信号与系统1—信号的函数表示与系统分析方法

y[n – n0] ＝ x[k0(n – n0)] = x[k0n – k0n0)] ≠ x[k0n – n0]，时变。
线性时不变系统 (Linear and Time-Invariance Systems) —— LTI 【注】LTI 系统分析方法，如何判断 LTI 系统，系统的 LTI 简化。 【微分性】
12
1.6 系统基本性质
时不变性 (Time invariance) 系统的响应与输入时刻无关，即系统的参 数不随时间变化。 ) T [ e ( t − t 0 )] = r ( t − t 0 ) 表示为： T [ e ( t )] = r ( t 则 【例】y[n] = x[k0n]，k0 为非零常数，该系统是否时不变？P38 例1.16
2011-4-28
Signal and System
10
1.5 系统与建模
系统的分类 连续系统和离散系统 线性系统和非线性系统 时变系统和非时变系统 集中参数系统和分布参数系统 系统的互联
串联 并联 反馈
建模方法
输入－输出法 状态变量法
2011-4-28
Signal and System
11
1.6 系统基本性质
【例】y (t) = 2 x (t) + 3，参见P41 例1.20 虽然是线性方程，但却是非线性系统。可以分解成并联的线性系统 y1 = 2 x1 和零输入响应：y2 = 3。而其响应的变化对于输入的变化是线性： △y = 2△x。这类系统为增量线性系统
2011-4-28
Signal and System
A 决定 t = 0 时刻信号值
图1.3.1 复指数信号实部和虚部
抽样函数 Sa（t） 抽样函数：
Sa (t ) = sin t t
【注】抽样函数特点 另有 Sinc(t)＝Sa(πt )
图1.3.2 抽样函数 2011-4-28 Signal and System 5
1.3 信号的函数表示
单位脉冲信号 δ(t) ， δ[n] 又称狄拉克（Dirac）函数，δ函数，单位冲击信号 【定义】单位面积，即信号能量 E=1的信号，持续时间 趋于零的极限情况。连续和离散信号的单位脉冲定义：
2011-4-28
Signal and System
4
1.3 信号的函数表示
复指数信号 具有一般意义的连续复指数信号：
Ae (α + jω ) t = Aeα t (cos ω t + j sin ω t )
其中复指数
α + jω
ω为信号振荡角频率 α决定振荡幅度包络曲线： α > 0 振荡发散， α > 0 振荡衰减
2011-4-28 Signal and System 6
1.3 信号的函数表示
单位阶跃信号u(t)， u[n] 【定义】连续信号单位阶跃 u(t) 在 t = 0 处不连续
⎧0, t < 0 u (t ) = ⎨t; 0 u[n] = ⎨ ⎩ 1, n ≥ 0
【性质】连续（离散）单位脉冲延迟积分（求和）可得单位阶跃信号，单位阶 跃信号微分（差分）可得单位脉冲信号
⎧ ∞ δ (t ) d t = 1 ⎪ ∫−∞ ⎨ ⎪δ (t ) = 0 , t ≠ 0 ⎩
δ(t)
E＝1
δ(t－t0)
δ [n ] = ⎨
⎧0, n ≠ 0 ⎩ 1, n = 0
∞
0
t0
t
图1.3.3 单位脉冲函数
【性质】 采样性质
∫
∞ −∞
f (t )δ (t − t 0 ) dt = ∫
∞ −∞
2011-4-28
Signal and System
15
1.7 本章习题
1.6（a）（c） 1.8（b）（d） 1.9（a）（c） 1.10 1.13 1.16 1.18 1.19 1.27（a）（d） 1.28（b）（f）
2011-4-28
Signal and System
16
2011-4-28
Signal and System
3
1.2 信号的基本运算
基本运算 加法、乘法 延时（Time Delay） x(t)=x(t–t0) 反折（Time Reversal） x(t)=x(-t) 尺度变换（Time Scaling） x ( t ) = x (at ), a≠0 信号综合变换次序 已知信号 x ( t )，求x ( at＋b )，途径：先根据 b 对x ( t ) 平移，然后对平移 后的信号进行尺度abs( a ) 的变换（如 abs( a ) < 1，扩展；反之压缩），最后如 a < 0 就再作时间轴的反折。 【例】参见《信号与系统》P9，例1.2
其它域的分解 频域分解（正交分解） 小波分解
2011-4-28
Signal and System
8
1.5 系统与建模
系统 系统是一些元件或子系统的互联。从信号处理角度看，系统是一个 过程，系统对输入信号进行变换，或者说系统对输入信号做出响应输出。
