高等数学基础作业3(改)

【高等数学根底】形成性考核册答案【高等数学根底】形考作业1答案：第1章函数 第2章 极限与连续（一）单项选择题⒈以下各函数对中，〔C 〕中的两个函数相等．A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g分析：判断函数相等的两个条件〔1〕对应法则一样〔2〕定义域一样A 、2()f x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R定义域不同，所以函数不相等；B 、()f x x ==，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等；C 、3()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21()11x g x x x -==+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。

应选C⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于〔C 〕对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y =分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称，奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称应选C⒊以下函数中为奇函数是〔B 〕． A. )1ln(2x y += B. x x y cos =C. 2xx a a y -+= D. )1ln(x y +=分析：A 、()()()()22ln(1)ln 1y x x xy x -=+-=+=，为偶函数B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数 或者*为奇函数，cos*为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数C 、()()2x xa a y x y x -+-==，所以为偶函数 D 、()ln(1)y x x -=-，非奇非偶函数应选B⒋以下函数中为根本初等函数是〔C 〕． A. 1+=x y B. x y -= C. 2xy = D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y 分析：六种根本初等函数（1） y c =〔常值〕———常值函数（2） ,y x αα=为常数——幂函数 （3） ()0,1x y a a a =>≠———指数函数 （4） ()log 0,1a y x a a =>≠———对数函数（5） sin ,cos ,tan ,cot y x y x y x y x ====——三角函数（6） [][]sin ,1,1,cos ,1,1,tan ,cot y arc x y arc x y arc x y arc x=-=-==——反三角函数分段函数不是根本初等函数，故D 选项不对 对照比拟选C⒌以下极限存计算不正确的选项是〔D 〕．A. 12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim =∞→x x x D. 01sin lim =∞→xx x分析：A 、()1lim 00n x n x→∞=>B 、0limln(1)ln(10)0x x →+=+=初等函数在期定义域是连续的 C 、sin 1limlim sin 0x x x x xx →∞→∞==x →∞时，1x是无穷小量，sin x 是有界函数，无穷小量×有界函数仍是无穷小量D 、1sin1lim sin lim1x x x x x x→∞→∞=，令10,t x x =→→∞，则原式0sin lim 1t t t →== 应选D⒍当0→x 时，变量〔C 〕是无穷小量．A.x x sin B. x 1C. xx 1sin D. 2)ln(+x分析；()lim 0x af x →=，则称()f x 为x a →时的无穷小量A 、0sin lim1x xx→=，重要极限B 、01limx x→=∞，无穷大量 C 、01lim sin 0x x x →=，无穷小量x ×有界函数1sin x 仍为无穷小量D 、()0limln(2)=ln 0+2ln 2x x →+=应选C⒎假设函数)(x f 在点0x 满足〔A 〕，则)(x f 在点0x 连续。

