2010年4月高等数学基础00417t

高等数学基础第一次作业第1章 函数第2章 极限与连续（一）单项选择题⒈下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．A. )1ln(2x y +=B. x x y cos =C. 2xx a a y -+= D. )1ln(x y += ⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2xy = D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．A. 12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim=∞→x x x D. 01sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A. xx sin B. x 1C. xx 1sin D. 2)ln(+x⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。

A. )()(lim 00x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义C. )()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=（二）填空题⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是（3， +∞)．⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f x 2 - x ．⒊=+∞→x x x)211(lim e 1/ 2 ．⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是 x=0 ．⒍若A x f x x =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为 无穷小量 ．（三）计算题 ⒈设函数⎩⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x 求：)1(,)0(,)2(f f f -．解：f(-2) = - 2，f(0) = 0， f(1) = e⒉求函数x x y 12lglg -=的定义域． 解：由012>-xx 解得x<0或x>1/2，函数定义域为(-∞，0)∪(1/2，+∞) ⒊在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数． 解：如图梯形面积A=(R+b)h ，其中22h R b -=∴⒋求⒌求⒍求⒎求．⒏求⒐求hh R R A )(22-+=2322sin 233sin 3lim 2sin 3sin lim 00==→→xx x x x x x x 2)1()1sin(1lim )1sin(1lim 121-=-++=+--→-→x x x x x x x 33cos 33sin 3lim 3tan lim 00==→→x x x x x x x xx x x xx x x sin )11()11)(11(limsin 11lim 222020++-+++=-+→→0sin 11lim sin )11(1)1(lim 20220=++=++-+=→→x xx x x x x x x xx x x x x x x x x x )341(lim )343(lim )31(lim +-+=+-+=+-∞→∞→∞→4443])341[(lim ---+=+-+=e x x 2)4)(2(lim86lim 2=--=+-x x x x⒑设函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤≤->-=1,111,1,)2()(2x x x x x x x f 讨论)(x f 的连续性，并写出其连续区间．解：∴函数在x=1处连续不存在，∴函数在x=-1处不连续高等数学基础第二次作业第3章 导数与微分（一）单项选择题⒈设0)0(=f 且极限x x f x )(lim0→存在，则=→xx f x )(lim0（ B ）． A. )0(f B. )0(f ' C. )(x f ' D. 0⒉设)(x f 在0x 可导，则=--→hx f h x f h 2)()2(lim000（D ）． A. )(20x f '- B. )(0x f ' C. )(20x f ' D. )(0x f '-⒊设xx f e )(=，则=∆-∆+→∆xf x f x )1()1(lim0（A ）．A. eB. e 2C. e 21D. e 41⒋设)99()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f （D ）．A. 99B. 99-C. !99D. !99- ⒌下列结论中正确的是（ C ）．A. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导．B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导．C. 若)(x f 在点0x 可导，则在点0x 有极限．1)(lim 1)21()(lim 121===-=-+→→x f x f x x )1(1)(lim 1f x f x ==→011)(lim 1)(lim 11=+-=≠-=-+-→-→x f x f x x )(lim 1x f x -→D. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 连续． （二）填空题⒈设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f ，则=')0(f 0 ． ⒉设x x x f e 5e )e (2+=，则=xx f d )(ln d (2/x)lnx+5/x ．⒊曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 1/2 ．⒋曲线x x f sin )(=在)1,4π(处的切线方程是 y=1 ．⒌设x x y 2=，则='y 2x 2x(lnx+1)．⒍设x x y ln =，则=''y 1/x ．（三）计算题⒈求下列函数的导数y '：⑴x x x y e )3(+= y=(x 3/2+3)e x ，y ＇=3/2x 1/2e x +(x 3/2+3)e x=(3/2x 1/2+x 3/2+3)e x⑵x x x y ln cot 2+= y ＇=-csc 2x + 2xlnx +x⑶xx y ln 2= y ＇=(2xlnx-x)/ln 2x⑷32cos x x y x += y ＇=[(-sinx+2x ln2)x 3-3x 2(cosx+2x )]/x6⑸xx x y sin ln 2-==⑹x x x y ln sin 4-= y ＇=4x 3-cosxlnx-sinx/x⑺xx x y 3sin 2+= y ＇=[(cosx+2x)3x -(sinx+x 2)3x ln3]/32x=[cosx+2x-(sinx+x 2)ln3]/3x⑻x x y x ln tan e += y ＇=e x tanx+e x sec 2x+1/x = e x (tanx+sec 2x)+1/x ⒉求下列函数的导数y '： ⑴21e x y -= ⑵3cos ln x y =⑶x x x y = y=x 7/8 y ＇=(7/8)x -1/8 ⑷3x x y += ⑸x y e cos 2= ⑹2e cos x y =221(2)sin (ln )cos sin x x x x x xx---⑺nx x y n cos sin = y ＇=nsin n-1xcosxcosnx - nsin n xsin nx ⑻2sin 5x y = ⑼x y 2sin e = ⑽22e x x x y += ⑾xxx y e e e +=⒊在下列方程中，y y x =()是由方程确定的函数，求'y ： ⑴y x y 2e cos = 方程对x 求导：y ＇cosx-ysinx=2 y ＇e 2yy ＇=ysinx / (cosx-2e 2y )⑵x y y ln cos = 方程对x 求导：y ＇= y ＇(-siny)lnx +(1/x)cosyy ＇=[(1/x)cosy] / (1+sinylnx)⑶yx y x 2sin 2= 方程对x 求导：2siny + y ＇2xcosy=(2xy-x 2 y ＇)/y 2y ＇=2(xy –y 2siny) /(x 2+2xy 2cosy)⑷y x y ln += 方程对x 求导：y ＇=1+ y ＇/y ， y ＇=y /(y-1)⑸2e ln y x y =+ 方程对x 求导：1/x+ y ＇e y =2y y ＇， y ＇=1/x(2y-e y ) ⑹y y x sin e 12=+ 方程对x 求导：2y y ＇=e x siny + y ＇ e x cosyy ＇= e x siny/(2y- e x cosy)⑺3e e y x y -= 方程对x 求导：y ＇e y =e x -3y 2 y ＇， y ＇=e x /e y +3y 2⑻y x y 25+= 方程对x 求导：y ＇=5x ln5 + y ＇2y ln2， y ＇=5x ln5 /(1-2y ln2) ⒋求下列函数的微分y d ： ⑴x x y csc cot +=⑵xxy sin ln =⑶x xy +-=11arcsin⑷311xxy +-=⑸x y e sin 2=⑹3e tan x y =⒌求下列函数的二阶导数： ⑴x x y ln = ⑵x x y sin = ⑶x y arctan = ⑷23x y = （四）证明题设)(x f 是可导的奇函数，试证)(x f '是偶函数．证明：由 f(x)= - f(-x) 求导f ＇(x)= - f ＇(-x)(-x)＇ f ＇(x)= f ＇(-x)， ∴f＇(x)是偶函数高等数学基础第三次作业第4章 导数的应用（一）单项选择题⒈若函数)(x f 满足条件（D ），则存在),(b a ∈ξ，使得ab a f b f f --=)()()(ξ．A. 在),(b a 内连续B. 在),(b a 内可导C. 在),(b a 内连续且可导D. 在],[b a 内连续，在),(b a 内可导⒉函数14)(2-+=x x x f 的单调增加区间是（D ）． A. )2,(-∞ B. )1,1(- C. ),2(∞+ D. ),2(∞+- ⒊函数542-+=x x y 在区间)6,6(-内满足（A ）． A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升⒋函数)(x f 满足0)(='x f 的点，一定是)(x f 的（C ）．A. 间断点B. 极值点C. 驻点D. 拐点⒌设)(x f 在),(b a 内有连续的二阶导数，),(0b a x ∈，若)(x f 满足（C ），则)(x f 在0x 取到极小值． A. 0)(,0)(00=''>'x f x f B. 0)(,0)(00=''<'x f x fC. 0)(,0)(00>''='x f x fD. 0)(,0)(00<''='x f x f⒍设)(x f 在),(b a 内有连续的二阶导数，且0)(,0)(<''<'x f x f ，则)(x f 在此区间内是（A ）． A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的⒎设函数a ax ax ax x f ---=23)()(在点1=x 处取得极大值2-，则=a （ ）．A. 1B.31 C. 0 D. 31-（二）填空题⒈设)(x f 在),(b a 内可导，),(0b a x ∈，且当0x x <时0)(<'x f ，当0x x >时0)(>'x f ，则0x 是)(x f 的 极小值 点．⒉若函数)(x f 在点0x 可导，且0x 是)(x f 的极值点，则=')(0x f 0 ．⒊函数)1ln(2x y +=的单调减少区间是 (-∞，0) ．⒋函数2e )(x xf =的单调增加区间是 (0，+∞) ．⒌若函数)(x f 在],[b a 内恒有0)(<'x f ，则)(x f 在],[b a 上的最大值是 f(a) ． ⒍函数3352)(x x x f -+=的拐点是 x=0 ．⒎若点)0,1(是函数2)(23++=bx ax x f 的拐点，则=a ，=b ．（三）计算题⒈求函数223)5()1(-+=x x y 的单调区间和极值． 解：y ＇=(x-5)2+2(x+1)(x-5)=3(x-1)(x-5)由y ＇=0求得驻点x=1，5. (-∞，1)和 (5，+∞)为单调增区间， (1，5)为单调减区间，极值为Y max =32，Y min =0。

