新高等数学基础

高等数学零基础入门教程第一章：数列与极限1.1 什么是数列？数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。

例如：1，2，3，4，5，...就是一个数列，其中的规律是每个数比前一个数大1。

1.2 数列的分类数列可以分为等差数列和等比数列。

等差数列是指数列中的每两个相邻项之差为常数，而等比数列是指数列中的每两个相邻项之比为常数。

1.3 数列的通项公式数列的通项公式是指通过数列的规律，找到数列中第n项与n的关系的公式。

通项公式可以帮助我们快速计算数列中任意一项的值。

1.4 极限的概念在数学中，极限是指当自变量趋近于某个值时，函数或数列相应的取值趋近于某个值的过程。

极限可以帮助我们研究函数或数列在某一点的行为特性。

第二章：导数与微分2.1 函数的导数函数的导数描述了函数在某一点的变化率，它可以帮助我们研究函数的增减性、最值等性质。

导数的计算可以通过求导公式或几何意义进行。

2.2 导数的性质导数具有线性性、乘法法则、链式法则等性质，这些性质可以简化导数的计算过程，并帮助我们更好地理解函数的特性。

2.3 高阶导数除了一阶导数外，函数还可以有二阶导数、三阶导数等。

高阶导数可以帮助我们研究函数更加详细的性质。

2.4 微分的概念微分是导数的一种形式，它描述了函数在某一点的变化量与自变量变化量之间的关系。

微分在近似计算、最值求解等问题中具有广泛的应用。

第三章：积分与定积分3.1 不定积分不定积分是求解函数的原函数的过程，它是导数的逆运算。

不定积分可以帮助我们求解函数的积分表达式。

3.2 定积分的概念定积分是求解函数在某个区间上的累积效应的过程。

定积分可以帮助我们计算曲线下的面积、弧长、体积等物理问题。

3.3 定积分的性质定积分具有线性性、区间可加性、积分中值定理等性质，这些性质可以简化定积分的计算过程，并帮助我们更好地理解积分的含义。

3.4 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是导数与积分之间的重要关系，它描述了函数在某个区间上的积分与该区间两端点的原函数值之差的关系。

高等数学基础知识【高等数学基础知识（一）】1.极限极限是数学中的重要概念，广泛应用于微积分、数值分析等领域。

指一个数列或者函数在趋近某个值时的性质。

形式化地，对于一个数列{an}，如果随着n无限接近于正无穷，an 的取值也无限接近于某个实数L，那么就称这个实数L是该数列的极限，记为limn→∞an=L。

2.导数导数是微积分中的一个概念，是描述函数局部的变化率的指标。

形式化地，对于函数f(x)，在x点处的导数定义为：f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h即当自变量x有微小的变化量h时，函数值f(x)也随之有微小的变化f(x+h)−f(x)，那么其变化率就是(f(x+h)−f(x))/h。

这个变化率取极限h→0，就是函数在x点处的导数。

3.微分微分是微积分中的概念，用于描述函数的变化。

在x点处微分的结果就是函数在x点处的导数，一般用符号dx表示微小的自变量变化量，用符号dy表示函数值的微小变化量。

因此，微分可以表示为dy=f′(x)dx。

4.积分积分也是微积分中的概念，表示对函数值在一定区间内的累加。

对于函数f(x)，在[a,b]区间上的积分表示为∫abf(x)dx，它的几何意义是曲线y=f(x)与x轴和直线x=a、x=b所围成的区域的面积。

积分是微积分与数值计算的基础，广泛应用于物理、经济、金融等领域。

5.级数级数是数学中的概念，是数列的和的概念的推广。

形式化地，对于一个数列{an}，其前n项和称为级数，记作∑n=1∞an。

级数的收敛性与发散性是级数研究的核心问题。

【高等数学基础知识（二）】1.偏导数偏导数是多元函数中的概念，表示函数在某个自变量上的变化率。

对于函数f(x1,x2,…,xn)，在x1处的偏导数定义为：∂f(x1,x2,…,xn)∂x1=limh→0f(x1+h,x2,…,xn)−f(x 1,x2,…,xn)h即在其它自变量不变的情况下，x1的微小变化量h对应的函数值变化量f(x1+h,x2,…,xn)−f(x1,x2,…,xn)，它们的比值就是在x1处的偏导数。