高等数学基础作业答案 2 改（一）单项选择题⒈B ⒉D ⒊A ⒋D ⒌C（二）填空题⒈⒉2 ln x 5⒊1⒋x2⒍ xx 2 x (2 ln x 2)1（三）计算题⒈求以下函数的导数 y ：⑴ y ( x x 3)e x解： 由导数四则运算法例y 1⒌3y(( x x3)e x ) ( x23) ex(x33(( x 2 )(3) )e x (x 2 3) e x1 313x 2e x ( x 23)e x ( 3x 222 ⑵ y cot xx 2 ln x解： 由导数四则运算法例323)(e x )3x 2 3)e xy(cotx x2ln )(cot )( x 2ln x )xx1(x 2 ) ln xx 2 (ln x)sin 2 x1 2xln x x 2112x ln xsin 2 xxsin 2 x⑶y x 2 ln x解： 由导数四则运算法例yx 2( x 2 ) ln x x 2 (ln x)()ln 2xln x2x ln xx 2 12x ln x xx2xln 2 xln 2 x⑷cos xy解： 由导数四则运算法例ycos x 2 x(cos x 2 x ) x 3(cos x 2 x )( x 3 )(3)x 6xx((cos x)(2x ) )x 33x 2 (cos x 2 x )x 6( sin x2x ln 2) x 33x 2 (cos x 2 x )x 6x sin x x2x ln 23 cos x 3 2 xx 4⑸ln x x 2ysin x解： 由导数四则运算法例y( ln x x 2) (ln x x 2 ) sin x (ln x x 2 )(sin x)sin xsin 2 x((ln x)( x 2 ) ) sin x (ln xx 2 ) cos xsin 2 x(12 x) sin x (ln x x 2 ) cos xxsin 2xsin x 2x 2 sin xx cos x ln x x 3 cos xx sin 2 x⑹ y x 4sin x ln x解： 由导数四则运算法例y ( x 4 sin x ln )( x 4 )(sin x ln x )x4x 3 ((sin x) ln x sin x(ln x) )4x 3(cos ln x sin x 1 ) 4x 3cosln x sin xsin x x 2x x⑺y3x解： 由导数四则运算法例y (⑻ ye x tan xsin x x 2(sin xx 2 ) 3x (sin x x 2 )(3x )3x)(3x ) 2((sin x) (x 2 ) )3x(sin x x 2 )3 x ln 3(3x ) 2(cosx2x)3x 3x sin x ln 3 x 2 3x ln 3(3x ) 2cos x 2x sin x ln 3 x 2 ln 33xln x解： 由导数四则运算法例y(e x tan x ln x)( e x tan x) (ln x)( e x ) tan xe x (tan x)1x e xe x tan x e x1 1 e x tan x1cos 2 xxcos 2 xx⒉求以下函数的导数 y ：⑴ y e x解：设 ux ，则有y e u ， ux由复合函数求导法例y y u u x (e u ) u ( x ) xu 1 e x ex2 x2 ⑵ y ln cos x解：设 u cos x ，则有y ln u， ucos x由复合函数求导法例yy u u x(ln u)u (cos x) x1sin x) sin x( cos xu⑶ yxx x解： y1 11x x x(x(x x 2 ) 2 ) 21 y7x 8 8⑷ ysin 2x解：设 u sin x ，则有y u 2 ，usin xtan x3 1 1 3 1 7 1 7( x( x 2 ) 2 ) 2 ( x x 4 ) 2 (x 4 ) 2 x 8由复合函数求导法例yy u u x (u 2 ) u (sin x) x2u cosx 2sin x cosx sin 2x⑸ y sin x 2解：设 u x 2，则有y sin u ，u x2由复合函数求导法例y y ux (sin u)u( x2 )xucosu2x 2x cos x 2⑹y cose x解：设u e x，则有y cosu ，u e x由复合函数求导法例y y u u x (cos u) u ( e x ) xsin u e x e x sin e x⑺ y sin n x cosnx解：由导数四则运算法例y(sin n xcosnx )(sin n x) cosnx sin n x(cos nx)设u sin x ，v nx，则有sin n x u n，cosnx cosv由复合函数求导法例y (sin n xcosnx ) (sin n x) cosnx sin n x(cos nx)(u n ) u (sin x) x cosnx sin n x(cos v) v (nx) xnu n 1 cos x cosnx sin n x(sin v) nnsin n 1 xcos x cosnx n sin n x sin nx⑻ y5sin x解：设 u sin x ，则有y 5u，u sin x由复合函数求导法例y y u u x(5u ) u (sin x) x5u ln 5 cos x 5sin x ln 5 cos x⑼y e cos x解：设u cos x，则有y e u， u cos x由复合函数求导法例yy u u x (e u ) u (cos x) xe u sin xe cos x sin x⒊在以下方程中， yy( x) 是由方程确立的函数，求 y ：⑴ y cos xe2 y解法 1： 等式两头对 x 求导左( y cos x) y cos xy(cos x)y cos xy sin x 右由此得( e 2 y ) x (e 2 y ) y y2e 2 y yy cos x y sin x2e 2 y y整理得y sin xy2e 2 ycos x解法 2： 等式两头求微分左 d( y cosx)cos xdy yd(cos x)cos xdyysin xdx右 d(e 2 y ) e 2 y d(2 y) 2e 2 y dy由此得2 yyx y y sin x x2e cos dd d整理得y sin x dxdy2e 2 ycos x得y sin x ycosx 2e2 y⑵ y cos y