+++…+＜2（n∈N*）22．已知：sin230°+sin290°+sin2150°=，sin25°+sin265°+sin2125°=．通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明．2015-2016学年北京市昌平区临川育人学校高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数z=（﹣8+i）i在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数四则运算进行化简，然后根据复数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：∵z=（﹣8+i）i=﹣8i+i2=﹣1﹣8i，对应的点的坐标为（﹣1，﹣8），位于第三象限，故选：C．2．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（）A．正方形的对角线相等B．平行四边形的对角线相等C．正方形是平行四边形D．以上均不正确【考点】进行简单的演绎推理．【分析】三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得出一个新的性质判断为结论的演绎推理．在三段论中，含有大项的前提叫大前提，如本例中的“平行四边形的对角线相等”；含有小项的前提叫小前提，如本例中的“正方形是平行四边形”．另外一个是结论．【解答】解：由演绎推理三段论可得“三段论”推理出一个结论，则这个结论是：”正方形的对角线相等“，故选A．3．用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0 B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0 D．a、b中只有一个为0【考点】反证法与放缩法．【分析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设．【解答】解：由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选A．4．用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（）A．k2+1 B．（k+1）2C．D．（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2【考点】数学归纳法．【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．【解答】解：当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故选D．5．（1+cosx）dx等于（）A．πB．2 C．π﹣2 D．π+2【考点】定积分．【分析】由于F（x）=x+sinx为f（x）=1+cosx的一个原函数即F′（x）=f（x），根据∫a b f（x）dx=F（x）|a b公式即可求出值．【解答】解：∵（x+sinx）′=1+cosx，∴（1+cosx）dx=（x+sinx）=+sin﹣=π+2．故选D6．因为a，b∈R+，a+b≥2，…大前提x+≥2，…小前提所以x+≥2，…结论以上推理过程中的错误为（）A．小前提B．大前提C．结论 D．无错误【考点】进行简单的演绎推理．【分析】演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决与前提是否真实和推理的形式是否正确，演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论．【解答】解：∵，这是基本不等式的形式，注意到基本不等式的使用条件，a，b都是正数，是小前提，没有写出x的取值范围，∴本题中的小前提有错误，故选A．7．由曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先确定交点坐标，得到积分区间，确定被积函数，求出原函数，即可求得结论．【解答】解：由题意，曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0的交点坐标为（0，0），（1，﹣1）∴曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为=（）=故选D．8．复数z=，则z的共轭复数在复平面内对应的点（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数代数形式的除法运算化简，然后求出z的共轭复数，得到坐标，则答案可求．【解答】解：z====﹣i，∴z的共轭复数=+i，∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（，）∴z的共轭复数在复平面内对应的点在第一象限故选：A．9．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．6n﹣2 B．8n﹣2 C．6n+2 D．8n+2【考点】归纳推理．【分析】由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，则组成不同个数的图形的火柴棒的个数组成一个首项是8，公差是6的等差数列，写出通项，求出第n 项的火柴根数．【解答】解：∵第一个图中有8根火柴棒组成，第二个图中有8+6个火柴棒组成，第三个图中有8+2×6个火柴组成，以此类推组成n个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n﹣1）∴第n个图中的火柴棒有6n+2故选：C．10．给出下列三个类比结论．①（ab）n=a n b n与（a+b）n类比，则有（a+b）n=a n+b n；②log a（xy）=log a x+log a y与sin（α+β）类比，则有sin（α+β）=sinαsinβ；③（a+b）2=a2+2ab+b2与（+）2类比，则有（+）2=+2•+；其中结论正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】类比推理．【分析】分别利用运算的法则：①利用乘方的运算法则；②利用三角函数的运算法则；③利用幂的运算法则；逐个进行验证，判断每个小题的正误．【解答】解：根据乘方的运算法则知：（a+b）n≠a n+b n，①不正确；根据三角函数的运算法则知：sin（α+β）≠sinαsinβ，②不正确；根据幂的运算法则知：（+）2=2+2•+2，③正确；故选B．11．自然数按如图的规律排列：则上起第2007行左起2008列的数为（）A．20072B．20082C．2006×2007 D．2007×2008【考点】数列的函数特性；等差数列的通项公式．【分析】由题意可知：根据数的排列特征，可以从行和列两个角度观察分析，总结出这个自然数表的排列特征，由此能够求出结果．【解答】解：经观察，这个自然数表的排列特征有：①第一列的每一个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；②第一行第n个数为（n﹣1）2+1；③第n行中从第1个数至第n个数依次递减1；④第n列中从第1个数至第n个数依次递增1．故上起第2007行，左起第2008列的数，应是第2008列的第2007个数，即为[2+1]+2006=20072+2007=2007×2008．故选D．12．若定义运算：；，例如2⊗3=3，则下列等式不能成立的是（）A．a⊗b=b⊗a B．（a⊗b）⊗c=a⊗（b⊗c）C．（a⊗b）2=a2⊗b2 D．c•（a⊗b）=（c•a）⊗（c•b）（c＞0）【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】利用题中的新定义知a⊗b表示a，b中的最大值，分别对各选项判断表示的值．【解答】解：由题中的定义知a⊗b表示a，b中的最大值a⊗b与b⊗a表示的都是a，b中的最大值（a⊗b）⊗c与a⊗（b⊗c）表示的都是a，b，c中的最大值c•（a⊗b）表示a，b的最大值与c的乘积；（c•a）⊗（c•b）表示c•a与c•b中最大值故c•（a ⊗b）=（c•a）⊗（c•b）故A、B、D都对故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．若实数x，y满足（x﹣3y）+（2x+3y）i=5+i，则x+y=1．【考点】复数代数形式的加减运算．【分析】实数x，y满足（x﹣3y）+（2x+3y）i=5+i利用复数相等的条件求出x、y，然后求x+y的值．【解答】解：因为实数x，y满足（x﹣3y）+（2x+3y）i=5+i，可得所以x=2，y=﹣1所以x+y=1故答案为：1．14．设，则=．【考点】微积分基本定理．【分析】由于函数f（x）为分段函数，则=，再根据微积分基本定理，即可得到定积分的值．【解答】解：由于，定义当x∈[1，e]时，f（x）=，则====，故答案为．15．已知数列{a n}的每一项均为正数，a1=1，a2n+1=a n2+1（n=1，2…），试归纳成数列{a n}的一个通项公式为a n=．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】由a1=2，a n+12=a n2+1，即a n+12﹣a n2=1，可得数列{}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出结论．【解答】解：∵a1=1，a n+12=a n2+1，即a n+12﹣a n2=1，∴数列{}是等差数列，公差为1，首项为1．∴，a n＞0，∴a n=．故答案为：a n=．16．复数的模为．【考点】复数求模．【分析】根据复数的运算性质化简，求模即可．【解答】解：∵===﹣i，∴模是=，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．实数m取什么数值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）表示复数z的点在复平面的第四象限？【考点】复数的基本概念．【分析】由复数的解析式可得，（1）当虚部等于零时，复数为实数；（2）当虚部不等于零时，复数为虚数；（3）当实部等于零且虚部不等于零时，复数为纯虚数；（4）当实部大于零且虚部小于零时，复数在复平面内对应的点位于第四象限．【解答】解：∵复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i，∴（1）当m2﹣m﹣2=0，即m=﹣1，或m=2时，复数为实数．（2）当m2﹣m﹣2≠0，即m≠﹣1，且m≠2时，复数为虚数．（3）当m2﹣m﹣2≠0，且m2﹣1=0时，即m=1时，复数为纯虚数．（4）当m2﹣1＞0，且m2﹣m﹣2＜0时，即1＜m＜2时，表示复数z的点在复平面的第四象限．18．计算由曲线y2=x，y=x3所围成的图形的面积S．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】首先利用定积分是几何意义将所求面积表示出来，然后进行定积分的计算．【解答】解：由题图得到S===．19．（Ⅰ）求证： +＜2（Ⅱ）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求证：，中至少有一个小于2．【考点】不等式的证明．【分析】（Ⅰ）利用了分析法，和两边平方法，（Ⅱ）利用了反证法，假设：，都不小于2，则≥2，≥2，推得即a+b≤2，这与已知a+b＞2矛盾，故假设不成立，从而原结论成立．【解答】（Ⅰ）证明：因为和都是正数，所以为了证明+＜2，只要证（+）2＜（2）2只需证：10＜20，即证：2＜10，即证：＜5，即证：21＜25，因为21＜25显然成立，所以原不等式成立．（Ⅱ）证明：假设：，都不小于2，则≥2，≥2，∵a＞0，b＞0，∴1+b≥2a，1+a≥2b，∴1+b+1+a≥2（a+b）即a+b≤2这与已知a+b＞2矛盾，故假设不成立，从而原结论成立．20．试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法，证明下列结论：已知0＜a＜1，则+≥9．【考点】反证法；分析法和综合法．【分析】分析法是从结论出发找出要证结论的充分条件；反证法是假设结论不成立，从假设出发：同分；两边同时乘以a（1﹣a）；得到不成立的结论，从而得证；综合法即将分析法的每一步倒过来．【解答】解：分析法： +≥9⇐≥9反证法：假设+＜9，通分得＜9．∵0＜a＜1，∴1+3a＜9a（1﹣a），整理得（3a﹣1）2＜0，这与平方数不小于0矛盾．∴假设不成立，则+≥9．综合法：由（3a﹣1）2≥0，变形得1+3a≥9a（1﹣a）．∵0＜a＜1，∴≥9，即+≥9．21．（1）用数学归纳法证明：12+22+32+…+n2=，n是正整数；（2）用数学归纳法证明不等式：1+++…+＜2（n∈N*）【考点】数学归纳法．【分析】根据数学归纳法的证明步骤先验证n=1时结论成立，再假设n=k时，结论成立，推导n=k+1时结论成立即可．【解答】证明：（1）①n=1时，左边=12=1，右边==1，等式成立，②假设n=k时，等式成立，即12+22+32+…+k2=，则n=k+1时，12+22+32+…+k2+（k+1）2=+（k+1）2= [2k2+k+6（k+1）]=（2k2+7k+6）==．∴当n=k+1时，等式成立，由①②得：12+22+32+…+n2=．（2）①n=1时，显然不等式成立，②假设n=k时，不等式成立，即1+++…+＜2．则当n=k+1时，1+++…++＜2+=＜=2．∴当n=k+1时，不等式成立．由①②得1+++…+＜2．22．已知：sin230°+sin290°+sin2150°=，sin25°+sin265°+sin2125°=．通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明．【考点】归纳推理；三角函数恒等式的证明．【分析】分析已知条件中：sin230°+sin290°+sin2150°=，sin25°+sin265°+sin2125°=．我们可以发现等式左边参加累加的三个均为正弦的平方，且三个角组成一个以60°为公差的等差数列，右边是常数，由此不难得到结论．【解答】解：由已知中sin230°+sin290°+sin2150°=，sin25°+sin265°+sin2125°=．归纳推理的一般性的命题为：sin2（α﹣60°）+sin2α+sin2（α+60°）=．证明如下：左边=++=﹣ [cos（2α﹣120°）+cos2α+cos（2α+120°）]==右边．∴结论正确．2016年8月2日。

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2016—2017年度高二下学期期中考试数学试卷(文）一.选择题（12小题，每小题五分,共60分）1．已知复数z=（2+i)i，则z的虚部为( ）A.-2B.2C.2i D。

