下载文档原格式
海淀区高三年级第二学期期末练习数学 〔理科〕第一部分〔选择题 共40分〕一、选择题共8小题，每题5分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
〔1〕已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,4A =，{}1,3,5B =，则U ()C A B = A. {}1 B. {}3,5 C. {}1,6D. {}1,3,5,6 〔2〕已知复数z 在复平面上对应的点为(11)-，，则A. 1z +是实数B. 1z +是纯虚数C. z i +是实数D. z i +是纯虚数 〔3〕已知0x y，则A.11x y B. 11()()22xy C.cos cos x yD.ln(+1)ln(1)x y +〔4〕假设直线0x y a ++=是圆2220x y y +-=的一条对称轴，则a 的值为 A. 1B.1-C. 2D.2-〔5〕设曲线C 是双曲线，则“C 的方程为2214y x -=”是“C 的渐近线方程为2y x =±”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 〔6〕关于函数()=sinx-xcosx f x ，以下说法错误的选项是 A. ()f x 是奇函数 B. 0不是()f x 的极值点 C. ()f x 在(,2π-)2π上有且仅有3个零点D. ()f x 的值域是R〔7A.求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和B. 求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和C. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和D. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和 〔8〕已知集合{}*115M x N x =∈≤≤，集合1A ，2A ，3A 满足①每个集合都恰有5个元素 ②1A 2A 3A M=集合i A 中元素的最大值与最小值之和称为集合i A 的特征数，记为(1,2,3)i X i =，则1X 2+X +3X 的值不可能为 A.37B.39C.48D.57第二部分〔非选择题 共110分〕二、填空题共6小题，每题5分，共30分。
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2018.1第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）复数 A. B. C. D.（2）在极坐标系中，方程表示的圆为（3）执行如图所示的程序框图，输出的值为 A.4 B.5 C.6 D.7（4）设是不为零的实数，则“”是“方程表示 的曲线为双曲线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（5）已知直线与圆相交于两点，且为正三角形，则实数的值为（6）从编号分别为1,2,3,4,5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为 A. B. C. D.12ii+=2i -2i +2i --2i -+Ox 2sin ρθ=k m 0m >221x y m m-=0x y m -+=22:1O x y +=,A B AOB ∆m -15253545（7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：①三棱锥的体积为②三棱锥的四个面全是直角三角形所有正确的说法是A. ①B. ①②C. ②③D. ①③（8）已知点为抛物线的焦点，点为点关于原点的对称点，点在抛物线上，则下列说法错误．．的是 A.使得为等腰三角形的点有且仅有4个 B.使得为直角三角形的点有且仅有4个C. 使得的点有且仅有4个D. 使得的点有且仅有4个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）点到双曲线的渐近线的距离是.（10）已知公差为1的等差数列中，，，成等比数列，则的前100项和为.16F 2:2(0)C y px p =>K F M C MFK ∆M MFK ∆M 4MKF π∠=M 6MKF π∠=M (2,0)2214x y -={}n a 1a 2a 4a {}n a（11）设抛物线的顶点为，经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线和抛物线交于两点，则.（12）已知的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，则.（13）已知正方体的棱长为点是棱的中点，点在底面内，点在线段上，若，则长度的最小值为. （14）对任意实数，定义集合.①若集合表示的平面区域是一个三角形，则实数的取值范围是；②当时，若对任意的，有恒成立，且存在，使得成立，则实数的取值范围为.三、解答题共6小题，共80分。
2018--2018海淀区高三第一学期期末统考数学试卷2018．1一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若πα713=，则（ ） A ．sin α>0且cos α>0 B ．sin α>0且cos α<0 C ．sin α<0且cos α>0 D ．sin α<0且cos α<02．已知直线02)1(:1=-++y x a l 与直线01)22(:2=+++y a ax l 互相垂直，则实数a 的值为（ ）A ．-1或2B ．-1或-2C ．1或2D ．1或-2 3．已知m ，l 是异面直线，那么①必存在平面α，过m 且与l 平行； ②必存在平面β，过m 且与l 垂直；③必存在平面γ，与m ，l 都垂直； ④必存在平面π，与m ，l 的距离都相等。
其中正确的结论是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①④4．（理）要得到函数y=sin2x 的图象，可以把函数)42sin(π-=x y 的图象（ ）A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位（文）要得到函数)42sin(π-=x y 的图象，可以把函数y=sin2x 的图象（ ）A ．向左平移8π个单位B ．向右平移8π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4π个单位5．设圆锥的母线与其底面成30°角，若圆锥的轴截面的面积为S ，则圆锥的侧面积等于（ ）A ．S π21B ．πSC ．2πSD ．4πS6．已知点A （-2，0）及点B （0，2），C 是圆122=+y x 上一个动点，则△ABC 的面积的最小值为（ ）A ．22-B ．22+C ．2D ．222- 7．（理）从8盆不同的鲜花中选出4盆摆成一排，其中甲、乙两盆不同时展出的摆法种数为（ ）A ．1320B ．960C ．600D ．360（文）从8盆不同的鲜花中选出4盆摆成一排，其中甲、乙两盆有且仅有一盆展出的不同摆法种数为（ ）A ．1320B ．960C ．600D ．3608．设函数f(x)的定义域是[-4，4]，其图象如图。
海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科）注意事项： 1．答卷前将学校、班级、姓名填写清楚. 2．第I 卷每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
第II 卷各小题用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试题卷上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1． 设全集}|{},0|{,2x x x N x x M R U ≥=>==集合，则下列关系中正确的是 A ．M N M ∈ B ．M N M ⊆C ．R N M =D ．（U C M ）∩N =2．等差数列{n a }前3项依次为：1，161,a ，则实数a 的值是A ．161B ．41 C ．41-D ．4141-或 3．为了得到函数)32sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2sin =的图象A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度C ．向右平移3π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度4． 若直线1:1:22=+=+y x C by ax l 与圆有两个不同交点，则点P （a ，b ）与圆C 的位置关系是A ．点在圆上B ．点在圆内C ．点在圆外D ．不能确定5．若α、β是两个不同平面，m 、n 是两条不同直线，则下列命题不正确的是 A ．,,//αβα⊥m 则β⊥mB ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αC ．n ∥α，n ⊥β，则α⊥βD ．α∩β=m ，n 与α、β所成的角相等，则m ⊥n6．函数)(x g 的图象与函数)1lg()(-=x x f 的反函数的图象关于原点对称，则函数)(x g 图象大致为A B C D7．若0)1(),,0()(2=-∈>++=f R x a c bx ax x f ，则“a b 2-<”是“0)2(<f ”的 A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件8．为迎接2018年北京奥运会，某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学。
