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(新课标)2019届高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.4定积分与微积分基本定理课件理

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高考数学一轮复习第三章导数及其应用第四节定积分与微积分基本定理课件理

高考数学一轮复习第三章导数及其应用第四节定积分与微积分基本定理课件理
0
7－3t＋12＋5 t
dt
＝
7t－32t2＋25ln1＋t
4 0
＝
4
＋
25ln 5.
(2)由题意知，力 F(x)所做的功为
W＝4F(x)dx＝25dx＋4(3x＋4)dx



0
0
2
＝5×2＋32x2＋4x42
＝10＋32×42＋4×4－32×22＋4×2＝36(焦)．
答案：163
[典题 3] (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急
情况而刹车，以速度 v(t)＝7－3t＋12＋5t(t 的单位：s，v 的单位：
m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是
()
A．1＋25ln 5
B．8＋25ln131
C．4＋25ln 5
D．4＋50ln 2
(2)一物体在力 F(x)＝53，x＋0≤4，x≤x＞2，2 (单位：N)的作用下
由yy＝＝x－x，2 得交点 A(4,2)．因此 y＝ x与 y＝x－2 及 y 轴所 围成的图形的面积为4 x－x－2dx＝

0
(2)
建立如图所示的平面直角坐标系，由抛物线过点(0，－2)，(－
5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为 y＝225x2－2，抛物线与 x 轴
(1)设函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则bf(x)dx＝bf(t)dt.( )


a
a
(2)定积分一定是曲边梯形的面积．( )
(3)若bf(x)dx<0，那么由 y＝f(x)，x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成 a
的图形一定在 x 轴下方．( )
(4)若 f(x)是偶函数，则∫a－a f(x) dx＝2∫a0f(x) dx.( ) (5)微积分基本定理中 F(x)是唯一的．( )

高三理数一轮复习 第三章 导数及其应用 3.4 定积分与微积分基本定理

高三理数一轮复习 第三章 导数及其应用 3.4 定积分与微积分基本定理

������ ������
f(t)dt.
(
)
(2)若
f(x)是连续的偶函数,则
������ -������
f(x)dx=2
������ 0
f(x)dx;若
f(x)是连续
的奇函数,则
������ -������
f(x)dx=0.
()
(3)在区间[a,b]上连续的曲线 y=f(x)和直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 所
2
-������
|12
=
1-
1 2
-0+
1 2
×
22-2
−
1×
2
12-1
=1.
考点1
考点2
考点3
-14-
解题心得计算定积分的解题步骤: (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数 与常数的积的和或差. (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分. (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数. (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值,然后求其代数和.
f(x) 2.定积分的几何意义
(,定积分
������ ������
的几dx
何意义是由直线x=a,x=b,y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面
积(图①中阴影部分).
图①
图②
(2)一般情况下,定积分
������ ������
f(x)dx 的几何意义是介于x轴、曲线
; (其中 a<c<b).
-7-
知识梳理 双基自测
1234
4.微积分基本定理
一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F'(x)=f(x),那么

高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第3节 定积分与微积分基本定理课件

高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第3节 定积分与微积分基本定理课件

a
表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的__曲__边__梯__形___的面积
f(x)＜0
表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的 __相__反__数__
f(x)在[a，b] 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积__减__去____位于x轴下方的曲边梯形的
(2)若m
－x2－2x dx＝π4，则 m＝________.
－2
12/11/2021
解析 (1)1 ( 1－x2＋xcos x)dx＝1 1－x2dx＋1 xcos xdx.
－1
－1
－1
∵1
1－x2dx 表示位于 x 轴上方半圆 x2＋y2＝1 的面积，
－1
∴1
1－x2dx＝π2，
－1
又 t＝xcos x 为奇函数，知1 xcos xdx＝0， －1
两部分面积之和，即 S＝22 2xdx＋8( 2x－x＋4)dx＝18.
0
2
法二 选取纵坐标 y 为积分变量，则图中阴影部分的面积
S＝4
y＋4－12y2dy＝18.
－2
答案 18
12/11/2021
规律方法 1.运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常 用此方法求定积分. 2.利用定积分求曲边梯形面积的基本步骤：画草图、解方程得积分上、下限，把面 积表示为已知函数的定积分(注意：两曲线的上、下位置关系，分段表示的面积之 间的关系).
答案
4 9
12/11/2021
6.(2020·长沙一中月考)定积分2 ( 4－x2＋x)dx＝________. －2
解析
2
4－x2dx 表示圆 x2＋y2＝4 在 x 轴及其上方的面积.

