高二理科数学第二学期3月份月考试题及答案

唐山一中-高二第二学期月考数学试卷一、选择题(本大题共12小题，共60分) 1.已知函数f （x ）=4x x +，g （x ）=2x +a ，若∀x 1∈[12，3]，∃x 2∈[2，3]，使得f （x 1）≥g （x 2），则实数a 的取值范围是（ ） A.a ≤1 B.a ≥1 C.a ≤0 D.a ≥02.有下面三个判断，其中正确的个数是（ ）①命题：“设a 、b ∈R ，若a +b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个真命题 ②若“p 或q ”为真命题，则p 、q 均为真命题③命题“∀a 、b ∈R ，a 2+b 2≥2（a -b -1）”的否定是：“∃a 、b ∈R ，a 2+b 2≤2（a -b -1）” A.0 B.1 C.2 D.3 3.“221(43)m x dx ≤-⎰”是“函数1()22x x mf x +=+的值不小于4”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.若复数z =312a ii+- （a ∈R ，i 是虚数单位），且z 是纯虚数，则 |2|a i + 等于（ ） A 5 B.25 C.2D.405.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（ ） A.36 B.24 C.12 D.66.6 的球的内接正四棱柱的高为4，则该正四棱柱的表面积为（ ） A.24 B.32 C.36 D.407.四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，且AB=BC=2，AD=3，PA ⊥平面ABCD 且PA=2，则PB 与平面PCD 所成角的正弦值为（ ） A.427 7 3 68.过椭圆22221x y a b+= （a ＞b ＞0）的左焦点F 作斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点．若向量OA OB + 与向量a =（3，-1）共线，则该椭圆的离心率为（ ）A.B. C. D. 9.已知双曲线2222:1(0)y x C a b a b-=>> 的一条渐近线与函数1ln ln 2y x =++ 的图象相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A.2 C. D.210.观察下列一组数据 a 1=1， a 2=3+5，a 3=7+9+11， a 4=13+15+17+19， …… 则a 10从左到右第一个数是（ ） A.91 B.89 C.55 D.4511. 已知定义域为R 的奇函数y =f （x ）的导函数为()y f x '= ，当x ≠0时，()()0f x f x x'+> ，若a =f （1），2(2)b f =-- ，11(ln )(ln )22c f = ，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ） A.a ＜c ＜b B.b ＜c ＜a C.a ＜b ＜c D.c ＜a ＜b12.已知2()(ln )f x x x a a =-+ ，则下列结论中错误的是（ ） A.∃a ＞0，∀x ＞0，f （x ）≥0 B.∃a ＞0，∃x ＞0，f （x ）≤0 C.∀a ＞0，∀x ＞0，f （x ）≥0 D.∀a ＞0，∃x ＞0，f （x ）≤0二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知f 1（x ）=（x 2+2x +1）e x ，f 2（x ）=[f 1（x ）]′，f 3（x ）=[f 2（x ）]′，…，f n +1（x ）=[f n （x ）]′，n ∈N *．设f n （x ）=（a n x 2+b n x +c n ）e x ，则b 2015=_________.14.11cos )x x dx -⎰= _________.15.若函数1cos 2y x =（0≤x ≤π）的图象和直线y =2、直线x =π、y 轴围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是_______.16.函数()()x x f x e x ae =- 恰有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），则a 的取值范围是_________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 17. （本小题满分10分）已知m R ∈ ，命题p ：对任意[0,1]x ∈ ，不等式2223x m m -≥- 恒成立；命题q ：存在[1,1]x ∈- ，使得m ax ≤ 成立。

