2013-2014版高中数学(人教A版)选修1-1配套Word版活页训练第一章 常用逻辑用语1、3

高中数学选修1-1（全册）习题（答案详细讲解）目录：数学选修1-1第一章常用逻辑用语 [基础训练A组]第一章常用逻辑用语 [综合训练B组]第一章常用逻辑用语 [提高训练C组]第二章圆锥曲线 [基础训练A组]第二章圆锥曲线 [综合训练B组]第二章圆锥曲线 [提高训练C组]第三章导数及其应用 [基础训练A组]第三章导数及其应用 [综合训练B组]第三章导数及其应用 [提高训练C组]（数学选修1-1）第一章常用逻辑用语[基础训练A 组]一、选择题1．下列语句中是命题的是（）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin 451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．下列说法中正确的是（）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ?是q ?的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1．命题：“若a b ?不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是。

第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题A级基础巩固一、选择题1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，在这4句诗中，可作为命题的是( )A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在南方”，故本句是命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题．答案：A2．下列命题为真命题的是( )A．若1x＝1y，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝yD．若x＜y，则x2＜y2解析：很明显A正确；B中，由x2＝1，得x＝±1，所以B是假命题；C中，当x＝y＜0时，结论不成立，所以C是假命题；D中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以D是假命题．答案：A3．给出下列命题：①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；②若a、b都是正实数，则a＋b≥2ab；③若x2＞x，则x＞1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题为( )A．①③B．①②③C．①③④D．①④解析：①显然错误，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2＞x，得x＜0或x＞1，所以③是假命题；④中函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，④是假命题．答案：C4．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )A ．两个平面B ．一条直线C ．垂直D ．两个平面垂直于同一条直线解析：把命题改为“若p 则q ”的形式为若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行，则条件为“两个平面垂直于同一条直线”．答案：D5．下列语句中命题的个数为( )①若a ，G ，b 成等比数列，则G 2＝ab .②4－x 2≥0.③梯形是中心对称图形．④π>2吗？⑤2016年是我人生中最难忘的一年！A ．2B ．3C ．4D ．5解析：依据命题的概念知④和⑤不是陈述句，故④⑤不是命题；再从“能否判断真假”的角度分析：②不是命题．只有①③为命题，故选A.答案：A二、填空题6．下列语句：①2是无限循环小数；②x 2－3x ＋2＝0；③当x ＝4时，2x >0；④把门关上！其中不是命题的是________．解析：①是命题；②不是命题，因为语句中含有变量x ，在没给变量x 赋值的情况下，无法判断语句的真假；③是命题；④是祈使句，不是命题．答案：②④7．已知命题“f (x )＝cos 2ωx －sin 2ωx 的最小正周期是π”是真命题，则实数ω的值为________． 解析：f (x )＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝cos 2ωx ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪2π2ω＝π，解得ω＝±1. 答案：±18．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数；②二次函数的图象与x 轴有公共点；③平行四边形是梯形；④若ac 2＞bc 2，则a ＞b .其中真命题是________(写出所有真命题的编号)．解析：对于②，二次函数图象与x 轴不一定有公共点；对于③，平行四边形不是梯形． 答案：①④三、解答题9．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．(1)末位数字是0的整数能被5整除；(2)偶函数的图象关于y 轴对称；(3)菱形的对角线互相垂直．解：(1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除，为真命题．(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称，为真命题．(3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，为真命题．10．已知：A ：5x －1＞a ，B ：x ＞1，请选择适当的实数a ，使得利用A 、B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题．解：若视A 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x ＞1＋a 5，则x ＞1”．