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21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系一、教学目标1.要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程的根与系数的关系，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差.2.通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神.二、教学重难点重点掌握一元二次方程的根与系数的关系.难点一元二次方程的根与系数关系的推导过程及其应用.重难点解读在使用一元二次方程的根与系数的关系时，应注意：（1）方程不是一般形式的要先化为一般形式.（2）使用x 1+x2=ba时，“-”不要漏写.（3）根与系数关系是在方程ax2+bx+c=0（a≠0）有根的前提下（即b2-4ac≥0）才成立的，运用根与系数的关系解题时首先要检验b2-4ac是否非负.（4）若已知方程“有两个实数根”，则该方程是一元二次方程，即存在隐含条件：二次项系数不为零.三、教学过程活动1 旧知回顾提出问题：（1）一元二次方程的一般形式是什么？（2）请同学们写出一元二次方程的求根公式.（3）在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？两根怎么求？（4）一元二次方程的根与系数有着密切的关系，其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系呢？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系.活动2 探究新知1.解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x 1+x 2，x 1·x 2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？用语言叙述你发现的规律.2.教材第15页 第1个思考. 提出问题：（1）把方程（x-x 1）（x-x 2）=0化为一般形式后的方程是什么？（2）这个方程的二次项系数是多少？一次项系数是多少？常数项是多少？ （3）由此可知，方程x 2-（x 1+x 2）x+x 1x 2=0两个根的和、积与系数有怎样的关系？ 3.教材第15页 第2个思考. 提出问题：（1）如果一元二次方程的二次项系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？你能证明你的猜想吗？（2）由求根公式可知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，两根分别为x 1=242bb ac a，x 2=242bb aca.观察两式右边，分母相同，分子是-b-.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？x 1+x 2=__________，x 1x 2=___________.（3）由此你能说出方程的两个根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有怎样的关系吗？把方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两边同时除以a ，能否得出该结论？为什么？ 活动3 知识归纳一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有如下关系： x 1+x 2=b a ，x 1x 2= ca. 提出问题：（1）方程的根是由什么决定的？（2）在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ=b 2-4ac ≥0呢？为什么？活动4 典例赏析及练习 例1 教材第16页 例4.例2 已知一元二次方程的两个根是-1和2，请你写出一个符合条件的方程.（你有几种方法？）【答案】解：两种.（1）直接利用因式分解法，得（x+1）（x-2）=0；（2）用根与系数关系法求解：∵两根之和为1，两根之积为-2，∴满足条件的方程为ax 2-ax-2a=0（a ≠0）.例3 已知方程2x 2+kx-9=0的一个根是-3，求另一根及k 的值. 变式一：已知方程x 2-2kx-9=0的两根互为相反数，求k ； 变式二：已知方程2x 2-5x+k=0的两根互为倒数，求k. 【答案】解：由两根之积，得-3k=92，解得k=32；（变式一）互为相反数的两根之和为0，得0=2k.解得k=0；（变式二）互为倒数的两根之积为1，得1=2k，解得k=2. 练习：1.教材第16页 练习.2.若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x-2=0的两个实数根，则x 1+x 2+x 1x 2= -3 . 3.两根均为负数的一元二次方程是（ C ） A.7x 2-12x+5=0 B.6x 2-13x-5=0 C.4x 2+21x+5=0 D.x 2+15x-8=04.已知关于x 的方程x 2+2x-k=0有两个不相等的实数根.若α，β是这个方程的两个实数根，求1+1的值.【答案】解：由根与系数的关系可知α+β=-2，αβ=-k ，∴1+1=(1)(1)(1)(1)=21=2212kk=2.活动5 课堂小结1.若方程x 2+px+q=0有两个实根x 1，x 2，则x 1+x 2=-p ，x 1x 2=q.2.方程ax2+bx+c=0中，在a≠0，b2-4ac≥0的条件下，两个根x1，x2与系数a，b，c有如下关系：x 1+x2=ba，x1x2=ca.3.运用一元二次方程的根与系数的关系求方程的两根之和，两根之积时要注意：（1）先把方程化为一般形式，明确方程的二次项系数、一次项系数和常数项的值，然后直接代入关系式；（2）确定方程的各项系数时一定要包括符号；（3）只有在一元二次方程有实根数的前提下，才能使用根与系数的关系，如果所给一元二次方程没有实数根，那也就不存在根与系数的关系.四、作业布置与教学反思。
一元二次方程的根与系数关系一、基本概念：1.一元二次方程判别式2.一元二次方程求根公式: 3．韦达定理:二、例题分析：例1、写出下列一元二次方程的两个实数根的和与积. (1)0142=+-x x ;(2)64=+xx例2、试写出一个一元二次方程，使得该方程两根为21+，21-.课堂练习1：（1）求做一个一元二次方程, 使它的两个根分别是3-232，+ ． （2）已知方程03522=--x x 的一个根是3，不解方程，则另一个根为 .例3、已知关于x 的方程0522=+-p x x 的一个根为21，求方程的另一个根及p 的值.课堂练习2：已知关于x 的方程0322=++kx x 的一个根是21，求方程的另一个根及k 的值.例4、已知方程03622=-+x x 的两根是,,21x x 利用根与系数的关系求下列各式的值: ；；；221222121))(3()2(11)1(x x x x x x -++（4）1221+x x x x ；（5）3231+x x课堂练习3、1、 已知方程03422=-+x x 的两个实数根是21,x x ,利用根与系数的关系求下列各式的值：（1）221221x x x x + ．(2)2221x x + ．(3)222121x x x x ++ ．2、已知关于x 的方程0)4()5(2=+--+k x k x 的两个实数根是21,x x ,且8)1)(1(21-=++x x ,求k 的值及方程的根__________.例5、已知关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实根，并且这两实根的平方和比这两个实根的积大21，求实数m 的值.课堂练习4、1、已知关于x 的方程08)3-2=++-m x m x （的两个实数根的平方和等于13，求m 的值及方程的 两根.2、已知关于x 的方程0=1+41++2k x x）1(k -2的两实根21x x ,满足21=x x ，求实数k 。
