高中数学第二章平面解析几何初步242空间两点的距离公式学案人教

2．2.4 点到直线的距离学习目标 1.了解点到直线的距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离的公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.初步掌握解析法研究几何问题的方法．知识点一点到直线的距离思考1 你能说出求点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离的一个解题思路吗？思考2 根据思考1的思路，点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离d怎样用A，B，C及x0，y0表示？思考3 点到直线的距离公式对于当A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？梳理点到直线的距离及公式(1)定义：点到直线的________的长度．(2)图示：(3)公式：d＝________________.知识点二两条平行直线间的距离思考直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)、B(0,1)、C(－1,2)三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？梳理 两条平行直线间的距离及公式(1)定义：夹在两平行线间的________________的长．(2)图示：(3)求法：转化为点到直线的距离．(4)公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.类型一 点到直线的距离例1 (1)求点P (2，－3)到下列直线的距离． ①y ＝43x ＋13；②3y ＝4；③x ＝3.(2)求过点M (－1,2)，且与点A (2,3)，B (－4,5)距离相等的直线l 的方程．反思与感悟 (1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题 ①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． ②当点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．③直线方程Ax ＋By ＋C ＝0，当A ＝0或B ＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．(2)当用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意．跟踪训练 1 (1)若点(4，a )到直线4x －3y ＝0的距离不大于3，则a 的取值范围为________________．(2)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________________________．类型二 两平行线间的距离例2 (1)两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为____________． (2)已知直线l 到直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程为________________．反思与感悟 求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等． 跟踪训练2 (1)求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程； (2)两平行直线l 1，l 2分别过P 1(1,0)，P 2(0,5)，若l 1与l 2的距离为5，求两直线方程．类型三 利用距离公式求最值命题角度1 由点到直线的距离求最值例3 已知实数x ，y 满足6x ＋8y －1＝0，则x 2＋y 2－2y ＋1的最小值为________． 反思与感悟 解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．跟踪训练3 (1)动点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，求|OP |最小时点P 的坐标； (2)求过点P (1,2)且与原点距离最大的直线方程．命题角度2 有关两平行线间距离的最值例4 两条互相平行的直线分别过点A (6,2)，B (－3，－1)，并且各自绕着点A ，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d . (1)求d 的取值范围；(2)求d 取最大值时，两条直线的方程．反思与感悟 两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值．跟踪训练4 已知P ，Q 分别是直线3x ＋4y －5＝0与6x ＋8y ＋5＝0上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A ．3 B. 3 C.32D.321．已知点(a,1)到直线x －y ＋1＝0的距离为1，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C. 2D ．± 22．直线x －2y －1＝0与直线x －2y －C ＝0的距离为25，则C 的值为( ) A ．9 B ．11或－9 C ．－11D ．9或－113．已知点M (1,2)，点P (x ，y )在直线2x ＋y －1＝0上，则|MP |的最小值是( ) A.10 B.355C. 6D ．3 54．两平行直线3x ＋4y ＋5＝0与6x ＋ay ＋30＝0间的距离为d ，则a ＋d ＝________. 5．直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是________________．1．点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求之．2．利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰． 3．已知两平行直线，其距离可利用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离．答案精析问题导学 知识点一思考1 由PQ ⊥l ，以及直线l 的斜率为－A B ，可得l 的垂线PQ 的斜率为B A，因此，垂线PQ 的方程可求出．解垂线PQ 与直线l 的方程组成的方程组，得点Q 的坐标，用两点间距离公式求出|PQ |，即为点P 到直线l 距离． 思考2 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.思考3 仍然适用，①当A ＝0，B ≠0时，直线l 的方程为By ＋C ＝0，即y ＝－C B ，d ＝|y 0＋C B|＝|By 0＋C ||B |，适合公式．②当B ＝0，A ≠0时，直线l 的方程为Ax ＋C ＝0，x ＝－C A ，d ＝|x 0＋C A |＝|Ax 0＋C ||A |，适合公式．梳理 (1)垂线段 (3)|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2知识点二思考 点A 、B 、C 到直线l 2的距离分别为2、2、 2.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等． 梳理 (1)公垂线段 题型探究例1 (1)解 ①y ＝43x ＋13可化为4x －3y ＋1＝0，点P (2，－3)到该直线的距离为 |4×2－－＋1|42＋－2＝185. ②3y ＝4可化为3y －4＝0， 由点到直线的距离公式，得|－3×3－4|02＋32＝133. ③x ＝3可化为x －3＝0， 由点到直线的距离公式，得|2－3|1＝1. (2)解 方法一 当过点M (－1,2)的直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，恰好与A (2,3)，B (－4,5)两点的距离相等， 故x ＝－1满足题意．当过点M (－1,2)的直线l 的斜率存在时， 设l 的方程为y －2＝k (x ＋1)， 即kx －y ＋k ＋2＝0.由点A (2,3)与点B (－4,5)到直线l 的距离相等，得 |2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，解得k ＝－13，此时l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0. 方法二 由题意，得l ∥AB 或l 过AB 的中点， 当l ∥AB 时，设直线AB 的斜率为k AB ， 直线l 的斜率为k l ， 则k l ＝k AB ＝5－3－4－2＝－13，此时直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 的中点(－1,4)时，直线l 的方程为x ＝－1. 综上所述，直线l 的方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0. 跟踪训练1 (1)[13，313](2)2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0 解析 (1)由题意知，|4×4－3a |42＋－2≤3，解得13≤a ≤313，故a 的取值范围为[13，313]．(2)过点P (3,4)且斜率不存在时的直线x ＝3与A 、B 两点的距离不相等， 故可设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0. 由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， ∴k ＝2或k ＝－23，∴所求直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 例2 (1)104解析 由题意，得63＝m1，∴m ＝2.将直线3x ＋y －3＝0化为6x ＋2y －6＝0， 由两平行线间距离公式，得d ＝|－1＋6|62＋22＝540＝104. (2)2x －y ＋1＝0解析 设直线l 的方程为2x －y ＋C ＝0， 由题意，得|3－C |22＋12＝|C ＋1|22＋12，解得C ＝1，∴直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.跟踪训练2 解 (1)方法一 设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0(0，12)，则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为 |－12×12＋C |52＋－2＝|C －6|13. 由题意，得|C －6|13＝2，所以C ＝32或C ＝－20，故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0. 方法二 设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式， 得2＝|C －6|52＋－2，解得C ＝32或C ＝－20，故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0. (2)依题意得，两直线的斜率都存在， 设l 1：y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0，l 2：y ＝kx ＋5，即kx －y ＋5＝0.因为l 1与l 2的距离为5，所以|－k －5|k 2＋1＝5，解得k ＝0或512. 所以l 1和l 2的方程分别为y ＝0和y ＝5或5x －12y －5＝0和5x －12y ＋60＝0. 例3710解析 ∵x 2＋y 2－2y ＋1 ＝x －2＋y －2，∴上式可看成是一个动点M (x ，y )到定点N (0,1)的距离， 即为点N 到直线l ：6x ＋8y －1＝0上任意一点M (x ，y )的距离， ∴S ＝|MN |的最小值应为点N 到直线l 的距离， 即|MN |min ＝d ＝|8－1|62＋82＝710. 跟踪训练3 解 (1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP 垂直于已知直线，则k OP ＝1， ∴OP 所在的直线方程为y ＝x . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.∴点P 的坐标为(2,2)．(2)由题意知，过点P 且与OP 垂直的直线到原点O 的距离最大， ∵k OP ＝2，∴所求直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.例4 解 (1)设经过点A 和点B 的直线分别为l 1、l 2，显然当⎩⎪⎨⎪⎧l 1⊥AB ，l 2⊥AB 时，l 1和l 2的距离最大，且最大值为 |AB |＝－3－2＋－1－2＝310，∴d 的取值范围为(0,310]．(2)由(1)知，d max ＝310，此时k ＝－3，两直线的方程分别为3x ＋y －20＝0或3x ＋y ＋10＝0.跟踪训练4 D [两平行线间的距离就是|PQ |的最小值，3x ＋4y －5＝0可化为6x ＋8y －10＝0，则|PQ |＝|5－－62＋82＝32.] 当堂训练 1．D 2.B 3.B 4．10解析 由两直线平行知，a ＝8，d ＝|15－5|5＝2，∴a ＋d ＝10. 5．(5，－3)解析 由题意知过点P 作直线3x －4y －27＝0的垂线， 设垂足为M ，则|MP |为最小， 直线MP 的方程为y －1＝－43(x －2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －27＝0，y －1＝－43x －，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－3∴所求点的坐标为(5，－3)．。