海淀区高三年级第一学期期末练习数学(理科)ﻩﻩ 20１8． 1ﻩ本试卷共4页,150分。
考试时长１２0分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题纸交回。
第一部分(选择题，共４０分）一、选择题共8小题,每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)复数12+=iiﻩﻩﻩ ﻩﻩ ﻩﻩ（A ）2-i ﻩ ﻩ(B)2+i ﻩ （C ）2--iﻩ(D ）2-+i（2）在极坐标系Ox 中，方程2sin ρθ=表示的圆为 ﻩﻩﻩ(A ）ﻩ ﻩ （Ｂ)（Ｃ）ﻩ(D)(３）执行如图所示的程序框图,输出的k 值为(Ａ） 4 （B ） 5 （C) ６ (D) 7 ﻩﻩ ﻩ ﻩ ﻩﻩ(4)设m 是不为零的实数，则“0m >”是“方程221x y m m-=表示双曲线”的ﻩ（A ）充分而不必要条件(B ）必要而不充分条件(C ）充分必要条件ﻩﻩﻩ(D ）既不充分也不必要条件(5)已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ,B 两点，且OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为ﻩﻩﻩ ﻩﻩﻩﻩﻩﻩ ﻩ（Aﻩﻩﻩ（Bﻩﻩ（C或 ﻩ（6)从编号分别为1，２，3,4,５,６的六个大小完全相同的小球中,随机取出三个小球,则恰有两个小球编号相邻的概率为 ﻩ ﻩ ﻩ（A ）15ﻩ ﻩ （B ）25ﻩﻩﻩ （C)35ﻩﻩ （D)45（7)某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中:① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形③所有正确的说法是 ﻩ ﻩ （A)① (Ｂ）①② (C ）②③ （Ｄ)①③ ﻩﻩ ﻩ ﻩ ﻩﻩﻩﻩ ﻩ ﻩﻩ ﻩﻩﻩﻩ ﻩ ﻩﻩ ﻩﻩﻩ （8）已知点F 为抛物线C :()220ypx p =>的焦点，点K 为点F 关于原点的对称点,点M 在抛物线C 上,则下列说法错误．．的是 (A)使得MFK ∆为等腰三角形的点M 有且仅有４个 (Ｂ)使得MFK ∆为直角三角形的点M 有且仅有4个（C)使得4MKF π∠=的点M 有且仅有４个 （D)使得6MKF π∠=的点M 有且仅有4个第二部分（非选择题，共1１0分)二、填空题共6小题,每小题5分，共３0分。
2018北京市海淀区高三数学(理科)(上)期末(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018北京市海淀区高三数学(理科)(上)期末(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018北京市海淀区高三数学(理科)(上)期末(word版可编辑修改)的全部内容。
2018北京市海淀区高三数学（理科)（上)期末 2018. 1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题纸交回。
第一部分(选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）复数12+=ii（A ）2-i （B ）2+i（C ）2--i（D)2-+i （2)在极坐标系Ox 中，方程2sin ρθ=表示的圆为（A ）(B)（C ）（D ）（3）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ） 4 （B) 5 （C) 6 （D ） 7（4）设m 是不为零的实数，则“0m >"是“方程221x y m m-=表示双曲线”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C)充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，且OAB ∆为正三角形，则实数m的值为（A（B（C或（或 （6）从编号分别为1，2，3,4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为（A ）15（B ）25（C ）35（D)45（7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形 ③所有正确的说法是(A)①（B)①②（C ）②③ （D ）①③（8）已知点F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，点K 为点F 关于原点的对称点,点M 在抛物线C 上，则下列说法错误．．的是 （A ）使得MFK ∆为等腰三角形的点M 有且仅有4个 （B ）使得MFK ∆为直角三角形的点M 有且仅有4个（C)使得4MKF π∠=的点M 有且仅有4个 （D)使得6MKF π∠=的点M 有且仅有4个主视图左视图俯视图二、填空题共6小题，每小题5分,共30分。
海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（理科） 2019.01本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）双曲线x y -=22122的左焦点的坐标为（A ）(,)-20 （B ）()0 （C ） (,)-10 （D ）(,)-40 （2）已知向量(,),(,)t ==201a b ，且||⋅=a b a ，则,a b 的夹角大小为 （A ）π6 （B ）π4 （C ）π3 （D ）5π12（3）已知等差数列{}n a 满足12a =，公差d ≠0，且125,,a a a 成等比数列，则d = （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）直线y kx =+1被圆x y +=222截得的弦长为2，则k 的值为（A ）0 （B ）12±（C ）1± （D ）2（5）以正六边形的6个顶点中的3个作为顶点的三角形中，等腰三角形的个数为 （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）12 （6）已知函数()ln af x x x=+ ，则“a <0”是“函数()f x 在区间(,)+∞1 上存在零点”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）已知函数()sin cos ,()f x x x g x =-是()f x 的导函数，则下列结论中错误的是 （A ）函数()f x 的值域与()g x 的值域相同（B ）若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数g()x 的零点（C ）把函数()f x 的图象向右平移π2个单位，就可以得到函数()g x 的图象 （D ）函数()f x 和g()x 在区间ππ(,)44-上都是增函数（8）已知集合{(,)|150,150,,}A s t s t s t =≤≤≤≤∈∈N N . 若B A ⊆，且对任意的(,),(,)a b B x y B ∈∈，均有()()0a x b y --≤，则集合B 中元素个数的最大值为（A ）25 （B ）49 （C ）75 （D ）99第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2018.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为A ．12B ．1C ．2D ．32．在极坐标系中，点π(1,)4与点3π(1,)4的距离为A ．1 BCD3．右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入a 的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图输出的结果为A ．6B ．7C ．8D ．94．已知向量,a b 满足2+=0a b ，()2+⋅=a b a ，则⋅=a bA ．12-B ．12C ．2-D ．25．已知直线l 经过双曲线2214x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是A．12y x =-+B．12y x =C．2y x =D．2y x =-6．设,x y 满足0,20,2,x y x y x -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则22(1)x y ++的最小值为A ．1B ．92C ．5D ．97．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不．都．涂成红色．．．．，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为 A ．14B ．16C ．18D ．208．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱AD ，B 1C 1上的动点，设1,AE x B F y ==．若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是 A ．[0,1] B ．13[,]22 C ．[1,2]D ．3[,2]2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知复数z 满足(1i)2z +=，则z =________．10．在261()x x+的展开式中，常数项为________．（用数字作答）11．