2013年中考专题之根与系数关系

（2013•郴州）已知关于x 的一元二次方程x 2+bx+b ﹣1=0有两个相等的实数根，则b 的值是 ．（2013，永州）我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1-.若我们规定一个新数“i ”,使其满足21i =-（即方程21x =-有一个根为i ）。

并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有()()()22123242,1,1,11i i i i i i i i i i ==-==-=-==-= 从而对于任意正整数n ,我们可以得到()4144n n n ii i i i i +=⋅=⋅=, 同理可得421n i +=- , 43n i i +=- , 41n i = .那么23420122013i i i i i i ++++⋅⋅⋅++的值为( )A. 0 B. 1 C.1- D. i（2004•广东）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．（2013，成都）一元二次方程x 2+x-2=0的根的情况是（ ）（A ）有两个不相等的实数根 （B ）有两个相等的实数根 （C ）只有一个实数根 （D ）没有实数根 （2013•达州）若方程2360x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）（2013•达州）今年，6月12日为端午节。

在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况。

请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题。

（2013•广安）如果a 3x b y 与﹣a 2y bx+1是同类项，则（ ） ．D（2013•乐山）已知一元二次方程x 2-(2k+1)x +k 2+k=0 .(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC 的两边AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5. 当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值.（2013•泸州）若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是A.1k >-B.1k <且0k ≠C. 1k ≥-且0k ≠D. 1k >-且0k ≠（2013•泸州）设12,x x 是方程2330x x +-=的两个实数根，则2112x x x x +的值为 A.5 B.-5 C.1 D.-1（2013•眉山）已知关于x 的一元二次方程032=--x x 的两个实数根分别为α、β，则(α+3)(β+3)=______（2013•绵阳）已知整数k ＜5，若△ABC 的边长均满足关于x的方程280x -+=，则△ABC 的周长是 。

根与系数的关系及应用根是数学中的重要概念，常常出现在方程、多项式以及数列等中。

根作为方程的解，与系数密切相关，其关系的研究对于解方程、揭示方程性质等方面具有重要的意义。

本文将探讨根与系数之间的关系，并介绍其在数学中的应用。

一、根与系数的关系根与系数之间的关系可以通过方程来研究。

假设有一个二次方程：ax^2 + bx + c = 0（其中a、b、c为实数，且a≠0），其中方程的根分别为x1和x2。

根据二次方程的求根公式，我们可以得到：x1,2 = [ -b ± √(b^2 - 4ac) ] / 2a从这个公式可以看出，根与系数之间存在着一定的关系。

首先，根的取值与系数b和c的符号有关。

当b^2 - 4ac > 0时，方程有两个不相等的实根；当b^2 - 4ac = 0时，方程有两个相等的实根；当b^2 - 4ac < 0时，方程无实根。

其次，根的取值还与a的值有关，a的符号决定了根的正负。

除了二次方程，一次方程的根与系数之间也存在着关系。

对于 ax + b = 0（其中a和b为实数，且a≠0），其根为x = -b/a。

可以看出，在一次方程中，根的取值与系数a和b之间有线性关系。

二、根与系数的应用根与系数之间的关系在数学中有广泛的应用。

以下将介绍一些常见的应用场景。

1. 解方程根与系数的关系在解方程中起到了关键的作用。

通过根与系数的关系，我们可以利用求根公式快速求解各种形式的方程，如二次方程、一次方程以及更高次的多项式方程。

这极大地简化了方程的求解过程，使我们能够更高效地得到方程的解。

2. 研究方程性质根与系数之间的关系也可以用来研究方程的性质。

例如，通过分析方程根的数量和性质，可以判断方程的图像在坐标平面上的形状，从而帮助我们更好地理解和应用方程。

3. 数列的通项公式根与系数的关系还可以应用于数列的求解中。

对于递推数列 an =c1r^(n-1) + c2r^(n-2) + ... + cn，其中r是常数，c1、c2、...、cn为系数，则该数列的通项公式可以表示为 an = d1x1^(n-1) + d2x2^(n-2) + ... + dnxn，其中x1、x2、...、xn为方程 cx^n + c1x^(n-1) + c2x^(n-2) + ... +cn = 0 的根，d1、d2、...、dn为常数。

