人教版初一数学(上)一对一提优讲义-第讲.有理数与数轴(含标准答案)

1.2有理数知识要点：1.有理数的两种分类：0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数负整数负有理数负分数；0⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数负整数有理数正分数分数负分数.2.在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度.3.一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数－a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度.4.只有符号不同的两个数叫相反数．5.一般地，设a 是一个正数，数轴上与原点的距离是a 的点有两个，它们分别在原点左右，表示－a 和a ，这两个点关于原点对称.6.一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记住∣a ∣. 由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是零．即：a>0a 0a 0a a 0⎧⎪=⎨⎪-<⎩a =.7.有理数的大小比较：（1）正数大于0，0大于负数，正数都大于负数．（2）两个负数比较，绝对值大的反而小. 温馨提示：1.有理数按不同的方法分类时要做到不重不漏；2.数轴上原点左边的数是负数，原点右边的数是正数；3.绝对值为正数的数有两个，它们是一对相反数;4.相反数是成对出现的，不能单独存在.单独的一个数不能说是相反数.5.“只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是除了符号不同之外其他完全相同．不能理解为只要符号不同的两个数就是互为相反数，如－2和＋3的符号不同，但它们不是互为相反数．6.原点左边的有理数，距离原点越远，数越小；原点右边的有理数，距离原点越远，数越大. 方法技巧：1.若a ，b 互为相反数，则a +b =0；2.多重符号的结果由“－”的个数决定，与“＋”无关.当负数的个数为奇数个时，最后结果的符号为“－”；当负数的个数为偶数个时，最后结果的符号为“+”，“＋”号一般省略不写．3.若∣a ∣=a ，则a≥0；若∣a ∣=－a ，则a≤0.4.比较两个数的大小常用的方法：（1）利用数轴比较：数轴上右边的数总大于左边的数；（2）利用性质比较：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；（3）两个负数比较：两个负数比较，绝对值大的反而小.专题一 有理数的分类1、下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？哪些是非负数？哪些是正分数？ ＋7，－23，59，0，722，－3.14，0.009，－888． 正数（ ）；负数（ ）； 非负数（ ）；正分数（ ）.2、已知有A 、B 、C 三个数集，每个数集中所含的数都写在各自的大括号内，请把这些数填入图中相应的部分． A.{－5，2.7，－9.7，2.1} B.{2.1，－8.1，10，7}C.{－8.1，2.1，－5，9.2，－17}3、写出5个有理数（不重复），同时满足三个条件：①其中三个数不是正数；②其中三个数不是负数；③不都是整数.专题二 利用数轴上的点的位置确定数的大小 4、如图，在数轴上点A 表示的数可能是（ ）A. 1.5B.－1.5C.－2.6 D. 2.65、小红在做作业时，不小心将墨水洒在一条数轴上，如图所示，根据图中标出的数值，判断墨迹盖住的整数共有 个.6、如果数轴上点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离为5，那么A 、B 两点之间的距离为 .专题三 利用数轴解决生活中的实际问题7、金砖五国成员国巴西的首都巴西利亚、新西兰的首都惠灵顿与北京的时差如下表：若现在的北京时间是11月16日8：00，那么，现在的惠灵顿时间11月_________日___________时，巴西利亚时间是11月_________日___________时。