—2i【答案】B2．圆心在(1,0）且过极点的圆的极坐标方程为（）A．ρ＝1 B．ρ＝cos θC．ρ＝2cos θD．ρ＝2sin θ解析：由题意知圆的极坐标方程为ρ＝2r cos θ＝2·1·cos θ即ρ＝2cos θ故选C．答案：C3 函数f（x)＝2x2－ln x的递增区间是( )A．（0,错误!）B．（0,错误!)C．（12，＋∞)D．（－12，0),（0，错误!）【解析】f′(x）＝4x－错误!＝错误!（x>0），令f′（x)〉0,得x>错误!.∴f（x)的单调递增区间为(错误!，＋∞)．【答案】C4 .抛物线x2＝－8y的焦点坐标为（)A．（0，2）B．(0，－2）C．(0，4) D．（0，－4）【解析】由定义可得焦点坐标为（0，－2）．【答案】B5．下列命题的否定为假．命题的是（）A．2R,220x x x∃∈++≤ B．任意一个四边形的四个顶点共圆C．22∀∈+=D．所有能被3整除的整数都是奇数x x xR,sin cos1【答案】C6．函数f（x)＝－错误!x3＋x2在区间[0，4］上的最大值是( )A．0 B．－错误!C.错误!D．错误!解析：f′(x)＝2x－x2,令f′（x)＝0,解得x＝0或2.又∵f(0)＝0，f(2）＝错误!，f(4）＝－错误!，∴函数f（x）在[0，4］上的最大值为错误!.答案：C7、（上饶市2017届高三第一次模拟考试）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输出S的值为16，则输入m的值可以为（）A．4B．6C．7D．8答案：B8．如果(x＋y）i+(x－1）=0，则实数x，y的值为（）A．x＝1,y＝－1 B．x＝0，y＝－1C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝08．A9．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在1，2,3,4号位子上(如图）,第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位,…，这样交替进行下去，那么第2 013次互换座位后,小兔的座位对应的是 ( ）A ．编号1B ．编号2C ．编号3D ．编号49．A10． 甲、乙二人分别对一目标射击一次，记“甲射击一次，击中目标”为事件A ，“乙射击一次，击中目标”为事件B .则在A 与B ，错误!与B 、A 与错误!、错误!与错误!中，满足相互独立的有（ )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对10．D11．函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式可能是（A ） 2sin(2)4y x π=- （B) 2sin(2)4y x π=+(C ） 32sin()8y x π=+ （D) 72sin()216x y π=+11。

北京临川学校2016~2017下学期六月份月考卷高二数学姓名 班 考试范围： 导数定积分30% 统计与统计案例20%计数原理概率随机变量及其分布20% 推理证明算法复数20% 坐标系与参数方程10% 附加题 解析几何13分一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数1-的虚部为（ ）A ．B ． 1C ．D ． 2．1d x x =⎰（ ）A ． 0B ．12C ． 1D ． 12-3．一枚硬币连掷5次，则至少一次正面向上的概率为( )A ． 321B ．3231C ． 325 D ． 514．极坐标θρcos 2=和参数方程⎩⎨⎧==θθcos sin 2y x （θ为参数）所表示的图形分别是( )A ． 直线、圆B ． 直线、椭圆C ． 圆、圆D ． 圆、椭圆5．若复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，且1=1i z +，则12z z ⋅=（ ）A ． -2B ． 2C ．2i -D ．2i6．定义在R 上的函数()f x 和()g x ，其各自导函数()f x '和()g x '的图象如图所示，则函数()()()F x f x g x =-极值点的情况是（ ）A ． 只有三个极大值点，无极小值点B ． 有两个极大值点，一个极小值点C ． 有一个极大值点，两个极小值点D ． 无极大值点，只有三个极小值点7．函数()ln f x x =与函数2()g x ax a =-的图象在点(10)，的切线相同，则实数a 的值为（ ） A ． 1 B ． 12- C ． 12 D ． 12或12-8．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2， 则输出的x 的值为（ ） A ．3 B ．126 C ．127 D ．1289．在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好落在正方形与曲线y x =围成的区域内(阴影部分)的概率为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．45O Cyy x =AB是输入x21x x =-126x ≥输出x 开始 结束否10．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ） A ．3×3！ B ．3×(3！)3 C ．(3！)4 D ．9！11．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A ．324 B ．328C ．360D ．64812．若,,a b c 均为正实数，则三个数111,,a b c b c a+++这三个数中不小于2的数（ ） A ．可以不存在 B ．至少有1个C ． 至少有2个D ． 至多有2个二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设随机变量ξ~N （0，1），若P （ξ≥1）=p ，则P （－1<ξ<0）=______．14．若（2x +31x）n的展开式的各项系数之和为32，则n = ； 其展开式中的常数项为 （用数字作答）．15．设函数(),()f x g x 在区间(0,5)内导数存在，且有以下数据：()g x3 14 2 ()g x '2413则曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程是 ； 函数(())f g x 在2x =处的导数值是 ．16．已知平面向量，，那么；空间向量，，那么．由此推广到 维向量：，，那么．北京临川学校2016~2017下学期六月份月考卷 高二数学姓名 班13． ． 14． ．15． ． 16． ．三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数32()392f x x x x =--+ （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间[2,2]-上的最小值．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，111--+=++n n a a n n ，*n ∈N ．（Ⅰ）求234,,a a a ；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明．19．（本小题满分12分）北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为100分，规定测试成绩在[85100]，之间为体质优秀；在[7585)，之间为体质良好；在[6075)，之间为体质合格；在[060)，之间为体质不合格．现从某校高三年级的300名学生中随机抽取30名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：9 1 3 5 68 0 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 6 6 7 7 97 0 5 6 6 7 96 4 5 85 6（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；（Ⅱ）根据以上30名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选出3人．（ⅰ）求在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率；（ⅱ）记X为在选出的3名学生中体质为良好的人数，求X的分布列及数学期望．20．（本小题满分12分）小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%—60%为一般，60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天.（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（Ⅱ）设X 是小明游览期间遇上舒适的天数，求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）21．（本小题满分12分） 已知函数()(1)ln af x x a x x=-+-，其中a ∈R ． （Ⅰ）求证：当1a =时，函数()y f x =没有极值点； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调增区间．22．（本小题满分10分）已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．附加题 （本小题满分13分）已知椭圆:E ()012222>>=+b a b y a x 经过点3(1,)2-，其离心率21=e .（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆C 相切，切点为T ，且l 与直线4-=x 相交于点S . 试问：在x 轴上是否存在一定点，使得以ST 为直径的圆恒过该定点？若存在，求出该 点的坐标；若不存在，请说明理由。

2016-2017学年北京市昌平区临川学校高一（下）3月月考数学试卷一、选择题：（每题5分、共12题，共60分）1．（5分）下列物理量中，不能称为向量的是（）A．质量B．速度C．位移D．力2．（5分）设O是正方形ABCD的中心，向量是（）A．平行向量B．有相同终点的向量C．相等向量D．模相等的向量3．（5分）数轴上点A，B分别对应﹣1、2，则向量的长度是（）A．﹣1B．2C．1D．34．（5分）若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形5．（5分）若向量数量积•＜0则向量与的夹角θ的取值范围是（）A．（0，）B．[0，）C．（，π]D．（，π）6．（5分）已知向量＝（1，m），＝（3，﹣2），且（+）⊥，则m＝（）A．﹣8B．﹣6C．6D．87．（5分）已知向量＝（2，m），＝（m，2），若，则实数m等于（）A．﹣2B．2C．﹣2或2D．08．（5分）在△ABC中，若A＝30°，B＝60°，b＝，则a等于（）A．3B．1C．2D．9．（5分）在△ABC中，已知A＝60°，a＝，b＝，则B等于（）A．45°或135°B．60°C．45°D．135°10．（5分）在△ABC中，已知b＝3，c＝3，A＝30°，则边a等于（）A．9B．3C．27D．311．（5分）在△ABC中，sin A：sin B：sin C＝3：2：3，则cos C的值为（）A．B．﹣C．D．﹣12．（5分）在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：（每题5分、共4题，共20分）13．（5分）若a表示“向东走8km”，b表示“向北走8km”，则a+b表示．14．（5分）已知＝（3，），＝（1，0），则•＝．15．（5分）在△ABC中，AB＝3，AC＝2，A＝60°，则S△ABC＝．16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝．三、解答题：（17题10分，18-22每题12分，共70分）17．（10分）已知＝（4，3），＝（﹣1，2）．（1）求||；（2）求与的夹角的余弦值．18．（12分）已知向量，的夹角为120°，||＝1，||＝5．（1）求•；（2）求|3﹣|．19．（12分）已知△ABC中，A（2，4），B（﹣1，﹣2），C（4，3），BC边上的高为AD．（1）求证：AB⊥AC；（2）求点D与向量的坐标．20．（12分）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝4，C ＝60°．（1）求c的值；（2）求sin B的值．21．（12分）如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的最短时间．22．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．2016-2017学年北京市昌平区临川学校高一（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每题5分、共12题，共60分）1．（5分）下列物理量中，不能称为向量的是（）A．质量B．速度C．位移D．力【解答】解：既有大小，又有方向的量叫做向量；质量只有大小没有方向，因此质量不是向量．而速度、位移、力既有大小，又有方向，因此它们都是向量．故选：A．2．（5分）设O是正方形ABCD的中心，向量是（）A．平行向量B．有相同终点的向量C．相等向量D．模相等的向量【解答】解：因为正方形的中心到四个顶点的距离相等，都等于正方形的对角线的一半，故向量是模相等的向量，故选：D．3．（5分）数轴上点A，B分别对应﹣1、2，则向量的长度是（）A．﹣1B．2C．1D．3【解答】解：数轴上点A，B分别对应﹣1、2，则向量的长度即||＝3，故选：D．4．（5分）若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形【解答】解：四边形ABCD中，∵＝，∴BA∥CD，且BA＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形；又||＝||，∴平行四边形ABCD是菱形；故选：C．5．（5分）若向量数量积•＜0则向量与的夹角θ的取值范围是（）A．（0，）B．[0，）C．（，π]D．（，π）【解答】解：向量数量积•＜0，可得||||cos＜，＞＜0，可得cos＜，＞＜0，＜，＞∈（，π]，故选：C．6．（5分）已知向量＝（1，m），＝（3，﹣2），且（+）⊥，则m＝（）A．﹣8B．﹣6C．6D．8【解答】解：∵向量＝（1，m），＝（3，﹣2），∴+＝（4，m﹣2），又∵（+）⊥，∴12﹣2（m﹣2）＝0，解得：m＝8，故选：D．7．（5分）已知向量＝（2，m），＝（m，2），若，则实数m等于（）A．﹣2B．2C．﹣2或2D．0【解答】解：向量，，若，可得m2＝4，解得m＝±2．故选：C．8．（5分）在△ABC中，若A＝30°，B＝60°，b＝，则a等于（）A．3B．1C．2D．