高中数学第2章推理与证明2_1_1合情推理第2课时类比推理学案苏教版选修1-2

2.1。

1 合情推理1．归纳推理（1）概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类错误!全部对象都具有这些特征的推理,或由错误!个别事实概括出错误!一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳)．(2)特征：归纳推理是由错误!部分到错误!整体、由错误!个别到错误!一般的推理．（3）一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些错误!相同性质；第二步，从已知的错误!相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想)．2．类比推理（1)概念：由两类对象具有某些□，11类似特征和其中一类对象的某些错误!已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：类比推理是由错误!特殊到错误!特殊的推理．(3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的错误!相似性或错误!一致性;第二步,用一类事物的错误!性质去推测另一类事物的错误!性质,得出一个明确的命题(猜想）．3．合情推理（1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过错误!观察、错误!分析、错误!比较、错误!联想，再进行错误!归纳、错误!类比，然后提出错误!猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程错误!→错误!→错误!→错误!归纳推理与类比推理的区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．1．判一判(正确的打“√"，错误的打“×”）（1）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．( )(2）类比推理得到的结论可以作为定理应用. （）(3)归纳推理是由个别到一般的推理．( )答案（1）×（2）×(3）√2．做一做（1)已知数列｛a n}中，a1＝1，a n＋1＝错误!(n∈N＊)，则可归纳猜想｛a n｝的通项公式为__________________．(2)数列5，9,17，33,x，…中的x等于________．(3）等差数列{a n｝中有2a n＝a n－1＋a n＋1（n≥2且n∈N＊）,类比以上结论,在等比数列{b n｝中类似的结论是__________．答案(1）a n＝错误!(n∈N＊) (2)65 （3)b错误!＝b n－1·b n＋1(n≥2且n∈N＊）探究1 数列中的归纳推理例1 已知数列{a n｝的首项a1＝1，且a n＋1＝错误!（n＝1,2,3,…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解］当n＝1时，a1＝1，当n＝2时,a2＝错误!＝错误!，当n＝3时，a3＝错误!＝错误!，当n＝4时，a4＝错误!＝错误!,…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出数列｛a n}的通项公式是a n＝错误!。

省沭中高二年级数学学案02 主备仲飞审校审批班级学号姓名同伴评价老师评价我们的责任：修炼自我，精工学业，同伴互助，追求卓越。

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2.1.1 合情推理发现中的作用.1．推理从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为________．任何推理都包含________和________两个部分，________是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；________是根据________推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．2．归纳推理(1)从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为________．其思维过程大致为________→________→____________.(2)归纳推理的特点①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所________．②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为________的工具．③归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们________．预习交流1做一做：由三角形的内角和是180°，凸四边形的内角和是360°＝2×180°，凸五边形的内角和是540°＝3×180°，归纳出结论：__________________________________________.3．类比推理根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为________，简称________．其思维过程大致为________→________→__________.预习交流2做一做：对于平面几何中的命题：夹在两平行线之间的平行线段相等，在立体几何中，类比上述命题，可得命题为________________．4．合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．________和________都是数学活动中常用的合情推理．预习交流3合情推理具有哪些特点？预习导引1．推理 前提 结论 前提 结论 前提2．(1)归纳推理 实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论 (2)①包容的范围 ②数学证明 ③发现问题和提出问题 预习交流1：提示：凸n 边形的内角和是(n －2)×180°3．类比推理 类比法 观察、比较 联想、类推 猜测新的结论 预习交流2：提示：夹在两平行平面之间的平行线段相等 4．归纳推理 类比推理预习交流3：提示：合情推理有如下特点：(1)在数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论； (2)证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向； (3)一般来说，合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠．一、归纳推理根据下列条件写出数列的前4项，并归纳猜想它们的通项公式：(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝12a n (n ∈N *)．思路分析：本题可利用归纳推理求出数列的通项公式．归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，在得出前几项结果后，要注意统一形式，以便寻找规律，然后归纳猜想出结论．1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 041，…，则72 011的末两位数字为__________． 2．(2012陕西高考)观察下列不等式1＋122＜32， 1＋122＋132＜53， 1＋122＋132＋142＜74， ……照此规律，第五个．．．不等式为____________________． 3．(2012山东省实验中学诊断，文14)若f (n )为n 2＋1的各位数字之和，如142＋1＝197,1＋9＋7＝17，则f (14)＝17，记f 1(n )＝f (n )，f 2(n )＝f (f 1(n ))，f 3(n )＝f (f 2(n ))，…，f k ＋1(n )＝f (f k (n ))，k ∈N *，则f 2 012(8)＝__________.归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况，发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性的命题(猜想)． 二、类比推理在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．思路分析：两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8.已知△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，用S △ABC 表示△ABC 的面积，则S △ABC＝12r (a ＋b ＋c )．类比这一结论有：若三棱锥A －BCD 的内切球半径为R ，则三棱锥体积V A －BCD＝________.(1)类比定义：本类型题解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性．(2)类比性质(定理)：本类型题解决的关键是要理解已知性质(定理)的内涵及应用环境、使用方法，通过研究已知性质(定理)，刻画新性质(定理)的“面貌”．(3)类比方法(公式)：本类型题解决的关键在于从解题方法(或公式)中，获得使用方法(或公式)的启示或推导方法(或公式)的手段，从而指导解决新问题．(4)类比范例：对有些提供范例的推理题，解答时可根据所给的信息与所求问题的相似性，运用类比的方法仿照范例，使问题得到解决．1．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD ＝12(AB ＋AC )，将命题类比到四面体中去得到一个类比命题：_______________________________________________________________________________________________________________________________.2．若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则数列b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n(n ∈N *)也是等差数列．类比上述性质，相应地：若数列{c n }(n ∈N *)是等比数列，且c n ＞0，则数列d n ＝______(n ∈N *)也是等比数列． 3．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝__________，当n ＞4时，f (n )＝__________(用n 表示)．4．(2012山东济宁邹城二中月考，文13)给出下列命题：命题1：点(1,1)是直线y ＝x 与双曲线y ＝1x的一个交点；命题2：点(2,4)是直线y ＝2x 与双曲线y ＝8x的一个交点；命题3：点(3,9)是直线y ＝3x 与双曲线y ＝27x的一个交点；……请观察上面命题，猜想出命题n (n 为正整数)为______________________________．5．对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图表示的“分裂”．记53的“分裂”中的最小数为a ，而52的“分裂”中最大数为b ，则a ＋b ＝__________.6．(2012湖北高考)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99；3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n ＋1(n ∈N *)位回文数有________个．答案：活动与探究1：解：(1)当n ＝1时，a 1＝0.由a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)， 得a 2＝a 1＋1＝1， a 3＝a 2＋3＝4， a 4＝a 3＋5＝9.由a 1＝02，a 2＝12，a 3＝22，a 4＝32，可归纳出a n ＝(n －1)2.(2)当n ＝1时，a 1＝1，由a n ＋1＝12a n (n ∈N *)得a 2＝12a 1＝12，a 3＝12a 2＝14，a 4＝12a 3＝18.由a 1＝120，a 2＝112，a 3＝212，a 4＝312，可归纳猜想112n n a -=(n ∈N *)．迁移与应用：1．43 解析：因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401，75＝16 807，76＝117 649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T ＝4.又2 011＝4×502＋3，所以72 011的末两位数字与73的末两位数字相同，为43.2．1＋122＋132＋142＋152＋162＜116 解析：由前几个不等式可知1＋122＋132＋142＋…＋1n2＜2n －1n.所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.3．5 解析：∵82＋1＝65,6＋5＝11，∴f (8)＝11，f 1(8)＝f (8)＝11.又∵112＋1＝122,1＋2＋2＝5，∴f 2(8)＝f (f 1(8))＝f (11)＝5.又52＋1＝26，2＋6＝8，∴f 3(8)＝f (f 2(8))＝f (5)＝8，…，同理有f 4(8)＝11，f 5(8)＝5，f 6(8)＝8，…，∴f k (8)的值呈周期性出现，周期为3.∴f 2 012(8)＝f 2(8)＝5.活动与探究2：1∶8 迁移与应用： 13R (S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD ) 解析：内切圆半径r ――→类比内切球半径R ， 三角形的周长：a ＋b ＋c ――→类比三棱锥各面的面积和：S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD ，三角形面积公式系数12――→类比三棱锥体积公式系数13.∴类比得三棱锥体积V A －BCD ＝13R (S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD )．(证明时，三角形的结论可用等面积法，三棱锥的结论可用等体积法) 当堂检测1．在四面体A －BCD 中，G 是△BCD 的重心，则AG ＝13(AB ＋AC ＋AD ) 解析：平面中线段的中点类比到空间四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线．2．nc 1c 2c 3…c n 解析：等差数列中，由a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…，得b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn＝(a 1＋a n )n 2n ＝a 1＋a n 2＝a 1＋a 1＋(n －1)d 2＝a 1＋d 2(n －1)，仍为等差数列．而等比数列中，由c 1c n ＝c 2c n －1＝…，得d n ＝n c 1c 2c 3…c n ＝nc 1(c 1q )(c 1q 2)…(c 1qn －1)＝121n c q-=，仍为等比数列．3．5 12(n ＋1)(n －2) 解析：如图可得f (4)＝5.∵f (3)＝2，f (4)＝5＝f (3)＋3，f (5)＝9＝f (4)＋4，f (6)＝14＝f (5)＋5， …∴每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数． ∴f (n )＝f (n －1)＋n －1，累加，得f (n )＝f (3)＋3＋4＋5＋…＋(n －1) ＝2＋3＋4＋…＋(n －1) ＝12(n ＋1)(n －2)． 4．点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x的一个交点 解析：由已知交点依次写为(1,12)，(2,22)，(3,32)，∴命题n 中交点为(n ，n 2)．直线中系数依次为1,2,3，…，∴命题n 中直线的系数为n .双曲线中系数依次为13,23，33，…，∴命题n 中双曲线系数为n 3，∴命题n 为：点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x的一个交点．5．30 解析：∵22的“分裂”中有连续2个从1开始的奇数，32的“分裂”中有连续3个从1开始的奇数，42的“分裂”中有连续4个从1开始的奇数，∴52的“分裂”中有连续5个从1开始的奇数，即，∴b ＝9.又∵23,33,43的“分裂”依次是从3开始的连续奇数，∴53的“分裂”的第一个数为21，即a ＝21.∴a ＋b ＝30.6．(1)90 (2)9×10n 解析：(1)2位回文数均是不为0的自然数，故有9个；而对于3位回文数，首、末均相同且不为0，故有9种，而对于中间一数可含有0，故有10种，因此3位回文数有90种；对于4位回文数，首、末均相同且不为0，故有9种，对于中间两数则可含有0，故有10种，因此也有90种；(2)经归纳可得2n ＋1位回文数有9×10n个．。