2．2．4 点到直线的距离1．了解点到直线的距离公式的推导方法． 2．掌握点到直线的距离公式，两条平行线间的距离公式．3．会求点到直线的距离，两平行线间的距离．1．点到直线的距离公式点P (x 1，y 1)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 1＋By 1＋C |A 2＋B 2．(1)点P (x 1，y 1)到x 轴的距离为d ＝|y 1|； (2)点P (x 1，y 1)到y 轴的距离为d ＝|x 1|；(3)点P (x 1，y 1)到与x 轴平行的直线y ＝a (a ≠0)的距离为d ＝|y 1－a |； (4)点P (x 1，y 1)到与y 轴平行的直线x ＝b (b ≠0)的距离为d ＝|x 1－b |． 2．两平行线间的距离设直线l 1为Ax ＋By ＋C 1＝0，直线l 2为Ax ＋By ＋C 2＝0(A ，B 不同时为0)，则两线间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2 ．1．点(2，1)到直线l ：x －2y ＋2＝0的距离为( ) A ．25 B ．25 5 C ．65 5 D ．0答案：B2．直线l 1：2x ＋3y －8＝0与l 2：2x ＋3y －10＝0之间的距离d ＝__________． 答案：213133．直线l 1：x ＋y －1＝0与l 2：2x ＋2y ＋5＝0之间的距离d ＝__________． 答案：7244．当点P (x 1，y 1)在直线Ax ＋By ＋C ＝0上时，还适合点到直线的距离公式吗？ 解：适合．点P 在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，则距离d ＝0，且有Ax 1＋By 1＋C ＝0， 所以d ＝|Ax 1＋By 1＋C |A 2＋B 2＝0．求点到直线的距离求点P (1，2)到下列直线的距离： (1)l 1：y ＝x －3；(2)l 2：y ＝－1；(3)y 轴． 【解】 (1)将直线方程化为一般式为x －y －3＝0， 由点到直线的距离公式，得d 1＝|1－2－3|12＋(－1)2＝22．(2)法一：直线方程化为一般式为y ＋1＝0， 由点到直线的距离公式，得d 2＝|2＋1|02＋12＝3．法二：因为y ＝－1平行于x 轴(如图所示)， 所以d 2＝|－1－2|＝3． (3)y 轴的方程为x ＝0， 由点到直线的距离公式，得d 3＝|1|12＋02＝1．应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0，当A ＝0或B ＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合法求解．求过点P (3，4)，且到原点距离为3的直线方程．解：由题意可知当所求直线的斜率不存在时，x ＝3，满足题意．当所求直线的斜率存在时，设为y ＝k (x －3)＋4，化为一般式为kx －y ＋4－3k ＝0， 所以|4－3k |k 2＋1＝3， 解得k ＝724．所以直线方程为7x －24y ＋75＝0．综上，所求直线方程为x ＝3或7x －24y ＋75＝0．求平行线间的距离(1)求两平行线l 1：3x ＋4y ＝10和l 2：3x ＋4y ＝15间的距离．(2)已知直线l 1：3x －4y ＋a ＝0与直线l 2：6x －8y ＝0间的距离d >3，求实数a 的取值范围．【解】 (1)法一：若在直线l 1上任取一点A (2，1)， 则点A 到直线l 2的距离， 即是所求的平行线间的距离． 所以d ＝|3×2＋4×1－15|32＋42＝1． 法二：设原点到直线l 1，l 2的距离分别为|OF |、|OE |， 结合图形(图略)可知，|OE |－|OF |即为所求． 所以|OE |－|OF |＝|－15|32＋42－|－10|32＋42＝1． 法三：利用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2，得d ＝|(－10)－(－15)|32＋42＝1． (2)法一：直线l 2的方程可以化为3x －4y ＝0， 则由平行线之间的距离公式可得d ＝|a |32＋(－4)2＝|a |5， 因为d >3， 所以|a |5>3，所以|a |>15． 所以a >15或a <－15． 法二：在l 2上取点(0，0)， 则d ＝|a |32＋(－4)2＝|a |5＞3． 所以a ＞15或a ＜－15．两平行线间距离的求法(1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以应用公式．(2)应用两平行线间的距离公式d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2时，两直线方程必须是一般形式，而且x ，y的系数对应相等．求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程．解：法一：设所求直线的方程为5x －12y ＋m ＝0， 因为两直线间的距离为2， 所以|6－m |52＋(－12)2＝2，所以m ＝32或m ＝－20．所以所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0． 法二：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0．在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， 则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12×12＋C 52＋(－12)2＝|C －6|13，由题意得|C －6|13＝2，则C ＝32或C ＝－20．所以所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0．距离公式的综合运用已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离等于2．【解】 法一：设点P 的坐标为P (a ，b )， 由|PA |＝|PB |得，(4－a )2＋(－3－b )2＝(2－a )2＋(－1－b )2， 化简得a －b ＝5，①由点P 到直线l 的距离等于2， 得|4a ＋3b －2|42＋32＝2， ② 由①②方程联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277b ＝－87．所以，所求的点为P (1，－4)或P (277，－87)．法二：设点P 的坐标为P (a ，b )，因为A(4，－3)，B(2，－1)，所以线段AB的中点M的坐标为(3，－2)．而直线AB的斜率k AB＝－3－(－1)4－2＝－1，所以线段AB的垂直平分线方程为y－(－2)＝x－3，即x－y－5＝0．而点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，故a－b－5＝0．③由已知点P到l的距离为2，得|4a＋3b－2|42＋32＝2．④由③④方程联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝1b＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a＝277b＝－87．所以，所求的点为P(1，－4)或P(277，－87)．解析几何的主要思想就是利用点的坐标反映图形的位置．对于求点的问题，首先需设出点的坐标，根据题目中的条件，用点的坐标表示出来，列出方程组进行求解，即可得出所需结论．1．动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最小时P点的坐标．解：直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则k OP＝1，所以OP所在直线方程为y＝x，由⎩⎪⎨⎪⎧y＝x，x＋y－4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝2，y＝2.所以P点坐标为(2，2)．2．求过点P(1，2)且与原点距离最大的直线方程．解：由题意知与OP垂直的直线到原点O的距离最大，因为k OP＝2，所以所求直线方程为y－2＝－12(x－1)，即x＋2y－5＝0．1．点到直线距离公式的推导用到了解析几何中的常用方法“设而不求”，希望在今后学习中注意这种方法在解题中的应用．公式只与直线方程中的系数有关，因而它适合任意直线，在具体应用过程中，应将直线方程化为一般式，再套用公式．2．两平行线间的距离求法有两种：一是转化为点到直线的距离；二是直接使用两平行线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2，但应注意两直线方程中x 、y 系数分别对应相等(即A 1＝A 2，B 1＝B 2)；若不相等，应化为相等，再使用．3．某些距离最值问题常使用数形结合法转化为点到直线的距离问题．1．求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，要先化成一般式再用公式．2．点P 在直线l 上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用，故应用公式时不必判断点P 与直线l 的位置关系．3．应用两条平行直线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使两条平行直线方程中x ，y 的系数分别对应相等．4．求两条平行线间的距离，通常转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B ． 3 C ．2D ． 5解析：选D ．d ＝|0＋2×0－5|12＋22＝|－5|5＝5． 2．与直线2x ＋y ＋1＝0平行且距离等于55的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0解析：选D ．设与直线2x ＋y ＋1＝0平行的直线方程为2x ＋y ＋C ＝0， 由两平行线间的距离公式得|C －1|5＝55，所以|C －1|＝1，所以C ＝0或C ＝2，故选D ．3．直线2x －y －1＝0与直线6x －3y ＋10＝0的距离是________． 解析：直线2x －y －1＝0可化为6x －3y －3＝0，则d ＝|－3－10|62＋(－3)2＝1335＝13515． 答案：135154．与直线3x －4y ＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为____________． 解析：设所求直线方程为4x ＋3y ＋C ＝0． 则|4×(－1)＋3×(－1)＋C |42＋32＝2， 即|C －7|＝10． 解得C ＝－3或C ＝17．故所求直线方程为4x ＋3y －3＝0或4x ＋3y ＋17＝0． 答案：4x ＋3y －3＝0或4x ＋3y ＋17＝0[学生用书P119(单独成册)])[A 基础达标]1．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( ) A ．3B ．53C ．1D ．22解析：选B ．点P (1，－1)到直线l 的距离d ＝|3×(－1)－2|02＋32＝53，选B ． 2．已知点M (1，4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( ) A ．0 B ．34 C ．3D ．0或34解析：选D ．点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1＝|m ＋3|m 2＋1，所以|m ＋3|m 2＋1＝3，解得m ＝0或m ＝34，选D ．3．已知点A (1，3)，B (3，1)，C (－1，0)，则△ABC 的面积等于( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选C ．设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h ．|AB |＝(3－1)2＋(1－3)2＝22，AB 边上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y －4＝0．点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2＝52，因此S △ABC ＝12×22×52＝5．4．已知点P (1＋t ，1＋3t )到直线l ：y ＝2x －1的距离为55，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(2，4) C ．(0，－2)或(2，4)D ．(1，1)解析：选C ．直线l ：y ＝2x －1可化为2x －y －1＝0，依题意得|2(1＋t )－(1＋3t )－1|22＋(－1)2＝55，整理得|t |＝1，所以t ＝1或－1．当t ＝1时，点P 的坐标为(2，4)；当t ＝－1时，点P 的坐标为(0，－2)，故选C ．5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1，l 2间的距离是( ) A ．423B ．823C ．4 2D ．2 2解析：选B ．因为l 1∥l 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a (a －2)－3＝0，2a －6(a －2)≠0，解得a ＝－1．所以l 1的方程为x －y＋6＝0，l 2的方程为－3x ＋3y －2＝0，即x －y ＋23＝0，所以l 1，l 2间的距离是⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋(－1)2＝823． 6．经过两直线x ＋3y －10＝0和3x －y ＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为________．解析：设所求直线l 的方程为x ＋3y －10＋λ(3x －y )＝0， 即(1＋3λ)x ＋(3－λ)y －10＝0， 因为原点到直线的距离d ＝|－10|(1＋3λ)2＋(3－λ)2＝1，所以λ＝±3，即直线方程为x ＝1或4x －3y ＋5＝0， 所以和原点相距为1的直线的条数为2．答案：27．已知x ＋y －3＝0，则(x －2)2＋(y ＋1)2的最小值为________． 解析：设P (x ，y )，A (2，－1)， 则点P 在直线x ＋y －3＝0上， 且(x －2)2＋(y ＋1)2＝|PA |．|PA |的最小值为点A (2，－1)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|2＋(－1)－3|12＋12＝2． 答案： 28．已知△ABC 中，A (3，2)，B (－1，5)，点C 在直线3x －y ＋3＝0上，若△ABC 的面积为10，则点C 的坐标为________．解析：设C (x ，y )，由|AB |＝5，△ABC 的面积为10，得点C 到直线AB 的距离为4，又线段AB 所在直线方程为3x ＋4y －17＝0．所以⎩⎪⎨⎪⎧|3x ＋4y －17|32＋42＝4，3x －y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝8.所以点C 的坐标为(－1，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫53，8．答案：(－1，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫53，8 9．如图，在△ABC 中，顶点A 、B 和内心I 的坐标分别为A (9，1)、B (3，4)、I (4，1)，求顶点C 的坐标．解：AB 边所在直线方程为y －14－1＝x －93－9，即x ＋2y －11＝0．由于内心I 到直线AB 的距离等于内切圆半径r ， 则r ＝|4＋2×1－11|5＝5．设AC 边所在直线的方程为y －1＝k (x －9)， 即kx －y ＋1－9k ＝0．又I 到直线AC 的距离也是5，所以|4k －1＋1－9k |k 2＋1＝5，解得k ＝±12．因为k AB ＝－12，所以k ＝12．故AC 所在直线的方程为y －1＝12(x －9)，即x －2y －7＝0．同理，可求BC 边所在直线方程为2x －y －2＝0．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x －2y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－4.故点C 坐标为(－1，－4)．10．已知正方形的中心为直线x －y ＋1＝0和2x ＋y ＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x ＋3y －2＝0，求其他三边所在直线的方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，所以中心坐标为(－1，0)． 所以中心到已知边的距离为|－1－2|12＋32＝310． 设正方形相邻两边方程为x ＋3y ＋m ＝0和3x －y ＋n ＝0． 因为正方形中心到各边距离相等， 所以|－1＋m |10＝310和|－3＋n |10＝310 ．所以m ＝4或m ＝－2(舍去)，n ＝6或n ＝0．所以其他三边所在直线的方程为x ＋3y ＋4＝0，3x －y ＝0，3x －y ＋6＝0．[B 能力提升]11．P 、Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A ．95 B ．185C ．3D ．6解析：选C ．法一：|PQ |的最小值是这两条平行线间的距离，在直线3x ＋4y －12＝0上取点(4，0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ |的最小值为3．法二：|PQ |的最小值即为两平行直线6x ＋8y －24＝0与6x ＋8y ＋6＝0的距离d ＝|－24－6|62＋82＝3，故选C ． 12．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0解析：选D ．设所求直线上任一点(x ，y )，则它关于x ＝1对称的点(2－x ，y )在直线x －2y ＋1＝0上，所以2－x －2y ＋1＝0，即x ＋2y －3＝0．故选D ．13．已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点．(1)若点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，因为点A (5，0)到l 的距离为3，所以|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝2或λ＝12， 所以l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2，1)，如图，过P 作任意一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)．所以d max ＝|PA |＝(5－2)2＋(0－1)2＝10．14．(选做题)已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2，0)，B (－2，－4)．(1)在直线l 上求一点P ，使|PA |＋|PB |最小；(2)在直线l 上求一点P ，使||PB |－|PA ||最大．解：(1)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝8，故A ′(－2，8)． 因为P 为直线l 上的一点，则|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|PA |＋|PB |取得最小值，为|A ′B |，点P 即是直线A ′B 与直线l 的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3， 故所求的点P 的坐标为(－2，3)．(2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||PB |－|PA ||≤|AB |，当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB |－|PA ||取得最大值，为|AB |，点P 即是直线AB 与直线l 的交点，直线AB 的方程为y ＝x －2，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝10， 故所求的点P 的坐标为(12，10)．。

