课时39.2012年中考压轴题(2)

2012年全国各地中考数学压轴题精选（解析版二）11．（2012•重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．解题思路：（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长；（2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；（3）分别从当0≤t≤时，当＜t≤2时，当2＜t≤时，当＜t≤4时去分析求解即可求得答案．解答：解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x，∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x，∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC，∴，即，解得：x=2，即BE=2；（2）存在满足条件的t，理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，则BH=AD=2，DH=AB=3，由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC，∴，即，∴ME=2﹣t，在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8，在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13，过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1，在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1，（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=，（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去），∴t=﹣3+；（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，即：t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），此方程无解，综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，∴CE=，∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣=，∵ME=2﹣t，∴FM=t，当0≤t≤时，S=S△FMN=×t×t=t2，②当G在AC上时，t=2，∵EK=EC•tan∠DCB=EC•=（4﹣t）=3﹣t，∴FK=2﹣EK=t﹣1，∵NL=AD=，∴FL=t﹣，∴当＜t≤2时，S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+t﹣；③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，即B′C：4=2：3，解得：B′C=，∴EC=4﹣t=B′C﹣2=，∴t=，∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，∵GN=GB′﹣B′N=t﹣1，∴当2＜t≤时，S=S梯形GNMF﹣S△FKL=×2×（t﹣1+t）﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+2t﹣，④如图⑥，当＜t≤4时，∵B′L=B′C=（6﹣t），EK=EC=（4﹣t），B′N=B′C=（6﹣t）EM=EC=（4﹣t），S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=﹣t+．综上所述：当0≤t≤时，S=t2，当＜t≤2时，S=﹣t2+t﹣；当2＜t≤时，S=﹣t2+2t﹣，当＜t≤4时，S=﹣t+．12．（2012•泰安）如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．解题思路：（1）利用待定系数法求抛物线的解析式．因为已知A（3，0），所以需要求得B点坐标．如答图1，连接OB，利用勾股定理求解；（2）由∠PBO=∠POB，可知符合条件的点在线段OB的垂直平分线上．如答图2，OB的垂直平分线与抛物线有两个交点，因此所求的P点有两个，注意不要漏解；（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H，构造梯形MBOH与三角形MHA，求得△MAB面积的表达式，这个表达式是关于M点横坐标的二次函数，利用二次函数的极值求得△MAB面积的最大值．解答：解：（1）如答图1，连接OB．∵BC=2，OC=1∴OB==∴B（0，）将A（3，0），B（0，）代入二次函数的表达式得，解得，∴y=﹣x2+x+．（2）存在．如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P．∵B（0，），O（0，0），∴直线l的表达式为y=．代入抛物线的表达式，得﹣x2+x+=；解得x=1±，∴P（1±，）．（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H．设M（x m，y m），则S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB=（MH+OB）•OH+HA•MH﹣OA•OB =（y m+）x m+（3﹣x m）y m﹣×3×=x m+y m﹣∵y m=﹣x m2+x m+，∴S△MAB=x m+（﹣x m2+x m+）﹣=x m2+x m=（x m﹣）2+∴当x m=时，S△MAB取得最大值，最大值为．13．（2012•铜仁地区）如图已知：直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C （1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y=﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．解题思路：（1）首先确定A、B、C三点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）△ABO为等腰直角三角形，若△ADP与之相似，则有两种情形，如答图1所示．利用相似三角形的性质分别求解，避免遗漏；（3）如答图2所示，分别计算△ADE的面积与四边形APCE的面积，得到面积的表达式．利用面积的相等关系得到一元二次方程，将点E是否存在的问题转化为一元二次方程是否有实数根的问题，从而解决问题．需要注意根据（2）中P点的不同位置分别进行计算，在这两种情况下，一元二次方程的判别式均小于0，即所求的E点均不存在．解答：解：（1）由题意得，A（3，0），B（0，3）∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y=ax2+bx+c，得方程组…3分解得：∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3 …5分（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形，如答图1所示，若△ABO∽△AP1D，则∴DP1=AD=4，∴P1（﹣1，4）…7分若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD=4，∵△ABO为等腰三角形，∴△ADP2是等腰三角形，由三线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点M与点C重合，∴P2（1，2）…10分（3）如答图2，设点E（x，y），则S△ADE=①当P1（﹣1，4）时，S四边形AP1CE=S△ACP1+S△ACE==4+|y|…11分∴2|y|=4+|y|，∴|y|=4∵点E在x轴下方，∴y=﹣4，代入得：x2﹣4x+3=﹣4，即x2﹣4x+7=0，∵△=（﹣4）2﹣4×7=﹣12＜0∴此方程无解…12分②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S△ACP2+S△ACE==2+|y|，∴2|y|=2+|y|，∴|y|=2∵点E在x轴下方，∴y=﹣2，代入得：x2﹣4x+3=﹣2，即x2﹣4x+5=0，∵△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0∴此方程无解综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E．…14分14．（2012•温州）如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A．过点P（1，m）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）．连接CB，CP．（1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；（2）当m＞1时，连接CA，问m为何值时CA⊥CP？（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由．解题思路：（1）把m=3，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，进而求出BC的长；（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知条件证明△AGH∽△PCB，根据相似的性质得到：，再用含有m的代数式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值；（3）存在，本题要分当m＞1时，BC=2（m﹣1），PM=m，BP=m﹣1和当0＜m＜1时，BC=2（1﹣m），PM=m，BP=1﹣m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标．解答：解：（1）当m=3时，y=﹣x2+6x令y=0得﹣x2+6x=0∴x1=0，x2=6，∴A（6，0）当x=1时，y=5∴B（1，5）∵抛物线y=﹣x2+6x的对称轴为直线x=3又∵B，C关于对称轴对称∴BC=4．（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°∴∠ACH=∠PCB又∵∠AHC=∠PBC=90°∴△AGH∽△PCB，∴，∵抛物线y=﹣x2+2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，又∵B，C关于对称轴对称，∴BC=2（m﹣1），∵B（1，2m﹣1），P（1，m），∴BP=m﹣1，又∵A（2m，0），C（2m﹣1，2m﹣1），∴H（2m﹣1，0），∴AH=1，CH=2m﹣1，∴，∴m=．（3）∵B，C不重合，∴m≠1，（I）当m＞1时，BC=2（m﹣1），PM=m，BP=m﹣1，（i）若点E在x轴上（如图1），∵∠CPE=90°，∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP，∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM，∴2（m﹣1）=m，∴m=2，此时点E的坐标是（2，0）；（ii）若点E在y轴上（如图2），过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE，∴BP=NP=OM=1，∴m﹣1=1，∴m=2，此时点E的坐标是（0，4）；（II）当0＜m＜1时，BC=2（1﹣m），PM=m，BP=1﹣m，（i）若点E在x轴上（如图3），易证△BPC≌△MEP，∴BC=PM，∴2（1﹣m）=m，∴m=，此时点E的坐标是（，0）；（ii）若点E在y轴上（如图4），过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE，∴BP=NP=OM=1，∴1﹣m=1，∴m=0（舍去），综上所述，当m=2时，点E的坐标是（0，2）或（0，4），当m=时，点E的坐标是（，0）．15．（2012•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．（1）求m的值及抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．题思路：（1）首先求得m的值和直线的解析式，根据抛物线对称性得到B点坐标，根据A、B点坐标利用交点式求得抛物线的解析式；（2）存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．如答图1所示，过点E作EG⊥x轴于点G，构造全等三角形，利用全等三角形和平行四边形的性质求得E点坐标和平行四边形的面积．注意：符合要求的E点有两个，如答图1所示，不要漏解；（3）本问较为复杂，如答图2所示，分几个步骤解决：第1步：确定何时△ACP的周长最小．利用轴对称的性质和两点之间线段最短的原理解决；第2步：确定P点坐标P（1，3），从而直线M1M2的解析式可以表示为y=kx+3﹣k；第3步：利用根与系数关系求得M1、M2两点坐标间的关系，得到x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3．这一步是为了后续的复杂计算做准备；第4步：利用两点间的距离公式，分别求得线段M1M2、M1P和M2P的长度，相互比较即可得到结论：=1为定值．这一步涉及大量的运算，注意不要出错，否则难以得出最后的结论．答：解：（1）∵经过点（﹣3，0），∴0=+m，解得m=，∴直线解析式为，C（0，）．∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于A（﹣3，0），∴另一交点为B（5，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣5），∵抛物线经过C（0，），∴=a•3（﹣5），解得a=，∴抛物线解析式为y=x2+x+；（2）假设存在点E使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则AC∥EF且AC=EF．如答图1，（i）当点E在点E位置时，过点E作EG⊥x轴于点G，∵AC∥EF，∴∠CAO=∠EFG，又∵，∴△CAO≌△EFG，∴EG=CO=，即y E=，∴=x E2+x E+，解得x E=2（x E=0与C点重合，舍去），∴E（2，），S▱ACEF=；（ii）当点E在点E′位置时，过点E′作E′G′⊥x轴于点G′，同理可求得E′（+1，），S▱ACE′F′=．（3）要使△ACP的周长最小，只需AP+CP最小即可．如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AP+CP最小（AP+CP最小值为线段BC的长度）．∵B（5，0），C（0，），∴直线BC解析式为y=x+，∵x P=1，∴y P=3，即P（1，3）．令经过点P（1，3）的直线为y=kx+3﹣k，∵y=kx+3﹣k，y=x2+x+，联立化简得：x2+（4k﹣2）x﹣4k﹣3=0，∴x1+x2=2﹣4k，x1x2=﹣4k﹣3．∵y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，∴y1﹣y2=k（x1﹣x2）．根据两点间距离公式得到：M1M2==== ∴M1M2===4（1+k2）．又M1P===；同理M2P=∴M1P•M2P=（1+k2）•=（1+k2）•=（1+k2）•=4（1+k2）．∴M1P•M2P=M1M2，∴=1为定值．16．（2012•梅州）如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．（1）①点B的坐标是（6，2）；②∠CAO=30度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为（3，3）；（直接写出答案）（2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由．（3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．解题思路：（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标；②由正切函数，即可求得∠CAO的度数，③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；（2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案；（3）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案．解答：解：（1）①∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，∵A（6，0）、C（0，2），∴点B的坐标为：（6，2）；②∵tan∠CAO===，∴∠CAO=30°；③如下图：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E，∵∠PQO=60°，D（0，3），∴PE=3，∴AE==3，∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P的坐标为（3，3）；故答案为：①（6，2），②30，③（3，3）；（2）情况①：MN=AN=3，则∠AMN=∠MAN=30°，∴∠MNO=60°，∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点N与Q重合，∴点P与D重合，∴此时m=0，情况②，如图AM=AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴；MJ=MQ•sin60°=AQ•sin60°=（OA﹣IQ﹣OI）•sin60°=（3﹣m）=AM=AN=，可得（3﹣m）=，解得：m=3﹣，情况③AM=NM，此时M的横坐标是4.5，过点P作PI⊥OA于I，过点M作MG⊥OA于G，∴MG=，∴QK===3，GQ==，∴KG=3﹣0.5=2.5，AG=AN=1.5，∴OK=2，∴m=2，（3）当0≤x≤3时，如图，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；由题意可知直线l∥BC∥OA，可得，EF=（3+x），此时重叠部分是梯形，其面积为：S梯形=（EF+OQ）•OC=（3+x），当3＜x≤5时，S=S梯形﹣S△HAQ=S梯形﹣AH•AQ=（3+x）﹣（x﹣3）2，当5＜x≤9时，S=（BE+OA）•OC=（12﹣x），当9＜x时，S=OA•AH=．17．（2012•株洲）如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．解题思路：（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）本问要点是求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值；（3）本问要点是明确D点的可能位置有三种情形，如答图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标．解答：解：（1）∵分别交y轴、x轴于A、B两点，∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）…（1分）将x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2…（2分）将x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=，∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x+2…（3分）（2）如答图1，设MN交x轴于点E，则E（t，0），BE=4﹣t．∵tan∠ABO===，∴ME=BE•tan∠ABO=（4﹣t）×=2﹣t．又N点在抛物线上，且x N=t，∴y N=﹣t2+t+2，∴MN=y N﹣ME=﹣t2+t+2﹣（2﹣t）=﹣t2+4t…（5分）∴当t=2时，MN有最大值4…（6分）（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形，如答图2所示．…（7分）（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2，从而D为（0，6）或D（0，﹣2）…（8分）（ii）当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点，易得D1N的方程为y=x+6，D2M的方程为y=x﹣2，由两方程联立解得D为（4，4）…（9分）故所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）…（10分）18．（2012•南充）如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D．动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒一个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD 时，求运动时间t的值；（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标．解题思路：（1）根据抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6），利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如答图1，由已知条件，可以计算出OD、AE等线段的长度．当PQ⊥AD时，过点O作OF⊥AD于点F，此时四边形OFQP、OFAE均为矩形．则在Rt△ODF中，利用勾股定理求出DF的长度，从而得到时间t的数值；（3）因为OB为定值，欲使△ROB面积最大，只需OB边上的高最大即可．按照这个思路解决本题．如答图2，当直线l平行于OB，且与抛物线相切时，OB边上的高最大，从而△ROB的面积最大．联立直线l和抛物线的解析式，利用一元二次方程判别式等于0的结论可以求出R点的坐标．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0）与点（﹣2，6），∴，解得∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x．（2）如答图1，连接AC交OB于点E，由垂径定理得AC⊥OB．∵AD为切线，∴AC⊥AD，∴AD∥OB．∵tan∠AOB=，∴sin∠AOB=，∴AE=OA•sin∠AOB=4×=2.4，OD=OA•tan∠OAD=OA•tan∠AOB=4×=3．当PQ⊥AD时，OP=t，DQ=2t．过O点作OF⊥AD于F，则在Rt△ODF中，OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ﹣FQ=DQ﹣OP=2t﹣t=t，由勾股定理得：DF===1.8，∴t=1.8秒；（3）如答图3，设直线l平行于OB，且与抛物线有唯一交点R（相切），此时△ROB中OB边上的高最大，所以此时△ROB面积最大．∵tan∠AOB=，∴直线OB的解析式为y=x，由直线l平行于OB，可设直线l解析式为y=x+b．∵点R既在直线l上，又在抛物线上，∴x2﹣2x=x+b，化简得：2x2﹣11x﹣4b=0．∵直线l与抛物线有唯一交点R（相切），∴判别式△=0，即112+32b=0，解得b=，此时原方程的解为x=，即x R=，而y R=x R2﹣2x R=∴点R的坐标为R（，）．19．（2012•凉山州）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．题思路：（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴另一交点C的坐标；（2）关键是求出线段PE长度的表达式，设D点横坐标为t，则可以将PE表示为关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出PE长度的最大值；（3）根据等腰三角形的性质和勾股定理，将直线l的存在性问题转化为一元二次方程问题，通过一元二次方程的判别式可知直线l是否存在，并求出相应Q点的坐标．注意“△MON是等腰三角形”，其中包含三种情况，需要逐一讨论，不能漏解．答：解：（1）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（﹣4，0），B（0，4）抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣3x+4．令y=0，得﹣x2﹣3x+4=0，解得x1=﹣4，x2=1，∴C（1，0）．（2）如答图1所示，设D（t，0）．∵OA=OB，∴∠BAO=45°，∴E（t，t），P（t，﹣t2﹣3t+4）．PE=y P﹣y E=﹣t2﹣3t+4﹣t=﹣t2﹣4t=﹣（t+2）2+4，∴当t=﹣2时，线段PE的长度有最大值4，此时P（﹣2，6）．（3）存在．如答图2所示，过N点作NH⊥x轴于点H．设OH=m（m＞0），∵OA=OB，∴∠BAO=45°，∴NH=AH=4﹣m，∴y Q=4﹣m．又M为OA中点，∴MH=2﹣m．△MON为等腰三角形：①若MN=ON，则H为底边OM的中点，∴m=1，∴y Q=4﹣m=3．由﹣x Q2﹣3x Q+4=3，解得x Q=，∴点Q坐标为（，3）或（，3）；②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中，根据勾股定理得：MN2=NH2+MH2，即22=（4﹣m）2+（2﹣m）2，化简得m2﹣6m+8=0，解得：m1=2，m2=4（不合题意，舍去）∴y Q=2，由﹣x Q2﹣3x Q+4=2，解得x Q=，∴点Q坐标为（，2）或（，2）；③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中，根据勾股定理得：ON2=NH2+OH2，即22=（4﹣m）2+m2，化简得m2﹣4m+6=0，∵△=﹣8＜0，∴此时不存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．综上所述，存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．所求Q点的坐标为（，3）或（，3）或（，2）或（，2）．20．（2012•衢州）如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x 轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移过程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．解题思路：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解．结论：存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形；（3）本问关键是求得重叠部分面积S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值．解答中提供了三种求解面积S表达式的方法，殊途同归，可仔细体味．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，可得c=0，∴，解得a=，b=，∴抛物线解析式为y=x2+x．（2）设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=∴P（t，），∵点M在抛物线上，∴M（t，t2+t）．如解答图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，AG=y A﹣y M=2﹣（t2+t）=t2﹣t+2，BH=PN=．当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，∴t2﹣t+2=，化简得3t2﹣8t+4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，∴点P的坐标为（，）∴存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形．（3）如解答图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．求得过A、C的直线为y AC=﹣x+3，可设点A′的横坐标为a，则点A′（a，﹣a+3），易知△OQT∽△OCD，可得QT=，∴点Q的坐标为（a，）．解法一：设AB与OC相交于点J，∵△ARQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴=∴HT===2﹣a，KT=A′T=（3﹣a），A′Q=yA′﹣yQ=（﹣a+3）﹣=3﹣a．S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=KT•A′T﹣A′Q•HT=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．解法二：过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得①由△RKH∽△A′O′B′，得②由①，②得KH=OH，OK=OH，KT=OT﹣OK=a﹣OH ③由△A′KT∽△A′O′B′，得，则KT=④由③，④得=a﹣OH，即OH=2a﹣2，RH=a﹣1，所以点R的坐标为R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△QOT﹣S△ROK=•OT•QT﹣•OK•RH=a•a﹣（1+a﹣）•（a﹣1）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．解法三：∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（﹣a+3）•=a+，∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣，过点R作RH⊥x轴于H，∵tan∠OAB=tan∠RKH==2，∴RH=2KH又∵tan∠OAB=tan∠ROH===，∴2RH=OK+KH=a﹣+RH，∴RH=a﹣1，OH=2（a﹣1），∴点R坐标R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=•KT•A′T﹣A′Q•（xQ﹣xR）=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．。