由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a ≥4； 若视B 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x ＞1，则x ＞1＋a 5”．由命题为真命题可知1＋a 5≤1，解得a ≤4.故a 取任一实数均可利用A ，B 构造出一个真命题，比如这里取a ＝1，则有真命题“若x＞1，则x ＞25”． B 级 能力提升1．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A ．4B ．2C ．1D ．－3解析：C 中，当a ＝1时，Δ＝12－4×1×1＝－3<0，方程无实根，其余3项中，a 的值使方程均有实根．答案：C2．①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2，6)，a//b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a|＝|b|＝|a －b|，则a 与a ＋b 的夹角为60°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析：取a ＝0，满足a·b ＝a·c ，但不一定有b ＝c ，故①不正确；当a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a//b时，6＋2k＝0，所以k＝－3，则②正确；非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|时，|a|，|b|，|a－b|构成等边三角形，所以a 与a＋b的夹角为30°，因此③错误．答案：②3．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)乘积为1的两个实数互为倒数；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同一直线平行的两个平面平行．解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”，它是真命题．(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．。

基础达标1．计算sin 2150°＋sin 2135°＋2sin 210°＋cos 2225°的值是( )． A.14 B ．34 C.114D ．94解析 原式＝sin 230°＋sin 245°－2sin 30°＋cos 245°＝14＋12－1＋12＝14. 答案 A2．若角α和β的终边关于y 轴对称，则下列各式中正确的是( )． A ．sin α＝sin β B ．cos α＝cos β C ．tan α＝tan βD ．cos (2π－α)＝cos β解析 ∵α和β的终边关于y 轴对称，∴不妨取α＝π－β，∴sin α＝sin (π－β)＝sin β. 答案 A3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α的值为( )．A.12 B ．－12 C.32D ．－32解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32.答案 C4．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋π3＝sin π3＝32.答案 325．化简sin (－α)cos (π＋α)tan (2π＋α)＝________. 解析 原式＝(－sin α)(－cos α)tan α ＝sin αcos αsin αcos α＝sin 2α. 答案 sin 2α6．若cos(π－x )＝32，x ∈(－π，π)，则x 的值为________． 解析 ∵cos(π－x )＝32，∴cos x ＝－32. ∵x ∈(－π，π)，∴x ＝±5π6. 答案 ±5π67．(2012·连云港高一检测)已知sin (α＋π)＝45，且sin αcos α<0，求2sin (α－π)＋3tan (3π－α)4cos (α－3π)的值．解 ∵sin (α＋π)＝45，∴sin α＝－45，又∵sin αcos α<0，∴cos α>0，cos α＝1－sin 2α＝35， ∴tan α＝－43. ∴原式＝－2sin α－3tan α－4cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－434×35＝－73. 能力提升8．化简1＋2sin (π－2)·cos (π－2)的结果为( )． A ．sin 2＋cos 2 B ．cos 2－sin 2 C ．sin 2－cos 2 D ．±(cos 2－sin 2)解析1＋2sin (π－2)·cos (π－2)＝1－2sin 2·cos 2＝(sin 2－cos 2)2＝|sin 2－cos 2|.∵2弧度在第二象限，∴sin 2>0>cos 2，∴原式＝sin 2－cos 2. 答案 C9．(2012·佛山期末)已知cos α＝13，cos(α＋β)＝1，则cos(2α＋β)＝________.解析∵cos(α＋β)＝1，∴α＋β＝2kπ(k∈Z)．∴cos(2α＋β)＝cos(α＋α＋β)＝cos(α＋2kπ)＝cos α＝1 3.答案1 310．在△ABC中，若sin (2π－A)＝－2sin (π－B)，3·cos A＝－2cos (π－B)，求△ABC的三内角．解由已知得sin A＝2sin B，3cos A＝2cos B．两式平方相加得2cos2A＝1，∴cos A＝±2 2.若cos A＝－22，则cos B＝－32.此时A、B均为钝角不可能．∴cos A＝22，故A＝π4，cos B＝32cos A＝32.∴B＝π6，C＝π－(A＋B)＝7π12.。