精品文档全国2011年4月高等教育自学考试高等数学（工本）试题课程代码:00023一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.已知a ={-1，1，-2），b =(1，2，3}，则a ×b =( )A.{-7，-1,3}B.{7，-1，-3}C.{-7,1,3}D.{7,1，-3）2.极限222200)(3sin lim y x y x y x ++→→( ) A.等于0B.等于31C.等于3D.不存在3.设∑是球面x 2+y 2+z 2=4的外侧，则对坐标的曲面积分⎰⎰∑x 2dxdy =( ) A.-2B.0C.2D.4 4.微分方程22y x xy dx dy +=是( ) A.齐次微分方程 B.可分离变量的微分方程C.一阶线性齐次微分方程D.一阶线性非齐次微分方程 5.无穷级数∑∞=023n n n的前三项和S 3=( )A.-2B.419C.827D.865精品文档 二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.已知向量a ={2,2，-1），则与a 反方向的单位向量是_________.7.设函数f (x ，y )=yx y x +-，则f （1-x ,1+x ）=_________. 8.设积分区域D ：x 2+y 2≤2，则二重积分⎰⎰Df (x ，y )dxdy 在极坐标中的二次积分为________. 9.微分方程y 〞+y =2e x 的一个特解是y *=_________.10.设f (x )是周期为2π的函数，f (x )在[-π, π]，上的表达式为f (x )=⎩⎨⎧∈-∈),0[,)0,[,0ππx e x x S (x )为f (x )的傅里叶级数的和函数，则S (0)=_________.三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11.求过点P （-1,2，-3），并且与直线x =3+t ，y =t ，z =1-t 垂直的平面方程.12.设函数z =，求全微分dz |(2,1).13.设函数z=f （cos （xy ），2x-y )，其中f （u ，v ）具有连续偏导数，求x z ∂∂和dyz ∂. 14.已知方程e xy -2z +x 2-y 2+e z =1确定函数z=z (x,y )，求x z ∂∂和y z ∂∂. 15.设函数z=e x （x 2+2xy ），求梯度grad f (x ，y ).16.计算二重积分⎰⎰D y 22x e -dxdy .其中积分区域D 是由直线y=x , x =1及x 轴所围成的区域. 17.计算三重积分⎰⎰⎰Ω(1-x 2-y 2)dxdydz ，其中积分区域Ω是由x 2+y 2=a 2，z =0及z =2所围成的区域.18.计算对弧长的曲线积分⎰C xds ，其中C 是抛物线y=x 2上由点A (0,0)到点B (2,4)的一段弧.精品文档19.验证对坐标的曲线积分⎰C (x+y )dx +(x-y )dy 与路径无关， 并计算I=⎰-++)3,2()1,1()()(dy y x dx y x20.求微分方程x 2y 〞=2ln x 的通解.21.判断无穷级数∑∞=+1)11ln(n n 的敛散性. 22.将函数f (x )=x arctan x 展开为x 的幂级数.四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23.设函数z =arctan yx ，证明.02222=∂∂+∂∂y z x z 24.求由曲面z =xy ，x 2+y 2=1及z =0所围在第一卦限的立体的体积.25.证明无穷级数∑∞==+1.1)!1(n n n精品文档精品文档精品文档。