2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式1.掌握平面上两点间的距离公式和中点坐标公式.(重点)2.了解两点的距离公式及中点公式的推导方法.(难点)3.体会坐标法在几何中的作用.(重点)4.坐标法在证明几何问题中的应用.(难点)[基础·初探]教材整理 两点间距离公式及中点公式阅读教材P 68～P 71“例4”以上内容，完成下列问题.1.已知在平面直角坐标系中两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有d (A ，B )＝|AB |＝x2－2＋y 2－2.已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设点M (x ，y )是线段AB 的中点，则有x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.1.如图2­1­2，由A (－4，－2)，B (4，－2)，C (4,4)，是否能求出d (A ，C )?图2­1­2【答案】 能，d (A ，C )＝|AB |2＋|BC |2＝10.2.(1)如图2­1­3，若A (－1,1)，C (3,1)连线的中点为M 1(x ，y ), 则x ，y 满足什么条件？图2­1­3【答案】 x －(－1)＝3－x ，y ＝1.(2)若B (3,4)，那么BC 的中点M 2的坐标是什么？【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52.[小组合作型]).求证：△ABC是等边三角形.【精彩点拨】 解答本题可以尝试利用两点的距离公式求出三边长，再用三角形知识解决.【自主解答】 由两点的距离公式得 |AB |＝a ＋a2＋－2＝2|a |，|BC |＝－a 2＋3a －2＝2|a |，|CA |＝－a －2＋－3a 2＝2|a |.∴|AB |＝|BC |＝|CA |， 故△ABC 是等边三角形.根据边长判断三角形形状的结论主要有以下几种：等腰、等边、直角、等腰直角三角形等.在进行判断时，一定要得出最终结果，比如一个三角形是等腰直角三角形，若我们只通过两边长相等判定它是等腰三角形则是不正确的.[再练一题]1.本例若改为：已知A (－1，－1)，B (3,5)，C (5,3)，试判断△ABC 的形状. 【解】 d (A ，B )＝[3－－2＋[5－－2＝42＋62＝52＝213，d (A ，C )＝[5－－2＋[3－－2＝62＋42＝52＝213，d (B ，C )＝－2＋－2＝22＋22＝8＝2 2.所以|AB |＝|AC |≠|BC |，且显然三边长不满足勾股定理， 所以△ABC 为等腰三角形.，对角线交点为E (－3,4)，求另外两顶点C 、D 的坐标.【导学号：45722072】【精彩点拨】 可以画图分析点的关系，借助平行四边形的性质，尝试运用中点公式列方程组求解.【自主解答】 设C 点坐标为(x 1，y 1)，则由E 为AC 的中点得： ⎩⎪⎨⎪⎧ －3＝4＋x 12，4＝2＋y 12，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－10，y 1＝6，设D 点坐标为(x 2，y 2)，则由E 为BD 的中点得 ⎩⎪⎨⎪⎧－3＝5＋x22，4＝7＋y 22，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－11，y 2＝1，故C 点坐标为(－10,6)，D 点坐标为(－11,1).1.本题是用平行四边形对角线互相平分这一性质，依据中点公式列方程组求点的坐标的.2.中点公式常用于求与线段中点、三角形的中线、平行四边形的对角线等有关的问题，解题时一般先根据几何概念，提炼出点之间的“中点关系”，然后用中点公式列方程或方程组求解.[再练一题]2.已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标分别为A (0,0)，B (2,0)，D (1,3)，求顶点C 的坐标.【解】 ∵平行四边形的对角线互相平分， ∴平行四边形对角线的中点坐标相同. 设C 点坐标为C (x ，y )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧0＋x 2＝2＋12＝32，0＋y 2＝0＋32＝32，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，即C (3,3).[探究共研型]探究1【提示】(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上；(2)如果图形中有互相垂直的两条直线，则考虑其作为坐标轴；(3)考虑图形的对称性：可将图形的对称中心作为原点、将图形的对称轴作为坐标轴.探究2 建立不同的直角坐标系，影响最终的结果吗？【提示】不影响.在△ABC中，D为BC边上任意一点(D与B、C不重合)，且AB2＝AD2＋BD·DC.求证：△ABC为等腰三角形.【精彩点拨】建系→设三角形各顶点的坐标→把条件转化为坐标运算→化简→证明|AB|＝|AC|→结论【自主解答】如图所示，作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)(b<d<c).∵|AB|2＝|AD|2＋BD·DC，∴b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，∴－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)，又∵d－b≠0，∴－b－d＝c－d，即－b＝c.∴|AB|＝|AC|，故△ABC为等腰三角形.1.对于平面几何中证明边相等(或不等)、求最值等类型的题目，可以建立恰当的平面直角坐标系，用坐标法将几何问题代数化，使复杂的逻辑思维转化为简单的代数运算，从而将复杂问题简单化.2.在建立平面直角坐标系时，要尽可能地将平面几何图形中的点、线放在坐标轴上，但不能把任意点作为特殊点.[再练一题]3.已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系，证明：|AM |＝12|BC |.【证明】 如图所示，以Rt△ABC 的直角边AB ，AC 所在直线为坐标轴，建立直角坐标系.设B ，C 两点的坐标分别为(b,0)，(0，c ).因为点M 是BC 的中点， 故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0＋b 2，0＋c 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c 2.由两点间距离公式得 |BC |＝－b2＋c －2＝b 2＋c 2，|AM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b2－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c2－02＝12 b 2＋c 2. 所以|AM |＝12|BC |.1.已知A (－8，－3)，B (5，－3)，则线段AB 的中点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3 【解析】 由中点坐标公式可以求得. 【答案】 B2.已知A (1,2)，B (a,6)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A.4 B.－4或2 C.－2 D.－2或4【解析】 a －2＋－2＝5，解得a ＝－2或4.【答案】 D3.以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的三角形为________.【解析】由题意|AB|＝17，|AC|＝17，|BC|＝18，显然△ABC为等腰三角形.【答案】等腰三角形4.若x轴上的点M到原点与到点(5，－3)的距离相等，则点M的坐标为________.【解析】设点M的坐标为(x,0)，由题意知|x|＝x－2＋＋2，即x2＝(x－5)2＋9，解得x＝3.4，故所求点M的坐标为(3.4,0).【答案】(3.4,0)5.已知矩形相邻两个顶点是A(－1,3)，B(－2,4)，若它的对角线交点在x轴上，求另外两顶点的坐标.【导学号：45722073】【解】设对角线交点为P(x,0)，则|PA|＝|PB|，即(x＋1)2＋(0－3)2＝(x＋2)2＋(0－4)2，解得x＝－5，所以对角线交点为P(－5,0).所以x C＝2×(－5)－(－1)＝－9，y C＝2×0－3＝－3，即C(－9，－3)；x D＝2×(－5)－(－2)＝－8，y D＝2×0－4＝－4，所以D(－8，－4).所以另外两顶点的坐标C(－9,3)，D(－8，－4).。