【解答】解：△ABC中，∵A＝30°，B＝60°，b＝，由正弦定理可得＝，＝，∴a＝1，故选：B．9．（5分）在△ABC中，已知A＝60°，a＝，b＝，则B等于（）A．45°或135°B．60°C．45°D．135°【解答】解：由正弦定理知：sin B＝＝＝．∵0＜B＜π∴B＝45°或135°又∵a＝＞b＝，∴B＜A，∴B∴B＝45°故选：C．10．（5分）在△ABC中，已知b＝3，c＝3，A＝30°，则边a等于（）A．9B．3C．27D．3【解答】解：∵b＝3，c＝3，A＝30°，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得：a＝＝3．故选：B．11．（5分）在△ABC中，sin A：sin B：sin C＝3：2：3，则cos C的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵在△ABC中，sin A：sin B：sin C＝3：2：3，∴a：b：c＝3：2：3，设a＝3k，b＝2k，c＝3k，则cos C＝＝＝，故选：A．12．（5分）在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，AB2＝BC2+AC2﹣2AC•BC cos C，可得：13＝9+AC2+3AC，解得AC＝1或AC＝﹣4（舍去）．故选：A．二、填空题：（每题5分、共4题，共20分）13．（5分）若a表示“向东走8km”，b表示“向北走8km”，则a+b表示向东北方向走8km．【解答】解：|a+b|＝＝8（km）．故答案为：向东北方向走8km．14．（5分）已知＝（3，），＝（1，0），则•＝3．【解答】解：＝（3，），＝（1，0），则•＝3×1+×0＝3．故答案为：3．15．（5分）在△ABC中，AB＝3，AC＝2，A＝60°，则S△ABC＝．【解答】解：∵AB＝3，AC＝2，A＝60°，∴S△ABC＝AB•AC•sin A＝＝．故答案为：．16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝．【解答】解：由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝＝＝，sin C＝＝＝，sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝×+×＝，由正弦定理可得b＝＝＝．故答案为：．三、解答题：（17题10分，18-22每题12分，共70分）17．（10分）已知＝（4，3），＝（﹣1，2）．（1）求||；（2）求与的夹角的余弦值．【解答】解：（1）∵＝（﹣1，2），∴||＝＝，（2）设与的夹角为θ，∵＝（4，3），＝（﹣1，2），∴＝4×（﹣1）+3×2＝2，||＝＝5，∴cosθ＝＝＝18．（12分）已知向量，的夹角为120°，||＝1，||＝5．（1）求•；（2）求|3﹣|．【解答】解：（1）向量，的夹角为120°，||＝1，||＝5；∴•＝||×||cos120°＝1×5×（﹣）＝﹣；（2）＝9﹣6•+＝9×12﹣6×（﹣）+52＝49，∴|3a﹣b|＝7．19．（12分）已知△ABC中，A（2，4），B（﹣1，﹣2），C（4，3），BC边上的高为AD．（1）求证：AB⊥AC；（2）求点D与向量的坐标．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以，即AB⊥AC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）设D（x，y），∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∵，∴5（x﹣2）+5（y﹣4）＝0∵，∴5（x+1）﹣5（y+2）＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴D（），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝4，C ＝60°．（1）求c的值；（2）求sin B的值．【解答】解：（1）△ABC中，a＝3，b＝4，C＝60°，由余弦定理得，c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝32+42﹣2×3×4×cos60°＝13，解得c＝；（2）由正弦定理，＝，∴sin B＝＝＝．21．（12分）如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的最短时间．【解答】解：设我艇追上走私船所需要的时间为t小时，则BC＝10t，AC＝14t，在△ABC中，∠ABC＝120°，根据余弦定理知：（14t）2＝（10t）2+122﹣2•12•10t cos 120°，∴t＝2或t＝﹣（舍去），故我艇追上走私船所需要的时间为2小时．22．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，整理得：2cos C sin（A+B）＝sin C，即2cos C sin（π﹣（A+B））＝sin C2cos C sin C＝sin C∴cos C＝，∴C＝；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S＝ab sin C＝ab＝，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5+．第11页（共11页）。

2016-2017学年度上学期第二次月考高二数学（理科）注意事项：1．本试题共4页，满分150分，考试时间90分钟。

2．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号等相关信息填写在答题卷密封线内，并在“座位号”栏内填写座位号。

3. 所有题目必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是( )2. 复数等于（）A．B． C．D．3．若的值等于（）[来源XK]A．2 B．3 C．4 D．6[来源]4．已知，，且，则A． B．C．或 D．5．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）6．椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为A．B．C．2 D．47．程序框图如图所示，输出S的值是( )A.7B.11C. 12D.258在同一坐标系中，函数f(x)=x a(x＞0)，g(x)=log a x的图象可能是9.设x,y满足约束条件，则目标函数的最大值是A.5B. -1C.-5D.010已知函数在上有两个零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．11．已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，若数列{}的前n项和为S n，则S2014的值为（）A．B．C．D．12已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（-∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（-x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）＞F（2x-1）的实数x的取值范围是（）A（，2） B（-2，1）C（-1，2） D（-1，）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡内.13.若实数，满足则S＝2x＋y－1的最大值为--------14.已知数列{a n}满足：a n≤a n＋1，a n＝n2＋λn，n∈N*，则实数λ的最小值是________．15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度_________m.16.△ABC中，∠A＝60°，M为边BC的中点，AM＝，则2AB＋AC的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，17题10分，18-22题12分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分）.在中，角、、的对边分别为，且满足，，边上中线的长为.（I）求角和角的大小；（II）求的各边长。

2016-2017学年北京市昌平区临川育人学校高一（下）3月月考数学试卷一、选择题：（每题5分、共12题，共60分）1．（5分）下列物理量中，不能称为向量的是（）A．质量B．速度C．位移D．力2．（5分）设O是正方形ABCD的中心，向量是（）A．平行向量B．有相同终点的向量C．相等向量D．模相等的向量3．（5分）数轴上点A，B分别对应﹣1、2，则向量的长度是（）A．﹣1 B．2 C．1 D．34．（5分）若||=||且=，则四边形ABCD的形状为（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形5．（5分）若向量数量积•＜0则向量与的夹角θ的取值范围是（）A．（0，）B．[0，）C．（，π]D．（，π）6．（5分）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．87．（5分）已知向量，，若，则实数m等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．08．（5分）在△ABC中，若A=30°，B=60°，b=，则a等于（）A．3 B．1 C．2 D．9．（5分）在△ABC中，已知A=60°，a=，b=，则B等于（）A．45°或135°B．60°C．45°D．135°10．（5分）在△ABC中，已知b=3，c=3，A=30°，则边a等于（）A．9 B．3 C．27 D．311．（5分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：3，则cosC的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣12．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：（每题5分、共4题，共20分）13．（5分）若a表示“向东走8km”，b表示“向北走8km”，则a+b表示．14．（5分）已知=（3，），=（1，0），则•=．15．（5分）在△ABC中，AB=3，AC=2，A=60°，则S△ABC=．16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．三、解答题：（17题10分，18-22每题12分，共70分）17．（10分）已知=（4，3），=（﹣1，2）．（1）求||；（2）求与的夹角的余弦值．18．（12分）已知向量，的夹角为120°，||=1，||=5．（1）求•；（2）求|3﹣|．19．（12分）已知△ABC中，A（2，4），B（﹣1，﹣2），C（4，3），BC边上的高为AD．（1）求证：AB⊥AC；（2）求点D与向量的坐标．20．（12分）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=3，b=4，C=60°．（1）求c的值；（2）求sinB的值．21．（12分）如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的最短时间．22．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．2016-2017学年北京市昌平区临川育人学校高一（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每题5分、共12题，共60分）1．（5分）（2017春•昌平区月考）下列物理量中，不能称为向量的是（）A．质量B．速度C．位移D．力【解答】解：既有大小，又有方向的量叫做向量；质量只有大小没有方向，因此质量不是向量．而速度、位移、力既有大小，又有方向，因此它们都是向量．故选A．2．（5分）（2017春•昌平区月考）设O是正方形ABCD的中心，向量是（）A．平行向量B．有相同终点的向量C．相等向量D．模相等的向量【解答】解：因为正方形的中心到四个顶点的距离相等，都等于正方形的对角线的一半，故向量是模相等的向量，故选D．3．（5分）（2017春•昌平区月考）数轴上点A，B分别对应﹣1、2，则向量的长度是（）A．﹣1 B．2 C．1 D．3【解答】解：数轴上点A，B分别对应﹣1、2，则向量的长度即||=3，故选：D．4．（5分）（2013秋•南关区校级期末）若||=||且=，则四边形ABCD 的形状为（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形【解答】解：四边形ABCD中，∵=，∴BA∥CD，且BA=CD，∴四边形ABCD是平行四边形；又||=||，∴平行四边形ABCD是菱形；故选：C．5．（5分）（2017春•昌平区月考）若向量数量积•＜0则向量与的夹角θ的取值范围是（）A．（0，）B．[0，）C．（，π]D．（，π）【解答】解：向量数量积•＜0，可得||||cos＜，＞＜0，可得cos＜，＞＜0，＜，＞∈（，π]，故选：C．6．（5分）（2016•新课标Ⅱ）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2），∴+=（4，m﹣2），又∵（+）⊥，∴12﹣2（m﹣2）=0，解得：m=8，故选：D．7．（5分）（2016秋•运城期中）已知向量，，若，则实数m等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．0【解答】解：向量，，若，可得m2=4，解得m=±2．故选：C．8．（5分）（2016秋•宁远县校级期中）在△ABC中，若A=30°，B=60°，b=，则a等于（）A．3 B．1 C．2 D．【解答】解：△ABC中，∵A=30°，B=60°，b=，由正弦定理可得=，=，∴a=1，故选：B．9．（5分）（2014秋•思明区校级期中）在△ABC中，已知A=60°，a=，b=，则B等于（）A．45°或135°B．60°C．45°D．135°【解答】解：由正弦定理知：sinB===．∵0＜B＜π∴B=45°或135°又∵a=＞b=，∴B＜A，∴B∴B=45°故选：C．10．（5分）（2017春•昌平区月考）在△ABC中，已知b=3，c=3，A=30°，则边a等于（）A．9 B．3 C．27 D．3【解答】解：∵b=3，c=3，A=30°，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：a==3．故选：B．11．