第三章导数及其应用3．1变化率与导数3．1．1变化率问题双基达标（限时20分钟）1．函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率f（x0＋Δx）－f（x0）Δx中，Δx不可能是()．A．大于0 B．小于0C．等于0 D．大于0或小于0答案 C2．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是()．A．4 B．4.1 C．0.41 D．3解析＝（3＋2.12）－（3＋22）0.1＝4.1.答案 B3．函数y＝x2＋x在x＝1到x＝1＋Δx之间的平均变化率为()．A．Δx＋2 B．2Δx＋(Δx)2C．Δx＋3 D．3Δx＋(Δx)2解析ΔyΔx＝f（1＋Δx）－f（1）Δx＝（1＋Δx）2＋（1＋Δx）－（12＋1）Δx＝Δx＋3.答案 C4．已知函数y＝2＋1x，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝________．解析 Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－(2＋1)＝－12.答案 －125．一个作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体在t ＝0到t ＝2之间的平均速度为________．解析 物体在t ＝0到t ＝2之间的平均速度为（3×2－22）－02－0＝1.答案 16．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在下列区间上f (x )及g (x )的平均变化率；(1)[－3，－1]；(2)[0，5]．解 (1)函数f (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为f （－1）－f （－3）（－1）－（－3）＝[2×（－1）＋1]－[2×（－3）＋1]2＝2，g (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为g （－1）－g （－3）（－1）－（－3）＝[－2×（－1）]－[－2×（－3）]2＝－2.(2)函数f (x )在区间[0，5]上的平均变化率为 f （5）－f （0）5－0＝（2×5＋1）－（2×0＋1）5＝2，g (x )在区间[0，5]上的平均变化率为g （5）－g （0）5－0＝－2×5－（－2×0）5＝－2.综合提高 （限时25分钟）7．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )． A ．4 B ．4x C ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2解析 Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝2（1＋Δx ）2－2Δx＝4＋2Δx .答案 C8．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1，1＋Δt ]内相应的平均速度为( )．A ．2Δt ＋4B ．－2Δt －4C ．4D ．－2Δt 2－4Δt解析 ＝4－2（1＋Δt ）2－（4－2×12）Δt ＝－4Δt －2（Δt ）2Δt＝－2Δt －4. 答案 B9．已知圆的面积S 与其半径r 之间的函数关系为S ＝πr 2，其中r ∈(0，＋∞)，则当半径r ∈[1，1＋Δr ]时，圆面积S 的平均变化率为________． 解析 当r ∈[1，1＋Δr ]时，圆面积S 的平均变化率为ΔS Δr ＝π（1＋Δr ）2－πΔr ＝π＋2π·Δr ＋（Δr ）2π－πΔr ＝2π＋πΔr .答案 2π＋πΔr10．国家环保局在规定的排污达标的日期前， 对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示．治污效果更好的企业是(其中W 表示排污量)________． 解析ΔW Δt ＝W （t 1）－W （t 2）Δt，在相同的时间内，由图可知甲企业的排污量减少的多，∴甲企业的治污效果更好． 答案 甲企业11．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x 台机器的成本是c (x )＝x 3－6x 2＋15x (元)，而售出x 台的收入是r (x )＝x 3－3x 2＋12x (元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？解 由题意，生产并售出x 台机器所获得的利润是：L (x )＝r (x )－c (x )＝(x 3－3x 2＋12x )－(x 3－6x 2＋15x )＝3x 2－3x ，故所求的平均利润为：L ＝L （20）－L （10）20－10＝87010＝87(元)．12．(创新拓展)婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率．解第一年婴儿体重平均变化率为11.25－3.7512－0＝0.625(千克/月)；第二年婴儿体重平均变化率为14.25－11.2524－12＝0.25(千克/月)．。

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2四种命题双基达标(限时20分钟）1．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是（）．A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉BC．若b∈B,则a∉A D．若b∉B,则a∉A解析注意“∈”与“∉”互为否定形式．答案B2．命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是（）．A．若A∪B＝B，则A∩B＝AB．若A∩B≠A，则A∪B≠BC．若A∪B≠B，则A∩B≠AD．若A∪B≠B，则A∩B＝A解析注意“A∩B＝A”的否定是“A∩B≠A"．答案C3．命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0"及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中真命题的个数为( ）．A．0 B．1 C．2 D．4解析原命题“对于正数a,若a〉1，则lg a〉0”是真命题；逆命题“对于正数a，若lg a〉0,则a〉1”是真命题；否命题“对于正数a,若a≤1，则lg a≤0"是真命题;逆否命题“对于正数a,若lg a≤0，则a≤1。