一、单选题1．若，则x 的值为（ ）61010xC C =A ．4 B ．6 C ．4或6D ．8【答案】C【分析】根据组合数的性质可求解.【详解】,61010xC C = 或，即或.6x ∴=610x +=6x =4x =故选：C2．展开式中的常数项为，则项的系数为（ ）．62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭160-2x A ．240 B ．120 C ．180 D ．240-【答案】A【分析】根据二项展开式的通项公式，当求得，再由()66216C 2rrr r r T a x --+=⋅⋅-⋅620r -=3r =可得的值，进而即可得解.()3368C 160a -=-a 【详解】展开式的通项公式为， 62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()66216C 2r rr r r T a x --+=⋅⋅-⋅令，可得，620r -=3r =常数项为，得． ()3368C 160a -=-1a =再令，得，622r -=2r =所以项的系数为． 2x ()2246C 21240⨯⨯-=故选：A3．高三（2）班某天安排6节课，其中语文、数学、英语、物理、生物、地理各一节，若要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻，则编排方案共有（ ） A ．42种 B ．96种 C ．120种 D ．144种【答案】C【分析】根据语文课与数学课相邻，则利用捆绑法，物理课比生物课先上则利用对称法求解. 【详解】因为要求物理课比生物课先上，语文课与数学课相邻， 所以课程编排方案共有种，52521A A 1202=故选：C.4．函数在处有极值为7，则 322()f x x ax bx a a =++++1x ==a A ．-3或3 B ．3或-9C ．3D ．-3【答案】C【分析】题意说明，，由此可求得 '(1)0f =(1)7f =,a b 【详解】，2'()32f x x ax b =++∴，解得或，2(1)17'(1)320f a b a a f a b ⎧=++++=⎨=++=⎩39a b =⎧⎨=-⎩33a b =-⎧⎨=⎩时，，当时，，当时，3,9a b ==-2'()3693(1)(3)f x x x x x =+-=-+31x -<<'()0f x <1x >，是极小值点；'()0f x >1x =时，，不是极值点．3,3a b =-=22'()3633(1)0f x x x x =-+=-≥1x =∴． 3a =故选C ．【点睛】本题考查导数与极值，对于可导函数，是为极值的必要条件，但不是充()f x 0'()0f x =0x 分条件，因此由求出参数值后，一般要验证是否是极值点．0'()0f x =0x 5．已知圆和两点，，若圆C 上存在点P ，使得()()()22:140C x y m m ++-=>()2,0A -()10B ,，则m 的取值范围是（ ）2PA PB =A ．[8，64] B ．[9，64] C ．[8，49] D ．[9，49]【答案】D【分析】设P 的坐标为，由可得P 的轨迹为，又因为点P 在圆C(),x y 2PA PB =()2224x y -+=上，所以两圆有公共点，从而求解即可.【详解】解：设P 的坐标为，因为，，， (),x y 2PA PB =()2,0A -()10B ,，=()2224x y -+=又因为点P 在圆上， ()()()22:140C x y m m ++-=>所以圆与圆C 有公共点， ()2224x y -+=且，2≤0m >解得， 949m ≤≤故选：D ．6．已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（ ） {}n a n n S 1q >245a a +=154a a =n S =A ． B ． C ． D ．121n --1122n --122n-21n -【答案】B【分析】根据题意可得出关于、的值，可求得、的值，再利用等比数列的求和公式可求得2a 4a 1a q .n S 【详解】由等比数列的性质可知，因为，则，24154a a a a ==1q >2422a a q a =>由已知可得，可得，，则， 24242454a a a a a a⎧+=⎪=⎨⎪<⎩2414a a =⎧⎨=⎩2q ∴==2112a a q ==因此，. ()()1111211221122n nn na q S q ---===---故选：B.7．已知椭圆的左焦点为是上一点，是圆上一点，则22:12516x y C +=,F P C M 22(3)1x y -+=的最大值为（ ）||||PM PF +A ．7 B ．9 C ．11 D ．13【答案】C【分析】由已知圆的圆心为椭圆的右焦点，由点与圆的位置关系可得，结合椭圆1F 11PM PF £+的定义求的最大值.||||PM PF +【详解】因为椭圆的方程为，所以椭圆的长半轴长，短半轴长，圆C 2212516x y +=5a =4b =的圆心的坐标为，半径为1，由圆的几何性质可得，当且仅22(3)1x y -+=1F ()3,011PM PF £+当为的延长线与圆的交点时等号成立，所以，由椭圆的定义可M 1PF 1||||||||1PM PF PF PF +≤++得． 1210PF PF a +==所以， 10111PM PF +≤+=故选：C.8．已知函数恰有两个零点，则a 的取值范围是（ ） ()ln f x x x a =-+A ． B ．C ．D ．(),1-∞-(),1∞-()1,-+∞()1,+∞【答案】D【分析】由分离参数得．引入新函数，由导数确定的单调()0f x =ln a x x =-+()ln g x x x =-+()g x 性、极值，得出函数的变化趋势，从而得出结论，()g x 【详解】令，得．设，则()ln 0f x x x a =-+=ln a x x =-+()ln g x x x =-+()111x g x x x -'=-+=．由，得；由，得．所以在上单调递减，在上单调()0g x '>1x >()0g x '<01x <<()g x ()0,1()1,+∞递增，故，即． ()()11g x g ≥=1a >故选：D ．二、多选题9．已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ） C 214y x =F P C A ．的准线方程为 C 116y =-B ．直线与相切1y x =-CC ．若，则的最小值为()0,4M PMD ．若，则的周长的最小值为11 ()3,5M PMF △【答案】BCD【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A ，联立直线与抛物线方程，消元，由判断B ，设点，表示出，根据二次函数的性质判断C ，根据Δ0=(),P x y 2PM 抛物线的定义转化求出的周长的最小值，即可判断D. PMF △【详解】解：抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故C 214y x =24x y =()0,1F 1y =-A 错误；由，即，解得，所以直线与相切，故B 正确； 2141y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩2440x x -+=()24440∆=--⨯=1y x =-C 设点，所以，(),P x y ()()22222441621212x P y y y y M =+-=-+=-+≥所以C正确；minPM=如图过点作准线，交于点，P PN ^N 5=所以， 5611PFM C MF MP PF MF MP PN MF MN =++=++≥+=+=A 当且仅当、、三点共线时取等号，故D 正确； M P N 故选：BCD10．下列命题中，正确的命题的序号为（ ）A ．已知随机变量服从二项分布，若，则 X (),B n p ()()30,20E X D X ==23p =B ．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C ．设随机变量服从正态分布，若，则 ξ()0,1N ()1P p ξ>=()1102P p ξ-<≤=-D ．某人在次射击中，击中目标的次数为，且，则当时概率最大 10X ()10,0.9X B ~9X =【答案】BCD【分析】对A ：利用二项分布的期望与方差公式，列出方程求解即可判断；对B ：根据方差公式可知方差恒不变；对C ：根据正态分布的对称性即可求解；对D ：根据二项分布概率的性质求解即可判断.【详解】解：对A ：因为随机变量服从二项分布，，， X (,)B n p ()30E X =()20D X =所以，，解得，故选项A 错误； 30np =(1)20np p -=13p =对B ：根据方差公式，为常数），可得将一组数据中的每个数据都加上同一个常2()(D a b a D a ξξ+=b 数后，方差不变，故选项B 正确；对C ：因为随机变量服从正态分布，由，可得，利用正态ξ(0,1)N (1)P p ξ>=1(01)2P p ξ<<=-分布的对称性可得，故选项C 正确； 1(10)2P p ξ-<<=-对D ：因为在10次射击中，击中目标的次数满足，X ~(10,0.9)X B 所以对应的概率， 1010()C 0.90.1kk k P X k -==⨯⨯当，时，，1k …*N k ∈101011101100.90.10.90.1C C ()9(11)(1)kk k k k k P X k k P X k k----+=-===-令，解得， ()9(11)1(1)P X k k P X k k =-=≥=-19910k ……因为时，*N k ∈所以当时，概率最大，故选项D 正确. 9X =()9P X =故选：BCD.11．某校团委组织“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”学生书画作品比赛，经评审，评出一、二、三等奖作品若干（一、二等奖作品数相等），其中男生作品分别占，，，现从获40%60%60%奖作品中任取一件，记“取出一等奖作品”为事件，“取出男生作品”为事件，若，A B ()0.12P AB =则（ ） A ． B ．一等奖与三等奖的作品数之比为 ()0.4P B A =3:4C ． D ．()0.25P A B =()0.54P B =【答案】ABD【分析】依题意设一、二等奖作品有件，三等奖作品有件，即可表示男、女生获一、二、三等x y 奖的作品数，再根据求出与的关系，从而一一判断即可. ()P AB x y 【详解】解：设一、二等奖作品有件，三等奖作品有件，x y则男生获一、二、三等奖的作品数为、、， 0.4x 0.6x 0.6y 女生获一、二、三等奖的作品数为、、， 0.6x 0.4x 0.4y 因为，所以，()0.40.12xP AB x x y==++43x y =所以，故A 正确； ()0.4|0.4xP B A x==，故C 错误； ()0.40.420.2540.690.63x x P A B x x y x ===≠++⨯一等奖与三等奖的作品数之比为，故B 正确；:3:4x y =，故D 正确；()40.60.630.544223x xx y P B x y x x +⨯+===++故选：ABD12．过点有三条直线和曲线相切，则实数的可能取值是（ ） (0,1)P -32(R)y x ax bx b =++∈a A ．0 B ．3C ．6D ．4【答案】CD【分析】设切点为，利用导数求得切线方程，代入P 点坐标，整理得32(,)t t at bt ++32210t at +-=，令，有3个零点，利用导数求单调区间和极值，再由极大值大于0极小值32()21g t t at =+-()g t 小于0，求解实数a 的取值范围．【详解】由，得，32y x ax bx =++232y x ax b '=++设切点为，则过切点的切线方程为，32(,)t t at bt ++21(32)y t at b x +=++，3221(32)t at bt t at b t ∴+++=++整理得，令， 32210t at +-=32()21g t t at =+-由题意得，有3个零点，，()g t 2()62g t t at '=+由，得或，()0g t '=0=t 3at =-当时，函数只有一个零点，舍去； 0a =()g t 当时，，由，得或，由，得，0a <03a ->()0g t '>0t <3a t >-()0g t '<03a t <<-是函数的极大值点，由于，函数没有3个零点，舍去； 0t ∴=()g t (0)10g =-<()g t ，同理可得是函数的极大值点，是函数的极小值点，0a ∴>3at =-()g t 0=t ()g t由于，由条件结合三次函数的性质可得：，即． (0)10g =-<310327a ag ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭3a >实数的取值范围是．∴a (3,)+∞故选：CD ．三、填空题13．已知某随机变量的概率分布列如表，其中，，则随机变量的数学期望ξ0x >0y >ξ()E ξ=____．i x 1 2 3()i P x ξ=xyx【答案】2【分析】根据分布列的性质以及期望的计算公式即可求解. 【详解】由题意，，即1x y x ++=21x y += ()23422(2)2E x y x x y x y ξ∴=++=+=+=故答案为：214．已知抛物线的焦点F 与双曲线的右焦点重合，与的21:4C y x =22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b1C 2C 公共点为M ，N ，且，则的离心率是_____________． 4MN =2C##1+1【分析】根据抛物线和双曲线的对称性可得，，且2M y =1M x =MF '=得的值，进而求解.a 【详解】因为与交于点M ，N ，所以M ，N 关于x 轴对称，所以，所以． 1C 2C 2M y =1M x =因为，所以轴.记椭圆的另一焦点为， (1,0)F FM x ⊥2C F '所以， MF =='22a =所以． 212c e a ===.115．在三棱锥中，已知平面，，，-P ABC PA ⊥ABC 120BAC ︒∠=AC =AB =PA =，则该三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】60π【分析】求解底面ABC 的外接圆的半径，利用球心与圆心的连线垂直底面，构成直角三角形即可求解三棱锥外接球的半径，可得其表面积【详解】在底面中， ，ABC A 120BAC ∠= AC =AB =由余弦定理可得BC ==设外接圆的圆心为 ，半径为r ，球心为O ， ABC A 1O 由正弦定理可得，，得2sin BC r A ==r =底面ABC ，且球心到点P ，A的距离相等，PA ⊥球心与底面的距离为∴12AP =球心与圆心的连线垂直于底面，，222R r ∴=+，215R ∴=该三棱锥外接球的表面积 24π60πS R ==故答案为：60π.16．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实()||e =-xf x ax x ()0,x ∈+∞210x x >>()()12210f x f x x x -<数的取值范围为______________.a 【答案】e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】由题可知，当时，不等式恒成立，即在上21x x >()()1122x f x x f x <()()g x xf x =()0,x ∈+∞是增函数，然后由在上恒成立，即可解出.()0g x '≥()0,x ∈+∞【详解】因为当时，不等式恒成立，即当时，不等式210x x >>()()12210f x f x x x -<21x x >恒成立，所以在上是增函数，()()1122x f x x f x <()()2e x g x xf x ax ==-()0,x ∈+∞所以在上恒成立，即在上恒成立，令，所()e 20xg x ax =-≥'()0,x ∈+∞e 2x a x≤()0,x ∈+∞e ()2x h x x =以，当时，，当时，，所以当时，取得最小()2e 1()2x x h x x-'=01x <<()0h x '<1x >()0h x '>1x =()h x 值，最小值为，所以实数a 的取值范围为.e 2e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故答案为：.e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦四、解答题17．已知数列的前n 项和，且，数列满足，其中{}n a n S 1131,1n n S S a +=+={}n b ()111,1n n b n b nb +=+=．*n ∈N (1)求和的通项公式；{}n a {}n b (2)设，求数列的前20项和．()3log ,4,2n n n a n c n n b ⎧⎪=⎨⎪+⎩为奇数为偶数{}n c 20T 【答案】(1)，13n n a -=n b n =(2) 20100011T =【分析】（1）根据、累乘法求得和的通项公式；11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩{}n a {}n b （2）结合分组求和法、裂项相消求和法求得.20T 【详解】（1）对于，当时，， 1131,1n n S S a +=+=1n =1212131,213a a a a a +=+=+=当时，由得， 2n ≥131n n S S +=+131n n S S -=+两式相减得，由于，()132n n a a n +=≥213a a =所以是首项为，公比为的等比数列，所以.{}n a 1313n n a -=对于，， ()111,1n n b n b nb +=+=11n n b n b n ++=所以， 1321122113211221n n n n n b b b b n n b b n b b b b n n ----=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=-- 也符合上式，所以.1b n b n =（2）当为奇数时，；，n 3log 1n n c a n ==-1190,18c c ==所以. 131901810902c c c ++++=⨯= 当为偶数时，； n ()()44112222n n n b n n n c n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭=所以2420c c c +++ 111111224462022⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ . 11110212221111⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭所以. 20101000901111T =+=18．为发展业务，某调研组对A ，B 两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内(),0n n n ∈>N 个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为. 415(1)求n 的值；(2)若一次抽取4个城市，①假设抽取出的小城市的个数为X ，求X 的可能值及相应的概率；②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.【答案】(1)；7n =(2)①X 的可能取值为0，1，2，3，4，相应概率见解析；②. 13【分析】⑴利用古典概型求概率的公式把一次抽取2个城市全是小城市的概率表示出来，解方程即可；⑵①的分布符合超几何分布，根据超几何分布的概率计算方法求概率即可；X ②利用条件概率求概率的方法求概率即可.【详解】（1）从个城市中一次抽取2个城市，有种情况， ()8n +28C n +其中全是小城市的有种情况，则全是小城市的概率为， 28C ()()2828C 874C 8715n n n +⨯==++解得（负值舍去）.7n =（2）①由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3，4，相应的概率分别记为，()()0,1,2,3,4P X k k ==，， ()0487415C 10C 39C P X ===()1387415C C 81C 39P X ===，， ()2287415C C 282C 65P X ===()3187415C C 563C 195P X ===. ()4087415C C 24C 39P X ===②若抽取的4个城市全是超大城市，共有种情况；47C 35=若抽取的4个城市全是小城市，共有种情况，48C 70=所以若抽取的4个城市是同一类城市，则全为超大城市的概率为. 35135703=+19．某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，、、分别是正E F G方形的三边、、的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五AB CD AD FG FDG 边形沿着线段折起，连接、就得到了一个“刍甍”（如图．ABCFG EF AB CG 2)(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面；O EBCF//AO GCF (2)若二面角是直二面角，求点到平面的距离．A EFB --B GCF 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取线段中点，证明四边形是平行四边形，可证平面； CF H AOHG //AO GCF （2）由向量法求点到平面距离，或由体积法求点到平面距离.【详解】（1）证明：取线段中点，连接、，CF H OHGH由图1可知，四边形是矩形，且，EBCF 2CB EB =是线段与的中点，且， O ∴BF CE //OH BC ∴12OH BC =在图1中知且，且， //AG BC 12AG BC =//EF BC EF BC =所以在图2中，且，且， //AG BC 12AG BC =//AG OH AG OH =四边形是平行四边形，则，由于平面，平面，∴AOHG //AO HG AO ⊂/GCF HG ⊂GCF 平面．//AO ∴GCF （2）解：法一：由图1，，，折起后在图2中仍有，，EF AE ⊥EF AF ⊥EF AE ⊥EF BE ⊥即为二面角的平面角．，AEB ∴∠A EF E --90AEB ∴∠=︒以为坐标原点，分别为轴和轴正向建立空间直角坐标系，E ,EB EF x y E xyz-则，，，，，(2,0,0)B (4,2,0)C (0,4,0)F (0,0,2)A (0,2,2)G ，∴(2,4,0),(2,0,0),(0,2,2)BF FC FG =-==- 设平面的一个法向量为，GCF (,,)n x y z = 由，得，，取，则， 00n FC n FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 20220x y z =⎧⎨-+=⎩0x =1y =1z =于是平面的一个法向量，GCF (0.1,1)n = 点到平面的距离为B GCF BF n d n ⋅===法二：同法一知：面，面，AF ⊥EBCF CF ⊥GAEF 设点到平面的距离为，于是， B GCF d 13B GCF CCF V S d -=⋅A 其中11222GCF S CF GF =⋅=⨯⨯=A 另一方面，， 11842333B GCF G BCF A BCF BCF V V V S AE ---===⋅=⨯⨯=A 由，知点到平面的距离为8133=⨯B GCF d =20．已知数列满足：，．{}n a 13a =1*12(2,N )n n n a a n n --=+≥∈(1)求数列的通项公式及前项和；{}n a n n S (2)令，，求证：． 11n n n b a a +=A 1*1222(N )n n n T b b b n -=++⋯+∈*1(N )6n T n <∈【答案】(1)，*21(N )n n a n =+∈n 1*22(N )n S n n +=+-∈(2)证明见解析【分析】（1）由数列的递推公式，用累加法或构造新数列的方法求数列通项，再根据数列特征求前项和；n （2）由裂项相消法求，可得结论.n T 【详解】（1）解法一：，112(2)n n n a a n ---=≥当时∴2n ≥12132121()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=+-+-+⋯+-+-． 221123222222112nn n n ---=+++⋯++=+=+-检验知当时，结论也成立，1n =故．． *21(N )n n a n =+∈211*2(12)(2222)22(N )12n n nn n S n n n n -+-=++⋯+++=+=+-∈-解法二：，，112(2)n n n a a n ---=≥∴1122(2)n n n n a a n ---=-≥数列是首项为，公差为0的等差数列，∴{}2n n a -121a -=，．∴21n n a -=*21(N )n n a n =+∈ ． 211*2(12)(2222)22(N )12n n nn n S n n n n -+-=++⋯+++=+=+-∈-解法三：，，． 112(2)n n n a a n ---=≥∴1111·2222n n n n a a --=+11111(2)222n n n n a a n --⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭，数列是首项与公比均为的等比数列， 1111022a -=≠∴12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭12． ∴*11,21(N )22nn n n n a a n ⎛⎫-==+∈ ⎪⎝⎭． 211*2(12)(2222)22(N )12n n n n n S n n n n -+-=++⋯+++=+=+-∈-（2）． 11122(21)(21)n n n n n b --+=++1*11(21)(21)111(N )2(21)(21)22121n n n n n n n ++++-+⎛⎫==-∈ ⎪++++⎝⎭∴11222n n n T b b b -=++⋯+ 223111111112121212122121n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 1111111212212126n +⎛⎫=-<⨯= ⎪+++⎝⎭21．已知圆:，一动圆与直线相切且与圆外切． C ()22114x y -+=12x =-C (1)求动圆圆心的轨迹的方程；P T (2)若经过定点的直线与曲线交于两点，是的中点，过作轴的平行线与曲(6,0)Q l T ,A B M AB M x 线相交于点，试问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，T N l NA NB ⊥l 请说明理由．【答案】(1)24y x =(2)存在，或3180x -=3180x -=【分析】（1）设元，利用圆与圆的位置关系找等量关系，列方程，化简即可； （2）设，：得，联立方程消去，由韦达定理1122(,),(,)A x y B x y l 6x my =+x 12124,24y y m y y +==-，根据题意设，由得化简解决即可.00(,)N x y NA NB ⊥0NA NB ⋅= 【详解】（1）设动圆圆心，由题可知动圆圆心不能在轴左侧，故，(,)P x y y 0x ≥因为动圆与直线相切且与圆：外切， 12x =-C ()22114x y -+=所以， 11||()22PC x -+=，1x =+化简得，24y x =所以动圆圆心的轨迹的方程为.P T 24y x =（2）设，1122(,),(,)A x y B x y 由题意，设直线的方程为，l 6x my =+联立，消去得 264x my y x =+⎧⎨=⎩x ，24240y my --=，①12124,24y y m y y ∴+==-，，②212412x x m ∴+=+1236x x =因为是的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，M AB M x T N 假设存在，使得，00(,)N x y NA NB ⊥所以，③ 12022y y y m +==因为在抛物线上，即 N 2004y x =所以，④20x m =，，， 0NA NB ⋅= 1010(,)NA x x y y =-- 2020(,)NB x x y y =-- 所以22120120120120()()0x x x x x x y y y y y y -+++-++=所以将①②③④代入化简可得，22(6)(32)0m m +-=所以 m =所以存在直线：，使得， l 6x y =+NA NB ⊥所以存在直线的方程为或l 3180x +-=3180x -=22．已知，函数． 0a …()1ln a f x ax x x +=+-(1)讨论函数的单调性；()f x (2)如果我们用表示区间的长度，试证明：对任意实数，关于的不等式n m -(),m n 1a …x 的解集的区间长度小于．()21f x a <+21a +【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）求导之后再对分和两种情况讨论得解；a 0a =0a >（2）令，证明，令，证明()()()21g x f x a =-+110g a ⎛⎫+< ⎪⎝⎭()()22h a g a =+，[)1,a ∈+∞即得解.()220g a +>【详解】（1）解：，定义域为， ()1ln a f x ax x x+=+-()0,∞+ ()()()()222211111.ax x a x ax a a f x a x x x x --++--+=--=='若恒成立，所以在上单调递减； ()()210,0x a f x x-+='=<()f x ()0,∞+若， ()()211110,,10a x x a a f x x a⎛⎫+-- ⎪⎝⎭>=+>'当时，；当时，， 10,1x a ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭()0f x '<11,x a ∞⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()0f x ¢>所以在上单调递减，在上单调递增． ()f x 10,1a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭11,a ∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭综上，时，在上单调递减；时，在上单调递减，在0a =()f x ()0,∞+0a >()f x 10,1a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增． 11,a ∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）证明：令，则，因为， ()()()121ln 21a g x f x a ax x a x+=-+=+---()10g =1a …由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， ()g x 10,1a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭11,a ∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭又，所以， 111a +>110g a ⎛⎫+< ⎪⎝⎭令， ()()()[)21222ln 22,1,2h a g a a a a ∞=+=--+∈+由恒成立， ()2244140221a a h a a a a +-=-=>++'所以在上单调递增．()h a ()1,+∞又，所以，即．从而， 3e 16>3e 116>32e 14>()323e 1ln4ln 024h =-=>所以，即．()()10h a h >>()220g a +>因为，所以， 1222,12a a +>+<1221a a+>+所以存在唯一，使得，所以的解集为， 111,22x a a ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()10g x =()0g x <()11,x 即的解集为，又的区间长度为，()21f x a <+()11,x ()11,x ()1122121x a a -<+-=+原命题得证．。