（5分）（2016秋•晋安区校级期末）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：3，则cosC的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：∵在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：3，∴a：b：c=3：2：3，设a=3k，b=2k，c=3k，则cosC===，故选：A．12．（5分）（2016•天津）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC，可得：13=9+AC2+3AC，解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．故选：A．二、填空题：（每题5分、共4题，共20分）13．（5分）（2017春•昌平区月考）若a表示“向东走8km”，b表示“向北走8km”，则a+b表示向东北方向走8km．【解答】解：|a+b|==8（km）．故答案为：向东北方向走8km．14．（5分）（2017春•昌平区月考）已知=（3，），=（1，0），则•=3．【解答】解：=（3，），=（1，0），则•=3×1+×0=3．故答案为：3．15．（5分）（2017春•昌平区月考）在△ABC中，AB=3，AC=2，A=60°，则S△ABC=．【解答】解：∵AB=3，AC=2，A=60°，=AB•AC•sinA==．∴S△ABC故答案为：．16．（5分）（2016•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．【解答】解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．三、解答题：（17题10分，18-22每题12分，共70分）17．（10分）（2017春•昌平区月考）已知=（4，3），=（﹣1，2）．（1）求||；（2）求与的夹角的余弦值．【解答】解：（1）∵=（﹣1，2），∴||==，（2）设与的夹角为θ，∵=（4，3），=（﹣1，2），∴=4×（﹣1）+3×2=2，||==5，∴cosθ===18．（12分）（2017春•昌平区月考）已知向量，的夹角为120°，||=1，||=5．（1）求•；（2）求|3﹣|．【解答】解：（1）向量，的夹角为120°，||=1，||=5；∴•=||×||cos120°=1×5×（﹣）=﹣；（2）=9﹣6•+=9×12﹣6×（﹣）+52=49，∴|3a﹣b|=7．19．（12分）（2012秋•潮阳区期末）已知△ABC中，A（2，4），B（﹣1，﹣2），C（4，3），BC边上的高为AD．（1）求证：AB⊥AC；（2）求点D与向量的坐标．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以，即AB⊥AC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）设D（x，y），∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∵，∴5（x﹣2）+5（y﹣4）=0∵，∴5（x+1）﹣5（y+2）=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴D（），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）（2017春•昌平区月考）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=3，b=4，C=60°．（1）求c的值；（2）求sinB的值．【解答】解：（1）△ABC中，a=3，b=4，C=60°，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC=32+42﹣2×3×4×cos60°=13，解得c=；（2）由正弦定理，=，∴sinB===．21．（12分）（2013秋•商丘期中）如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的最短时间．【解答】解：设我艇追上走私船所需要的时间为t小时，则BC=10t，AC=14t，在△ABC中，∠ABC=120°，根据余弦定理知：（14t）2=（10t）2+122﹣2•12•10tcos 120°，∴t=2或t=﹣（舍去），故我艇追上走私船所需要的时间为2小时．22．（12分）（2016•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，∵sinC≠0，sin（A+B）=sinC∴cosC=，又0＜C＜π，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．参与本试卷答题和审题的老师有：394782；caoqz；刘老师；742048；qiss；豫汝王世崇；w3239003；sllwyn；双曲线；whgcn；刘长柏；lcb001（排名不分先后）胡雯2017年4月21日。

2016-2017学年北京市昌平区临川学校高二（下）3月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共60分．）1．已知x与y之间的关系如下表：则y与x的线性回归方程为y=bx+a必经过点（）A．（3，7） B．（3，9） C．（3.5，8）D．（4，9）2．与命题：“若a∈P，则b∉P”等价的命题是（）A．若a∉P，则b∉P B．若b∉P，则a∈P C．若a∉P，则b∈P D．若b∈P，则a∉P3．对变量x，y有观测数据（x i，y i）（i=1，2，…，10），得散点图（1）；对变量u，v，有观测数据（u i，v i）（i=1，2，…，10），得散点图（2），由这两个散点图可以判断（）A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关4．命题甲：“a，b，c成等差数列”是命题乙：“”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0的坐标为（）A．（1，0） B．（2，8） C．（1，0）或（﹣1，﹣4） D．（2，8）或（﹣1，﹣4）6．以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）A．B．C．D．7．函数单调递增区间是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，1）C．D．（1，+∞）8．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．19．直线y=x+a与曲线y=lnx相切时a=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．210．函数f（x）=﹣x3+x2在区间[0，4]上的最大值是（）A．0 B．﹣C．D．11．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则双曲线﹣=1的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）12．曲线y=x 3﹣2在点（﹣1，﹣）处的切线的倾斜角为 ．13．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为 ．14．函数f （x ）=x +2cos x 在区间[﹣，0]上的最小值是 ．15．已知：①命题“若xy=1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②命题“所有模相等的向量相等”的否定；③命题“若m ≤1，则x 2﹣2x +m=0有实根”的逆否命题； ④命题“若A ∩B=A ，则A ⊇B 的逆否命题．其中能构成真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）．三.解答题（6大题，共70分） 16．求椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程．17．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1，a 2和2个白球b 1，b 2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．（1）请将列联表补充完整：（2）是否有99%的把握认为喜欢户外运动与性别有关？并说明理由．下面临界值仅供参考：（大于2.706﹣90%，大于3.841﹣95%，大于6.635﹣99%）（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y关于x的线性回归方程y=x+；（3）试预测加工10个零件需要多少小时？（注：=，=﹣）20．受市场的影响，三峡某旅游公司的经济效益出现了一定程度的滑坡，现需要对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值．经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足y=x﹣ax2﹣lnx+ln10，且∈[1，+∞）．当x=10时，y=9.2．（1）求y=f（x）的解析式和投入x的取值范围：（2）求旅游增加值y取得最大值时对应的x的值．21．设函数f（x）=alnx+（a≠0）．（1）已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2﹣3a，求实数a 的值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）在（1）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3﹣x．2016-2017学年北京市昌平区临川学校高二（下）3月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共60分．）1．已知x与y之间的关系如下表：则y与x的线性回归方程为y=bx+a必经过点（）A．（3，7） B．（3，9） C．（3.5，8）D．（4，9）【考点】线性回归方程．【分析】先利用数据平均值的公式求出x，y的平均值，以平均值为横、纵坐标的点在回归直线上，即样本中心点在线性回归直线上．【解答】解：∵=3，==9，∴线性回归方程y=bx+a所表示的直线必经过点（3，9）．故选：B．2．与命题：“若a∈P，则b∉P”等价的命题是（）A．若a∉P，则b∉P B．若b∉P，则a∈P C．若a∉P，则b∈P D．若b∈P，则a∉P【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】原命题和逆否命题是等价命题，所以命题“若a∈P，则b∉M”的等价的命题是它的逆否命题“若b∈P，则a∉P”．【解答】解：由原命题和逆否命题是等价命题，知“若a∈P则b∉P”的等价命题是“若b∈P，则a∉P”，故选D．3．对变量x，y有观测数据（x i，y i）（i=1，2，…，10），得散点图（1）；对变量u，v，有观测数据（u i，v i）（i=1，2，…，10），得散点图（2），由这两个散点图可以判断（）A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关【考点】两个变量的线性相关．【分析】通过观察散点图得出：y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x 与y负相关，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．【解答】解：由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y 负相关，由题图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．故选：C．4．命题甲：“a，b，c成等差数列”是命题乙：“”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】等差数列的性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先证明必要性，把左右两边同时乘以b，去分母后得到a+c=2b，根据等差数列的性质得出a，b，c成等差数列；但反过来，当a，b，c三个数中，b=0，a与c互为相反数时，三个数成等差数列，但是不满足，进而得到命题甲是命题乙的必要不充分条件．【解答】解：先证必要性：∵，即a+c=2b，∴a，b，c成等差数列；又当b=0时，a，b，c可以成等差数列，但是不满足，则命题甲：“a，b，c成等差数列”是命题乙：“”的必要不充分条件．故选A5．曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0的坐标为（）A．（1，0） B．（2，8） C．（1，0）或（﹣1，﹣4） D．（2，8）或（﹣1，﹣4）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用直线平行的性质，结合导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切点的坐标．【解答】解：因为直线y=4x﹣1的斜率为4，且切线平行于直线y=4x﹣1，所以函数在p0处的切线斜率k=4，即f'（x）=4．因为函数的导数为f'（x）=3x2+1，由f'（x）=3x2+1=4，解得x=1或﹣1．当x=1时，f（1）=0，当x=﹣1时，f（﹣1）=﹣4．所以p0的坐标为（1，0）或（﹣1，﹣4）．故选C．6．以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）A．B．C．D．【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】先求出双曲线的顶点和焦点，从而得到椭圆的焦点和顶点，进而得到椭圆方程．【解答】解：双曲线的顶点为（0，﹣2）和（0，2），焦点为（0，﹣4）和（0，4）．∴椭圆的焦点坐标是为（0，﹣2）和（0，2），顶点为（0，﹣4）和（0，4）．∴椭圆方程为．故选D．7．函数单调递增区间是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，1）C．D．（1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数y的导函数y′，因为要求单调递增区间，令y′＞0得到不等式求出x的范围即可．【解答】解：令故答案为C．8．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．1【考点】循环结构．【分析】本循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i ﹣1），由此能够求出结果．【解答】解：如图所示的循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1）∴输入n的值为6时，输出s的值s=1×3×5=15．故选C．9．