2．4．2 空间两点的距离公式1．了解空间两点的距离的定义．2．理解空间两点的距离公式的推导思路．3．掌握空间两点的距离公式．空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距离公式是d(A，B)＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2．特别地，点A(x，y，z)到原点的距离公式为d(O，A)＝x2＋y2＋z2．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面上两点间的距离公式是空间两点间距离公式的特例．( )(2)将距离公式中两点的坐标顺序互换，结果不变．( )答案：(1)√(2)√2．点P(1，2，3)到原点O的距离是( )A． 6 B． 5C．2 D． 3答案：A3．求下列两点间的距离．(1)A(1，1，0)，B(1，1，1)；(2)C(－3，1，5)，D(0，－2，3)．解：(1)d(A，B)＝(1－1)2＋(1－1)2＋(0－1)2＝1．(2)d(C，D)＝(－3－0)2＋[1－(－2)]2＋(5－3)2＝22．求两点间的距离在如图所示的空间直角坐标系中，长方体的顶点C′的坐标为(4，4，2)，E，F分别为BC，A′B′的中点，求|EF|的长．【解】由C′(4，4，2)知：B(4，0，0)，C(4，4，0)，A′(0，0，2)，B′(4，0，2)，由中点坐标公式得，E(4，2，0)，F(2，0，2)．所以|EF|＝(4－2)2＋(2－0)2＋(0－2)2＝23．利用空间两点的距离公式求线段长度的一般步骤在空间直角坐标系中，点A(2，3，0)关于平面xOy的对称点为A′，点B(5，1，0)关于平面yOz的对称点为B′，求A′、B′两点间的距离．解：因为点A(2，3，0)关于平面xOy的对称点为A′，所以A′(2，3，0)．因为点B(5，1，0)关于平面yOz的对称点为B′，所以B′(－5，1，0)．所以|A′B′|＝[2－(－5)]2＋(3－1)2＋(0－0)2＝72＋22＝53，所以A′、B′两点间的距离为53．利用距离公式求点的坐标(1)在z轴上求一点使得它到点A(4，5，6)与到点B(－5，0，10)的距离相等；(2)已知点P到坐标原点O的距离等于23，且它的x坐标、y坐标、z坐标均相等，求该点的坐标．【解】(1)由题意可设该点的坐标为P(0，0，z)，则|PA|＝(4－0)2＋(5－0)2＋(6－z)2，|PB|＝(－5－0)2＋(0－0)2＋(10－z)2．又|PA|＝|PB|，所以z＝6，所以所求点的坐标为(0，0，6)． (2)由题意可设P 点的坐标为(x ，y ，z )． 所以|OP |＝ x 2＋y 2＋z 2＝23． 又x ＝y ＝z ，所以3x 2＝23． 所以x ＝y ＝z ＝2或x ＝y ＝z ＝－2．所以该点的坐标为(2，2，2)或(－2，－2，－2)．已知点在某轴上(或者在坐标平面内)，又满足某些条件，求该点的坐标时，一般根据点所在的位置，先设出点的坐标，再由已知条件列出方程求解．在设点的坐标时，一般要根据点的特征设参数，这样不但可以减少参数，也能简化计算．点的位置与相应特征如下表：位置坐标特征 x 轴上 (x ，0，0) y 轴上 (0，y ，0) z 轴上 (0，0，z ) xOy 平面内 (x ，y ，0) yOz 平面内 (0，y ，z ) xOz 平面内(x ，0，z )已知空间中两点A (－3，－1，1)、B (－2，2，3)，在z 轴上有一点C ，它到A 、B 两点的距离相等，求点C 的坐标．解：设C 点的坐标为(0，0，z )， 则 32＋12＋(z －1)2＝ 22＋(－2)2＋(z －3)2， 即10＋(z －1)2＝8＋(z －3)2， 解得z ＝32，所以点C 的坐标为(0，0，32)．空间两点距离公式的应用在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使M 到点N (6，5，1)的距离最小．【解】 由已知可设M (x ，1－x ，0)， 则|MN |＝(x －6)2＋(1－x －5)2＋(0－1)2＝2(x －1)2＋51．所以当x ＝1时，|MN |min ＝51．所以xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上到点N 的距离最小的点为M (1，0，0)．本题利用空间两点的距离公式，将空间距离问题转化为二次函数的最值问题，体现了数学上的转化思想和函数思想，此类题目的解题方法是直接设出点的坐标，利用距离公式就可以将几何问题代数化，分析函数即可．在空间直角坐标系中，已知△ABC 的顶点分别是A (－1，2，3)，B (2，－2，3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52，3．求证：△ABC 是直角三角形．证明：d (A ，B )＝ (－1－2)2＋(2＋2)2＋(3－3)2＝5，d (A ，C )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－522＋(3－3)2 ＝102， d (B ，C )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－522＋(3－3)2 ＝3102． 故[d (B ，C )]2＋[d (A ，C )]2＝904＋104＝25＝[d (A ，B )]2， 所以△ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形．(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下，任意给定坐标的两个点之间的距离．其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．(2)求距离的步骤：①建立适当的坐标系，并写出相关点的坐标；②代入空间两点间的距离公式求值．对于空间几何体建立空间直角坐标系后，就把点和坐标联系起来，这样就可以把空间中的线段长、距离及位置关系等几何问题转化成代数式再用代数的方法来解决，从而借助代数中最基本最普遍的函数与方程的思想，解决几何问题，使许多复杂的几何问题迎刃而解．1．点A (2，－3，5)关于xOy 平面的对称点是A ′，则|AA ′|等于( ) A ．4 B ．6 C ．10D ．38解析：选C ．因为点A 到平面xOy 的距离为5，所以|AA ′|＝10．2．若O (0，0，0)，P (x ，y ，z )，且|OP |＝1，则x 2＋y 2＋z 2＝1表示的图形是________________．解析：由题意知，P 点满足球的定义． 答案：以原点O 为球心，以1为半径的球面3．点A 与坐标原点的距离为9，且它在x 、y 、z 轴上的坐标都相等，则点A 坐标为________． 答案：(33，33，33)或(－33，－33，－33)[学生用书P131(单独成册)])[A 基础达标]1．空间直角坐标系中，点A (－3，4，0)和点B (2，－1，6)的距离是( ) A ．243 B ．221 C ．9D ．86解析：选D ．由空间两点间的距离公式可得|AB |＝(－3－2)2＋(4＋1)2＋(0－6)2＝86． 2．已知点A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |等于( )A ．534B ．532 C ．532D ．132解析：选B ．AB 的中点M (2，32，3)，它到点C 的距离d (M ，C )＝ (2－0)2＋(32－1)2＋(3－0)2＝532．3．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，若D (0，0，0)、A (4，0，0)、B (4，2，0)、A 1(4，0，3)，则对角线AC1的长为( )A．9 B．29C．5 D．2 6解析：选B．由已知易求得C1(0，2，3)，所以|AC1|＝42＋22＋32＝29．4．已知点A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是( ) A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形解析：选B．|AB|＝(1－4)2＋(－2－2)2＋(11－3)2＝89，|BC|＝(4－6)2＋(2＋1)2＋(3－4)2＝14，|AC|＝(1－6)2＋(－2＋1)2＋(11－4)2＝75，所以|AB|2＝|BC|2＋|AC|2．所以△ABC为直角三角形．5．一束光线自点P(1，1，1)出发，被xOy平面反射到达点Q(3，3，6)被吸收，那么光线所经过的距离是( )A．37 B．33C．47 D．57解析：选D．P关于xOy平面对称的点为P′(1，1，－1)，则光线所经过的距离为|P′Q|＝(3－1)2＋(3－1)2＋(6＋1)2＝57．6．在空间直角坐标系中，点M(1，0，3)与N(－1，1，a)两点间的距离为6，则a＝________．答案：2或47．已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________．解析：设点P(0，0，z)，由|PA|＝|PB|，所以(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z)2＝(2－0)2＋(2－0)2＋(2－z)2，解得z＝3．答案：(0，0，3)8．点A(1－t，1－t，t)和B(2，t，t)的距离的最小值为________．解析：|AB|2＝(1－t－2)2＋(1－t－t)2＋(t－t)2＝5t2－2t＋2．当t ＝15时，|AB |2min ＝95，即|AB |min ＝355．答案：3559．已知A (x ，5－x ，2x －1)，B (1，x ＋2，2－x )，求|AB |取最小值时，A 、B 两点的坐标，并求此时的|AB |．解：由空间两点间的距离公式得|AB |＝(1－x )2＋[(x ＋2)－(5－x )]2＋[(2－x )－(2x －1)]2＝14x 2－32x ＋19 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57， 当x ＝87时，|AB |有最小值57＝357． 此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫87，277，97，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，227，67．10．如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是正方体对角线D 1B 的中点，点Q 在棱CC 1上．(1)当2|C 1Q |＝|QC |时，求|PQ |；(2)当点Q 在棱CC 1上移动时，求|PQ |的最小值．解：(1)由题意知点C 1(0，1，1)，点D 1(0，0，1)，点C (0，1，0)，点B (1，1，0)，点P 是体对角线D 1B 的中点，则点P (12，12，12)．因为点Q 在棱CC 1上，且2|C 1Q |＝|QC |，所以点Q 为(0，1，23)．由空间两点的距离公式，得|PQ |＝(12－0)2＋(12－1)2＋(12－23)2＝1936＝196．(2)当点Q 在棱CC 1上移动时，则点Q (0，1，a )，a ∈[0，1]．由空间两点的距离公式有|PQ |＝(12－0)2＋(12－1)2＋(12－a )2＝ (a －12)2＋12．故当a ＝12时，|PQ |取得最小值22，此时点Q (0，1，12)．[B 能力提升]11．若P (x ，2，1)到Q (1，1，2)，R (2，1，1)的距离相等，则x 的值为( ) A ．12 B ．1C ．32D ．2解析：选B ．由(x －1)2＋(2－1)2＋(1－2)2＝(x －2)2＋(2－1)2＋(1－1)2，解得x ＝1．12．若点P (x ，y ，z )到平面xOz 与到y 轴距离相等，则P 点坐标满足的关系式为________． 解析：由题意得|y |＝x 2＋z 2即x 2＋z 2－y 2＝0． 答案：x 2＋z 2－y 2＝013．如图所示，在长方体OABC ­O 1A 1B 1C 1中，|OA |＝2，|AB |＝3，|AA 1|＝2，E 是BC 的中点，作OD ⊥AC 于点D ，求线段B 1E 的长度及顶点O 1到点D 的距离．解：由已知的空间直角坐标系及长方体的棱长可得长方体的各个顶点的坐标分别为：O (0，0，0)、A (2，0，0)、B (2，3，0)、C (0，3，0)、O 1(0，0，2)、A 1(2，0，2)、B 1(2，3，2)、C 1(0，3，2)．因为E 是BC 的中点，所以点E 的坐标为(1，3，0)， 所以由两点间的距离公式得|B 1E |＝(2－1)2＋(3－3)2＋(2－0)2＝5． 设D (x ，y ，0)，在Rt △AOC 中， |OA |＝2，|OC |＝3，|AC |＝13，所以|OD |＝2×313＝61313．在Rt △ODA 中， |OD |2＝x ·|OA |， 所以x ＝36132＝1813．在Rt △ODC 中，|OD |2＝y ·|OC |， 所以y ＝36133＝1213．所以点D (1813，1213，0)，由两点间的距离公式得 |O 1D |＝(0－1813)2＋(0－1213)2＋(2－0)2＝1 144132＝228613． 14．(选做题)已知正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2)，求：(1)MN 的长；(2)a 为何值时，MN 的长最小？解：(1)因为面ABCD ⊥面ABEF ， 面ABCD ∩面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ，BE ⊂面ABEF ，所以BE ⊥面ABCD ． 所以AB 、BC 、BE 两两垂直．所以以B 为坐标原点，分别以BA 、BE 、BC 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则M ⎝⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a 、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0．所以|MN | ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02＝ a 2－2a ＋1 ＝(a －22)2＋12(0<a <2)． (2)因为|MN |＝(a －22)2＋12， 故当a ＝22时，|MN |min ＝22．。