2016-2017学年福建省福州市高二（下）3月月考数学试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒2．若f'（x）=3，则等于（）A．3 B．C．﹣1 D．13．若曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A．a=1，b=2 B．a=﹣1，b=2 C．a=1，b=﹣2 D．a=﹣1，b=﹣24．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（）A．e2B．e C． D．ln25．下列积分不正确的是（）A．B．C． D．6．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极值，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞27．设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（）A．B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[，1]8．若函数f（x）=x3+ax﹣2在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣3，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）9．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．C．D．﹣210．曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+8=0的最短距离是（）A．B．2 C．3 D．011．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）12．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x，有的最小值为（）A．2 B．C．3 D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为．14．已知函数f（x）=f′（）sinx+cosx，则f（）= ．15．由y2=4x与直线y=2x﹣4所围成图形的面积为．16．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示．x ﹣1 0 4 5 f（x） 1 2 2 1下列关于f（x）的命题：①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是．三、解答题：共6小题，共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}满足a3=6，a4+a6=20（1）求通项a n；（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n．18．在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若bcosC=（2a﹣c）cosB （Ⅰ）求∠B的大小（Ⅱ）若、a+c=4，求三角形ABC的面积．19．已知椭圆=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，过点B（0，﹣2）及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2．（1）求椭圆的方程；（2）求△CDF2的面积．20．设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值为﹣8，其导函数y=f′（x）的图象经过点，如图所示，（1）求f（x）的解析式；（2）若对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m2﹣14m恒成立，求实数m的取值范围．21．已知函数f（x）=ln（ax+1）+，x≥0，其中a＞0．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．22．已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年福建省福州市文博中学高二（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1．一个物体的运动方程为s=1﹣t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒【考点】62：导数的几何意义．【分析】求导数，把t=3代入求得导数值即可．【解答】解：∵s=1﹣t+t2，∴s′=﹣1+2t，把t=3代入上式可得s′=﹣1+2×3=5由导数的意义可知物体在3秒末的瞬时速度是5米/秒，故选C2．若f'（x）=3，则等于（）A．3 B．C．﹣1 D．1【考点】6F：极限及其运算．【分析】由=﹣=﹣×f'（x0），由题意，即可求得答案．【解答】解：=﹣=﹣×f'（x0）=﹣×3=﹣1，故选C．3．若曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A．a=1，b=2 B．a=﹣1，b=2 C．a=1，b=﹣2 D．a=﹣1，b=﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由y=x2+ax+b，知y′=2x+a，再由曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x ﹣y+1=0，求出a和b．【解答】解：∵y=x2+ax+b，∴y′=2x+a，∵y′|x=1=2+a，∴曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为y﹣b=（2+a）（x﹣1），∵曲线y=x2+ax+b在点（1，b）处的切线方程为x﹣y+1=0，∴a=﹣1，b=2．故选B．4．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0=（）A．e2B．e C． D．ln2【考点】65：导数的乘法与除法法则．【分析】利用乘积的运算法则求出函数的导数，求出f'（x0）=2解方程即可．【解答】解：∵f（x）=xlnx∴∵f′（x0）=2∴lnx0+1=2∴x0=e，故选B．5．下列积分不正确的是（）A．B．C． D．【考点】68：微积分基本定理．【分析】利用微积分基本定理即可得出．【解答】解：A. = =ln3，因此正确；B．∵=2．故B不正确．==，因此正确；D. = = =．因此正确．综上可知：只有B不正确．故选B．6．已知函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极值，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6 C．a＜﹣3或a＞6 D．a＜﹣1或a＞2【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，利用导数有两个不相等的实数根，通过△＞0，即可求出a的范围．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，所以函数f′（x）=3x2+2ax+（a+6），因为函数有极值，所以导函数有两个不相等的实数根，即△＞0，（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0，解得：a＜﹣3或a＞6，故选：C．7．设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（）A．B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[，1]【考点】62：导数的几何意义．【分析】根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线C在点P处斜率的取值范围，进而得到点P横坐标的取值范围．【解答】解：设点P的横坐标为x0，∵y=x2+2x+3，∴y′=2x0+2，利用导数的几何意义得2x0+2=tanα（α为点P处切线的倾斜角），又∵，∴0≤2x0+2≤1，∴．故选：A．8．若函数f（x）=x3+ax﹣2在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣3，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】由已知，f′（x）=3x2≥0在[1，+∞）上恒成立，可以利用参数分离的方法求出参数a的取值范围．【解答】解：f′（x）=3x2+a，根据函数导数与函数的单调性之间的关系，f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥﹣3x2，恒成立，只需a大于﹣3x2的最大值即可，而﹣3x2在[1，+∞）上的最大值为﹣3，所以a≥﹣3．即数a的取值范围是[﹣3，+∞）．故选A．9．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．C．D．﹣2【考点】62：导数的几何意义．【分析】（1）求出已知函数y在点（3，2）处的斜率；（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1•k2=﹣1，求出未知数a．【解答】解：∵y=∴y′=﹣∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣∵切线与直线ax+y+1=0垂直∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2故选D．10．曲线y=ln（2x﹣1）上的点到直线2x﹣y+8=0的最短距离是（）A．B．2 C．3 D．0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；3H：函数的最值及其几何意义；IT：点到直线的距离公式．【分析】在曲线y=ln（2x﹣1）上设出一点，然后求出该点处的导数值，由该导数值等于直线2x﹣y+8=0的斜率求出点的坐标，然后由点到直线的距离公式求解．【解答】解：设曲线y=ln（2x﹣1）上的一点是P（ m，n），则过P的切线必与直线2x﹣y+8=0平行．由，所以切线的斜率．解得m=1，n=ln（2﹣1）=0．即P（1，0）到直线的最短距离是d=．故选B．11．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x＞0时也是增函数，最后根据g（﹣3）=0可求得答案．【解答】解：设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时，∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．∴F（x）在当x＜0时为增函数．∵F（﹣x）=f （﹣x）g （﹣x）=﹣f （x）•g （x）=﹣F（x）．故F（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数．已知g（﹣3）=0，必有F（﹣3）=F（3）=0．构造如图的F（x）的图象，可知F（x）＜0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．故选D12．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x，有的最小值为（）A．2 B．C．3 D．【考点】63：导数的运算；3R：函数恒成立问题；7F：基本不等式．【分析】由对于任意实数x，f（x）≥0成立求出a的范围及a，b c的关系，求出f（1）及f′（0），作比后放缩去掉c，通分后利用基本不等式求最值．【解答】解：∵f（x）≥0，知，∴c．又f′（x）=2ax+b，∴f′（0）=b＞0，f（1）=a+b+c．∴≥1+=≥1+=2．当且仅当4a2=b2时，“=”成立．故选A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1] ．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意，先求函数的定义域，进而求得其导数，即y′=x﹣=，令其导数小于等于0，可得≤0，结合函数的定义域，解可得答案．【解答】解：对于函数，易得其定义域为{x|x＞0}，y′=x﹣=，令≤0，又由x＞0，则≤0⇔x2﹣1≤0，且x＞0；解可得0＜x≤1，即函数的单调递减区间为（0，1]，故答案为（0，1]14．已知函数f（x）=f′（）sinx+cosx，则f（）= 0 ．【考点】63：导数的运算．【分析】求函数的导数，先求出f′（）的值即可得到结论．【解答】解：函数的导数为f′（x）=f′（）cosx﹣sinx，令x=，得f′（）=f′（）cos﹣sin=﹣1，则f（x）=﹣sinx+cosx，则f（）=﹣sin+cos=，故答案为：0．15．由y2=4x与直线y=2x﹣4所围成图形的面积为9 ．【考点】67：定积分．【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线yy2=4x与直线y=2x﹣4所围成的封闭图形的面积，即可求得结论【解答】解：联立方程组，解得或，∴曲线y=x2与直线y=x围成的封闭图形的面积为S=（y+2﹣y2）dy=（y2+2y﹣）|=9，故答案为：916．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示．x ﹣1 0 4 5 f（x） 1 2 2 1下列关于f（x）的命题：①函数f（x）的极大值点为0，4；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是①②⑤．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】由导数图象可知，函数的单调性，从而可得函数的极值，故可得①，②正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，即可求得结论．【解答】解：由导数图象可知，当﹣1＜x＜0或2＜x＜4时，f'（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2或4＜x＜5，f'（x）＜0，函数单调递减，当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2），所以①正确；②正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分f（2）＜1或1≤f（2）＜2两种情况，由图象知，函数y=f（x）和y=a的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以⑤正确，综上正确的命题序号为①②⑤．故答案为：①②⑤．三、解答题：共6小题，共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}满足a3=6，a4+a6=20（1）求通项a n；（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）由已知条件，利用等差数列的通项公式列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出等差数列的通项公式．（2）由a n=2n，{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，利用等比数列的通项公式，能求出数列{b n}的通项公式，再利用分组求和法能求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}满足a3=6，a4+a6=20，∴，解得，∴．（2）∵a n=2n，{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，∴，∴，∴．18．在三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若bcosC=（2a﹣c）cosB （Ⅰ）求∠B的大小（Ⅱ）若、a+c=4，求三角形ABC的面积．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理得： ===2R解出a、b、c代入到已知条件中，利用两角和的正弦函数的公式及三角形的内角和定理化简，得到cosB的值，然后利用特殊角的三角函数值求出B即可；（Ⅱ）要求三角形的面积，由三角形的面积公式S=acsinB知道就是要求ac的积及sinB，由前一问的cosA的值利用同角三角函数间的基本关系求出sinA，可根据余弦定理及、a+c=4可得到ac的值，即可求出三角形的面积．【解答】解（Ⅰ）由已知及正弦定理可得sinBcosC=2sinAcosB﹣cosBsinC∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）又在三角形ABC中，sin（B+C）=sinA≠0∴2sinAcosB=sinA，即，得（Ⅱ）∵b2=7=a2+c2﹣2accosB∴7=a2+c2﹣ac又∵（a+c）2=16=a2+c2+2ac∴ac=3∴即19．已知椭圆=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，过点B（0，﹣2）及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2．（1）求椭圆的方程；（2）求△CDF2的面积．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆的基本概念和平方关系，建立关于a、b、c的方程，解出a=，b=c=1，从而得到椭圆的方程；（2）求出F1B直线的斜率得直线F1B的方程为y=﹣2x﹣2，与椭圆方程联解并结合根与系数的关系算出|x1﹣x2|=，结合弦长公式可得|CD|=，最后利用点到直线的距离公式求出F2到直线BF1的距离d，即可得到△CDF2的面积．【解答】解：（1）∵椭圆=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，∴b==1，且=，解之得a=，c=1可得椭圆的方程为；…（2）∵左焦点F1（﹣1，0），B（0，﹣2），得F1B直线的斜率为﹣2∴直线F1B的方程为y=﹣2x﹣2由，化简得9x2+16x+6=0．∵△=162﹣4×9×6=40＞0，∴直线与椭圆有两个公共点，设为C（x1，y1），D（x2，y2），则∴|CD|=|x1﹣x2|=•=•=又∵点F2到直线BF1的距离d==，∴△CDF2的面积为S=|CD|×d=×=．20．设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值为﹣8，其导函数y=f′（x）的图象经过点，如图所示，（1）求f（x）的解析式；（2）若对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m2﹣14m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；36：函数解析式的求解及常用方法；3R：函数恒成立问题．【分析】（1）求出y=f'（x），因为导函数图象经过（﹣2，0）和（，0），代入即可求出a、b、c之间的关系式，再根据图象可知函数的单调性，而f（x）极小值为﹣8可得f（﹣2）=﹣8，解出即可得到a、b、c的值；（2）根据函数增减性求出函数在区间[﹣3，3]的最小值大于等于m2﹣14m，即可求出m的范围．【解答】解：（1）∵f'（x）=3ax2+2bx+c，且y=f'（x）的图象经过点（﹣2，0），，∴∴f（x）=ax3+2ax2﹣4ax，由图象可知函数y=f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，由f（x）极小值=f（﹣2）=a（﹣2）3+2a（﹣2）2﹣4a（﹣2）=﹣8，解得a=﹣1∴f（x）=﹣x3﹣2x2+4x（2）要使对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m2﹣14m恒成立，只需f（x）min≥m2﹣14m即可．由（1）可知函数y=f（x）在[﹣3，﹣2）上单调递减，在上单调递增，在上单调递减且f（﹣2）=﹣8，f（3）=﹣33﹣2×32+4×3=﹣33＜﹣8∴f（x）min=f（3）=﹣33﹣33≥m2﹣14m⇒3≤m≤11故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．21．已知函数f（x）=ln（ax+1）+，x≥0，其中a＞0．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）对函数求导，令f′（1）=0，即可解出a值．（Ⅱ）f′（x）＞0，对a的取值范围进行讨论，分类解出单调区间．a≥2时，在区间（0，+∞）上是增函数，（Ⅲ）由（2）的结论根据单调性确定出最小值，当a≥2时，由（II）知，f（x）的最小值为f（0）=1，恒成立；当0＜a＜2时，判断知最小值小于1，此时a无解．当0＜a＜2时，（x）的单调减区间为，单调增区间为【解答】解：（Ⅰ），∵f′（x）在x=1处取得极值，f′（1）=0即 a+a﹣2=0，解得 a=1（Ⅱ），∵x≥0，a＞0，∴ax+1＞0①当a≥2时，在区间（0，+∞）上f′（x）＞0．∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）②当0＜a＜2时，由f′（x）＞0解得由∴f（x）的单调减区间为，单调增区间为（Ⅲ）当a≥2时，由（II）知，f（x）的最小值为f（0）=1当0＜a＜2时，由（II）②知，处取得最小值，综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）22．已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）通过、x=1是函数h（x）的极值点及a＞0，可得，再检验即可；（2）通过分析已知条件等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．结合当x∈[1，e]时及可知[g（x）]max=g（e）=e+1．利用，且x∈[1，e]，a＞0，分0＜a＜1、1≤a≤e、a＞e三种情况讨论即可．【解答】解：（1）∵，g（x）=x+lnx，∴，其定义域为（0，+∞），∴．∵x=1是函数h（x）的极值点，∴h′（1）=0，即3﹣a2=0．∵a＞0，∴．经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，∴；（2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．当x∈[1，e]时，．∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．∴[g（x）]max=g（e）=e+1．∵，且x∈[1，e]，a＞0．①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是增函数，∴．由1+a2≥e+1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合题意；②当1≤a≤e时，若1≤x＜a，则，若a＜x≤e，则．∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．∴[f（x）]min=f（a）=2a．由2a≥e+1，得a≥，又1≤a≤e，∴≤a≤e；③当a＞e且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是减函数．∴．由≥e+1，得a≥，又a＞e，∴a＞e；综上所述：a的取值范围为．。