2.1.1 合情推理互动课堂疏导引导1.归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模式.归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法.磁率归纳推理有以下几个特点：(1)归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围;(2)归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测的性质;(3)归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的.由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具体到抽象的认识功能,对于科学的发现却是十分有用的.观察、实验,对有限的资料作归纳整理,提出带有规律性的说法,仍是科学研究的最基本的方法之一.2.运用归纳推理的一般步骤：首先,通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律);然后,把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想);最后,对所得出的一般性命题进行检验.在数学上,检验的标准是否能进行严格的证明.3.类比推理(以下简称类比)是在两类不同的事物之间进行对比,找出若干相同或相似点之后,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式.4.类比推理有以下几个特点：(1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究中的事物的属性,它以原有认识作基础,类比出新的结果;(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性;(3)类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却具有发现的功能.5.在运用类比推理时,其一般步骤为：首先,找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性);然后,用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;最后,检验这个猜想.疑难疏引两个系统可作类比的前提是,它们各自的部分之间在其可以清楚定义的一些关系上一致,因此,类比的关键是能把两个系统之间的某种一致性(相似性)确切地表述出来,也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚,这不同于比喻.6.两种推理的区别与联系数学真理知识的发现、发掘和推陈出新,离不开对特殊实例的观察、分析、归纳、抽象概括和运用探索性推理等过程.归纳推理和类比推理常常被认为是发现数学真理的重要方法,前者是从特殊过渡到一般的思想方法,后者是由此及彼及由彼及此的联想方法.两种推理的思维过程可概括为：↓浏览中外数学史，可发现许多有深远意义的极为重要的数学知识都是通过归纳与类比发掘出来的.杰出的数学家欧拉、高斯等人都是运用归纳与类比的大师.归纳和类比离不开观察、分析、对比、联想，因此，在数学教学中加强这方面有趣而生动的训练，有助于培养我们的观察能力、分析能力、联想能力和创新能力.案例做下面的实验假设若干杯甜度相同的糖水，经过下面的操作后，糖水的甜度(浓度)是否改变？(1)①将所有杯中的糖水倒在一起；②将任意多杯糖水倒在一起.(2)将某一杯水中再加入一小匙糖，糖全都溶化.类比这一实验，你能得到数学上怎样的关系式？【探究】(1)上述实验结果表明，将任意多杯甜度相同的糖水倒在一起后，糖水甜度不变，据此类比，若将b a ,dc , …,n m 看作倒前糖水浓度，则倒后甜水的甜度为nd b m c a ++++++ . 即由b a =…=n m ，可得n d b m c a ++++++ =b a =d c =…=nm (b+d+…+n≠0) (2)设某一杯浓度为a b ,加入糖的质量为m(m ＞0).因糖全部溶解后的浓度为ma mb ++，因糖水变甜，故可得到a b m a m b >++(a ＞b,m ＞0) 答案：(1)得到数学上的等比定理，若b a =d c =…=nm ，则 n d b m c a ++++++ =b a =d c =…=nm , (b+d+…+n≠0) (2)得到不等式，若a 、b 均为正数，且a ＞b,m 为正数(m ＞0)则m a m b a b ++<. 规律总结1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.在数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.2.合情推理的过程概括为：活学巧用例1 在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，……由此猜想凸n 边形有几条对角线？解：凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,比凸四边形多3条;凸六边形有9条对角线,比凸五边形多4条;……于是猜想凸n 边形的对角线条数比凸n-1边形多n-2条对角线.由此凸n 边形对角线条数为2+3+4+5+…+(n-2)=n 21(n-3)(n≥4,n↔N *). 例2 意大利数学家斐波那契(L.Fibonacci)在他的1228年版的《算经》一书中记述了有趣的兔子问题：假定每对大兔子每月能生一对小兔子,而每对小兔子过了一个月就可长成大兔子,如果不发生死亡,那么由一对大兔子开始,一年后能有多少对大兔子呢?我们依次给出各个月的大兔子对数,并一直推算下去到无尽的月数,可得数列： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233, ……这就是斐波那契数列,此数列中a 1=a 2=1,你能归纳出当n≥3时a n 的递推关系式吗? 解：从第3项开始,逐项观察、分析每项与其前面几项的关系易得：从第3项起,它的每一项等于它的前面两项之和,即a n =a n-1+a n-2(n≥3,n↔N *).例3 根据所给数列前几项的值：32,154,356,638,9910,…… 猜想数列的通项公式. 解：311232⨯⨯=;5322154⨯⨯=;7532356⨯⨯=;9742638⨯⨯=;119529910⨯⨯=;…… 于是猜想该数列的通项公式：a n =)12)(12(2+-n n n . 点评：根据数列中前几项给出数列的一个通项公式,主要是对数列特征进行认真观察,结合常见数列的通项公式,对已知数列进行分解、组合,从而发现其中的规律.例4 类比实数的加法和向量的加法,列出它们相似的运算性质.解：(1)两实数相加后,结果是一个实数,两向量相加后,结果仍是一个向量.(2)从运算律的角度考虑,它们都满足交换律和结合律,即a+b=b+a, a +b =b +a ,(a+b)+c=a+(b+c), (a +b )+c =a +(b +c ).(3)从逆运算的角度考虑,二者都有逆运算,即减法运算.a+x=0与a +x =0都有唯一解,x=-a 与x =-a .(4)在实数加法中,任意实数与0相加都不改变大小,即a+0=a.在向量加法中,任意向量与零向量相加,既不改变该向量的大小,亦不改变该向量的方向,即a +0=a .例5 类比圆的下列特征,找出球的相关特征.(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆;(2)平面内不共线的3个点确定一个圆;(3)圆的周长与面积可求;(4)在平面直角坐标系中,以点(x 0,y 0)为圆心,r 为半径的圆的方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=r 2.解：(1)在空间内与定点距离等于定长的点的集合是球;(2)空间中不共面的4个点确定一个球;(3)球有表面积与体积;(4)在空间直角坐标系中,以点(x 0,y 0,z 0)为球心,r 为半径的球的方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2=r 2.例6 求一个质数，当它分别加上10和14时仍为质数.分析：我们可以采用归纳推理，先由具体的数计算开始，再归纳猜想一般性的结论. 解：用归纳法进行试验：2+10=12，2+14=16，质数2不合要求；3+10=13，3+14=17，质数3符合要求；5+10=15，5+14=19，质数5不合要求；7+10=17，7+14=21，质数7不合要求；……归纳上述结论，可以猜想，3是符合要求的质数.点评：归纳推理是通过对一些个别、特殊情况的观察与分析，导出一般结论的推理方法，利用归纳猜想，可以探索数学规律，探究解题途径.但是结论的正确性还有待于逻辑上的证明.本题中由于质数的变化无规律，不能用解析式把它表示出来，因此若能证明除了3之外的所有自然数分别加上10和14不能都是质数，也就证明了除3以外的所有质数加上10和14不能都是质数.事实上，自然数可分为三类：3n,3n+1,3n+2(n是正整数)；∵(3n+1)+14=3(n+5)是合数；(3n+2)+10=3(n+4)是合数；∴3n+1和3n+2这两类自然数中的质数都不符合要求，而3n这类自然数中，只有当n=1时，3n才能是质数，其余都是合数，因此符合条件的质数只有3.例7如图所示，直线l1与l2是同一平面内的两条相交直线，它们有一个交点.如果在这个平面内再画第三条直线l3，那么这三条直线最多可能有_________________个交点；如果在这个平面内再画第4条直线，那么这4条直线最多可有________________个交点.由此我们可以猜想：在同一个平面内，6条直线最多可有________________个交点，n(n为大于1的整数)条直线最多可有________________个交点，用含n的代数式表示.解：通过画图，将所得交点个数排列如下：直线条数交点个数2 13=2+1 1+24=3+1 1+2+3……由此发现规律：6条直线相交，最多可得交点：1+2+3+4+5=15(个)n条直线相交，最多可得交点：1+2+3+…+(n-1)=2)1(nn(个) 以上均未要求证明，如果要证明可采用数学归纳法等方法.。

