§1.7 两矢量的数性积

(一) 矢量基本概念定 义 既有大小又有方向的量称为矢量（或向量）。

表示法定 义 有向线段的长度，称为向量的模（或向量的长度）AB ，a。

特殊的向量零矢量：长度为0的向量。

零向量的方向是不确定的。

单位矢量：长度为1的矢量。

向量之间的关系两矢量相等：长度相等，方向相同，与起点无关。

反矢量：长度相同，方向相反的矢量。

共线矢量：平行于同一直线的一组矢量。

共面矢量：平行于同一平面的一组矢量。

关于向量之间的关系，有下面结论：零矢量与共线（共面）的矢量组均共线（共面）； 共线矢量必共面； 两矢量必共面；三矢量中若有两矢量共线，则这三矢量一定共面。

(二) 矢量的運算（一）矢量的加法矢量的和（三角形法则）设已知矢量a ，b ，以空间任意一点O 为始点接连作矢量a OA，b AB 得一折线OAB ，从折线的端点O 到另一端点B 的矢量c OB，叫做两矢量a 与b 的和，记做b a c 。

矢量的和（平行四边形法则）如图示，有b a c。

一般地：矢量的加法还满足多边形法则：n n n A A A A OA OA 1211...运算规律：1） 1） 交换律：a b b a； 2） 2） 结合律：)()(c b a c b a。

矢量的差若a c b，则称c 为矢量a与b的差，并记作b a c。

由定义，得矢量减法的几何作图法：矢量加法的性质（1）)(b a b a（2）||||||b a b a（3）||||||（4） ||||||2121a a a a a n ||n a（二）矢量的数乘定义（数量乘矢量）实数 与矢量的乘积 是一个矢量， （1） （1） 其模为||||||a a ；（2） （2） 其方向由下列规则决定：当0 时， 与方向相同；当0 时， 与方向相反；当0 或0 时，是零向量，方向不定。

定义如果0a 与a 同向，而且为单位向量，那么称0a为与a 同向的单位向量，或a 的单位向量。

由定义，0|| ||0a数量乘法的运算规律 1）结合律：)()(2）第一分配律：a a a )(3）第二分配律：b a b a )(由矢量加法与数乘运算规律知，对于矢量也可以象实数及多项式那样去运算。

向量的数量积定义与性质向量是线性代数中的重要概念之一，用于描述方向和大小。

在向量运算中，数量积是一种常见的运算，也被称为点积或内积。

数量积不仅有其定义，还具有一系列重要的性质和应用。

一、数量积的定义给定两个n维向量A = [a1, a2, ..., an]和B = [b1, b2, ..., bn]，它们的数量积（点积）记作A·B，表示为：A·B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn二、数量积的性质1. 交换律：A·B = B·A2. 分配律：(A + B)·C = A·C + B·C3. 结合律：(kA)·B = k(A·B)，其中k是一个标量三、数量积的几何意义数量积在几何中有重要的几何意义。

对于两个向量A和B，它们的数量积A·B等于向量A在向量B方向上的投影乘以向量B的模长，即：A·B = |A||B|cosθ其中θ为向量A与向量B之间的夹角。

四、数量积的应用1. 判断两个向量是否垂直：如果两个向量的数量积为0，则它们是垂直的。

2. 计算向量的模长：向量A的模长|A|可以由数量积求解，即|A| = √(A·A)。

3. 判断两个向量的夹角：通过数量积的几何意义，可以利用数量积求解夹角的余弦值，再通过反余弦函数得到夹角的度数。

4. 判断线性相关性：如果两个向量的数量积为0，它们是线性无关的；反之，它们是线性相关的。

5. 计算向量的投影：根据数量积的几何意义，可以利用向量的投影公式求解向量在另一向量上的投影。

五、例题演示假设向量A = [3, -1, 2]，向量B = [2, 4, 1]。

我们来计算A·B并应用数量积进行判断：A·B = 3*2 + (-1)*4 + 2*1 = 6 - 4 + 2 = 4根据数量积的性质和应用：1. 由于A·B不为0，所以向量A和向量B不是垂直的。