一、单选题1．积分（ ）2-=⎰A ． B ．C ．D ．π2π4π8π【答案】B【分析】根据定积分的几何意义求值即可.【详解】由题设，定积分表示圆在x 轴的上半部分，224x y +=所以.21422ππ-=⨯⨯=⎰故选：B2．若复数z 满足（ 是虚数单位），则 在复平面内对应的点位于（ ） ()25i 2i 3z ⋅+=+i z A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【分析】利用复数的化简复数，利用共轭复数的定义以及复数的几何意义可得出结论. z 【详解】由，所以， ()25i 2i 3z ⋅+=+()()()()2i 325i 2i 31611i 1611i 25i 25i 25i 292929z +-+-====-++-所以，在复平面内对应的点是，位于第一象限． 1611i 2929z =+1611,2929⎛⎫⎪⎝⎭故选：A ．3．已知复数z 满足，且z 的共轭复数为，则（ ） i z =z z =A B ．2C ．4D ．3【答案】B【分析】根据共轭复数的概念可求出，从而根据复数模的公式可求出答案. z【详解】因为，所以．i z =+i z =2=故选：B.4．函数的图象如图所示，则阴影部分的面积是（ ）21y x =-A ．B ．120(1)d x x -⎰220(1)d x x -⎰C ．D ．221d x x -⎰122201(1)d 1d ()x x x x -+-⎰⎰【答案】C【分析】对阴影部分的面积分成两部分，根据定积分的几何意义写出面积和，再利用定积分的可加性进行积分运算.【详解】所求面积为．()()1212222222111d 1d 1d 1d 1d x x x x x x x x x x -+-=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰故选：.C 【点睛】本题考查定积分的几何意义，特别要注意，当时，，其积分值是负数，[0,1]x ∈()0f x <且该负数的绝对值或相反数才是对应阴影部分的面积． [0,1]x ∈5．已知复数，则（ ） z =z =A ． B C ． D ．123【答案】C【解析】利用复数的除法运算化简，再利用复数模长公式求出结果. z i =【详解】解：，z i =+2=故选：．C 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模长运算. 复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下： (1)分子、分母同时乘分母的共轭复数； (2)对分子、分母分别进行乘法运算； (3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模． 6．若复数z 满足z （2﹣i ）＝1+4i （i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数为（ ）A ．B ．C ．D ．2955i -+2955i --2955i +2955i -【答案】B【分析】由复数的除法运算求出复数z ，再写出z 的共轭复数．【详解】由z （2﹣i ）＝1+4i ， 得z ＝＝＝， 142ii +-(14)(2)(2)(2)i i i i ++-+2929555i i -+-=+所以复数z 的共轭复数为． 2955z i -=-故选：B ．7．某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1万千克莲藕，成本增加1万元销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万千克）满足y x （为常数），若种植3万千克，销售利润是万元，则要使销售利润最大，3216=-++y x ax x a 232每年需种植莲藕（ ） A ．6万千克 B ．8万千克 C ．7万千克 D ．9万千克【答案】B【分析】由已知求参数a ，再利用导数研究函数的单调性，进而确定销售利润最大时每年需种植莲藕量.【详解】设当莲藕种植量为万千克时，销售利润为万元，则x ()g x （）．()3232112266g x x ax x x x ax =-++--=-+-010x <≤∵，()32123333262g a =-⨯+⨯-=∴，即，则，2a =()321226g x x x =-+-()()2114822g x x x x x '=-+=--当时，，当时，，()0,8x ∈()0g x ¢>()8,10x ∈()0g x ¢<∴在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值， ()g x ()0,8()8,108x =()g x 故要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万千克． 故选：B ．8．由函数的图象与轴围成图形的面积为（ ）()3cos ,,22f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭x A ． B ． C ．D ．π22π1【答案】B【分析】依题意可得，根据微积分基本定理计算可得；()3220cos S x dx ππ=-⎰【详解】解：依题意可得 ()()33222230cos sin |sinsin 222S x dx x ππππππ⎛⎫=-=-=---= ⎪⎝⎭⎰故选：B9．若不等式对恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） 22ln 3x x x ax ≥-+-,()0x ∈+∞A ． B ．C ．D ．(],0-∞[)0,∞+(],4∞-[)4,+∞【答案】C【分析】由已知条件推导出，，令，利用导数求出函数32ln a x x x ≤++0x >()32ln f x x x x =++()f x 的最小值，由此能求出实数的取值范围．a 【详解】解：对恒成立， 22ln 3x x x ax ≥-+- ,()0x ∈+∞，， 32ln a x x x∴≤++0x >令， ()32ln f x x x x=++则， ()22223231x x f x x x x +-'=+-=当时，，当时，， (0,1)x ∈()0f x '<(1,)x ∈+∞()0f x ¢>∴函数在上递减，在上递增， ()f x ()0,1()1,+∞所以()()min 14f x f ==．4a ∴≤实数的取值范围是，．∴a (-∞4]故选：C ．10．函数的大致图象为（ ）2e x y x =A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】求导分析函数单调性,并根据函数的正负判断即可.【详解】由题意可知，()22e e 2e x x xy x x x x =+=+'当或时，，当时，，<2x -0x >0y >'A A A A 20x -<<0'<y 所以在和上单调递增，在上单调递减，且当时，. 2e x y x =(),2-∞-()0,∞+()2,0-0x <2e 0x y x =>故选：A.11．设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，()f x R ()f x 'x ()()2f x f x x =-+0x <，若，则实数的最小值为 ()21f x x '<+(1)()22f a f a a -≤-+-a A ．-1 B ．C ．D ．112-12【答案】C【分析】构造函数，因为，所以，在为单调()()2g x f x x x =--()21f x x '<+()0g x '<()g x (),0-∞递减函数,在根据，可得，即得为偶函()()2f x f x x =-+()()()()20g x g x f x f x x --=---=()g x 数,再将，等价变形，可得()()122f a f a a -≤-+-()()()()()()22111f a a a f a a a -----≤-----，结合的单调性，即可求解.()()1g a g a -≤-()g x 【详解】设，则，()()2g x f x x x =--()()21g x f x x '-'=-因为当时，，则 0x <()21f x x '<+()0g x '<所以当时，为单调递减函数,0x <()g x 因为，()()2g x f x x x =--所以，()()2g x f x x x -=--+又因为，()()2f x f x x =-+所以，即为偶函数,()()()()20g x g x f x f x x --=---=()g x 将不等式，等价变形得，即()()122f a f a a -≤-+-()()()()()()22111f a a a f a a a -----≤-----,()()1g a g a -≤-又因为为偶函数，且在单调递减，则在是单调递增，，解得，()g x (),0-∞()0,+∞1a a -≤12a ≥所以的最小值为. a 12【点睛】本题考查了构造函数，函数的单调性，奇偶性及绝对值不等式的解法，难点在于准确的构造新函数，再根据函数的性质进行求解，属中档题.()()2g x f x x x =--12．已知，则（ ） 0.2111.2,,9a b c e ===A ． B ． a b c <<c<a<b C ． D ．a cb <<c b a <<【答案】C【分析】构造函数，，利用导数研究函数()()10xf x e x x =-->()(1)(1)(01)x xg x x e x e x -<--<=+的单调性，得出，的单调性，得出，令，可得出，再由得出的()f x ()g x 1(0)x e x x >+>0.2x=a c <，令，得出，从而得出结果． 21(01)1x xe x x+<<<-0.1x =c b <【详解】解：先证，令，则，1(0)xe x x >+>()()10xf x e x x =-->()10x f x e '=->可知在上单调递增，所以，即，()f x ()0,∞+()()00f x f >=1(0)x e x x >+>令，则，所以；0.2x =0.2 1.2e >a c <再证即证， 21(01)1xxe x x+<<<-(1)(1)x x x e x e -+>-令，则， ()(1)(1)(01)x x g x x e x e x -<--<=+()()0x xg x x e e -'=->所以在上单调递增，所以，即， ()g x ()0,1()()00g x g >=21(01)1xxe x x+<<<-令，则，所以，从而． 0.1x =0.2119e <c b <a c b <<故选：C.二、填空题13．已知复数满足，则______. z 240z +=z =【答案】2i ±【分析】设，求出，由复数相等解出即可.()i ,z a b a b =+∈R 2z ,a b 【详解】设，则，，()i ,z a b a b =+∈R ()2222i 2i z a b a b ab =+=-+222442i 0z a b ab +=-++=则，解得，故.2240,20a b ab -+==02a b =⎧⎨=±⎩2i z =±故答案为：. 2i ±14．______．x =⎰【答案】π【分析】根据定积分的几何意义即可求解. 【详解】由，y =()2224x y -+=根据定积分的几何意义表示面积的，x ⎰()2224x y -+=14所以， 201π2π4x =⨯=⎰故答案为：.π15．对于函数有下列命题： 22,0()12,02x x e x f x x x x ⎧⋅≤⎪=⎨-+>⎪⎩①在该函数图象上一点（﹣2，f （﹣2））处的切线的斜率为； 22e -②函数f (x )的最小值为；2e-③该函数图象与x 轴有4个交点；④函数f (x )在（﹣∞，﹣1]上为减函数，在（0，1]上也为减函数. 其中正确命题的序号是_____. 【答案】①②④【解析】求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③.【详解】x ≤0时，f (x )＝2xe ，f ′(x )＝2（1+x ）e ，故f ′（﹣2）＝，①正确； 22e -且f (x )在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，故x ≤0时，f (x )有最小值f （﹣1）＝，2e-x ＞0时，f (x )＝在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故x ＞0时，f (x )有最2122x x -+小值f （1）＝ 122e->-故f (x )有最小值，②④正确；2e-令得，令得，故该函数图象与x轴有3个交点，③错误； 20x x e ⋅=0x =21202x x -+=x =故答案为：①②④【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数判断函数的单调性、求函数的最值一定注意定义域.16．设为虚数单位，则的虚部为______． i 11ii-+【答案】1-【解析】根据复数除法运算化简复数，进而得结果【详解】()()()()2211112211112i i i i i ii i i i i -⋅---+-====-++⋅--故答案为：1-【点睛】易错点睛：本题考查了复数的实部和虚部，在解题时一般利用分子、分母同乘分母的共轭复数进行运算，化简为的形式，b 就是这个复数的虚部，一定要注意符号，考查学生的运算a bi +求解能力，属于易错题.三、解答题17．已知是虚数单位，复数，R .i ()()221i z m m m =---m ∈(1)当复数为实数时，求的值； z m (2)当复数纯虚数时，求的值. z m 【答案】(1)或； 11-(2). 0【分析】(1)虚部为零，则为实数； (2)虚部不为零，实部为零，则为纯虚数. 【详解】（1）当时，得；210m -=1m =±（2）当时，得.22010m m m ⎧-=⎨-≠⎩0m =18．已知函数.321()213f x x x =-++（1）求的单调区间；()f x （2）求函数在区间上的最大值与最小值.()f x []1,2-【答案】（1）单调递增区间为；单调减区间为和；（2）；[]0,4(),0∞-()4,+∞()min 1f x =. ()max 193f x =【解析】（1）求出导函数，令，求出单调递增区间；令，求出单调递减区间.()0f x ¢>()0f x '<（2）求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可求解. 【详解】1函数的定义域是R ，()()f x ，2()4f x x x '=-+令，解得 ()0f x '≥04x ≤≤令，解得或， ()0f x '<>4x 0x <所以的单调递增区间为， ()f x []0,4单调减区间为和； (),0∞-()4,+∞2由在单调递减，()()()1f x [)1,0-在单调递增， []0,2所以，()()min 01f x f ==而，，()81928133f =-++=()11012133f -=++=故最大值是. ()9231f =19．(1)已知函数在与时都取得极值，求、的值.()32f x x ax bx c =+++23x =-1x =a b (2)曲线的一条切线的斜率为2，求该切线的方程.ln 1y x x =++【答案】(1)；(2).1,22a b =-=-2y x =【分析】(1)利用函数的极值列方程，求参数； (2)利用导数的几何意义求解.【详解】(1)因为，所以.()32f x x ax bx c =+++()232f x x ax b '=++由，()21240,1320393f a b f a b ⎛⎫-=-+==++= ⎪⎝'⎭'解得，.1,22a b =-=-(2)由函数y 可得，， ln 1x x =++11,0y x x=+>令，得，故切点横坐标为1，112x +=1x =当时，， 1x =ln1112y =++=所以切点坐标为，()1,2所以切线方程为，即.()221y x -=-2y x =20．设函数()32241=+-+f x x x x （1）求曲线在点处的切线方程； ()y f x =()()1,1f （2）求函数的极值.()f x 【答案】（1）；（2）极大值为，极小值为. 33y x =-91327-【解析】（1）首先计算得到切点为，再求导代入得到斜率，利用点斜式即可()10f =()1,01x =k 得到切线方程.（2）首先求出的单调区间，再根据单调区间即可得到函数的极值. ()f x 【详解】（1），切点为.()112410=+-+=f ()1,0，.()2344'=+- f x x x ()13443'∴==+-=k f 曲线在点处的切线方程为，即.()y f x =()()1,1f 3(1)y x =-33y x =-（2）()()()2344322'=+-=-+ f x x x x x 令，解得，. ()0'= f x 12x =-223x =，，为增函数，(),2x ∈-∞-()0f x ¢>()f x ，，为减函数，22,3⎛⎫∈- ⎪⎝⎭x ()0f x ¢<()f x ，，为增函数. 2,3⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭x ()0f x ¢>()f x 则函数的极大值为，()f x ()288819-=-+++=f 极小值为. 28881313279327f ⎛⎫=+-+=- ⎪⎝⎭【点睛】本题第一问考查导数的几何意义，第二问考查导数的极值问题，属于简单题.21．（1）求导函数.()2ln 2xx f x x +=（2）求定积分3-⎰【答案】（1）；（2）. 1312ln 22ln 2x x x x x ++--92π【分析】（1）利用基本初等函数的导数公式以及求导法则进行计算即可； （2）根据定积分的几何意义进行求解.【详解】（1）对求导得； ()f x ()()214312ln 22ln 212ln 22ln 2x x x x x x x x x x f x x x +⎛⎫+⋅-+ ⎪+--⎝⎭'==（2，则，0y =≥()2290x y y +=≥∴表示的是上半圆的面积， 3-⎰()2290x y y +=≥∴. 392π-=⎰22．已知函数．2()ln 3f x x ax x =+-(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的极小值；()f x ()()1,1f =2y -()f x (2)若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数1a =[]12,1,2x x ∈12x x <()()()211212m x x f x f x x x -->的取值范围．m 【答案】(1)2-(2)(],6∞--【分析】（1）利用求得，然后结合的单调性求得的极小值.()'10f =a ()f x ()f x （2）将不等式转化为，通过构造函数法，结合导()()()211212m x x f x f x x x -->1212()()m m f x f x x x ->-数来求得的取值范围. m 【详解】（1）因为的定义域为，2()ln 3f x x ax x =+-()0,∞+所以． ()'123f x ax x=+-由函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－2， 得，解得a ＝1．()'11230f a =+-=此时． ()'1(21)(1)23x x f x x x x--=+-=当和时，； 10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1,+∞()'0f x >当时，． 1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()'0f x <所以函数f (x )在和上单调递增，在上单调递减， 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭所以当x ＝1时，函数f (x )取得极小值．()1ln1132f =+-=-（2）由a ＝1得．()2ln 3f x x x x =+-因为对于任意，当时，恒成立， []12,1,2x x ∈12x x <()()()211212m x x f x f x x x -->所以对于任意，当时，恒成立， []12,1,2x x ∈12x x <1212()()m m f x f x x x ->-所以函数在上单调递减． ()m y f x x =-[]1,2令，， 2()()ln 3m m h x f x x x x x x =-=+--[]1,2x ∈所以在[1，2]上恒成立， ()'21230m h x x x x=+-+≤则在[1，2]上恒成立．3223m x x x ≤-+-设，()()322312F x x x x x =-+-≤≤则． ()2'211661622F x x x x ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭当时，，所以函数F (x )在上单调递减，[]1,2x ∈()'0F x <[]1,2所以，()()26F x F ≥=-所以，故实数m 的取值范围为．6m ≤-(],6∞--【点睛】求解不等式恒成立问题，可考虑采用分离常数法，分离常数后，通过构造函数法，结合导数来求得参数的取值范围.。