第1课时归纳推理1.了解归纳推理的含义，能用归纳推理进行简单的推理.(重点、难点)2.体会归纳推理在数学发现中的作用，归纳推理结论的真假.(易错点)[基础·初探]教材整理归纳推理阅读教材P31～P33“练习”以上部分，完成下列问题.1.推理从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.2.归纳推理的特点(1)归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理.(2)归纳推理的思维过程如图：实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论.3.归纳推理(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围.(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验.(3)归纳推理是一种具有创造性的推理.1.判断正误：(1)由个别到一般的推理为归纳推理.( )(2)由归纳推理得出的结论一定正确.( )(3)从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理.( )【答案】(1)√(2)×(3)√2.如图2­1­1所示，第n个图形中，小正六边形的个数为______.【导学号：97220009】图2­1­1【解析】 a 1＝7，a 2＝7＋5＝12，a 3＝12＋5＝17， ∴a n ＝7＋5(n -1)＝5n ＋2. 【答案】 5n ＋2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)(2016·扬州高二调研)已知32＋27＝2·327，33＋326＝3·3326，34＋463＝4·3463，32014＋m n ＝2014·3m n ，则n ＋1m 3＝________. (2)(2016·湖北七市教科研协作体联考)观察下列等式： 1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)；1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)；1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)；……可以推测，1＋5＋15＋…＋124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝__________. 【精彩点拨】 结合数与式子的特征，提炼结论.【自主解答】 (1)由已知的3个等式知一般式为3n ＋1 ＋n ＋1n ＋1 3-1＝(n ＋1)·3n ＋1n ＋1 3-1.所以m ＝2014，n ＝20143-1，所以n ＋1m 3＝2014320143＝1.(2)根据式子中的规律可知，等式右侧为15×4×3×2×1n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)＝1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4). 【答案】 (1)1 (2)1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)进行数、式中的归纳推理的一般规律(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点； (4)运用归纳推理得出一般结论.[再练一题]1.已知23＜2＋13＋1，23＜2＋23＋2，23＜2＋33＋3，…，推测猜想一般性结论为________.【解析】 每一个不等式的右边是不等式左边的分子、分母分别加了相同的正数，因此可猜测：b a ＜b ＋ma ＋m(a ，b ，m 均为正数，且a ＞b ).【答案】 b a ＜b ＋ma ＋m(a ，b ，m 均为正数，且a ＞b )(1)第n 个图案中有黑色地面砖的块数是________.图2­1­2(2)根据图2­1­3中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为__________.①②③④图2­1­3【精彩点拨】(1)观察图案知，每多一块白色地面砖，则多5块黑色地面砖，从而每个图案中白色地面砖的块数，组成首项为6，公差为5的等差数列.(2)先求出前4个图形中线段的数目，再归纳.【自主解答】(1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n-1)×5＝5n ＋1.(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22-3,5＝23-3,13＝24-3,29＝25-3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29-3＝509.【答案】(1)5n＋1 (2)509归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是：寻找关系―→从图形的数量规律入手，寻找数值变化与数量的关系↓结构联系―→从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化↓归纳结论―→常转化为数列中的归纳推理问题，如可通过图形展现的有关数据，构造某一数列的前几项，然后利用归纳数列的某一问题进行解决[再练一题]2.如图2­1­4，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中的顶点个数为________.图2­1­4【解析】第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n个图形共有(n＋2)(n＋3)个顶点.【答案】 (n ＋2)(n ＋3)[探究共研型]探究1 n 【提示】 是一种对应关系，也是一种特殊的函数关系. 探究2 如何寻求a n 与n 的关系？【提示】 利用递推式写出数列的前几项化为统一的形式，再观察解决.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .求出a 1，a 2，a 3，a 4，并推测a n .【精彩点拨】 由递推关系写出前4项，化为统一形式，观察即可. 【自主解答】 ∵S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ，∴a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，∴a 21＝1.又∵a n >0，∴a 1＝1；a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a2，即1＋12a 2＝12a 2，∴a 2＝2-1； a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3，即2＋12a 3＝12a 3，∴a 3＝3-2；a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 4＋1a4，∴3＋12a 4＝12a 4，∴a 4＝2-3；观察可得，a n ＝n -n -1.数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和. (1)通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；(2)根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式.[再练一题]3.已知数列{a n }中，a 2＝6，a n ＋1＋a n -1a n ＋1-a n ＋1＝n .(1)求a 1，a 3，a 4；(2)猜想数列{a n }的通项公式. 【解】 (1)由a 2＝6，a 2＋a 1-1a 2-a 1＋1＝1，得a 1＝1.由a 3＋a 2-1a 3-a 2＋1＝2，得a 3＝15.由a 4＋a 3-1a 4-a 3＋1＝3，得a 4＝28.故a 1＝1，a 3＝15，a 4＝28.(2)由a 1＝1＝1×(2×1-1)；a 2＝6＝2×(2×2-1)；a 3＝15＝3×(2×3-1)；a 4＝28＝4×(2×4-1)，…猜想a n ＝n (2n -1).[构建·体系]1.已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，f 4(x )＝f 3′(x )，…，f n (x )＝f n -1′(x )，则f 2 014(x )＝________.【解析】 f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝-sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝-cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝cos x ，…再继续下去会重复出现，周期为4，∴f 2 014(x )＝f 2(x )＝-sin x . 【答案】 -sin x2.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n(a ↔N *)，则可归纳猜想{a n }的通项公式为________.【解析】 由已知得a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝432＋23＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝2×122＋12＝25，…，由此可猜想a n ＝2n ＋1. 【答案】 a n ＝2n ＋23.已知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：【导学号：97220010】a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝______________.【解析】 每行对应的元素个数分别为1,3,5，…，那么第10行最后一个数为a 100，则第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝a 112＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13112.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫131124.(2016·苏州高二期末)当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x2＝3， x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥44x 3·x 3·x 3·27x 3＝4，根据上述不等式，在x >0的条件下，可归纳出一个一般性的不等式为________(直接写结论).【解析】 根据已知的3个不等式，找出规律知，一般性的不等式为x ＋n nx n ≥(n ＋1)·n ＋1x n ·x n …·x n ·n nxn ＝n ＋1.【答案】 x ＋n nxn ≥n ＋15.已知在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3.(1)求a 2，a 3，a 4，a 5的值； (2)猜想a n .【解】 (1)a 2＝3a 1a 1＋3＝3×1212＋3＝37，同理a 3＝3a 2a 2＋3＝38，a 4＝39，a 5＝310. (2)由a 2＝32＋5，a 3＝33＋5，a 4＝34＋5，a 5＝35＋5，可猜想a n ＝3n ＋5.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。