2012年全国各地中考数学压轴题精选讲座四函数与方程、不等式【知识纵横】函数与方程、不等式在初中数学中具有重要地位，是近年来中考的热点之一。

函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特殊的观念。

也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，例求两个函数的交点坐标，一般通过函数解析式组成的方程组来解决。

这类问题主要采用以函数为主线,将函数图像、性质，方程及不等式的相关知识的综合运用,利用数形结合的思想解决相应的实际问题。

函数综合题从题设到结论、从题型到内容，条件隐蔽,变化多样，因此就决定了审题过程的复杂性和解题设计的多样性。

在审题过程中，要明确解题结果正确的终极目标和每一步骤分项目标，注意题设条件的隐蔽性。

并对所得的函数要结合自变量的取值范围来考虑最值，这就需要结合图像来解决。

【填空、选择题】1.（浙江杭州）已知关于x ，y 的方程组x y=4ax y=3a-⎧⎨-⎩+3，其中﹣3≤a ≤1，给出下列结论：①x=5y=1⎧⎨-⎩是方程组的解； ②当a =﹣2时，x ，y 的值互为相反数；③当a =1时，方程组的解也是方程x +y =4﹣a 的解；④若x ≤1，则1≤y ≤4．其中正确的是【 】 A ．①② B ．②③ C ．②③④ D ．①③④2.（山东潍坊）已知一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根1x 、2x 满足x 1＋x 2＝4和x 1•x 2＝3，那么二次函数()20y ax bx c a >=++的图象可能是.A. B. C. D3.（内蒙古呼和浩特）已知一元二次方程230x bx +-=的一根为3-，在二次函数23y x bx =+-的图象上有三点14 5,y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、25 4,y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、31 6,y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1y 、2y 、3y 的大小关系是A. 123y y y <<B. 213y y y <<C. 312y y y <<D. 132y y y <<4. （浙江义乌）如图，已知抛物线y 1=﹣2x 2+2，直线y 2=2x +2，当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2．若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M =y 1=y 2．例如：当x =1时，y 1=0，y 2=4，y 1＜y 2，此时M =0．下列判断： ①当x ＞0时，y 1＞y 2； ②当x ＜0时，x 值越大，M 值越小； ③使得M 大于2的x 值不存在； ④使得M =1的x 值是或．其中正确的是【 】A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④5.（四川绵阳）若是方程（x －a ）（x －b ）= 1（a ＜b ）的两个根，则实数x 1，x 2，a ，b 的大小关系为A ．x 1＜x 2＜a ＜bB ．x 1＜a ＜x 2＜bC ．x 1＜a ＜b ＜x 2D ．a ＜x 1＜b ＜x 26.（湖北黄冈）已知函数()()()()221 1 35 1 3x x y x x >⎧--≤⎪=⎨--⎪⎩，若使y k =成立的x 值恰好有三个，则k 的值为 A 、0B 、1C 、2D 、3【典型试题】1.（江苏南京）已知函数261y mx x =-+（m 是常数）．⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．【考点】函数图象上点的坐标与方程的关系， 二次函数与一元二次方程的关系。