模块一 正负数的概念正数：像3．1．0.33+等的数.叫做正数.在小学学过的数.除0外都是正数.正数都大于0.负数：像1-． 3.12-．175-．2008-等在正数前加上“－”（读作负）号的数.叫做负数..负数都小于0. 0既不是正数.也不是负数.一个数字前面的“＋”.“－”号叫做它的符号.正数前面的“＋”可以省略.注意3与3+表示是同一个正数.用正．负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义.那么负数表示它的相反的意义.反之亦然. 譬如：用正数表示向南.那么向北3km 可以用负数表示为3km -.“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量.【经典例题1】杭州北高峰高于海平面536米记作+536米.那么吐鲁番艾丁湖湖底低于海平面150米记作（ ）A ．150B ．-150C ．150米D ．-150米 【题目难度】★【解题思路】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中.先规定其中一个为正.则另一个就用负表示．【解题过程】“正”和“负”相对.所以高于海平面536米记作+536米.那么吐鲁番艾丁湖湖底低于海平面150米记作-150米．故选D．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.确定一对具有相反意义的量．【经典例题2】飞机上升了-80米.实际上是（）A．上升80米B．下降-80米C．先上升80米.再下降80米D．下降80米【题目难度】★【解题思路】解题的关键是理解“正”和“负”的相对性.确定一对具有相反意义的量．负号表示与上升意义相反.即下降．【解题过程】负号表示与上升意义相反.即下降.则飞机上升了-80米.实际上是下降80米．故选D．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中.先规定其中一个为正.则另一个就用负表示．【经典例题3】下列语句：①不带“-”号的数都是正数；②带“-”号的数一定是负数；③不存在既不是正数也不是负数的数；④0℃表示没有温度．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【题目难度】★【解题思路】首先审清题意.明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【解题过程】①0不带“-”号.但是它不是正数．②-0带负号.但是它不是负数．③0既不是正数也不是负数．④0℃表示有温度.温度为0度.温度可以为负数（零下）也可以为正数（零上）．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.明确正数和负数的定义.并且注意0这个特殊的数字.既不是正数也不是负数．【经典例题4】生活中常有用正负数表示范围的情形.例如某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃.由此可知在___18℃～22℃范围内保存该药品才合适．【题目难度】★【解题思路】这是一道给出中心值根据误差判断药品的保存温度范围的问题．【解题过程】根据题意某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃表示20℃以上记作“正”.低于20℃记作负.由此可知在18℃～22℃范围内保存该药品才合适．故答案为18℃～22℃范围内保存该药品才合适．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.确定一对具有相反意义的量．【经典例题5】台风“桑美”给我县的电力造成严重的影响.一突击队乘汽车抢修供电线路.南记为正.则北记为负．某天自A地出发.所走路程（单位：千米）为：+8.-6.-2.+4.-5.+2问：①最后他们是否回到出发点？若没有.则在A地的什么位置？答：他们____（填：有或没有）回到出发点.在A地的正______南方向.距A地____千米．②若每千米耗油1.5升.则今天共耗油_______40.5升.【题目难度】★★【解题思路】首先审清题意.明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【解题过程】①根据题意可得：南记为正.北记为负.则距A的距离为（+8）+（-6）+（-2）+（+4）+（-5）+（+2）=+1．最后他们没有回到出发点.在A地的正南方向.距A地1千米．②从A地出发.汽车共走了|+8|+|-6|+|-2|+|+4|+|-5|+|+2|=27km；故从A地出发到收工时耗油量为27×1.5=40.5（升）．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中.先规定其中一个为正.则另一个就用负表示．模块二有理数的分类有理数:整数与分数统称有理数.()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数.【经典例题6】下列各数中：+3．-2.1．．9．．-（-8）．0．-|+3|.负有理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【题目难度】★【解题思路】把各式化简得：3.-2.1.- .9.1.4.8.0.-3．【解题过程】-2.1为负数有限小数.- 为负数无限循环小数.- 是负整数.所以是负有理数．共3个．【重点考点】判断一个数是有理数还是无理数.要把它化简成最后形式再判断．概念：无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数整数和分数统称为有理数【经典例题7】下列四种说法：①0是整数；②0是自然数；③0是偶数；④0是非负数．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【题目难度】★【解题思路】根据0的特殊规定和性质对各选项作出判断后选取答案.注意：2002年国际数学协会规定.零为偶数；我国2004年也规定零为偶数．【解题过程】①0是整数.故本选项正确；②0是自然数.故本选项正确；③能被2整除的数是偶数.0可以.故本选项正确；④非负数包括正数和0.故本选项正确．所以①②③④都正确.共4个．故选A．【重点考点】本题主要对0的特殊性的考查.熟练掌握是解题的关键．【经典例题8】下列说法正确的是（）A．非负有理数就是正有理数B．零表示没有.是有理数C．正整数和负整数统称为整数D．整数和分数统称为有理数【题目难度】★【解题思路】根据有理数的分类.采用排除法判断． 【解题过程】0是非负有理数.但不是正有理数.A 错误；零不是没有.它是整数.也是有理数.B 错误； 0也是整数.C 错误；整数和分数统称为有理数.这是定义.D 正确． 故选D ．【重点考点】本题主要考查有理数学习中概念的理解.必须熟练掌握．【经典例题9】既是正数.又是分数的数是（ ）A ．+2B ．0C ．3.5D ．312- 【题目难度】★【解题思路】按照有理数的分类进行选择即可．【解题过程】A ．+2虽然是正数.但不是分数.不合题意.故A 错误；B ．0既不是正数.也不是分数.故B 错误；C ．符合题意.故C 正确；D ．312-虽然是分数.但不是正数.故D 错误． 故选C ．【重点考点】认真掌握正数．负数．整数．分数的定义与特点．注意整数和正数的区别.注意0是整数.但不是正数．【经典例题10】最小的正整数是 _____1.最大的负整数是 _______. 【题目难度】★【解题思路】根据有理数的相关知识进行解答． 【解题过程】最小的正整数是1.最大的负整数是-1．【重点考点】认真掌握正数．负数．整数的定义与特点．需注意的是：0是整数.但0既不是正数也不是负数．【巩固练习】请写出三个既是负数.又是分数的有理数：__________【题目难度】★【解题思路】：按照有理数的分类填写【解题过程】- ．-0.5．．-0.25．等都符合题意．【重点考点】本题主要考查了有理数的分类．在解答时.认真掌握正数．负数．整数．分数．正有理数．负有理数．非负数的定义与特点．【巩固练习】有理数中.是整数而不是正数的数是_______0和负整数.是负数而不是分数的是________. 【题目难度】★【解题思路】①按照有理数的分类填写②有理数分成正数．0．负数．正数又分成正整数和正分数.负数分成负整数和负分数．【解题过程】零既不是正数也不是负数．故在有理数中.是整数而不是正数的数是0和负整数；是负数而不是分数的是负整数．故答案为：0和负整数；负整数．【重点考点】本题主要考查的是有理数的定义．本题容易在0的分类上出错.注意：零既不是正数也不是负数．模块三数轴数轴：规定了原点．正方向和单位长度的直线.注意：⑴原点．正方向．单位长度称为数轴的三要素.三者缺一不可.⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念.