ln x解法 1： 等式两头对 x 求导左右y(cos y ln x) (cos y)x ln xcos y(ln x)(cos y) yy ln x cos y1ln xsin y ycos yxx由此得y ln x sin yycos y整理得yxcos yx x ln x sin y解法 2：等式两头求微分左右dyd(cos y ln x)ln xd(cos y) cos yd(ln x) sin y ln xdy cos y dxx由此得dysin y ln xdy cos y dxx整理得dy cos y dxx x ln x sin y得ycos yx x ln x sin y⑶ 2xsin y x 2y解法 1：等式两头对x求导左 ( 2xsin y)( 2x) sin y 2x(sin y)x2sin y2x(sin y) y y2sin y 2x cos y y右( x 2)(x 2 ) y x 2 y2xy x2 y y y2y 2由此得2sin y2x cos y y 2xy x 2 yy2整理得y 2xy 2 y2 sin y 2xy 2 cos y x2解法 2：等式两头求微分左d(2x sin y) sin yd(2x)2 xd(sin y)2sin ydx2x cos ydy右由此得x 2 ydx 2 x 2dy 2xydx x 2 dyd()2y 2yy2xydx x 2dy2sin ydx 2xcos ydy2y整理得dy2xy 2 y 2 sin y2xy 2 cos y x 2 dx得y2xy 2 y 2 sin y 2xy 2 cos y x 2⑷ y x ln y解法 1： 等式两头对 x 求导左右y( x ln y) (x) (ln y) x1 (ln y) y y1 1 yy由此得y1 1y y整理得yyy 1解法 2： 等式两头求微分左右由此得dyd( x ln y)dx d(ln y)dx1dyy1dy dx dy整理得dyy dxy1得yy y 1⑸ ln x e yy 2解法 1： 等式两头对 x 求导左右由此得(ln x e y )(ln x) (e y ) x1(e y) y y1e y yxx( y 2 ) x ( y 2 ) y y2 y y1 e y y2 y y x整理得1y2 xyxe y解法 2： 等式两头求微分左 d(ln xe y ) d(ln x) d( e y )1dx e y dyx右 d( y ) e 2 y d( 2 y ) 2e 2 y dy由此得1dx e y dy2ydyx整理得1y dxdyxe2xy得1yxe y2 xy⑹ y 21 e x sin y解法 1： 等式两头对 x 求导左右( y 21) x( y 21) y y 2 y y( e x sin y)(e x ) sin y e x (sin y) xe x sin y e x (sin y) y y e x sin y e x cos y y由此得2 y y e x sin y e x cos y y整理得e x sin yy2 y e x cos y解法 2：等式两头求微分左 d( y21)d( y2 ) d(1)2 ydy右 d(e x sin y)sin yd(e x ) e x d(sin y)e x sin ydx e x cos ydy由此得2 ydy e x sin ydx e x cos ydy整理得dy e x sin y dx2 y e x cos y得ye x sin y2 y e x cos y⑺ e y e x y 3解法 1：等式两头对x求导左右( e y ) x(e y ) y y e y y ( e x y3 ) (e x )( y 3 ) x ex(y 3) yyexy 2 y3由此得e y y e x 3 y2 y 整理得ye x e y3y 2解法 2：等式两头求微分左d(e y )e y dy右 d(e x y 3 ) d(e x ) d( y3 )e x x3y 2dyd 由此得e yy x x3y2y d e d d整理得dye x2 dxe y 3 y得e xye y23y⑻ y 5 x2y解法 1：等式两头对x求导左右y(5 x 2 y )(5x )(2 y ) x5 x ln 5 (2 y ) y y 5x ln 5 2y ln 2 y由此得y5x ln 5 2 y ln 2 y整理得5x ln 5y1 2 y ln 2解法 2：等式两头求微分左 dy右 d(5x 2 y )d(5 x ) d(2y )5 x ln5d x 2 y ln2d y由此得dy 5x ln5dx 2 y ln2d y整理得dy5 x ln52y dx1ln2得y5x ln 5 1 2 y ln 2⒋求以下函数的微分 d y ：⑴ y cot x cosx解： d y d(cot x cos x)d(cot x) d(cos x)1dx sin xdx 1sin x)dxsin 2(x sin 2x⑵ y ln xsin xd( ln x)sin xd(ln x)ln xd(sin x)解： d y sin x sin2xsin xdx ln x cosxdx sin x x ln x cosxxsin2x x sin2dx x⑶ y sin 2 x解： d y d(sin 2 x)2sin xd(sin x)2sin x cos xdxsin 2xdx⑷y tan e x解：d y d(tane x )cos2e x1d(e x )xe⒌求以下函数的二阶导数：⑴ y x解： y111x 22x231 xy24⑵ y3x解： y3x ln 3y 3 x ln 23⑶ y ln x解：y1x1yx 2⑷y x sin x解：由导数四则运算法例y( x sin x)( x) sin x x(sin x)sin x x cosxy(sin x x cos x)(sin x)( x cos x)cos x ( x) cos x x(cos x)2cosx x sin x（四）证明题设 f (x) 是可导的奇函数，试证 f ( x) 是偶函数．证：由于 f ( x) 是可导的奇函数，因此对随意 x 有f ( x) f (x)上式两头对x 求导左右由此得( f ( x)) x( f ( x)) x( x) f ( x) ( f (x)) f ( x)f ( x) f ( x)即f ( x) f ( x)由定义可知 f ( x) 是偶函数．。