高二下学期3月月考数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f'(x0)=0，那么x=x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)=x3在x=0处的导数值f'(0)=0,所以，x=0是函数f(x)=x3的极值点.以上推理中（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 结论正确2. （2分）已知函数f（x）=f′（﹣1）x2+3x，则f′（1）等于（）A . ﹣1B . 1C . ﹣5D . 53. （2分）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A ， B ， C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为（）A . ①②③B . ①③②C . ②③①D . ③①②4. （2分）曲线y=x3－2x在点(1,－1)处的切线方程是（）A . x－y+2=0B . 5x+4y－1=0C . x－y－2=0D . x+y=05. （2分） (2018高二下·四川期中) 函数的单调增区间为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高三上·西安期中) 已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1 ， x2（x1＜x2）（）A .B .C .D .7. （2分）右图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续逐个叠放下去，那么在第七个叠放的图形中小正方体木块数应是（）A . 25B . 66C . 91D . 1208. （2分）已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1为奇函数，则不等式f（x）＜ex的解集为（）A . （﹣∞，0）B . （0，+∞）C . （﹣∞，e4）D . （e4 ，+∞）9. （2分）已知，其中a>0，如果存在实数t,使，则的值为（）A . 必为正数B . 必为负数C . 必为非负D . 必为非正10. （2分）不等式的解集为（）A . （﹣∞，3）B . （﹣2，3]C . （﹣∞，﹣2）∪[3，+∞）D . （﹣∞，3]二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）设f（x）=，则∫02f（x）dx=________12. （1分） (2017高二下·延安期中) 如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣3是函数y=f（x）的极值点；②﹣1是函数y=f（x）的最小值点；③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；④y=f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增．则正确命题的序号是________．13. （1分）求的导数________．14. （1分）已知（3x2+k）dx=16，则k=________15. （1分） (2015高二下·霍邱期中) 函数y=xex在其极值点处的切线方程为________．三、解答题 (共6题；共60分)16. （15分） (2019高三上·山西月考) 已知、、均为正实数.（1）若，求证：（2）若，求证：（3）若，求证：17. （10分） (2016高一上·扬州期末) 某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P和Q（万元），它们与投入资金m（万元）的关系有经验公式P= m+65，Q=76+4 ，今将150万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投资金额不低于25万元．（1）设对乙产品投入资金x万元，求总利润y（万元）关于x的函数关系式及其定义域；（2）如何分配使用资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？18. （5分） (2017高二下·桂林期末) 用分析法证明：已知a＞b＞0，求证﹣＜．19. （5分）已知函数f（x）=lnx（Ⅰ）若函数F（x）=tf（x）与函数g（x）=x2﹣1在点x=1处有共同的切线l，求t的值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若不等式mf（x）≥a+x对所有的都成立，求实数a的取值范围．20. （10分） (2015高二下·克拉玛依期中) 已知函数f（x）=48x﹣x3 ，x∈[﹣3，5]（1）求单调区间；（2）求最值．21. （15分） (2019高二下·六安月考) 已知函数 .（1）当时，求函数的最小值；（2）若在区间上有两个极值点 .（）求实数的取值范围；（）求证： .（3）若在区间上有两个极值点 . （）求实数的取值范围；（）求证： .参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、答案：略2-1、答案：略3-1、答案：略4-1、答案：略5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、答案：略二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共60分) 16-1、答案：略16-2、答案：略16-3、答案：略17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、答案：略19-1、20-1、答案：略20-2、答案：略21-1、答案：略21-2、答案：略21-3、答案：略。