一、基本知识原理设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1 ，x2 ，则有根与系数的关系：x1 +x2 = -(b/a)；x1 x2 =c/a ；根与方程的关系：ax12+bx1+c=0 ，ax22+bx2+c=0 。

二、解题方法与策略对于中考数学中这种常见填空题型，出题方式一般是，条件中直接告诉方程有两个根，但通常不会告诉这两个根的具体值，就算你用求根公式可以解出根的具体值，看起来非常繁琐，也不利于求解。

所以，对于这种题目我们的解题方法与策略是：（1）运用根与系数的关系，先求出方程两个根的和与积；（2）对方程进行适当变形，使二次项转化为一次项或常数；或对所求代数表达式进行适当的变形，使其变为含有两根的和或积的形式；（3）代入两个根的和与积，或者代入根与方程的关系，进行计算，问题便迎刃而解。

三、例题详解例1、已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于解：由题意可知：a2﹣2a＝2020，（对方程进行适当的变形，使高次项转化为一次项或常数）由根与系数的关系可知：a+b＝2，（根据方程求出两个根的和）∴原式＝a2﹣2a+2a+2b﹣3 （对所求代数表达式进行适当的变形，使表达式中含有两根之和的形式；）＝2020+2（a+b）﹣3＝2020+2×2﹣3＝2021例2、一个直角三角形的两条直角边的长度恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是.例4、已知关于x的方程x2-4x+k-1=0的两根之差等于6，那么k ．解：设方程的两根为a、b，∴a+b=4 , ab = k-1（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab = 42 -4(k-1)=36解得：k=-4例5、设m、n是一元二次方程x2-2018x+1=0的两个实数根，则代数式2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 的值为（）解：由已知得m+n = 2018 , mn=1（先求出方程两个根的和与积）m2+n2 =(m+n)2 -2mn = 20182 -2 （利用和与积化简高次项为常数）∴2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 （对所求代数表达式进行适当的变形）= 2017(m2+n2) + n2 -2018n-2017×20182= 2017( 20182 -2)-1-2017×20182= -4035。

一元二次方程根的判别式应用探讨一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，其一般形式为ax 2+bx+c=0（a≠0）。

在系数a ≠0的情况下，Δ=b 2－4ac>0时，方程有2个不相等的实数根；Δ=b 2－4ac =0时，方程有两个相等的实数根；Δ=b 2－4ac <0时，方程无实数根。

反之，若方程有2个不相等的实数根，则Δ=b 2－4ac>0；若方程有两个相等的实数根，则Δ=b 2－4ac =0；若无实数根，则Δ=b 2－4ac <0。

因此，Δ=b 2－4ac 称为一元二次方程根的判别式。

根的判别式b 2-4ac 的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，解题过程中要注意隐含条件a ≠0。

使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a 、b 、c 的值。

一元二次方程根的判别式在初中数学中有着广泛的应用，也是中考必考内容，并占有一定的份量。

将其应用归纳为直接应用和综合应用两方面，直接应用包括①不解一元二次方程，判断（证明）根的情况、②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围、③限制一元二次方程的根与系数关系的应用；综合应用包括④判断二次三项式是完全平方式时的待定系数、⑤判断双曲线与直线的公共点个数、⑥判断抛物线与直线（含x 轴）的公共点个数。

下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。

一.不解一元二次方程，判断（证明）根的情况：例1：（2012广西河池3分）一元二次方程2x 2x 20++=的根的情况是【 】 A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．无实数根练习题：1（2012广东珠海6分）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+m=0．（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=﹣3时，求方程的根。