若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为________．12．已知圆C :2220x x y -+=，则圆心坐标为_____；若直线l 过点(1,0)-且与圆C 相切，则直线l 的方程为____________．13．已知函数2sin()y x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><.① 若(0)1f =，则ϕ=________；② 若x ∃∈R ，使(2)()4f x f x +-=成立，则ω的最小值是________．14．已知函数||()e cos πx f x x -=+，给出下列命题：①()f x 的最大值为2；②()f x 在(10,10)-内的零点之和为0； ③()f x 的任何一个极大值都大于1. 其中所有正确命题的序号是________．俯视图主视图ABCD1D 1A 1B 1C E F三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在∆ABC 中，2c a =，120B = ，且∆ABC（Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求tan A 的值．16．（本小题满分13分）诚信是立身之本，道德之基.某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一周期．．．．．．，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信度数据统计： 第一周 第二周 第三周 第四周第一个周期95% 98% 92% 88% 第二个周期94% 94% 83% 80% 第三个周期 85% 92% 95% 96% （Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数x ；（Ⅱ）分别从上表每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X 表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X 的分布列和期望； （Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动．根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．17．（本小题满分14分）如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠= ，224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点．将三角形AOD 绕边OD 所在直线旋转到1A OD 位置，使得1120AOB ∠= ，如图2．设m 为平面1A DC 与平面1A OB 的交线．（Ⅰ）判断直线DC 与直线m 的位置关系并证明； （Ⅱ）若直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，求出1A G 的长； （Ⅲ）求直线1A O 与平面1A BD 所成角的正弦值．ABCD1图O DCB2图1A18．（本小题满分13分）已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点．（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．19. （本小题满分14分）已知函数()ln 1af x x x=--． （Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值．20．（本小题满分13分）对于无穷数列{}n a ,{}n b ，若1212max{,,,}min{,,,}(1,2,3,)k k k b a a a a a a k =-= ，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”．其中，12max{,,,}k a a a ,12min{,,,}k a a a 分别表示12,,,k a a a 中的最大数和最小数．已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”． (Ⅰ)若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； (Ⅱ)证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ； (Ⅲ)若121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+ (1,2,3,)n = ，求所有满足该条件的{}n a ．海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）答案及评分标准2018.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.B2.B3. C4.C5.A6. B7.D8.C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分，9. 1i -10.15 11.16312.（1,0）；1)y x =+和1)y x =+13.π6，π214.①②③三、解答题（共6小题，共80分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由∆ABC 面积公式及题设得1sin 2S ac B ==122a a ⨯=，解得1,2,a c ==由余弦定理及题设可得2222cos b a c ac B =+-114212()72=+-⨯⨯⨯-=，又0,b b >∴. (不写b>0不扣分)（Ⅱ）在∆ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B =得：sin sin a A B b ===， 又120B = ，所以A 是锐角（或：因为12,a c =<=）所以cos A ==所以sin tan cos A A A == 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）十二周“水站诚信度”的平均数为x =95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+96=91%12100⨯（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3三个周期“水站诚信度”超过91%分别有3次，2次，3次1212(0)44464P X ==⨯⨯=32112112314(1)44444444464P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32132132330(2)44444444464P X==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32318(3)44464P X==⨯⨯=随机变量X的分布列为X0 1 2 3P1327321532932 171590123232323232EX=⨯+⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1分，结合已有数据，能够运用以下三个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.标准1:会用主题活动前后的百分比变化进行阐述标准2：会用三个周期的诚信度平均数变化进行阐述标准3：会用主题活动前后诚信度变化趋势进行阐述可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：情况一：结论：两次主题活动效果均好.（1分）理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%→85%看出，后继一周都有提升.（2分）情况二：结论：两次主题活动效果都不好.（1分）理由：三个周期的“水站诚信度”平均数分别为93.25%，87.75%，92%(平均数的计算近似即可)，活动进行后，后继计算周期的“水站诚信度”平均数和第一周期比较均有下降.（2分）情况三：结论：第一次主题活动效果好于第二次主题活动.（1分）理由：第一次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（94%-88%=6%）高于第二次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（85%-80%=5%）.（2分）情况四：结论：第二次主题活动效果好于第一次主题活动.（1分）理由：第一次活动后“水站诚信度”虽有上升，但两周后又有下滑，第二次活动后，“水站诚信度”数据连续四周呈上升趋势. （2分）（答出变化）情况五：结论：两次主题活动累加效果好.（1分）理由：两次主题活动“水站诚信度”均有提高，且第二次主题活动后数据提升状态持续周期好.（2分）情况六：以“‘两次主题活动无法比较’作答，只有给出如下理由才给3分：“12个数据的标准差较大，尽管平均数差别不大，但比较仍无意义”.给出其他理由，则结论和理由均不得分（0分）.说明：①情况一和情况二用极差或者方差作为得出结论的理由，只给结论分1分，不给理由分2分.②以下情况不得分. 情况七： 结论及理由“只涉及一次主题活动，理由中无法辩析是否为两次活动后数据比较之结果”的. 例：结论：第二次主题活动效果好.理由：第二次主题活动后诚信度有提高.③其他答案情况，比照以上情况酌情给分，赋分原则是：遵循三个标准，能使用表中数据解释所得结论.17. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）直线DC //m .证明：由题设可得//,CD OB 1CD AOB ⊄平面，1OB AOB ⊂平面， 所以//CD 平面1A OB .又因为CD ⊂平面1A DC ，平面1A DC 平面1A OB m = 所以//CD m .法1：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠= ，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O = ， 所以1DO AOB ⊥平面. 在平面AOB 内作OM 垂直OB 于M ，则DO OM ⊥. 如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则11,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D -，所以1(,2)A D =.设,0)G m ，则由1OG A D ⊥可得10A D OG ⋅= ，即(,2),0)30m m ⋅=-+=解得3m =.所以14AG =. （Ⅲ）设平面1A BD 的法向量(,,)x y z =n ，则 110,0,A D A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即20,30,y z y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩令1y =，则1x z ==，所以=n ，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则sin θ=111cos ,A O n A O n A O n⋅<>==⋅ 法2：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠= ，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O = ， 所以1DO AOB ⊥平面. 又因为1OG AOB ⊂平面，所以DO OG ⊥. 若在直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，又1OD A D D = ， 所以1OG AOD ⊥平面， 所以1OG OA ⊥，因为11120,//AOB OB AG ∠= ，所以160OAG ∠= ， 因为12OA =，所以14A G =.（注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分） （Ⅲ）由（II ）可知1OD OA OG 、、两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则10,0,0),(2,0,0),((0,0,2)O A B D -（，所以11(2,0,2),(A D A B =-=-设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z =，则110,0,n A D n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,30,x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1x =，则1y z =，所以n =，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则sin θ=111cos ,AO n AO n AO n ⋅<>==⋅18. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知2,b =由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==.所以2228,c a b c =-==所以椭圆G 的离心率是c e a == （Ⅱ）法1：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设直线AC 的方程为32y x =+. 由2232,1124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2790x x +=，由题设条件可得90,7A C x x ==-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法2：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设C C C x y （，） ,则23C Ac Cy k x -==，即32C C y x =+① 由点C 在椭圆上可得221124C C x y +=② 将①代入②得2790C C x x +=，因为点C 不同于点A ，所以97C x =-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法3：当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件.设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-，点C C C x y （，）由2213,1124y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(31)6(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B C 和点的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)4,31C k x k --=+所以22361,31C k k y k --+=+ 因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=. （此处用1AB AC k k ⋅=-亦可）2222963961(3,1)(,)3131k k k k AB AC k k -----⋅=-⋅=++ 2236128031k k k --=+， 即(32)(31)0k k -+=，1221,,33k k ==-当213k =-时，即直线AB ,与已知点C 不同于点A 矛盾，所以12,3BC k k ==所以直线BC 的方程为213y x =-.19. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由()ln 1af x x x =--得221'()(0)a x af x x x x x+=+=>.由已知曲线()y f x =存在斜率为1-的切线， 所以'()1f x =-存在大于零的实数根， 即20x x a ++=存在大于零的实数根，因为2y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围0∞（-，）.（Ⅱ）由2'()x af x x+=，0x >，a ∈R 可得 当0a ≥时，'()0f x >，所以函数()f x 的增区间为(0,)+∞； 当0a <时，若(,)x a ∈-+∞，'()0f x >，若(0,)x a ∈-，'()0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(,)a -+∞，减区间为(0,)a -.（Ⅲ）由()ln x a g x x+=及题设得22ln 1('()(ln )(ln )a x f x x g x x x --==）， 由10a -<<可得01a <-<，由(Ⅱ)可知函数()f x 在(,)a -+∞上递增， 所以(1)10f a =--<，取e x =，显然e 1>，(e)lne 10e a af e=--=->， 所以存在0(1,e)x ∈满足0()0f x =，即 存在0(1,e)x ∈满足0'()0g x =，所以(),'()g x g x 在区间(1,)+∞上的情况如下：x0(1,)x 0x0(,)x +∞'()g x-0 +()g x极小所以当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值. （本题所取的特殊值不唯一，注意到0(1)ax x->>），因此只需要0ln 1x ≥即可）20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由21n a n =+可得{}n a 为递增数列，所以12121max{,,,}min{,,,}21322n n n n b a a a a a a a a n n =-=-=+-=- ， 故{}n b 的前n 项和为22(1)2n n n n -⨯=-.- （Ⅱ）因为12121max{,,,}max{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≤= ，12121min{,,,}min{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≥= ，所以1211211212max{,,,}min{,,,}max{,,,}min{,,,}n n n n a a a a a a a a a a a a ++-≥-所以1(1,2,3,)n n b b n +≥= . 又因为1110b a a =-=，所以12121max{,,,}min{,,,}n n n n b b b b b b b b b -=-= ， 所以{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b .