2．1.2 平面直角坐标系中的基本公式学习目标 1.理解两点间的距离的概念，掌握两点间的距离公式，并会求两点间的距离.2.理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题．知识点一两点的距离公式已知平面上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．思考1 当x1≠x2，y1＝y2时，d(A，B)＝？思考2 当x1＝x2，y1≠y2时，d(A，B)＝？思考3 当x1≠x2，y1≠y2时，d(A，B)＝？请简单说明理由．梳理两点间的距离公式A(x1，y1)，B(x2，y2)两点之间的距离公式d(A，B)＝|AB|＝________________；当AB垂直于y轴时，d(A，B)＝________；当AB垂直于x轴时，d(A，B)＝________；当B为原点时，d(A，B)＝________.知识点二中点坐标公式已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝________，y＝________类型一两点间的距离公式例1 (1)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(4,1)，B(－3,2)，C(0,5)，则△ABC的周长为( )A．4 2 B．8 2 C．12 2 D．16 2(2)若A (－5,6)，B (a ，－2)两点的距离为10，则a ＝____________.反思与感悟 两点间的距离公式应用的两种形式(1)在求到某点的距离满足某些条件的点P (x ，y )的坐标时，需要根据已知条件列出关于x ，y 的方程或方程组，解之即可．(2)利用两点间的距离公式可以判断三角形的形状，从三边长入手，根据边长相等判断是等腰或等边三角形，根据勾股定理判断是直角三角形．还可以根据两个距离之和等于第三个距离判断三点共线．跟踪训练1 已知点A (－3,4)，点B (2，3)，试在x 轴上找一点P ，使得d (P ，A )＝d (P ，B )，并求出d (P ，A )．类型二 中点公式及应用例2 已知平行四边形ABCD 的两个顶点坐标分别为A (4,2)，B (5,7)，对角线交点为E (－3,4)，求另外两顶点C 、D 的坐标．反思与感悟 中点公式应用的步骤(1)认真审题，提炼题设中的条件．(2)将条件转化为与中点有关的问题．(3)利用中点公式求解．(4)转化为题目要求的结果．特别提醒：利用中点坐标公式可求得以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)为顶点的△ABC 的重心坐标为(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)．跟踪训练2 (1)已知三点A (x,5)，B (－2，y )，C (1,1)，且点C 是线段AB 的中点，求x ，y 的值；(2)求点M (4,3)关于点N (5，－3)的对称点．类型三坐标法的应用例3 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．反思与感悟用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何无素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果翻译成几何结论．跟踪训练3 证明：直角三角形斜边中点到三个顶点的距离相等．1．已知A(－3,5)，B(2,15)，则d(A，B)等于( )A．5 2 B．513C．517 D．5 52．已知两点A(a，b)，B(c，d)，且a2＋b2－c2＋d2＝0，则( )A．原点一定是线段AB的中点B．A、B一定都与原点重合C．原点一定在线段AB上但不是中点D．以上结论都不正确3．以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)为顶点的三角形是( )A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．无法确定4．已知A(a,6)，B(－2，b)，点P(2,3)平分线段AB，则a＋b＝________.5．已知平面内平行四边形的三个顶点A(－2,1)、B(－1,3)、C(3，4)，求第四个顶点D的坐标．1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用坐标法来证明．用坐标法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．答案精析问题导学知识点一思考1 d(A，B)＝|x2－x1|.思考2 d(A，B)＝|y2－y1|.思考3 如图，在Rt△ABC中，|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，所以|AB|＝x2－x12＋y2－y12.即两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的距离为|AB|＝x2－x12＋y2－y12.梳理x2－x12＋y2－y12|x2－x1| |y2－y1| x21＋y21知识点二x1＋x22y1＋y22题型探究例1 (1)C (2)1或－11解析(1)∵A(4,1)，B(－3,2)，C(0,5)，∴|AB|＝－3－2＋－2＝50＝52，|BC|＝[0－－2＋－2＝18＝32，|AC|＝－42＋－2＝32＝4 2.∴△ABC的周长为|AB|＋|BC|＋|AC|＝52＋32＋42＝12 2.(2)∵|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝－5－a2＋＋2＝10，∴a＝1或－11.跟踪训练1 解设P(x,0)，由题意得d (P，A)＝x＋2＋－2＝x2＋6x＋25，d (P，B)＝x－2＋－32＝x 2－4x ＋7.由d (P ，A )＝d (P ，B )， 即x 2＋6x ＋25＝x 2－4x ＋7，化简得x ＝－95， 故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0， d (P ，A )＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋952＋42＝21095. 例2 解 设C 点坐标为(x 1，y 1)，则由E 为AC 的中点，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝4＋x 12，4＝2＋y 12，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－10，y 1＝6. 设D 点坐标为(x 2，y 2)，则由E 为BD 的中点，得⎩⎪⎨⎪⎧ －3＝5＋x 22，4＝7＋y 22，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－11，y 2＝1，故C 点坐标为(－10,6)，D 点坐标为(－11,1)．跟踪训练2 解 (1)由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ x －22＝1，5＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－3.(2)设所求点的坐标为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋42＝5，y ＋32＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－9， 故所求对称点的坐标为(6，－9)．例3 证明 如图所示，以顶点A 为坐标原点，AB 边所在直线为x 轴，建立直角坐标系，有A (0,0)．设B (a,0)，D (b ，c )，由平行四边形的性质，得点C 的坐标为(a ＋b ，c )．因为|AB |2＝a 2，|CD |2＝a 2，|AD |2＝b 2＋c 2，|BC |2＝b 2＋c 2，|AC |2＝(a ＋b )2＋c 2，|BD |2＝(b －a )2＋c 2，所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，|AC |2＋|BD |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)， 所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝|AC |2＋|BD |2.因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．跟踪训练3 证明 如图所示，以直角三角形的直角顶点C 为坐标原点，一直角边CA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则C (0,0)．设A (a,0)，B (0，b )，则斜边中点M 的坐标为(a 2，b 2)． 因为|OM |＝a 24＋b 24＝12a 2＋b 2， |BM |＝a 24＋b 2－b 2 ＝12a 2＋b 2， |MA |＝a －a 22＋b 24 ＝12a 2＋b 2， 所以|OM |＝|BM |＝|MA |.即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．当堂训练1．D 2.D 3.B 4．6解析 由中点公式得2＝a －22，3＝b ＋62，∴a ＝6，b ＝0.∴a ＋b ＝6.5．解 分以下三种情况(如图所示)．(1)以AC 为对角线构成▱ABCD 1.设D 1(x 1，y 1)，AC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52，其也为BD 1的中点坐标，∴12＝－1＋x12，52＝3＋y12，∴x1＝2，y1＝2，即D1(2,2)．(2)以BC为对角线构成▱ACD2B，同理得D2(4,6)．(3)以AB为对角线构成▱ACBD3，同理得D3(－6,0)．。