高等数学作业题（一）第一章 函数1、填空题（1）函数1142-+-=x x y 的定义域是 2、选择题(1)下列函数是初等函数的是（ ）。

A.3sin -=x y B.1sin -=x y C.⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,01,112x x x x yD. ⎩⎨⎧≥<+=0,0,1x x x x y (2)xy 1sin =在定义域内是（ ）。

A. 单调函数 B. 周期函数 C. 无界函数 D. 有界函数3、求函数2)1ln(++-=x x y 的定义域4、设,1)(2+-=x x x f 计算xf x f ∆-∆+)2()2(5、要做一个容积为250立方米的无盖圆柱体蓄水池，已知池底单位造价为池壁单位造价的两倍，设池底单位造价为a 元，试将总造价表示为底半径的函数。

6、把一个圆形铁片，自中心处剪去中心角为α的一扇形后，围成一个无底圆锥，试将此圆锥体积表达成α的函数。

第二章 极限与连续1、填空题（1）32+=x y 的间断点是 （2）0=x 是函数x x y +=1的第 类间断点。

（3）若极限a x f x =∞→)(lim 存在，则称直线a y =为曲线=y ()x f 的 渐近线。

（4）有界函数与无穷小的乘积是（5）当0→x ，函数x 3sin 与x 是 无穷小。

（6）xx x 1)21(lim 0+→= （7）若一个数列{}n x ，当n 时，无限接近于某一个常数a ，则称a 为数列{}n x 的极限。

（8）若存在实数0>M ，使得对于任何的R x ∈，都有()M x f <，且()0lim 0=→x g x ， 则()()=→x g x f x 0lim （9）设x y 3sin =，则=''y(10) x x x)211(lim -∞→=2、选择题（1）xx x sin lim 0→的值为（ ）。

A.1 B.∞ C.不存在 D.0 （2）当x →0时，与3100x x +等价的无穷小量是( )。

⾼等数学基础形成性作业及答案1-4⾼等数学基础形考作业1：第1章函数第2章极限与连续（⼀）单项选择题⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A.2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C.3ln )(xx f =，x x g ln 3)(= D.1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g ⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D.x y =⒊下列函数中为奇函数是（B ）． A.)1ln(2x y += B. x x y cos =C.2x x a a y -+=D.)1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）． A.1+=x y B. x y -=C.2xy = D.,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（D ）． A.12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x xC. 0sin lim=∞→x x x D. 01sin lim =∞→x x x⒍当0→x 时，变量（C ）是⽆穷⼩量．A. x x sinB. x 1C. xx 1sin D. 2)ln(+x⒎若函数)(x f 在点0x 满⾜（A ），则)(x f 在点0x 连续。

A.)()(lim 00x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义C.)()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=（⼆）填空题⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是()+∞,3．⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f x 2-x ．⒊=+∞→xx x0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=ke ．⒌函数?≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是0=x ．⒍若A x f x x =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为时的⽆穷⼩量0x x →。

XXX《高数基础形考》1-4答案2020年XXX《高等数学答案》2020年XXX《高等数学》基础形考1-4答案，高等数学基础作业一第1章函数，第2章极限与连续。

一）单项选择题1.下列各函数对中，（C）中的两个函数相等。

A。

f(x) = x^2.g(x) = xB。

f(x) = x^2.g(x) = x/(x^2 - 1)C。

f(x) = ln(x)。

g(x) = 3ln(x)D。

f(x) = x+1.g(x) = 3/(x-1)2.设函数f(x)的定义域为(-∞。

+∞)，则函数f(x) + f(-x)的图形关于（C）对称。

A。

坐标原点B。

x轴C。

y轴D。

y=x3.下列函数中为奇函数是（B）。

A。

y=ln(1+x^2)B。

y=xcos(x)C。

y=ax+a^-xD。

y=ln(1+x)/24.下列函数中为基本初等函数是（C）。

A。

y=x+1B。

y=-xC。

y=x^2D。

y=|x|5.下列极限中计算不正确的是（D）。

A。

lim(x^2/(x^2+2x)) = 1B。

lim(ln(1+x)/x^2) = 0C。

lim(sin(x)/x) = 1D。

lim(xsin(1/x)) = 06.当x→0时，变量（C）是无穷小量。

A。

1/sin(x)B。

x/xC。

xsin(x)D。

ln(x+2)7.若函数f(x)在点x满足（A），则f(x)在点x连续。

A。

lim(x→x)(f(x) = f(x))B。

f(x)在点x的某个邻域内有定义C。

lim(x→x)(f(x) = f(x))D。

lim(x→x)(f(x)) = lim(x→x)(f(x))二）填空题1.函数f(x) = (x^2-9)/(x-3) + ln(1+x)的定义域是{x|x>3}。

2.已知函数f(x+1) = x^2 + x，则f(x) = x^2-x。

3.lim(x→∞)((1+x)/(2x))^x = e^(1/2)。

4.若函数f(x) = {x(1+x)。

高等数学作业（一）函数、极限与连续一、填空题：１、函数f(x)=x-11，则f(2)= ， f （1+x ）= , f [f(x)]= (x ≠0)。

2、函数y=x 2sinx 是 （奇、偶）函数， 曲线y=x 2（1+cos 3x ）的图形关于 对称。

3、设函数f(x)的定义域是[0，1]，则f(e x)的定义域是 .4、已知函数f(x+1)=x 2+x,则f(x)= .5、函数y=(1-x 2)2是由简单函数 和 复合而成的。