中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1章课后习题详解第一章函数、极限与连续内容概要名称主要内容（1.1、1.2）函数邻域(){}δδ<-=axxaU,（即(){},U a x a x aδδδ=-<<+）(){}0,0U a x x aδδ=<-<（(){}0,,0U a x a x a xδδδ=-<<+≠）函数两个要素：对应法则f以及函数的定义域D由此，两函数相等⇔两要素相同；（与自变量用何字母表示无关）解析表示法的函数类型：显函数，隐函数，分段函数；特性局部有界性对集合DX⊂，若存在正数M，使对所有Xx∈，恒有()Mxf<，称函数()xf在X上有界，或()xf是X上的有界函数；反之无界，即任意正数M（无论M多大），总存在（能找到）Xx∈，使得()Mxf>局部单调性区间DI⊂，对区间上任意两点21xx，当21xx<时，恒有：()()21xfxf<，称函数在区间I上是单调增加函数；反之，若()()21xfxf>，则称函数在区间I上是单调减小函数；奇偶性设函数()xf的定义域D关于原点对称；若Dx∈∀，恒有()()xfxf=-，则称()xf是偶函数；若Dx∈∀，恒有()()xfxf-=-，则称()x f是奇函数；周期性若存在非零常数T，使得对Dx∈∀，有()DTx∈±，且()()x fTxf=+，则称()x f是周期函数；初等函数几类基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数；反函数求法和性质；复合函数性质；初等函数课后习题全解习题1-1★1．求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合； 思路：常见的表达式有 ① alog□,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③ (0)≥④ arcsin（[]1,1-∈）等解：（1）[)(]1,00,11100101122⋃-∈⇒⎩⎨⎧≤≤-≠⇒⎩⎨⎧≥-≠⇒--=x x x x x x x y ； （2）31121121arcsin ≤≤-⇒≤-≤-⇒-=x x x y ；（3）()()3,00,030031arctan 3⋃∞-∈⇒⎩⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒+-=x x x x x x x y ；（4）()()3,11,1,,1310301lg 3⋃-∞-∈⇒⎩⎨⎧-<<<⇒⎩⎨⎧-<-<⇒-=-x x or x x x x x y x；（5）()()4,22,11601110)16(log 221⋃∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-≠-<⇒-=-x x x x x y x ； ★2．下列各题中，函数是否相同？为什么？（1）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=；（2）12+=x y 与12+=y x知识点：函数相等的条件；思路：函数的两个要素是f （作用法则）及定义域D （作用范围），当两个函数作用法则f 相同（化简后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；解：（1）2lg )(x x f =的定义域D={}R x x x ∈≠,0，xx g lg )(=的定义域{},0R x x x D ∈>=，虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；（2）12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ；12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□1+”与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；★3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3,03,sin )(ππϕx x x x ，求)2()4()4()6(--ϕπϕπϕπϕ，，，，并做出函数)(x y ϕ=的图形知识点：分段函数； 思路：注意自变量的不同范围；解：216sin )6(==ππϕ，224sin 4==⎪⎭⎫⎝⎛ππϕ，224sin 4=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππϕ()02=-ϕ；如图：★4．试证下列各函数在指定区间内的单调性 ：（1）()1,1∞--=xxy （2）x x y ln 2+=，()+∞,0 知识点：单调性定义。