高二理科数学月考试题一第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、下列没对向量垂直的有（ ）对（ ）A ．(3,4,0),(0,0,5)B ．(3,1,3),(1,0,1)-C ．(2,1,3),(6,5,7)--D ．(6,0,12),(6,5,7)-2、已知向量(,2,5)a x =-和(1,,3)b y =-平行，则xy 为A ．4B ．3C ．-2D ．13、函数()22ln f x x x =-的单调递增区间是 A ．(0,1) B ．2(0,)4 C ．1(,)2+∞ D ．1(,0)2-1(,)2+∞ 4、曲线x y e =在点2(2,)e 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为A ．212eB ．22eC ．2eD ．294e 5、已知函数()32()1f x x ax a xb =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是A ．12a -<<B ．36a -<<C ．3a <-或6a >D ．1a <-或2a >6、如图，平面六面体1111ABCD A B C D -，其中0014,3,3,90,60AB AD AA BAD BAA '===∠=∠=，0160DAA ∠=,则1AC 的长为A ．55B ．65C ．85D ．957、曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是A ．5B ．25C ．35D ．08、已知3,(1,2,0),()4a c a c ==-=，则cos ,a c =A ．13B ．3C ．3D ．3 9、,,a b c 为三个非零向量，则①对空间任一向量p ，存在唯一实数组(,,)x y z ，使p xa yb zc =++；②若//,//a b b c ，则//a c ；③若a b b c ⋅=⋅，则a c =；④()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，以上说法一定成立的个数A ．0B ．1C ．2D ．310、已知函数()y xf x '=的图象如右图所示（其中：()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是A ．111111B ．111111C ．111111D ．111111A ．111111B ．111111C ．111111D ．111111A ．111111B ．111111C ．111111D ．111111第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..11、在ABC ∆中，已知15(1,2,3),(2,2,3),(,,3)22A B C --，则AB 边上的中线CD 的长是12、在曲线的切线323610y x x x =++-斜率中，最小值是13、已知函数()()cos sin 4f x f x x π'=+，则()4f π的值为 14、直线y a =与函数()33f x x x =-的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是 15、已知向量(2,2,0),(2,0,2)a b ==-，若存在单位向量n ，使n a ⊥，且n b ⊥， 则n 为三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16、（本小题满分12分）设函数()28ln 3f x x x =-+. （1）求曲线()y f x =在点(1,4)处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间.17、（本小题满分12分）如图边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是111,CC B C 的中点.（1）证明：1A N ⊥平面1AMD ；（2）求二面角1M AD D --的余弦值.18、（本小题满分12分）已知a 为实数，()2(4)()f x x x a =--. （1）求导数()f x '；（2）若1x =-是函数()f x 的极值点，求()f x 在[]2,2-上的最大值和最小值；（3）若()f x 在(,2]-∞-和[2,)+∞上都是递增的，求a 的取值范围.19、（本小题满分12分）某厂生产产品x 件的总成本()32120075c x x =+（万元），已知产品单价P （万元）与产品件数x 满足：2k P x=，生产件这样的产品单价为50万元. （1）设产量为x 件时，总利润为()L x （万元），求()L x 的解析式；（2）产量x 定为多少件时总利润()L x （万元）最大？并求最大值（精确都1万元）20、（本小题满分13分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，24,AB AD BD PD ===⊥平面ABCD.（1）证明：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）若二面角P BC D --大小为4π，求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值.21、（本小题满分14分）已知()ln xf x e x =. （1）求()()y f x f x '=-的单调区间与极值；（2）证明：()1f x '>.。