（Ⅲ）由121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+ (1,2,3,)n = 可得 当1n =时，11a a =；当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即3213132()()b a a a a =-+-（*）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（*）可得32a a =，与32a a <矛盾；若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（*）可得32133()a a a a -=-， 所以3213a a a a --与同号，这与312a a a <≤矛盾； 若32a a ≥，则331b a a =-，由（*）可得32a a =. 猜想：满足121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+ (1,2,3,)n = 的数列{}n a 是： 1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.经验证，左式=121212(1)[12(1)]2n n n S S S na n a na a -+++=++++-=+， 右式=112112(1)(1)(1)(1)(1)()22222n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--+=+-=+.下面证明其它数列都不满足（Ⅲ）的题设条件.法1：由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩是成立的.假设k a 是首次不符合1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的项，则1231k k a a a a a -≤===≠ ，由题设条件可得2212(1)(1)222k k k k k k k k a a a b ----+=+（*）， 若12k a a a ≤<，则由（*）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾；若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（*）可得21(1)()2k k k k a a a a --=- 所以21k k a a a a --与同号，这与12k a a a <≤矛盾； 所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（*）化简可得2k a a =.这与假设2k a a ≠矛盾.所以不存在数列不满足1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的{}n a 符合题设条件.法2：当i n ≤时，11212max{,,,}min{,,,}i i i i a a a a a a a a b -≤-= ，所以1121()ki k i a a b b b =-≤+++∑ ，(1,2,3,,)k n =即112()k k S ka b b b ≤++++ ，(1,2,3,,)k n = 由1(1,2,3,)n n b b n +≥= 可得(1,2,3,,)k n b b k n ≤= 又10b =，所以可得1(1)k n S ka k b ≤+-(1,2,3,)k = ，所以12111(2)[02(1)]n n n n n S S S a a na b b b n b +++≤++++⨯++++- ，即121(1)(1)22n n n n n nS S S a b +-+++≤+ 所以121(1)(1)22n n n n n nS S S a b +-+++≤+ 等号成立的条件是1(1,2,3,,)i i n a a b b i n -=== ，所以，所有满足该条件的数列{}n a 为1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.（说明：各题的其他做法，可对着参考答案的评分标准相应给分）。
海淀区高三年级第一学期期末练习数 学 （理）参考答案及评分标准2018．1阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DDABACBD二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由sin cos 0x x +≠得ππ,4x k k ≠-∈Z .因为,cos2()2sin sin cos xf x x x x =++22cos sin 2sin sin cos x x x x x-=++-----------------------------------2分9． 2 10．4511. (0,1)；4 12．2313．214．43；①②③cos sin x x =+π2sin()4x =+，-------------------------------------4分因为在ABC ∆中，3cos 05A =-<，所以ππ2A <<，-------------------------------------5分所以24sin 1cos 5A A =-=,------------------------------------7分所以431()sin cos 555f A A A =+=-=.-----------------------------------8分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得π()2sin()4f x x =+,所以()f x 的最小正周期2πT =.-----------------------------------10分 因为函数sin y x=的对称轴为ππ+,2x k k =∈Z,-----------------------------------11分又由πππ+,42x k k +=∈Z ,得ππ+,4x k k =∈Z , 所以()f x 的对称轴的方程为ππ+,4x k k =∈Z .----------------------------------13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由上图可得0.010.190.290.451a ++++=,所以0.06a =.--------------------------------3分（Ⅱ）由图可得队员甲击中目标靶的环数不低于8环的概率为0.450.290.010.75++=----------------------------------4分由题意可知随机变量X的取值为：0,1,2,3.----------------------------------5分 事件“Xk=”的含义是在3次射击中，恰有k 次击中目标靶的环数不低于8环.3333()1(0,1,2,3)44kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭----------------------------------8分即X 的分布列为X123P16496427642764所以X的期望是1927279()0123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.------------------------10分 （Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定.---------------------------------13分17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为底面ABCD 是菱形，AC BD O = ,所以O为,AC BD中点.-------------------------------------1分 又因为,PA PC PB PD ==,所以,PO AC PO BD⊥⊥,---------------------------------------3分 所以PO ⊥底面ABCD.----------------------------------------4分（Ⅱ）由底面ABCD 是菱形可得AC BD ⊥,又由（Ⅰ）可知,PO AC PO BD ⊥⊥. 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -.由PAC ∆是边长为2的等边三角形，6PB PD ==，可得3,3PO OB OD ===.所以(1,0,0),(1,0,0),(0,3,0),(0,0,3)A C B P -.---------------------------------------5分所以(1,0,3)CP = ,(1,0,3)AP =-.由已知可得133(,0,)444OF OA AP =+=-----------------------------------------6分设平面BDF 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,OB OF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即30,330.44y x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 令1x =，则3z =-，所以(1,0,3)=-n .