”是真命题．答案D4．“若x、y全为零,则xy＝0”的否命题为__________．解析由于“全为零”的否定为“不全为零”,所以“若x、y全为零，则xy＝0"的否命题为“若x、y不全为零，则xy≠0”．答案若x、y不全为零，则xy≠05．命题“当AB＝AC时,△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题有______个．解析原命题为真命题，逆命题“当△ABC是等腰三角形时，AB ＝AC"为假命题，否命题“当AB≠AC时，△ABC不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当△ABC不是等腰三角形时，AB≠AC”为真命题．答案26．将命题“正数a的平方大于零"改写成“若p，则q”的形式,并写出它的逆命题、否命题与逆否命题．解原命题可以写成：若a是正数，则a的平方大于零;逆命题：若a的平方大于零,则a是正数；否命题：若a不是正数，则a的平方不大于零；逆否命题:若a的平方不大于零，则a不是正数．综合提高(限时25分钟)7．命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为（）．A．0 B．2 C．3 D．4解析原命题“若a>b，则ac2>bc2（a,b，c∈R)”为假命题,逆命题“若ac2>bc2，则a〉b(a,b，c∈R)”为真命题,否命题“若a≤b，则ac2≤bc2,（a，b,c∈R)”为真命题，逆否命题“若ac2≤bc2，则a≤b （a，b，c∈R)”为假命题．答案B8．有下列四个命题:①“若x＋y＝0,则x，y互为相反数"的否命题；②“若a〉b,则a2〉b2”的逆否命题;③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；④“同位角相等"的逆命题．其中真命题的个数是________．解析①“若x＋y≠0，则x,y不互为相反数",是真命题．②“若a2≤b2，则a≤b",取a＝0，b＝－1，a2≤b2,但a〉b，故是假。

基础达标1．(2012·深圳高一检测)有三个命题：①π6与5π6的正弦线相等；②π3与4π3的正切线相等；③π4与5π4的余弦线相等．其中真命题的个数为( )． A ．1 B ．2 C ．3D ．0解析 根据三角函数线定义可知，π6与5π6的正弦线相等，π3与4π3的正切线相等，π4与5π4的余弦线相反． 答案 B2．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( )． A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <bD ．a <c <b解析 如图作出角α＝－1rad 的正弦线、余弦线及正切线，显然b ＝cos(－1)＝OM >0，c ＝tan(－1)<a ＝sin(－1)<0，即c <a <b . 答案 C3．在(0,2π)内，使sin α>cos α成立的α的取值范围为( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，54π B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫54π，32π解析 当α的终边在直线y ＝x 上时，直线y ＝x 与单位圆的交点为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22.此时α＝π4和54π，如图所示． 当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π时，恒有MP >OM .而当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫54π，2π时，则有MP <OM ，因此选C.答案 C4．角θ(0<θ<2π)的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同，则θ的值为________． 解析 由题意知，角θ的终边应在第一、三象限的角平分线上． 答案 π4，54π5．若α为锐角，则sin α＋cos α与1的大小关系是________． 解析 如图所示， sin α＝MP ，cos α＝OM ，在Rt △OMP 中，显然有OM ＋MP >OP ， 即sin α＋cos α>1. 答案 sin α＋cos α>16．使tan α>1成立的角α的取值范围为________． 解析 由于tan π4和tan 5π4都等于1，利用三角函数的正切线(如图)可知，角α的终边在图中阴影部分，故角α的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4<α<2k π＋π2或2k π＋5π4<α<2k π＋3π2，k ∈Z＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4<α<k π＋π2，k ∈Z. 答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4<α<k π＋π2，k ∈Z7．利用三角函数线，写出满足下列条件的角α的集合： (1)sin α≥22；(2)cos α≤12；(3)|cos α|>|sin α|.解 (1)由图①知：当sin α≥22时，角α满足的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪π4＋2k π≤α≤3π4＋2k π，k ∈Z.(2)由图②知：当cos α≤12时，角α满足的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪π3＋2k π≤α≤5π3＋2k π，k ∈Z. (3)如图③，作出单位圆． 所以角α满足的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π－π4<α<k π＋π4，k ∈Z . 能力提升8．(2012·杭州外国语学校高一检测)设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )．A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c解析 如图，在单位圆O 中分别作出角57π、27π、27π的正弦线M 1P 1，余弦线OM 2、正切线AT .由57π＝π－27π知M 1P 1＝M 2P 2， 又π4<27π<π2，易知AT >M 2P 2>OM 2， ∴cos 27π<sin 5π7<tan 2π7，故b <a <c . 答案 D9．已知集合E ＝{θ|cos θ<sin θ，0≤θ<2π}，F ＝{θ|tan θ<sin θ}，则E ∩F ＝________.解析 结合正弦线、余弦线，可知E ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π4<θ<54π.当π4<θ<π2时，sin θ<tan θ；当θ＝π2时，tan θ不存在；当π2<θ<π时，tan θ<sin θ；当π≤θ<5π4时，sin θ≤tan θ. 答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π2<θ<π 10．求函数y ＝log sin x (2cos x ＋1)的定义域．解 由题意得，要使函数有意义，则须⎩⎨⎧sin x >0且sin x ≠1，2cos x ＋1>0，如图所示，阴影部分(不含边界与y 轴)即为所求． 所以所求函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π<x <2k π＋π2，或2k π＋π2<x <2k π＋23π，k ∈Z.。

章末综合测评(一)常用逻辑用语(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“经过两条相交直线有且只有一个平面”是()A．全称命题B．特称命题C．p∨q形式D．p∧q形式【解析】此命题暗含了“任意”两字，即经过任意两条相交直线有且只有一个平面．【答案】 A2．(2015·湖南高考)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由于函数f(x)＝x3在R上为增函数，所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立．因此“x>1”是“x3>1”的充要条件，故选C.【答案】 C3．(2014·湖北高考)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是()A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝xC．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝x【解析】全称命题的否定，需要把全称量词改为特称量词，并否定结论．【答案】 D4．全称命题“∀x∈Z,2x＋1是整数”的逆命题是()A．若2x＋1是整数，则x∈ZB．若2x＋1是奇数，则x∈ZC．若2x＋1是偶数，则x∈ZD．若2x＋1能被3整除，则x∈Z【解析】易知逆命题为：若2x＋1是整数，则x∈Z.【答案】 A5．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是()A．p∧¬q B．¬p∧qC．¬p∧¬q D．p∧q【解析】命题p为真命题，命题q为假命题，所以命题¬q为真命题，所以p∧¬q为真命题，故选A.【答案】 A6．(2015·皖南八校联考)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是()A．全等三角形的面积不一定都相等B．不全等三角形的面积不一定都相等C．存在两个不全等三角形的面积相等D．存在两个全等三角形的面积不相等【解析】命题是省略量词的全称命题．易知选D.【答案】 D7．原命题为“若a n＋a n＋12＜a n，n∈N＋，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是() A．真，真，真B．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【解析】 从原命题的真假入手，由于a n ＋a n ＋12＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.【答案】 A8．给定两个命题p ，q .若¬p 是q 的必要而不充分条件，则p 是¬q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 q ⇒¬p 等价于p ⇒¬q ，¬pD ⇒/ q 等价于¬qD ⇒/ p .故p 是¬q 的充分而不必要条件．【答案】 A9．一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a ＜0B ．a ＞0C ．a ＜－1D ．a ＞1【解析】 一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根⇔3a ＜0，解得a ＜0，故a ＜－1是它的一个充分不必要条件．【答案】 C10．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )【导学号：26160027】A ．m ＞－1，n ＜5B ．m ＜－1，n ＜5C ．m ＞－1，n ＞5D ．m ＜－1，n ＞5【解析】 ∵P (2,3)∈A ∩(∁U B )，∴满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2×2－3＋m ＞0，2＋3－n ＞0，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－1，n ＜5. 【答案】 A11．下列命题中为真命题的是( )A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b ＝－1D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件【解析】 对于∀x ∈R ，都有e x >0，故选项A 是假命题；当x ＝2时，2x ＝x 2，故选项B 是假命题；当a b ＝－1时，有a ＋b ＝0，但当a ＋b ＝0时，如a ＝0，b ＝0时，a b 无意义，故选项C 是假命题；当a >1，b >1时，必有ab >1，但当ab >1时，未必有a >1，b >1，如当a ＝－1，b ＝－2时，ab >1，但a 不大于1，b 不大于1，故a >1，b >1是ab >1的充分条件，选项D 是真命题．