命题人或命题小组负责人签名： 系（部）主任签名： 分院领导签名：§1.1 函数一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性) 1.0 () (0)()2() ()aaaf x a f x dx f x dx f x ->⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰当为奇函数当为偶函数口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。

2. 在(a,b )内，若()0f x '>，则()f x 单调增加 若()0f x '<，则()f x 单调减少 口诀(2)：单调增加与减少；先算导数正与负 例1求151[()ln(.x x I x x e e x dx --=+-+⎰解 1()xxf x e e -=-是奇函数，∵112()(),()ln(xxf x ee f x f x x --=-=-=+是奇函数，∵222()ln(f x x -=-+=2ln1ln(()x f x =-=-因此()ln(xxx e e x --是奇函数。

于是116612027I x dx x dx -=+==⎰⎰。

例2 设()()F x f x '=，则下列结论正确的是(A)若()f x 为奇函数，则()F x 为偶函数。

(B)若()f x 为偶函数，则()F x 为奇函数。

(C)若()f x 为周期函数，则()F x 为周期函数。

(D)若()f x 为单调函数，则()F x 为单调函数。

解 (B)不成立，反例32(),()13xf x x F x ==+ (C)不成立，反例()cos 1,()sin f x x F x x x =+=+(D)不成立，反例2()2,()(,)f x x F x x ==-∞+∞在内(A)成立。

证明 0()(0)(),xF x F f t d t f =+⎰为奇函数，00()(0)()(0)()()(0)()()x x xF x F f t dt F f u d u F f u du F x --=+=+--=+=⎰⎰⎰所以，()F x 为偶函数。