2332高等数学基础习题一、单项选择题（每小题4分，本题共20分）1.函数2e e xx y -=-的图形关于（A ）对称．(A) 坐标原点 (B) x 轴(C) y 轴 (D) x y = 2.在下列指定的变化过程中，（C ）是无穷小量． (A) )(1sin∞→x xx (B) )0(1sin →x x(C) )0()1ln(→+x x (D) )(e1∞→x x3.设)(x f 在0x 可导，则=--→hx f h x f h 2)()2(lim000（C ）．(A) )(0x f ' (B) )(20x f '(C) )(0x f '- (D) )(20x f '-4.若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=x x f xd )(ln 1（B ）． (A) )(ln x F (B) c x F +)(ln (C) c x F x+)(ln 1 (D) c x F +)1(5.下列积分计算正确的是（D ）． (A)0d sin 11=⎰-x x x (B)1d e 0=⎰∞--x x(C)πd 2sin 0=⎰∞-x x (D)0d cos 11=⎰-x x x6.函数222xx y +=-的图形关于（B ）对称．(A) 坐标原点 (B) y 轴 (C) x 轴 (D) x y = 7.在下列指定的变化过程中，（A ）是无穷小量． (A) )0(1sin →x xx (B) )(1sin∞→x xx(C) )0(ln →x x(D) )(e ∞→x x8.下列等式中正确的是（B ）． (A) x x x d ln )1(d =(B) x x x d )(ln d =(C) x xx d 3)3(d =(D) x x x d )(d = 9.若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=x x f xd )(1（C ）．(A) )(x F (B) c x F +)( (C) c x F +)(2 (D) )(2x F 10.下列无穷限积分收敛的是（D ）． (A)⎰+∞1d 1x x (B) ⎰+∞0d e x x (C) ⎰+∞1d 1x x(D) ⎰+∞12d 1x x11.函数2e e xx y -=-的图形关于（A ）对称．(A) 坐标原点 (B) x 轴 (C) y 轴 (D) x y = 12.在下列指定的变化过程中，（C ）是无穷小量． (A) )(1sin∞→x xx (B) )0(1sin →x x(C) )0()1ln(→+x x (D) )(e1∞→x x13.设)(x f 在0x 可导，则=--→hx f h x f h 2)()2(lim000（C ）． (A) )(0x f ' (B) )(20x f ' (C) )(0x f '- (D) )(20x f '-14.若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=x x f xd )(ln 1（B ）． (A) )(ln x F (B) c x F +)(ln (C) c x F x+)(ln 1 (D) c x F +)1(15.下列积分计算正确的是（D ）． (A)0d sin 11=⎰-x x x (B) 1d e 0=⎰∞--x x (C) πd 2sin 0=⎰∞-x x (D) 0d cos 11=⎰-x x x16下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．(A) 2)()(x x f =，x x g =)( (B) 2)(x x f =，x x g =)((C) 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= (D) 4ln )(x x f =，x x g ln 4)(=17设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（D ）对称． (A) x y = (B) y 轴 (C) x 轴 (D) 坐标原点 18当0→x 时，变量（C ）是无穷小量．(A) x 1 (B) xx sin (C) 1e -x(D) 32x x19设)(x f 在点1=x 处可导，则=--→hf h f h )1()21(lim（D ）．(A) )1(f ' (B) )1(f '- (C) )1(2f ' (D) )1(2f '- 20函数322-+=x x y 在区间)4,2(内满足（B ）． (A) 先单调上升再单调下降 (B) 单调上升 (C) 先单调下降再单调上升(D) 单调下降 21若x x f cos )(=，则='⎰x x f d )(（B ）． (A) c x +sin (B) c x +cos (C) c x +-sin (D) c x +-cos 22=+-⎰-x x x x d )22cos (2π2π7（D ）．(A) 0 (B) π (C)2π(D) 2π 23若)(x f 的一个原函数是x 1，则=')(x f （B ）．(A) x ln (B) 32x (C) x 1 (D) 21x-24下列无穷积分收敛的是（B ）． (A)⎰∞+0d cos x x (B)⎰∞+-03d ex x(C)⎰∞+1d 1x x(D) ⎰∞+1d 1x x25.设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（D ）对称． (A) x y = (B) x 轴 (C) y 轴 (D) 坐标原点 26.当0→x 时，变量（C ）是无穷小量．(A)x 1 (B) x x sin (C) 1e -x (D) 2xx 27.设xx f e )(=，则=∆-∆+→∆x f x f x )1()1(lim 0（B ）．(A) e 2 (B) e (C) e 41 (D) e 2128.=⎰x x xf x d )(d d 2（A ）． (A) )(2x xf (B) x x f d )(21 (C) )(21x f (D) x x xf d )(229.下列无穷限积分收敛的是（B ）． (A)⎰+∞d e x x (B) ⎰+∞-0d e x x(C) ⎰+∞1d 1x x (D) ⎰+∞1d 1x x30． 下列函数中（ B ）的图像关于坐标原点对称。