2. （2011福建福州4分）一元二次方程x （x ﹣2）=0根的情况是 【 】A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、只有一个实数根D 、没有实数根3. （2011福建福州4分）一元二次方程x （x ﹣2）=0根的情况是 【 】A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、只有一个实数根D 、没有实数根4. （2011内蒙古包头3分）一元二次方程x 2+x+ 1 4=0的根的情况是【 】A 、有两个不等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、无实数根D 、无法确定 二. 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围：典型例题：例1：（2012湖北襄阳3分）如果关于x 的一元二次方程k x 10=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是【 】A ．k ＜12B ．k ＜12且k≠0C ．﹣12≤k ＜12D ．﹣12≤k ＜12且k≠0 例3：（2012湖南常德3分）若一元二次方程2x 2x m 0++=有实数解，则m 的取值范围是【 】A. m 1≤-B. m 1≤C. m 4≤D.m 12≤ 例6：（2012湖北孝感12分）已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0．(1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x 1、x 2是原方程的两根，且|x 1－x 2|＝，求m 的值和此时方程的两根。

专题 根与系数的关系例1. 152s ≥-且3,5s s ≠-≠ 例2. C 提示: 设三根为121,,x x ,则121x x -< 例3. 设223,A βα=+223,B αβ=+ 31004A B += ①A B -= ② 解由① ②联立的 方程组得1(4038A =-例 4. 0,s ≠Q 故第一个等式可变形为211()99()190,s s ++= 又11,,st t s ≠∴Q 是一元二次方程 299190x x ++=的两个不同实根, 则1199,19,t t s s +=-=g 即199,19.st s t s +=-=故41994519st s s st s++-+==- 例5. (1) 当a b =时, 原式=2; 当a b ≠时, 原式=-20, 故原式的值为2或-20(2) 由方程组得232,326(6),x y a z x y z az +=-=-+g 易知3,2x y 是一元二次方程22()6(6)0t a z t z az --+-+=的两个实数根,0∴∆≥, 即2223221440z az a -+-≤,由z 为实数知,22'(22)423(144)0,a a ∆=--⨯⨯-≥解得a ≥故正实数a的最小值为(3) xy 与x y +是方程217660m m -+=的两个实根,解得11,6x y xy +=⎧⎨=⎩或6,()xy 11.x y +=⎧⎨=⎩舍原式=()()222222212499x y x y xy x y +-++=． 例6 解法一：∵ac ＜0，2=40b ac ∆-＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x 1，x 2，且x 1<0<x 2，由韦达定理得x 1+ x 2=b a -，12cx x a =，由0=，得0b ca a +=，)12120x x x ++=，解得2x =假设2x ，由10x ＜推得3-不成立，故2x 假设21x ≥，1，由10x ＜推得10x ，矛盾．故21x ＜，综上所述21x ＜．解法二：设()2f x ax bx c =++，由条件得)b =，得)3355f a c a c=++=-++=，()1f a b c a a c⎤=++=-⎦．若a＞0，0c＜，则0f＜，()10f＞；若a＜0，0c＞，则0f＞，()10f＜．∴0ac＜时，总有()10f f.＜，故原方程必1之间．A级1．3 2．2 3．-2 m＞2 0＜m≤183提示：12x-＞，22x-＞与124x x+-＞，124x x⋅＞不等价．4．100134016-提示：由条件得2n na b n+=+，22n na b n⋅=-，则()()()2221n na b n n--=-+，则()()211112221na b n n⎛⎫=--⎪--+⎝⎭．5．C 6．C 7．A 8．A 9．提示：（1）()2=2120m∆-+＞（2）2124mx x=-≤0，m=4或m=0．10．（1）43k-＞且0k≠（2）存在k=4 11．由题意得2m n=，224840n m n--+＜．当n=1时，m=2；当n=2时，m=4．12．设方程两根为1x，2x，则1212,.x x mnx x m n+=⎧⎨=+⎩∵m，n，1x，2x均为正整数，设121x x≥≥，1m n≥≥，则()1212x x x x mn m n+-=-+，即有()()()()1211112x x m n--+--=，则()()()()12112,1,0,110,1,2.x xm n⎧--=⎪⎨--=⎪⎩∴123,2,5,2,2,1,5,2,3,1,2,2.xxmn=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩故5,2,3,1;2; 2.m m mn n n===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩B级1．0 提示：由条件得21130x x+-=，22230x x+-=，∴2113x x=-，2223x x=-，∴()3211111111333343x x x x x x x x=-=-+=-+=-，∴原式=()()121212434319431241944x x x x x x---+=--++=++．又∵121x x+=-,∴原式=0．2．853．5 4．638-提示：()2=240a∆-+＞，原式=2963632488a⎛⎫----⎪⎝⎭≤．5．D 6．C 7．B 8．B 9．()231αβαβ+-=，由根与系数关系得()241a b ab+-=，即()21a b-=，a -b =1．又由0∆≥得()2316a b ab +≥，从而()24a b +≤．由a -b =1，()24a b +≤，得满足条件的整数点对（a ，b ）是（1,0）或（0，-1）． 104447αβ+=，662248p αβαβ-==-，()2244227q αβαβαβ-==-．11．a +b =3,c +d =4,ab =1,cd =2,a +b +c +d =7,222219a b c d +++=．(1)原式=()()()()7a a b c d a b c d d a b c d d a b c aa b c d a b c b c d+++-+++++-+++=-++++++…+77777.b c d b c d M c d a d a b a b c +-+-+-=-++++++ （2）原式=()()()()2222a a b c d a b c d d a b c d d a b c b c da b c+++-+++++-+++=++++…+()()22227774968M a b c d M --+++=-．12．（1）m =． （2）原式=()()()22212121221212352312122m x x x x x x m m m x x x x ⎡⎤+-+⎛⎫⎣⎦=-+=-- ⎪-++⎝⎭．∵11m -≤≤,∴当m =-1时，22121211mx mx x x +--的最大值为10． 13．设20x ax b ++=的两根分别为,αβ（其中,αβ为整数且αβ≤），则方程20x cx a ++=的两根分别为1,1αβ++，又∵,(1)(1)a a αβαβ+=-++=，两式相加，得2210αβαβ+++=，即(2)(2)3αβ++=，从而2123αβ+=⎧⎨+=⎩，或2321αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12αβ=-⎧⎨=⎩，或53αβ=-⎧⎨=-⎩，∴012a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，或8156a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴3a b c ++=-或29．。