前者指所取度量单位的长度.后者指所取度量单位的名称.即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段.这条线段可长可短.按实际情况来规定.同一数轴上的单位长度一旦确定.则不能再改变.⑶数轴的画法及常见错误分析①画一条水平的直线；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：③确定向右的方向为正方向.用箭头表示；④选取适当的长度作单位长度.用细短线画出.并对应标注各数.同时要注意同一数轴的单位长度要一致.数轴画法的常见错误举例：有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上.右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0.负数都小于0.正数大于一切负数.注意：数轴上的点不都代表有理数.如 .利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的数总大于左边的数.因此.正数总大于零.负数总小于零.正数大于负数.【经典例题11】数轴上有一个点从原点开始向左移动3个长度单位.再向右移动5个长度单位后.它所表示的有理数是（）A．3 B．5 C．-3 D．2【题目难度】★【解题思路】根据数轴上的点表示的数从原点开始左减右加的原则进行计算．【解题过程】数轴上的点表示的数从原点开始左减右加的原则可知.此点所表示的数为：0-3+5=2．故选D．【重点考点】本题考查的是数轴上点的坐标特点.解答此题的关键是熟知数轴上的点表示的数从原点开始左减右加的原则．【经典例题12】与在数轴上表示数2的点距离等于3个单位的点所表示的数是（）A．-1 B．5 C．3或-3 D．-1或5【经典例题13】有理数a．b在数轴上的位置如图所示.则下列各式正确的是（）aA．a＞b B．a＞-b C．a＜b D．-a＜b【题目难度】★★【解题思路】数轴上右边表示的数总大于左边表示的数．原点左边的数为负数.原点右边的数为正数．从图中可以看出0＜b＜1.a＜-1.|b|＜|a|．【解题过程】根据数轴上a.b两点的位置可知.a＜-1＜0＜b＜1.|a|＞|b|.∴a＜b.-a＞b.-b＞a；故选C．【重点考点】本题主要考查了利用数轴来比较有理数大小的题目．此类题目比较简单.可根据数轴上各点的坐标特点利用取特殊值的方法进行比较.以简化计算．【经典例题14】在数轴上.-2与-5之间的有理数有（）个．A．无数个B．4个C．3个D．2个【题目难度】★★【解题思路】数轴上的点和实数是一一对应的.两个数之间有无数个点.则对应的有理数或无理数有无数个．【解题过程】在数轴上任意两个有理数之间都有无数个的有理数．故选A．【重点考点】本题主要考查了数轴与实数之间的关系：数轴上任意两个有理数之间都有无数个的有理数．【经典例题15】老师在黑板上画数轴.取了原点O后.用一个铁丝做的圆环作为工具.以圆环的直径在数轴上画出单位长1.再将圆环拉直成一线段.在数轴的正方向上以此线段长自原点O起截得A点.则A点表示的数是__________.【重点考点】考查了数轴的几何意义．【经典例题16】已知在纸面上有一数轴（如图）.折叠纸面．（1）若折叠后.数1表示的点与数-1表示的点重合.则此时数-2表示的点与数_____表示的点重合；（2）若折叠后.数3表示的点与数-1表示的点重合.则此时数5表示的点与数_____表示的点重合；若这样折叠后.数轴上有A．B两点也重合.且A．B两点之间的距离为9（A在B的左侧）.则A点表示的数为______.B点表示的数为______【题目难度】★★★【解题思路】（1）数1表示的点与数-1表示的点重合.则这两点关于原点对称.求出-2关于原点的对称点即可；（2）若折叠后.数3表示的点与数-1表示的点重合.则这两点一定关于1对称.即两个数的平均数是1.若这样折叠后.数轴上有A．B两点也重合.且A．B两点之间的距离为9（A在B的左侧）.则这两点到1的距离是4.5.即可求解．【解题过程】（1）2．（2）-3；A表示-3.5.B表示5.5．【重点考点】本题借助数轴理解比较直观.形象．由于引进了数轴.我们把数和点对应起来.也就是把“数”和“形”结合起来.二者互相补充.相辅相成.把很多复杂的问题转化为简单的问题.在学习中要注意培养数形结合的数学思想．模块四 相反数相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地.0的相反数是0. 相反数的性质：⑴代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.特别地.0的相反数是0． 相反数必须成对出现.不能单独存在．例如5+和5-互为相反数.或者说5+是5-的相反数.5-是5+ 的相反数. 而单独的一个数不能说是相反数．另外.定义中的“只有”指除符号以外.两个数完全相同.注意应与“只要符号不同”区分开． 例如3+与3-互为相反数.而3+与2-虽然符号不同.但它们不是相反数．⑵几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧.并且到原点的距离相等．这两点是关于原点对称的．⑶求任意一个数的相反数.只要在这个数的前面添上“—”号即可． 一般地.数a 的相反数是a -；这里以a 表示任意一个数.可以为正数．0．负数.也可以是任意一个代数式．注意a -不一定是负数．当0a >时.0a -<；当0a =时.0a -=；当0a <时.0a ->. ⑷互为相反数的两个数的和为零.即若a 与b 互为相反数.则0a b +=.反之.若0a b +=.则a 与b 互为相反数．⑸多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号.都可以全部去掉； 一个正数前面有偶数个“－”号.也可以把“－”号全部去掉；一个正数前面有奇数个“－”号.则化简后只保留一个“－”号.既“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“－”号的个数的奇偶数.“负正”是指化简的最后结果的符号）.【经典例题17】12-的相反数是（ ）A ．2B ．12 C ．-2 D ．12- 【题目难度】★【解题思路】根据相反数的定义.只有符号不同的两个数是互为相反数.- 的相反数为 ． 【解题过程】与- 符号相反的数是 .所以- 的相反数是 ； 故选B ．【重点考点】本题主要相反数的意义.只有符号不同的两个数互为相反数.a 的相反数是-a ．【经典例题18】如果a表示有理数.那么下列说法中正确的是（）A．+a和-（-a）互为相反数B．+a和-a一定不相等C．-a一定是负数D．-（+a）和+（-a）一定相等【题目难度】★★【解题思路】根据相反数的定义去判断各选项．【解题过程】A．+a和-（-a）互为相反数；错误.二者相等；B．+a和-a一定不相等；错误.当a=0时二者相等；C．-a一定是负数；错误.当a=0时不符合；D．-（+a）和+（-a）一定相等；正确．故选D．【重点考点】本题考查了相反数的定义及性质.在判定时需注意0的界限．【经典例题19】若a.b互为相反数.则下列各对数中不是互为相反数的是（）A．-2a和-2b B．a+1和b+1 C．a+1和b-1 D．2a和2b【题目难度】★★★【解题思路】若a.b互为相反数.则a+b=0.根据这个性质.四个选项中.两个数的和只要不是0的.一定不是互为相反数．【解题过程】∵a.b互为相反数.∴a+b=0．A中.-2a+（-2b）=-2（a+b）=0.它们互为相反数；B中.a+1+b+1=2≠0.即a+1和b+1不是互为相反数；C中.a+1+b-1=a+b=0.它们互为相反数；D中.2a+2b=2（a+b）=0.它们互为相反数．故选B．【重点考点】本题考查了互为相反数的意义和性质：只有符号不同的两个数互为相反数.0的相反数是0；一对相反数的和是0．【经典例题20】相反数不大于它本身的数是（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数【题目难度】★★【解题思路】设这数是a.得到a的不等式.求解即可；也可采用特殊值法进行筛选．【解题过程】设这个数为a.根据题意.有-a≤a.所以a≥0．故选D．【重点考点】理解相反数的定义．实数a的相反数为-a；同时要理解不大于．不小于．非负数．非正数的含义．【巩固练习】的相反数是它本身．【题目难度】１星【解题思路】只有符号不同的两个数.绝对值相等叫做互为相反数．【解题过程】∵在数轴上.绝对值相等的两个互为相反数的实数是0.故答案是：0．【重点考点】本题主要考查了相反数的定义．①在数轴上.互为相反数（0除外）的两个点位于原点的两旁.并且关于原点对称；②正数的相反数是负数.负数的相反数是正数；③0的相反数是0．【经典例题21】已知代数式3x+1与代数式5-2x的值互为相反数.则x=_________【题目难度】★★★【解题思路】根据相数的定义列出关于x的方程.3x+1+5-2x=0.解方程即可．【解题过程】根据题意.