2021-2022新高一 初高中衔接辅导课程 （解析版） 衔接教材06 根与系数的关系（韦达定理）知识点讲解1.一元二次方程的根我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a -+= ①因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-±；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根1x =，2x =，则有1222b b b bx x a a-+--+=+==-；221222(4)444b b ac ac c x x a a a--====． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．3. 一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则1x =，2x =，∴| x 1－x 2|=||||a a ==． 于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|＝||a （其中Δ＝b 2－4ac ）． 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．经典例题解析例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． （2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根1x =， 2x = （3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1；②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x 1＝1，x 2＝a －1．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )，所以①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根11x = 21x = ②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1； ③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值． 解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0，∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35． 所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7． 解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－65，∴x 1＝－35．由 （－35）＋2＝－5k ，得 k ＝－7．所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7． 例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零． 解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得 x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4．∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21， ∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21，化简，得 m 2－16m －17＝0， 解得 m ＝－1，或m ＝17．当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m ＝17． 说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可。
数学知识点总结之一元二次方程根与系数的关系
数学知识点总结之一元二次方程根与系数的关系
初中数学知识点总结之一元二次方程根与系数的关系
同学们做好笔记啦，下面的小编为大家整合的.是初中数学知识点大全之一元二次方程根与系数的关系。
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初中数学知识点总结：平面直角坐标系
下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系
平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合
三个规定：
①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向
②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
一元二次方程根与系数关系内容解析
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c 为系数，且a≠0。
该方程的两个根可以有以下几种情况：
1. 两个实根：当b^2 - 4ac > 0时，方程有两个不相等的实根。
此时，方程的根可以通过求解以下公式得出：
x1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / (2a)
x2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / (2a)
2. 两个相等的实根：当b^2 - 4ac = 0时，方程有两个相等的实根。
此时，方程的根可以通过求解以下公式得出：
x1 = x2 = -b / (2a)
3. 两个共轭复根：当b^2 - 4ac < 0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
此时，方程的根可以通过求解以下公式得出：x1 = (-b + i√(4ac - b^2)) / (2a)
x2 = (-b - i√(4ac - b^2)) / (2a)
其中i为虚数单位，√为平方根。
根与系数的关系可以总结为：
1. 根与系数a的关系：方程的根与系数a的关系主要体现在根的比值x1/x2上。
当a增大时，x1/x2的绝对值会减小，即根的绝对值会增大。
2. 根与系数b的关系：方程的根与系数b的关系主要体现在根的和与积上。
根的和等于-b/a，根的积等于c/a。
当b增大时，根的和会减小，根的积会增大。
3. 根与系数c的关系：方程的根与系数c的关系主要体现在根的乘积上。
当c增大时，根的乘积会增大。
总的来说，方程的根与系数之间存在一定的关系，但具体的关系需要根据方程的系数进行具体分析。
专题三 一元二次方程根与系数的关系【要点回顾】1．一元二次方程的根的判断式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为： ．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=-对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有[1]当Δ 0时，方程有两个不相等的实数根： ； [2]当Δ 0时，方程有两个相等的实数根： ； [3]当Δ 0时，方程没有实数根． 2．一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,x x x x +==说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0∆≥．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．【例题选讲】例1 已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：（1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根（3）方程有实数根； （4）方程无实数根．解：∵2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-，∴(1) 141203k k ->⇒<； (2) 141203k k -=⇒=； (3) 141203k k -≥⇒≥；(4)141203k k -<⇒<．例2 已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值． 解：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+= 由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-．综上知：1,0x y =-=例3 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2)121212112220072007x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -==== 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=例4 已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根． (1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 解：(1) 假设存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立．