2012中考数学压轴题精选精析（81-90例）一、解答题1、(2011年湖北随州十校联考数学试题)如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P，与x轴交点为 A、B，与y轴交点为C．连结BP并延长交y轴于点D. 连结AP，△APB为等腰直角三角形。

(1)求a的值和点P、C、D的坐标；(2)连结BC、AC、AD。

将△BCD绕点线段CD上一点E逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S。

①当点E在（0，1）时，在图25—1中画出旋转后的三角形，并出求S.②当点E在线段CD(端点C、D除外)上运动时，设E(0，b)，用含b的代数式表示S，并判断当b为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．解：（1）a=1 P（2，-1） C（0，3） D（0，-3），（各1分，共4分）（2）画出图形（1分）可用相似三角形的面积求S=23（2分）（3）当b≥0如图，可用相似三角形的面积求21(3)6s b=-（2分）当b=0时，S=32（1分）当b＜0时 BD旋转后经过A时，b=-1①-1＜b≤0时，（2分）②b＜-1时（2分）2、(2011年重庆一中摸底试卷)如图等腰直角三角形纸片ABC中，AC=BC=4,90oACB∠=直角边AC在x轴上，B点在第二象限，A(1，0)，AB交y轴于E，将纸片过E点折叠使BE与EA所在直线重合，得到折痕EF（F在x轴上），再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE，然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA平移，至B点到达A点停止．设平移时间为t(s)，移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE与AEF∆重叠的面积为S．(1)求折痕EF的长；(2)是否存在某一时刻t使平移中直角顶点C经过抛物线342++=xxy的顶点？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；(3)直接写出．．．．S与t的函数关系式及自变量t的取值范围.解：（1）折痕2EF=（2）2t=（s）（3）212,(02).2s t t t=-+≤≤1,(222).s t=≤≤2121,(2232).4s t t t=-+-≤≤21228,(3242).4s t t t=-+≤≤3、（2011泰兴市济川实验初中初三数学阶段试题）如图，矩形A’B’C’D’是矩形OABC(边OA 在x 轴正半轴上，边OC 在y 轴正半轴上)绕B 点逆时针旋转得到的，O ’点在x 轴的正半轴上，B 点的坐标为(1，3)．O’C’与AB 交于D 点.(1)如果二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象经过O ，O ’两点且图象顶点M 的纵坐标为1-，求这个二次函数的解析式；(2)求D 点的坐标．(3)若将直线OC 绕点O 旋转α度(0<α<90)后与抛物线的另一个 交点为点P ，则以O 、O’、B 、P 为顶点的四边形能否是平行 四边形？若能，求出αtan 的值；若不能，请说明理由．解：(1)x x y 22-= ……3 分(2)D(1,34) ……7分 (3)tan α=1或31……12分(求出一个得3分,求两个得5分)4、（2011年山东三维斋一模试题）如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标．（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积． （3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA 相似． 若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由． 解：（1）令0y =，得210x -= 解得1x =±令0x =，得1y =-∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ··· （2分）（2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45∵A P ∥CB ， ∴∠P AB =45过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则∆A P E 为等腰直角三角形令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a +∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴211a a +=- 解得12a =，21a =-（不合题意，舍去）∴P E =3 ··························································································· 4分）∴四边形ACB P 的面积S =12AB •O C +12AB •P E =112123422⨯⨯+⨯⨯= ······································ 6分） (3)假设存在∵∠P AB =∠BAC =45 ∴P A ⊥AC∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90 在Rt △A O C 中，O A =O C =1 ∴AC =2在Rt △P AE 中，AE =P E =3 ∴A P= 32 ··············································· 7分） 设M 点的横坐标为m ，则M 2(,1)m m -①点M 在y 轴左侧时，则1m <-(ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时，有AG PA =MG CA∵A G=1m --，MG=21m -即211322m m ---= 解得11m =-（舍去） 223m =（舍去）(ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA即 211232m m ---= A BC 'MA 'O xyO ' CD第28题图CPByAoxEyPAoGMC ByPAox解得：1m =-（舍去） 22m =-∴M (2,3)- ··········································································· （10分）② 点M 在y 轴右侧时，则1m > (ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时有AG PA =MGCA∵A G=1m +，MG=21m -∴ 211322m m +-= 解得11m =-（舍去） 243m =∴M 47(,)39(ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA即 211232m m +-= 解得：11m =-（舍去） 24m = ∴M (4,15)∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆P CA 相似M 点的坐标为(2,3)-，47(,)39，(4,15) ·································· （12分）5、(2011年深圳市数学模拟试卷)如图13，已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的象经过A (－1，0)、B (3，0)、N (2，3)三点，且与y 轴交于点C ． (1)（3分）求顶点M 及点C 的坐标；(2)（3分）若直线y =kx ＋d 经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ，试证明四边形CDAN 是平行四边形；(3)（4分）点P 是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P ，使以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 解：解：(1)因为二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A (－1，0)、B (3，0)、N (2，3)所以，可建立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=+-=c b a c b a c b a 2433900，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=321c b a所以，所求二次函数的解析式为y=－x 2＋2x ＋3，所以，顶点M (1，4)，点C (0，3) -------2分(2)直线y=kx+d 经过C 、M 两点，所以⎩⎨⎧=+=43d k d ，即k ＝1，d ＝3，直线解析式为y ＝x ＋3令y ＝0，得x ＝－3，故D (－3，0）∴ CD ＝23，AN ＝23，AD =2，CN =2∴CD ＝AN ，AD =CN∴ 四边形CDAN 是平行四边形(3)假设存在这样的点P ，使以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，因为这个二次函数的对称轴是直线x =1，故可设P (1，0y )，则PA 是圆的半径且PA 2=y 02＋22，过P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，则PQ ＝PA 时以P 为圆心的圆与直线CD 相切。