----------------------------------------8分因为1cos 2||||CP CP CP ⋅<⋅>==-⋅n n n ，----------------------------------------9分PAFB CDOx yz所以直线CP 与平面BDF 所成角的正弦值为12，所以直线CP 与平面BDF 所成角的大小为30 . -----------------------------------------10分（Ⅲ）设BM BPλ=(01)λ≤≤，则(1,3(1),3)CM CB BM CB BP λλλ=+=+=-.---------------------------------11分若使CM ∥平面BDF ，需且仅需0CM ⋅=n 且CM ⊄平面BDF ，---------------------12分解得1[0,1]3λ=∈,----------------------------------------13分所以在线段PB 上存在一点M ，使得CM ∥平面BDF .此时BM BP=13.-----------------------------------14分 18.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）2e (2)(2)'()(e )e x x xa x a x f x ----==，x ∈R.------------------------------------------2分当1a =-时，()f x ,'()f x 的情况如下表：x(,2)-∞ 2 (2,)+∞'()f x -0 +()f x↘ 极小值↗所以，当1a =-时，函数()f x 的极小值为2e --.-----------------------------------------6分（Ⅱ）(2)'()'()e xa x F x f x --==. ①当0a <时，(),'()F x F x 的情况如下表：--------------------------------7分因为(1)10F =>,------------------------------8分若使函数()F x 没有零点，需且仅需2(2)10e aF =+>，解得2e a >-,-------------------9分所以此时2e 0a -<<；-----------------------------------------------10分 ②当0a >时，(),'()F x F x 的情况如下表：--------11分 因为(2)(1)0F F >>,且10110101110e 10e 10(1)0eea aaF a------=<<,---------------------------12分x(,2)-∞ 2 (2,)+∞'()f x -0 +()f x↘ 极小值↗x(,2)-∞2 (2,)+∞ '()f x+0 -()f x↗ 极大值↘所以此时函数()F x 总存在零点. --------------------------------------------13分综上所述，所求实数a 的取值范围是2e 0a -<<.19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意得1c =, ---------------------------------------1分 由12c a =可得2a =, ------------------------------------------2分所以2223b a c =-=, -------------------------------------------3分所以椭圆的方程为22143x y +=.---------------------------------------------4分（Ⅱ）由题意可得点3(2,0),(1,)2A M -,------------------------------------------6分所以由题意可设直线1:2l y x n =+,1n ≠.------------------------------------------7分设1122(,),(,)B x y C x y ， 由221,4312x y y x n ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2230x nx n ++-=.由题意可得2224(3)1230n n n ∆=--=->,即(2,2)n ∈-且1n ≠.-------------------------8分21212,3x x n x x n +=-=-.-------------------------------------9分因为1212332211MB MCy y k k x x --+=+-------------------------------------10分 121212121212131311222211111(1)(2)1()1x n x n n n x x x x n x x x x x x +-+---=+=++-----+-=+-++2(1)(2)102n n n n -+=-=+-， ---------------------------------13分 所以直线,MB MC 关于直线m 对称. ---------------------------------14分20.（本小题共13分）解：（Ⅰ）①②③都是等比源函数. -----------------------------------3分（Ⅱ）函数()21x f x =+不是等比源函数. ------------------------------------4分证明如下：假设存在正整数,,m n k 且m n k <<，使得(),(),()f m f n f k 成等比数列，2(21)(21)(21)n m k +=++，整理得2122222n n m k m k +++=++，-------------------------5分等式两边同除以2,m 得2122221n m n m k k m --+-+=++.因为1,2n m k m -≥-≥，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数， 所以等式2122221n m n m k k m --+-+=++不可能成立，所以假设不成立，说明函数()21x f x =+不是等比源函数.-----------------------------8分（Ⅲ）法1：因为*,b n ∀∈N ，都有(1)()g n g n d +-=，所以*,d b ∀∈N ，数列{()}g n 都是以(1)g 为首项公差为d 的等差数列.*,d b ∀∈N ，2(1),(1)(1),(1)(1)g g d g d ++成等比数列，因为(1)(1)(1)((1)11)[(1)1]g d g g d g g +=++-=+，2(1)(1)(1)(2(1)(1)11)[2(1)(1)1]g d g g g d d g g g d +=+++-=++， 所以(1),[(1)1],[2(1)(1)1]g g g g g g d +++*{()|}g n n ∈∈N ，所以*,d b ∀∈N ，函数()g x dx b =+都是等比源函数.-------------------------------------------13分（Ⅲ）法2：因为*,b n ∀∈N ，都有(1)()g n g n d +-=，所以*,d b ∀∈N ，数列{()}g n 都是以(1)g 为首项公差为d 的等差数列.由2()(1)()g m g g k =⋅，（其中1m k <<）可得2[(1)(1)](1)[(1)(1)]g m d g g k d +-=⋅+-，整理得(1)[2(1)(1)](1)(1)m g m d g k -+-=-，令(1)1m g =+，则(1)[2(1)(1)](1)(1)g g g d g k +=-，所以2(1)(1)1=++，k g g d所以*,d b∀∈N，数列{()}+++成g g g g g g dg n中总存在三项(1),[(1)1],[2(1)(1)1]等比数列.所以*∀∈N，函数(),d bg x dx b=+都是等比源函数.-------------------------------------------13分。
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2018.1第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）复数12ii+= A.2i -B.2i+ C. 2i --D. 2i -+（2Ox 2sin ρθ=（3A.4 B.5 C.6 D.7（4的曲线为双曲线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（5）已知直线0x y m -+=与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，且AOB ∆为正三角形，则实数m 的值为A.2 B. 2 C. 2或2- D. 22-（6）从编号分别为1,2,3,4,5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为 A. 15 B. 25 C. 35 D.45（7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中： ①三棱锥的体积为16②三棱锥的四个面全是直角三角形所有正确的说法是A. ①B. ①②C. ②③D. ①③（8）已知点F 为抛物线2:2(0)C y px p=的焦点，点K 为点F 关于原点的对称点，点M 在抛物线C 上，则下列说法错误．．的是 A.使得MFK ∆为等腰三角形的点M 有且仅有4个 B.使得MFK ∆为直角三角形的点M 有且仅有4个 C. 使得4MKF π∠=的点M 有且仅有4个 D. 