∵ 一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，∴2400(4)44(1)160k k k k k k ≠⎧⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎩，又12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，∴ 1212114x x k x x k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩∴222121212121212(2)(2)2()52()9x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k <．∴不存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立．(2) ∵ 222121212211212()44224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++ ∴ 要使其值是整数，只需1k +能被4整除，故11,2,4k +=±±±，注意到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5---．【巩固练习】1．若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( )A ．2B ．2-C ．12D ．922．若t 是一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是( ) A ．M ∆= B ．M ∆>C ．M ∆<D ．大小关系不能确定3．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = ___ __ ，q = _ ____ ．4．已知实数,,a b c 满足26,9a b c ab =-=-，则a = ___ __ ，b = _____ ，c = _____ ．5．已知关于x 的方程230x x m +-=的两个实数根的平方和等于11，求证：关于x 的方程22(3)640k x kmx m m -+-+-=有实数根．6．若12,x x 是关于x 的方程22(21)10x k x k -+++=的两个实数根，且12,x x 都大于1．(1) 求实数k 的取值范围；(2) 若1212x x =，求k 的值．【巩固练习】答案1． A ； 2．A ； 3．1,3p q =-=-； 4．3,3,0a b c ===； 5． 1m = (1)当3k =时，方程为310x +=，有实根；(2) 当3k ≠时，0∆>也有实根．6．(1)314k k ≥≠且； (2) 7k =．。
12。
4一元二次方程的根与系数的关系中考考点1．理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理).2．会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数.3．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。
考点讲解1．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的两根为x1，x2，则x1+x2=—，x1·x2=。
2．以x1,x2为根的一元二次方程是(x-x1）（x—x2）=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程ax2+bx+c=0 (a≠0）.3．对二次项系数为1的方程x2+px+q=0的两根为x1，x2时,那么x1+x2=—p，x1·x2=q。
反之,以x1，x2为根的一元二次方程是：(x-x1）(x—x2）=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：x2+px+q=0。
4．一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面：（1)已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。
（2）已知含有字母系数的一元二次方程的一个根,求另一个根及字母系数的值。
可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。
(3）已知一元二次方程，不解方程,可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。
如，方程2x2-3x+1=0的两根为x1，x2，不解方程,求x12+x22的值。
［∵x1+x2=，x1·x2=，∴x12+x22=（x1+x2）2—2x1x2=（)2-2×=]（4)验根、求根、确定根的符号.（5）已知两根,求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程).（6）已知两数和与积,求这两个数.（7)解特殊的方程或方程组.考题评析1．(北京市东城区)如果一元二次方程x2+3x-2=0的两个根为x1，x2，那么x1+x2与x1·x2的值分别为（）(A）3,2 （B）-3,—2 （C）3，-2 （D)-3，2考点:一元二次方程的根与系数关系。
一元二次方程根与系数的关系【基础知识精讲】1．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）： 设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a ≠0)的两根，则12b x x a+=-，a c x x =∙212．设21x x 、是一元二次方程ax 2＋bx+c=0 (a ≠0)的两根，则：0,0)1(21>>x x 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=∙>-=+002121a c x x a b x x,0)2(21<<x x 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=∙<-=+002121a c x x a b x x,0)3(21<>x x 时，有21<=∙ac x x3．以两个数21x x 、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：212120x (x x )x x x -++=【例题巧解点拨】 1．探索韦达定理例1：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ，求21x x +， 21x x ∙的值。
例2.（2010•毕节地区）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m-1）x+m 2=0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m 的取值范围； （2）当x 12-x 22=0时，求m 的值．2．已知一个根，求另一个根.例3.已知2+3是x 2－4x+k=0的一根，求另一根和k 的值。
3．求根的代数式的值例4：设x 1，x 2是方程x 2-3x ＋1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1) x 13 x 24+ x 14 x 23； 2112)2(x xx x +4．求作新的二次方程例4：1.以2，－3为根的一元二次方程是_________________________.2.已知方程2x 2－3x －3=0的两个根分别为a ，b ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程 ，使它的两个根分别是：a+1、b+15．由已知两根和与积的值或式子，求字母的值。
一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程是高中数学中的重要内容之一，它的解与方程的系数之间有着密切的关系。
本文将探讨一元二次方程的根与系数之间的关系，并通过几个具体的例子加以说明。
一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
方程的根可以通过求解得到，设方程的两个根分别为x1和x2，那么根据韦达定理可知x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