有3x+1+5-2x=0.解之得x=-6．故答案为-6．【重点考点】熟练掌握相反数的概念和一元一次方程的解法．若两个数互为相反数.则它们的和为零.反之也成立．模块五 绝对值绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算.运算符号是“”.求一个数的绝对值.就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性.取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值.如：5-符号是负号.绝对值是5. 求字母a 的绝对值：①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ ②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【重点考点】本题主要考查的是正数和负数.及绝对值．去括号的法则是：①括号前面有“+“号.把括号和它前面的“+”号去掉.括号里各项的符号不改变；③括号前面是“-“号.把括号和它前面的“-”号去掉.括号里各项的符号都要改变为相反的符号．【经典例题23】下列说法.不正确的是（）A．数轴上的数.右边的数总比左边的数大B．绝对值最小的有理数是0C．在数轴上.右边的数的绝对值比左边的数的绝对值大D．离原点越远的点.表示的数的绝对值越大【题目难度】★★【解题思路】：根据实数与数轴的对应关系以及实数的意义即可判定选项A．C．D是否正确.0的上绝对值是0．【解题过程】：A：一般来说.当数轴方向朝右时.右边的数比左边的数大.故此选项正确；B：绝对值最小的有理数是0.故此选项正确；C：-3在-2的左边.-3的绝对值大于-2的绝对值.故此选项错误；D：离原点越远的点.表示的数的绝对值越大.故此窜项正确．故选C．【重点考点】本题主要考查了数轴和有理数之间的关系.0的绝对值是0．【经典例题24】如图.下列各数中.数轴上点A表示的可能是（）A．2的平方B．-3.4的绝对值C．-4.2的相反数D．的倒数【题目难度】★★★【解题思路】先根据数轴上A点的位置确定A的取值范围.再根据每个选项中的数值进行判断即可．【解题过程】由数轴上A 点所表示的位置可知.3＜A ＜4.A ．22=4.故本选项错误；B ．|-3.4|=3.4.3＜3.4＜4.故本选项正确；C ．4.2的相反数是4.2＞4.故本选项错误；D ．的倒数是=2.4.2.4＜3.故本选项错误．故选B ．【重点考点】本题考查的是数轴的特点及相反数．倒数的定义.能根据数轴的特点确定出A 的取值范围是解答此题的关键．板块六．科学计数法．有效数字科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<.n 是整数）.此种记法叫做科学记数法．例如：5200000210=⨯就是科学记数法表示数的形式． 710200000 1.0210=⨯也是科学记数法表示数的形式．有效数字： 从一个数的左边第一个非0数字起.到末位数字止.所有数字都是这个数的有效数字． 如：0.00027有两个有效数字：2.7 ；1.2027有5个有效数字：1.2.0.2.7． 注意：万410=.亿810=常考点及易错点：科学计数法中的单位转换.精确到什么位与保留有效数字的差别．记忆方法：移动几位小数点问题．比如：1800000要科学记数法.实际就是小数点向左移动到1和8之间.移动了6位.故记为61.810⨯．【经典例题25】我国第六欢人口普查的结果表明.目前肇庆市的人口约为4050000人.这个数用科学记教法表示为（ ）A ．410405⨯ B ．51005.4⨯C ．61005.4⨯D ．71005.4⨯【题目难度】★【解题思路】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式.其中1≤|a|＜10.n 为整数．确定n 的值时.要看把原数变成a 时.小数点移动了多少位.n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时.n 是正数；当原数的绝对值＜1时.n 是负数．【解题过程】61005.44050000⨯= 故选：C ．【重点考点】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式.其中1≤|a|＜10.n 为整数.表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．【经典例题26】某种鲸的体重约为1.36×105kg ．关于这个近似数.下列说法正确的是（ ）A ．精确到百分位.有3个有效数字B ．精确到个位.有6个有效数字C ．精确到千位.有6个有效数字D ．精确到千位.有3个有效数字 【题目难度】★★【解题思路】有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起.后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a 有关.与10的多少次方无关．【解题过程】1.36×105kg 最后一位的6表示6千.共有1．3．6三个有效数字．故选D ．【重点考点】此题考查了科学记数法表示的数的有效数字的确定方法.要注意10的n 次方限定的乘号前面的最后一位数表示的数位．【经典例题27】用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值.其中错误的是（ ）A ．0.1（精确到0.1）B ．0.05（精确到百分位）C ．0.05（精确到千分位）D ．0.050（精确到0.001）【题目难度】★★【解题思路】根据近似数与有效数字的概念对四个选项进行逐一分析即可．【解题过程】A ．0.05049精确到0.1应保留一个有效数字.故是0.1.故本选项正确；B ．0.05049精确到百分位应保留一个有效数字.故是0.05.故本选项正确；C ．0.05049精确到千分位应是0.050.故本选项错误；D ．0.05049精确到0.001应是0．050.故本选项正确． 故选C ．【重点考点】本题考查的是近似数与有效数字.即从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止.所有的数字都是这个数的有效数字．【经典例题28】据国家统计局2011年4月28日发布的《2011年第六次全国人口普查主要数据公报（第一号）》.总人口为1370536875人.这一数字用科学记数法表示为（ ）（保留四个有效数字）A ．91037.1⨯ B ．81037.1⨯ C ．910371.1⨯ D ．810371.1⨯ 【题目难度】★★【解题思路】科学记数法的表示形式为na 10⨯的形式.其中1≤|a|＜10.n 为整数．确定n 的值是易错点.由于1370536875有10位.所以可以确定n=10-1=9．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起.后面所有的数字都是有效数字． 用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a 有关.与10的多少次方无关．【解题过程】1370536875=9910371.110370536875.1⨯≈⨯故选：C ．【重点考点】此题主要考查了科学记数法的表示方法.以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．练习1. 在下列选项中.具有相反意义的量是（ ）A ．胜二局与负三局B ．盈利3万元与支出3万元课堂检测C．气温升高3℃与气温为-3℃D．向东行20米和向南行20米【题目难度】★【解题思路】首先审清题意.明确“正”和“负”所表示的意义.再分析选项.选择正确答案．【解题过程】A．胜二局与负三局.符合相反意义的量.故选项正确；B．盈利与亏损才符合相反意义的量.而盈利与支出不是相反意义.应为盈利3万元与亏损3万元.故选项错误；C．升高与下降才符合相反意义的量.而升高3℃与气温本身为-3℃不是相反意义的量.应为气温升高3℃与气温下降-3℃.故选项错误；D．东行和西行才符合相反意义的量.而东行和南行则不是相反意义量.应为向东行20米和向西行20米.故选项错误．故选A．【重点考点】解题关键是理解“正”和“负”的相对性.明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中.先规定其中一个为正.则另一个就用负表示．练习2. 在有理数中.不存在这样的一个数a.它（）A．既是自然数又是整数B．既是分数又是负数C．既是非正的数又是非负的数D．既是正数又是负数【题目难度】★★【解题思路】本题需要根据有理数的分类．自然数．整数．分数．负数．正数的特点及定义对各个选项逐个分析.找出正确选项即可．【解题过程】因为自然数是整数.所以A错因为负分数即是分数由是负数.所以B错因为0既是非正的数又是非负的数.所以C错故选D．。