根与系数的关系公式8个根与系数之间存在以下8个关系公式：1.二次方程的根与系数的关系公式：对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0，它的两个根可以通过以下公式表示：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)2.一元三次方程的根与系数的关系公式：对于一元三次方程 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a ≠ 0，它的根可以通过三角恒等式表示：x = (√3 R cos(θ/3) - b)/(3a), (√3 R cos((θ+2π)/3) -b)/(3a), (√3 R cos((θ+4π)/3) - b)/(3a)其中 R = ∛(q + √(q^2 + p^3)), q = (3ac - b^2)/(9a^2), p = (9abc - 27a^2d - 2b^3)/(54a^3)3.一元四次方程的根与系数的关系公式：对于一元四次方程 ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其中a ≠ 0，它的根可以用四舍五入的方法获得。

但在实际情况中，它的根通常是通过数值方法，如牛顿迭代法等获得。

4.一元五次方程的根与系数的关系公式：一般情况下，一元五次方程的根没有可以用代数方式表示的公式。

5.一元二次方程的系数与根的关系公式：如果一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的两个根为 p 和 q，则其系数与根之间的关系可以通过以下公式表示：a=1b=-(p+q)c = pq6.一元三次方程的系数与根的关系公式：如果一元三次方程 ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 的根为 p，q 和 r，则其系数与根之间的关系可以通过以下公式表示：a=1b=-(p+q+r)c = pq + qr + rpd = -(pqr)7.一元四次方程的系数与根的关系公式：如果一元四次方程 ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 的根为 p，q，r 和 s，则其系数与根之间的关系可以通过以下公式表示：a=1b=-(p+q+r+s)c = pq + qr + rs + spd = -(pqr + qrs + rsp + spq)e = (pqr)s8.一元五次方程的系数与根的关系公式：一般情况下，一元五次方程的根没有可以用代数方式表示的公式。