2021高中数学第2章推理与证明第1节合情推理与演绎推理学案理苏教版选修22一、学习目标：1. 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发觉中的作用；2. 体会演绎推理的重要性，把握演绎推理的差不多模式，并能运用它们进行一些简单推理；3. 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

二、重点、难点重点：会用合情推理提出猜想，会用演绎推理进行推理论证，明确合情推理与演绎推理的区别与联系。

难点：发觉两类对象的类似特点、在部分对象中查找共同特点或规律，利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明。

三、考点分析：推理是数学的差不多思维过程，高中数学课程的重要目标确实是培养和提高学生的推理能力，因此本部分内容在高中数学中占有重要地位，是高考的重要内容。

由于解答高考试题的过程确实是推理的过程，因此本部分内容的考查将会渗透到每一个高考题中。

在学习时，应注意明白得常用的推理的方法，了解其含义，把握其过程以解决具体问题。

今后的高考中若考查推理内容，最有可能是把推理渗透到解答题中考查，因为解答与证明题本身确实是一种推理，合情推理与演绎推理作为一种推理工具是专门容易被解答与证明题同意的。

一、知识导图二、推理依照一个或几个事实（或假设）得出一个判定，这种思维方式叫推理。

从结构上说，推理一样由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设），叫做前提，一部分是由已知推出的判定，叫结论。

三、合情推理：依照已有的事实，通过观看、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。

合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特点，推出该类事物的全部对象具有这些特点的推理，或者由个别事实概括出一样结论的推理。

简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一样的推理。

（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特点和其中一类对象具有的某些已知特点，推出另一类对象也具有这些特点的推理，简言之，类比推理是由专门到专门的推理。