直线y=x+a与曲线y=lnx相切时a=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为P（x0，y0），由y′==1，可求得x0，从而可得y0，代入直线y=x+a可求得a的值．【解答】解：设切点为P（x0，y0），由y=lnx的导数为y′=，可得切线的斜率为=1得：x0=1，∴y0=lnx0=ln1=0，∴P（1，0）又P（1，0）在直线y=x+a上，∴1+a=0，∴a=﹣110．函数f（x）=﹣x3+x2在区间[0，4]上的最大值是（）A．0 B．﹣C．D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出导函数，得到极值点，求出极值以及函数的端点值，然后求解最值即可．【解答】解：f′（x）=2x﹣x2，令f′（x）=0，解得x=0或2．又∵f（0）=0，f（2）=，f（4）=﹣，∴函数f（x）在[0，4]上的最大值为．故选：C．11．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则双曲线﹣=1的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用a与b表示出椭圆的离心率并且结合椭圆离心率的数值求出，接着利用a，b表示出双曲线的离心率，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意得椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，所以=．所以．所以双曲线的离心率=．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）12．曲线y=x3﹣2在点（﹣1，﹣）处的切线的倾斜角为45°．【考点】导数的几何意义．【分析】先求曲线y=x3﹣2在点（﹣1，﹣）处的导数，根据导数的几何意义时曲线的切线的斜率，就可得到切线的斜率．再根据斜率是倾斜角的正切值，可求出倾斜角．【解答】解：∵点（﹣1，﹣）满足曲线y=x3﹣2的方程，∴点（﹣1，﹣）为切点．∵y′=x2，∴当x=﹣1时，y′=1∴曲线y=x3﹣2在点（﹣1，﹣）处的切线的斜率为1，倾斜角为45°故答案为45°13．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为﹣=1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，可得e=2，c=4，再由e=解出a的值，由b2=c2﹣a2解出b2，即可得出双曲线的方程【解答】解：由题意e=2，c=4，由e=，可解得a=2，又b2=c2﹣a2，解得b2=12所以双曲线的方程为﹣=1故答案为﹣=114．函数f（x）=x+2cos x在区间[﹣，0]上的最小值是﹣．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意，对函数f（x）求导可得f′（x）=1﹣2sin x，分析可得x∈[﹣，0]时，f′（x）=1﹣2sin x在[﹣，0]上恒大于0，即可得f（x）在区间[﹣，0]上为增函数，则有f（x）min=f（﹣），代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=x+2cos x，则其导数f′（x）=1﹣2sin x，当x∈[﹣，0]时，﹣1＜sin x＜0，则f′（x）=1﹣2sin x＞0，即f′（x）=1﹣2sin x在[﹣，0]上恒大于0，∴f（x）在区间[﹣，0]上为增函数，∴f（x）min=f（﹣）=﹣．答案：﹣15．已知：①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“所有模相等的向量相等”的否定；③命题“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B=A，则A⊇B的逆否命题．其中能构成真命题的是①②③（填上你认为正确的命题的序号）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用逆命题的真假判断①的正误；命题的否定形式判断②的正误；逆否命题判断③的正误；逆否命题的真假判断④的正误．【解答】解：①逆命题：若x，y互为倒数，则xy=1．是真命题．②“所有模相等的向量相等”的否定是：“存在模相等的向量不相等”．是真命题．如，=（1，1），=（﹣1，1）有||=||=，但．③命题“若m≤1，则x2﹣2x+m=0”是真命题．这是因为当m＜0时△=（﹣2）2﹣4m=4﹣4m＞0恒成立．故方程有根．所以其逆否命题也是真命题．④若A∩B=A，则A⊆B，故原命题是假命题，因此其逆否命题也是假命题．故答案为：①②③．三.解答题（6大题，共70分）16．求椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程．【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据椭圆方程求得焦点坐标，进而得到双曲线的焦点，设双曲线方程，根据离心率和焦点求得a和b，方程可得．【解答】解：椭圆的焦点为（±，0）设双曲线方程为=1则a2+b2=5=，联立解得a=2，b=1故双曲线方程为17．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（Ⅰ）中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果；（Ⅱ）在（Ⅰ）中求出摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的． 【解答】解：（Ⅰ）所有可能的摸出的结果是：{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}， {A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{B ，a 1}，{B ，a 2}，{B ，b 1}，{B ，b 2}； （Ⅱ）不正确．理由如下：由（Ⅰ）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为：{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，共4种， ∴中奖的概率为．不中奖的概率为：1﹣．故这种说法不正确．（1）请将列联表补充完整：（2）是否有99%的把握认为喜欢户外运动与性别有关？并说明理由．下面临界值仅供参考：（大于2.706﹣90%，大于3.841﹣95%，大于6.635﹣99%） （参考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d ）【考点】独立性检验．【分析】（1）根据在全部50人中随机抽取1人的概率是，可得喜欢户外活动的男女员工共30人，其中男员工20人，从而可得列联表； （2）计算K 2，与临界值比较，即可得到结论．【解答】解：（1）∵在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是，∴喜欢户外活动的男女员工共30人，其中男员工20人，列联表补充如下：… （2）K 2=≈8.333＞7.879，…∴有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关．…19．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下： （1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； （2）求出y 关于x 的线性回归方程y=x +；（3）试预测加工10个零件需要多少小时？（注：=，=﹣）【考点】线性回归方程．【分析】（1）利用描点法作图；（2）利用公式计算，及系数a，b，可得回归方程；（3）把x=10代入回归方程可得y值，即为预测加工10个零件需要的时间．【解答】解：（1）散点图如图．（2）由表中数据得：=3.5，=3.5，x i y i=52.5，xi2=5，∴b==0.7，∴a=3.5﹣0.7×3.5=1.05，∴Y=0.7x+1.05．（3）将x=10代入回归直线方程，得Y=0.7×10+1.05=8.05，∴预测加工10个零件需要8.05小时．20．受市场的影响，三峡某旅游公司的经济效益出现了一定程度的滑坡，现需要对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值．经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足y=x﹣ax2﹣lnx+ln10，且∈[1，+∞）．当x=10时，y=9.2．（1）求y=f（x）的解析式和投入x的取值范围：（2）求旅游增加值y取得最大值时对应的x的值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）由已知条件推导出f（x）=x﹣0.01x2﹣lnx+ln10，6＜x≤12，由此能求出结果．（2）f′（x）=﹣，当x∈（6，12]时，f′（x）＞0恒成立，由此能求出投入12万元进行改造升级，取得最大的增加值．【解答】解：（1）因为y=x﹣ax2﹣lnx+ln10，当x=10时，y=9.2，解得a=0.01．所以f（x）=x﹣0.01x2﹣lnx+ln10．因为∈[1，+∞），所以6＜x≤12，即投入x的取值范围是（6，12]．…（2）对f（x）求导，得f′（x）=﹣．当x∈（6，12]时，f′（x）＞0恒成立，因此f（x）在区间（6，12]上是增函数．从而当x=12时，f（x）取得最大值，即投入12万元进行改造升级，取得最大的增加值．…21．设函数f（x）=alnx+（a≠0）．（1）已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2﹣3a，求实数a 的值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）在（1）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3﹣x．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由，知f（x）的定义域为{x|x＞0}，，再由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2﹣3a，知f′（1）=a﹣2a2=2﹣3a，由此能求出a．（2）由=，利用a的取值范围进行分类讨论，能够得到函数f（x）的单调性．（3）由（1）知，f（x）=lnx+，设g（x）=f（x）﹣（3﹣x），则g（x）=lnx++x﹣3，==，x＞0．列表讨论，能够证明对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3﹣x．【解答】解：（1）∵，∴f（x）的定义域为{x|x＞0}，，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2﹣3a，∴f′（1）=a﹣2a2=2﹣3a，解得a=1．（2）=，①当a＜0时，∵x＞0，∴x﹣2a＞0，a（x﹣2a）＜0，∴f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当a＞0时，若0＜x＜2a，则a（x﹣2a）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，2a）上单调递减；若x＞2a，则a（x﹣2a）＞0，f′（x）＞0，函数在（2a，+∞）上单调递增．综上所述，当a＜0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，函数f（x）在（0，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增．（3）由（1）知，f（x）=lnx+，设g（x）=f（x）﹣（3﹣x），则g（x）=lnx++x﹣3，∴==，x＞0当x变化时，g′（x），g（x）的变化如下表：∴x=1是g（x）在（0，+∞）上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是g（x）的最小值点，∴g（x）≥g（1）=ln1+2+1﹣3=0，∴g（x）=f（x）﹣（3﹣x）≥0，∴对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3﹣x．2017年4月29日第21页（共21页）。

2016-2017学年北京市昌平区临川学校高二（下）3月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知x与y之间的关系如下表：则y与x的线性回归方程为y=bx+a必经过点（）A．（3，7）B．（3，9）C．（3.5，8）D．（4，9）2．（5分）与命题：“若a∈P，则b∉P”等价的命题是（）A．若a∉P，则b∉P B．若b∉P，则a∈P C．若a∉P，则b∈P D．若b ∈P，则a∉P3．（5分）对变量x，y有观测数据（x i，y i）（i=1，2，…，10），得散点图（1）；对变量u，v，有观测数据（u i，v i）（i=1，2，…，10），得散点图（2），由这两个散点图可以判断（）A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关4．（5分）命题甲：“a，b，c成等差数列”是命题乙：“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0的坐标为（）A．（1，0）B．（2，8）C．（1，0）或（﹣1，﹣4）D．（2，8）或（﹣1，﹣4）6．（5分）以双曲线=﹣1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）A．B．C．D．7．（5分）函数单调递增区间是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，1）C．D．（1，+∞）8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．19．（5分）直线y=x+a与曲线y=lnx相切时a=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．210．（5分）函数f（x）=﹣x3+x2在区间[0，4]上的最大值是（）A．0 B．﹣C．D．11．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则双曲线﹣=1的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）12．（5分）曲线y=x3﹣2在点（﹣1，﹣）处的切线的倾斜角为．13．（5分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为．