根与系数的关系在数学中，方程是一种用来描述数之间关系的表达式。

一个方程中通常包含未知数、常数和运算符。

而方程中的根，指的是使得方程等式成立的变量的值。

与此同时，方程中的系数，是指在方程中表示未知数与常数之间关系的数字。

根与系数是数学中相互关联的概念。

在许多问题中，我们需要通过求解方程来找到根。

而解方程的过程中，通常会涉及到对方程中的系数进行操作。

1. 根与一次方程一次方程是指其最高次项的指数为1的方程。

一次方程经常出现在实际问题中，例如线性函数的描述。

对于一个一次方程，其一次项的系数就是根的关键。

以方程 ax + b = 0 为例，其中 a 和 b 为常数， x 为未知数。

要求出该方程的根，我们需要将式子移项，将 x 与 b 相互抵消，得到 x = -b/a。

在这个例子中，b/a 的比值即为根的具体数值。

2. 根与二次方程二次方程是指其最高次项的指数为2的方程。

在许多问题中，二次方程是常见的方程形式。

解二次方程时，我们需要使用根与系数之间的关系。

以一般的二次方程 ax^2 + bx + c = 0 为例，其中 a、b 和 c 为常数，x 为未知数。

我们使用求根公式可以求得该方程的根：x = (-b ± √(b^2 -4ac)) / 2a。

这个公式中涉及到方程的系数 a、b 和 c。

根据系数的值的不同，我们可以通过计算得到具体的根的数值。

求根公式告诉我们，在二次方程中，根的值与系数之间的关系是密切相关的。

系数的不同会导致根的数量和数值不同，这也是求解二次方程的关键。

3. 根与多项式方程除了一次和二次方程，还存在高于二次的多项式方程。

对于多项式方程中的根与系数之间的关系，我们可以借助数值或符号法进行研究。

在数值法中，我们可以通过数值计算的方式来求解多项式方程，并得到根的数值。

通过观察根的数值与系数之间的关系，我们可以发现一些规律或定理。

在符号法中，我们可以使用代数学的方法来研究多项式方程。

专题三 一元二次方程根与系数的关系【要点回顾】1．一元二次方程的根的判断式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为： ．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=-对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有[1]当Δ 0时，方程有两个不相等的实数根： ； [2]当Δ 0时，方程有两个相等的实数根： ； [3]当Δ 0时，方程没有实数根． 2．一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,x x x x +==说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0∆≥．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．【例题选讲】例1 已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：（1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根（3）方程有实数根； （4）方程无实数根．解：∵2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-，∴(1) 141203k k ->⇒<； (2) 141203k k -=⇒=； (3) 141203k k -≥⇒≥；(4)141203k k -<⇒<．例2 已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值． 解：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+= 由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-．综上知：1,0x y =-=例3 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2)121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -==== 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=例4 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 解：(1) 假设存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立．∵ 一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，∴2400(4)44(1)160k k k k k k ≠⎧⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎩，又12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，∴ 1212114x x k x x k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴222121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k <．∴不存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立．(2) ∵ 222121212211212()44224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++ ∴ 要使其值是整数，只需1k +能被4整除，故11,2,4k +=±±±，注意到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---．【巩固练习】1．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( )A ．2B ．2-C ．12D ．922．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( ) A ．M ∆= B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定3．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = ___ __ ，q = _ ____ ．4．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，则a = ___ __ ，b = _____ ，c = _____ ．5．已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11，求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．6．若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1．(1) 求实数k 的取值范围；(2) 若1212x x =，求k 的值．【巩固练习】答案1． A ； 2．A ； 3．1,3p q =-=-； 4．3,3,0a b c ===； 5． 1m = (1)当3k =时，方程为310x +=，有实根；(2) 当3k ≠时，0∆>也有实根．6．(1)314k k ≥≠且； (2) 7k =．。