第02讲有理数与数轴1.了解具有相反意义的量，正负数的概念；2.理解有理数的概念，能正确将数进行分类；3.理解数轴的概念，并能正确画出数轴,，在数轴上表示数；4.通过数轴与有理数是相互对应的，初步培养学生数学结合思想。

知识点1正数和负数1.概念正数：大于0的数叫做正数。

负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。

注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。

（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。

）2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。

知识点2：有理数1.概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。

分数：正分数、负分数统称分数。

（有限小数与无限循环小数都是有理数。

）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。

2.分类：两种⑴按正、负性质分类：⑵按整数、分数分类：正有理数正整数正整数有理数正分数整数0零有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数知识点3：数轴1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

三要素：原点、正方向、单位长度2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。

比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。

3.应用求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。

（注意不带“+”“—”号）考点1：正数与负数例1．（2023•黔东南州一模）在﹣3，﹣2，0，5四个数中，负数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【解答】解：在﹣3，﹣2，0，5四个数中，负数有﹣3，﹣2，共2个，故选：C．【变式1-1】（2023•安徽模拟）数1，，0，﹣2，﹣3中正数有（）个．A．2B．3C．4D．5【答案】A【解答】解：在：1，，0，﹣2，﹣3中，正数有：1，，共2个．故选：A．【变式1-2】（2023•柯桥区校级模拟）下列各数中，属于负数的是（）A．8B．5.6C．D．【答案】C【解答】解：8，5.6，是正数，不符合题意；是负数，符合题意．故选：C．【变式1-3】（2022秋•安陆市期末）写出一个﹣1与0之间的负数．【答案】（答案不唯一）．【解答】解：﹣1与0之间的负数可以是，故答案为：（答案不唯一）．考点二：相反意义量的表示例2.（2023•遵义三模）某水库4月份的最高水位超过标准水位3cm，记为+3cm，最低水位低于标准水位3cm，记为（）A．+3cm B．﹣3cm C．6cm D．0cm【答案】B【解答】解：超过标准水位3cm，记为+3cm，最低水位低于标准水位3cm记为﹣3cm．故选：B．【变式2-1】（2023•神木市一模）手机移动支付给生活带来便捷，若张阿姨微信收入5元表示为+5元，则张阿姨微信出支3元应表示为（）A．﹣3元B．+3元C．﹣8元D．+2元【答案】A【解答】解：若张阿姨微信收入5元表示为+5元，则张阿姨微信出支3元应表示为﹣3元．故选：A．【变式2-2】（2023•呈贡区校级三模）2022年8月28日，微博话题#河南由夏入冬只用了一周#登上热搜，并短时间内热搜榜排名上升10名．若“热搜榜排名上升10名”记作“+10”，则“热搜榜排名下降5名”记作（）A．+5B．﹣5C．+10D．﹣10【答案】B【解答】解：若“热搜榜排名上升10名”记作“+10”，则“热搜榜排名下降5名”可记作“﹣5”，故选：B．例3.（2023•兴庆区校级一模）某种速冻水饺适宜的储藏温度是﹣18±2℃，以下四个冷藏柜的温度中，不适合储藏这种水饺的是（）A．﹣15℃B．﹣17℃C．﹣18℃D．﹣20℃【答案】A【解答】解：∵﹣18﹣2＝﹣20，﹣18+2＝﹣16，∴速冻水饺的储藏温度是在﹣20℃与﹣16℃之间，包括﹣20℃与﹣16℃，∴四个选项中A选项不符合要求．故选：A．【变式3-1】（2023•衡水二模）某品牌米线的包装袋上写着“300克±4%”，则下列不可能是米线的重量的是（）A．285克B．295克C．304克D．310克【答案】A【解答】解：∵300克±4%，即300×（1+4%）＝312，300×（1﹣4%）＝288∴米线的重量为288～312克，故选：A．【变式3-2】（2023•子洲县校级一模）中考所用排球的重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵|+0.9|＝0.9，|﹣1.1|＝1.1，|+1|＝1，|﹣0.5|＝0.5，0.5＜0.9＜1＜1.1，∴最接近标准的是选项D中的排球．故选：D．【变式3-3】（2022秋•德州期末）某中学进行立定跳远测试，男生成绩合格标准定为1.85米，体育老师记录了甲、乙、丙、丁四位男生成绩如下表：（超出标准的部分记为“+”，不足标准的部分记为“﹣”），你认为立定跳远成绩最好的是（）学生甲乙丙丁成绩/米+0.25+0.45﹣0.10﹣0.25A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】B【解答】解：∵﹣0.25＜﹣0.10＜+0.25＜+0.45，∴四位男同学成绩最好的是乙；故选：B．考点三：相反意义的应用例4.（2023春•南岗区期中）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：星期一二三四五六日增减+5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9（1）根据记录可知前四天共生产辆；（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产辆；（3）该厂实行计件工资制，每周生产一辆自行车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【答案】（1）412；（2）26；（3）42675．【解答】解：（1）100×4+（5﹣2﹣4+13）＝412（辆）；（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产16+10＝26；故答案为：412，26；（3）根据图表信息，本周生产的车辆共计：100×7+（5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9）＝709．709×60+（5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9）×15＝42675（元）．答：该厂工人这一周的工资总额是42675元．【变式4-1】（2023春•松江区期中）某校六年级（1）班学生在劳动课上采摘成熟的白萝卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，相等的千克数记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）﹣2.5 1.5﹣30﹣0.51﹣2﹣2﹣1.52回答下面问题：（1）这10筐白萝卜，最接近25千克的这筐白萝卜实际质量为千克．（2）以每筐25千克为标准，这10筐白萝卜总计超过或不足多少千克？（3）若白萝卜每千克售价2元，则售出这10筐白萝卜可得多少元？【答案】（1）24.5；（2）总计不足7千克；（3）486元．【解答】解：（1）25﹣0.5＝24.5（千克）．故答案为：24.5；（2）﹣2.5+1.5﹣3+0﹣0.5+1﹣2﹣2﹣1.5+2＝﹣7（千克）．答：总计不足7千克；（3）由总价＝单价×总量得：（25×10﹣7）×2＝486（元）．答：售出这10筐白萝卜可得486元．【变式4-2】（2022秋•和平区期末）近日市场上一种“果冻橙”比较畅销．现有8箱这种橙子，以每箱10千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如图，回答下列问题：（1）求这8箱“果冻橙”的总质量是多少千克？（2）若这种橙子每千克售价12元，则出售这8箱“果冻橙”可卖多少元？【答案】（1）74.5千克；（2）894元．【解答】解：（1）总质量为8×10+（1.5﹣3+2﹣0.5+1﹣2﹣2﹣2.5）＝74.5（千克）；（2）出售这8箱“果冻橙”可卖74.5×12＝894（元）．【变式4-3】（2023春•莱芜区月考）学校为了备战校园足球联赛，一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录为：+7，﹣6，+8，﹣10，+13，﹣8，﹣4（单位：米）．（1）守门员最后是否回到了球门线的位置？（2）在练习过程中，守门员离开球门线最远的距离是多少米？（3）守门员全部练习结束后一共跑了多少米？【答案】（1）0；（2）12米；（3）56【解答】解：（1）（+7）+（﹣6）+8+（﹣10）+13+（﹣8）+（﹣4）＝0，答：守门员回到了球门线的位置；（2）守门员每次离开球门的距离为：7，1，9，1，12，4，0，答：守门员离开球门的位置最远是12米；（3）7+6+8+10+13+8+4＝56（米），答：守门员一共跑了56米．考点四：有理数的概念辨析例5.（2022秋•朝阳区期末）下面的说法中，正确的是（）A．正有理数和负有理数统称有理数B．整数和小数统称有理数C．整数和分数统称有理数D．整数、零和分数统称有理数【答案】C【解答】解：A．正有理数、0和负有理数统称为有理数，故不符合题意；B．无限不循环小数是无理数，故不符合题意；C．整数和分数统称为有理数，故符合题意；D．整数包括零，故不符合题意．故选：C．【变式5-1】（2023春•闵行区期中）有理数分为（）A．正数和负数B．素数和合数C．整数和分数D．偶数和奇数【答案】C【解答】解：有理数分为整数和分数．故选：C．