14．（5分）函数f（x）=x+2cos x在区间[﹣，0]上的最小值是．15．（5分）已知：①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“所有模相等的向量相等”的否定；③命题“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B=A，则A⊇B的逆否命题．其中能构成真命题的是（填上你认为正确的命题的序号）．三.解答题（6大题，共70分）16．（12分）求椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程．17．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．18．（12分）户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，对本单位的50名员工进行了问卷调查，得到了如下联表：已知在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是（1）请将列联表补充完整：（2）是否有99%的把握认为喜欢户外运动与性别有关？并说明理由．下面临界值仅供参考：（大于2.706﹣90%，大于3.841﹣95%，大于6.635﹣99%）（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y关于x的线性回归方程y=x+；（3）试预测加工10个零件需要多少小时？（注：=，=﹣）20．（13分）受市场的影响，三峡某旅游公司的经济效益出现了一定程度的滑坡，现需要对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值．经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足y=x﹣ax2﹣lnx+ln10，且∈[1，+∞）．当x=10时，y=9.2．（1）求y=f（x）的解析式和投入x的取值范围：（2）求旅游增加值y取得最大值时对应的x的值．21．（14分）设函数f（x）=alnx+（a≠0）．（1）已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2﹣3a，求实数a 的值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）在（1）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3﹣x．2016-2017学年北京市昌平区临川学校高二（下）3月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知x与y之间的关系如下表：则y与x的线性回归方程为y=bx+a必经过点（）A．（3，7）B．（3，9）C．（3.5，8）D．（4，9）【分析】先利用数据平均值的公式求出x，y的平均值，以平均值为横、纵坐标的点在回归直线上，即样本中心点在线性回归直线上．【解答】解：∵=3，==9，∴线性回归方程y=bx+a所表示的直线必经过点（3，9）．故选：B．【点评】解决线性回归直线的方程，利用最小二乘法求出直线的截距和斜率，注意由公式判断出回归直线一定过样本中心点．2．（5分）与命题：“若a∈P，则b∉P”等价的命题是（）A．若a∉P，则b∉P B．若b∉P，则a∈P C．若a∉P，则b∈P D．若b ∈P，则a∉P【分析】原命题和逆否命题是等价命题，所以命题“若a∈P，则b∉M”的等价的命题是它的逆否命题“若b∈P，则a∉P”．【解答】解：由原命题和逆否命题是等价命题，知“若a∈P则b∉P”的等价命题是“若b∈P，则a∉P”，故选：D．【点评】本题考查四种命题间的相互关系，属于基础题．解题时要熟练掌握四种命题间的关系，注意原命题与逆否则题之间的等价关系．3．（5分）对变量x，y有观测数据（x i，y i）（i=1，2，…，10），得散点图（1）；对变量u，v，有观测数据（u i，v i）（i=1，2，…，10），得散点图（2），由这两个散点图可以判断（）A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关【分析】通过观察散点图得出：y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x 与y负相关，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．【解答】解：由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x与y 负相关，由题图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u与v正相关．故选：C．【点评】本题考查了散点图的应用问题，通过读图来解决问题，是基础题．4．（5分）命题甲：“a，b，c成等差数列”是命题乙：“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先证明必要性，把左右两边同时乘以b，去分母后得到a+c=2b，根据等差数列的性质得出a，b，c成等差数列；但反过来，当a，b，c三个数中，b=0，a与c互为相反数时，三个数成等差数列，但是不满足，进而得到命题甲是命题乙的必要不充分条件．【解答】解：先证必要性：∵，即a+c=2b，∴a，b，c成等差数列；又当b=0时，a，b，c可以成等差数列，但是不满足，则命题甲：“a，b，c成等差数列”是命题乙：“”的必要不充分条件．故选：A．【点评】此题考查了等差数列的性质，以及必要条件、充分条件及充要条件的判断，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．5．（5分）曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0的坐标为（）A．（1，0）B．（2，8）C．（1，0）或（﹣1，﹣4）D．（2，8）或（﹣1，﹣4）【分析】利用直线平行的性质，结合导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切点的坐标．【解答】解：因为直线y=4x﹣1的斜率为4，且切线平行于直线y=4x﹣1，所以函数在p0处的切线斜率k=4，即f'（x）=4．因为函数的导数为f'（x）=3x2+1，由f'（x）=3x2+1=4，解得x=1或﹣1．当x=1时，f（1）=0，当x=﹣1时，f（﹣1）=﹣4．所以p0的坐标为（1，0）或（﹣1，﹣4）．故选：C．【点评】本题主要考查导数的基本运算以及导数的几何意义，利用直线平行确定切线斜率是解决本题的关键．6．（5分）以双曲线=﹣1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）A．B．C．D．【分析】先求出双曲线的顶点和焦点，从而得到椭圆的焦点和顶点，进而得到椭圆方程．【解答】解：双曲线的顶点为（0，﹣2）和（0，2），焦点为（0，﹣4）和（0，4）．∴椭圆的焦点坐标是为（0，﹣2）和（0，2），顶点为（0，﹣4）和（0，4）．∴椭圆方程为．故选：D．【点评】本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质．7．（5分）函数单调递增区间是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，1）C．D．（1，+∞）【分析】求出函数y的导函数y′，因为要求单调递增区间，令y′＞0得到不等式求出x的范围即可．【解答】解：令故选：C．【点评】考查学生掌握利用导数研究函数的单调性的能力．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．1【分析】本循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i ﹣1），由此能够求出结果．【解答】解：如图所示的循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×3×5×…×（2i﹣1）∴输入n的值为6时，输出s的值s=1×3×5=15．故选：C．【点评】本题考查当型循环结构的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．9．（5分）直线y=x+a与曲线y=lnx相切时a=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【分析】设切点为P（x0，y0），由y′==1，可求得x0，从而可得y0，代入直线y=x+a可求得a的值．【解答】解：设切点为P（x0，y0），由y=lnx的导数为y′=，可得切线的斜率为=1得：x0=1，∴y0=lnx0=ln1=0，∴P（1，0）又P（1，0）在直线y=x+a上，∴1+a=0，∴a=﹣1故选：A．【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，求得切点坐标是关键，属于基础题．10．（5分）函数f（x）=﹣x3+x2在区间[0，4]上的最大值是（）A．0 B．﹣C．D．【分析】求出导函数，得到极值点，求出极值以及函数的端点值，然后求解最值即可．【解答】解：f′（x）=2x﹣x2，令f′（x）=0，解得x=0或2．又∵f（0）=0，f（2）=，f（4）=﹣，∴函数f（x）在[0，4]上的最大值为．故选：C．【点评】本题考查函数的最值的求法，导数的应用，考查计算能力．11．（5分）若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则双曲线﹣=1的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用a与b表示出椭圆的离心率并且结合椭圆离心率的数值求出，接着利用a，b表示出双曲线的离心率，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意得椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，所以=．所以．所以双曲线的离心率=．故选：B．【点评】解决此类问题的关键是熟悉椭圆与双曲线中的相关数值的关系，区分椭圆的离心率与双曲线的离心率的表达形式有何不同，离心率一直是高考考查的重点．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）12．（5分）曲线y=x3﹣2在点（﹣1，﹣）处的切线的倾斜角为45°．【分析】先求曲线y=x3﹣2在点（﹣1，﹣）处的导数，根据导数的几何意义时曲线的切线的斜率，就可得到切线的斜率．再根据斜率是倾斜角的正切值，可求出倾斜角．【解答】解：∵点（﹣1，﹣）满足曲线y=x3﹣2的方程，∴点（﹣1，﹣）为切点．∵y′=x2，∴当x=﹣1时，y′=1∴曲线y=x3﹣2在点（﹣1，﹣）处的切线的斜率为1，倾斜角为45°故答案为45°【点评】本题主要考查了应用导数的几何意义求切线的斜率，以及直线的斜率与倾斜角之间的关系．13．（5分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为﹣=1．【分析】由题意，可得e=2，c=4，再由e=解出a的值，由b2=c2﹣a2解出b2，即可得出双曲线的方程【解答】解：由题意e=2，c=4，由e=，可解得a=2，又b2=c2﹣a2，解得b2=12所以双曲线的方程为﹣=1故答案为﹣=1【点评】本题考查双曲线的性质，解题的关键是理解性质，利用性质建立方程求出a，b的值，本题考察了方程的思想及推理判断的能力，是双曲线的基本题14．（5分）函数f（x）=x+2cos x在区间[﹣，0]上的最小值是﹣．【分析】根据题意，对函数f（x）求导可得f′（x）=1﹣2sin x，分析可得x∈[﹣，0]时，f′（x）=1﹣2sin x在[﹣，0]上恒大于0，即可得f（x）在区间[﹣，0]上为增函数，则有f（x）min=f（﹣），代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=x+2cos x，则其导数f′（x）=1﹣2sin x，当x∈[﹣，0]时，﹣1＜sin x＜0，则f′（x）=1﹣2sin x＞0，即f′（x）=1﹣2sin x在[﹣，0]上恒大于0，∴f（x）在区间[﹣，0]上为增函数，∴f（x）min=f（﹣）=﹣．答案：﹣【点评】本题考查导数的计算，关键是正确计算函数的导数，并由此分析函数的单调性．15．（5分）已知：①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“所有模相等的向量相等”的否定；③命题“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B=A，则A⊇B的逆否命题．其中能构成真命题的是①②③（填上你认为正确的命题的序号）．【分析】利用逆命题的真假判断①的正误；命题的否定形式判断②的正误；逆否命题判断③的正误；逆否命题的真假判断④的正误．【解答】解：①逆命题：若x，y互为倒数，则xy=1．是真命题．②“所有模相等的向量相等”的否定是：“存在模相等的向量不相等”．是真命题．如，=（1，1），=（﹣1，1）有||=||=，但．③命题“若m≤1，则x2﹣2x+m=0”是真命题．这是因为当m＜0时△=（﹣2）2﹣4m=4﹣4m＞0恒成立．故方程有根．所以其逆否命题也是真命题．④若A∩B=A，则A⊆B，故原命题是假命题，因此其逆否命题也是假命题．故答案为：①②③．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，基本知识的考查．三.解答题（6大题，共70分）16．（12分）求椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程．【分析】根据椭圆方程求得焦点坐标，进而得到双曲线的焦点，设双曲线方程，根据离心率和焦点求得a和b，方程可得．【解答】解：椭圆的焦点为（±，0）设双曲线方程为=1则a2+b2=5=，联立解得a=2，b=1故双曲线方程为【点评】本题主要考查了求双曲线标准方程的问题．常用待定系数法，设出双曲线的标准方程，根据题设条件求出a和b．17．（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．【分析】（Ⅰ）中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果；（Ⅱ）在（Ⅰ）中求出摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的．【解答】解：（Ⅰ）所有可能的摸出的结果是：{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}；（Ⅱ）不正确．理由如下：由（Ⅰ）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为：{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，∴中奖的概率为．