2010年四川理一、选择题（共12小题；共60分）1. i是虚数单位，计算i+i2+i3= A. −1B. 1C. −iD. i2. 下列四个图象所表示的函数，在点x=0处连续的是 A. B.C. D.3. 2log510+log50.25= A. 0B. 1C. 2D. 44. 函数f x=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是 A. m=−2B. m=2C. m=−1D. m=15. 设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC2=16，AB+AC=AB−AC，则AM=A. 8B. 4C. 2D. 16. 将函数y=sin x的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是 A. y=sin2x−π10B. y=sin2x−π5C. y=sin12x−π10D. y=sin12x−π207. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 A. 甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B. 甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C. 甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D. 甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱8. 已知数列 a n 的首项a 1≠0，其前n 项的和为S n ，且S n +1=2S n +a 1，则lim n→∞a nS n= A. 0B. 12C. 1D. 29. 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 a >b >0 的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 A. 0,22B. 0,12C. 2−1,1D. 12,110. 半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，△BCD 是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC 、AD 分别与球面交于点M 、N ，那么M ，N 两点间的球面距离是 A. R arccos 1725B. R arccos 1825C. 13πRD. 415πR11. 设a >b >c >0，则2a 2+1ab +1a a−b −10ac +25c 2的最小值是 A. 2B. 4C. 2D. 512. 由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是 A. 72B. 96C. 108D. 144二、填空题（共4小题；共20分） 13. 直线x −2y +5=0与圆x 2+y 2=8相交于A ，B 两点，则 AB = ．14. 如图，二面角α−l −β的大小是60∘，AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30∘，则AB 与平面β所成角的正弦值是 ．15. 设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ,y ∈S ，都有x +y ,x −y ,xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题： ①集合S = a +b i a ,b 为整数,i 为虚数单位 为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0∈S ； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集．其中真命题是 ．（写出所有真命题的序号）16. 2− x3 6的展开式中的第四项是 ．三、解答题（共6小题；共78分）17. 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16．甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．（1）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （2）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ．18. 已知正方体ABCD −AʹBʹCʹDʹ的棱长为1，点M 是棱AAʹ的中点，点O 是对角线BDʹ的中点．（1）求证：OM 为异面直线AAʹ和BDʹ的公垂线； （2）求二面角M −BCʹ−Bʹ的大小； （3）求三棱锥M −OBC 的体积．19. （1）（i ）证明两角和的余弦公式C α+β :cos α+β =cos αcos β−sin αsin β； （ii ）由C α+β 推导两角和的正弦公式S α+β :sin α+β =sin αcos β+cos αsin β． （2）已知△ABC 的面积S =12，AB ⋅AC =3，且cos B =35，求cos C ．20. 已知定点A −1,0 ，F 2,0 ，定直线l :x =12，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N ． （1）求E 的方程； （2）试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由．21. 已知数列 a n 满足a 1=0，a 2=2，且对任意m ，n ∈N ∗都有a 2m−1+a 2n−1=2a m +n−1+2 m −n 2． （1）求a 3，a 5；（2）设b n =a 2n +1−a 2n−1 n ∈N ∗ ，证明：数列 b n 是等差数列； （3）设c n = a n +1−a n q n−1 q ≠0,n ∈N ∗ ，求数列 c n 的前n 项和S n ．22. 设f x =1+a x1−a x a >0 且 a ≠1 ，g x 是f x 的反函数．（1）设关于x 的方程log a tx −17−x =g x 在区间 2,6 上有实数解，求t 的取值范围；（2）当a =e （e 为自然对数的底数）时，证明： g kn k =2>2 2n n +1；（3）当0<a ≤12时，试比较 f k n k =1−n 与4的大小，并说明理由．答案第一部分1. A2. D3. C4. A5. C6. C7. B 【解析】设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，则x+y≤70,10x+6y≤480,x,y∈N.目标函数z=280x+200y.由线性规划可得：当x=15，y=55时z最大．8. B 【解析】由S n+1=2S n+a1，且S n+2=2S n+1+a1，作差得a n+2=2a n+1．又S2=2S1+a1，即a2+a1=2a1+a1，即a2=2a1．故a n是公比为2的等比数列，且S n=a11−2n1−2=−a11−2n，则lim n→∞a nS n=lim n→∞2n−12n−1=lim n→∞12⋅11−12n=12.9. D 【解析】答案：D解析：线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，而 FA =a 2c −c=b2c， PF ∈a−c,a+c，于是b2c∈a−c,a+c，即ac−c2≤b2≤ac+c2．所以ac−c2≤a2−c2,a2−c2≤ac+c2⇒ca≤1,ca≤−1 uo ca≥12.又e∈0,1，故e∈12,1．10. A【解析】在Rt△ABC中，由AB=2R，BC=R，得AC=5R,从而cos∠BAC=25.由于OA=OM，则△AOM为等腰三角形，从而AM=2R cos∠BAC=45R.因为MN∥CD，所以AM=MN,解得MN=4 R.在△OMN中，由余弦定理得cos∠MON=R2+R2−45R22R⋅R=1725,从而∠MON =arccos17. 故M ,N 间的球面距离为R arccos 1725．11. B 【解析】2a 2+1ab +1a a −b−10ac +25c 2= a −5c 2+a 2−ab +ab +1ab +1a a −b= a −5c 2+ab +1+a a −b +1≥0+2+2=4.当且仅当a −5c =0，ab =1，a a −b =1，即a = 2，b = 22，c =25时，最小值为4． 12. C 【解析】先选一个偶数排个位，有3种选法． ①若5在十位或十万位，共有24种． ②若5排在百位、千位或万位，共有12种． 所以共计3× 24+12 =108种． 第二部分 13. 2 3 14. 34【解析】过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ．连接AD ，容易得知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角α−l −β的平面角，大小为60∘．又由已知，∠ABD =30∘，连接CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角，设AD =2，则AC = 3，CD =1，AB =ADsin 300=4，所以sin ∠ABC =ACAB =34．