使得6MKF π∠=的点M 有且仅有4个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）点(2,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 . （10）已知公差为1的等差数列{}n a 中，1a ，2a ，4a 成等比数列，则{}n a 的前100项和为 . （11）设抛物线2:4C y x =的顶点为O ，经过抛物线C 的焦点且垂直于x 轴的直线和抛物线C 交于,A B 两点，则OA OB += .（12）已知(51)nx -的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，则n = .（13）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为M 是棱BC 的中点，点P 在底面ABCD 内，点Q 在线段11A C 上，若1PM =，则PQ 长度的最小值为 .（14）对任意实数k ，定义集合20(,)20,0k x y D x y x y x y R kx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪=+-≤∈⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≤⎩⎩⎭. ①若集合k D 表示的平面区域是一个三角形，则实数k 的取值范围是；②当0k =时，若对任意的(,)k x y D ∈，有(3)1y a x ≥+-恒成立，且存在(,)k x y D ∈，使得x y a -≤成立，则实数a 的取值范围为 .三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）如图，在ABC ∆中，点D 在AC 边上，且3,,36AD BC AB ADB C ππ==∠=∠=.（Ⅰ）求DC 的值；（Ⅱ）求tan ABC ∠的值.（16）（本小题13分）据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。
为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小．．．．，速度越快．．．．，单（Ⅱ）从12次测试中，随机抽取三次，记X 为品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果的次数，求X 的分布列和数学期望E （X ）；（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.（17）（本小题14分） 如题1，梯形ABCD 中，//,,1,2,AD BC CD BC BC CD AD E⊥===为AD 中点.将ABE ∆沿BE 翻折到1A BE ∆的位置，如图2.（Ⅰ）求证：平面1A DE ∆⊥平面BCDE ；（Ⅱ）求直线1A B 与平面1A CD 所成角的正弦值；（Ⅲ）设,M N 分别为1A E 和BC 的中点，试比较三棱锥1M A CD -和三棱锥1N A CD -（图中未画出）的体积大小，并说明理由.（18）（本小题13分）已知椭圆22:29C x y +=，点(2,0)P （Ⅰ）求椭圆C 的短轴长和离心率；（Ⅱ）过(1,0)的直线l 与椭圆C 相交于两点,M N ，设MN 的中点为T ，判断TP 与TM 的大小，并证明你的结论.（19）（本小题14分）已知函数2()222xf x e ax x =---. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点处的切线方程；（Ⅱ）当0a ≤时，求证：函数()f x 有且仅有一个零点； （Ⅲ）当0a时，写出函数()f x 的零点的个数.（只需写出结论）（20）（本小题13分）无穷数列{}n a 满足：1a 为正整数，且对任意正整数n ，1n a +为前n 项1a ，2a ，，n a 中等于n a 的项的个数.（Ⅰ）若12a =，请写出数列{}n a 的前7项；（Ⅱ）求证：对于任意正整数M ，必存在*k N ∈，使得ka M ；（Ⅲ）求证:“11a =”是“存在*m N ∈，当n m ≥时，恒有2n a +≥n a 成立”的充要条件。
海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案2018.1数学（理科）阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.(有两空的小题第一空3分)（9（10）5050 （11）2 （12）6（13（14）①(1,1)-②1[2,]5-三、解答题: 本大题共6小题，共80分. 15.（本小题13分）解：（Ⅰ）如图所示，366DBC ADB C πππ∠=∠-∠=-=，…………………….1分故DBC C ∠=∠，DB DC =……………………….2分设DC x =，则DB x =，3DA x =. 在ADB ∆中，由余弦定理2222cos AB DA DB DA DB ADB =+-⋅⋅∠……………………….3分即22217(3)2372x x x x x =+-⋅⋅⋅=，……………………….4分解得1x =，即1DC =.……………………….5分（Ⅱ）方法一.在ADB ∆中，由AD AB >，得60ABD ADB ∠>∠=︒，故362ABC ABD DBC πππ∠=∠+∠>+=……………………….6分在ABC ∆中，由正弦定理sin sin AC ABABC ACB=∠∠ ……………………….7分即41sin 2ABC =∠，故sin ABC ∠=，……………………….9分由(,)2ABC ππ∠∈，得cos ABC ∠=，……………………….11分tanABC ∠==13分方法二. 在ADB ∆中，由余弦定理222cos2AB BD AD ABD AB BD +-∠===⋅ ……………………….7分由(0,)ABD π∠∈，故sin ABD ∠=……………………….9分故tan ABD ∠=- ……………………….11分故tan tan6tan tan()61tan tan 6ABD ABC ABD ABD πππ-∠+∠=∠+===-∠⋅ ………………………13分 16. （本小题13分）（Ⅰ）从品牌A 的12次测试中，测试结果打开速度小于7的文件有：测试1、2、5、6、9、10、11，共7次设该测试结果打开速度小于7为事件A ，因此7()12P A =……………………….3分 （Ⅱ）12次测试中，品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果的次数有：测试1、3、4、5、7、8，共6次随机变量X 所有可能的取值为：0，1，2，330663121(0)11C C P X C ===21663129(1)22C C P X C ===12663129(2)22C C P X C ===03663121(3)11C C P X C === ……………………….7分随机变量19913()0123112222112E X =⨯+⨯+⨯+⨯=……………………….10分（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1分；结合已有数据，能够运用以下8个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.…………………13分.标准1: 会用前6次测试品牌A 、品牌B 的测试结果的平均值与后6次测试品牌A 、品牌B 的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）标准2: 会用前6次测试品牌A 、品牌B 的测试结果的方差与后6次测试品牌A 、品牌B 的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动）标准3：会用品牌A 前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值与品牌B 前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值进行阐述（品牌A 前6次测试结果的平均值大于品牌B 前6次测试结果的平均值，品牌A 后6次测试结果的平均值小于品牌B 后6次测试结果的平均值，品牌A 打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B ，品牌A 打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B ）标准4：会用品牌A 前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差与品牌B 前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差进行阐述（品牌A 前6次测试结果的方差大于品牌B 前6次测试结果的方差，品牌A 后6次测试结果的方差小于品牌B 后6次测试结果的方差，品牌A 打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌B ，品牌A 打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌B ）标准5：会用品牌A 这12次测试结果的平均值与品牌B 这12次测试结果的平均值进行阐述（品牌A这12次测试结果的平均值小于品牌B 这12次测试结果的平均值，品牌A 打开文件的平均速度快于B ）标准6：会用品牌A 这12次测试结果的方差与品牌B 这12次测试结果的方差进行阐述（品牌A 这12次测试结果的方差小于品牌B 这12次测试结果的方差，品牌A 打开文件速度的波动小于B ）标准7：会用前6次测试中，品牌A 测试结果大于（小于）品牌B 测试结果的次数、后6次测试中，品牌A 测试结果大于（小于）品牌B 测试结果的次数进行阐述（前6次测试结果中，品牌A 小于品牌B 的有2次，占1/3. 