第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2．1.1 合情推理第1课时归纳推理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能了解合情推理的含义，认识归纳推理的基本方法与步骤，能利用归纳推理进行简单的推理应用．2．过程与方法通过学生的积极参与，经历归纳推理概念的获得过程，了解归纳推理的含义．让学生通过欣赏一些伟大猜想产生的过程，体会如何利用归纳去猜测和发现一些新的结论，培养学生归纳推理的思维方式．3．情感、态度与价值观正确认识合情推理在数学中的重要作用，并体会归纳推理在日常活动和科学发现中的作用．学生通过主动探究、合作学习，激发学习兴趣，认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，养成认真观察事物、发现探索新知识的良好思维品质．●重点难点重点：归纳推理的含义与特点，能进行简单的归纳推理．难点：运用归纳推理得到一般性的结论，做出猜想．归纳推理是“推理与证明”一章中的重要组成部分，具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养，突出体现数学的人文价值和实际应用价值，因此，在高中数学的模块中，归纳推理就显得格外的举足轻重了．为了突破难点，引导学生合作交流，发现特殊实例的共性，抓住本质特征，作出合理猜想．(教师用书独具)●教学建议关于归纳推理的教学，建议以学生熟悉的实例为载体，创设问题情境．例如“猜职业”、“哥德巴赫猜想”等引导学生进行观察、分析、归纳推理，并借助例题具体说明在数学发现的过程中归纳猜想的作用、采取合作交流，培养学生合作学习的意识与数学思维能力．在课堂上渗透数学文化教育，让学生通过数学文化的学习，了解数学发展中起重大作用的历史事件和人物，激发学习数学的兴趣．●教学流程创设问题情境，引导学生得出归纳推理的意义和特点.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握数、式中归纳推理的一般规律.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握图形中归纳推理的特点与思路.⇒学习例3及其变式训练，求解简单实际问题的归纳推理并体会应用的广泛性.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正.1．(1)若a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝2，…你能猜想出数列{a n}的通项公式吗？(2)直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？【提示】(1)a n＝n(n∈N*)；(2)三角形的内角和都是180°.2．在解决上述问题时，经历了怎样的思维过程？【提示】列出部分→归纳现象→得出结论．1．推理从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．2．归纳推理(1)归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．(2)归纳推理的思维过程如图：实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论.3．归纳推理的特点(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验．(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．n1n＋1n(1)求a2，a3，a4；(2)归纳猜想数列通项公式a n，并证明结论的正确性．【思路探究】由a1＝1求a2的值，进而求a3，a4→分析a1，a2，a3，a4的特征→猜想a n→数学证明【自主解答】(1)由a1＝1，且a n＋1＝2a n＋1(n∈N*)，令n＝1，得a2＝3，令n＝2，n＝3，进而得a3＝7，a4＝15，(2)由a1＝21－1，a2＝22－1，a3＝23－1，a4＝24－1.可归纳猜想，得a n＝2n－1(n∈N*)．证明如下：由a n＋1＝2a n＋1，得a n＋1＋1＝2(a n＋1)．∴{a n＋1}是以2为首项，公比为2的等比数列．∴a n＋1＝2·2n－1＝2n，因此a n＝2n－1.1．在数列中，常用归纳推理猜测通项公式或前n项和公式；要认真观察数列中各项数字间的规律，分析每一项与对应的项数(序号n)之间的关系，这是解题的关键．2．归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些共同的特征；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．已知：1＞12；1＋12＋13＞1；1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＞32；1＋12＋13＋…＋115＞2；…根据以上不等式的结构特点，请你归纳一般结论． 【解】 1＝21－1，3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，…猜想不等式的左边共有2n －1项，最后一项的分母为2n－1，右边为n 2，由此可得一般性结论．1＋12＋13＋…＋12n －1＞ n 2(n∈N *)．理得出它们之间的关系．图2－1－1【思路探究】 先找出凸多面体的面数、顶点数和棱数，观察它们之间有什么关系，再归纳出一般性的结论．【自主解答】 正方体：F ＝6 V ＝8 E ＝12； 三棱柱：F ＝5 V ＝6 E ＝9； 五棱柱：F ＝7 V ＝10 E ＝15； 四棱锥：F ＝5 V ＝5 E ＝8； 两个同底面的四棱锥组成的组合体：F ＝8 V ＝6 E ＝12；通过以上观察发现F ，V ，E 满足F ＋V －E ＝2.所以归纳得：在凸多面体中，面数F 、顶点数V 和棱数E 满足以下关系：F ＋V －E ＝2.1．在几何中随点、线、面等元素的增加，探究点数、线数、面数等满足的关系及相应的线段、交点、区域部分图形等的增加情况常用归纳推理解决，通过比较，寻找规律是解决该类问题的关键．2．应用归纳推理，注意两点：(1)从图形的数量规律入手，寻找数值变化与数量关系；(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．有两种花色的正六边形地面砖，按如图2－1－2所示的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有条纹的正六边形的个数是多少？图2－1－2【解】法一有菱形纹的正六边形个数如下表：为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有条纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)．故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.边形．如图2－1－3所示，为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．图2－1－3试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式．(不要求证明)【思路探究】 根据前三个图形，找出正六边形增加的规律．【自主解答】 由图形可知：每个图形最外面有6×(n－1)个正六边形：f(4)＝f(3)＋18＝19＋18＝37，f(5)＝f(4)＋24＝37＋24＝61， 因为f(2)－f(1)＝7－1＝6， f(3)－f(2)＝19－7＝2×6， f(4)－f(3)＝37－19＝3×6， f(5)－f(4)＝61－37＝4×6， … …所以当n≥2时，有f(n)－f(n －1)＝6(n －1)． 以上各式相加，当n≥2时，f(n)－f(1)＝6[1＋2＋3＋…＋(n －1)]， ∴f(n)＝f(1)＋6×（n －1）n 2＝3n 2－3n ＋1.1．在本例中，应注意两点：(1)图形的特点，每个图形从宏观上看均为一大正六边形，每一边上均有n 个小正六边形，(2)式的变化，通过式子，寻求f(n)与f(n －1)的关系，转化成数列问题．2．利用归纳推理，可以使我们对许多实际问题总结出一般性的结论，掌握事物的本质规律．意大利数学家斐波那契在他的1228年版的《算经》一书中记述了有趣的兔子问题：假定每对大兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就可以长成大兔子，如果不发生死亡，那么由一对大兔子开始，一年后能有多少对大兔子呢？ 我们依次给出各个月的大兔子对数，并一直推算下去到无尽的月数，可得数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，… 这就是斐波那契数列．此数列中，a 1＝a 2＝1，当n≥3时，请归纳出a n 与a n －1间的递推关系式．【解】 因为2＝1＋1，3＝1＋2，5＝2＋3，8＝3＋5，…逐项观察分析每项与其前几项的关系易得：从第三项起，它的每一项等于它的前面两项之和，即a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)．归纳不完整致误对任意的正整数n，猜想2n与n2的大小关系．【错解】当n＝1时，21＞12；当n＝2时，22＝22；当n＝3时，23＜32.归纳猜想：当n＝1时，2n＞n2；当n≥2时，2n≤n2.【错因分析】对于2n与n2，n仅取1，2，3来判断它们的大小关系，这不具有代表性，忽略了对n＞3时情形的归纳．【防范措施】进行归纳推理时，防止归纳的局限性，可多考查一些特殊情形，从中寻找规律，发现一般性的结论．【正解】当n＝1时，21＞12；当n＝2时，22＝22；当n＝3时，23＜32；当n＝4时，24＝42；当n＝5时，25＞52；当n＝6时，26＞62.归纳猜想：当n＝1或n≥5时，2n＞n2；当n＝2或4时，2n＝n2；当n＝3时，2n＜n2.1．归纳推理是从个别事实中推演出一般性结论的推理方法，应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论，为学习研究提供方向．2．我们在进行归纳和猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律．通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．1．由数列1，10，100，1 000，…，猜测该数列的第n项可能是________．【解析】该数列可整理为100，101，102，103….【答案】10n－12．如图2－1－4所示的是由火柴杆拼成的一列图形，第n个图形由n个正方形组成．通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n个图形中，火柴杆有________根．图2－1－4【解析】设a n表示第n个图形中的火柴杆数，易知a1＝4，a2＝4＋3＝7，a3＝7＋3＝10，a4＝10＋3＝13….∴a n＝3n＋1.【答案】13 3n＋13．(2013·陕西高考)观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…，照此规律，第n个等式可为________【解析】12＝1，12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，…，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n)＝(－1)n ＋1n （n ＋1）2. 【答案】 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n （n ＋1）24．已知数列{a n }的首项a 1＝1，且a n ＋1＝a n1＋a n(n ＝1，2，3，…)，试用归纳法归纳出这个数列的通项公式．【解】 当n ＝1时，a 1＝1； 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12；a 3＝a 21＋a 2＝13；a 4＝a 31＋a 3＝14.归纳可得，数列{a n }的前四项都等于相应序号的倒数，由此可以猜测，这个数列的通项公式为a n ＝1n(n ＝1，2，3，…)．一、填空题图2－1－51．如图2－1－5所示的是一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排，那么第36颗珠子的颜色是________色．【解析】 通过观察发现，每5颗珠子为一组，前3颗为白色，后2颗为黑色，所以36＝35＋1＝5×7＋1.得第36颗珠子一定为白色的．【答案】 白2．(2013·无锡高二检测)如图2－1－6所示，第n 个图形中，小正六边形的个数为________．图2－1－6【解析】 a 1＝7，a 2＝7＋5＝12，a 3＝12＋5＝17，∴a n＝7＋5(n－1)＝5n＋2.【答案】5n＋23．正整数按下表的规律排列，则上起第2 005行，左起第2 006列的数应为________．