【答案】 D12．下列命题中真命题的个数为( )①命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题；②设α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则“α<β ”是“tan α<tan β ”的充要条件； ③命题“自然数是整数”是真命题；④命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0.”A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ①命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，所以其逆否命题为真命题；②因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 时，正切函数y ＝tan x 是增函数，所以当α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，α<β⇔tan α<tan β，所以“α<β”是“tan α<tan β”的充要条件，即②是真命题；③命题“自然数是整数”是全称命题，省略了“所有的”，故③是真命题；④命题“∀x ∈R ，x 2＋x＋1<0”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≥0”，故④是假命题．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．设p ：x ＞2或x ＜23；q ：x ＞2或x ＜－1，则¬p 是¬q 的________条件．【解析】 ¬p ：23≤x ≤2.¬q ：－1≤x ≤2.¬p ⇒¬q ，但¬qD ⇒/ ¬p .∴¬p 是¬q 的充分不必要条件．【答案】 充分不必要14．若命题“对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】 若对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0，则Δ＝a 2＋16a <0，即－16<a <0；若对于任意实数x ，都有x 2－2ax ＋1>0，则Δ＝4a 2－4<0，即－1<a <1，故命题“对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是真命题时，有a ∈(－1,0)．而命题“对于任意实数 x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是假命题，故a ∈(－∞，－1]∪[0，＋∞)．【答案】 (－∞，－1]∪[0，＋∞)15．给出下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根”的逆否命题；④若sin α＋cos α>1，则α必定是锐角．其中是真命题的有________．(请把所有真命题的序号都填上)．【解析】 ②可利用逆命题与否命题同真假来判断，易知“相似三角形的周长相等”的逆命题为假，故其否命题为假．④中α应为第一象限角．【答案】 ①③16．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(3－x )＞0，若¬p 是¬q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．【解析】 p ：a －4＜x ＜a ＋4，q ：2＜x ＜3，∵¬p 是¬q 的充分条件(即¬p ⇒¬q )，∴q ⇒p ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，∴－1≤a ≤6. 【答案】 [－1,6]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)指出下列命题的构成形式，并写出构成它的命题：(1)36是6与18的倍数；(2)方程x2＋3x－4＝0的根是x＝±1；(3)不等式x2－x－12>0的解集是{x|x>4或x<－3}．【解】(1)这个命题是p∧q的形式，其中p：36是6的倍数；q：36是18的倍数．(2)这个命题是p∨q的形式，其中p：方程x2＋3x－4＝0的根是x ＝1；q：方程x2＋3x－4＝0的根是x＝－1.(3)这个命题是p∨q的形式，其中p：不等式x2－x－12>0的解集是{x|x>4}；q：不等式x2－x－12>0的解集是{x|x<－3}．18．(本小题满分12分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)全等三角形一定相似；(2)末位数字是零的自然数能被5整除．【解】(1)逆命题：若两个三角形相似，则它们一定全等，为假命题；否命题：若两个三角形不全等，则它们一定不相似，为假命题；逆否命题：若两个三角形不相似，则它们一定不全等，为真命题．(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则它的末位数字是零，为假命题；否命题：若一个自然数的末位数字不是零，则它不能被5整除，为假命题；逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则它的末位数字不是零，为真命题．19．(本小题满分12分)写出下列命题的否定并判断真假：(1)所有自然数的平方是正数；(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(3)∀x ∈R ，x 2－3x ＋3>0；(4)有些质数不是奇数．【解】 (1)所有自然数的平方是正数，假命题；否定：有些自然数的平方不是正数，真命题．(2)任何实数x 都是方程5x －12＝0的根，假命题；否定：∃x 0∈R,5x 0－12≠0，真命题．