高等数学基本知识点大全一、导数和微分在高等数学中，导数和微分是重要的基本概念。

导数描述了函数在某一点的变化率，可以帮助我们求解函数的最值、刻画曲线形状等问题。

微分则是导数的一种运算形式，表示函数在给定点附近的局部线性逼近。

1. 导数的定义和性质：- 导数定义：函数f(x)在点x=a处的导数定义为f'(a) =lim┬(h→0)⁡〖(f(a+h)-f(a))/h〗。

- 导数的几何意义：导数表示曲线在某一点的切线斜率。

- 导数的性质：求导法则包括常数法则、幂函数法则、指数函数和对数函数法则等。

2. 微分的定义和性质：- 微分的定义：设y=f(x)为定义在区间I上的函数，若存在常数dy 使得Δy=f'(x)Δx+dy，其中Δx是x的增量，则称dy为函数f(x)在区间I 上的微分。

- 微分的性质：微分是线性近似，具有微分的小量运算法则。

3. 一阶导数和高阶导数：- 一阶导数：如果函数f(x)在点x处的导数存在，则称f(x)在该点可导，其导数为一阶导数，记作f'(x)或dy/dx。

- 高阶导数：若函数f(x)的导数f'(x)也存在导数，则称导数f'(x)为函数f(x)的二阶导数，记作f''(x)或d²y/dx²。

二、积分和定积分积分和定积分是数学中的重要工具，可以用来求解曲线下的面积、求解定量累计、求解方程等问题。

它们是导数的逆运算。

1. 定积分的定义和性质：- 定积分的定义：设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义，则称函数f(x)在区间[a,b]上的积分为定积分，记作∫_a^b▒f(x)dx。

- 定积分的性质：定积分具有线性性、加法性、估值性等。

2. 积分基本公式和换元积分法：- 积分基本公式：包括常数乘法法则、分步积分法则和换元积分法则等。

- 换元积分法：利用换元积分法可以将一些复杂的积分问题转化为简单的积分形式。

3. 不定积分和定积分的关系：- 不定积分：函数F(x)是f(x)的一个原函数，即F'(x)=f(x)，则称F(x)为f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为常数。

高等数学基础版教材答案---第一章线性代数1.1 向量与空间1. 向量与向量的线性组合：- 若向量组V1，V2，...，Vn，满足对于任意的实数k1，k2，...，kn，有k1V1 + k2V2 + ... + knVn 属于 V，则称向量组 V1，V2， (V)是线性相关的。

- 若向量组 V1，V2，...，Vn 是线性相关的，且不存在非零实数k1，k2，...，kn，使得 k1V1 + k2V2 + ... + knVn = 0，则称向量组 V1，V2，...，Vn 是线性无关的。

2. 向量与矩阵的基本运算：- 向量的加法：设有向量 A 和 B，A = (a1, a2, ..., an)，B = (b1,b2, ..., bn)，则有 A + B = (a1+b1, a2+b2, ..., an+bn)。

- 向量的数乘：设有向量 A = (a1, a2, ..., an)，k 是实数，则有 kA = (ka1, ka2, ..., kan)。

- 矩阵的加法：设有矩阵 A 和 B，A = (aij)，B = (bij)，则有 A + B = (aij+bij)。

- 矩阵的数乘：设有矩阵 A = (aij)，k 是实数，则有 kA = (kaij)。

3. 解线性方程组：- 齐次线性方程组：设有 n 元线性方程组 A·X = 0，其中 A 是一个m×n 矩阵，X 是 n 维列向量，则该方程组的解空间是由 A 的零解及所有非零解构成的。

- 非齐次线性方程组：设有 n 元线性方程组 A·X = B，其中 A 是一个 m×n 矩阵，X 和 B 是 n 维列向量，则该方程组存在解的充要条件是：B 可以由 A 的列向量线性表示。

---第二章微积分2.1 导数与微分1. 导数的定义与性质：- 定义：若函数 f(x) 在点 x0 处有定义，则称 f(x) 在点 x0 处可导，记为 f'(x0) 或 dy/dx |_(x=x0)。

