5.1角的概念的推广及其度量

1.角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向（逆时针或顺时针）旋转到另一位置OB形成角α。

其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，端点O叫角α的顶点。

(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。

正角：按逆时针方向旋转形成的角任意角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：射线不做旋转时形成的角(3)象限角：由角的终边所在位置确定。

第一象限角的集合；第二象限角的集合第三象限角的集合；第四象限角的集合(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内，可以表示为可构成集合S={ β| β=α+k×3600, K∈ Z}(5)特殊角的集合：终边在轴上角的集合,轴线角终边在轴上角的集合,终边在坐标轴上角的集合2.弧度制：(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。

(2)角度与弧度的互化：角度、弧度的换算关系：≈0.01745（rad）, ≈57.30°=57°18ˊ；(2)两个公式：设扇形的弧长为,圆心角为,半径为，α为圆心角弧度数,则有:扇形弧长：扇形面积：1．将化为的形式是（ ）．A． B．C． D．2．若，则角的终边所在的象限为（ ）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．扇形的周长是，圆心角是弧度，则扇形面积是（ ）．A． B． C． D．4．若集合，，则集合为（ ）．A． B． C． D．5．若角与终边相同，则一定有（ ）．A． B．C． D．6．在到之间与终边相同的角是___________．7．如果是第三象限角，那么角的终边的位置如何？是哪个象限的角？8．已知扇形的周长为，当它的半径和圆心角各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值．。

５.1 角的概念的推广5.1.1角的概念的推广一般地，平面内一条射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．在图５－１中，射线OA绕端点O按图示方向旋转，到OB位置停止，形成∠AOB．其中，射线OA的端点O称为角的顶点，射线OA、OB分别是旋转的初始位置和终止位置，称为角的始边和角的终边．钟表图图５－１图５－２观察手表的表针绕表盘中心旋转，表针从一个位置旋转另一个位置时，所形成的图形就是角．在图５－１中，射线OA按逆时针方向旋转；在图５－２中，表针按顺时针方向旋转．因此，在研究角时，需要考虑射线的旋转方向，为此，我们给出下面的定义．定义射线绕端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；射线没有作任何旋转时形成的角叫做零角．角可以用小写希腊字母ϕβα,γθ,,……等表示。

,角的概念经过这样推广以后，角就扩大为正角、负角和零角。

⑴⑵图５－３在图５－３⑴中，以射线OA为始边、射线OB为终边的角α就是一个正角；在图５－３⑵中，以射线OA为始边、射线OB为终边的角β就是一个负角。

由此可知，一个角的形成应包括两部分：角的大小和方向。

过去，我们讨论的角都是 0～360范围内的角，但是在实际生活中常会遇到其它的角。

例如，用扳手旋松螺母时是按逆时针方向旋转，旋松１周是720360角，旋松２周是角，……，而旋紧螺母时是按顺时针方向旋转，就形成了负角。

如图５－４所示，图５－４⑴表示正角 390=α，图５－４⑵、⑶分别表示负角 120-=β， 750-=γ 。

OAα=390BB⑴ ⑵ ⑶图５－４今后，我们经常在平面直角坐标系内研究角。

为此，通常使角的顶点与坐标系原点重合，角的始边与x 轴正半轴重合。

于是，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角。

例如，在图５－５⑴中的 30， 390， 330-角，都是第一象限角；在图５－５⑵中的 300， 60-角，都是第四象限角； 495角是第二象限角。

角的概念的推广概念角是数学中非常重要的概念，它是指由一个初始点出发，以一定的角度旋转后所形成的图形。

它可以帮助我们理解和描述事物之间的关系以及解决各种实际问题。

然而，角的概念可以进一步推广到更复杂的形式，从而应用于更广泛的领域。

首先，角可以分为几何角和平面角。

几何角是指由两条射线构成的图形，其中初始射线称为边，旋转的射线称为腿。

平面角则是指在一个平面上的角。

几何角和平面角可以相互转换，并且可以按照大小进行比较。

角的概念可以推广到三维空间中。

在三维空间中，角可以由两个非共线的向量构成，并且可以通过点乘和向量的模运算来计算角度。

三维空间中的角可以用来描述物体之间的关系，例如两个平面的夹角或者两个直线的夹角。

角的概念也可以推广到曲线上。

在曲线上，可以定义曲率角，它是指曲线在某一点上的切线与某一特定方向的夹角。

曲率角可以用来描述曲线的弯曲程度，例如在数学和物理学中常用来描述曲线运动的轨迹。

此外，角的概念还可以应用于三角函数中。

三角函数是以角作为自变量的函数，它们描述了角和直角三角形之间的关系。

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们在数学和物理学中有广泛的应用，例如在解决三角形的边长和角度问题中。