后6次测试中，品牌A 小于品牌B 的有4次，占2/3. 故品牌A 打开含有文字和表格的文件的速度慢于B ，品牌A 打开含有文字和图片的文件的速度快于B ）标准8：会用这12次测试中，品牌A 测试结果大于（小于）品牌B 测试结果的次数进行阐述（这12次测试结果中，品牌A 小于品牌B 的有6次，占1/2.故品牌A 和品牌B 打开文件的速度相当）17. （本小题14分）（Ⅰ）证明：因为1BE A E ⊥，BE DE ⊥，1A E DE E =I ，1A E ，DE ⊂平面1A DE ……………..1分 所以BE ⊥平面1A DE ……………..2分因为BE ⊂平面BCDE ，所以平面1A DE ⊥平面BCDE ……………..3分（Ⅱ）解：在平面1A DE 内作EF ED ⊥，由BE ⊥平面1A DE ，建系如图. ……………..4分则11(0,,22A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,0)E .11(1,,22A B =--uuu r11(0,,2A D =uuu r ，(1,0,0)DC =u u u r ， ……………..7分设平面1A CD 的法向量为(,,)n x y z =r，则100n A D n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uuu r，即10220y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，令1z =得，y =所以n =r是平面1A CD 的一个方向量. ……………..9分111cos ,4||||A B n A B n A B n ⋅<>===-⋅uuu r ruuu r r uuu r r ……………..10分所以1A B 与平面1ACD所成角的正弦值为4……………..11分 （Ⅲ）解：三棱锥1M A CD -和三棱锥1N A CD -的体积相等.……………..12分 理由如:方法一：由1(0,4M ，1(1,,0)2N，知1(1,,4MN =uuu r ，则0MN n ⋅=uuu r r 因为MN ⊂平面1A CD ，所以//MN 平面1A CD . ……………..13分故点M 、N 到平面1A CD 的距离相等，有三棱锥1M A CD -和1N A CD -同底等高，所以体积相等. ……………..14分方法二：如图，取DE 中点P ，连接MP ，NP ，MN .因为在1A DE ∆中，M ，P 分别是1A E ，DE 的中点，所以1//MP A D 因为在正方形BCDE 中，N ，P 分别是BC ，DE 的中点，所以//NP CD 因为MPNP P =，MP ，NP ⊂平面MNP ，1A D ，CD ⊂平面1A CD所以平面MNP //平面1A CD因为MN ⊂平面MNP ，所以//MN 平面1A CD ……………..13分故点M 、N 到平面1A CD 的距离相等，有三棱锥1M A CD -和1N A CD -同底等高，所以体积相等. ……………..14分DD法二法三方法三：如图，取1A D 中点Q ，连接MN ，MQ ，CQ .因为在1A DE ∆中，M ，Q 分别是1A E ，1A D 的中点，所以//MQ ED 且12MQ ED = 因为在正方形BCDE 中，N 是BC 的中点，所以//NC ED 且12NC ED =所以//MQ NC 且MQ NC =，故四边形MNCQ 是平行四边形，故//MN CQ 因为CQ ⊂平面1A CD ，MN ⊂平面1A CD ，所以//MN 平面1A CD . ……………..13分故点M 、N 到平面1A CD 的距离相等，有三棱锥1M A CD -和1N A CD -同底等高，所以体积相等. ……………..14分18. （本小题13分）解：（Ⅰ）C ：221992x y +=，故29a =，292b =，292c =，有3a =，b c ==……………..3分椭圆C 的短轴长为2b =2c e a ==.……………..5分 （Ⅱ）结论是：||||TP TM <. ……………..6分设直线l ：1x my =+，11(,)M x y ，22(,)N x y22291x y x my ⎧+=⎨=+⎩，整理得：22(2)280m y my ++-=……………..8分 222(2)32(2)36640m m m ∆=++=+>故12222m y y m +=-+，12282y y m =-+ ……………..10分 PM PN ⋅uuu r uuu r1212(2)(2)x x y y =--+……………..11分1212(1)(1)my my y y =--+21212(1)()1m y y m y y =+-++22282(1)()122m m m m m =-+⋅-⋅-+++ 22562m m +=-+0<……………..12分故90MPN ∠>︒，即点P 在以MN 为直径的圆内，故||||TP TM < ……………..13分19. （本小题14分）（Ⅰ）因为函数2()222x f x ax x =---e所以'()222x f x ax =--e ……………..2分故(0)0f =，'(0)0f = ……………..4分曲线()y f x =在0x =处的切线方程为0y = ……………..5分（Ⅱ）当0a ≤时，令()'()222x g x f x ax ==--e ，则'()220x g x a =->e……………..6分故()g x 是R 上的增函数. ……………..7分 由(0)0g =，故当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0g x >.即当0x <时，'()0f x <，当0x >时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增.……………..9分函数()f x 的最小值为(0)f …………….10分由(0)0f =，故()f x 有且仅有一个零点. …………….12分（Ⅲ）当1a =时，()f x 有一个零点；当0a >且1a ≠时，()f x 有两个零点. ……………..14分20. （本小题13分）解：（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1 ……………..3分（Ⅱ）假设存在正整数M ，使得对任意的*k ∈N ，k a M ≤. 由题意，{1,2,3,...,}k a M ∈ 考虑数列{}n a 的前21M +项：1a ，2a ，3a ，…，21M a + 其中至少有1M +项的取值相同，不妨设121M i i i a a a +==⋅⋅⋅=此时有：111M i a M M ++=+>，矛盾. 故对于任意的正整数M ，必存在*k ∈N ，使得k a M >. ………….. 8分（Ⅲ）充分性：当11a =时，数列{}n a 为1，1，2，1，3，1，4，…，1，1k -，1，k ，… 特别地，21k a k -=，21k a =故对任意的*n ∈N（1）若n 为偶数，则21n n a a +==（2）若n 为奇数，则23122n n n n a a +++=>= 综上，2n n a a +≥恒成立，特别地，取1m =有当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立 ………….11分必要性：方法一:假设存在1a k =（1k >），使得“存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”则数列{}n a 的前21k +项为 k ，1，1，2，1，3，1，4，…，1，1k -，1，k2，2，3，2，4，…，2，1k -，2，k3，3，4，…，3，1k -，3，k⋅⋅⋅2k -，2k -，1k -，2k -，k1k -，1k -，kk后面的项顺次为1k +，1，1k +，2，…，1k +，k2k +，1，2k +，2，…，2k +，k3k +，1，3k +，2，…，3k +，k…… 对任意的m ，总存在n m ≥，使得n a k =，21n a +=，这与2n n a a +≤矛盾，故若存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立，必有11a =………….. 13分方法二：若存在m N *∈，当n m ≥时，2n n a a +≥恒成立，记{}12max ,,,m a a a s =. 由第（2）问的结论可知：存在k N *∈，使得k a s >（由s 的定义知1k m ≥+） 不妨设k a 是数列{}n a 中第一个．．．大于等于1s +的项，即121,,,k a a a -均小于等于s . 则11k a +=.因为1k m -≥，所以11k k a a +-≥，即11k a -≥且1k a -为正整数，所以11k a -=. 记1k a t s =≥+，由数列{}n a 的定义可知，在121,,,k a a a -中恰有t 项等于1. 假设11a ≠，则可设121t i i i a a a ====，其中1211t i i i k <<<<=-， 考虑这t 个1的前一项，即12111,,,t i i i a a a ---， 因为它们均为不超过s 的正整数，且1t s ≥+，所以12111,,,t i i i a a a ---中一定存在两项相等， 将其记为a ，则数列{}n a 中相邻两项恰好为（a ，1）的情况至少出现2次，但根据数列{}n a 的定义可知：第二个a 的后一项应该至少为2，不能为1，所以矛盾！故假设11a ≠不成立，所以11a =，即必要性得证！………….. 13分综上，“11a =”是“存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”的充要条件.。