1．如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°．（1）直接写出直线AB的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE．是否存在点P，使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．得，解得﹣，所以，抛物线解析式为﹣﹣﹣﹣或（﹣﹣x=（（）或（2、.已知抛物线 与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标是（-1,0），O 是坐标原点，且OA OC 3=． （1）求抛物线的函数表达式； （2）直接写出直线BC 的函数表达式；（3）如图1，D 为y 轴的负半轴上的一点，且OD =2，以OD 为边作正方形ODEF .将正方形ODEF 以每秒1个单位的速度沿x 轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF 与△OBC 重叠部分的面积为s ，运动的时间为t 秒（0＜t ≤2）. 求：①s 与t 之间的函数关系式；②在运动过程中，s 是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．（4）如图2，点P （1，k ）在直线BC 上，点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，是否存在以A 、M 、N 、P 为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由.c ax ax y +-=222.解答:（1）∵ A （-1,0）, OA OC 3= ∴C （0,-3） ………1′∵抛物线经过A （-1,0）, C （0,-3） ∴)()⎩⎨⎧=+-⨯-⨯--=012132c a a c∴⎨⎧-==31c a ∴y=x 2－2x －3 (3)（2）直线BC 的函数表达式为y=x －3（3）当正方形ODEF 的顶点D 运动到直线BC 上时，设D 点的坐标为（m ，-2）， 根据题意得： -2=m-3，∴m=1 …………………6′①当0＜t ≤1时S 1=2t …………………7′ 当1＜t ≤2时S 2=OO DDS 11矩形－HGDS 1∆ =2t －()2121-⨯t=－213212-+t t …………………9′②当t =2秒时，S 有最大值，最大值为 ……………10′（4）M 1（－12-，0） M 2（12-，0） M 3（63-，0） M 4（63+，0 ）………………14′3如图，抛物线32-+=bx ax y 交y 轴于点C ，直线 l 为抛物线的对称轴，点P 在第图1 图227三象限且为抛物线的顶点.P 到x 轴的距离为310，到y 轴的距离为1.点C 关于直线l 的对称点为A ，连接AC 交直线 l 于B. （1）求抛物线的表达式；（2）直线m x y +=43与抛物线在第一象限内交于点D ，与y 轴交于点F,连接BD 交y 轴于点E ，且DE:BE=4:1.求直线m x y +=43的表达式；（3）若N 为平面直角坐标系内的点，在直线m x y +=43上是否存在点M ，使得以点O 、F 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.3.解答：（1）∵抛物线32-+=bx axy 交y 轴于点C∴ C （0，-3）则 OC=3 ……………1分 ∵P 到x 轴的距离为310，P 到y 轴的距离是1且在第三象限 ∴P （-1，-310） ……………2分∵C 关于直线l 的对称点为A∴A （-2，-3） ……………3分 将点A （-2，-3），P （-1，-310）代入32-+=bx axy有⎪⎩⎪⎨⎧-=---=--31033324b a b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3231b a ………………………5分 第26题图∴抛物线的表达式为 332312-+=x x y ………………………6分（2）过点D 做DG ⊥y 轴于G ，则∠DGE=∠BCE=90°∵∠DEG=∠BEC ∴△DEG ∽△BEC∵DE:BE=4:1 ∴14==BEDE BCDG 则DG=4 ………………………7分将x=4代入332312-+=x x y ，得y=5则 D （4,5） ………………………8分 ∵m x y +=43过点D （4,5）∴m +⨯=4435 则 m =2 ………………………9分∴所求直线的表达式为 243+=x y (10)分（3）存在 M 1516,58( M 254,58(-M 3)1,34(- M 42514,2548(-………………………14分4．在平面直角坐标系中，已知抛物线c bx ax y ++=2经过点A 3(-，0)、B(0，3)、C （1，0）三点．(1) 求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；(2) 如图1，将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D 顺时针旋转 60,与直线x y -=交于点N ．在直线DN 上是否存在点M ，使得∠MON= 75．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 点P 、Q 分别是抛物线c bx ax y ++=2和直线x y -=上的点，当四边形OBPQ 是直角梯形时，求出点Q 的坐标．4解答．(1)解：由题意把A(-3，0)、B(0，3)、C(1，0)代入c bx ax y ++=2列方程组得⎪⎩⎪⎨⎧=++==+-03039c b a c c b a ，解得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=321c b a ．……1分 ∴抛物线的解析式是322+--=x x y ． ……2分 ∵4)1(3222++-=+--=x x x y ，∴抛物线的顶点D 的坐标为（－1，4）．…… 3分（2）存在．理由：方法（一）：由旋转得∠EDF=60°， 在Rt △DEF ∴EF=DE×tan60°=43．∴OF=OE+EF=1+4 ∴F 点的坐标为（341--，0）．……1 设过点D 、F 的直线解析式是b x y +=κ 把D （－1，4），F （341--，0）代入求得 33433++=x y ．……2分分两种情况:①当点M 在射线ND 上时， ∵∠MON=75°，∠BON=45°，∴∠MOB=∠MON ﹣∠BON=30°．∴∠MOC=60°．∴直线OM 的解析式为y =3x ．……3分 ∴点M 的坐标为方程组．⎪⎩⎪⎨⎧=++=x y x y 333433的解，解方程组得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2362132y x ． ∴点M 的坐标为（2132+，236+）．……4分②当点M 在射线NF 上时，不存在点M 使得∠MON=75°理由：∵∠MON=75°，∠FON=45°， ∴∠FOM=∠MON －∠FON=30°. ∵∠DFE=30°,∴∠FOM=∠DFE ．∴OM ∥FN ．∴不存在……5分 综上所述，存在点M ，且点M 的坐标为（2132+，236+）．方法（二）①M 在射线ND 上，过点M 作MP ⊥x 轴于点P ， 由旋转得∠EDF=60°， 在Rt △DEF 中，∵∠EDF=60°，DE=4 ∴EF=DE×tan60°=43．∴OF=OE ﹢EF=1+43．……2分 ∵∠MON=75°，∠BON=45°，∴∠∴∠MOC=60°．在Rt △MOP 中，∴ 在Rt △MPF 中，∵tan ∠MFP=PFMP ，∴=++3413OP OP 33．……3分∴OP=23﹢21．∴MP=6﹢23．∴M 点坐标为（23﹢21、6﹢23）．……4分②M 在射线NF 上，，不存在点M 使得∠MON=75°理由:∵∠MON=75°，∠FON=45°，∴∠FOM=∠MON ﹣∠FON=30°． ∵∠DFE=30°．∴∠FOM=∠DFE ．∴OM ∥DN ． ∴不存在．……5分 综上所述，存在点M ，且点M 的坐标为（2132+，36（3）有两种情况①直角梯形OBPQ 中，PQ ∥OB ，∠如图3，∵∠OBP=∠AOB=90°，∴PB ∥OA ． 所以点P 、B 的纵坐标相同都是3．……1分 因为点P 在抛物线322+--=x x y 上，把=y 3代入抛物线的解析式中得x １＝0（舍去） ， x 2＝﹣2．由PQ ∥OB 得到点P 、Q 的横坐标相同， 都等于-2．把x ＝﹣2代入=y ﹣x 得y ＝2．所以Q 点的坐标为（-2，2）．……3分②在直角梯形OBPQ 中，PB ∥OQ ，∠BPQ=90°． 如图4，∵D(-1，4)，B(0，3) ，∴DB ∥OQ ．∵PB ∥OQ ， 点P 在抛物线上，∴点P 、D 重合．……1分 ∴∠EDF=∠EFD=45°．∴EF=ED=4． ∴OF=OE+EF=5．……2分作QH ⊥x 轴于H ，∵∠QOF=∠QFO=45°， ∴OQ=FQ ．∴OH=21OF=25．∴Q 点的横坐标﹣25．∵Q 点在=y ﹣x 上，∴把x ＝﹣25代入=y ﹣x 得=y 25．∴Q 点的坐标为（﹣25，25）．…… 3分综上，符合条件的点Q 有两个,坐标分别为：（-2，2），（-25，25）．※ 试题其他方法参照给分5.如图，已知抛物线经过原点O 和 轴上一点A （4，0），抛物线顶点为E ，它的对称轴与 轴交于点D.直线 经过抛物线上一点B （-2，m ）且与轴交于点C ， 与抛物线的对称轴交于点F.（1）求m 的值及该抛物线对应的解析式；（2）P 是抛物线上的一点，若S △ADP =S △ADC ,求出所有符合条件的点P 的坐标； （3）点Q 是平面内任意一点，点M 从点F 出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M 的运动时间为t 秒，是否能使以Q 、A 、E 、M 四点为顶点的四边形是菱形.若能，请直接写出点M 的运动时间t 的值；若不能，请说明理由.第26题图 备用图5.解答：（1）∵点B(-2,m)在直线12--=x y 上∴m=3 即B （-2，3）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 1分 又∵抛物线经过原点O∴设抛物线的解析式为bx ax y +=2∵点B （-2，3），A （4，0）在抛物线上∴⎩⎨⎧=+=-0416324b a b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧-==141b a∴设抛物线的解析式为x x y -=241 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分x 12--=x y y ),(yx（2）∵),(y x P 是抛物线上的一点 ∴)41,(2x x x P -若ADC ADP S S ∆∆= ∵OC AD S ADC ⋅=∆21 y AD S ADP ⋅=∆21 ┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分又∵点C 是直线12--=x y 与y 轴交点 ∴C(0,1) ∴OC=1 ∴1412=-x x ， 即1412=-x x 或1412-=-x x解得：2,222,2224321==-=+=x x x x∴点P 的坐标为 )1,2(),1,222(),1,222(321--+P P P ┅┅┅ 10分 （3）存在： ,541-=t ,62=t,543+=t ,2134=t ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅。

中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一)例1直线113y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点．(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．例2 Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)ky k x=≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系； （2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图12012中考数学压轴题函数相似三角形问题(二)例3 如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2例4 如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22=++上．y mx mx n （1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．图12012中考数学压轴题函数相似三角形问题(三) 例5 如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,图1例6 如图1，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，cos A ＝310．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE //BC 交射线CA 于点E .．(1) 若CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图 备用图例 7 如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移二次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA ⋅=2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO ＝23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式．图12012中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一)例1 如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2例2 如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．图12012中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二)例3 如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N 分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．图1例4 如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ （3）若12y m，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？图12012中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例5 已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．图1例6 在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM//x轴（如图1所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD．（1）求b的值和点D的坐标；（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆与圆O外切，求圆O的半径．图12012中考数学压轴题函数直角三角形问题(一)例1 如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B 左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段34PQ AB =时，求tan ∠CED 的值；②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．图1例2 设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．图12012中考数学压轴题函数直角三角形问题(三)例 5 如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图1例6 已知Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，CB CA =，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ．（1）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时，如图1，求证：222BN AM MN +=；思路点拨：考虑222BN AM MN +=符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，只需证BN DN =，︒=∠90MDN 就可以了．请你完成证明过程．（2）当扇形CEF 绕点C 旋转至图2的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．图1 图2图5 图6 图72012中考数学压轴题函数平行四边形问题(一)例 1 已知平面直角坐标系xOy （如图1），一次函数334y x =+的图像与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图像上，且MO ＝MA ．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像经过点A 、M ．（1）求线段AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图像上，点D 在一次函数334y x =+的图像上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．图1例2将抛物线c 1：2y =x 轴翻折，得到抛物线c 2，如图1所示．（1）请直接写出抛物线c 2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．图12012中考数学压轴题函数平行四边形问题(二)例3 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．图1 图2例4在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图22012中考数学压轴题函数平行四边形问题(三)例 5 如图1，等边△ABC的边长为4，E是边BC上的动点，EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PE＝EB．设EC＝x（0＜x≤2）．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求平行四边形EFPQ 的面积（用含x的代数式表示）；（3）当（2）中的平行四边形EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与此时平行四边形EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．图1例6 如图1，抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．图1例 7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与334y x =-+交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点．（1）求点A 、B 、C 的坐标．（2）当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标．（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E、D、O、A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出BECD的值；如果不存在，请说明理由．图12012中考数学压轴题函数梯形问题(一)例1 已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－(a＋1)x与直线y＝kx的一个公共点为A(4，8)．（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积．备用图图1 图2例 2 已知二次函数的图象经过A （2，0）、C (0，12) 两点，且对称轴为直线x ＝4，设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）如图1，在直线 y ＝2x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M 是线段OP 上的一个动点（O 、P 两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P 向点O 运动，过点M 作直线MN //x 轴，交PB 于点N ． 将△PMN 沿直线MN 对折，得到△P 1MN ． 在动点M 的运动过程中，设△P 1MN 与梯形OMNB 的重叠部分的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 关于t 的函数关系式．图1 图22012中考数学压轴题函数梯形问题(二)例3 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y ＝2114x ，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上．(1) 写出点M 的坐标；(2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时．① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围；② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1∶2时，求t 的值．图1例 4 已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为)20(-，，直线x y 32-=与边BC 相交于点D ． (1)求点D 的坐标；(2)抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图12012中考数学压轴题函数平行四边形问题(三)例 5 如图1，等边△ABC 的边长为4，E 是边BC 上的动点，EH ⊥AC 于H ，过E 作EF ∥AC ，交线段AB 于点F ，在线段AC 上取点P ，使PE ＝EB ．设EC ＝x （0＜x ≤2）．（1）请直接写出图中与线段EF 相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（2）Q 是线段AC 上的动点，当四边形EFPQ 是平行四边形时，求平行四边形EFPQ 的面积（用含x 的代数式表示）；（3）当（2）中 的平行四边形EFPQ 面积最大值时，以E 为圆心，r 为半径作圆，根据⊙E 与此时平行四边形EFPQ 四条边交点的总个数，求相应的r 的取值范围．图1例6 如图1，抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．图1例 7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与334y x =-+交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点．（1）求点A 、B 、C 的坐标．（2）当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标．（3）在直线AB 上是否存在点E ，使得以点E 、D 、O 、A 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出BE CD的值；如果不存在，请说明理由．图12012中考数学压轴题函数面积问题(一)例 1 如图1，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线m y x=(x ＞0)交于点B (2，1)．过点(,1)P p p -(p ＞1)作x 轴的平行线分别交曲线m y x =(x ＞0)和m y x=-(x ＜0)于M 、N 两点．（1）求m 的值及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．图1例2 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的顶点O 为坐标原点，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，CB ∥OA ，OC ＝4，BC ＝3，OA ＝5，点D 在边OC 上，CD ＝3，过点D 作DB 的垂线DE ，交x 轴于点E ．（1）求点E的坐标；（2）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点B和点E．①求二次函数的解析式和它的对称轴；②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足S△CEM＝2S△ABM，求点M的坐标．图12012中考数学压轴题函数面积问题(二)例3 如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．例 4 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，A C＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．图1 备用图2012中考数学压轴题函数面积问题(三)例5 如图1，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；（2）求正方形边长及顶点C的坐标；（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．（4）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP 与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．图1 图2例6 在直角坐标系中，抛物线c=2经过点（0，10）和点（4，2）．+y+xbx（1）求这条抛物线的解析式.（2）如图1，在边长一定的矩形ABCD中，CD＝1，点C在y轴右侧沿抛物线=2滑动，在滑动过程中CD∥x轴，AB在CD的下方.当点D在y轴上时，y++cbxxAB落在x轴上.①求边BC的长.②当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成两部分的面积比为1:4时，求点C的坐标.。