在物理学中，角的概念也有广泛的应用。

例如，角动量是物体旋转运动的重要物理量，在刚体力学和量子力学中都有非常关键的作用。

角速度也是用来描述物体旋转运动的重要概念，它是物体单位时间内旋转的角度。

在计算机图形学和计算机游戏中，角的概念也有重要的应用。

例如，计算机游戏中的角色会随着玩家操作而改变角度，而计算机图形学中的三维模型也是由许多角所构成的。

因此，理解和运用角的概念对于计算机图形学和游戏开发非常关键。

总之，角是数学中的重要概念，它可以被推广到几何角、平面角、三维空间角、曲线上的角、三角函数中的角，甚至在物理学和计算机科学中有广泛的应用。

理解和掌握角的概念，可以帮助我们更好地理解和解决各种实际问题。

【课题】5．1 角的概念推广【教学目标】知识目标：⑴了解角的概念推广的实际背景意义；⑵理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念．能力目标：（1）会判断角所在的象限；（2）会求指定范围内与已知角终边相同的角；（3）培养观察能力和计算技能．情感目标：（1）经历推广角的概念及随之带来的新知识的认知过程，树立科学探究精神；（2）参与数学建模过程，感受生活中的数学模型，体会数学知识的应用.【教学重点】终边相同角的概念．【教学难点】终边相同角的表示和确定．【教学设计】（1）以丰富的生活实例为引例,引入学习新概念——角的推广；（2）在演示——观察——思维探究活动中，使学生认识、理解终边相同的角；（3）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；（4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法．【教学备品】教学课件、学习演示用具（两个硬纸条一个扣钉）．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过程行为行为意图间问题1游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，小明与小华两人同时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，小明下了摩天轮，小华继续乘坐一圈．那么，小华走下来时，旋臂转过的角度是多少呢？问题2用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向由OA旋转到OB位置时，就形成一个角；在扳手由OA逆时针旋转一周的过程中，就形成了0°到360°之间的角；扳手继续旋转下去，就形成大于的角．如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按顺时针方向旋转，形成与上述方向的角．归纳通过上面的三个实例，发现仅用锐角或0°:360°范围的角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的概念进行推广．质疑提问说明总结思考求解讨论交流理解引起学生的好奇心和求知欲生活实例有助于学生理解角的推广的意义10*动脑思考探索新知概念一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置OB就形成角α．旋转开始位置的射线OA叫角α的始边，终止位置的射线OB叫做角α的终边，端点O叫做角α的顶点．规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角（如图（1）），按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角（如图（2））．当射线没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做零角．（1）（2）类型说明仔细分析讲解关键点引导思考理解记忆结合图形讲解角的图形可以加入学生的举例明确角的过程行为行为意图间经过这样的推广以后，角包含任意大小的正角、负角和零角．表示除了使用角的顶点与边的字母表示角，将角记为“∠AOB”或“∠O”外，本章中经常用小写希腊字母α、β、γ、L来表示角．概念数学中经常在平面直角坐标系中研究角．将角的顶点与坐标原点重合，角的始边在x轴的正半轴，此时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角（或者说这个角在第几象限）．如图所示，30°、390°、−330°都是第一象限的角，120°是第二象限的角，−120°是第三象限的角，−60°、300°都是第四象限的角．终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°、90°、180°、270°、360°、−90°、−270°角等都是界限角．强调引导展示强调明确领会观察理解类型完成角的推广象限角可以引导学生一步步自然得出强调特殊情况30*运用知识强化练习教材练习5.1.12．在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象限的角：⑴ 60°；⑵−210°；⑶225°；⑷−300°．提问巡视指导思考动手求解交流反馈学习状态巩固知识40*动手操作实验观察用图钉联结两根硬纸条，将其中一根固定在OA的位置，将另一根先转动到OB的位置，然后再按照顺时针方向或逆时针方向转动，观察木条重复转到OB的位置时所形成角的特征．演示操作动手操作由具体的。