【变式5-2】（2022秋•东港区校级期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④整数和分数统称有理数，其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解答】解：①没有最小的整数，故①错误，不符合题意；②有理数包括正有理数、0、负有理数，故②错误，不符合题意；③非负数就是正数和0，故③正确，符合题意；④整数和分数统称有理数，故④正确，符合题意；故选：C．【变式5-3】下列说法：①整数包括正整数和负整数；②分数包括正分数和负分数；③﹣7既是负数也是整数，但不是自然数；④O既是正整数也是负整数；⑤非负分数就是正分数．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：①整数包括正整数、负整数和0，故原说法错误，不符合题意；②分数包括正分数和负分数，正确，符合题意；③﹣7既是负数也是整数，但不是自然数，正确，符合题意；④0既不是正数也不是负数，故原说法错误，不符合题意；⑤非负分数就是正分数，正确，符合题意．所以正确的个数是3个．故选：C．考点五：有理数的分类例6.（2022秋•新泰市期中）把下列各数填在相应的大括号内：﹣35，0.6，，0，，1，4.01001000…，π．正有理数：{0.6，1，…}；整数：{﹣35，0，1，…}；负分数：{，，…}；非负整数：{0，1，…}．【答案】0.6，1；﹣35，0，1；，；0，1．【解答】解：正有理数：{0.6，1，…}；整数：{﹣35，0，1，…}；负分数：{，，…}；非负整数：{0，1，…}．故答案为：0.6，1；﹣35，0，1；，；0，1．【变式6-1】（2023春•闵行区期中）在﹣15，5，﹣0.23，0，7.6，2，﹣，314%．这八个有理数中非负数有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】B【解答】解：在﹣15，5，﹣0.23，0，7.6，2，﹣，314%．这八个数中，非负数为5，0，7.6，2，314%，有5个．故选：B．【变式6-2】在15，﹣0.23，0，，2，，316%这几个数中，是非负数的有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】B【解答】解：在15，﹣0.23，0，，2，，316%这几个数中，是非负数的有15，0，，2，316%共5个．故选：B【变式6-3】（2022秋•简阳市期中）把下列各数分别填入相应的集合：0，﹣3，2.，﹣0.010010001，﹣8，，15，300%．整数集合{0，﹣3，15，300%…}；分数集合{ 2.6，﹣0.010010001，﹣8，…}；非负整数集合{0，15，300%…}；负数集合{﹣3，﹣0.010010001，﹣8…}．【答案】整数集合{0，﹣3，15，300%…}；分数集合{2.，﹣0.010010001，﹣8，…}；非负整数集合{0，15，300%…}；负数集合{﹣3，﹣0.010010001，﹣8…}．【解答】解：0是整数，﹣3是负整数，2.是分数，﹣0.010010001是负分数，﹣8是负分数，是正分数，15是正整数，∵300%＝3，∴300%是正整数．故答案为：整数集合{0，﹣3，15，300%…}；分数集合{2.，﹣0.010010001，﹣8，…}；非负整数集合{0，15，300%…}；负数集合{﹣3，﹣0.010010001，﹣8…}．考点六：数轴的画法及应用例7.（2022秋•梅里斯区期末）A、B、C、D四位同学画的数轴其中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、数轴上的点应该越向右越大，﹣2与﹣1位置颠倒，故A错误；B、没有原点，故B错误；C、没有正方向，故C错误；D、数轴画法正确，故D正确．故选：D．【变式7-1】（2021秋•凉州区校级期末）判断下列图中所画的数轴正确的个数是（）个．A．0B．1C．2D．3【答案】B【解答】解：数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度，图（1）没有原点，故（1）不正确；图（2）满足数轴的定义，故（2）正确；图（3）所画负半轴上的数字排列顺序不对，故（3）错误；图（4）所画单位长度不一致，故（4）不正确．故选：B．【变式7-2】（2022•苏州模拟）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵数轴要有三要素：单位长度，原点，正方向，并且数轴上表示的数从左到右增大，∴四个选项中只有选项D符合题意，故选：D．例8.（2022秋•自贡期末）a，b为有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示．则下列关系式正确的是（）A．﹣a＜﹣b＜b＜a B．﹣a＜b＜﹣b＜a C．﹣b＜b＜﹣a＜a D．a＜﹣b＜b＜﹣a 【答案】B【解答】解：如图，由数轴可得，﹣a＜b＜﹣b＜a，故选：B．【变式8-1】（2022秋•德州期末）点A，B在数轴上的位置如图所示，若点A，B表示的数分别为a，b，且满足a+b＞0，则下列一定是正数的为（）A．a B．﹣a C．b D．﹣b【答案】C【解答】解：当a＞0或a＝0时，由点A，B在数轴上的位置可知b＞a，则b＞0，当a＜0时，﹣a＞0，由a+b＞0可得：b＞﹣a＞0，∴b＞0总是成立的，故选C．【变式8-2】（2023•大庆一模）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列关系中，正确的（）A．a＜b B．c＞b C．a＞b+c D．b﹣a＜c﹣a 【答案】C【解答】解：由数轴可知：c＜b＜0＜a，∴a＞b，故A错误；∴b＞c，故B错误；∵b+c＜0，a＞0，∴a＞b+c，故C正确；∵b＞c，∴c﹣a＜b﹣a，故D错误；故选：C．考点七：数轴上的点所表示的数例9.（2023春•仓山区校级期中）如图，数轴上点A表示的数可能是（）A．﹣2.01B．﹣2.6C．﹣3.4D．3.3【答案】B【解答】解：点A在﹣2和﹣3之间，且偏﹣3一侧，所以符合题意的数是﹣2.6，故选：B．【变式9-1】（2023•景县校级模拟）如图，被墨迹污染的数可能是（）A．1.5B．0.5C．﹣1.5D．﹣0.5【答案】D【解答】解：根据图示，被墨迹污染的数大于﹣1且小于0，∵1.5＞0，∴选项A不符合题意；∵0.5＞0，∴选项B不符合题意；∵﹣1.5＜﹣1，∴选项C不符合题意；∵﹣1＜﹣0.5＜0，∴选项D符合题意．故选：D．【变式9-2】（2022秋•凤山县期末）点A、B在同一数轴上，其中点A表示的数为﹣4，若AB＝3，则点B表示的数为（）A．﹣7B．﹣7或﹣1C．﹣1D．1或7【答案】B【解答】解：∵﹣4﹣3＝﹣7，﹣4+3＝﹣1，∴点B表示的数是﹣7或﹣1，故选：B．【变式9-3】（2023•晋安区校级模拟）如图，数轴的单位长度是1，若点A表示的数是﹣1，则点B表示的数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解答】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，∴点B表示的数是：﹣1+5＝4，故D正确．故选：D．考点八：数轴中点的规律问题例10.（2022秋•南通期末）如图，A，B两点在数轴上（A在B的右侧），点A表示的数是2，AB＝6，C是线段AB的中点，则点C表示的数是﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：∵AB＝6，C是线段AB的中点，∴AC＝6÷2＝3，∵点A表示的数是2，∴点C表示的数是：2﹣3＝﹣1．故答案为：﹣1．【变式10-1】（2022秋•宁强县期末）如图，数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣3和5，C是线段AB的中点，D是数轴上一点，且CD＝3，则点D表示的数为﹣2或4．【答案】﹣2或4．【解答】解：∵数轴上A、B两点所表示的数分别是﹣3和5，∴AB＝5﹣（﹣3）＝8，∵点C是线段AB的中点，∴AC＝4，∴﹣3+4＝1，∴点C表示的数是﹣1，∵D是数轴上一点，且CD＝3，当点D在点C的左侧时，点D表示的数为﹣2，当点D在点C的右侧时，点D表示的数为4，故答案为：﹣2或4．【变式10-2】（2022秋•磁县期末）如图，数轴上有A、B、C三点，C为AB的中点，点B 表示的数为2，点C表示的数为﹣1，则点A表示的数为﹣4．【答案】﹣4．【解答】解：设点A表示的数为x，∵C为AB的中点，∴BC＝CA，∴﹣1﹣x＝2﹣（﹣1），∴x＝﹣4，∴点A表示的数为：﹣4，故答案为：﹣4．1．（2022•襄阳）若气温上升2℃记作+2℃，则气温下降3℃记作（）A．﹣2℃B．+2℃C．﹣3℃D．+3℃【答案】C【解答】解：∵气温上升2℃记作+2℃，∴气温下降3℃记作﹣3℃．故选：C．2．（2022•益阳）四个实数﹣，1，2，中，比0小的数是（）A．﹣B．1C．2D．【答案】A【解答】解：根据负数都小于零可得，﹣＜0．故选：A．3．（2022•河池）如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“支出20元”记作（）A．+20元B．﹣20元C．+30元D．﹣30元【答案】B【解答】解：∵收入50元，记作“+50元”．且收入跟支出意义互为相反．∴支出20元，记作“﹣20元”．故选：B．4．（2021•南京）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间13：00，同一时刻的莫斯科时间是8：00．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间9：00～17：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（）A．10：00B．12：00C．15：00D．18：00【答案】C【解答】解：由题意得，北京时间应该比莫斯科时间早5小时，当莫斯科时间为9：00，则北京时间为14：00；当北京时间为17：00，则莫斯科时间为12：00；所以这个时刻可以是14：00到17：00之间，所以这个时刻可以是北京时间15：00．故选：C．5．（2021•滨州）在数轴上，点A表示﹣2．若从点A出发，沿数轴的正方向移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是（）A．﹣6B．﹣4C．2D．4【答案】C【解答】解：由题意可得，点B表示的数为﹣2+4＝2，故选：C．