【解析】第2 006行的第一个数为2 0062，第2 005行的第2 006列的数是以2 0062为首项，－1为公差的等差数列的第2 007项，∴该数为2 0062＋(－1)×2 006＝2 005×2 006.【答案】 2 005×2 0064．(2012·江西高考改编)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝________．【解析】从给出的式子特点观察可推知等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.【答案】1235．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于________．1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111【解析】等号右边应为n＋1个“1”．【答案】 1 111 1116．定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形图2－1－7那么下列图形中，图2－1－8可以表示A*D ，A*C 的分别是________． 【解析】 由已知图形，抓共性不难总结出： A “|”，B “□”(大)，C “—”，D “□”(小)． 故A*D 为(2)，A*C 为(4)． 【答案】 (2)，(4)7．经计算发现下列不等式：2＋18＜210， 4.5＋15.5＜210，3＋2＋17－2＜210，…根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________．【解析】 ∵2＋182＝10，4.5＋15.52＝10，3＋2＋17－22＝10， ∴不难得出，若a ＋b ＝20，a ＋b ＜210. 【答案】 若a ＋b ＝20，则a ＋b ＜2108．(2013·镇江高二检测)设函数f(x)＝x x ＋2(x ＞0)，观察：f 1(x)＝f(x)＝xx ＋2，f 2(x)＝f(f 1(x))＝x3x ＋4，f 3(x)＝f(f 2(x))＝x7x ＋8，f 4(x)＝f(f 3(x))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________．【解析】 函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1，3，7，15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n－1.分母中常数项依次为2，4，8，16，…，其通项为2n. 又函数中，分子都是x .∴当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x（2n－1）x ＋2n.【答案】x（2n－1）x ＋2n二、解答题9．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中的不等式，为什么？【解】 不等式左边和式个数分别为3，4，5，…时，不等式右边的数依次为9π，162π，253π，…，其分子依次为32，42，52，…，分母依次为(3－2)π，(4－2)π，(5－2)π，…. 故当不等式左边和式个数为n 个时，归纳猜想右边应为n 2（n －2）π(n≥3，n ∈N *)，故所求为1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2（n －2）π(n ≥3，n ∈N *)．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n＋2＝0(n≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．【解】 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1；当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n∈N *)．11．观察下列等式： ①cos 2α＝2cos 2α－1；②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 求m －n ＋p 的值．【解】 观察等式可知，cos α的最高次项的系数：2，8，32，128构成了公式比为4的等式数列，故m ＝128×4＝512；取α＝0，则cos α＝1，cos 10α＝1，代入等式⑤，得1＝m －1 280＋1 120＋n ＋p －1，即n ＋p ＝－350.(1)取α＝π3，则cos α＝12，cos 10α＝－12，代入等式⑤，得－12＝m(12)10－1 280×(12)8＋1 120×(12)6＋n ×(12)4＋p×(12)2－1，即n ＋4p ＝－200.(2) 联立(1)(2)， 得n ＝－400，p ＝50.故m －n ＋p ＝512－(－400)＋50＝962.(教师用书独具)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：图1 图2他们研究过图1中所示的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中所示的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．则289，1 024，1 225，1 378中既是三角形数又是正方形数的是________．【自主解答】 记三角形数构成的数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝3＝1＋2，a 3＝6＝1＋2＋3，a 4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2.同理可得正方形数构成的数列{b n }的通项公式为b n ＝n 2. 将289，1 024，1 225，1 378分别代入上述两个通项公 式，可得使n 都为正整数的只有1 225. 【答案】 1 225设n≥2，n ∈N ，(2x ＋12)n －(3x ＋13)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，将|a k |(0≤k ≤n )的最小值记为T n ，则T 2＝0，T 3＝123－133，T 4＝0，T 5＝125－135，…，T n ，…，其中T n ＝________．【解析】 由T 2＝0，T 4＝0，…猜想T n ＝0(n 为偶数)．T 3＝123－133，T 5＝125－135，…猜想T n ＝12n －13n (n 为奇数)，因此可得T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为偶数，12n －13n ，n 为奇数【答案】 T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为偶数，12n －13n ，n 为奇数第2课时 类比推理(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去．2．过程与方法正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识．3．情感、态度与价值观认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识．●重点难点重点：了解合情推理的含义，理解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理． 难点：类比时寻求合适的类比对象；培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力．(教师用书独具)●教学建议本节教材内容要求学生结合已学过的数学实例和生活中的实例，对合情推理——类比推理进行了概括和总结，让学生在学习过程中体会类比推理在数学结论的发现、证明与数学体系构建中的作用．(1)创设恰当的教学问题情境，如鲁班锯的发现、物理学家惠更斯提出了光波这一科学概念，从而提炼出类比推理的一般过程，概括出类比推理的含义．(2)分组交流，合作学习，讲练结合，将班上同学分成六个小组，分组讨论．从具体问题出发——观察、分析比较、联想——归纳，类比——提出猜想，让学生充分感受和体验类比推理的过程．●教学流程创设问题情境，引导学生提炼类比推理的一般过程和含义.⇒借助例1及其变式训练，使学生掌握数列中定义、性质公式的类比.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握平面图形和空间图形的类比规律.⇒通过例3及其变式训练，理解合情推理的应用广泛性并体会其作用.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识与思想方法.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行学后反馈、矫正.已知三角形的如下性质： (1)三角形的两边之和大于第三边； (2)三角形的面积等于高与底积的12.1．试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质． 【提示】 (1)四面体任意三个面的面积大于第四个面的面积． (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的13.2．上述两个推理是从特殊到一般的推理吗？【提示】 不是．是从三角形的特征推出四面体的特征，两个推理是从特殊到特殊的推理．1．类比推理根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．其思维过程为：观察、比较猜测新的结论 2．类比推理的特征(1)类比推理是两类事物之间的特殊到特殊的推理； (2)类比推理的结果是猜测性的，不一定可靠．类比推理与归纳推理有何本质的不同？【提示】 类比推理是由特殊到特殊的推理，而归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．1．合情推理的含义根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程称为合情推理．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．2．合情推理的特点(1)合情推理的结论超越了前提所包容的范围，带有猜想的成分，因此推理所得的结论未必正确；(2)合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供证明的思路和方向的作用．n n 4841281612 类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．【思路探究】 等差数列的性质结论多与和、差有关，等比数列的性质结论多与积、商有关，注意到类比结论中出现T 16T 12这一形式与S 16－S 12对应，易得答案．【自主解答】 等比数列类比等差数列，其中积类比和，除法类比减法，于是可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．【答案】 T 8T 4 T 12T 81．运用类比推理必须寻找合适的类比对象，从等差、等比数列的定义、性质、通项公式与前n 项和公式探求，充分挖掘事物的本质及内在联系．2．类比推理的一般步骤为：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)．(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想．(3)检验这个猜想．已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b(m≠n，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －amn －m.现已知等比数列{b n }(b n ＞0，n ∈N *)，且b m ＝a ，b n ＝b (m ，n ∈N *且m ≠n )．类比上述结论，求b m ＋n ，并说明理由．【解】 类比得b m ＋n ＝n －m b na m.理由如下：设等比数列{b n }的公比为q ， 则b m ＋n ＝b m q n.又b m b n ＝b 1q m －1b 1q n －1＝q m －n ＝a b . ∴q ＝(ab)1m －n .因此b m ＋n ＝b m q n＝a (a b )n m －n ＝(b na m )1n －m ＝n －mb na m.BC 2＋AC2＝AB 2.拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积和底面积的关系，可以得出的正确结论是________．【思路探究】 三角形是由直线段围成的封闭图形，三棱锥(四面体)是由三角形围成的封闭图形，因此三角形的边长之间的关系类比到空间为三棱锥的面的面积之间的关系．【自主解答】 考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以我们可以选取有3个侧面两两垂直的三棱锥，作为直角三角形的类比对象．1231．