2012中考数学压轴题及答案40例（2）5.如图，在直角坐标系xOy 中，点P 为函数214y x =在第一象限内的图象上的任一点，点A 的坐标为(01)，，直线l 过(01)B -，且与x 轴平行，过P 作y 轴的平行线分别交x 轴，l 于C Q ，，连结AQ 交x 轴于H ，直线PH 交y 轴于R ．（1）求证：H 点为线段AQ 的中点； （2）求证：①四边形APQR 为平行四边形；②平行四边形APQR 为菱形；（3）除P 点外，直线PH 与抛物线214y x =有无其它公共点？并说明理由． （08江苏镇江28题解析）（1）法一：由题可知1AO CQ ==．90AOH QCH ∠=∠=，AHO QHC ∠=∠，AOH QCH ∴△≌△． ····················································································· （1分）OH CH ∴=，即H 为AQ 的中点． ································································· （2分） 法二：(01)A ，，(01)B -，，OA OB ∴=． ······················································ （1分）又BQ x ∥轴，HA HQ ∴=． ·········································································· （2分） （2）①由（1）可知AH QH =，AHR QHP ∠=∠，AR PQ ∥，RAH PQH ∴∠=∠，RAH PQH ∴△≌△． ····················································································· （3分） AR PQ ∴=，又AR PQ ∥，∴四边形APQR 为平行四边形． ··············································· （4分）②设214P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，PQ y ∥轴，则(1)Q m -，，则2114PQ m =+．过P 作PG y ⊥轴，垂足为G ，在Rt APG △中，22222222111111444AP AG PG m m m m PQ ⎛⎫⎛⎫=+=-+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴平行四边形APQR 为菱形． ·········································································· （6分）（3）设直线PR 为y kx b =+，由OH CH =，得22m H ⎛⎫⎪⎝⎭，，214P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入得： 2021.4m k b km b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 221.4m k b m ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，∴直线PR 为2124m y x m =-． ······················ （7分） 设直线PR 与抛物线的公共点为214x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入直线PR 关系式得：22110424m x x m -+=，21()04x m -=，解得x m =．得公共点为214m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 所以直线PH 与抛物线214y x =只有一个公共点P ． ········································ （8分） 6.如图13，已知抛物线经过原点O 和x 轴上另一点A ,它的对称轴x =2 与x 轴交于点C ，直线y =-2x -1经过抛物线上一点B (-2,m )，且与y 轴、直线x =2分别交于点D 、E . （1）求m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB =CE ；② D 是BE 的中点；（3）若P (x ，y )是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P ,使得PB =PE ,若存在，试求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（1）∵ 点B (-2,m )在直线y =-2x -1上，∴ m =-2×(-2)-1=3. ………………………………（2分） ∴ B (-2,3)∵ 抛物线经过原点O 和点A ，对称轴为x =2， ∴ 点A 的坐标为(4,0) .设所求的抛物线对应函数关系式为y =a (x -0)(x -4). ……………………（3分） 将点B (-2,3)代入上式，得3=a (-2-0)(-2-4)，∴ 41=a . ∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为)4(41-=x x y ，即x x y -=241. （6分）（2）①直线y =-2x -1与y 轴、直线x =2的交点坐标分别为D (0,-1) E (2,-5). 过点B 作BG ∥x 轴，与y 轴交于F 、直线x =2交于G ， 则BG ⊥直线x =2，BG =4.在Rt △BGC 中，BC =522=+BG CG .∵ CE =5，∴ CB =CE =5. ……………………（9分） ②过点E 作EH ∥x 轴，交y 轴于H ， 则点H 的坐标为H (0,-5).又点F 、D 的坐标为F (0,3)、D (0,-1)， ∴ FD =DH =4，BF =EH =2，∠BFD =∠EHD =90°.∴ △DFB ≌△DHE （SAS ），∴ BD =DE .即D 是BE 的中点. ………………………………（11分）（3） 存在. ………………………………（12分） 由于PB =PE ，∴ 点P 在直线CD 上，∴ 符合条件的点P 是直线CD 与该抛物线的交点.设直线CD 对应的函数关系式为y =kx +b .将D (0,-1) C (2,0)代入，得⎩⎨⎧=+-=021b k b . 解得 1,21-==b k . A BCODExy x =2 G FH∴ 直线CD 对应的函数关系式为y =21x -1.∵ 动点P 的坐标为(x ，x x -241)，∴21x -1=x x -241. ………………………………（13分） 解得 531+=x ，532-=x . ∴ 2511+=y ，2511-=y . ∴ 符合条件的点P 的坐标为(53+，251+)或(53-，251-).…（14分） (注：用其它方法求解参照以上标准给分.)7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－32x 2+b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2-x 1=5． （1）求b 、c 的值；（4分）（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对 角线的菱形；（3分）（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）解： （解析）解：（1）解法一： ∵抛物线y =－32x 2+b x +c 经过点A （0，－4），∴c =－4 ……1分又由题意可知，x 1、x 2是方程－32x 2+b x +c =0的两个根， ∴x 1+x 2=23b ， x 1x 2=－23c =6 ······························································· 2分 由已知得（x 2-x 1）2=25 又（x 2-x 1）2=（x 2+x 1）2－4x 1x 2=49b 2－24 ∴49b 2－24=25 解得b =±314 ····································································································· 3分 当b =314时，抛物线与x 轴的交点在x 轴的正半轴上，不合题意，舍去． ∴b =－314． ···································································································· 4分解法二：∵x 1、x 2是方程－32x 2+b x +c=0的两个根， 即方程2x 2－3b x +12=0的两个根． ∴x =4969b 32-±b ， ······································································· 2分∴x 2－x 1=2969b 2-=5，解得 b =±314 ·························································································· 3分 （以下与解法一相同．）（2）∵四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D 必在抛物线的对称轴上， ························································································· 5分 又∵y =－32x 2－314x －4=－32（x +27）2+625····························· 6分∴抛物线的顶点（－27，625）即为所求的点D ． ································· 7分 （3）∵四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形，点B 的坐标为（－6，0），根据菱形的性质，点P 必是直线x =-3与 抛物线y =－32x 2-314x -4的交点， ······················································· 8分∴当x =－3时，y =－32×（－3）2－314×（－3）－4=4， ∴在抛物线上存在一点P （－3，4），使得四边形BPOH 为菱形． ·········· 9分 四边形BPOH 不能成为正方形，因为如果四边形BPOH 为正方形，点P 的坐标只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上． ········································· 10分8.已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ． （1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？（解析）解：（1）在2334y x =-+中，令0y = 23304x ∴-+=12x ∴=，22x =-(20)A ∴-，，(20)B ，············································· 1分又点B 在34y x b =-+上 302b ∴=-+32b =BC ∴的解析式为3342y x =-+ ·········································································· 2分 （2）由23343342y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得11194x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 2220x y =⎧⎨=⎩················································· 4分 914C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，(20)B ，4AB ∴=，94CD =·························································································· 5分 1994242ABC S ∴=⨯⨯=△ ····················································································· 6分 （3）过点N 作NP MB ⊥于点PEO MB ⊥ NP EO ∴∥BNP BEO ∴△∽△ ··························································································· 7分 BN NP BE EO∴=····································································································· 8分 由直线3342y x =-+可得：302E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴在BEO △中，2BO =，32EO =，则52BE = 25322t NP∴=，65NP t ∴= ··················································································· 9分 16(4)25S t t ∴=- 2312(04)55S t t t =-+<< ················································································ 10分2312(2)55S t =--+ ························································································· 11分 此抛物线开口向下，∴当2t =时，125S =最大 ∴当点M 运动2秒时，MNB △的面积达到最大，最大为125． ······················ 12分。