系统的数学模型 针对分析、应用系统的需要，对系统进行合理简化（满足 假设条件）并对系统某些基本特性进行数学抽象，以数学表达式或图的形 式表征系统特性，利用数学方式求出其解答后，对结果作出物理解释，并 赋予物理意义。
u (t ) =
∫
t −∞
δ (τ ) d τ
u[n ] =
∑ δ [n − k ]
k=0
∞
d u (t ) δ (t ) = dt
δ [ n ] = u [ n ] − u [ n − 1]
2011-4-28
Signal and System
7
1.4 信号的分解
时域分解 奇、偶分量分解 直流和交流分量分解 虚、实分量分解 脉冲分量分解
f (t 0 )δ (t − t 0 ) dt = f (t0 ) ∫ δ (t − t0 ) dt = f (t0 )
−∞
x[ n ]δ [ n − n0 ] = x[ n0 ]δ [ n − n0 ]
【注】如果一个足够窄的脉冲加到系统上的话，该系统的响应不会受到脉 冲持续时间或脉冲的形状细节的明显影响，于是，关注脉冲的主要特性 就是它的综合效果，也就是它的面积。对真实系统，足够窄的信号可看 作脉冲。
若：
r (t ) = T [ e (t )] 则
T[
d d d r (t ) e ( t )] = T [ e (t )] = dt dt dt
13
2011-4-28
Signal and System
1.6 系统基本性质
因果性 （Causality）如果一个系统在任何时刻的输出只决定于输入的现在 与过去值，而不取决于输入的将来值，则此系统为因果系统，即不可预测系 统，自然界大部分系统为因果系统。反之，为非因果系统，即可预测系统，如 离线数据处理系统，图像处理，平滑平均系统等。 【例】y[n] = x[-n]，n < 0 时，输出与输入的将来值有关，不是因果系统。 【注】LTI 的因果性判断：t ≤ 0，系统输出也为零（即无论什么输入，都无输 出） ，证明将在卷积部分叙述。 稳定性 (Stability) 若系统输入有界、其输出也有界，则系统稳定：BIBO准 则。 【注】证明系统稳定性时，若稳定的，可用数学方法证明；若不稳定，一般只 需要提出特例即可。
1 信号的函数表示与系统分析方法 信号的分类 信号的基本运算 信号的函数表达 信号的分解 系统的建模与分类 系统的性质 本章习题
• • • • • • •
2011-4-28
Signal and System
1
1.1 信号的分类
连续和离散信号 最基本的两类信号。划分的依据是信号函数的自变量定义 域是连续的还是离散的，在本课程默认自变量为时间t。 【注】数字信号和 数字化 周期信号和非周期信号 【例】连续周期函数 x（t）＝x（t＋T） 离散周期信号 x[n]＝x[n＋N] 【注】周期信号判断，基波周期 偶信号和齐信号 任何信号都能分解为两个信号之和。 确定信号和随机信号 确定信号能用函数表示，在某一自变量下为确定值 。 随机信号不可预见，如干扰、噪声，平稳随机信号可用统计方法研究。
2011-4-28
Signal and System
14
1.6 系统基本性质
无记忆和记忆系统（Memoryless system and systems with memory ）如果对 自变量的每一个值，一个系统的输出仅仅决定于该时刻的输入，这个系统称为 无记忆系统。 【例】y[n] = 3x[n] + 3(x [n]) 2 无记忆系统。 y[n] = 3x[n + 2] 记忆系统 。 【注】无记忆系统一定是因果系统。 可逆系统 一个系统在不同输入下，导致不同输出，就称该系统是可逆的， 即输入、输出唯一对应。可逆系统用于编码（解码），可逆性判断系统可识别 性。 【例】 y[n] = (x[n])2 ， y[n] = 3； 都不可逆。
线性 (Linearity) 即可加性（additivity）和比例性(scaling)同时满足
T ⎡ a1 e1 ( t ) + a 2 e2 ( t ) ⎤ ⎣ ⎦ = T ⎡ a1 e1 ( t ) ⎤ + T ⎡ a 2 e2 (t ) ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = a1T [ e1 ( t ) ] + a 2 T [ e2 ( t ) ]
2011-4-28
Signal and System
9
1.5 系统与建模
系统建模举例1：参见P29 例1.8的RC电路连续系统建模，以及例1.9的汽 车动力学系统建模。
系统建模举例2：比较电学的基本RLC电路系统与力学的基本单自由度 质量、弹簧和阻尼振子系统。 对于同一系统，根据设定的条件和希望解决的问题不同而可能有不同的 数学模型；而同一数学模型也可以是不同物理系统的抽象。 本课程重点介绍在工程应用领域具有重要意义的基本系统的性质和分析 方法。