第三章导数及其应用3-4定积分与微积分基本定理(理)

第三章导数及其应用3-4定积分与微积分基本定理(理)



(4)公式法：套用公式求定积分，避免繁琐 的运算，是求定积分常用的方法． (5)定义法：用定义求定积分是最基本的求 定积分方法．

[例1] 用定积分的定义求由y＝3x，x＝0，x ＝1，y＝0
[解析] (1)分割：把区间[0,1]等分成n个小区间
i－1 i 1 n ，n (i＝1,2，…，n)．其长度为Δx＝ n ，把曲边
2x
1 2 1 1－1|x|dx＝2 xdx＝2× x |0 ＝1； 解析：(1) 2
1 0
1 1 3 1 －3 2 (2) x ＋x4dx＝ 3x －3x 1
2 1

2
8 1 1 1 21 ＝ － － ＋ ＝ . 3 3 3×8 3 8
＝(x
2
1 3 3 32 3 ＋3x)|－1 － x |－1 ＝ . 3 3
32 答案： 3

点评：利用定积分求平面图形的面积时，关 键是将待求面积的平面图形看成可求积分的 平面图形的和或差，还要注意待求面积的平 面图形在y轴上方还是下方，以确定积分的 正负．
由曲线y＝ x，y＝x2所围成图形的面积为____．
b a b a
n －1 i ＝0
分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积 式．此时称函数f(x)在区间[a，b]上可积．
对定义的几点说明：
b f(x)dx是一个常数． (1)定积分
a
(2)用定义求定积分的一般方法是： ①分割区间：将区间分为n个小区间，实际应用 中常常是n等分区间[a，b]； ②近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；
b－a ③求和： f(ξi)· ； n i＝1

2019版高考数学一轮总复习第三章导数及应用4定积分与微积分基本定理课件(理)

2019版高考数学一轮总复习第三章导数及应用4定积分与微积分基本定理课件(理)
b v＝v(t)[v(t)≥0]在时间区间[a，b]上的定积分，即 s＝ v(t)dt．

a
(3)如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动， 并且物体沿着 与 F(x)相同的方向从 x＝a 移动到 x＝b(a<b)，那么变力 F(x)所做
b 的功 W＝ F(x)dx．
a
1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．
b b (1)若函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则 f(x)dx＝ f(t)dt.
a a
b (2)若 f(x)dx<0，则由 y＝f(x)，x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成
a
的图形一定在 x 轴下方．
a a (3)若 f(x)是偶函数，则 f(x)dx ＝ 2 f(x)dx.

0

0

1
2 2 1 ∴ f(x)dx＝ f(x)dx－ f(x)dx＝－1－1＝－2.
1 0 0
6．(2015· 天津)曲线 y＝x2 与直线 y＝x 所围成的封闭图形的 面积为________．
答案 解析 1 6 两曲线的交点坐标为(0，0)，(1，1)，所以它们所围成的
b a b a
f（x）dx
n
＝lim ∑ n→∞ i＝1
其定义体现求定积分的四个步骤： ①分割；②近似代替；③取和；④取极限． 定积分运算律
b b (1) kf(x)dx＝k f(x)dx；
a a
b b b (2) f [f1(x)± 2(x)]dx＝ f1(x)dx± f2(x)dx；
第4课时 定积分与微积分基本定理
…2018 考纲下载… 1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解 定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义． 请注意 本节为新增内容，高考中多以选择填空题形式考查，主要借 助微积分基本定理求定积分或解决几何或物理知识．

2019版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第五节定积分与微积分基本定理实用课件理

2019版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第五节定积分与微积分基本定理实用课件理

＝0，
所以f(x)＝3x3＋4sin x在[－5,5]上是奇函数，
所以0 (3x3＋4sin x)dx＝－5(3x3＋4sin x)dx，


－5
0
5
所以
5


(3x3＋4sin
x)dx＝
0


(3x3＋4sin
x)dx＋

(3x3＋4sin
0
－5
－5
x)dx＝0.
[方法技巧]
利用定积分的几何意义求定积分
(1)1 1－x－12dx； 0
(2)
5

(3x3＋4sin x)dx.