2012中考数学压轴题及答案1.（2011年四川省宜宾市）已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D.（1） 求该抛物线的解析式；（2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；（3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.（注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22）2. （11浙江衢州）已知直角梯形纸片OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，32)，C(0，32)，点T 在线段OA 上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A 落在射线AB 上(记为点A ′)，折痕经过点T ，折痕TP 与射线AB 交于点P ，设点T 的横坐标为t ，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S ；(1)求∠OAB 的度数，并求当点A ′在线段AB 上时，S 关于t 的函数关系式；(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t 的取值范围；(3)S 存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，请说明理由.3. （11浙江温州）如图，在Rt ABC △中，90A ∠=o ，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．4.（11山东省日照市）在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？5、（2007浙江金华）如图1，已知双曲线y=x k (k>0)与直线y=k ′x 交于A ，B 两点，点A 在第一象限.试解答下列问题：(1)若点A 的坐标为(4，2).则点B 的坐标为 ；若点A 的横坐标为m ，则点B 的坐标可表示为 ；（2）如图2，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线y=xk (k>0)于P ，Q 两点，点P 在第一象限.①说明四边形APBQ 一定是平行四边形；②设点A.P 的横坐标分别为m ，n ，四边形APBQ 可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出mn 应满足的条件；若不可能，请说明理由.6. （2011浙江金华）如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积等于43，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.7.(2011浙江义乌)如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb (a≠b，k>0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由.（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求22BE DG+的值．8. (2011浙江义乌)如图1所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l ．将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E ．（1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t (t ≥0)，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图2所示， OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，N 点横坐标为4．①求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积；②当42<<t 时，求S 关于t 的函数解析式；（2）在第（1）题的条件下，当直线l 向左或向右平移时（包括l 与直线BC 重合），在直线．．AB ．．上是否存在点P ，使PDE ∆为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由．9.(2011山东烟台)如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：△BDE ≌△BCF ；（2）判断△BEF 的形状，并说明理由；（3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.10.(2011山东烟台)如图，抛物线21:23L y x x =--+交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点.抛物线1L 向右平移2个单位后得到抛物线2L ，2L 交x 轴于C 、D 两点.（1）求抛物线2L 对应的函数表达式；（2）抛物线1L 或2L 在x 轴上方的部分是否存在点N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是抛物线1L 上的一个动点（P 不与点A 、B 重合），那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L 上，请说明理由.11.2011淅江宁波)2011年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A 地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．（1）求A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A 地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？（3）A 地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B 地．若有一批货物（不超过10车）从A 地按外运路线运到B 地的运费需8320元，其中从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B 地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？12.(2011淅江宁波)如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸…．已知标准纸．．．的短边长为a ． （1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：第一步 将矩形的短边AB 与长边AD 对齐折叠，点B 落在AD 上的点B '处，铺平后得折痕AE ；第二步 将长边AD 与折痕AE 对齐折叠，点D 正好与点E 重合，铺平后得折痕AF ． 则:AD AB 的值是，AD AB ，的长分别是 ， ．（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L ”型图案，它的四个顶点E F G H ，，，分别在“16开”纸的边AB BC CD DA ，，，上，求DG 的长．（4）已知梯形MNPQ 中，MN PQ ∥，90M =o ∠，2MN MQ PQ ==，且四个顶点M N P Q ，，，都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．13.（2011山东威海）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝7，CD ＝1，AD ＝BC ＝5．点M ，N 分别在边AD ，BC 上运动，并保持MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）求四边形MEFN 面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN 能否为正方形，若能，①标准纸“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……都是矩形． ②本题中所求边长或面积都用含a 的代数式表示．求出正方形MEFN 的面积；若不能，请说明理由．14．（2011山东威海）如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数x k y 的图象上． （1）求m ，k 的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN 的函数表达式．（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（5，0），点Q 的坐标为（0，3），把线段PQ 向右平移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P 1Q 1，则点P 1的坐标为 ，点Q 1的坐标为 ．15．（2011湖南益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.16.(2011年浙江省绍兴市)将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，(00)O，，(60)A，，(03)C，．动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动23秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．（1）用含t 的代数式表示OP OQ ，；（2）当1t =时，如图1，将OPQ △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标；（4） 连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PQ 与AC 能否平行？PE 与AC能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．17.(2011年辽宁省十二市)如图16，在平面直角坐标系中，直线33y x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线223(0)3y ax x c a =-+≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．18.(2011年沈阳市)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，3OB =，矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60o 后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，．（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．19.(2011年四川省巴中市) 已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ． （1）写出直线BC 的解析式．（2）求ABC △的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？20.(2011年成都市)如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B 在第一象限内，且AB =35，sin ∠OAB=55. （1）若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P ，使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O 、点A 分别变换为点Q （ -2k ,0）、点R （5k ，0）（k>1的常数），设过Q 、R 两点，且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N ，其顶点为M ，记△QNM 的面积为QMN S ∆，△QNR 的面积QNR S ∆，求QMN S ∆∶QNR S ∆的值.21.(2011年乐山市)在平面直角坐标系中△ABC 的边AB 在x 轴上，且OA>OB,以AB 为直径的圆过点C 若C 的坐标为(0,2),AB=5, A,B 两点的横坐标X A ,X B 是关于X 的方程2(2)10x m x n -++-=的两根:(1) 求m ，n 的值(2) 若∠ACB 的平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数的解析式(3) 过点D 任作一直线`l 分别交射线CA ，CB （点C 除外）于点M ，N ，则11CM CN+的值是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由22.(2011年四川省宜宾市)已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D.(1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；(3)△AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.（注：抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22）23.(天津市2011年)已知抛物线c bx ax y ++=232，（Ⅰ）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；（Ⅱ）若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围；（Ⅲ）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<<x 时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．24.(2011年大庆市)如图①，四边形AEFG 和ABCD 都是正方形，它们的边长分别为a b ，（2b a ≥），且点F 在AD 上（以下问题的结果均可用a b ，的代数式表示）．（1）求DBF S △；（2）把正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的DBF S △；（3）把正方形AEFG 绕点A 旋转一周，在旋转的过程中，DBF S △是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．25. （2011年上海市）已知24AB AD ==，，90DAB ∠=o ，AD BC ∥（如图13）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．（1）设BE x =，ABM △的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长；（3）联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，求线段BE 的长．26. （2011年陕西省）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站．由供水站直接铺设管道到另外两处．如图，甲，乙两村坐落在夹角为30o的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学．点B在点M的北偏西30o的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60o的23km处．为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道建设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？27.（2011年山东省青岛市）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC ＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC？cm），求y与t之间的函数关系式；（2）设△AQP的面积为y（2（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．28.（2011年江苏省南通市）已知双曲线kyx=与直线14y x=相交于A、B两点.第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线kyx=上的动点.过点B作BD∥y轴于点D.过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线kyx=于点E，交BD于点C.（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值.（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式.（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA＝pMP，MB＝qMQ，求p－q的值.29.（2011年江苏省无锡市）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）压轴题答案1.解：（ 1）由已知得：310c b c =⎧⎨--+=⎩解得c=3,b =2∴抛物线的线的解析式为223y x x =-++(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E 关于x=1对称，所以E(3,0)设对称轴与x 轴的交点为F所以四边形ABDE 的面积=ABO DFE BOFD S S S ∆∆++梯形 =111()222AO BO BO DF OF EF DF ⋅++⋅+⋅ =11113(34)124222⨯⨯++⨯+⨯⨯ =9（3）相似如图，BD=2222112BG DG +=+= BE=22223332BO OE +=+= DE=22222425DF EF +=+=所以2220BD BE +=, 220DE =即： 222BD BE DE +=,所以BDE ∆是直角三角形 所以90AOB DBE ∠=∠=︒,且22AO BO BD BE ==, 所以AOB DBE ∆∆:.2. (1) ∵A ，B 两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，32)，∴381032OAB tan =-=∠， ∴︒=∠60OAB当点A ´在线段AB 上时，∵︒=∠60OAB ，TA=TA ´，∴△A ´TA 是等边三角形，且A T TP '⊥，∴)t 10(2360sin )t 10(TP -=︒-=，)t 10(21AT 21AP P A -==='，○2当6t 2<≤时，由图○1，重叠部分的面积EB A TP A S S S '∆'∆-=∵△A ´EB 的高是︒'60sin B A ， ∴23)4t 10(21)t 10(83S 22⨯----= 34)2t (83)28t 4t (8322+--=++-= 当t=2时，S 的值最大是34；○3当2t 0<<，即当点A ´和点P 都在线段AB 的延长线是(如图○2，其中E 是TA ´与CB 的交点，F 是TP 与CB 的交点)，∵ETF FTP EFT ∠=∠=∠，四边形ETAB 是等腰形，∴EF=ET=AB=4， ∴3432421OC EF 21S =⨯⨯=⋅= 综上所述，S 的最大值是34，此时t 的值是2t 0≤<.3. 解：（1）Q Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=．Q 点D 为AB 中点，132BD AB ∴==． 90DHB A ∠=∠=o Q ，B B ∠=∠．BHD BAC ∴△∽△，DH BD AC BC ∴=，3128105BD DH AC BC ∴==⨯=g ． （2）QR AB Q ∥，90QRC A ∴∠=∠=o ．C C ∠=∠Q ，RQC ABC ∴△∽△， RQ QC AB BC ∴=，10610y x -∴=， 即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+．（3）存在，分三种情况：①当PQ PR =时，过点P 作PM QR ⊥于M ，则QM RM =．1290∠+∠=o Q ，290C ∠+∠=o ，1C ∴∠=∠． 84cos 1cos 105C ∴∠===，45QM QP ∴=， 1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴=，185x ∴=． ②当PQ RQ =时，312655x -+=， 6x ∴=．③当PR QR =时，则R 为PQ 中垂线上的点，于是点R 为EC 的中点，11224CR CE AC ∴===． tan QR BA C CR CA==Q ， 366528x -+∴=，152x ∴=． 综上所述，当x 为185或6或152时，PQR △为等腰三角形． 4.解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ．∴ △AMN ∽ △ABC ．