6、xx x 53sin lim 0→= ，xx x )sin(lim 0-→= 。

7、函数f(x)=412-x 的间断点是 。

8、设⎩⎨⎧=≠+=003)(x Ax e x f x 若f(x)在x=0处连续，则A= 。

9、xx 2lim +∞→= ， xx ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→21lim = ，xx e +∞→lim = ； 10、若函数y=f(x)在点x 0处连续，则)(lim 0x f x x →= 。

二、单项选择题1、下列函数中，（ ）不是基本初等函数。

A 、y=xB 、 y= 2x C 、y=x - D 、y=x⎪⎭⎫ ⎝⎛21２、下列函数中（ ）是奇函数。

A 、y= x x sinB 、y=21010x x -+C 、y=x 3+cosx D 、xx３、下列不相同的函数对是（ ）。

A 、f(x)=e ax g(t)=e at B 、f(x)=x 2-2x+1 g(x)=(x-1)2C 、f(x)=lnx 2g(x)=2lnx D 、f(x)=2xg(x)=∣x ∣4、下列函数中，（ ）有界函数。

A 、y=exB 、y=lnxC 、y=sin2xD 、y=x15、x →０时 cosx1是（ ） A 、无穷小量 B 、无穷大量 C 、有界变量 D 、无界变量 6、以下结论正确的是（ ）A 、f(x)在点x o 处的极限存在，必连续。

B 、f(x)在点x o 处不连续，则f(x)在点x o 处的极限不存在。

高数三练习题基础练习一、极限与连续1. 计算下列极限：(1) lim(x→0) (sinx/x)(2) lim(x→1) (1/x 1/2x)(3) lim(x→+∞) (e^x / (x^2 + 1))(4) lim(x→0) (x^2 sin^2x) / x^42. 判断下列函数在指定点的连续性：(1) f(x) = |x| x，在x=0处(2) f(x) = (x^2 1) / (x 1)，在x=1处(3) f(x) = sqrt(1 x^2)，在x=1处二、导数与微分1. 求下列函数的导数：(1) y = x^3 3x + 2(2) y = (x^2 + 1)^5(3) y = ln(sin^2x)(4) y = e^(2x) sinx2. 求下列函数的微分：(1) y = sqrt(1 + x^2)(2) y = arcsin(x/2)(3) y = tan^(1)(x^2)三、中值定理与导数的应用1. 验证下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理：(1) f(x) = x^3 3x，区间[0, √3](2) f(x) = e^x x 1，区间[0, 1]2. 求下列函数在给定区间上的最大值和最小值：(1) f(x) = x^3 3x^2 + 4，区间[1, 3](2) f(x) = e^x x，区间[0, 2]四、不定积分与定积分1. 计算下列不定积分：(1) ∫(3x^2 2x + 1)dx(2) ∫(e^x / (x^2 + 1))dx(3) ∫(cosx / sin^2x)dx2. 计算下列定积分：(1) ∫(从0到π) (sinx)dx(2) ∫(从1到e) (1/x)dx(3) ∫(从1到1) (x^3 + x^2)dx五、多元函数微分学1. 求下列函数的一阶偏导数：(1) z = x^2 + y^2(2) z = e^(x+y) sin(xy)(3) z = ln(sqrt(x^2 + y^2))2. 求下列函数的二阶混合偏导数：(1) z = x^3y^2(2) z = arcsin(x + y)六、重积分1. 计算下列二重积分：(1) ∬(从0到1，从0到x) (y + x)dydx(2) ∬(从0到π，从0到π) (sinx siny)dydx(3) ∬(从0到1，从y到1) (x^2 + y^2)dxdy2. 计算下列三重积分：(1) ∭(从0到1，从0到x，从0到z) (x + y + z)dydzdx(2) ∭(从0到π，从0到π，从0到π) (sinx siny sinz)dydzdx七、级数1. 判断下列级数的收敛性：(1) Σ (从n=1到∞) (1/n^2)(2) Σ (从n=1到∞) (n/(n^2 + 1))(3) Σ (从n=1到∞) (1)^(n1) / n2. 求下列幂级数的收敛区间：(1) Σ (从n=0到∞) x^n / n!(2) Σ (从n=1到∞) (x^n / n^2)(3) Σ (从n=1到∞) (1)^(n1) (x^n / n)八、常微分方程1. 求下列微分方程的通解：(1) y' y = e^x(2) (dy/dx) + y/x = 1/x^2(3) (d^2y/dx^2) + 4y = 02. 求下列微分方程的特解：(1) y'' 2y' + y = x^2(2) y'' + y = sinx(3) (dy/dx) + y = e^x cosx九、空间解析几何与向量代数1. 计算下列向量的模：(1) 向量a = (2, 3, 6)(2) 向量b = (4, 0, 8)2. 求下列向量的点积和叉积：(1) 向量a = (1, 2, 3)，向量b = (4, 1, 2)(2) 向量a = (2, 5, 3)，向量b = (1, 4, 2)十、线性代数1. 求下列矩阵的行列式：(1) |1 2 3||4 5 6||7 8 9|(2) |2 3||4 5|2. 求下列线性方程组的解：(1) x + 2y z = 42x y + 3z = 6x + y + 2z = 7(2) 3x + 4y 2z = 72x y + z = 3x + 2y 3z = 1答案一、极限与连续1.(1) 1(2) 1/2(3) +∞(4) 1/32.(1) 连续(2) 不连续(3) 不连续二、导数与微分1.(1) y' = 3x^2 3(2) y' = 10x(x^2 + 1)^4(3) y' = (2cosx)/sinx(4) y' = 2e^(2x)sinx + e^(2x)cosx 2.(1) dy = (x/sqrt(1 + x^2))dx(2) dy = (1/(2sqrt(1 (x/2)^2)))dx(3) dy = (1/(1 + x^2))dx三、中值定理与导数的应用1.(1) 满足(2) 满足2.(1) 最大值8，最小值4(2) 最大值e^2 2，最小值e 1四、不定积分与定积分1.(1) (x^3 x^2 + x) + C(2) e^x atan(x) + C(3) ln|sinx| + C2.(1) 2(2) 1(3) 0五、多元函数微分学1.(1) ∂z/∂x = 2x, ∂z/∂y = 2y(2) ∂z/∂x = e^(x+y)(sin(xy) + cos(xy)), ∂z/∂y = e^(x+y)(sin(xy) cos(xy))(3) ∂z/∂x = x/(x^2 + y^2), ∂z/∂y = y/(x^2 + y^2)2.(1) ∂^2z/∂x∂y = 6xy, ∂^2z/∂y∂x = 6xy(2) ∂^2z/∂x∂y = ∂^2z/∂y∂x = 1/(sqrt(1 (x + y)^2))六、重积分1.(1) 5/6(2) π^22.(1) 11/12(2) (π^3)/8七、级数1.(1) 收敛(2) 发散(3) 收敛2.(1) (∞, +∞)(2) (1, 1](3) (1, 1)八、常微分方程1.(1) y = Ce^x e^x(2) y = Cx 1(3) y = C1 cos(2x) + C2 sin(2x)2.(1) y = (1/6)x^3 (1/4)x^2 + (1/2)x + C(2) y = (1/2)sinx + C(3) y = (1/5)e^x (sinx + 2cosx) + C九、空间解析几何与向量代数1.(2) 4√52.(1) 点积：10，叉积：(5, 7, 1)(2) 点积：0，叉积：(6, 16, 14)十、线性代数1.(1) 0(2) 72.(1) x = 2, y = 1, z = 1(2) x = 1, y = 1, z = 1。