－5
[解]
(1)根据定积分的几何意义，可知
1


0
1－x－12 dx表示的是圆(x－1)2＋y2＝1的面
积的14(如图所示的阴影部分)．故1 1－x－12 0
bf(x)dx＝F(x)| ba＝ F(b)－F(a) ．

a
[基本能力]
(1)

π 2
0
(3x＋sin x)dx＝________.
答案：38π2＋1
(2)
2


ex－2xdx＝________________.
1
答案：e2－e－2ln 2
(3)
1

e|x|dx 的值为________．
2.[考点一、二](2018·山西康杰中学月考)设f(x)＝
1－x2，x∈[－1，1， x2－1，x∈[1，2]，
则2
f(x)dx的值为

－1
()
A.π2＋43
B.π2＋3
C.π4＋43

新课标高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.4定积分与微积分基本定理课件理


第九页，共25页。
(2016·丽水模拟)曲线 y＝x2 和曲线 y2＝x 围 成的图形面积是________．
解：由yy＝2＝xx2，
得x＝0，或x＝1， y＝0 y＝1，
则所求面积
为1( x－x2)dx＝23x32－13x3|10＝13.故填13. 0
第十页，共25页。
(2016·苍南模拟)1( 1－x2－x)dx＝________. 0
2．利用定积分求曲线围成图形的面积，关键是画出图形，结合图 形确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微 积分基本定理求出积分值．
3．利用定积分解决简单的物理问题，关键是要掌握定积分的物理 意义，结合物理学中的相关内容，将物理问题转化为定积分来解决．
第二十五页，共25页。
解：01( 1－x2－x)dx＝01 1－x2dx－01xdx＝π4
－12x2|10＝π4 －12.故填π4 －12.
第十一页，共25页。
类型一 计算简单函数的定积分
计算下列定积分：
(1)－ 3 1(3x2－2x＋1)dx； (2)2x－1xdx；
1
(3)π(sinx－cosx)dx. 0
第十二页，共25页。
点分别为(－1，0)和(1，0)．
所以 S＝2|x2－1|dx＝1(1－x2)dx＋2(x2－1)dx
0
0
1
＝x－x33|10＋x33－x|12＝1－13＋38－2－13－1＝
2.故填 2.
【点拨】用定积分求面积的基本方法：求出交点，结合图形求面积．应 注意：对于有交叉的图形，需要分段处理；对于具有对称性的图形，要利 用对称性，使问题简化．
解：(1)－3 1(3x2－2x＋1)dx＝(x3－x2＋x)|3－1＝24.

全国通用高考数学一轮复习第三章导数及其应用第3讲定积分与微积分基本定理课件理新人教A版



故所求面积 S＝1
0
x＋13xdx＋132－x＋13xdx
＝




3 2
x
3 2

1 6
x2




10＋


2x

16＋43＝163.


(2)由yy＝ ＝xk2x，，得xy＝ ＝00，或xy＝ ＝kk， 2，则曲线 y＝x2与直线 y＝kx(k>0)
(1)bkf(x)dx＝_____a______(k 为常数).

a
bf1(x)dx±bf2(x)dx
(2)b[f1(x)±f2(x)]dx＝__a_________a______.