∴ AM AN AB AC =，即43x AN =． ∴ AN ＝43x ． ……………2分 ∴ S =2133248MNP AMN S S x x x ∆∆==⋅⋅=．（0＜x ＜4） ……………3分 （2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =21MN ．在Rt △ABC 中，BC ＝22AB AC +=5．由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．∴ AM MN AB BC =，即45x MN =． ∴ 54MN x =， ∴ 58OD x =． …………………5分 过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则58MQ OD x ==． 在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角，∴ △BMQ ∽△BCA ．∴ BM QM BC AC=． ∴ 55258324x BM x ⨯==，25424AB BM MA x x =+=+=．∴ x ＝4996． ∴ 当x ＝4996时，⊙O 与直线B C 相切．…………………………………7分故以下分两种情况讨论：① 当0＜x ≤2时，2Δ83x S y PMN ==． ∴ 当x ＝2时，2332.82y =⨯=最大 ……………………………………8分② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．∵ 四边形AMPN 是矩形，∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ．又∵ MN ∥BC ，∴ 四边形MBFN 是平行四边形．∴ FN ＝BM ＝4－x ．∴ ()424PF x x x =--=-．又△PEF ∽ △ACB ．∴ 2PEF ABC S PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭． ∴ ()2322PEF S x ∆=-． ……………………………………………… 9分 MNP PEF y S S ∆∆=-＝()222339266828x x x x --=-+-．……………………10分 当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭． ∴ 当83x =时，满足2＜x ＜4，2y =最大． ……………………11分 综上所述，当83x =时，y 值最大，最大值是2． …………………………12分 5. 解：（1）（-4，-2）；（-m,-k m） (2) ①由于双曲线是关于原点成中心对称的，所以OP=OQ,OA=OB,所以四边形APBQ一定是平行四边形②可能是矩形，mn=k 即可不可能是正方形，因为Op 不能与OA 垂直.解：（1）作BE ⊥OA ，∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB ·sin60o =23，∴B(23,2)∵A(0,4),设AB 的解析式为4y kx =+,所以2342k +=,解得33k =-,的以直线AB 的解析式为 343y x =-+（2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o, ∴ΔAPD 是等边三角形，PD=PA=2219AO OP +=6. 解：（1）作BE ⊥OA ，∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB ·sin60o =23，∴B(23,2)∵A(0,4),设AB 的解析式为4y kx =+,所以2342k +=,解得33k =-, 以直线AB 的解析式为343y x =-+ （2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o ,∴ΔAPD 是等边三角形，PD=PA=2219AO OP +=6. 解：（1）作BE ⊥OA ，∴ΔAOB 是等边三角形∴BE=OB ·sin60o =23，∴B(23,2)∵A(0,4),设AB 的解析式为4y kx =+,所以2342k +=,解得33k =-, 以直线AB 的解析式为343y x =-+ （2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o ,∴ΔAPD 是等边三角形，PD=PA=2219AO OP +=如图，作B E ⊥AO,DH ⊥OA,GB ⊥DH,显然ΔGBD 中∠GBD=30°∴GD=12BD=32,DH=GH+GD=32+23=532, ∴GB=32BD=32,OH=OE+HE=OE+BG=37222+= ∴D(532,72) (3)设OP=x,则由（2）可得D(323,22x x ++)若ΔOPD 的面积为：133(2)224x x +=g 解得：23213x -±=所以P(23213-±,0)(1)①,BG DE BG DE =⊥ ………………………………………………………………2分②,BG DE BG DE =⊥仍然成立 ……………………………………………………1分在图（2）中证明如下∵四边形ABCD 、四边形ABCD 都是正方形∴ BC CD =，CG CE =， 090BCD ECG ∠=∠=∴BCG DCE ∠=∠…………………………………………………………………1分 ∴BCG DCE ∆≅∆（SAS ）………………………………………………………1分∴BG DE = CBG CDE ∠=∠又∵BHC DHO ∠=∠ 090CBG BHC ∠+∠=∴090CDE DHO ∠+∠= ∴090DOH ∠=∴BG DE ⊥ …………………………………………………………………………1分（2）BG DE ⊥成立，BG DE =不成立 …………………………………………………2分简要说明如下∵四边形ABCD 、四边形CEFG 都是矩形，且AB a =，BC b =，CG kb =，CE ka =(a b ≠，0k >)∴ BC CG b DC CE a==，090BCD ECG ∠=∠= ∴BCG DCE ∠=∠∴BCG DCE ∆∆:………………………………………………………………………1分∴CBG CDE ∠=∠又∵BHC DHO ∠=∠ 090CBG BHC ∠+∠=∴090CDE DHO ∠+∠= ∴090DOH ∠=∴BG DE ⊥ ……………………………………………………………………………1分（3）∵BG DE ⊥ ∴22222222BE DG OB OE OG OD BD GE +=+++=+ 又∵3a =，2b =，k =12∴ 222222365231()24BD GE +=+++= ………………………………………………1分 ∴22654BE DG += ………………………………………………………………………1分（1）①2AB = ……………………………………………………………………………2分842OA ==，4OC =，S 梯形OABC =12 ……………………………………………2分 ②当42<<t 时，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积=直角梯形OABC 面积－直角三角开DOE 面积2112(4)2(4)842S t t t t =--⨯-=-+-…………………………………………4分（2） 存在 ……………………………………………………………………………………1分123458(12,4),(4,4),(,4),(4,4),(8,4)3P P P P P --- …（每个点对各得1分）……5分 对于第（2）题我们提供如下详细解答（评分无此要求）.下面提供参考解法二： ① 以点D 为直角顶点，作1PP x ⊥轴同理在③二图中分别可得P点的生标为P（－4，4）（与①情形二重合舍去）、P（4，4），E点在A点下方不可能.综上可得P点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－83，4）、P（8，4）、P（4，4）．下面提供参考解法二：以直角进行分类进行讨论（分三类）： 第一类如上解法⑴中所示图22P DE y x b ∠=+为直角：设直线：，D 此时（-b,o)，E(O,2b)的中点坐标为b (-,b)2，直线DE 的中垂线方程：1()22by b x -=-+，令4y =得3(8,4)2bP -．由已知可得2PE DE =即222232(8)(42)42b b b b ⨯-+-=+化简得2332640b b -+=解得 121883b b P P ==∴=3b，将之代入（-8，4）（4，4)、22(4,4)P -；第二类如上解法②中所示图22E DE y x b ∠=+为直角：设直线：，D 此时（-b,o)，E(O,2b)，直线PE 的方程：122y x b =-+，令4y =得(48,4)P b -．由已知可得PE DE =即2222(48)(42)4b b b b -+-=+化简得22(28)b b =-解之得 ，123443b b P P ==∴=，将之代入（4b-8，4）（8，4)、48(,4)3P - 第三类如上解法③中所示图22D DE y x b ∠=+为直角：设直线：，D 此时（-b,o)，E(O,2b)，直线PD 的方程：1()2y x b =-+，令4y =得(8,4)P b --．由已知可得PD DE =即2222844b b +=+解得12544b b P P ==-∴=，将之代入（-b-8，4）（-12，4)、 6(4,4)P -（6(4,4)P -与2P 重合舍去）．综上可得P 点的生标共5个解，分别为P （－12，4）、P （－4，4）、P （－83，4）、 P （8，4）、P （4，4）．事实上，我们可以得到更一般的结论： 如果得出AB a OC b ==、、OA h =、设b ak h-=，则P 点的情形如下11. 解：（1）设A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为x 千米， 由题意得1201023x x+=， ··························································································· 2分 解得180x =．A ∴地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为180千米． ··········································· 4分 （2）1.8180282380⨯+⨯=（元），∴该车货物从A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为380元． ····················· 6分（3）设这批货物有y 车，由题意得[80020(1)]3808320y y y -⨯-+=，························································· 8分整理得2604160y y -+=，解得18y =，252y =（不合题意，舍去）， ··························································· 9分∴这批货物有8车． ······························································································ 10分12. 解：（1）21244a a ，，． ················································································ 3分 （2）相等，比值为2． ·········· 5分（无“相等”不扣分有“相等”，比值错给1分） （3）设DG x =，在矩形ABCD 中，90B C D ∠=∠=∠=o ，90HGF ∠=o Q ，90DHG CGF DGH ∴∠=∠=-∠o ，HDG GCF ∴△∽△，12DG HG CF GF ∴==， 22CF DG x ∴==． ······························································································· 6分 同理BEF CFG ∠=∠．EF FG =Q ， FBE GCF ∴△≌△，14BF CG a x ∴==-． ··························································································· 7分 CF BF BC +=Q ，12244x a x a ∴+-=， ················································································· 8分解得214x a -=． 即214DG a -=． ································································································· 9分 （4）2316a ， ········································································································ 10分2271828a -． 12分∴ 6494738)2(7342+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⋅=x x x EF ME S MEFN矩形． ……………………8分 当x ＝47时，ME ＝37＜4，∴四边形MEFN 面积的最大值为649．……………9分（3）能． ……………………………………………………………………10分 由（2）可知，设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ，ME ＝x 34． 若四边形MEFN 为正方形，则ME ＝EF ． 即=34x 7－2x ．解，得 1021=x ． ……………………………………………11分∴ EF ＝21147272105x -=-⨯=＜4． ∴ 四边形MEFN 能为正方形，其面积为251965142=⎪⎭⎫⎝⎛=MEFNS 正方形．∴ 6494738)2(7342+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⋅=x x x EF ME S MEFN矩形． ……………………8分 当x ＝47时，ME ＝37＜4，∴四边形MEFN 面积的最大值为649．……………9分（3）能． ……………………………………………………………………10分 由（2）可知，设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ，ME ＝x 34． 若四边形MEFN 为正方形，则ME ＝EF ． 即=34x 7－2x ．解，得 1021=x ． ……………………………………………11分∴ EF ＝21147272105x -=-⨯=＜4． ∴ 四边形MEFN 能为正方形，其面积为251965142=⎪⎭⎫⎝⎛=MEFNS 正方形． 14.解：（1）由题意可知，()()()131-+=+m m m m ． 解，得 m ＝3． ………………………………3分∴ A （3，4），B （6，2）；∴ k ＝4×3=12． ……………………………4分 （2）存在两种情况，如图：①当M 点在x 轴的正半轴上，N 点在y 轴的正半轴 上时，设M 1点坐标为（x 1，0），N 1点坐标为（0，y 1）．∵ 四边形AN 1M 1B 为平行四边形，∴ 线段N 1M 1可看作由线段AB 向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）．由（1）知A 点坐标为（3，4），B 点坐标为（6，2），∴ N 1点坐标为（0，4－2），即N 1（0，2）； ………………………………5分 M 1点坐标为（6－3，0），即M 1（3，0）． ………………………………6分设直线M 1N 1的函数表达式为21+=x k y ，把x ＝3，y ＝0代入，解得321-=k ．∴ 直线M 1N 1的函数表达式为232+-=x y ． ……………………………………8分②当M 点在x 轴的负半轴上，N 点在y 轴的负半轴上时，设M 2点坐标为（x 2，0），N 2点坐标为（0，y 2）．∵ AB ∥N 1M 1，AB ∥M 2N 2，AB ＝N 1M 1，AB ＝M 2N 2， ∴ N 1M 1∥M 2N 2，N 1M 1＝M 2N 2．∴ 线段M 2N 2与线段N 1M 1关于原点O 成中心对称．∴ M 2点坐标为（-3，0），N 2点坐标为（0，-2）． ………………………9分设直线M 2N 2的函数表达式为22-=x k y ，把x ＝-3，y ＝0代入，解得322-=k ，∴ 直线M 2N 2的函数表达式为232--=x y ．所以，直线MN 的函数表达式为232+-=x y 或232--=x y ． ………………11分 （3）选做题：（9，2），（4，5）． ………………………………………………2分 15. 解：(1)解法1：根据题意可得：A (-1,0)，B (3,0)；则设抛物线的解析式为)3)(1(-+=x x a y (a ≠0)又点D (0，-3)在抛物线上，∴a (0+1)(0-3)=-3，解之得：a =1∴y =x 2-2x -3 ····························································································· 3分 自变量范围：-1≤x ≤3 ············································································· 4分解法2：设抛物线的解析式为c bx ax y ++=2(a ≠0)根据题意可知，A (-1,0)，B (3,0)，D (0，-3)三点都在抛物线上∴⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-30390c c b a c b a ，解之得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a∴y =x 2-2x -3 ········································································ 3分自变量范围：-1≤x ≤3······················································· 4分(2)设经过点C “蛋圆”的切线CE 交x 轴于点E ，连结CM ，在Rt △MOC 中，∵OM =1，CM =2，∴∠CMO =60°,OC =3在Rt △MCE 中，∵OC =2，∠CMO =60°，∴ME =4∴点C 、E 的坐标分别为(0，3)，(-3,0) ············································ 6分 ∴切线CE 的解析式为3x 33y += ····················································· 8分(3)设过点D (0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y =kx -3(k ≠0) ················· 9分由题意可知方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=3232x x y kx y 只有一组解 即3232--=-x x kx 有两个相等实根，∴k =-2 ······································· 11分 ∴过点D “蛋圆”切线的解析式y =-2x -3 ·············································· 12分（2）当1t =时，过D 点作1DD OA ⊥，交OA 于1D ，如图1， 则53DQ QO ==，43QC =， 1CD ∴=，(13)D ∴，． （3）①PQ 能与AC 平行．若PQ AC ∥，如图2，则OP OA OQ OC=， 即66233t t -=+，149t ∴=，而703t ≤≤，149t ∴=． ②PE 不能与AC 垂直．若PE AC ⊥，延长QE 交OA 于F ，如图3， 则23335t QF OQ QF AC OC +==g ．253QF t ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭． EF QF QE QF OQ ∴=-=-22533t t ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2(51)(51)3t =-+-． 又Rt Rt EPF OCA Q △∽△，PE OC EF OA∴=， 6326(51)3t t -∴=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 3.45t ∴≈，而703t ≤≤， t ∴不存在．17. 解：（1）Q 直线33y x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．(10)A ∴-，，(03)C -， ··························································································· 1分Q 点A C ，都在抛物线上，。