《点到直线的距离》教学设计一．1．教材分析 ⑴ 教学内容《点到直线的距离》人教B 版数学教科书必修二第二章第四课时，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用． ⑵ 地位与作用本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识．对“点到直线的距离”的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．2．学情分析高一年级学生已具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．根据我校学生基础知识较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高的学习现状和认知特点，本课采用类比发现式教学法． 3．教学目标依据上面的教材分析和学情分析，制定如下教学目标． ⑴ 知识技能① 理解点到直线的距离公式的推导过程； ② 掌握点到直线的距离公式；③ 掌握点到直线的距离公式的应用． ⑵ 数学思考① 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思想； ② 通过灵活应用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力． ⑶ 解决问题① 通过问题获得数学知识，经历“发现问题—提出问题—解决问题”的过程； ② 由探索特殊情况下A=0或B=0以及点()2,0P 到直线0x y -=的距离，推广到探索点()00,P x y 到直线0Ax By C ++=()22A B +≠0的距离的过程，使学生体会从特殊到一般、由具体到抽象的数学研究方法． ⑷ 情感态度结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学生的学习兴趣．二． 教学重点、难点1．教学重点⑴ 点到直线的距离公式的推导思路分析； ⑵ 点到直线的距离公式的应用．2．教学难点点到直线的距离公式的推导思路和算法分析．ll(2,OP ∴=2sin 45222PQ OP ∴==⨯= 2y x y =⎧∴⎨=-⎩2,OP ∴=12C d A ∴=ABC ABC=5例题，使生够板书设计：设计说明：1．对于这一节内容，有两种不同的处理方法：一种是仅让学生理解、记忆公式，直接应用而不讲公式的探寻过程，这样的教学不利于对学生数学思维的培养；另一种是本课所体现的方式，通过强调对公式的探索过程，提高学生利用代数方法处理几何问题的能力；2．由于点到直线的距离公式的证明过程含字母运算，比较抽象．让学生的思路沿着由特殊到一般的方式证明结论，特别是增加了设而不求的数学方法，突出几何直观和数形结合的思想方法；3．学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆，所以可将应用公式的前提条件等学生容易忽略的环节，设置在补充的例题练习中，以便达到强化训练的目的．课题：点到直线的距离 1．问题1当A=0或B=0时,直线为y=y 1或x=x 1的形式. 如何求点到直线的距离？ 2． 问题1 如何求点(2,0)P 到直线0x y -=的距离？ 方法① 方法② 方法③ 3． 问题3 如何求点P 00(,)x y 到直线0Ax By C ++= 的距离（220A B +≠）？ 方法① 利用定义的算法 方法② 设而不求的算法点到直线的距离公式4．典型例题 例1 例25．课堂练习 6．课堂小结 7．课后作业。