国开高等数学基础形考作业3不定积分摘要：1.不定积分的概念和性质2.常见不定积分公式及应用3.换元积分法和分部积分法4.反常积分及其计算方法5.积分技巧与实际问题求解正文：一、不定积分的概念和性质不定积分是一种数学运算，指的是对一个函数进行积分，但不需要求出具体的积分值。

它是一种广义的积分，可以表示为Integral from a to b f(x) dx，其中a 和b 是两个实数，f(x) 是定义在区间[a, b] 上的函数。

不定积分的结果是一个关于x 的函数，称为原函数，记作F(x)。

二、常见不定积分公式及应用1.基本初等函数的不定积分：- sin(x) 的不定积分是-cos(x) + C- cos(x) 的不定积分是sin(x) + C- exp(x) 的不定积分是exp(x) + C- log(x) 的不定积分是ln(x) + C2.常见公式：- 乘积法则：Integral (f(x)g(x)) dx = f(x) Integral g(x) dx + g(x)Integral f(x) dx- 商法则：Integral (x^2 / (x - a)) dx = (1/3)x^3 - (1/2)ax^2 + C- 反三角函数积分：Integral (1 / (x^2 + a^2)) dx = ln(x + a) + C三、换元积分法和分部积分法1.换元积分法：通过替换变量，将复杂函数转化为简单函数，再进行积分。

例如，令u = g(x)，则Integral f(u) du = Integral g(x) dx。

2.分部积分法：将两个函数的乘积变为另两个函数的乘积，从而简化积分。

例如，Integral u dv = uv - Integral v du。

四、反常积分及其计算方法反常积分是指对一个函数在无穷区间内进行积分，例如Integral from -∞ to ∞ f(x) dx。

反常积分的计算方法有：1.收敛性判断：判断函数在无穷区间内的敛散性，如f(x) = |x| 在(-∞, ∞) 内收敛。

高等数学基础第一次作业第1章 函数第2章 极限与连续（一）单项选择题⒈下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D. x y = ⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．A. )1ln(2x y +=B. x x y cos =C. 2x x a a y -+= D. )1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）． A. 1+=x y B. x y -= C. 2xy = D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y ⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．A. 12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim=∞→x x x D. 01sin lim =∞→x x x ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A. x x sinB. x 1C. xx 1sin D. 2)ln(+x⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。