不中奖的概率为：1﹣．故这种说法不正确．【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，训练了枚举法求基本事件个数，是基础题．18．（12分）户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，对本单位的50名员工进行了问卷调查，得到了如下联表：已知在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是（1）请将列联表补充完整：（2）是否有99%的把握认为喜欢户外运动与性别有关？并说明理由．下面临界值仅供参考：（大于2.706﹣90%，大于3.841﹣95%，大于6.635﹣99%）（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）【分析】（1）根据在全部50人中随机抽取1人的概率是，可得喜欢户外活动的男女员工共30人，其中男员工20人，从而可得列联表；（2）计算K2，与临界值比较，即可得到结论．【解答】解：（1）∵在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是，∴喜欢户外活动的男女员工共30人，其中男员工20人，列联表补充如下：…（4分）（2）K2=≈8.333＞7.879，…（10分）∴有99.5%的把握认为喜欢户外运动与性别有关．…（12分）【点评】本题考查概率与统计知识，考查独立性检验，正确计算是关键．19．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y关于x的线性回归方程y=x+；（3）试预测加工10个零件需要多少小时？（注：=，=﹣）【分析】（1）利用描点法作图；（2）利用公式计算，及系数a，b，可得回归方程；（3）把x=10代入回归方程可得y值，即为预测加工10个零件需要的时间．【解答】解：（1）散点图如图．（2）由表中数据得：=3.5，=3.5，x i y i=52.5，xi2=5，∴b==0.7，∴a=3.5﹣0.7×3.5=1.05，∴Y=0.7x+1.05．（3）将x=10代入回归直线方程，得Y=0.7×10+1.05=8.05，∴预测加工10个零件需要8.05小时．【点评】本题考查了回归分析，解答此类问题的关键是利用公式计算，计算要细心．20．（13分）受市场的影响，三峡某旅游公司的经济效益出现了一定程度的滑坡，现需要对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值．经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足y=x﹣ax2﹣lnx+ln10，且∈[1，+∞）．当x=10时，y=9.2．（1）求y=f（x）的解析式和投入x的取值范围：（2）求旅游增加值y取得最大值时对应的x的值．【分析】（1）由已知条件推导出f（x）=x﹣0.01x2﹣lnx+ln10，6＜x≤12，由此能求出结果．（2）f′（x）=﹣，当x∈（6，12]时，f′（x）＞0恒成立，由此能求出投入12万元进行改造升级，取得最大的增加值．【解答】解：（1）因为y=x﹣ax2﹣lnx+ln10，当x=10时，y=9.2，解得a=0.01．所以f（x）=x﹣0.01x2﹣lnx+ln10．因为∈[1，+∞），所以6＜x≤12，即投入x的取值范围是（6，12]．…（6分）（2）对f（x）求导，得f′（x）=﹣．当x∈（6，12]时，f′（x）＞0恒成立，因此f（x）在区间（6，12]上是增函数．从而当x=12时，f（x）取得最大值，即投入12万元进行改造升级，取得最大的增加值．…（12分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，正确求出函数的解析式是基础，利用导数求解是解题的关键．21．（14分）设函数f（x）=alnx+（a≠0）．（1）已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2﹣3a，求实数a 的值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）在（1）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3﹣x．【分析】（1）由，知f（x）的定义域为{x|x＞0}，，再由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2﹣3a，知f′（1）=a﹣2a2=2﹣3a，由此能求出a．（2）由=，利用a的取值范围进行分类讨论，能够得到函数f（x）的单调性．（3）由（1）知，f（x）=lnx+，设g（x）=f（x）﹣（3﹣x），则g（x）=lnx+ +x﹣3，==，x＞0．列表讨论，能够证明对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3﹣x．【解答】解：（1）∵，∴f（x）的定义域为{x|x＞0}，，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2﹣3a，∴f′（1）=a﹣2a2=2﹣3a，解得a=1．（2）=，①当a＜0时，∵x＞0，∴x﹣2a＞0，a（x﹣2a）＜0，∴f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当a＞0时，若0＜x＜2a，则a（x﹣2a）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，2a）上单调递减；若x＞2a，则a（x﹣2a）＞0，f′（x）＞0，函数在（2a，+∞）上单调递增．综上所述，当a＜0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，函数f（x）在（0，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增．（3）由（1）知，f（x）=lnx+，设g（x）=f（x）﹣（3﹣x），则g（x）=lnx++x﹣3，∴==，x＞0当x变化时，g′（x），g（x）的变化如下表：∴x=1是g（x）在（0，+∞）上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是g（x）的最小值点，∴g（x）≥g（1）=ln1+2+1﹣3=0，∴g（x）=f（x）﹣（3﹣x）≥0，∴对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3﹣x．【点评】本题考查满足条件的实数值的求法，考查函数的单调性的讨论，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．。

北京市昌平区2016-2017学年高二数学3月月考试题 文一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1.已知x 和y 之间的关系如下表则y 与x 的线性回归方程为y=bx+a 必过点 （） A.（3,7） B.（3,9） C.（3.5,8） D.（4,9） 2．与命题：“若a ∈P 则b ∉P ”等价的命题是( )A ．若a ∉P ，则b ∉PB ．若b ∉P ，则a ∈PC ．若a ∉P ，则b ∈PD ．若b ∈P ，则a ∉P 3.对变量x ，y 有观测值（x i ，y i ）（i=1,2，…，10），的散点①；对变量u ，v 有观测数据（u i ，v i ）（i=1,2，…，10），得散点图②.由这两个散点图可以判断 A.变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 B.变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 C.变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 D.变量x 与y 负相关，u 与v 负相关5．条件甲：“a 、b 、c 成等差数列”是条件乙：“a b ＋cb＝2”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．曲线f (x )＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(－1，－4)D ．(2,8)和(－1，－4) 7．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B ．x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D ．x 24＋y 216＝1 8．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(1，＋∞) 9．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为( ) A ．105 B ．16 C ．15 D ．110.直线y=x+a 与曲线y=lnx 相切时a= （ ）A.-1B.1C.-2D.2y481511．函数f (x )＝－13x 3＋x 2在区间[0,4]上的最大值是( )A ．0B ．－163 C.43 D ．16312．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为( )A.54 B ．52 C.32 D ．54 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．)13．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－73处切线的倾斜角是________．14．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)(4,0)，则双曲线的方程为________．15．函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值是________． 16．已知：①命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②命题“所有模相等的向量相等”的否定；③命题“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实根”的逆否命题； ④命题“若A ∩B ＝A ，则A B 的逆否命题．其中能构成真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．三.解答题（6大题，共70分）17. (10分)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，并且离心率为52的双曲线方程．18.（12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球12,A A 和1个白球B 的甲箱与装有2个红球12,a a 和2个白球12,b b 的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。

2016-2017学年北京市昌平区临川学校高二（下）3月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共60分．）1．已知x与y之间的关系如下表：X135y4815则y与x的线性回归方程为y=bx+a必经过点（）A．（3，7）B．（3，9）C．（3.5，8）D．（4，9）2．与命题：“若a∈P，则b∉P”等价的命题是（）A．若a∉P，则b∉P B．若b∉P，则a∈P C．若a∉P，则b∈P D．若b∈P，则a∉P3．对变量x，y有观测数据（x i，y i）（i=1，2，…，10），得散点图（1）；对变量u，v，有观测数据（u i，v i）（i=1，2，…，10），得散点图（2），由这两个散点图可以判断（）A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关4．命题甲：“a，b，c成等差数列”是命题乙：“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．曲线f（x）=x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y=4x﹣1，则p0的坐标为（）A．（1，0）B．（2，8）C．（1，0）或（﹣1，﹣4）D．（2，8）或（﹣1，﹣4）6．以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）A．B．C．D．7．函数单调递增区间是（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，1）C．D．（1，+∞）8．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105 B．16 C．15 D．19．直线y=x+a与曲线y=lnx相切时a=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．210．函数f（x）=﹣x3+x2在区间上的最大值是（）A．0 B．﹣C．D．11．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则双曲线﹣=1的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）12．曲线y=x3﹣2在点（﹣1，﹣）处的切线的倾斜角为．13．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为．14．函数f（x）=x+2cos x在区间上的最小值是．15．已知：①命题“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“所有模相等的向量相等”的否定；③命题“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B=A，则A⊇B的逆否命题．其中能构成真命题的是（填上你认为正确的命题的序号）．三.解答题（6大题，共70分）16．求椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程．17．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．（Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．18．户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关，对本单位的50名员工进行了问卷调查，得到了如下联表：已知在这50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是喜欢户外活动不喜欢户外活动合计男性5女性10合计50（1）请将列联表补充完整：（2）是否有99%的把握认为喜欢户外运动与性别有关？