a
c

f(x)dx
(3)bf(x)dx＝____a________＋bf(x)dx(其中 a＜c＜b).
【例 2】 (1)已知曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－13x 所围成图形的 面积为 S，则 S＝________. (2)已知曲线 y＝x2 与直线 y＝kx(k＞0)所围成的曲边图形的面 积为43，则 k＝________. 解析 (1)由yy＝＝2－x，x 得交点 A(1，1)； y＝2－x， 由y＝－13x 得交点 B(3，－1).
(2)由定积分的几何意义知，3 9－x2dx 是由曲线 y＝ 9－x2， 0
直线 x＝0，x＝3，y＝0 围成的封闭图形的面积.故3 9－x2dx 0
＝π·4 32＝9π 4 .
答案
(1)C
9π (2) 4
规律方法 (1)运用微积分基本定理求定积分时要注意以下 几点： ①对被积函数要先化简，再求积分； ②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的 可加性”，分段积分再求和； ③若被积函数具有奇偶性时，可根据奇、偶函数在对称区 间上的定积分性质简化运算. (2)运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数 不易找到时常用此方法求定积分.
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0 1
(2016· 丽水模拟)曲线 y＝x2 和曲线 y2＝x 围 成的图形面积是________．
2 y ＝ x ， x＝0， x＝1， 解： 由 2 得 或 则所求面积 y ＝x y＝0 y＝1，
2 1 3 1 1 1 为 ( x－x )dx＝ x － x |0＝ .故填 . 3 3 3 3 0
a
做牛顿－莱布尼兹公式．常常把 F(b)－F(a)记作_______________，即 b f(x)dx＝_____________＝_______________.
a
4．定积分在几何中的简单应用 (1)当函数 f(x)在区间[a，b]上恒为正时，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的 曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积 S＝____________.
第三章 第一章
集合与常用逻辑用语 导数及其应用
3．4 定积分与微积分基本定理
1．定积分的定义 (1)如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成 n 个小区 n ba f ( i ) ． 间， 在每个小区间上任取一点 ξi(i＝1， 2， „， n)作和式 y＝ ， y＝1 所围成的图形的面 4
积为( 3 A. 4
) B．1 4 C. 3 D．2
解：因为曲线所围成的图形关于 y 轴对 称，如图所示，面积 S 满 2 2 x x 1 2 1 2 2 足 S＝ x － 4 dx＋ 1－ 4 dx＝ ， 2 3 4 所以 S＝ .故选 C. 3
自查自纠
1．(1)bf(x)dx 被积函数 积分变量
a
被积式 积分区间
(2)分割 取极限 2．(1)kbf(x)dx (2)bf1(x)dx±bf2(x)dx (3)c f(x)dx＋bf(x)dx
a
a
a
a
c
b 3．F(b)－F(a) F(x)|a F(b)－F(a) F(x)|b a 4．(1)bf(x)dx (2)－bf(x)dx (3)b[f(x)－g(x)]dx (4)2af(x)dx
0
5．(1) V(t)dt (2)bF(x)dx (3)bF(x)cosθ dx
a
a b
a
a
0
a
a
x (2017· 西安调研)定积分∫1 (2 x ＋ e )dx 的值为( 0
)
A．e＋2
B．e＋1
C．e
D．e－1
x 2 x 1 1 解：∫1 (2 x ＋ e )d x ＝ ( x ＋ e )| ＝ 1 ＋ e －1＝e.故选 C. 0 0
－a
奇函数，则a f(x)dx＝__________(其中 a>0)．
－a
5．定积分在物理中的简单应用 (1)作变速直线运动的物体(速度函数为 V(t)，速度方向不变)在时间 区间[a，b]上所经过的路程 S＝____________. (2)在变力 F＝F(x)的作用下，物体沿力 F 的方向作直线运动，并且 由 x＝a 运动到 x＝b(a＜b)，则力 F 对物体所做的功 W＝____________. (3)在变力 F＝F(x)的作用下，物体沿与力 F 的方向成 θ 角的方向作 直线运动，并且由 x＝a 运动到 x＝b(a＜b)，则力 F 对物体所做的功 W ＝____________.

时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的定 n ba f ( i ) ． 其中 f(x) 称 为 积 分 ，记 作 ____________ ， 即 b f(x)dx ＝ lim n a n i 1

____________ ， x 称 为 ____________ ， f(x)dx 称为 ____________ ， [a ， b] 为 ____________，a 为积分下限，b 为积分上限， “∫”称为积分号． (2)用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体 步骤为________、近似代替、求和、____________________________________.
(2016· 山西模拟)已知1(x2＋mx)dx＝0，则实数 m 的
0
值为(
) 2 B．－ 3 C．－1 D．－2
1 A．－ 3
1 3 1 2 1 1 1 解：根据题意有 (x ＋mx)dx＝ 3x ＋2mx |0＝ ＋ m 3 2
1 0 2
2 ＝0，解得 m＝－ .故选 B. 3
一般情况下，定积分bf(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲线 y＝f(x)以及直线 x＝a，x＝b 之间的曲
a
边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和，其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在 x 轴下方 的面积等于该区间上积分值的相反数．
(4)若 f(x)是偶函数，则a f(x)dx＝__________(其中 a>0)；若 f(x)是
2．定积分的性质 (1)bkf(x)dx＝____________(k 为常数)； (2)b[f1(x)± f2(x)]dx＝____________________； (3)bf(x)dx＝____________________ (其中 a＜c＜b)．
a a a
3．微积分基本定理 一般地， 如果 f(x)是区间[a， b]上的连续函数， 并且 F′(x)＝f(x) ， 那么bf(x)dx＝_____________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫
(2)当函数 f(x)在区间[a，b]上恒为负时，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)围成的曲 边梯形(图乙中阴影部分)的面积 S＝____________. (3)当 x∈[a，b]有 f(x)＞g(x)＞0 时，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)，y＝g(x)围成 的曲边梯形(图丙中阴影部分)的面积 S＝____________.