15. ①②【解析】直接验证可知①正确；当S 为封闭集时，因为x −y ∈S ，取x =y ，得0∈S ，②正确； 对于集合S = 0 ，显然满足所有条件，但S 是有限集，③错误；取S = 0 ，T = 0,1 ，满足S ⊆T ⊆C ，但由于0−1=−1∉T ，故T 不是封闭集，④错误． 16. −160x【解析】T 4=C 63×23 x3 3=−160x．第三部分17. （1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么P A =P B =P C =1,所求概率为P A⋅B⋅C =P A P B P C=16⋅562=25216.答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为25216．（2）ξ的可能值为0，1，2，3．那么Pξ=k=C3k 1k53−kk=0,1,2,3.所以中奖人数ξ的分布列为ξ0123P 12521625725721216数学期望Eξ=0×125216+1×2572+2×572+3×1216=12.18. （1）法一：如图，连接AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连接OK．因为M是棱AAʹ的中点，点O是BDʹ的中点．所以AM∥DDʹ∥OK，AM=12DDʹ=OK，所以AKOM为平行四边形．所以MO∥AK，MO=AK．由AAʹ⊥AK，得MO⊥AAʹ，因为AK⊥BD，AK⊥BBʹ，所以AK⊥平面BDDʹBʹ，所以AK⊥BDʹ，所以MO⊥BDʹ．又因为OM与异面直线AAʹ和BDʹ都相交，故OM为异面直线AAʹ和BDʹ的公垂线．法二：以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D−xyz．则A1,0,0，B1,1,0，C0,1,0，Aʹ1,0,1，Cʹ0,1,1，Dʹ0,0,1．因为点M是棱AAʹ的中点，点O是BDʹ的中点．所以M1,0,12，O12,12,12，所以OM=12,−12,0,AAʹ=0,0,1,BDʹ=−1,−1,1,所以OM⋅AAʹ=0,OM⋅BDʹ=−12+12+0=0.所以OM⊥AAʹ，OM⊥BDʹ．又因为OM与异面直线AAʹ和BDʹ都相交，故OM为异面直线AAʹ和BDʹ的公垂线．（2）解法一：取BBʹ中点N，连接MN，则MN⊥平面BCCʹBʹ，过点N作NH⊥BCʹ于H，连接MH，则由三垂线定理得BCʹ⊥MH．从而∠MHN为二面角M−BCʹ−Bʹ的平面角，所以MN=1,NH=BN sin45∘=12×22=24,在Rt△MNH中，tan∠MHN=MNNH =24=22．故二面角M−BCʹ−Bʹ的大小为arctan22．解法二：设平面BMCʹ的一个法向量为n1=x,y,z，BM=0,−1,12，BCʹ=−1,0,1，则n1⋅BM=0,n1⋅BCʹ=0,即−y+1z=0,−x+z=0,取z=2，则x=2，y=1，从而n1=2,1,2．取平面BCʹBʹ的一个法向量为n2=0,1,0，所以cos n1,n2=n1⋅n212=19⋅1=1.由图可知，二面角M−BCʹ−Bʹ的平面角为锐角，故二面角M−BCʹ−Bʹ的大小为arccos13．（3）解法一：易知S△OBC=S△OAʹDʹ，且△OBC和△OAʹDʹ都在平面BCDʹAʹ内，点O到平面MAʹDʹ距离 =12，所以V M−OBC=V M−OAʹDʹ=V O−MAʹDʹ=1S△MAʹDʹ =1.解法二：易知S△OBC=1S四边形BCDʹAʹ=1×1×2=2,设平面OBC的一个法向量为n3=x1,y1,z1，BDʹ=−1,−1,1，BC=−1,0,0，则n3⋅BDʹ=0,n3⋅BC=0,即−x1−y1+z1=0,−x1=0.取z1=1，得y1=1，从而n3=0,1,1．点M到平面OBC的距离d=BM⋅n33=122=2,所以V M−OBC=13S△OBC⋅d=13×24×24=124.19. （1）（i）如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α、β与−β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角−β的始边为OP1，终边交⊙O 于P4．则P11,0，P2cosα,sinα，P3cosα+β,sinα+β，P4cos−β,sin−β．由P1P3=P2P4及两点间的距离公式，得cosα+β−12+sin2α+β=cos−β−cosα2+sin−β−sinα2,展开并整理，得2−2cosα+β=2−2cosαcosβ−sinαsinβ,所以cosα+β=cosαcosβ−sinαsinβ.（ii）由（i）易得cos π2−α =sinα,sin π2−α =cosα.sinα+β=cos π2−α+β=cos π2−α +−β=cos π−α cos−β−sinπ−α sin−β=sinαcosβ+cosαsinβ.（2）由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c，则S=12bc sin A=12,AB⋅AC=bc cos A=3>0,所以A∈0,π2,cos A=3sin A,又sin2A+cos2A=1，所以sin A=1010,cos A=31010,由题意cos B=35，得sin B=45，所以cos A+B=cos A cos B−sin A sin B=1010,故cos C=cosπ−A+B=−cos A+B=−10 10.20. （1）设P x,y，则x22=2x−1 2 ,化简得x2−y2=1y≠0.（2）以线段MN为直径的圆经过点F．理由如下：①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y=k x−2k≠0,与双曲线x2−y23=1联立消去y，得3−k2x2+4k2x−4k2+3=0.由题意知3−k2≠0且Δ>0．设B x1,y1，C x2,y2，则x1+x2=4k2 2,x1x2=4k2+3 k2−3,所以y1y2=k2x1−2x2−2=k2x1x2−2x1+x2+4=k24k2+3k2−3−8k2k2−3+4=−9k2 2,因为x1,x2≠−1，所以直线AB的方程为y=y1x1+1x+1,因此M点的坐标为12,3y12x1+1．所以FM= −3,3y11,同理可得FN= −32,3y22x2+1.因此FM⋅FN= −32+9y1y212=94+−81k2k2−344k2+3k2−3+4k2k2−3+1=0.②当直线BC与x轴垂直时，其方程为x=2，则B2,3，C2,−3，AB的方程为y=x+1，因此M点的坐标为12,32，所以FM= −32,3 2,同理可得FN= −32,−32．因此FM⋅FN= −32+3× −3=0.综上，FM⋅FN=0，即FM⊥FN，故以线段MN为直径的圆经过点F．21. （1）由题意，令m=2，n=1，可得a3=2a2−a1+2=6,再令m=3，n=1，可得a5=2a3−a1+8=20.（2）当n∈N∗时，由已知（以n+2代替m）可得a2n+3+a2n−1=2a2n+1+8.于是a2n+1+1−a2n+1−1−a2n+1−a2n−1=8,即b n+1−b n=8.所以数列b n是公差为8的等差数列．（3）由（1）（2）解答可知b n是首项为b1=a3−a1=6，公差为8的等差数列，则b n=8n−2，即a2n+1−a2n−1=8n−2.另由已知（令m=1），可得a n=a2n−1+a12−n−12.那么a n+1−a n=a2n+1−a2n−12−2n+1=8n−22−2n+1=2n,于是c n=2nq n−1.当q=1时，S n=2+4+6+⋯+2n=n n+1；当q≠1时，S n=2⋅q0+4⋅q1+6⋅q2+⋯+2n⋅q n−1．两边同乘以q，可得qS n=2⋅q1+4⋅q2+6⋅q3+⋯+2n⋅q n.上述两式相减得1−q S n=21+q+q2+⋯+q n−1−2nq n=2⋅1−q n1−q−2nq n=2⋅1−n+1q n+nq n+1.所以S n=2⋅nq n+1−n+1q n+11−q2.综上所述S n=n n+1,q=1, 2⋅nq n+1−n+1q n+1,q≠1.22. （1）由题意得a x=y−1y+1>0 y=f x,故g x=log a x−1x+1,x∈−∞,−1∪1,+∞.由log atx2−17−x=log ax−1x+1,得t=x−127−x,x∈2,6,则tʹ=−3x2+18x−15=−3x−1x−5.列表如下：x22,555,66tʹ+0−t5↗极大值32↘25所以t最小值=5，t最大值=32，所以t的取值范围为5,32．（2）由题意得g k nk=2=ln1+ln2+ln3+⋯+lnn−1 =ln1×2×3×⋯×n−1=−lnn n+12.令u z=−ln z2−1−z2z=−2ln z+z−1zz>0,则uʹz=−2z+1+1z2=1−1z2≥0.所以u z在0,+∞上是增函数．又因为n n+12>1>0，所以u n n+12>u1=0,即ln 2−1−n n+122>0,即g k nk=2>22n n+1（3）设a=11+p，则p≥1,1<f1=1+a1−a=1+2p≤3.当n=1时，f1−1=2p≤2<4；当n≥2时，设k≥2，k∈N∗时，则f k=1+p k+1=1+2=1+2C k1p+C k2p2+⋯+C k k p k,所以1<f k≤1+2C k1+C k2=1+4k k+1=1+4k−4k+1.从而n −1< f k nk =2≤n −1+42−4n +1=n +1−4n +1<n +1. 所以n < f k nk =1<f 1 +n +1≤n +4.综上所述，总有 f k n k =1−n <4．。