我们来看一个具体的例子。
假设有一个一元二次方程x^2-5x+6=0，通过求解可以得到方程的两个根为2和3。
根据韦达定理，我们可以验证一下：2+3=(-(-5))/1=5/1=5，2×3=6/1=6，符合关系式。
接下来，我们来看一下根与系数之间的一些规律。
首先，如果一元二次方程的两个根相等，即x1=x2，那么根据韦达定理可知x1+x2=-b/a，即2x1=-b/a，解得x1=-b/2a。
这说明，当一元二次方程的两个根相等时，它们的和等于-b/2a，即根与系数之间存在一个关系：两个根的和等于系数b的相反数除以2a。
如果一元二次方程的两个根互为倒数，即x1=1/x2或x2=1/x1，那么根据韦达定理可知x1x2=c/a，即1=x1x2=a/c。
这说明，当一元二次方程的两个根互为倒数时，它们的乘积等于a/c，即根与系数之间存在一个关系：两个根的乘积等于系数a除以c。
如果一元二次方程的两个根的和等于两个根的乘积，即x1+x2=x1x2，那么根据韦达定理可知-b/a=c/a，即-b=c。
这说明，当一元二次方程的两个根的和等于两个根的乘积时，它们的和等于系数b，即根与系数之间存在一个关系：两个根的和等于系数b。
我们来看一下一元二次方程的根与系数之间的一些特殊情况。
当一元二次方程的判别式b^2-4ac=0时，方程有且只有一个实根，即两个根重合。
当判别式b^2-4ac>0时，方程有两个不相等的实根。
当判别式b^2-4ac<0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。
奥数体现了数学与奥林匹克体育运动精神的共通性：更快、更⾼、更强。
国际数学奥林匹克作为⼀项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育⽔平，难度⼤⼤超过⼤学⼊学考试。
下⾯是⽆忧考为⼤家带来的初三年级奥数知识点：⼀元⼆次⽅程的根与系数的关系，欢迎⼤家阅读。
根与系数之间的关系⼜称韦达定理,指的是如果⽅程ax平⽅+bx+c=0（a不等于0）的两根为x1、x2,那么x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.需要说明的是,必须保证满⾜：（1）a不等于0（2）判别式⼤于等于0.韦达定理通常解决⼀些已知⽅程求两根的某种运算,如⽅程x平⽅+5x-10=0的两个根分别是x1、x2,不解⽅程求1/x1+1/x2；x1平⽅+x2平⽅；x1⽴⽅+x2⽴⽅等；已知⽅程两个根的某种关系求⽅程中的待定系数；解决直线与圆锥曲线的交点问题,弦长问题等，是中学数学中⼀个⾮常重要的关系.它的⼀般结论是⼀元n次⽅程中根与系数的关系,⼤学⾥才学习.练习1.若x1，x2是⼀元⼆次⽅程x2-5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是( )A.1B.5C.-5D.62.⼀元⼆次⽅程x2+4x-3=0的两根为x1，x2，则x1x2的值是( )A.4B.-4C.3D.-33.已知⽅程x2-2x-1=0，则此⽅程( )A.⽆实数根B.两根之和为-2C.两根之积为-1D.有⼀根为-1+24.已知关于x的⼀元⼆次⽅程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=-2，x2=4，则m+n的值是( )A.-10B.10C.-6D.25.已知实数x1，x2满⾜x1+x2=11，x1x2=30，则以x1，x2为根的⼀元⼆次⽅程是( )A.x2-11x+30=0B.x2+11x+30=0C.x2+11x-30=0D.x2-11x-30=0答案：1．B 2.D 3.C 4.A 5.A。
九年级数学专题一：一元二次方程的根与系数的关系一、知识要点：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：12,22b b x x a a-+--==所以：12b x x a+=+=-，12244ac c x x a a⋅====定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 12x x +=______________, 12x x =______________.说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是0∆≥．二、例题讲解类型一、一元二次方程的两个根的有关计算例1.设x 1，x 2是方程x 2+2x ﹣3＝0的两个实数根，求x 12+x 22的值． 解：∵x 1，x 2是方程x 2+2x ﹣3＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝﹣2，x 1•x 2＝﹣3，∴x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝（﹣2）2﹣2×（﹣3）＝10；例2.设x 1与x 2为一元二次方程x 2+3x +2＝0的两根，求（x 1﹣x 2）2的值． 解：由题意可知：x 1+x 2＝﹣6，x 1x 2＝4，∴（x 1﹣x 2）2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2 ＝（﹣6）2﹣4×4＝36﹣16＝20，练习1：（1）设a ，b 是方程x 2﹣x ﹣2021＝0的两个实数根，则a +b ﹣ab 的值为（ ）A ．2022B ．﹣2022C ．2020D ．﹣2020（2）已知方程x 2+2x +6＝10x +2的两实数根分别为x 1，x 2，则的值为（ ） A ．﹣2 B ．2 C ． D ．﹣（3）设x 1，x 2是方程x 2﹣3x ﹣3＝0的两个实数根，则x 12x 2+x 1x 22的值为（ ）A ．9B ．﹣9C ．1D ．﹣1（4）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12+4x 1x 2+x 22的值是 ．（5）已知a 、b 是方程x 2+5x +3＝0的两个根，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ． 练习2：若12,x x 是方程2220090x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．类型二、由已知一元二次方程的一个根求出它的另一个根及未知系数例3.关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为1，则方程的另一个根与m的值.解：设方程的另一根为x＝p．∵关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为1，∴x＝1满足关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0，∴1+m+3＝0，解得m＝﹣4；又由根与系数的关系知：1•p＝3，解得p＝3．故方程的另一根是3．练习3：（1）关于x的一元二次方程2x2﹣kx+12＝0的一个根x1＝2，则方程的另一个根x2和k的值为（）A．x2＝3，k＝10B．x2＝﹣3，k＝﹣10C．x2＝3，k＝﹣10D．x2＝﹣3，k＝10（2）已知方程x2+bx+3＝0的一根为+，则方程的另一根为．（3）若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．﹣1B．0C．1D．2（4）已知关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（）A．4B．﹣4C．3D．﹣3（5）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0，若该方程的两实根x1、x2满足x1+2x2＝9，求m的值．三、构造一元二次方程例4.已知实数x1，x2满足x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣3x﹣4＝0B．x2﹣3x+4＝0C．x2+3x﹣4＝0D．x2+3x+4＝0解：∵实数x1，x2满足x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，∴以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣3x﹣4＝0．故选：A．练习4：（1）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小明看错了常数项，得到方程的两个根是﹣3、﹣1，胖何看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5、﹣4，则原来的方程是（）A．x2+4x﹣3＝0B．x2+4x﹣20＝0C．x2﹣4x﹣20＝0D．x2﹣4x﹣3＝0（2）已知关于x的方程x2+mx+n＝0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；例5.