并说明理由．下面临界值仅供参考：（大于2.706﹣90%，大于3.841﹣95%，大于6.635﹣99%）（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x（个）2345加工的时间y（小时） 2.534 4.5（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y关于x的线性回归方程y=x+；（3）试预测加工10个零件需要多少小时？（注：=，=﹣）20．受市场的影响，三峡某旅游公司的经济效益出现了一定程度的滑坡，现需要对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值．经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足y=x﹣ax2﹣lnx+ln10，且∈0，40，4﹣，0﹣，0﹣，0﹣，0﹣，0﹣，0﹣，01，+∞）．当x=10时，y=9.2．（1）求y=f（x）的解析式和投入x的取值范围：（2）求旅游增加值y取得最大值时对应的x的值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）由已知条件推导出f（x）=x﹣0.01x2﹣lnx+ln10，6＜x≤12，由此能求出结果．（2）f′（x）=﹣，当x∈（6，121，+∞），所以6＜x≤12，即投入x的取值范围是（6，12时，f′（x）＞0恒成立，因此f（x）在区间（6，12hslx3y3h上是增函数．从而当x=12时，f（x）取得最大值，即投入12万元进行改造升级，取得最大的增加值．…21．设函数f（x）=alnx+（a≠0）．（1）已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2﹣3a，求实数a的值；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）在（1）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3﹣x．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由，知f（x）的定义域为{x|x＞0}，，再由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2﹣3a，知f′（1）=a﹣2a2=2﹣3a，由此能求出a．（2）由=，利用a的取值范围进行分类讨论，能够得到函数f（x）的单调性．（3）由（1）知，f（x）=lnx+，设g（x）=f（x）﹣（3﹣x），则g（x）=lnx++x﹣3，==，x＞0．列表讨论，能够证明对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3﹣x．【解答】解：（1）∵，∴f（x）的定义域为{x|x＞0}，，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的斜率为2﹣3a，∴f′（1）=a﹣2a2=2﹣3a，解得a=1．（2）=，①当a＜0时，∵x＞0，∴x﹣2a＞0，a（x﹣2a）＜0，∴f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当a＞0时，若0＜x＜2a，则a（x﹣2a）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，2a）上单调递减；若x＞2a，则a（x﹣2a）＞0，f′（x）＞0，函数在（2a，+∞）上单调递增．综上所述，当a＜0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，函数f（x）在（0，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增．（3）由（1）知，f（x）=lnx+，设g（x）=f（x）﹣（3﹣x），则g（x）=lnx++x﹣3，∴==，x＞0当x变化时，g′（x），g（x）的变化如下表：x（0，1）1（1，+∞）g′（x）﹣0+g（x）↓极小值↑∴x=1是g（x）在（0，+∞）上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是g（x）的最小值点，∴g（x）≥g（1）=ln1+2+1﹣3=0，∴g（x）=f（x）﹣（3﹣x）≥0，∴对于定义域内的任意一个x，都有f（x）≥3﹣x．2017年4月29日。

2016昌平临川学校高二（下）期中数学（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）若复数z=（﹣8+i）i在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（）A．正方形的对角线相等B．平行四边形的对角线相等C．正方形是平行四边形D．以上均不正确3．（5分）用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0 B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0 D．a、b中只有一个为04．（5分）用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（）A．k2+1 B．（k+1）2C．D．（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）25．（5分）（1+cosx）dx等于（）A．π B．2 C．π﹣2 D．π+26．（5分）因为a，b∈R+，a+b≥2，…大前提x+≥2，…小前提所以x+≥2，…结论以上推理过程中的错误为（）A．小前提 B．大前提C．结论 D．无错误7．（5分）由曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为（）A． B．C．D．8．（5分）复数z=，则z的共轭复数在复平面内对应的点（）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．（5分）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．6n﹣2 B．8n﹣2 C．6n+2 D．8n+210．（5分）给出下列三个类比结论．①（ab）n=a n b n与（a+b）n类比，则有（a+b）n=a n+b n；②log a（xy）=log a x+log a y与sin（α+β）类比，则有sin（α+β）=sinαsinβ；③（a+b）2=a2+2ab+b2与（+）2类比，则有（+）2=+2•+；其中结论正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．311．（5分）自然数按如图的规律排列：则上起第2007行左起2008列的数为（）A．20072B．20082C．2006×2007 D．2007×200812．（5分）若定义运算：；，例如2⊗3=3，则下列等式不能成立的是（）A．a⊗b=b⊗a B．（a⊗b）⊗c=a⊗（b⊗c）C．（a⊗b）2=a2⊗b2D．c•（a⊗b）=（c•a）⊗（c•b）（c＞0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．（5分）若实数x，y满足（x﹣3y）+（2x+3y）i=5+i，则x+y= ．14．（5分）设，则= ．15．（5分）已知数列{a n}的每一项均为正数，a1=1，a2n+1=a n2+1（n=1，2…），试归纳成数列{a n}的一个通项公式为．16．（5分）复数的模为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）实数m取什么数值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）表示复数z的点在复平面的第四象限？18．（12分）计算由曲线y2=x，y=x3所围成的图形的面积S．19．（12分）（Ⅰ）求证：+＜2（Ⅱ）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求证：，中至少有一个小于2．20．（12分）试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法，证明下列结论：已知0＜a＜1，则+≥9．21．（12分）（1）用数学归纳法证明：12+22+32+…+n2=，n是正整数；（2）用数学归纳法证明不等式：1+++…+＜2（n∈N*）22．（12分）已知：sin230°+sin290°+sin2150°=，sin25°+sin265°+sin2125°=．通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明．2016昌平临川学校高二（下）期中数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】∵z=（﹣8+i）i=﹣8i+i2=﹣1﹣8i，对应的点的坐标为（﹣1，﹣8），位于第三象限，故选：C．2．【解答】由演绎推理三段论可得“三段论”推理出一个结论，则这个结论是：”正方形的对角线相等“，故选A．3．【解答】由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选 A．4．【解答】当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故选D．5．【解答】∵（x+sinx）′=1+cosx，∴（1+cosx）dx=（x+sinx）=+sin﹣=π+2．故选D6．【解答】∵，这是基本不等式的形式，注意到基本不等式的使用条件，a，b都是正数，是小前提，没有写出x的取值范围，∴本题中的小前提有错误，故选A．7．【解答】由题意，曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0的交点坐标为（0，0），（1，﹣1）∴曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为=（）=故选D．8．【解答】z====﹣i，∴z的共轭复数=+i，∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（，）∴z的共轭复数在复平面内对应的点在第一象限故选：A．9．【解答】∵第一个图中有8根火柴棒组成，第二个图中有8+6个火柴棒组成，第三个图中有8+2×6个火柴组成，以此类推组成n个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n﹣1）∴第n个图中的火柴棒有6n+2故选：C．10．【解答】根据乘方的运算法则知：（a+b）n≠a n+b n，①不正确；根据三角函数的运算法则知：sin（α+β）≠sinαsinβ，②不正确；根据幂的运算法则知：（+）2=2+2•+2，③正确；故选B．11．【解答】经观察，这个自然数表的排列特征有：①第一列的每一个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；②第一行第n个数为（n﹣1）2+1；③第n行中从第1个数至第n个数依次递减1；④第n列中从第1个数至第n个数依次递增1．故上起第2007行，左起第2008列的数，应是第2008列的第2007个数，即为[（2008﹣1）2+1]+2006=20072+2007=2007×2008．故选D．12．【解答】由题中的定义知a⊗b表示a，b中的最大值a⊗b与b⊗a表示的都是a，b中的最大值（a⊗b）⊗c与a⊗（b⊗c）表示的都是a，b，c中的最大值c•（a⊗b）表示a，b的最大值与c的乘积；（c•a）⊗（c•b）表示c•a与c•b中最大值故c•（a⊗b）=（c•a）⊗（c•b）故A、B、D都对故选C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．【解答】因为实数x，y满足（x﹣3y）+（2x+3y）i=5+i，可得所以x=2，y=﹣1所以x+y=1故答案为：1．14．【解答】由于，定义当x∈[1，e]时，f（x）=，则====，故答案为．15．【解答】∵a1=1，a n+12=a n2+1，即a n+12﹣a n2=1，∴数列{}是等差数列，公差为1，首项为1．∴，a n＞0，∴a n=．故答案为：a n=．16．【解答】∵===﹣i，∴模是=，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．【解答】∵复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i，∴（1）当m2﹣m﹣2=0，即m=﹣1，或m=2时，复数为实数．（2）当m2﹣m﹣2≠0，即m≠﹣1，且m≠2时，复数为虚数．（3）当 m2﹣m﹣2≠0，且m2﹣1=0时，即m=1时，复数为纯虚数．（4）当m2﹣1＞0，且m2﹣m﹣2＜0时，即 1＜m＜2时，表示复数z的点在复平面的第四象限．18．【解答】由题图得到S===．19．【解答】（Ⅰ）证明：因为和都是正数，所以为了证明+＜2，只要证（+）2＜（2）2只需证：10＜20，即证：2＜10，即证：＜5，即证：21＜25，因为21＜25显然成立，所以原不等式成立．（Ⅱ）证明：假设：，都不小于2，则≥2，≥2，∵a＞0，b＞0，∴1+b≥2a，1+a≥2b，∴1+b+1+a≥2（a+b）即 a+b≤2这与已知a+b＞2矛盾，故假设不成立，从而原结论成立．20．【解答】分析法：+≥9⇐≥9反证法：假设+＜9，通分得＜9．∵0＜a＜1，∴1+3a＜9a（1﹣a），整理得（3a﹣1）2＜0，这与平方数不小于0矛盾．∴假设不成立，则+≥9．综合法：由（3a﹣1）2≥0，变形得1+3a≥9a（1﹣a）．∵0＜a＜1，∴≥9，即+≥9．21．【解答】证明：（1）①n=1时，左边=12=1，右边==1，等式成立，②假设n=k时，等式成立，即12+22+32+…+k2=，则n=k+1时，12+22+32+…+k2+（k+1）2=+（k+1）2=[2k2+k+6（k+1）]=（2k2+7k+6）==．∴当n=k+1时，等式成立，由①②得：12+22+32+…+n2=．（2）①n=1时，显然不等式成立，②假设n=k时，不等式成立，即1+++…+＜2．则当n=k+1时，1+++…++＜2+=＜=2．∴当n=k+1时，不等式成立．由①②得1+++…+＜2．22．【解答】由已知中sin230°+sin290°+sin2150°=，sin25°+sin265°+sin2125°=．归纳推理的一般性的命题为：sin2（α﹣60°）+sin2α+sin2（α+60°）=．证明如下：左边=++=﹣[cos（2α﹣120°）+cos2α+cos（2α+120°）]==右边．∴结论正确．。