大学高等数学基础教材答案（字数：1631）第一章：函数与极限1. 函数与映射1.1 函数定义与性质1.2 函数的四则运算1.3 反函数与复合函数2. 极限的概念与性质2.1 极限的定义2.2 极限存在的判定定理2.3 极限的性质与四则运算2.4 极限存在的唯一性3. 极限运算法则3.1 数列极限的性质3.2 函数极限的性质3.3 极限运算法则第二章：导数与微分1. 导数的概念与性质1.1 导数定义1.2 导数存在的条件1.3 函数可导的判定定理2. 导数运算法则2.1 基本导数运算法则2.2 高阶导数与Leibniz公式3. 高阶导数与隐函数求导3.1 高阶导数定义与性质3.2 隐函数求导原理第三章：微分中值定理及其应用1. 微分中值定理1.1 罗尔中值定理1.2 拉格朗日中值定理1.3 柯西中值定理2. 函数的极值与最值2.1 函数极值的判定定理2.2 求解函数最值的方法3. 函数图形的简单性质与描绘 3.1 函数的对称轴与奇偶性3.2 函数的图像描绘第四章：不定积分1. 不定积分的定义与性质1.1 不定积分的定义1.2 不定积分的基本性质2. 基本不定积分与换元积分法 2.1 基本不定积分表2.2 第一换元法2.3 第二换元法3. 分部积分法与有理函数的积分 3.1 分部积分法3.2 有理函数的积分第五章：定积分1. 定积分的概念与性质1.1 定积分的定义1.2 定积分的基本性质1.3 可积函数与Riemann积分2. 定积分计算方法2.1 基本积分公式2.2 定积分的几何应用3. 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的换元法 3.1 牛顿-莱布尼茨公式3.2 定积分的换元法第六章：微分方程1. 微分方程的基本概念1.1 微分方程的定义与解1.2 微分方程的阶与类型2. 可分离变量的微分方程2.1 可分离变量的微分方程解法2.2 可分离变量的应用3. 一阶线性微分方程3.1 一阶线性微分方程解法3.2 一阶线性微分方程的应用第七章：级数1. 级数的定义及基本性质1.1 级数的定义1.2 级数的基本性质1.3 级数的敛散性判定2. 收敛级数的性质与判别法2.1 收敛级数性质2.2 正项级数判别法2.3 任意项级数判别法3. 幂级数3.1 幂级数的性质3.2 幂级数的收敛半径以上是大学高等数学基础教材的答案，希望对你的学习有所帮助。

高等数学基础教材答案第二版《高等数学基础教材答案第二版》第一章导数与微分1.1 导数的定义与计算方法导数的定义：对于函数f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)，可以用以下公式计算：f'(x) = lim(h→0) [(f(x+h) - f(x))/h]1.2 导数的几何意义与物理应用通过导数的计算，我们可以得到函数在某一点处的切线斜率，进而了解函数的增减性和凸凹性。

在物理学中，导数也可以表示速度、加速度等物理量。

第二章不定积分与定积分2.1 不定积分不定积分，又称原函数或反导数，可以通过求导数的逆运算得到。

不定积分的符号表示为∫f(x)dx。

2.2 定积分定积分是用来计算曲线下的面积或求解物理问题的有效工具。

定积分的符号表示为∫[a, b] f(x)dx，表示函数f(x)在区间[a, b]上的面积。

第三章一元函数的应用3.1 曲线的切线与法线曲线的切线可以通过求导数得到切线的斜率，进而确定切线方程。

法线垂直于切线，并且切线和法线的斜率乘积为-1。

3.2 最值与最值问题通过求导数可以找到函数的极值点，进而确定函数的最大值和最小值。

在实际问题中，最值问题经常出现，如求解最优化问题等。

第四章多元函数与偏导数4.1 多元函数的概念多元函数是指依赖于多个变量的函数，如f(x, y)。

多元函数的图像可以用三维坐标系表示。

4.2 偏导数的定义与计算偏导数表示多元函数对某个变量的导数，其他变量视为常数。

偏导数的符号表示为∂f/∂x。

第五章重积分与曲线积分5.1 二重积分二重积分是对平面区域上的函数进行求和。

可以通过迭代积分或转换为极坐标系下的积分进行计算。

5.2 曲线积分曲线积分是沿曲线对函数进行积分的操作。

根据曲线的参数方程或者标量函数方程进行计算。

第六章数项级数6.1 数列与数列的极限数列是指一系列按照一定顺序排列的数，可以通过递推公式给出。

数列的极限是指当n趋向于无穷大时，数列的变化趋势。

高等数学基础第一节 函数极限的定义及分析方法一．函数极限的定义定义1：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是A ，记作A x f x x =→)(lim 0。

特别地，C C x x =→0lim ；00lim x x x x =→。

例题1：判断下列函数的极限：（1）x xx 0lim → （2）11lim 21--→x x x（3）121lim 220---→x x x x定义2：当自变量x 取正值且无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =+∞→)(lim 。