角的概念的推广角是几何学中的重要概念，它在日常生活中的应用广泛且重要。

角的概念使我们能够更好地理解和描述物体之间的关系，从而更好地解决实际问题。

本文将探讨角的概念以及它在不同领域的推广应用。

一、角的定义和性质角是由两条射线共同起源的部分平面，常用三个字母表示。

根据角的大小，可以将角分为锐角、直角和钝角。

锐角指小于90度的角，直角指等于90度的角，钝角指大于90度但小于180度的角。

角的大小可以通过角度来测量，角度是角所对应的弧长在单位圆上的长度比值。

除了大小外，角还具有其他一些重要性质。

首先，两个角互为补角当且仅当它们的和为90度。

其次，两个角互为余角当且仅当它们的和为180度。

此外，角的顶点、起始射线和终止射线确定一个平面。

这些性质为我们研究角的性质和应用提供了基础。

二、角的推广应用1. 几何学中的角在几何学中，角是研究平面和空间图形间相对位置关系的重要工具。

角的推广应用在多边形的研究中尤为重要。

例如，我们可以通过计算多边形的内角和来判断它们的类型，进而帮助解决诸如平行四边形的判定、多边形的内切圆问题等。

2. 物理学中的角角的概念在物理学中也有着广泛的应用。

例如，角度被广泛用于描述力的作用方向和大小。

在机械学中，角度还用于描述转动运动和力矩的计算。

此外，角速度和角加速度也是物理学中经常使用的概念，通过这些概念可以描述物体的旋转状态以及旋转的快慢程度。

3. 工程学中的角在工程学中，角的概念被广泛应用于测量和布局。

例如，利用角度可以确定建筑物的方向，帮助制定建筑物的布局方案。

此外，在电气工程中，角度也用于描述交流电的相位差，从而确定电路中电压和电流的相对位置。

4. 地理学中的角在地理学中，角被广泛应用于测量和描述地球表面上的地理位置和方向。

例如，利用经纬度可以确定地理位置的坐标，并且通过计算角度可以确定两个地点之间的方位角和航向角。

这些信息对于导航和地图制作非常关键。

5. 计算机图形学中的角在计算机图形学中，角的概念被广泛用于描述和渲染三维图形。

授课日期11.18——11.19 授课班级13101——13104 授课课时 2 授课形式新授授课章节名称5.1角的概念的推广使用教具教学目的1．理解正角、负角、终边相同的角、第几象限的角等概念，掌握角的加减运算．2．通过观察实例，使学生认识角的概念推广的可能性和必要性，树立运动变化的观点，并由此深刻理解任意角的概念．3．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．教学重点理解任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、第几象限的角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法．教学难点任意角和终边相同的角的概念．更新、补充、删节内容课外作业P130习题4,5教学后记本节采用教师引导下的讨论法，结合多媒体课件，带领学生发现旧概念的不足之处，进而探索新的概念．讲课过程中，紧扣“旋转”两个字，让学生在动手画图的过程中深刻理解任意角的概念板书设计角的概念的推广1任意角的概念 2 角的加减3终边相同的角环节教学内容师生互动设计意图复习导入1．复习初中学习过的角的定义．2．提出新问题：运动员掷链球时，旋转方向可以是逆时针也可以是顺时针，旋转量也不止一个平角，那如何来度量角的大小呢？师：初中学过的角的定义是什么？生：在平面内，角可以看作一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．师：如图：∠AOB=∠BOA=120 ，初中时的角不考虑旋转方向，只考虑旋转的绝对量而且角的范围在0~360°．复习旧知，使学生发现旧知识的局限性，激发学习新知识的兴趣．新课1．任意角的概念．（1）射线的旋转方向：逆时针方向——正角；顺时针方向——负角；没有旋转——零角．画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向和旋转的绝对量．旋转生成的角，又常称为转角．例如，∠AOB＝120°，∠BOA＝－120°．（2）射线的旋转量：当射线绕端点旋转时，旋转量可以超过一个周角，形成任意大小的角.