2012年中考数学压轴题（1）利用刻度尺在图-1中画出一种将正三角形的面积5等分的示意图。

图-1 图-2 图-3（2）猜想与证明：怎样从正三角形的中心引线段，才能将这个正三角形的面积m等分？叙述你的分法并说明理由。

（3）拓展与延伸：怎样从正方形（如图-2）的中心引线段，才能将这个正方形的面积m等分（叙述分法即可，不要求说明理由）？（4）问题解决：怎样从正n边形（如图-3）的中心引线段，才能使这个正n边形的面积m 等分？（叙述分法，不要求说明理由）2.已知线段AC＝8，BD＝6。

（1）已知线段AC⊥BD于O（O不与A、B、C、D四点重合），设图4（1）、图4（2）和图4（3）中的四边形ABCD的面积分别为S1、S2、S3，则S1＝____，S2＝____，S3＝___；图4（2）如图4（4），对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A、B、C、D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的结论；（3）当线段BD与AC（或CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A、B、C、D 所围成的封闭图形的面积是多少。

3，如图-5，正方形ABCD的边CD在正方形EFGC的边CE上，连接BE、DG。

（1）观察并猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论；（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的三角形？若存在，请说明旋转过程；若不存在，说明理由。

4，如图6，已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC。

图-5（1）在图6（1）中，判断能否在AB 上确定一点E ，使得AC 2＝AE ·AB ，并说明理由；（2）在图6（2）中，在条件（1）的结论下，延长EC 到P 。

连接PB ，如果PB ＝PE ，试判断PB 和⊙O 的位置关系，并说明理由。

图-65，计算：1)2002)(200120021341231121(+++++++++ =＿＿＿＿。

例3、 观察下列数表：1 2 3 4 … 第一行 2 3 4 5 … 第二行 3 4 5 6 … 第三行 4 5 6 7 … 第四行 … … … … 第一列 第二列 第三列 第四列根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为＿＿＿＿，第n 行与第n 列交叉点上的数应为＿＿＿＿。

1.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝1，AM＝2，(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)求的长．2.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB＝x，AD＝y(1)求y与x的函数关系式；(2)若∠APD＝45°，当y＝1时，求PB•PC的值；(3)若∠APD＝90°，求y的最小值．3.我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y＝ax2＋b x(a≠0) (1)对于这样的抛物线：当顶点坐标为(1，1)时，a＝________；当顶点坐标为(m，m)，m≠0时，a与m之间的关系式是________(2)继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y＝kx(k≠0)上，请用含k的代数式表示b；(3)现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2，…，An在直线y＝x上，横坐标依次为1，2，…，n(为正整数，且n≤12)，分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，…，Bn，以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn，若这组抛物线中有一条经过Dn，求所有满足条件的正方形边长．4.如图，在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点E．(1)若OC＝5，AB＝8，求tan∠BAC；(2)若∠DAC＝∠BAC，且点D在⊙O的外部，判断直线AD与⊙O的位置关系，并加以证明．5.如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2＋(2k－1)x＋k＋1的图象与x 轴相交于O、A两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；(3)对于(2)中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB＝90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．24.如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分)．6.我们知道，矩形是特殊的平行四边形，所以矩形除了具备平行四边形的一切性质还有其特殊的性质；同样，黄金矩形是特殊的矩形，因此黄金矩形有与一般矩形不一样的知识．已知平行四边形ABCD，∠A＝60°，AB＝2a，AD＝a．(1)把所给的平行四边形ABCD用两种方式分割并作说明(见题答卡表格里的示例)；要求：用直线段分割，分割成的图形是学习过的特殊图形且不超出四个．示例(2)图中关于边、角和对角线会有若干关系或问题．现在请计算两条对角线的长度．要求：计算对角线BD长的过程中要有必要的论证；直接写出对角线AC的长．7.如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2＋(2k－1)x＋k＋1的图象与x 轴相交于O、A两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；(3)对于(2)中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB＝90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．.已知AB是⊙O的直径，AB＝4，点C在线段AB的延长线上运动，点D 在⊙O上运动(不与点B重合)，连接CD，且CD＝OA．(1)当时(如图)，求证：CD是⊙O的切线；(2)当时，CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE．①当D为CE中点时，求△ACE的周长；②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE•ED的值；若不存在，请说明理由．9.已知抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0，a≠c)过点A(1，0)，顶点为B，且抛物线不经过第三象限．(1)使用a、c表示b；(2)判断点B所在象限，并说明理由；(3)若直线y2＝2x＋m经过点B，且于该抛物线交于另一点，求当x≥1时y1的取值范围．10.如图，在平面直角坐标系中，顶点为(3，4)的抛物线交y轴于A点，交x 轴于B、C两点(点B在点C的左侧)，已知A点坐标为(0，－5)．(1)求此抛物线的解析式；(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有什么位置关系，并给出证明；(3)在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．11.如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．(1)求证：CT为⊙O的切线；(2)若⊙O半径为2，，求AD的长．12.如图，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．13.如图，抛物线y＝ax2＋b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为(1，0)，与y 轴交于点C(0，1)．(1)求抛物线的解析式，并求出点B坐标；(2)过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ACBD的周长；(结果保留根号)(3)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．14.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点C(0，1)，顶点为Q(2，3)，点D在x轴正半轴上，且OD＝OC．(1)求直线CD的解析式；(2)求抛物线的解析式；(3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；(4)在(3)的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．1.如图，二次函数的图象与x轴交于点A(－3，0)和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．(1)请直接写出点D的坐标：________；(2)当点P在线段AO(点P不与A、O重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；(3)是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．16.如图，已知一次函数y＝0.5x＋2的图象与x轴交于点A，与二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC＝2．(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式；(2)设一次函数y＝0.5x＋2的图象与二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．17.根据要求，解答下列问题：(1)已知直线l1的函数表达式为y＝x，请直接写出过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式；(2)如图，过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°．①求直线l3的函数表达式；②把直线l3绕原点O按逆时针方向旋转90°得到的直线l4，求直线l4的函数表达式．(3)分别观察(1)(2)中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过原点且与直线垂直的直线l5的函数表达式．18.如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图象与坐标轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．(1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；(2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，有PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？19.如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数(x＞0)图象上任意一点，以P 为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B．(1)求证：线段AB为⊙P的直径；(2)求△AOB的面积；(3)如图2，Q是反比例函数(x＞0)图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D．求证：DO•OC＝BO•OA．20.如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，，BE＝2．求证：(1)四边形FADC是菱形；(2)FC是⊙O的切线．21.已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20．(1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长；(2)当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？(3)当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明．22.如图，抛物线与y轴交于点C(0，－4)，与x轴交于点A，B，且B点的坐标为(2，0)(1)求该抛物线的解析式．(2)若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．(3)若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．23、函数的运用题(30题10分).如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为(－6，n)，线段OA＝5，E为x轴正半轴上一点，且(1)求反比例函数的解析式；(2)求△AOB的面积．24.如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为(4，0)，B点坐标为(－1，0)，以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C．(1)求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；(2)设M为(1)中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；(3)试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．25.如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)交x轴于A、B两点，A点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，4)，以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A两点)上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；(3)在(2)的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．11。