A. )()(lim 00x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义C. )()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=（二）填空题⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是（3， +∞)．⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f x 2 - x ．⒊=+∞→x x x)211(lim e 1/ 2 ．⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k e ．⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是 x=0 ．⒍若A x f x x =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为 无穷小量 ．（三）计算题 ⒈设函数⎩⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x 求：)1(,)0(,)2(f f f -． 解：f(-2) = - 2，f(0) = 0， f(1) = e⒉求函数x x y 12lglg -=的定义域． 解：由012>-xx 解得x<0或x>1/2，函数定义域为(-∞，0)∪(1/2，+∞) ⒊在半径为R 的半圆内内接一梯形，试将梯形的面积表示成其高的函数． 解：如图梯形面积A=(R+b)h ，其中22h R b -=∴⒋求⒌求⒍求⒎求．⒏求 ⒐求⒑设函数 hh R R A )(22-+=2322sin 233sin 3lim 2sin 3sin lim 00==→→xx x xx x x x 2)1()1sin(1lim )1sin(1lim 121-=-++=+--→-→x x x x x x x 33cos 33sin 3lim 3tan lim 00==→→x xx x x x x xx x x x x x x sin )11()11)(11(lim sin 11lim 222020++-+++=-+→→0sin 11lim sin )11(1)1(lim 20220=++=++-+=→→xx x xx x x x x xx x x x x x x x x x )341(lim )343(lim )31(lim +-+=+-+=+-∞→∞→∞→43443)341(])341[(lim ---+∞→=+-+-+=e x x x x 32)4)(1()4)(2(lim 4586lim 4224=----=+-+-→→x x x x x x x x x x⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤≤->-=1,111,1,)2()(2x x x x x x x f 讨论)(x f 的连续性，并写出其连续区间．解：∴函数在x=1处连续不存在，∴函数在x=-1处不连续高等数学基础第二次作业第3章 导数与微分（一）单项选择题⒈设0)0(=f 且极限x x f x )(lim0→存在，则=→xx f x )(lim0（ B ）． A. )0(f B. )0(f ' C. )(x f ' D. 0⒉设)(x f 在0x 可导，则=--→hx f h x f h 2)()2(lim000（D ）． A. )(20x f '- B. )(0x f ' C. )(20x f ' D. )(0x f '-⒊设xx f e )(=，则=∆-∆+→∆xf x f x )1()1(lim0（A ）．A. eB. e 2C. e 21D. e 41⒋设)99()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f （D ）．A. 99B. 99-C. !99D. !99- ⒌下列结论中正确的是（ C ）．A. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导．B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导．C. 若)(x f 在点0x 可导，则在点0x 有极限．D. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 连续． （二）填空题1)(lim 1)21()(lim 121===-=-+→→x f x f x x )1(1)(lim 1f x f x ==→011)(lim 1)(lim 11=+-=≠-=-+-→-→x f x f x x )(lim 1x f x -→⒈设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f ，则=')0(f 0 ． ⒉设x x x f e 5e )e (2+=，则=xx f d )(ln d (2/x)lnx+5/x ．⒊曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 1/2 ．⒋曲线x x f sin )(=在)1,4π(处的切线方程是 y=1 ．⒌设x x y 2=，则='y 2x 2x(lnx+1) ．⒍设x x y ln =，则=''y 1/x ．