(3)∀x ∈R ，x 2－3x ＋3>0，真命题；否定：∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋3≤0，假命题．(4)有些质数不是奇数，真命题；否定：所有的质数都是奇数，假命题．20．(本小题满分12分)(2016·汕头高二检测)设p ：“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＝0”，q ：“函数y ＝x 2－2ax ＋a 2＋1在x ∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)”，若“p ∨q ”是假命题，求实数a 的取值范围．【解】 由x 20－ax 0＋1＝0有实根，得Δ＝a 2－4≥0⇒a ≥2或a ≤－2.因为命题p 为真命题的范围是a ≥2或a ≤－2.由函数y ＝x 2－2ax ＋a 2＋1在x ∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)，得a ≥0.因此命题q 为真命题的范围是a ≥0.根据p ∨q 为假命题知：p ，q 均是假命题，p 为假命题对应的范围是－2<a <2，q 为假命题对应的范围是a <0.这样得到二者均为假命题的范围就是⎩⎨⎧－2<a <2，a <0⇒－2<a <0. 21．(本小题满分12分)(2016·惠州高二检测)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0；命题q ：实数x 满足x 2－5x ＋6≤0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【解】 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )·(x －a )<0，又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1<x <3，由x 2－5x ＋6≤0得2≤x ≤3，所以q 为真时，实数x 的取值范围是2≤x ≤3.若p ∧q 为真，则2≤x <3，所以实数x 的取值范围是[2,3)．(2)设A ＝{x |a <x <3a }，B ＝{x |2≤x ≤3}，由题意可知q 是p 的充分不必要条件，则B A ，所以⎩⎨⎧0<a <2，3a >3⇒1<a <2，所以实数a 的取值范围是(1,2)． 22．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋x ，对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1恒成立，试求实数a 的取值范围. 【导学号：26160028】【解】 由f (x )＝ax 2＋x 是二次函数，知a ≠0.|f (x )|≤1⇔－1≤f (x )≤1⇔－1≤ax 2＋x ≤1，x ∈[0,1]，①当x ＝0，a ≠0时，①式显然成立；当x ∈(0,1]时，①式化为－1x 2－1x ≤a ≤1x 2－1x ，当x ∈(0,1]时恒成立．设t ＝1x ，则t ∈[1，＋∞)，所以－t 2－t ≤a ≤t 2－t .令f (t )＝－t 2－t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14，t ∈[1，＋∞)， 所以f (t )max ＝－2.令g (t )＝t 2－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14，t ∈[1，＋∞)， 所以g (t )min ＝0.所以只需－2≤a ≤0.综上所述，实数a 的取值范围是[－2,0)．。

基础达标1．下列函数中，周期为π2的是( )． A ．y ＝sin x2 B ．y ＝sin 2x C ．y ＝cos x4 D ．y ＝cos(－4x )解析 T ＝2π|－4|＝π2.答案 D2．下列命题中正确的是( )． A ．y ＝－sin x 为奇函数B ．y ＝|sin x |既不是奇函数也不是偶函数C ．y ＝3sin x ＋1为偶函数D ．y ＝sin x －1为奇函数解析 y ＝|sin x |是偶函数，y ＝3sin x ＋1与y ＝sin x －1都是非奇非偶函数． 答案 A3．函数y ＝2sin 2x ＋2cos x －3的最大值是( )． A ．－1 B ．1 C ．－12D ．－5 解析 由题意，得y ＝2sin 2x ＋2cos x －3＝2(1－cos 2x )＋2cos x －3＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122－12.∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，函数有最大值－12. 答案 C4．(2012·宿迁测试)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 在[0,2π]上的单调递减区间为________．解析 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，由2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z 解得2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4，k ∈Z ，所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 在[0,2π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π4，2π. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π4，2π 5．(2012·泗洪检测)sin 35π，sin 45π，sin 910π，从大到小的顺序为________． 解析 ∵π2<3π5<4π5<9π10<π，又函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递减，∴sin 3π5>sin 4π5>sin 9π10. 答案 sin 3π5，sin 4π5，sin 9π106．