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第二十二章 二次函数第5讲 二次函数的图象和性质【板块一】二次函数的图象和性质题型一 开口方向、对称轴、顶点坐标及位置【例1】(1)抛物线y ＝2x ²＋1的开口方向是 向上 ，对称轴是 y 轴 ，顶点坐标是 (0，1) ；二次函数y ＝－12(x ＋1)²﹣2的图象的开口方向是 向下 ，对称轴是直线 x ＝﹣1 ，顶点坐标是(﹣1.﹣2). (2)抛物线y ＝2x ²＋1在x 轴的 上 方；当x ＞0时，图象自左向右逐渐 上升 ，它的顶点是最低点；抛物线y ＝－12(x ＋1)²﹣2，当x 为全体实数 时，它的图象在x 轴的 下方 ，顶点是 最高点 。
【解析】当a ＞0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下，y ＝a (x ﹣h )²＋k 的顶点坐标为(h ，k )，对称轴是直线x ＝h ；当a ＞0时，抛物线的顶点为最低点，当a ＜0时，抛物线的顶点为最高点。
题型二 抛物线的开口大小【例2】如图，若抛物线y ＝ax ²与四条直线x ＝1，x ＝2，y ＝1，y ＝2围成的正方形ABCD 有公共点，则a 的取值范围是( )A .14≤a ≤1B ．12≤a ≤2C .12≤a ≤1D .14≤a ≤2 【解析】确定a 的取值范围，就是探究抛物线的开口大小，当抛物线经过点D 时，开口最小；抛物线经过点B 时，开口最大，而这两条抛物线的解析式的a 值分别2，14，∴14≤a ≤2. 故选Ｄ．【例3】如图，在同一平面直角坐标系中，作出①y ＝x ²；②y ＝－12x ²，③y ＝－2x ²的图象，则三个图象I ，Ⅱ，Ⅲ对应的抛物线的解析式依次是 ②③① .【解析】当a ＞0时，开口向上，当a ＜0时，开口向下；当|a |越大，开口越小，当|a |越小，开口越大。
故抛物线I 的解析式为y ＝－12x ²，抛物线Ⅱ的解析式为y ＝﹣2x ²；抛抛物线Ⅲ的解析式为y ＝x ².故填②③① 题型三 抛物线的对称性 【例4】抛物线y ＝ax ²＋bx ＋5经过A (2,5).B (﹣1,2)两点。
九年级下册二次函数知识点二次函数是中学数学中非常重要的一个概念，它在数学理论和实际应用中都具有广泛的重要性。
在九年级下册的学习中，我们将学习与二次函数相关的知识点，包括函数的定义、图像特性以及与实际问题的联系。
本文将详细介绍九年级下册二次函数的知识点。
一、二次函数的定义二次函数是指函数的自变量的最高次数为2的函数，一般的表达式为f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c为实数常数。
其中的a 称为二次函数的二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。
二次函数的定义域是实数集R，值域往往和a有关。
二、二次函数的图像特性1. 开口方向二次函数的开口方向与二次项的系数a有关。
当a>0时，函数的图像开口向上；当a<0时，函数的图像开口向下。
这是因为二次函数的图像实际上是一个抛物线，抛物线的开口方向与二次项系数的正负有关。
2. 对称轴与顶点坐标对称轴是二次函数图像的一条特殊线，对称轴的方程通常为x = -b / (2a)。
对称轴将图像分为两部分，而二次函数的图像在对称轴上具有对称性。
顶点坐标则是二次函数图像的最高点或最低点的坐标，它的x值就是对称轴的x值，y值可由函数表达式计算得出。
3. 零点二次函数的零点即使函数的自变量取值使得函数值为0的点。
计算二次函数的零点需要解二次方程ax^2 + bx + c = 0。
二次方程的解有两个，分别代表着图像与x轴的交点。
三、二次函数与实际问题二次函数在实际问题中的应用非常广泛，例如抛体运动、建模等。
下面以抛体运动为例，说明二次函数在实际问题中的应用。
假设有一个以45度角抛出的物体，那么该物体的运动轨迹可以用一个二次函数来表示。
在这里，自变量x表示时间，函数值f(x)表示物体的高度。
而二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标等特性可以帮助我们分析该物体的抛射轨迹。
通过对二次函数的分析，可以计算物体的最高点、落地点、时间等信息。
除此之外，二次函数还可以用来建立数学模型，以解决实际问题。
人教版九年级数学第22章二次函数 22.1 二次函数讲义合作探究探究点1 二次函数的概念情景激疑我们知道形如b k b kx y ,(+=是常数,k ≠0)的式子是一次函数，那么什么样的函数是二次函数呢?判断二次函数又需要消足哪些条件?知识讲解一般地，形如c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)的函数，叫做二次函数。
其中，x 是自变量,a,b,c 分别是函数解析式的次项系数、一次项系数和常数项，如73,23,32222+-=+=+-=x y x x y x x y 等都是二次函数。
（1）c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)叫做二次函数的-般式任何一个二次函数的解析式都可以化为c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)的形式.(2)在二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)中，a 必須不等于O,因为若a=0的话，此式子则变为c bx y +=的形式，就不是二次函数了.(3)在二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)中,若y=0.则二次函数可以转化为一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 典例剖析例1 下列哪些函数是二次函数?解析 判断一个函数是不是二次函数，先把关系式化简 整理，再分三个步骤来判断:(1)看它的等号两边是否都是整式，如果不都是整式，则必不是二次函数:(2)当它的等号两边都号林式时，再看它是否含有自变量的二次式，如果含有自变量的二安式，那就可能是二次函数，否则就不是:(3)看它的二次项系数是否为0,如果不为0，那就是二次函教.只要按上述三步来分析。