角的度数表示旋转量的大小．例如450°，－630°．2．角的加减运算．90°－30°教师画图说明正角，负角，零角，以及角的始边、终边.教师小结：由旋转方向的不同定义正负角，由旋转量的不同得到任意范围内的角．1．教师画图，学生说角的度数．2．学生练习：画出下列各角：（1）0，360°，720°，1 080°，－360°，－720°；（2）90°，450°，－270°，－630°．学生通过自己练习画图，深刻体会“旋转”两个字的含义，加深对任意角的概念的理解．AOB120°AOB－120°新课＝90°＋（－30°）＝60°．各角和的旋转量等于各角旋转量的和．3．终边相同的角．所有与α终边相同的角构成的集合可记为S＝{x |x ＝α＋k·360°，k∈Z}．例1（1）写出与下列各角终边相同的角的集合．(1) 45°；(2) 135°；(3) 240°；(4) 330°．解略．4．第几象限的角．在直角坐标系中讨论角时，通常使角的顶点和坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合.这样角的大小和方向可确定终边在坐标系中的位置.这样放置的角，我们说它在坐标系中处于标准位置．处于标准位置的角的终边落在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．例1（2）指出下列各角分别是第几象限的角．(1) 45°；(2) 135°；(3) 240°；(4) 330°．例2写出终边在y轴上的角的集合．学生练习：求和并作图表示：30°＋45°，60°－180°．师：观察我们刚画过的角，（1）0，360°，720°，1080°，－360°，－720°；（2）90°，450°，－270°，－630°．思考：始边、终边相同的两个角的度数有什么关系？学生讨论后回答：终边相同的两个角的度数相差360°的整数倍．师：与30°始边、终边都相同的角有哪些？有多少个？它们能不能统一用一个集合来表示？得出结论．例1（1）由学生口答，教师给出规范的书写格式．例1（2）学生口答．讲解例2时，教师结合教材学生自己动手画图求和，加深对旋转变化的理解．将例1分解为两个小题，边讲边练，小步子，低台阶，学生容易消化吸收．例2难度较大，BAo60°90°C30°新课解终边在y轴正半轴上的一个角为90°，终边在y轴负半轴上的一个角为－90°，因此，终边在y轴正半轴和负半轴上的角的集合分别是S1＝{α|α＝90°＋k·360°，k∈Z}S2＝{α |α ＝－90°＋k·360°，k∈Z}所以终边在y轴上的角的集合为S1∪S2＝{α|α＝90°＋k ·360°，k∈Z}∪{α|α＝－90°＋k·360°，k∈Z}＝{α |α＝90°＋k ·180°，k∈Z}．模仿练习：写出终边在x轴上的角的集合．例3在0～360°之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别判定各是第几象限的角？（1）－120°；（2）640°；（3）－950°．例4写出第一象限的角的集合．解在0～360°之间，第一象限的角的取值范围是0°＜α＜90°，所以第一象限角的集合是{α|k ·360°＜α＜90°＋k ·360°，k∈Z}．图示的平面直角坐标系，带领学生分析题意．师：角的终边落在y轴上包含哪两种情况？生：终边落在y轴正半轴上或者落在y轴负半轴上．师：90°的角终边落在y轴的正半轴上吗？与它终边相同的角的集合是什么？－90°的角终边落在y轴的负半轴上吗？与它终边相同的角的集合是什么？这两个集合的并集怎么求？例3引导学生画图解决，或者用计算器解答．教师结合平面直角坐标系讲解例4．学生分组练习：（1）写出第二象限角的集合；（2）写出第三象限角的集合；（3）写出第四象限角的集合．可增加判断题：使学生准确区分0～90°的角，锐角，小于90°的角，第一象限角．教师应详细讲解两个集合如何求并集．本模仿练习意在渗透B组练习的解题思路．小结1．任意角的概念．2．角的加减运算．3．终边相同的角的集合．4．象限角的概念．教师带领学生回顾本节课的知识脉络图．本节课概念众多，通过梳理脉络，帮助学生巩固知识．作业教材P127，练习A组第3、4题；练习B组第1、3题．巩固拓展．。