高等数学基础第一次作业点评1责任教师：许院年 第1章 函数第 2 章 极限与连续（一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．A. f ( x) ( x) 2， g (x)xB.f ( x)x 2 ， g( x) xC. f ( x) ln x 3 ， g(x) 3ln xD. f ( x)x 1， g( x)x 2 1x1点评：从函数的两要素可知：两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同，对应规则也 相同。

而与自变量或因变量所用的字母无关。

⒉设函数 f ( x) 的定义域为 ( , ) ，则函数f ( x) f ( x) 的图形关于（ C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C.y 轴D.y x点评：可先用奇偶函数的定义来判断它是什么函数，若是奇函数就关于坐标原点对称，若是偶函数就关于 Y 轴对称。

⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．A. y ln(1 x 2 )B.yx cos xC. ya x a xD. yln(1 x)2f ( x) f (x) ，则函数为偶函点评：可直接用奇偶函数的定义来判断它是什么函数。

若 数；若 f ( x)f ( x) ，则函数为奇函数。

⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）．A. y x 1B. y xC.y x2D.y1, x 0 1 ,x点评：基本初等函数是指：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数及三角函数。

⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．A. limx 21B.lim ln(1 x)2xx2x 0C.lim sin xD. lim x sin1xxxx点评：只有无穷小量乘以有界变量才为无穷小量，如 C ，没有无穷大量乘以有界变量为无穷小量。

⒍当 x0 时，变量（ C ）是无穷小量．A.sin xB.1xxC.x sin1D. ln( x 2)x点评：无穷小量乘以有界变量为无穷小量⒎若函数 f ( x) 在点 x 0 满足（ A ），则 f ( x) 在点 x 0 连续。