已知a、b满足a2﹣15a﹣5＝0，b2﹣15b﹣5＝0，求a bb a的值；解：∵a、b满足a2﹣15a﹣5＝0，b2﹣15b﹣5＝0，∴a，b是x2﹣15x﹣5＝0的解，当a≠b时，a+b＝15，ab＝﹣5，＝＝＝＝﹣47．当a＝b时，原式＝2；练习5：若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则+的值为．练习6：已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值．练习7：已知实数a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），（b+1）2＝3﹣3（b+1），则的值为（）A．23B．﹣23C．﹣2D．﹣13练习8：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求①4s2﹣5s+t；②的值．例6.已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为．解：由n2+2n﹣1＝0可知n≠0．∴1+﹣＝0．∴﹣﹣1＝0，又m2﹣2m﹣1＝0，且mn≠1，即m≠．∴m，是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根．∴m+＝2．∴＝m+1+＝2+1＝3，四、利用一元二次方程中的根降次例7.设a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2024B．2021C．2023D．2022解：∵a是方程x2+x﹣2023＝0的实数根，∴a2+a﹣2023＝0，∴a2＝﹣a+2023，∴a2+2a+b＝﹣a+2023+2a+b＝2023+a+b，∵a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，∴a2+2a+b＝2023+（﹣1）＝2022．故选：D．练习9：（1）设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a+b﹣ab的值为（）A．2023B．﹣2021C．2021D．﹣2023（2）已知m，n是方程x2+2016x+7＝0的两个根，则（m2+2015m+6）（n2+2017n+8）＝（）A．2008B．8002C．2009D．2020（3）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则的值为（）A．0B．2C．1D．﹣1（4）若m，n是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是．（5）已知α、β是方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则α2﹣5α﹣2β+7＝．例8．如果m、n是一元二次方程x2+x＝3的两个实数根，那么多项式m3+2n2﹣mn﹣6m+2022的值是（）A．2022B．2023C．2029D．2030解：∵m、n是一元二次方程x2+x＝3的两个实数根，∴m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，∴m2＝﹣m+3，n2＝﹣n+3，∴m3＝m（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（﹣m+3）+3m ＝4m﹣3，∴m3+2n2﹣mn﹣6m+2022＝4m﹣3+2（﹣n+3）﹣mn﹣6m+2022＝﹣2（m+n）﹣mn+2025，∵m、n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣1，mn＝﹣3，∴原式＝﹣2×（﹣1）﹣（﹣3）+2025＝2030．故选：D．练习10：（1）若a，b为一元二次方程x2﹣7x﹣1＝0的两个实数根，则a3+3ab+8b﹣42a值是（）A．﹣52B．﹣46C．60D．66（2）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2022x1+x22的值是（）A．4045B．4044C．2022D．1（3）已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣的值为（）A．1B．﹣1C．2021D．﹣2021五、利用两根的性质解决有关的问题例9．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数m的取值范围；（2）若x1+x2＝6﹣x1x2，求m的值．解：（1）Δ＝（2m﹣3）2﹣4m2＝4m2﹣12m+9﹣4m2＝﹣12m+9，∵△≥0，∴﹣12m+9≥0，∴m≤，∴实数m的取值范围是m≤；（2）由题意可得，x1+x2＝﹣（2m﹣3）＝3﹣2m，x1x2＝m2，又∵x1+x2＝6﹣x1x2，∴3﹣2m＝6﹣m2，∴m2﹣2m﹣3＝0，解得m1＝3，m2＝﹣1，又∵m≤，∴m＝﹣1，即m的值为﹣1．练习11.已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1x2＝5，求k的值．练习12.已知关于x 的一元二次方程x 2+2mx +m 2+m ＝0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x 1、x 2，且x 12+x 22＝12，求m 的值．练习13.若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，求k 的值．练习14.已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m +1）x +m 2﹣2＝0．（1）若该方程有两个实数根，求m 的最小整数值；（2）若方程的两个实数根为x 1，x 2，且（x 1﹣x 2）2+m 2＝21，求m 的值．例10.关于x 的方程x 2﹣（2k ﹣1）x +k 2﹣2k +3＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x 1、x 2，存不存在这样的实数k ， 使得|x 1|﹣|x 2|＝？若存在，求出这样的k 值；若不存在，说明理由． 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[﹣（2k ﹣1）]2﹣4（k 2﹣2k +3）＝4k ﹣11＞0，解得：k ＞；（2）存在，∵x 1+x 2＝2k ﹣1，x 1x 2＝k 2﹣2k +3＝（k ﹣1）2+2＞0，∴将|x 1|﹣|x 2|＝两边平方可得x 12﹣2x 1x 2+x 22＝5，即（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝5， 代入得：（2k ﹣1）2﹣4（k 2﹣2k +3）＝5，解得：4k ﹣11＝5，解得：k ＝4．练习15.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22＝31+|x1x2|，求实数m的值．练习16.已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若|x1+x2|＝x1x2﹣1，求k的值．例11.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0的两实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＞0，求a的取值范围．解：∵该一元二次方程有两个实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×a＝4﹣4a≥0，解得：a≤1，由韦达定理可得x1x2＝a，x1+x2＝2，∵x1x2+x1+x2＞0，∴a+2＞0，解得：a＞﹣2，∴﹣2＜a≤1．练习17.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．。