人教版高中必修2(B版)2.4.2空间两点的距离公式教学设计一、教学目标1.能够理解和掌握空间两点的距离公式；2.能够应用空间两点的距离公式解决实际问题；3.能够运用空间两点的距离公式检验三角形是否为等腰三角形；4.能够将所学知识运用于实际生活中。

二、教学重点和难点1.教学重点：空间两点的距离公式的掌握和应用；2.教学难点：将所学知识运用于实际生活中。

三、教学过程设计（一）导入新知识1.通过实物模型（如立体图形）让学生感受空间概念；2.提问：如何求出两点之间的距离？3.引入“勾股定理”的概念。

（二）讲解知识点1.对空间两点的距离公式进行讲解；2.补充：空间两点的距离公式的推导过程。

（三）例题演示1.解析例题，演示如何应用空间两点的距离公式；2.强调：在解题过程中要注意有效数字的处理和单位的换算。

（四）实例讲解1.选择与学生生活有关的实例，如：“求某地到家的最短距离”等；2.根据实例进行讲解，让学生更好地理解和应用所学知识。

（五）课堂练习1.进行一些简单的练习，让学生熟练掌握空间两点的距离公式；2.难度逐渐加大，拓宽学生的思维。

（六）小结1.总结所学知识点，强化记忆；2.提问：你学到了什么？有何收获？四、板书设计1.空间两点的距离公式：d=√[(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 -z1)²]2.应用举例：求点A(1,2,3)和点B(4,5,6)之间的距离。

五、教学反思本课程是对《人教版高中必修2(B版)2.4.2空间两点的距离公式》的一次教学设计。

在教学过程中，需要重点强化学生对知识点的理解和应用能力，着眼于将所学知识运用于实际生活中。

同时，在教学过程中可以多加提问，拓展学生的思维广度，使学生能够全面理解和掌握该知识点。

人教A版高中数学必修教案：空间两点间的距离公式一、教学目标：1. 理解空间两点间的距离公式的推导过程。

2. 掌握空间两点间的距离公式的应用。

3. 培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

二、教学重点：1. 空间两点间的距离公式的推导。

2. 空间两点间的距离公式的应用。

三、教学难点：1. 空间两点间的距离公式的理解。

2. 空间两点间的距离公式的灵活运用。

四、教学准备：1. 教师准备PPT或者黑板，展示空间两点间的距离公式及相关例题。

2. 学生准备笔记本，记录教学内容和解题步骤。

五、教学过程：1. 引入新课：通过简单的实例，引导学生思考空间两点间的距离如何计算。

2. 推导公式：引导学生通过几何图形的分析，推导出空间两点间的距离公式。

3. 讲解公式：解释空间两点间的距离公式的含义，解释各个变量的意义。

4. 例题讲解：通过具体的例题，讲解如何应用空间两点间的距离公式进行计算。

5. 练习巩固：让学生独立完成一些练习题，巩固对空间两点间的距离公式的理解和应用。

6. 总结归纳：对本次课程的内容进行总结，强调重点和难点。

7. 作业布置：布置一些相关的作业题，让学生进一步巩固所学内容。

六、教学拓展：1. 通过多媒体展示空间几何体的图像，帮助学生更好地理解空间两点间的距离公式。

2. 引导学生思考空间两点间的距离公式在实际问题中的应用，如测量、建筑设计等。

七、课堂互动：1. 教师提出问题，引导学生思考并回答空间两点间的距离公式的推导过程。

2. 学生分组讨论，分享彼此对空间两点间的距离公式的理解和应用方法。

3. 教师选取学生的回答进行点评和指导，帮助学生巩固知识点。

八、教学评价：1. 课堂讲解：评价学生对空间两点间的距离公式的理解和掌握程度。

2. 练习题：评价学生对空间两点间的距离公式的应用能力。

3. 作业：评价学生对空间两点间的距离公式的巩固和运用情况。

九、课后作业：1. 复习空间两点间的距离公式，巩固知识点。

2. 完成一些相关的习题，提高对空间两点间的距离公式的应用能力。

空间两点间的距离教学案学习目标：1。

通过具体到一般的过程，让学生推导出空间两点间的距离公式。

2．通过类比的方式得到空间两点构成的线段的中点公式，并证明掌握。

重点：1。

通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。

2掌握空间两点间的距离公式及其应用。

难点：空间两点间的距离公式的推导及其应用。

问题1：平面直角坐标系中的许多公式能推广到空间直角坐标系中去吗？问题2：回忆平面直角坐标系中两点的距离公式如何表示？问题3：试猜想空间直角坐标系中两点的距离公式。