全国2006年4月高等教育自学考试高等数学基础试题课程代码：00417一、单项选择题（本大题共30小题，每小题1分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设有向量=-=→→→→b a b a 2},0,2,1{},1,0,2{则（ ） A ．3→→→+-k j i 22 B ．3→→→-+k j i 22 C ．→→→--k j i 223D ．-3→→→++k j i 222．向量的位置关系是及与向量→→→→⨯b a b a （ ） A ．共面 B ．共线 C ．垂直D ．斜交3．平面2(y-3)=0的位置特点是（ ） A ．平行于y 轴 B ．垂直于y 轴 C ．垂直于x 轴D ．平行于yz 面 4．设平面5x+2y-3z-2=0与平面3x+ky+z+7=0互相垂直,则数k 的值等于（ ） A ．5 B ．-5 C ．6D ．-65．直线052131121=++-=-+=-z y x z y x 与平面的位置关系是（ ） A ．平行 B ．斜交C ．互相垂直D ．直线在平面上6．球面x 2+y 2+z 2-4x+6y+10z+36=0的半经为（ ） A ．2 B ．2 C ．3D ．37．方程组⎩⎨⎧==+2422y y x 在空间直角坐标系中表示（ ）A ．平面y=2中的圆B ．点(0,2)C ．平行于z 轴的直线D ．直圆柱面8．下列各对函数中,为相等函数的是（ ） A ．y=|x|与y=2xB ．y=2lnx 与y=lnx 2C ．y=ln|x|与y=|lnx|D ．y=x 与y=|x|9．设函数f(x)=⎩⎨⎧=≥<|)(|,01x f x xx 则（ ） A ．x B ．-x C ．|x|D ．f(x)10．设有数列:1,0,}{01,,51,0,31n a n n na n 则数列为偶数为奇数即⎪⎩⎪⎨⎧= （ ） A ．以0为极限B ．以为极限n1C ．有两个极限:0和n1D ．没有极限11．下列命题正确的是（ ） A ．若数列{a n }有极限,则{a n }有界 B ．若数列{a n }有界,则{a n }有极限 C ．若数列{a n }无极限,则{a n }无界D ．若数列{a n }有极限,则{a n }递增或者递减12．当x →0时,下列函数中以e 为极限的是（ ） A ．(1+x)x1 B ．(1+x)x C ．(1-x)x 1D ．(1-x)x13．下列函数中,当x →0+时,与x 是等价无穷小的为（ ） A ．xB ．x 2C ．ln(1+x)D ．1-cosx14．下列函数中,在点x=0处连续的是（ ）A ．f(x)=x1B ．f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠001x x xC ．f(x)=xxsinD ．f(x)⎪⎩⎪⎨⎧=≠010sin x x x x15．点x=1是函数f(x)=的23122+--x x x （ ） A ．第一类且可去的间断点 B ．第二类间断点 C ．第一类但不可去的间断点D ．连续点16．设f(x)=ln=)(',2x f x则（ ） A ．2x B ．x 2 C ．x1D ．x1-17．设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===2),20(sin cos a x dx dy t t b y t a x 则π（ ）A ．a bB ．b a C ．ab -D ．ba -18．设f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,则（ ）A ．f(x)一定在[a,b]上可微B ．f(x)一定在[a,b]上有界C ．至少有一点0)(),,(=∈ξξf b a 使得D ．至少有一点0)('),,(=∈ξξf b a 使得19．函数f(x)=x+的极小值是)0(2>a xa （ ） A ．-2a B ．-a C ．aD ．2a20．下列函数中,在区间(0，+∞)内上凸的是（ ） A ．y=x1 B ．y=x2 C ．y=|x|D ．y=-x1 21．设方程y-F(x)=0表示函数f(x)的一条积分曲线,则下列式子中正确的是（ ） A ．⎰=)()(x F dx x f B ．F ′(x)=f(x) C ．⎰+=C x f dx x F )()(D ．f ′(x)=F(x)22．下列不等式成立的是（ ）A ．⎰⎰<1142dx x dx xB ．⎰⎰≤21212)(ln ln dx x xdxC ．0⎰≤-≤2122)3(dx xxD ．-1⎰≤-≤2121)3(dx x x23．设=+=+⎰)(,arctan)(11x C x dx x x ϕϕ则（ ）A ．2xB ．xC ．x21D ．x124．设G(x)=⎰=>21)('),0(1x x G x dt t则（ ）A ．x1 B ．x C ．1D ．225．n 阶排列123……n 的逆序数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2)1(-n nD ．n26．设方程⎩⎨⎧==+=+a ax x x ax 则有非零解,02121（ ）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．027．下列行列式的值一定为零的是（ ）A ．0021221112 n n nn a a a a a aB ．nnn n in i i ini i n a a a a a a a a a a a a 21212111211222------------------------------C ．n 阶行列式中零元素多于n 个D ．行列式的转置行列式28．设A 为m ×n 矩阵,且其秩r(A)=r,则（ ） A ．A 中r 阶子式都不为零 B ．r=min{m,n} C ．A 中(r+1)阶子式都为零D ．r=m 或r=n29．设A,B 为任意两个n 阶可逆方阵,则必有（ ）A ．(AB)-1=A -1B -1 B ．(AB) –1=B -1A -1C ．(AB) –1=ABD ．(AB) –1=AB -130．设Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b 的导出组,则下列说法正确的是（ ） A ．Ax=0有非零解时,Ax=b 有无穷多个解 B ．u 1,u 2是Ax=b 的解时,u 1-u 2是Ax=0的解． C ．Ax=0只有零解时, Ax=b 有唯一解 D ．Ax=0与Ax=b 同时有解或同时无解二、填空题（本大题共10小题，每小题1分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。