2022年暑假 数学 初升高衔接 专题资料06 韦达定理◇◇ 知知 识识 链链 接接 ◇◇知识链接01 对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x 1，2＝242b b aca -±-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．知识链接02 韦达定理如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a． （用韦达定理时隐藏着“0≥∆”）推论1：以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）可以写成：x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．推论2：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根，则| x 1－x 2|＝||a ∆Δ＝b 2－4ac ）． 知识链接03 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=， 22121212()()4x x x x x x -=+-，2121212||()4x x x x x x -=+-2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．◇◇ 典典 例例 剖剖 析析 ◇◇典例剖析01 （1）已知方程2560xkx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．（2）已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值． （3）已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数． （4）关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．（ⅰ）方程两实根的积为5；（ⅱ）方程的两实根12,x x 满足12||x x =．典例剖析02 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：（1）2212x x +； （2）1211x x +； （3） 12(5)(5)x x --； （4） 12||x x -．典例剖析03 （1）若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．（2）一元二次方程x 2－4x ＋a ＝0有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a 的取值范围．◇◇ 小小 试试 牛牛 刀刀 ◇◇小试牛刀01 （1）方程222330x kx k -+=的根的情况是 （ ）（A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）（A ）m ＜14 （B ）m ＜14，且m ≠0（C ）m ＞－14，且m ≠0 （D ）m ＞－14（3）已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋4c＝0的根的情况是（ ）（A ）没有实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个异号实数根（4）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是 （ ）（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2（5）若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（ ）（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）0小试牛刀02 （1）若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( ) （A ）2（B ）2- （C ）12 （D ）92（2）若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．（3）若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝ ．（4）设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．（5）若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则1111b a a b --+--的值为 ( )（A ）20-（B ）2（C ）220-或（D ）220或（6）如果关于x 的方程x 2－2(1－m )x ＋m 2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为 （ ）（A ）α＋β≥12 （B ）α＋β≤12（C ）α＋β≥1 （D ）α＋β≤1小试牛刀03 已知2816|1|0a a b +++-=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？小试牛刀04 若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．2022年暑假 数学 初升高衔接 专题资料06 韦达定理◇◇ 知知 识识 链链 接接 ◇◇知识链接01 对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x 1，224b b ac-±-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．知识链接02 韦达定理如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a． （用韦达定理时隐藏着“0≥∆”）推论1：以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）可以写成：x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．推论2：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根，则| x 1－x 2|＝||a ∆Δ＝b 2－4ac ）． 知识链接03 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=， 22121212()()4x x x x x x -=+-，2121212||()4x x x x x x -=+-2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．◇◇ 典典 例例 剖剖 析析 ◇◇典例剖析01 （1）已知方程2560xkx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．（2）已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值． （3）已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数． （4）关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．（ⅰ）方程两实根的积为5；（ⅱ）方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【解析】（1）法一：（代入求解）方程的另一个根为－35，k 的值为－7． 法二：（韦达定理求解）方程的另一个根为－35，k 的值为－7．（2）设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得 x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4．∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21， ∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21，化简得 m 2－16m －17＝0，解得 m ＝－1，或m ＝17．当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m ＝17．（3）法一：设这两个数分别是x ，y ，则 x ＋y ＝4， ① xy ＝－12． ②∴x 1＝－2，x 2＝6． ∴112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 或226,2.x y =⎧⎨=-⎩因此，这两个数是－2和6． 法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x 2－4x －12＝0的两个根．解这个方程，得 x 1＝－2，x 2＝6．所以，这两个数是－2和6．（4）（ⅰ）∵方程两实根的积为5 ∴ 222121[(1)]4(1)034,412154k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨⎪=+=⎪⎩所以，当4k =时，方程两实根的积为5．