即可作出正确判断.答案 ①③④是二次函数.⑤不一定是二次函数，只有当a ≠0时，才是二次函数②不是整式，故不是二次函数，易错警示二次涵数关系式的等号两边都是整式.答案 (1)设一次购买x 只.才能以最低价购买，则有0.1(x-10)=20-16,解这个方程得x=50.答:一次至少买50只，才能以最低价购买。
轧东卡州北占业市传业学校二次函数y=a 〔x-h 〕2和y=a 〔x-h 〕2+k 的图像和性质知识点一 二次函数y=a 〔x-h 〕2的图像和性质把二次函数2x y =的图像向右平移3个单位长度，得到新的图像的函数表达式是〔 〕32+=x y B. 32-=x y C. 2)3(+=x y D. 2)3(-=x y抛物线2)3(2--=x y 的顶点坐标和对称轴分别是〔 〕3),0,3(-=-x 直线 B. 3),0,3(=x 直线C.3),3,0(-=-x 直线 D. 3),3,0(-=x 直线二次函数2)1(3+=x y 的图像上有三点),2(),,2(),,1(321y C y B y A - ，那么321,,y y y 的大小关系为〔 〕A.321y y y >> B. 312y y y >> C. 213y y y >> D. 123y y y >>把抛物线2)1(6+=x y 的图像平移后得到抛物线26x y =的图像，那么平移的方法可以是〔 〕沿y 轴向上平移1个单位长度 B.沿y 轴向下平移1个单位长度C.沿x 轴向左平移1个单位长度D.沿x 轴向右平移1个单位长度假设二次函数12+-=mx x y 的图像的顶点在x 轴上，那么m 的值是〔 〕 A. 2 B. 2- C.0 D. 2± 对称轴是直线2-=x的抛物线是〔 〕A.22+-=x yB.22+=x y C.2)2(21+=x y D.2)2(3-=x y对于函数2)2(3-=x y ，以下说法正确的选项是〔 〕当0>x时，y 随x 的增大而减小 B. 当0<x 时，y 随x 的增大而增大C. 当2>x时，y 随x 的增大而增大 D. 当2->x 时，y 随x 的增大而减小二次函数132+=x y 和2)1(3-=x y ，以下说法：①它们的图像都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点〔0，0〕；③当>x时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们的开口的大小是一样的.其中正确的说法有〔〕A.1个B.2个C.3个D.4个9.抛物线2)1(3--=xy的开口向，对称轴是，顶点坐标是。
26.2用函数观点看一元二次方程（二）
【学习目标】
1. 能根据图象判断二次函数c b a 、、的符号；
2.能根据图象判断一些特殊方程或不等式是否成立。
【学习过程】 一、知识链接：
根据c bx ax y ++=2的图象和性质填表：（02
=++c bx ax 的实数根记为21x x 、）
（1）抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点⇔ac b 42- 0；
（2）抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有一个交点⇔ac b 42
- 0； （3）抛物线c bx ax y ++=2与x 轴没有交点⇔ac b 42
- 0.
二、自主学习：
1.抛物线2242y x x =-+和抛物线223y x x =-+-与y 轴的交点坐标分别是 和 。
抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点坐标分别是 . 2.
抛物线c bx ax y ++=2
① 开口向上，所以可以判断a 。
② 对称轴是直线x = ，由图象可知对称轴在y 轴的右
侧，则x >0，即 >0，已知a 0，所以可以判定b 0.
③ 因为抛物线与y 轴交于正半轴，所以c 0.
④ 抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴有两个交点，所以ac b 42
- 0；
三、知识梳理：
⑴a 的符号由 决定： ①开口向 ⇔
a 0；②开口向 ⇔ a 0.
⑵b 的符号由 决定： ① 在y 轴的左侧 ⇔b a 、 ； ② 在y 轴的右侧 ⇔b a 、 ； ③ 是y 轴 ⇔b 0. ⑶c 的符号由 决定： ①点（0，c ）在y 轴正半轴 ⇔c 0； ②点（0，c ）在原点 ⇔c 0； ③点（0，c ）在y 轴负半轴 ⇔c 0.
⑷ac b 42
-的符号由 决定：
①抛物线与x 轴有 交点⇔ ac b 42
- 0 ⇔方程有 实数根；
②抛物线与x 轴有 交点⇔ac b 42
- 0 ⇔方程有 实数根；
③抛物线与x 轴有 交点⇔ac b 42
- 0 ⇔方程 实数根；
④特别的，当抛物线与x 轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点. 四、典型例题：
抛物线c bx ax y ++=2如图所示：看图填空： （1）a _____0；（2）b 0；（3）c 0; （4）ac b 42
- 0 ;(5)2a b +______0； （6）0a b c ++⎽⎽⎽⎽；（7）0a b c -+⎽⎽⎽⎽； （8）930a b c ++⎽⎽⎽⎽；（9）420a b c ++⎽⎽⎽⎽ 五、跟踪练习：
1.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式
（1）方程02
=++c bx ax 的根为___________； （2）方程2
3ax bx c ++=-的根为__________； （3）方程24ax bx c ++=-的根为__________；
（4）不等式20ax bx c ++>的解集为________；
（5）不等式2
0ax bx c ++<的解集为_____ ___；
2.根据图象填空：（1）a _____0；（2）b 0；（3）c
0; （4）ac b 42
- 0 ;(5)2a b +______0； （6）0a b c ++⎽⎽⎽⎽；（7）0a b c -+⎽⎽⎽⎽；。