一、单选题1．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则()y f x =P 8y x =-+()()55lim x f x f x x∆→+∆--∆=∆（ ）A ．B ．C ．D ．12-21-2-【答案】D【分析】依题意可知切点坐标，由切线方程得到，利用导数的概念解出即可. ()51f '=-【详解】依题意可知切点，()5,3P 函数的图象在点处的切线方程是， ()y f x =P 8y x =-+ ，即∴()51f '=-()()055lim 1x f x f x∆→+∆-=-∆ ∴()()()()05555lim 2lim2x x f x f x f x f x xx∆→∆→+∆--∆+∆--∆=∆∆又()()()()5555limlim12x x f x f x f x f x x ∆→∆→+∆--∆+∆-==-∆∆∴()()()()05555lim 2lim 22x x f x f x f x f x xx∆→∆→+∆--∆+∆--∆==-∆∆即()()55lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆故选：D.2．若曲线在处的切线垂直于直线，则（ ） ()1ln y a x x =--2x =22y x =-+=a A ．2 B ．1C ．4D ．3【答案】B【分析】求导，利用导函数的几何意义得到切线斜率，根据两直线垂直得到斜率乘积为-1，列出方程，求出的值. a 【详解】，，()1f x a x'=-()122f a '=-由题意得：，解得：1212a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭1a =故选：B3．丹麦数学家琴生（Jensen ）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性19与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的()f x (),a b ()f x '()f x '(),a b 导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在()f x ''(),a b ()0f x ''>()f x (),a b 上是“凹函数”的是（ ）()0,2πA ． B ．C ．D ．()sin f x x x =-2()sin f x x x =+()ln f x x x =+()ln x f x e x x =-【答案】B【分析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出．【详解】对A ，，当时，，所以A 错误； ()()1cos ,sin f x x f x x '''=-=(),2x ∈ππ()0f x ''<对B ，，在上恒成立，所以B 正确；()2cos f x x x '=+()2sin 0f x x ''=->()0,2π对C ，，，所以C 错误；()11f x x '=+()210f x x''=-<对D ，，，因为，所以D 错误．()ln 1xf x e x '=--()1xf x e x ''=-110e f e e e ⎛⎫''=-< ⎪⎝⎭故选：B ．4．若函数的极值点是1，则（ ）()()2ln f x x x ax x =+-()2=f 'A ． B ． C ． D ．14ln 21+2ln 21+2ln2【答案】B【分析】求导，利用求得，进而求出. (1)=0f '=2a (2)f '【详解】因为，2()()ln f x x x ax x =+-所以 21()=1+(2)ln +()f x x a x x ax x--⋅'，1(2)ln x a x a x =+-+-由题意，得，即， (1)=0f '20a -=解得，即， =2a ()=1+2(1)ln f x x x x --'则. (2)=1+2ln2f '故选：B.5．已知函数，若对任意，都有成立，则a 的()()()2ln f x x x x x a a R =+-∈1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()'>xf x f x 取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．9(,4-∞3(,2-∞(-∞(3),-∞【答案】C【分析】求出函数的导数，再对给定不等式等价变形，分离参数借助均值不等式计算作答. ()f x 【详解】对函数求导得：，()()2ln f x x x x x a =+-22(()1ln ())f x x x x x a a '=+--++，，1[,2]2x ∀∈()()()22[2(1ln ln ]())x x a x x x x xf x f x x x a a x '>⇔+>+-++--则，，而，即时“=”，1[,2]2x∀∈122a x x <+12x x +≥=12x x =x =于是得 2a <a <所以a 的取值范围为. (-∞故选：C【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.6．函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）()()e ln xf x x m =-+[]0,1m A ． B ．[)1,+∞11,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．D ．(]0,11,1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】A【分析】根据函数在上单调递增，可得在上恒成立，然后()()e ln xf x x m =-+[]0,1()0f x ¢³[]0,1利用分离参数法即可求解.【详解】因为，所以. ()()e ln x f x x m =-+()1e xf x x m'=-+因为函数在上单调递增，()()e ln xf x x m =-+[]0,1所以在上恒成立， ()1e 0xf x x m'=-≥+[]0,1所以在上恒成立，即，即可 1e x m x ≥-[]0,1max1e xm x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭[]0,1x ∈令，则 ()1e xg x x =-[]0,1x ∈由函数单调性的性质知，在上减函数， ()g x []0,1，即. ()()0max 1001e g x g ==-=m 1≥所以实数的取值范围为。

高二下3月月考数学(理)试卷高二下3月月考数学(理)试卷第一卷一选择题(每小题4分共40分)1, 如果复数的实部和虚部互为相反数,那么实数b的值为－2i－2,3,下面的四个不等式: ①②③④,其中不成立的有1个2个3个4个4, 甲.乙.丙三家公司承包6项工程, 甲承包3项,乙承包2项,丙承包1项,不同的承包方案有( )种5, 已知随机变量_的分布列如下表(其中a为常数):_1234P0.10.20.40.2a则下列计算结果错误的是6, 在的展开式中,常数项是7, 有一段演绎推理是这样的:〝直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线∥平面,直线平面,则直线∥直线〞的结论显然是错误的,这是因为推理形式错误大前提错误小前提错误非以上错误8,除以8的余数是71329, 甲.乙两人练习射击, 命中目标的概率分别为和, 甲.乙两人各射击一次,有下列说法:① 目标恰好被命中一次的概率为② 目标恰好被命中两次的概率为③ 目标被命中的概率为④目标被命中的概率为以上说法正确的序号依次是②③①②③②④①③10, 平面内有条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,则这条直线把平面分割成( )个区域二, 填空题(每小题4分共16分)11, 若复数同时满足为虚单位), 则12, 对于下式,有如下结论:① ②③ 正确的结论为:(只填正确选项的序号)13, 已知某种子的发芽率为, 现随机种下这样的种子3粒,则恰好有2粒发芽的概率为14,一个类似于杨辉三角的三角形数组(如下图)满足:(1)第1行只有1个数1;(2)当n≥2时,第n行首尾两数均为n;(3)当n_gt;2时,中间各数都等于它肩上两数之和,则第n行(n≥2)的第2个数是___________122343477 4 …………………………………………………………高二下3月月考数学(理)试卷第二卷二.填空题答案 (每小题4分共16分)11. ;12.;13. ; 14. ;三.解答题(共44分)15,(满分8分) 已知抛物线(1) 若直线与抛物线相切于点,试求直线的方程? (4分)(2)若直线过点,且与轴平行,求直线与抛物线所围成的封闭区域的面积?(4分)16, (满分9分)(1) 6个人站成一排, 其中甲.乙.两三必须相邻的排法有多少种? (3分) (作具体数字作答)(2) 从1.3.5.7中任选两个数, 从0.2.4.6中任选两个数, (3分)一共可以组成多少个四位数? (用具体数字作答)(3) 若,求出的值 (算出具体数字) (3分)17, 已知6件产品中, 有2件次品,现从中任取3件,试求 (9分)(1) 所取出的3件产品中最多有1件次品的概率? (概率用分数表示) (3分)(2) 取出的3件产品中所含次品数的分布列? (概率用分数表示) (6分)18, (满分9分)某轮船航行过程中每小时的燃料费与其速度的立方成正比,已知当速度为10千米/小时,燃料费10元/小时,其他与速度无关的费用每小时160元,设每千米航程成本为,(1) 试用速度表示轮船每千米航程成本(3分)(2) 轮船的速度为多少时,每千米航程成本最低? (6分)19, (满分9分)(1) 已知的三条边分别为, 用分析法证明: (3分) (不用分析法证明给分)(2) 已知数列的通项公式,记 (6分),①求并猜出的表达式. (2分)②用数学归纳法证明你的猜想. (4分)参考答案一, 选择题1,B2, A 3,B 4,B5,D 6,C 7, C 8, C 9,A 10,C二,填空题11, 12,0.20736 13, 14, 一三,解答题15,(1) 或(2) 且(3)16,(1)1631 (2) 156 (3) 11517,(1)的分布列为1234(2)18,(1) (2) 耗油 11.25升19,(1) ,猜想:(2) 证明:略。