向量的数量积和向量积的性质向量的数量积和向量积是向量运算中非常重要的两种运算方式。

在数学和物理学中，它们具有独特的性质和应用。

本文将详细讨论向量的数量积和向量积的性质。

向量的数量积（也称点积或内积）是两个向量相乘所得的标量。

设有两个向量a和b，它们的数量积记作a·b。

数量积的计算方式为：a·b = |a||b|cosθ其中，|a|和|b|分别为向量a和b的模长，θ为a和b之间的夹角。

向量的数量积具有以下性质：1. 对于任意向量a，a·a = |a|^2。

这表示一个向量的数量积与其自身的模长的平方相等。

2. 属于向量的交换律。

即，对于任意向量a和b，a·b = b·a。

因此，数量积可以看作是一种可交换运算。

3. 属于向量的分配律。

即，对于任意向量a、b和c，(a + b)·c = a·c + b·c。

这意味着在分配律的条件下，我们可以将向量的数量积展开为多项式的形式。

4. 数量积的结果可以用来判断向量之间的关系。

当且仅当两个非零向量的数量积为0时，它们是垂直的；当数量积大于0时，它们的夹角为锐角；当数量积小于0时，夹角为钝角。

向量的向量积（也称叉积或外积）是两个向量相乘所得的新向量。

向量积记作a×b。

向量积的计算方式为：a×b = |a||b|sinθn其中，|a|和|b|分别为向量a和b的模长，θ为a和b之间的夹角，n 为垂直于a和b所在平面的单位向量。

向量的向量积具有以下性质：1. 对于任意向量a和b，它们的向量积垂直于a和b所在平面。

这表明向量积的结果是与原向量a和b均垂直的新向量。

2. 向量积满足右手法则。

将右手的四指指向a，然后握紧拇指，向量积的方向将由突起的中指所确定。

3. 向量积的模长可以用来计算平行四边形的面积。

即，对于向量a 和b，其向量积的模长等于由a和b两边所组成的平行四边形的面积。

矢量的数量积全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矢量的数量积是矢量分析中重要的概念之一，也是矢量运算中常用的运算法则。

数量积主要用来描述两个矢量之间的夹角关系以及它们之间的乘积，是一个标量值。

在物理学、工程学以及数学中，数量积都有广泛的应用。

一、定义数量积，也称为点积或内积，表示两个矢量的乘积的数量。

设有两个矢量a和b，它们的数量积记为a·b，定义为|a| * |b| * cosθ，其中|a|和|b|分别表示矢量a和b的模长，θ表示两个矢量之间的夹角。

数量积的计算公式为：a·b = |a| * |b| * cosθa·b为数量积，|a|和|b|为矢量a和b的模长，cosθ为夹角θ的余弦值。

二、数量积的性质1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c3. 结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中k为常数根据这些性质，我们可以轻松地对数量积进行运算，简化问题的处理过程。

三、应用1. 矢量的投影：数量积可以用来计算一个矢量在另一个矢量上的投影。

设有矢量a和b，它们的数量积为a·b，b的单位矢量为e_b，则a在b上的投影为(a·e_b)e_b。

2. 夹角计算：通过数量积，可以计算两个矢量之间的夹角。

根据定义，a·b = |a| * |b| * cosθ，可以解出夹角θ的大小。

3. 正交性：若两个矢量a和b的数量积等于0，则a和b垂直，互相正交。

这一性质在物理学领域中有广泛的应用，比如力矩和力之间的关系等。

四、示例假设有两个矢量a = (3, 4)和b = (5, 2)，求a和b的数量积。

首先计算a和b的模长：|a| = √(3^2 + 4^2) = 5|b| = √(5^2 + 2^2) = √(29)然后计算a和b之间的夹角θ的余弦值：cosθ = (3*5 + 4*2) / (5√29)= (15 + 8) / (5 * √29)= 23 / (5√29)矢量a和b的数量积为23。

平面向量的数量积和向量积的定义和性质平面向量是代表有大小和方向的箭头，它可以用坐标表示。

在平面向量的运算中，数量积和向量积是两个重要的概念，它们分别有各自的定义和性质。

接下来将详细介绍平面向量的数量积和向量积，包括它们的定义、性质及应用。

一、数量积的定义和性质数量积又称为点积或内积，表示两个向量之间的乘积。

给定平面向量a和b，它们的数量积定义为a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ是a和b的夹角。

数量积是一个标量。

1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(c·a)·b = c·(a·b)3. a·a = |a|^2 ≥ 0，等号成立当且仅当a = 04. 如果a·b = 0，则称a和b垂直或正交。

5. 若θ是锐角，则a·b > 0；若θ是直角，则a·b = 0；若θ是钝角，则a·b < 0。

数量积的一个重要应用是求两个向量之间的夹角。

根据数量积的定义，可以得到夹角θ的公式：cosθ = a·b / (|a||b|)。

通过计算数量积可以求解两个向量之间的夹角大小。

二、向量积的定义和性质向量积又称为叉乘或外积，表示两个向量之间的叉积。

给定平面向量a和b，它们的向量积定义为a×b = |a||b|sinθn，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ是a和b的夹角，n是垂直于a和b构成的平面的单位法向量。

向量积是一个向量。

1. 反交换律：a×b = -b×a2. 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c3. 若a和b共线或其中任意一个为零向量，则a×b = 0。

4. |a×b| = |a||b|sinθ，模长等于两个向量的模长和夹角的正弦值的乘积。

489§2 数量积 矢量积 混合积2.1 两矢量的数量积在物理学中，设物体在力F 的作用下沿直线从点1M 移动到2M ，即取得位移12s M M =，力与位移的夹角为,θ即),(=θ，则力F 所做的功为||||cos W F s θ=⋅⋅。

这里功是一个数量，它由力与位移所唯一确定。

一般地，两个矢量a 与b 可唯一确定数值),cos(b a ，于是有：定义2.1 设有矢量a 与b，称数),cos(b a 为矢量a 与b 的数量积，记为⋅，即⋅),cos(。