（三）计算题⒈求下列函数的导数y '：⑴x x x y e )3(+= y=(x 3/2+3)e x ，y ＇=3/2x 1/2e x +(x 3/2+3)e x=(3/2x 1/2+x 3/2+3)e x⑵x x x y ln cot 2+= y ＇=-csc 2x + 2xlnx +x⑶xx y ln 2= y ＇=(2xlnx-x)/ln 2x⑷32cos x x y x += y ＇=[(-sinx+2x ln2)x 3-3x 2(cosx+2x )]/x6⑸xxx y sin ln 2-==⑹x x x y ln sin 4-= y ＇=4x 3-cosxlnx-sinx/x⑺xx x y 3sin 2+= y ＇=[(cosx+2x)3x -(sinx+x 2)3x ln3]/32x=[cosx+2x-(sinx+x 2)ln3]/3x⑻x x y x ln tan e += y ＇=e x tanx+e x sec 2x+1/x = e x (tanx+sec 2x)+1/x ⒉求下列函数的导数y '： ⑴21e x y -= ⑵3cos ln x y =⑶x x x y = y=x 7/8 y ＇=(7/8)x -1/8⑷3x x y += ⑸x y e cos 2= ⑹2e cos x y =⑺nx x y n cos sin = y ＇=nsin n-1xcosxcosnx - nsin n xsin nx ⑻2sin 5x y = ⑼x y 2sin e =221(2)sin (ln )cos sin x x x x x xx---⑽22e x x x y += ⑾xxx y e e e +=⒊在下列方程中，y y x =()是由方程确定的函数，求'y ： ⑴y x y 2e cos = 方程对x 求导：y ＇cosx-ysinx=2 y ＇e 2yy ＇=ysinx / (cosx-2e 2y )⑵x y y ln cos = 方程对x 求导：y ＇= y ＇(-siny)lnx +(1/x)cosyy ＇=[(1/x)cosy] / (1+sinylnx)⑶yx y x 2sin 2= 方程对x 求导：2siny + y ＇2xcosy=(2xy-x 2 y ＇)/y 2y ＇=2(xy –y 2siny) /(x 2+2xy 2cosy)⑷y x y ln += 方程对x 求导：y ＇=1+ y ＇/y ， y ＇=y /(y-1)⑸2e ln y x y =+ 方程对x 求导：1/x+ y ＇e y =2y y ＇， y ＇=1/x(2y-e y ) ⑹y y x sin e 12=+ 方程对x 求导：2y y ＇=e x siny + y ＇ e x cosyy ＇= e x siny/(2y- e x cosy)⑺3e e y x y -= 方程对x 求导：y ＇e y =e x -3y 2 y ＇， y ＇=e x /e y +3y 2 ⑻y x y 25+= 方程对x 求导：y ＇=5x ln5 + y ＇2y ln2， y ＇=5x ln5 /(1-2y ln2) ⒋求下列函数的微分y d ： ⑴x x y csc cot +=⑵xxy sin ln =⑶x xy +-=11arcsin⑷311xxy +-=⑸x y e sin 2=⑹3e tan x y =⒌求下列函数的二阶导数： ⑴x x y ln = ⑵x x y sin = ⑶x y arctan = ⑷23x y = （四）证明题设)(x f 是可导的奇函数，试证)(x f '是偶函数．证明：由 f(x)= - f(-x) 求导f ＇(x)= - f ＇(-x)(-x)＇ f ＇(x)= f ＇(-x)， ∴f ＇(x)是偶函数高等数学基础第三次作业第4章 导数的应用（一）单项选择题⒈若函数)(x f 满足条件（D ），则存在),(b a ∈ξ，使得ab a f b f f --=)()()(ξ．A. 在),(b a 内连续B. 在),(b a 内可导C. 在),(b a 内连续且可导D. 在],[b a 内连续，在),(b a 内可导⒉函数14)(2-+=x x x f 的单调增加区间是（D ）． A. )2,(-∞ B. )1,1(- C. ),2(∞+ D. ),2(∞+- ⒊函数542-+=x x y 在区间)6,6(-内满足（A ）． A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升⒋函数)(x f 满足0)(='x f 的点，一定是)(x f 的（C ）．A. 间断点B. 极值点C. 驻点D. 拐点⒌设)(x f 在),(b a 内有连续的二阶导数，),(0b a x ∈，若)(x f 满足（C ），则)(x f 在0x 取到极小值．A. 0)(,0)(00=''>'x f x fB. 0)(,0)(00=''<'x f x fC. 0)(,0)(00>''='x f x fD. 0)(,0)(00<''='x f x f⒍设)(x f 在),(b a 内有连续的二阶导数，且0)(,0)(<''<'x f x f ，则)(x f 在此区间内是（A ）． A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的⒎设函数a ax ax ax x f ---=23)()(在点1=x 处取得极大值2-，则=a （ ）．A. 1B.31C. 0D. 31-（二）填空题⒈设)(x f 在),(b a 内可导，),(0b a x ∈，且当0x x <时0)(<'x f ，当0x x >时0)(>'x f ，则0x 是)(x f 的 极小值 点．⒉若函数)(x f 在点0x 可导，且0x 是)(x f 的极值点，则=')(0x f 0 ．⒊函数)1ln(2x y +=的单调减少区间是 (-∞，0) ．⒋函数2e )(x xf =的单调增加区间是 (0，+∞) ．⒌若函数)(x f 在],[b a 内恒有0)(<'x f ，则)(x f 在],[b a 上的最大值是 f(a) ． ⒍函数3352)(x x x f -+=的拐点是 x=0 ．⒎若点)0,1(是函数2)(23++=bx ax x f 的拐点，则=a ，=b ．（三）计算题⒈求函数223)5()1(-+=x x y 的单调区间和极值． 解：y ＇=(x-5)2+2(x+1)(x-5)=3(x-1)(x-5)由y ＇=0求得驻点x=1，5.(-∞，1)和 (5，+∞)为单调增区间， (1，5)为单调减区间，极值为Y max =32，Y min =0。