解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中．2．类比与归纳推理虽然不一定正确，但都是经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出合理猜想的推理，为研究学习提供了一盏明灯．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M(x 0，y 0)的切线方程为xx 0＋yy 0＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y2b2＝1类似的性质为________．【解析】 圆的性质中，经过圆上一点M(x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M(x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y2b2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P(x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.【答案】 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P(x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探索等和数列{a n }的奇数项和偶数项各有什么特点？并加以说明． (3)在第(2)问中，若a 1＝2，公和为5，求a 18和S 21.【思路探究】 先根据等差数列的定义类比出“等和数列”的定义，然后再根据此定义探索等和数列的奇数项、偶数项及其前n 项的和．【自主解答】 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列.(2)由(1)知a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2，所以a n ＋2＝a n .所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等．(3)由“等和数列”的定义，知 a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 19＝a 21＝2. a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 18＝a 20＝3. 因此a 18＝3.S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21 ＝5×10＋2＝52.1．本题通过对等差数列定义及性质的理解，类比出等和数列的定义和性质，考查学生的类比应用能力．2．从类比出新数列的定义出发，由特殊到一般，归纳出数列规律，类比是一个伟大的引路人，在探求知识的过程中，我们要充分运用类比的方法，由已知探究未知．设f(x)＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(5)＋f(6)的值是________．【解析】 等差数列运用“倒序相加”求和．令t ＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(5)＋f(6)① 则t ＝f(6)＋f(5)＋…＋f(1)＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)．② ∵f(x)＝12x ＋2，∴f(1－x)＝121－x ＋2＝2x2＋2·2x＝2x2（2x＋2），因此f(x)＋f(1－x)＝12x ＋2＋2x2（2x＋2）＝12＝22， 故①＋②，得2t ＝12×22＝62， ∴t ＝3 2. 【答案】 3 2误将类比所得结论作为推理依据致误已知a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2都是非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＜0，a 2x 2＋b 2x＋c 2＜0的解集分别为M ，N ，则“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M＝N”成立的________条件．【错解】 在方程a 1x 2＋b 1x ＋c 1＝0与a 2x 2＋b 2x ＋c 2＝0中，若“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”，则两个方程同解．由a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2知两个不等式同解，故“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M＝N”成立的充要条件．【答案】 充要【错因分析】 错解将方程的同解原理类比到不等式中，忽略了不等式与等式的本质区别．【防范措施】 类比推理是不严格的，所得结论的正确与否有待用实践来证明，解题时若直接使用类比所得结论进行推理则容易出现错误，因此要理解好类比对象的本质，忌盲目类比．【正解】 当a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2时，可取a 1＝b 1＝c 1＝1，a 2＝b 2＝c 2＝－1，则M ＝∅，N ＝R ，即a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2D /⇒M ＝N ；当M ＝N ＝∅时，可取a 1＝b 1＝c 1＝1，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，则a 1a 2≠b 1b 2≠c 1c 2， 即M ＝ND /⇒a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2.综上知“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”成立的既不充分也不必要条件． 【答案】 既不充分也不必要1．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．2．类比推理的特点：(1)类比是由已经解决的问题和已经获得的知识出发，推测正在研究的事物的属性，提出新问题作出新发现．(2)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它有发现功能．3．要熟练掌握一些常见的类比推理，如等式与不等式、椭圆与双曲线的类比，特别是等差数列与等比数列的类比和平面几何与立体几何(包括三角形与四面体、矩形与长方体、圆与球)的类比，需掌握它们的类比特点与一些常用结论．1．若数列{a n }是等差数列，则通项为b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 的数列{b n }(n∈N *)也是等差数列．类比上述性质，相应地，若数列{c n }是等比数列，且c n ＞0(n ∈N *)，则有通项为d n ＝________的数列{d n }(n ∈N *)也是等比数列．【解析】 “和”变“积”，“商”变“开方”． 【答案】nc 1·c 1·…c n2．下面使用类比推理恰当的序号是________．①“若a·3＝b·3，则a ＝b”类推出“a ·c ＝b ·c ，则a ＝b ”； ②“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”类推出“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ③“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)”； ④“(ab )n＝a n b n”类推出“(a ＋b )n＝a n＋b n”． 【解析】 ①②④均错． 【答案】 ③3．在平面直角坐标系O —xy 中，二元一次方程Ax ＋By ＝0(A ，B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系O —xyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示________．【解析】 平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系O —xyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示过原点的平面．【答案】 过原点的平面4．类比圆的下列特征，找出球的相关特征． (1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆； (2)平面内不共线的3个点确定一个圆； (3)圆的周长和面积可求．【解】 (1)在空间中与定点距离等于定长的点的集合是球面； (2)空间中不共面的4个点确定一个球； (3)球的表面积与体积可求．一、填空题1．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的________．【解析】 “边的中点”类比为“各面的中心”． 【答案】 中心2．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为________．【解析】 乘积类比和，幂类比积． ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9. 【答案】 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×93．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．【解析】 若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.事实上，由平面几何和立体几何的知识，可知很多比值在平面上成平方关系，在空间内成立方关系．【答案】 1∶84．在圆中，连结圆心和弦的中点的直线垂直于弦，类比圆的上述结论写出球的相应结论为________．【解析】 平面图形中的点线关系类比到空间为线面关系，对应得出球的相应结论：在球中，连结球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面．【答案】 在球中，连结球心和截面圆的圆心的直线垂直于截面 5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： (1)“mn＝nm”类比得“a ·b ＝b ·a ”；(2)“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”，类比得“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； (3)“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得“|a ·b |＝|a |·|b |”； (4)“ac bc ＝a b ”类比得“a ·cb ·c ＝ab”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的序号是________． 【解析】 (1)(2)均正确，(3)(4)不正确． 【答案】 (1)(2)6．(2013·南通高二检测)已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________．【解析】 原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h.类比，用等体积法，V ＝13Sh ＝4×13r ·S ⇒r ＝14h.【答案】 正四面体的内切球的半径是高的147．对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图2－1－9所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a ，而52的“分裂”中最大的数是b ，则a ＋b ＝________．图2－1－9【解析】 ，，∴a ＝21，b ＝9，则a ＋b ＝30. 【答案】 30图2－1－108．如图2－1－10所示，对于函数y ＝x 2(x ＞0)图象上任意两点A(a ，a 2)，B(b ，b 2)，线段AB 必在曲线段AB 的上方，点C 分向量AB →的比为λ(λ＞0)，过C 作x 轴的垂线，交曲线段AB 于C′，则由图象中点C 在点C′的上方可得不等式a 2＋λb 21＋λ＞(a ＋λb 1＋λ)2.请分析函数y ＝ln x(x ＞0)的图象，类比上述不等式可以得到的不等式是________．【解析】 y ＝x 2的图象在x ＞0时，图象下凹，且A(a ，a 2)，B(b ，b 2)，所以点C 的纵坐标是a 2＋λb 21＋λ，点C 与点C′的横坐标都是a ＋λb 1＋λ，而点C′在曲线y ＝x 2上，点C 在点C′上方，所以y C ＝a 2＋λb 21＋λ＞y C ′＝(a ＋λb 1＋λ)2.。