（ⅱ）由12||x x =得知：①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故0∆=⇒32k =；②当10x <时，12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-，又由于 0∆>⇒32k >，故1k =-不合题意，舍去．综上可得，32k =时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =．典例剖析02 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：（1）2212x x +； （2）1211x x +； （3） 12(5)(5)x x --； （4） 12||x x -．【解析】由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-．（1）2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=；（2）121212112220072007x x x x x x +-+===-； （3）121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-； （4）22212121212||()()4(2)4(2007)4502x x x x x x x x -=-=+-=---=．典例剖析03 （1）若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．（2）一元二次方程x 2－4x ＋a ＝0有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a 的取值范围．【解析】（1）设x 1，x 2是方程的两根，则 x 1x 2＝a －4＜0， ①且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ②由①得 a ＜4， 由②得 a ＜174 ．∴a 的取值范围是a ＜4．（2）法一：由⎩⎨⎧<-->∆0)3)(3(021x x 解得：3<a ．法二：设)(x f ＝ x 2－4x ＋a ，则如图所示，只须0)3(<f ，解得3<a ．◇◇ 小小 试试 牛牛 刀刀 ◇◇小试牛刀01 （1）方程222330x kx k -+=的根的情况是 （C ）（A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （D ）（A ）m ＜14 （B ）m ＜14，且m ≠0（C ）m ＞－14，且m ≠0 （D ）m ＞－14（3）已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋4c＝0的根的情况是（ B ）（A ）没有实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个异号实数根（4）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是 （C ）（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2（5）若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（A ）（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）0小试牛刀02 （1）若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( A )（A ）2（B ）2-（C ）12（D ）92（2）若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是____ ．9或3- （3）若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝ ．12（4）设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ． 1,3p q =-=-（5）若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则1111b a a b --+--的值为 ( A )（A ）20- （B ）2（C ）220-或 （D ）220或（6）如果关于x 的方程x 2－2(1－m )x ＋m 2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为 （ C ）（A ）α＋β≥12 （B ）α＋β≤12（C ）α＋β≥1 （D ）α＋β≤1小试牛刀03 2816|1|0a a b ++-=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？1,4=-=b a 4<k 且 0≠k小试牛刀04 若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．2-<a。
微专题：一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）【主题】根与系数的关系（韦达定理）：如果一元二次方程20ax bx c ++= (0),(0)a ≠∆>的实数根分别为：12,x x ，由解方程中的公式法得：1x =2x =；那么可推得1212,b cx x x x a a+=-=；这是一元二次方程根与系数的关系；【典例】例1、已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋3)x ＋k 2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2； （1）求k 的取值范围；（2）若1x 1＋1x 2＝－1，求k 的值；例2、关于x 的一元二次方程x 2－(m －3)x －m 2＝0. （1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实根为x 1，x 2，且|x 1|＝|x 2|－2，求m 的值及方程的根例3、已知m 2－2m －1＝0，n 2＋2n －1＝0，且mn ≠1，则mn ＋n ＋1n 的值为_______【归纳】一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”； 定理：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1，x 2，那么：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca .说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2，1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2，(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，2121212||()4x x x x x x -=+-|， x 1x 22＋x 21x 2＝x 1x 2(x 1＋x 2)，x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2)等等；【特别说明】在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，必须考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零；因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根； 【即时练习】1、已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋m 4＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.若1x 1＋1x 2＝4m ，则m 的值是( )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．不存在2、已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，且x 21－x 22＝10，则a ＝________.3、设a ，b 是方程x 2＋x －2 022＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为________．4、已知关于x 的一元二次方程21202mx x ++=有两个不相等的实数根； （1）求m 的取值范围；（2）当方程一个根为1时，求m 的值以及方程的另一个根．