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________. 解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1，∴0≤ωx ≤ωπ3<π3. ∵f (x )max ＝2sin ωπ3＝2， ∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，即ω＝34. 答案 347．已知函数f (x )＝log 12|sin x |.(1)求其定义域和值域； (2)判断其奇偶性；(3)判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期； (4)求其单调区间． 解 (1)∵|sin x |>0， ∴sin x ≠0，∴x ≠k π，k ∈Z . ∴函数的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }． ∵0<|sin x |≤1，∴log 12|sin x |≥0，∴函数的值域为{y |y ≥0}．(2)函数的定义域关于原点对称， ∵f (－x )＝log 12|sin(－x )|＝log 12|sin x |＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数． (3)∵f (x ＋π)＝log 12|sin(x ＋π)|＝log 12|sin x |＝f (x )，∴函数f (x )是周期函数，且最小正周期是π. (4)当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，π2＋k π时， t ＝|sin x |为增函数； 当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2＋k π，k π时，t ＝|sin x |为减函数． ∵函数y ＝log 12t 为减函数，∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π2＋k π，k π，k ∈Z ；单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，π2＋k π，k ∈Z .能力提升8．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的最大值和最小值之和等于( )． A.4π3 B ．8π3 C ．2πD ．4π解析 利用函数y ＝sin x 的图象知(b －a )min ＝2π3，(b －a )max ＝4π3，故b －a 的最大值与最小值之和等于2π. 答案 C9．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数．若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝________.解析 由f (x )的最小正周期是π， 知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3.由f (x )是偶函数知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32. 答案 3210．已知f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，是否存在常数a ，b ∈Q ，使得f (x )的值域为{y |－3≤y ≤3－1}？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由． 解 ∵π4≤x ≤3π4， ∴2π3≤2x ＋π6≤5π3， ∴－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤32.假设存在这样的有理数a ，b ，则 当a >0时，⎩⎨⎧－3a ＋2a ＋b ＝－3，2a ＋2a ＋b ＝3－1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3－5(不合题意，舍去)；当a <0时，⎩⎨⎧2a ＋2a ＋b ＝－3，－3a ＋2a ＋b ＝3－1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.故a ，b 存在，且a ＝－1，b ＝1.。

第一章解三角形本章归纳整合高考真题1．(2011·天津高考）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为( )．A．3B．4 C． 5 D．6解析本小题考查程序框图等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，难度较小．由a＝1,i＝0→i＝0＋1＝1,a＝1×1＋1＝2→i＝1＋1＝2，a＝2×2＋1＝5→i＝2＋1＝3，a＝3×5＋1＝16→i＝3＋1＝4，a＝4×16＋1＝65＞50，∴输出4。

答案B答案C2．(2012·北京高考）执行如图所示的程序框图,输出的S值为( ）．A．2 B．4 C．8 D．16解析初始：k＝0，S＝1，第一次循环：由0<3，得S＝1×20＝1，k＝1；第二次循环：由1〈3，得S＝1×21＝2，k＝2;第三次循环：由2〈3，得S＝2×22＝8，k＝3。

经判断此时要跳出循环．因此输出的S值为8。

答案C3．（2012·安徽高考）如图所示，程序框图(算法流程图）的输出结果是( )．A．3 B．4 C．5 D．8解析由程序框图依次可得,x＝1，y＝1→x＝2，y＝2→x＝4，y＝3→x＝8,y＝4→输出y＝4.答案B4．(2012·广东高考)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为6,则输出s的值为（)．A．105 B．16 C．15 D．1解析i＝1，s＝1；i＝3,s＝3;i＝5，s＝15，i＝7时，输出s＝15.答案C5．（2012·福建高考）阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序,输出的S值等于( )．A．－3 B．－10 C．0 D．－2解析（1）k＝1,1<4，S＝2×1－1＝1；。