方程的根与系数之间的关系方程的根与系数之间的关系是数学中一个重要的概念，它揭示了方程中各个元素之间的内在联系。

当我们研究一个多项式方程时，通常会关注它的根，也就是方程等号两边相等的情况。

根据代数基本定理，一个n次多项式方程一定有n个复数根，包括重根。

这些根与方程的系数之间存在着一定的关系，可以通过系数来推断根的性质。

我们来看一元一次方程的情况。

一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为实数系数。

根据一元一次方程的解法，可以得出方程的根为-x/b。

可以看出，根与系数之间的关系很简单，即根是系数的函数。

当系数变化时，根也会相应变化。

接着，我们来看一元二次方程的情况。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数系数。

根据韦达定理，可以得出方程的两个根分别为(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

从这个式子可以看出，根与系数之间的关系更为复杂。

首先，根的符号取决于b的正负号，其次根的大小取决于b^2-4ac的大小。

系数a的变化会影响根的正负性质，系数b的变化会影响根的大小，系数c的变化会影响根的具体数值。

因此，通过观察系数的变化，我们可以推断方程的根的性质。

除了一元二次方程外，更高次的多项式方程也存在类似的关系。

例如，一元三次方程和一元四次方程的根与系数之间的关系也可以通过公式来表达。

在实际应用中，通过研究方程的根与系数之间的关系，可以帮助我们更好地理解方程的性质，从而更有效地解决问题。

总的来说，方程的根与系数之间存在着密切的联系，通过研究这种关系，我们可以深入理解方程的本质。

系数的变化会直接影响根的性质，从而影响方程的解的情况。

因此，在解决数学问题时，我们可以通过观察方程的系数来推断方程的根的情况，从而更好地解决问题。

这种关系不仅存在于数学中，也可以应用到物理、工程等领域，帮助我们更深入地理解自然界的规律。

通过研究方程的根与系数之间的关系，我们可以更好地认识数学的魅力，拓展我们的思维，提高解决问题的能力。

专题一、根与系数的关系知识提炼：21、一元二次方程 $ax+bx+c=(a\neq0)$ 的根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，用来判断一元二次方程的实根个数。

当$\Delta>0$ 时，方程有两个实数根；当 $\Delta=0$ 时，方程有一个实数根；当 $\Delta<0$ 时，方程无实数根。

2、一元二次方程的求根公式为 $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

一元二次方程的根有以下基本结论：（1）若有无理根，则必成对出现；（2）若 $a+b+c=0$，则有一个根为1；（3）若 $a-b+c=0$，则有一个根为-1.3、一元二次方程的根与系数的关系（通常也称韦达定理）：设一元二次方程 $ax+bx+c=(a\neq0)$ 的两个根为$x_1$ 和 $x_2$，那么：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}$。

经典考题赏析：例1（天津中考）关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-mx+(m-2)=0$ 的根的情况是（）A、有两个不相等的实数根；B、有两个相等的实数根；C、没有实数根；D、无法确定。

例2（山东中考）若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m-1)x^2+5x+m^2-3m+2=0$ 的常数项为0，则$m$ 的值为（）A、1；B、2；C、1或2；D、无法确定。

例3（河南中考）已知 $x_1,x_2$ 是方程 $2x^2-2x+1-3m=0$ 的两个实数根，且 $x_1\cdot x_2+2(x_1+x_2)>0$，那么实数 $m$ 的取值范围是？例4（全国联赛）已知 $t$ 是实数，若 $a,b$ 是关于一元二次方程 $x^2-2x+t-1=0$ 的两个非负实根，则 $\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)$ 的最小值是多少？例5（北京市）已知关于 $x$ 的一元二次方程$x^2+2x+2k-4=0$ 有两个不相等的实数根。