6．（2021•广州）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b＝0，若AB＝6，则点A 表示的数为（）A．﹣3B．0C．3D．﹣6【答案】A【解答】解：∵a+b＝0，∴a＝﹣b，即a与b互为相反数．又∵AB＝6，∴b﹣a＝6．∴2b＝6．∴b＝3．∴a＝﹣3，即点A表示的数为﹣3．故选：A．7．（2021•凉山州）下列数轴表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A选项，应该正数在右边，负数在左边，故该选项错误；B选项，负数的大小顺序不对，故该选项错误；C选项，没有原点，故该选项错误；D选项，有原点，正方向，单位长度，故该选项正确；故选：D．8．（2020•乐山）数轴上点A表示的数是﹣3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B，则点B表示的数是（）A．4B．﹣4或10C．4或﹣10D．﹣10【答案】C【解答】解：如果A向右平移得到，点B表示的数是：﹣3+7＝4，如果A向左平移得到，点B表示的数是：﹣3﹣7＝﹣10，故点B表示的数是4或﹣10．故选：C．9．（2020•临沂）如图，数轴上点A对应的数是，将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，则点B对应的数是（）A．﹣B．﹣2C．D．【答案】A【解答】解：点A向左移动2个单位，点B对应的数为：﹣2＝﹣．故选：A．10．（2020•湘潭）在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为3．（任意写出一个即可）【答案】见试题解答内容【解答】解：在数轴上到原点的距离小于4的整数有：﹣3，3，﹣2，2，﹣1，1，0从中任选一个即可故答案为：3（答案不唯一，3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣3任意一个均可）；1．（2023•鄱阳县一模）下列各数中，是正数的是（）A．B．0C．2D．﹣5【答案】C【解答】解：A、﹣是负数，故本选项不符合题意；B、0既不是正数，也不是负数，故本选项不符合题意；C、2是正数，故本选项符合题意；D、﹣5是负数，故本选项不符合题意．故选：C．2．（2023•安宁市一模）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并使用负数进行运算的国家．当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，节日当天妈妈收到微信红包80元记作+80元，则妈妈微信转账支付67元可以表示为（）A．+80元B．﹣80元C．+67元D．﹣67元【答案】D【解答】解：如果微信红包80元记作+80元，那么微信转账支付67元记为﹣67元．故选：D．3．（2022秋•婺城区期末）手机移动支付给生活带来便捷．如图是张老师2022年12月26日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），张老师当天微信收支的最终结果是（）A．收入19.00元B．支出10元C．支出3.00元D．支出22.00元【答案】C【解答】解：+19﹣10﹣12＝﹣3（元），即表示支出3元，故选：C．4．（2023春•南岗区校级月考）下列各数中，负有理数有（）个．﹣1，2.5，，0，﹣π，120，﹣1.732，A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：负有理数有﹣1、﹣1.732、，共3个，故选：C．5．（2022秋•广阳区校级期末）下列各数：，1.010010001，，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.，其中有理数的个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】D【解答】解：﹣，1.010010001，，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.，其中有理数为：﹣，1.010010001，，0，0.，共5个．故选：D．6．（2022秋•宛城区校级期末）下列说法错误的是（）A．0既不是正数，也不是负数B．零上6摄氏度可以写成+6℃，也可以写成6℃C．向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示D．没有最小的有理数【答案】C【解答】A．0既不是正数，也不是负数，正确，故该选项不符合题意；B．零上6摄氏度可以写成+6℃，也可以写成6℃，正确，故该选项不符合题意；C．向东走可以用正数表示，也可以用负数表示，根据相反意义的关系，即可表示另一个方向，故该选项不正确，符合题意；D．没有最小的有理数，正确，故该选项不符合题意．故选：C．7．（2023•九台区校级模拟）如图，数轴上点A和点B分别表示数a和b，则下列式子正确的是（）A．a＞0B．ab＜0C．a﹣b＞0D．a+b＞0【答案】B【解答】解：A、由图得，a＜0，故A不正确，不符合题意；B、∵a、b异号，∴ab＜0，故B正确，符合题意；C、∵a＜b，∴a﹣b＜0，故B不正确，不符合题意；D、∵|a|＞|b|，∴a+b＜0，故B不正确，不符合题意；故选：B．8．（2022秋•公安县期末）在数轴上，若点A，B表示的数分别是﹣3和5，点M是线段AB的中点，则M表示的数为（）A．1B．2C．4D．﹣4【答案】A【解答】解：∵点A，B表示的数分别是﹣3和5，∴AB＝5﹣（﹣3）＝8，∵点M是线段AB的中点，∴，∴点M表示的数为：5﹣4＝1；故选：A．9．（2022秋•增城区期末）若数轴上线段AB＝2，点A表示的数是﹣1，则点B表示的数是（）A．1B．2C．﹣3D．﹣3或1【答案】D【解答】解：∵AB＝2，∴点B到点A的距离是2．∵A表示﹣1，∴B表示为﹣1﹣2＝﹣3或﹣1+2＝1．故选：D．10．（2022秋•大荔县期末）如图，将刻度尺放在数轴上，刻度尺上“4cm”和“5cm”分别对应数轴上的1和0，那么刻度尺上“2.4cm”对应数轴上的数为（）A．3.6B．3.4C．2.4D．2.6【答案】D【解答】解：∵5﹣2.4＝2.6，∴刻度尺上“2.4cm”对应数轴上的数到原点的距离是2.6，∴刻度尺上“2.4cm”对应数轴上的数是2.6．故选：D．11．（2022秋•宁陕县校级期中）把下列各数填入相应的大括号里：﹣3，3.14，﹣0.1，80，﹣25%，0，正数集合：{ 3.14，80，}；整数集合：{﹣3，80，0}；负数集合：{﹣3，﹣0.1，﹣25%}；正分数集合：{ 3.14，}．【答案】3.14，80，；﹣3，80，0；﹣3，﹣0.1，﹣25%；3.14，．【解答】解：﹣3，3.14，﹣0.1，80，﹣25%，0，，正数集合：{3.14，80，，}；整数集合：{﹣3，80，0，}；负数集合：{﹣3，﹣0.1，﹣25%，}；正分数集合：{3.14，，}．故答案为：3.14，80，；﹣3，80，0；﹣3，﹣0.1，﹣25%；3.14，．12．（2022秋•川汇区期末）已知A，B是数轴上两点，A点对应的数字是﹣3，B点对应的数字是6，点C是线段AB的中点，则点C对应的数字是．【答案】．【解答】解：设点C对应的数字是x，∵点C是线段AB的中点，∴AC＝CB，∴x﹣（﹣3）＝6﹣x，解得，故答案为：．13．（2023•青秀区校级开学）目前我国常态化疫情防控形势持续稳定向好，但也要清醒地认识到新冠肺炎发生和传播的风险依然存在，科学佩戴口罩是减少公众交叉感染、有效降低传播风险、防止疫情扩散蔓延、确保群众身体健康的有效途径，是最简单、最方便、最经济、最有效的防控措施．某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产5000个．由于各种原因，实际每天生产量相比计划生产量有出入，如表是九月份某一周的生产情况（超过计划产量记为正，少于计划产量记为负，单位：个）星期一二三四五六日增减+100﹣200+300﹣5060+350+200（1）根据记录可知前三天共生产多少个口罩；（2）本周产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个；（3）若该口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩0.2元，本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元？【答案】（1）15200；（2）550个；（3）7160元．【解答】解：（1）（+100﹣200+300）+3×5000＝200+15000＝15200（个），答：前三天共生产15200个口罩；（2）+350﹣（﹣200）＝550（个），答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产550个；（3）5000×7+（100﹣200+300﹣50+100+350+200）＝35000+800＝35800（个），35800×0.2＝7160（元），答：本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是7160元．14．（2022秋•金华期末）《浮生六记》中说：“佛手乃香中君子”，佛手闻起来沁人心脾，泡茶喝止咳润肺，备受人们喜爱．金华种植佛手已有600多年的历史，某果农采摘了5个佛手，每个佛手的质量以0.5kg为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下：（1）这5个佛手中质量最大的佛手为多少千克？它与质量最小的佛手相差多少千克？（2）这五个佛手的总质量为多少千克？【答案】（1）质量最大的佛手为0.65千克，它与质量最小的佛手相差0.4千克；（2）这五个佛手的总质量为2.45千克．【解答】解：（1）∵0.5+0.1＝0.6，0.5+0＝0.5，0.5﹣0.05＝0.45，0.5﹣0.25＝0.25，0.5+0.15＝0.65，∴质量最大的佛手为0.65kg，质量最小的佛手为0.25kg，∴质量最大的佛手比质量最小的佛手重0.65﹣0.25＝0.4（kg），答：质量最大的佛手为0.65kg，它与质量最小的佛手相差0.4kg；（2）0.6+0.5+0.45+0.25+0.65＝2.45（kg），答：这五个佛手的总质量为2.45千克．。