高二下学期数学3月份月考试卷卷一注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题，共60分）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．在等比数列{a n}中，若a1＝27，，则a3＝（ ）A．3或﹣3B．3C．﹣9或9D．92．在等差数列{a n}中，已知a10＝13，a3+a4+a9+a16＝28，则{a n}的前17项和为（ ）A．166B．172C．168D．1703．若数列{}是等差数列，a1＝l，a3＝﹣，则a5＝（ ）A．﹣B．C．D．﹣4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝310，S20＝930，则S30＝（ ）A．1240B．1550C．1860D．21705．在等差数列{a n}中，a1+a3＝8，a2a4＝40，则公差为（ ）A．1B．2C．3D．46．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S8≥S7≥S9，则公差d的取值范围是（ ）A．B．C．D．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若＝，则＝（ ）A．B．43C．D．418．已知等差数列{a n}的首项a1＝2，公差d＝8，在{a n}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{b n}，则b2023＝（ ）A．4044B．4046C．4048D．40509．等差数列{a n}的前n项和是S n，且满足S5＝S10，若S n存在最大值，则下列说法正确的是（ ）A．a1+a16＞0B．a2+a15＜0C．a1+a14＜0D．a2+a14＞010．已知等比数列{a n}满足：a2+a4+a6+a8＝20，a2⋅a8＝8，则的值为（ ）A．20B．10C．5D．11．已知数列{a n}满足a n＝2n+kn，若{a n}为递增数列，则k的取值范围是（ ）A．（﹣2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，2）12．设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若，则＝（ ）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．等差数列{a n}的前n项和是S n，若S n＝3（n+1）2﹣n﹣a，则实数a＝ ．14．若等比数列{a n}的各项均为正数，且，则lna1+lna2+⋯+lna7＝ ．15．在等比数列{a n}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，记数列{a n}的前n项和、前n项积分别为S n，T n，则的最大值是 ．16．首项为正数，公差不为0的等差数列{a n}，其前n项和为S n，现有下列4个命题：①若S8＜S9，则S9＜S10；②若S11＝0，则a2+a10＝0；③若S13＞0，S14＜0，则{S n}中S7最大；④若S2＝S10，则S n＞0的n的最大值为11．使其中所有真命题的序号是 ．三．解答题（共6小题，满分70分）17．已知等差数列{a n}满足a4＝6，a6＝10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}各项均为正数，其前n项和T n，若b3＝a3，b5＝a9，求T n．18．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a5﹣a1＝90，S4＝90．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}中，满足b n＝a n+log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列的前n项和，求T n．20．已知数列{a n}中，a2＝，a n＝a n+1+2a n a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令{}的前n项和为T n，求证：T n＜．21．在等差数列{a n}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．22．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足a1＝1，a n+1＝2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n＝，设数列{b n}的前n项和为T n，若∀n∈N*，不等式T n﹣na＜0恒成立，求实数a的取值范围．河南省南阳市第一中学学校2022-2023高二下学期数学3月份月考试卷卷一参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【解答】解：因为a3是a1和a5的等比中项，则，解得a3＝±3，由等比数列的符号特征知a3＝3．故选：B．2．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a3+a4+a9+a16＝4a8＝28，∴a8＝7，又a10＝13，∴S17＝．故选：D．3．【解答】解：数列{}是等差数列，设其公差为d，则2d＝，∴，可得，即a5＝．故选：D．4．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，∴S10，S20﹣S10，S30﹣S20构成等差数列，∴2（S20﹣S10）＝S10+S30﹣S20，即2×（930﹣310）＝310+S30﹣930，∴S30＝1860．故选：C．5．【解答】解：等差数列{a n}中，a1+a3＝8，a2a4＝40，∴，解得a1＝1，d＝3．故选：C．6．【解答】解：∵{a n}为等差数列，a1＝2，∴，∴．故选：A．7．【解答】解：设S3＝x，则S6＝7x，由＝，可得q≠1，因为{a n}为等比数列，所以S3，S6﹣S3，S9﹣S6仍成等比数列．因为＝＝6，所以S9﹣S6＝36x，所以S9＝43x，故＝．故选：A．8．【解答】解：设数列{b n}的公差为d1，由题意可知，b1＝a1，b5＝a2，b5﹣b1＝a2﹣a1＝8＝4d1，故d1＝2，故b n＝2n，则b2023＝2023×2＝4046，故选：B．9．【解答】解：因为等差数列S n存在最大项，故等差数列的公差d＜0，又S5＝S10，即a6+a7+a8+a9+a10＝0，即a8＝0，则a1+a16＜a1+a15＝0，故选项A错误；a2+a15＜a1+a15＝0，故选项B正确；a1+a14＞a1+a15＝0，故选项C错误；而a2+a14＝a1+a15＝0，故选项D错误．故选：B．10．【解答】解：在等比数列{a n}中，由等比数列的性质可得：a4⋅a6＝a2⋅a8＝8．所以．故选：D．11．【解答】解：若{a n}为递增数列，则a n+1﹣a n＞0，则有2n+1+k（n+1）﹣（2n+kn）＝2n+1﹣2n+k＝2n+k＞0，对于n∈N+恒成立．∴k＞﹣2n，对于n∈N+恒成立，∴k＞﹣2．故选：A．12．【解答】解：根据条件：＝．故选：A．二．填空题（共4小题）13．【解答】解：因为，当n≥2时，，因为{a n}是等差数列，所以当n＝1时，a1＝11﹣a也符合上式，故a＝3．故答案为：3．14．【解答】解：∵{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a2a6＝a42，又a42+a2a6＝2e6，∴2a42＝2e6，又a4＞0，∴a4＝e3，∴lna1+lna2+•••+lna7＝ln（a1a2•••a7）＝lna47＝7lne3＝21．故答案为：21．15．【解答】解：等比数列{a n}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，所以q＝＝2，a1＝＝＝1，所以数列{a n}的前n项和为S n＝＝2n﹣1，前n项积为T n＝1×2×22×...×2n﹣1＝21+2+...+（n﹣1）＝，所以＝＝，当n＝2或n＝3时，＝3，所以的最大值是23＝8．故答案为：8．16．【解答】解：对于①，S8＜S9，则a9＞0，无法推得a10是否大于0，即S9＜S10无法确定，故①错误；对于②，∵S11＝0，∴＝，即a2+a10＝0，故②正确；对于③，S13＞0，S14＜0，则，即a7＞0，，即a7+a8＜0，故a7＞0，a8＜0，公差d＜0，首项为正数，故{S n}中S7最大，故③正确；对于④，若S2＝S10，则a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10＝0，即4（a3+a10）＝0，故a3+a10＝2a1+11d＝0，即，∵a1＞0，∴d＜0，∴＝＝，令S n＞0，则0＜n＜12，n∈N*，故S n＞0的n的最大值为11，故④正确．故答案为：②③④．三．解答题（共6小题）17．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a4＝6，a6＝10，∴，解得，故数列{a n}的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣2；（2）设各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q（q＞0），∵a n＝2n﹣2，则a3＝4，a9＝16，∵a3＝b3，a9＝b5，∴b3＝4，b5＝16，即，解得2或﹣2（舍去），∴．18．【解答】解：（1）记等比数列{a n}的公比为q，由a5﹣a1≠0可知q≠1，，，解得a1＝6，q＝2，所以数列{a n}的通项公式为．（2）∵，∴＝3×++n•log23＝3×2n+1++n•log23﹣6．19．【解答】解：（1）设公差为d，则∵S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列∴4a1+6d＝14，（a1+2d）2＝a1（a1+6d）∵d≠0，∴d＝1，a1＝2，∴a n＝n+1（2）＝∴T n＝﹣+﹣+…+＝＝．20．【解答】解：（1）由a2＝，a n＝a n+1+2a n a n+1，可得a1＝a2+2a1a2＝+a1，解得a1＝1，又对a n＝a n+1+2a n a n+1两边取倒数，可得﹣＝2，则{}是首项为1，公差为2的等差数列，可得＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，所以a n＝；（2）证明：由（1）可得＝＝（﹣），所以T n＝（1﹣+﹣+﹣+...+﹣+﹣）＝[﹣]，因为n∈N*，所以＞0，则T n＜×＝．21．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项，可得a22＝a1a4，即（a1+2）2＝a1（a1+6），解得a1＝2，则a n＝a1+（n﹣1）d＝2+2（n﹣1）＝2n；（Ⅱ）数列{b n}满足：，可得a1＝，即b1＝8；n≥2时，a n﹣1＝++…+，与，相减可得2＝，即有b n＝2（3n+1），上式对n＝1也成立，可得b n＝2（3n+1），n∈N*；（Ⅲ）＝n（3n+1），则前n项和T n＝（1•3+2•32+…+n•3n）+（1+2+…+n），设S n＝1•3+2•32+…+n•3n，3S n＝1•32+2•33+…+n•3n+1，相减可得﹣2S n＝3+32+…+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1，化简可得S n＝，则T n＝+n（n+1）．22．【解答】解：（Ⅰ）由得，故，∵a n＞0，∴S n＞0，∴＝+1，（2分）∴数列是首项为，公差为1的等差数列．（3分）∴，∴，…（4分）当n≥2时，，a1＝1，…（5分）又a1＝1适合上式，∴a n＝2n﹣1．…（6分）（Ⅱ）将a n＝2n﹣1代入，…（7分）∴…（9分）∵T n﹣na＜0，∴，∵n∈N+，∴…（10分）∴，∵2n+1≥3，，，∴．（12分）。

高二数学下册3月月考试题（有参考答案）高二数学（理科）月考测试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1、复数对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.或2、且,则乘积等于()A．B．C．D．3、有五条线段长度分别为，从这条线段中任取条，则所取条线段能构成一个三角形的概率为（）A.B.C.D.4、已知，则等于（）AB)—1C2D15、在长为12cm的线段上任取一点，并以线段为边作正方形，则这个正方形的面积介于与之间的概率为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．6、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有（）A.280种B.240种C.180种D.96种7、设为曲线:上的点且曲线C在点处的切线的倾斜角的取值范围为，则点的横坐标的取值范围()ABCD8、若为的各位数字之和，如则,记则（）A3B5C8D11二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9、某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为，则电话在响前四声内被接的概率为。

10、已知，则=(最后结果)。

11、某单位有7个连在一起的停车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有种。

12关于二项式，有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数之和是1；②该二项展开式中第六项为；③该二项展开式中系数最大的项为第1002项；④当时，除以的余数是。

其中所有正确命题的序号是。

13、直线与曲线围成图形的面积为，则的值为。

14、将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”.已知直角三角形具有性质：“斜边的中线长等于斜边边长的一半”.仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质：。