两矢量的数量积有称为两矢量的点积或内积。

零矢量与任何矢量的数量积为零；a 与a 数量积也记为2，即2＝a a ⋅),cos(。

由数量积的定义知，物体在力F 作用下沿直线取得位移s 所做的功W ，就是力F 与位移s 的数量积，即W ⋅=。

数量积有下列运算规律：(1) ⋅=⋅； (交换率)(2) ()()()λλλ⋅=⋅=⋅； (结合率) (3) ()⋅+⋅=+⋅。

(分配率)例2.1 设矢量a 与b 的夹角为,3π||2,||3,a b ==求⋅。

490解： ⋅=),cos(b a ＝33cos 32=⨯⨯π。

例2.2 设0a b c ++=，||1,||2,||3,a b c === 求⋅+⋅+⋅。

解： 由0a b c ++= 得：()++⋅＝+2a ⋅+0=⋅， ()++⋅＝⋅++20=⋅， ()++⋅＝c a ⋅+c b ⋅+02=。

将以上三式相加并代入||1,||2,||3,a b c === 得： ()142-=⋅+⋅+⋅ 所以⋅+⋅+7-=⋅。

下面我们来推导数量积的坐标表示。

设 k a j a i a a z y x++=，k b j b i b b z y x ++=，根据数量积的运算规律，得ba ⋅x y z x y z a ia ja kb ib jb k()()x x y z y x y z a i b i b j b k a j b i b j b k()z x y z a k b ib jb kx x x y x z y x y y y z a b i i a b i j a b i ka b j i a b j j a b j k z x z y z z a b k ia b k ja b k k ，因为i j k 都是单位向量，知1=⋅=⋅=⋅k k j j i i ；又因为i j k是互相垂直的，有0=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅k i i k j k k j i j j i，所以b a⋅=z z y y x x b a b a b a ++。

第一章矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.解：2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量OA、OB、OC、OD、OE、OF、AB、BC、CD、DE、EF和FA中，哪些矢量是相等的？[解]：图1-13. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) AB、CD; (2) AE、CG; (3) AC、EG;(4) AD、GF; (5) BE、CH.解：§1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？ （1）-=+ （2+=+ （3）-=+ （4+= （5）=- 解：§1.3 数量乘矢量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从矢量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出矢量→x ，→y ． 解：2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ． 解：3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 解：4 在四边形ABCD中，→→→+=baAB2，→→→--=baBC4，→→→--=baCD35，证明ABCD为梯形．解：6. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量AL, BM, CN可以构成一个三角形.7. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明OBOA++OC=OL+OM+ON.解：8. 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明OA+OB+OC+OD＝4OM.解：9在平行六面体A B C D E F G（参看第一节第4题图）中，证明→→→→=++AGAHAFAC2．证明：．10.用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．解11. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.解12. 设点O 是平面上正多边形A 1A 2…A n 的中心，证明: 1OA +2OA +…+n OA ＝0.解,13．在12题的条件下，设P 是任意点，证明 证明：§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解1．在平行四边形ABCD 中，（1）设对角线,,b BD a AZ ==求.,,,DA CD BC AB 解（2）设边BC 和CD 的中点M 和N ，且q AN P AM ==,求CD BC ,。

高中数学中向量的数量积与叉积的性质与运算讲解在高中数学中，向量是一个重要的概念，它不仅可以用来表示方向和大小，还可以进行数量积和叉积的运算。

数量积和叉积是两种不同的运算方式，它们有着不同的性质和应用。

首先，让我们来看看数量积。

数量积也被称为点积或内积，它是两个向量的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

设有两个向量a和b，它们的数量积表示为a·b。

数量积的计算公式为a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示它们的夹角。

数量积具有一些重要的性质。

首先，数量积满足交换律，即a·b = b·a。

其次，数量积还满足分配律，即对于任意向量a、b和c，有(a + b)·c = a·c + b·c。

另外，如果两个向量的数量积为0，即a·b = 0，那么它们是垂直的，夹角为90度。

这个性质在解决几何问题中非常有用。

接下来，让我们来介绍另一种运算方式，即叉积。

叉积也被称为向量积或外积，它是两个向量的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。

设有两个向量a和b，它们的叉积表示为a×b。

叉积的计算公式为|a×b| = |a||b|sinθ，其中|a×b|表示向量a×b的模长。

叉积也具有一些重要的性质。

首先，叉积满足反交换律，即a×b = -b×a。

其次，叉积还满足分配律，即对于任意向量a、b和c，有a×(b + c) = a×b + a×c。

另外，如果两个向量的叉积为0，即a×b = 0，那么它们是平行的或共线的。

这个性质在解决平面几何问题中非常有用。

除了性质外，数量积和叉积还有一些实际应用。

数量积可以用来计算两个向量之间的夹角，通过求解cosθ的值来确定夹角的大小。

叉积可以用来计算两个向量所构成的平行四边形的面积，通过求解sinθ的值来确定面积的大小。