新知探究：1 已知空间两点P1（2,2,5），P2（5,4，-1），求这两点间P1 P2的距离。

2．通过上面两个点之间的距离的推导，猜测一下如果在空间中有任意两点），，），，，22221111z y (x P z y (x P ，则这两点间的距离为3．上面的距离等式还不能称为公式，这只是进行类比后推导出来的结果。

只有经过证明后，这个等式才可以作为公式进行使用。

这个公式该如何证明？4．回忆平面直角坐标系中两点），），，222111y (x P y (x P 的线段P1 P2的中点M 的坐标是5．已知空间中两点），，），，，22221111z y (x P z y (x P ，线段P1 P2的中点M 的坐标是例题 ：例1：求空间两点P1（3,-2,5），P2（6,0，-1）间的距离P1P2【变式训练】已知空间两点P1（x,-2, 5），P2（6,0，-1），且两点间的距离P1P2= 7 ，求x 的值。

例2：平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为 1y x 22=+。

在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的方程。

【变式训练】1平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为 1y x 22=+，在空间中方程仍为1y x 22=+的轨迹是2．点P 在坐标平面xoy 内，A 点的坐标是（-1,2,4），问满足条件 ︳PA ︳=5的点P 的轨迹是例3证明：以A （4,3,1）、B （7,1,2）、C （5,2,3）为顶点的 △ABC 是等腰三角形。

对应学生用书P75知识点一空间两点间的距离高中数学第二章平面解析几何初步2.4.2空间两点的距离公式练习（含解析）新人教B版必修21．在空间直角坐标系中，点A(3，2，－5)到x轴的距离d等于( )A．32＋22 B．22＋－52C．32＋－52 D．32＋22＋－52答案 B解析过点A作AB⊥x轴于点B，则B(3，0，0)，所以点A到x轴的距离d＝|AB|＝22＋－52．2．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO－A′B′C′O′，则A′C 的中点E与AB的中点F的距离为( )A．2aB．22aC．aD．12a答案 B解析A′(a，0，a)，C(0，a，0)，点E的坐标为a2，a2，a2，而F⎝⎛⎭⎪⎫a，a2，0，∴|EF|＝a24＋02＋a24＝22a，故选B．知识点二空间两点间距离公式的应用3．点P(x ，y ，z)满足x －12＋y －12＋z ＋12＝2，则点P 在( )A ．以点(1，1，－1)为球心，以2为半径的球面上 B ．以点(1，1，－1)为中心，以2为棱长的正方体内 C ．以点(1，1，－1)为球心，以2为半径的球面上 D ．以上都不正确 答案 C 解析x －12＋y －12＋z ＋12表示P(x ，y ，z)到点M(1，1，－1)的距离，即|PM|＝2为定值．故点P 在以点(1，1，－1)为球心，以2为半径的球面上．4．如图所示，PA ，AB ，AD 两两垂直，四边形ABCD 为矩形，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：MN⊥AB．证明 如图所示，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，设B(a ，0，0)，D(0，b ，0)，C(a ，b ，0)，P(0，0，c)，连接AN ．因为M ，N 分别是AB ，PC 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，c 2，则|AM|2＝a 24，|MN|2＝b 2＋c 24，|AN|2＝a 2＋b 2＋c24，所以|AN|2＝|MN|2＋|AM|2，所以MN⊥AB．对应学生用书P75一、选择题1．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )A ．62 B ． 3 C ．32 D ．63答案 A解析 如图所示，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，设正方体的棱长为a(a ＞0)，则点P 在顶点B 1处，建立分别以OA ，OC ，OO 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，则点P 的坐标为(a ，a ，a)，由题意得a 2＋a 2＝1，∴a 2＝12，∴|OP|＝3a 2＝3×12＝62． 2．与两点A(3，4，5)，B(－2，3，0)距离相等的点M(x ，y ，z)满足的条件是( ) A ．10x ＋2y ＋10z －37＝0 B ．5x －y ＋5z －37＝0 C ．10x －y ＋10z ＋37＝0 D ．10x －2y ＋10z ＋37＝0 答案 A解析 由|MA|＝|MB|，即(x －3)2＋(y －4)2＋(z －5)2＝(x ＋2)2＋(y －3)2＋z 2，化简得10x ＋2y ＋10z －37＝0，故选A ．3．到定点(1，0，0)的距离小于或等于2的点的集合是( ) A ．{(x ，y ，z)|(x －1)2＋y 2＋z 2≤2} B ．{(x ，y ，z)|(x －1)2＋y 2＋z 2≤4} C ．{(x ，y ，z)|(x －1)2＋y 2＋z 2≥4}D ．{(x ，y ，z)|x 2＋y 2＋z 2≤4} 答案 B解析 由空间两点间的距离公式可得，点P(x ，y ，z)到定点(1，0，0)的距离应满足x －12＋y 2＋z 2≤2，即(x －1)2＋y 2＋z 2≤4．4．△ABC 的顶点坐标是A(3，1，1)，B(－5，2，1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，2，3，则它在yOz 平面上射影的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 D解析 △ABC 的顶点在yOz 平面上的射影点的坐标分别为A′(0，1，1)，B′(0，2，1)，C′(0，2，3)，∵|A′B′|＝0－02＋1－22＋1－12＝1，|B′C′|＝0－02＋2－22＋3－12＝2， |A′C′|＝0－02＋2－12＋3－12＝5，∴|A′B′|2＋|B′C′|2＝|A′C′|2，∴△ABC 在yOz 平面上的射影△A′B′C′是一个直角三角形，它的面积为1．5．已知A(x ，5－x ，2x －1)，B(1，x ＋2，2－x)，当|AB|取最小值时，x 的值为( ) A ．19 B ．－87 C ．87 D ．1914答案 C 解析 |AB|＝x －12＋3－2x2＋3x －32＝14x 2－32x ＋19＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57， ∴当x ＝87时，|AB|最小．二、填空题6．在空间直角坐标系中，设A(m ，1，3)，B(1，－1，1)，且|AB|＝22，则m ＝________． 答案 1 解析 |AB|＝m －12＋[1－－1]2＋3－12＝22，解得m ＝1．7．已知点P 32，52，z 到线段AB 中点的距离为3，其中A(3，5，－7)，B(－2，4，3)，则z ＝________．答案 0或－4解析 由中点坐标公式，得线段AB 中点的坐标为12，92，－2．又点P 到线段AB 中点的距离为3，所以32－122＋52－922＋[z－－2]2＝3，解得z＝0或－4．8．点B(3，0，0)是点A(m，2，5)在x轴上的射影，则点A到原点的距离为________．答案4 2解析由点B(3，0，0)是点A(m，2，5)在x轴上的射影，得m＝3，所以点A到原点的距离为d＝32＋22＋52＝32＝42．三、解答题9．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E，F分别是棱AB，B1C1，AC的中点，求|DE|，|EF|．解以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|CC1|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由空间直角坐标系中的中点坐标公式可得D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，∴|DE|＝1－02＋1－12＋0－22＝5，|EF|＝0－12＋1－02＋2－02＝6．10．如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0<a<2)，(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小．解由于平面ABCD、ABEF互相垂直，其交线为AB，且CB⊥AB，所以CB⊥平面ABEF，故以B为原点O，BC所在直线为z轴正半轴，BA所在直线为x轴正半轴，BE所在直线为y轴正半轴，建立空间直角坐标系．由于N点在对角线BF上，且BN＝a，N点到x轴和到y轴的距离相等，所以N点坐标为2 2a，22a，0．同理M点的坐标为M22a，0，1－22a．于是：(1)MN＝22a－22a2＋22a－02＋22a－12＝a－222＋12，0<a<2．(2)由(1)知MN＝a－222＋12，故当a＝22时，MN有最小值，且最小值为22．。