5、已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=，（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程两实数根之积等于292m m -+6m +的值．【教师版】 微专题：一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）【主题】根与系数的关系（韦达定理）：如果一元二次方程20ax bx c ++= (0),(0)a ≠∆>的实数根分别为：12,x x ，由解方程中的公式法得：1x =2x =；那么可推得1212,b cx x x x a a+=-=；这是一元二次方程根与系数的关系；【典例】例1、已知关于x 的一元二次方程x 2＋(2k ＋3)x ＋k 2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2； （1）求k 的取值范围；（2）若1x 1＋1x 2＝－1，求k 的值；【提示】注意：首先通过判别式确定参数的取值范围；【解析】（1）由题得Δ＝(2k ＋3)2－4k 2>0，解得k >－34，所以，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞； （2）由题知，x 1＋x 2＝－2k －3，x 1x 2＝k 2，所以，1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－2k －3k 2＝－1，解得k 1＝3，k 2＝－1，又因为k >－34，所以，k ＝3；【说明】一元二次方程的根与系数关系：首先，通过判别式保证有根，然后，根与系数关系再结合代数变换。
例2、关于x 的一元二次方程x 2－(m －3)x －m 2＝0. （1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实根为x 1，x 2，且|x 1|＝|x 2|－2，求m 的值及方程的根 【提示】注意：根与系数关系与代数变换的交汇； 【解析】（1）证明：一元二次方程x 2－(m －3)x －m 2＝0，因为，a ＝1，b ＝－(m －3)＝3－m ，c ＝－m 2，所以，Δ＝b 2－4ac ＝(3－m )2－4×1×(－m 2)＝5⎝⎛⎭⎫m －352＋365. 所以，Δ>0恒成立，则方程总有两个不相等的实数根．（2）因为，x 1x 2＝c a ＝－m 2≤0，x 1＋x 2＝－ba ＝m －3，且|x 1|＝|x 2|－2，所以，x 1，x 2异号， |x 1|－|x 2|＝－2，若x 1>0，x 2<0，上式化简得x 1＋x 2＝－2，∴m －3＝－2，即m ＝1， 方程化为x 2＋2x －1＝0，解得x 1＝－1＋2，x 2＝－1－2， 若x 1<0，x 2>0，上式化简得－(x 1＋x 2)＝－2，∴x 1＋x 2＝m －3＝2， 即m ＝5，方程化为x 2－2x －25＝0， 解得x 1＝1－26，x 2＝1＋26.【说明】在保证有根并且确定根与系数关系基础上，要根据题设与代数变换特点“挖掘与发现”隐含条件； 例3、已知m 2－2m －1＝0，n 2＋2n －1＝0，且mn ≠1，则mn ＋n ＋1n 的值为_______【提示】由题设考虑“整体计算”； 【答案】3；【解析】由题知：n ≠0，则1＋2n －1n 2＝0，即1n2－2n －1＝0，又m 2－2m －1＝0，且mn ≠1，即m ≠1n ，所以m ，1n 是方程x 2－2x －1＝0的两根，则m ＋1n ＝2； 故mn ＋n ＋1n ＝m ＋1＋1n＝2＋1＝3； 【说明】对于“多”参数或字母的计算；先化简后求值、整体计算往往是“切入点”；当然，本题中结合“构造”根与系数关系解之，是“亮点”。
【归纳】一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”； 定理：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1，x 2，那么：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a . 说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2，1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2，(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，2121212||()4x x x x x x -=+-|， x 1x 22＋x 21x 2＝x 1x 2(x 1＋x 2)，x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2)等等；【特别说明】在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，必须考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零；因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根； 【即时练习】1、已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋m 4＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.若1x 1＋1x 2＝4m ，则m 的值是( )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．不存在 【答案】A ；【解析】由题知，⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，Δ＝(m ＋2)2－4m ·m 4>0，解得m >－1且m ≠0. ∵x 1＋x 2＝m ＋2m ，x 1x 2＝14，∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m ＋2m 14＝4m ，∴m ＝2或－1.∵m >－1，∴m ＝2.2、已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，且x 21－x 22＝10，则a ＝________.【答案】214【解析】由题知，x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝a ，∵x 21－x 22＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝10，∴x 1－x 2＝2，∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝25－4a ＝4，∴a ＝214. 3、设a ，b 是方程x 2＋x －2 022＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为________． 【答案】2 021【解析】由题知，Δ>0，a ＋b ＝－1，a 2＋a －2 022＝0，∴a 2＋2a ＋b ＝(a 2＋a )＋(a ＋b )＝2 022－1＝2 021.4、已知关于x 的一元二次方程21202mx x ++=有两个不相等的实数根； （1）求m 的取值范围；（2）当方程一个根为1时，求m 的值以及方程的另一个根．【答案】（1）2m <且0m ≠；（2）52m =-，方程的另一个根为15-【解析】（1）由题意得：2214244202b ac m m ∆=-=-⨯=->，且0m ≠，解得：2m <且0m ≠；（2）把方程一个根为1代入方程21202mx x ++=得：1202m ++=，解得：52m =-，设另一个根为a ，根据韦达定理可得：241552a +=-=-，解得：15a =-，∴方程的另一个根为15-． 5、已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=，（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程两实数根之积等于292m m -+6m +的值． 【答案】（1）7m =或1m =-；（2）4．【解析】（1）方程有两相等实根，则有()()2224142670b ac m m m m ∆=-=--+=--=，解得：7m =或1m =-；（2）根据韦达定理，可知122x x m =+，又21292x x m m =-+，则有2922m m m -+=+，解得：10m =，210m =；同时，韦达定理的前提是方程有实数根，由此需满足2670m m ∆=--≥，仅在10m =时0∆≥成立；综上所述，可得：10m =，6m +的值为4．【说明】考查韦达定理的应用，注意现阶段韦达定理的前提是方程有实数根，即需满足0∆≥。
用微视角：将零散的知识，系统化、网络化、规律化。