也可以记作，当x +∞→时，A x f →)(。

当自变量x 取负值而x 无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =-∞→)(lim 。

也可以记作，当x -∞→时，A x f →)(。

当自变量x 的绝对值无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =∞→)(lim 。

也可以记作，当x ∞→时，A x f →)(特例：对于函数C x f =)(（C 是常数），当自变量x 的绝对值无限增大时，函数C x f =)(的值保持不变，所以当x 趋向于无穷大时，函数C x f =)(的极限就是C ，即C C x =∞→lim 。

例题2：判断下列函数的极限：（1）xx )21(lim +∞→ （2）xx 10lim -∞→（3）21lim x x ∞→ （4）4lim ∞→x（5） )1lim(-∞→x （6）xx 2.1lim -∞→（7） 41lim x x ∞→ （8）11lim 2+∞→x x二．无穷小与无穷大定义1：如果函数当时的极限为零，那么称函数为当时的无穷小。

高数基础知识
高等数学是大学数学的重要组成部分，包括初等数学的基础知识和更高级的数学概念和方法。

以下是一些高数基础知识的解释。

1. 极限
极限是一个数列或函数在接近某个值时的表现。

可以用极限定义连续性、导数和积分等概念。

当数列或函数的值无限接近某个值时，它就趋近于这个值的极限。

2. 微积分
微积分是研究数学中变化率和面积问题的分支。

它主要包括求导和求积分两个方面。

求导是指求出函数在某一点的导数，即函数在该点的切线斜率。

求积分是指求出函数在某一区间上的面积，可以用于计算曲线下面积、体积、质心等问题。

3. 线性代数
线性代数是研究向量空间和线性变换的分支。

它主要研究向量的运算规律、向量空间的性质、矩阵的变换以及线性方程组的求解等问题。

线性代数在计算机图形学、信号处理等领域有广泛的应用。

4. 偏微分方程
偏微分方程是描述物理现象中变量随时间和空间变化的方程。

它包括泊松方程、热方程、波动方程等。

偏微分方程的解法通常涉及到高级数学工具，如分离变量法、格林函数法、变分法等。

5. 概率统计
概率统计是一门研究随机事件和数据分析的分支。

它主要包括概率论、数理统计和应用统计三个部分。

概率论研究随机事件的概率和分布规律，数理统计研究如何用概率论解决数据分析问题，应用统计则将概率统计方法应用到实际问题中。

以上是一些高数基础知识的解释，它们都是大学数学中的重要部分，对于学习更高级的数学和应用数学都非常重要。

高等数学常用基础知识点一、极限与连续极限是高等数学中的重要概念之一。

当自变量趋于某个确定值时，函数的极限描述了函数在这个点附近的表现。

极限的计算方法包括利用极限的四则运算法则、夹逼定理和洛必达法则等。

连续是指函数在某个点上无间断的性质。

如果函数在某个点上连续，那么其极限存在且与函数在该点的取值相等。

连续函数的性质包括介值定理、零点定理和罗尔定理等。

二、导数与微分导数是函数在某一点的变化率，可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。

导数的计算方法包括利用导数的四则运算法则、链式法则和隐函数求导等。

微分是函数在某一点的局部线性逼近。

微分的计算方法包括利用微分的四则运算法则、高阶导数和泰勒公式等。

三、不定积分与定积分不定积分是导数的逆运算。

不定积分的计算方法包括利用基本积分公式、换元积分法和分部积分法等。

定积分是函数在某一区间上的累积效应。

定积分的计算方法包括利用定积分的性质、换元积分法和分部积分法等。

四、级数与幂级数级数是无穷个数的和。

级数的收敛与发散是级数理论中的重要问题。

级数的测试方法包括比值判别法、根值判别法和积分判别法等。

幂级数是形如∑(a_n*x^n)的级数。

幂级数的收敛半径是幂级数理论中的重要概念。

幂级数的运算方法包括利用幂级数的性质、求和运算和乘法运算等。

五、常微分方程与偏微分方程常微分方程是描述物理、经济和工程等领域中变化规律的数学工具。

常微分方程的求解方法包括利用分离变量法、一阶线性微分方程的求解和二阶线性齐次微分方程的求解等。

偏微分方程是描述多变量函数的方程。

偏微分方程的求解方法包括利用分离变量法、变量代换和特征线法等。

六、空间解析几何与向量代数空间解析几何是研究空间中点、直线和平面的性质和关系的数学分支。

空间解析几何的内容包括点的坐标表示、向量的运算和平面的方程等。

向量代数是研究向量及其运算的数学分支。

向量代数的内容包括向量的加法、数量积和向量积等。

七、多元函数与多元函数微分学多元函数是多个自变量的函数。