七年级数学上册第一章《有理数》1.4 有理数的乘除法能力培优讲义（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（七年级数学上册第一章《有理数》1.4 有理数的乘除法能力培优讲义（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为七年级数学上册第一章《有理数》1.4 有理数的乘除法能力培优讲义（新版）新人教版的全部内容。

1。

4有理数的乘除法知识要点：1.有理数的乘法法则:（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

（2）任何数与0相乘，都得0.2。

有理数乘法法则的推广：（1)几个不等于0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时,积是负数．（2)几个数相乘，如果其中有因数0，那么积等于0．2.倒数：乘积是1的两个数互为倒数.若a、b互为倒数则ab=1（a≠0,b≠0）.3。

有理数乘法的运算律：乘法交换律：ab＝ba．乘法结合律：(ab）c＝a（bc）．分配律:a（b＋c）＝ab＋ac．4. 有理数的除法法则（一)除以一个不为零的数,等于乘以这个数的倒数．这个法则也可以表示成:a÷b＝a·1b（b≠0）．5.有理数的除法法则（二）（1）两数相除，同号得正、异号得负,并把绝对值相除．(2）0除以一个不等于0的数，都得0．6。

有理数的加减乘除混合运算：（1)乘除混合运算的步骤:①利用倒数将除法转化为乘法;②确定乘积的符号；③然后进行绝对值的乘法计算．（2）有理数的加减乘除混合运算,如无括号，则按照“先乘除，后加减"的顺序进行;如有括号,则先算括号内的．温馨提示：专题一 有理数乘除法运算1、计算()()⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-÷-5151的结果是( ）A 、－1B 、1C 、251-D 、25- 2、若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…，则100!98!的值为( ） A 、5049B 、 99!C 、9900D 、2！3、计算:（1）211(2)573÷-⨯； （2）(－53）÷3×321÷（－43).专题二 运用运算律简化有理数乘除法运算4、计算：（1)（－10）×错误!×（－0.1）×6； （2）3771(1)(1)48127--⨯-；（3）43510.712(15)0.7(15)9494⨯+⨯-+⨯+⨯-； （4）16191517⨯.5、阅读下列材料:计算：50÷（13－14+112）．解法一：原式=50÷13－50÷14+50÷112=50×3－50×4+50×12=550．解法二：原式=50÷(412－312+112）=50÷212=50×6=300．解法三:原式的倒数为（13－14+112）÷50=（13－14+112)×150=13×150－14×150+112×150=1300．故原式=300．上述得出的结果不同，肯定有错误的解法,你认为解法_______是错误的． 观察下面的问题，选择一种合适的方法解决： 计算:(－142）÷（16－314+23－27)．6、阅读第（1）小题的计算方法,再计算第（2）小题．（1）计算：)213(4317)329(655-++-+-解:原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-)21()3()4317()32()9()65()5(=[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-+-++-+-)21(43)32()65()3(17)9()5(=411)411(0-=-+．上面这种解题方法叫做拆项法．（2)计算:5221(2018)(2019)4038(1)6332-+-++-．专题三 有理数混合运算 7、观察下列图形：45-7-3-13-31842012-2521603-2y -2x-549图① 图② 图③ 图④ 图⑤请用你发现的规律直接写出图④中的数y ： ；图⑤中的数x ： ． 8、计算：(1）)433()313()10(871-÷-⨯-÷； （2）（524)436183÷⨯-+；(3）213)127()3265(⨯-÷+-; (4）111713(37)17732221⨯-⨯÷.专题四 中考中的有理数混合运算规律题9、某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1，第1位同学报(11+1）,第2位同学报 （12+1），第3位同学报（13+1）……这样得到的20个数的积为 ．10、若x 是不等于1的有理数，我们把11x -称为x 的差倒数,如2的差倒数是1112=--，－1的差倒数为11112=-（-），现已知，x 1＝13-，x 2是x 1的差倒数,x 3是x 2的差倒数，x 4是x 3的差倒数，……，依次类推，则x 2018＝ 。

新人教版七年级数学上册第一章讲学稿有理数和数轴 课 题有理数和数轴 课 型 预习课 执笔人 审核人级部审核 学习时间 第 周第 导学稿 教师寄语若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。

学习目标 1、理解数轴的概念，掌握数轴三要素。

2、掌握有理数的分类，并会在数轴上表示有理数。

3、渗透数形结合的数学思想。

学生自主活动材料一、自学指导：自学课本第7--9页回答下列问题1、有理数分为哪几类？2、什么叫数轴？数轴三要素？3、如何在数轴上表示有理数？二、自学检测1、先画一条数轴，然后在数轴上表示下列各数：1,3,0,2.4,7.5--2、数轴上表示217-的点在（ ） A 、6-与7-之间 B 、7-与8-之间C 、7与8之间D 、6与7之间3、在数轴上，到原点的距离等于3个单位长度的点所表示的有理数是4、数轴的三要素是（ ）（ ）（ ）5、在已知的数轴上，表示 2.75的点是 [ ]A.E 点B.F 点C.G 点D.H 点6.一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，这时点所对应的数是[ ]A.3B.1 C -2 D.-47、以下四个数，分别是数轴上A.B.C.D 四个点可表示的数，其中数写错的是 [ ]8、下列各语句中，错误的是 [ ]A.数轴上，原点位置的确定是任意的；B.数轴上，正方向可以是从原点向右，也可以是从原点向左；C.数轴上，单位长度1的长度的确定， 可根据需要任意选取；D.数轴上，与原点的距离等于36.8的点有两个。

9、有理数由_________、_________两部分组成，由________、_________、_________三部分组成，由__________、___________、__________、___________和____________五部分组成。

三、探索交流1、如何利用数轴比较有理数的大小？2、有理数与数轴上的点之间存在怎样的关系？3、下列说法正确的是（ ）A 、数轴上的点只能表示有理数B 、一个数只能用数轴上的一个点表示C 、在1和3之间只有2D 、在数轴上离原点2个单位长度的点表示的数是24、数轴上表示整数的点称为整点。

第一讲 有理数与数轴入门测成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差1．如果向右走5步记为+5，那么向左走3步记为A ．+3B ．﹣3C ．31+D ．31-B2．以下4个有理数中，最小的是A ．-1B ．1C ．0D ．-2D 3．31-的相反数是 ． 134．下列说法正确的是①0是绝对值最小的有理数 ②相反数大于本身的数是负数 ③一个有理数不是正数就是负数 ④两个数比较，绝对值大的反而小 A ．①② B ．①③ C ．①②③ D ．①②③④ A5．若数轴上点A 表示的数是-3, 则与点A 相距4个单位长度的点B 表示的数是 ． -7或16．有理数a ，b ，c ，d 在数轴上对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是 AA ．aB ．bC ．cD ．d7．小红的妈妈买了4筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重后的记录分别为25.0+，1-，5.0+，75.0-．小红快速准确地算出了4筐白菜的总质量为 千克．99教学目标1．理解并掌握有理数、数轴、相反数、绝对值的意义2．会比较有理数的大小3．会求有理数的相反数和绝对值4．会利用绝对值的知识解决简单的化简问题知识梳理1．正数和负数大于的数叫做0 正数，等在正数前面加上负号"" 的数小于的数叫做，形如-3-0.50 负数0 既不是正数也不是负数2．有理数、和统称为正整数0 负整数整数、统称为正分数负分数分数和统称为整数分数有理数所以有理数可以分为．和正有理数 0 负有理数 3．数轴数轴：规定了 ． 和 的直线叫做数轴原点 正方向 单位长度所有的有理数都可用数轴上的点来表示4．数轴的画法（1）画一条直线（一般画成水平的直线）（2）在直线上根据需要选取一点为原点（在原点下面标上“0”） （3）确定正方向（一般规定向右为正，并用箭头表示出来）； （4）选取适当的长度为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，… 从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…5．相反数相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数符号就是0的相反数 0求一个数的相反数只要在 加上"-"即可，若求一个代数式的相反数就是用括号把这 个代数式括起来，再在这个 加上"-"．前面括号前性质：若a 与b 互为相反数，则0a b +=，1ab=-（b 0≠）两个数相加为零，则这两个数互为，他们分别位于原点的，且到原点的相反数两侧距离相等6．绝对值绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离在数轴上离开的距离就叫做这个数的原点绝对值一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是绝对值的代数意义：||() () ()aa aaa a=>=-<⎧⎨⎪⎩⎪00典型例题例题1：1．我们把向东运动5米记作“+5米”，则向西运动3米记作________米．-32．中国人很早就开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入了负数．如果收入100元记作＋100元，那么－80元表示A．支出80元B．收入20元C．支出20元D．收入80元A练习1：1．如果零上5℃记作5+℃，那么零下5℃记作CA．-5B．-10C．-5 D．-10练习2：1．在－3，－1，2，0这四个数中，是正数的数是CA．－3 B．－1 C．2 D．0例题2：1．有8筐白菜, 以每筐25千克为标准, 超过的千克数记作正数, 不足的千克数记作负数,称后的记录如下：1．5 -3 2 -0．5 1 -2 -2 -2．5回答下列问题：（1）这8筐白菜中, 最接近25千克的那筐白菜为__________千克; 24.5（2）以每筐25千克为标准, 这8筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？5.5（3）若白菜每千克售价2.6元, 则出售这8筐白菜可卖多少元？505.7练习1：1．某日，司机小张作为志愿者在东西向的公路上免费接送游客。