2.1.1 合情推理教学目标：1.了解合情推理的含义；理解归纳推理的概念，能利用归纳的方法进行一些简单的推理.2.培养学生的归纳探索能力，提高学生的创新意识.3.培养学生勇于创新而又不失严谨的思维习惯和在探索真理时锲而不舍的钻研精神.重点与难点：本节课的教学重点是归纳推理的概念理解和应用；教学难点是提高学生从特殊到一般的归纳能力.教学方式：本节课采用的是启发式教学，综合使用了讲授、问答、活动等多种教学方式.教学工具：多媒体、圆纸片、硬币.教学过程：教学设计设计意图一. 问题引入，激发兴趣华罗庚爷爷讲的小故事：有位老师想辨别他的两个学生谁更聪明. 他采用如下的方法：事先准备好两顶白帽子，一顶黑帽子，让学生们看到，然后让他们闭上眼睛. 老师给他们戴上帽子，并把剩下的那顶帽子藏起来. 最后让学生睁开眼睛，看着对方的帽子，说出自己所戴帽子的颜色. 两个学生互相望了望，犹豫了一小会儿，然后异口同声地说：“我们戴的是白帽子” .聪明的各位，想想看，他们是怎么知道的？学生发言，教师点评.这里的思维方式就是推理. 通过华先生的经典问题，启发学生思考，激发学生兴趣.（华先生的原文为3个学生，5顶帽子. 思维难度较大，作为引入不太合适，故改简单些.）切入主题.二. 实例递进，形成概念1. 推理的概念形成 幻灯片：生活中经常看到 (1) 天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，我们会想到什么？ (2) 河面的冰融化，柳树发芽，草地泛青，我们又会想到什么？ 提问：什么是推理？学生发言，教师点评. 总结：根据一个或几个已知的事实（或假设）来确定一个新的判断的思维方式就叫推理. 从结构上说，推理一般由前提和结论两部分构成的.2. 合情推理的概念形成 幻灯片：下面哪些是推理？ (1) 我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油； (2) 1856年，法国微生物学家巴斯德发现乳酸杆菌能使啤酒变酸，接着他又发现细菌是引起蚕病的原因，据此，巴斯德推断人身上的一些传染病也是由细菌引起的； (3) 三角形的内角和为180︒，四边形的内角和为1802︒⨯，五边形的内角和为1803︒⨯，……，所以n 边形的内角和为180(2)n ︒⨯-； (4) 农谚说：瑞雪兆丰年. 提问分三步进行 一问：哪些是推理？学生发言，教师点评. 二问：上述推理所得结论是否一定正确？ 总结：这种前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情从学生熟悉的生活经验出发，让学生体会推理的含义，逐步总结其定义.引导学生归纳出推理的概念.生活与数学结合的实例，使学生体会合情推理的含义，对各种推理有初步认识.一问的目的是：巩固推理的概念.推理.三问：对比（1）、（3）这两个推理，你能发现它们的相同点和不同点吗？3. 归纳推理的概念形成幻灯片：看下面的例子，试写出一般性结论.(1)1+3=4；1+3+5=9；1+3+5+7=16.(2)一元一次方程有一个实数根；一元二次方程最多有两个实数根；一元三次方程最多有三个实数根.提问：什么是归纳推理？学生发言，教师点评.总结：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出该类事物的所有对象都具有这种性质的推理，称为归纳推理（简称归纳）.回顾给出定义的过程，其本身就是归纳（从特殊到一般）的过程，所以可以说“我们归纳出了归纳”. （这两个“归纳”上有点区别，第一个重在归纳总结，第二个才是归纳推理.）二问的目的是：引导学生归纳合情推理的概念.三问的目的是：引出归纳推理（不必出现类比推理这个名词）.纯数学的实例，使学生体会归纳推理的含义.引导学生概括归纳推理的概念.现学现用，而且这句话本身很有趣，有利于激发学生的兴趣.三. 经典探究，深化新知幻灯片：汉诺塔问题汉诺塔问题的探索，完整体现了归纳推理的过程，很具有代如图，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上. (1) 每次只能移动1个金属片； (2) 较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 试推测：把n 个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？ 师生互动、生生合作 1. 安排学生分组讨论，动手实践； 教师可事先准备一些硬币或圆纸片，但又故意不够数量，让喜欢动手的学生领取实物操作，让喜欢动脑的学生思考：在没有实物的情况下，如何简捷地表示移动过程，这本身就值得动动脑筋. 2. 学生发言，教师点评； 3. 鼓励学生课下完成证明. 总结归纳推理的一般步骤： (1) 通过观察个别情况发现某些相同性质；(2) 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.表性.使学生充分体验从个别情况看起，发现规律，归纳总结，做出推理的完整经过.考虑到学生能力上的差异，鼓励他们采用不同的处理办法，爱动手的多实践，爱动脑的多思考.证明不是本节课需要解决的问题，故课上不做要求，鼓励学生课后尝试完成.四. 习题演练，巩固提升 1. 应用归纳推理猜测2111112222n n -L L 12314243个个2(N*)n ∈的值. 答：归纳发现21111122223333n n n -=L L L 1231424314243个个2个3. 2. 设2*()41,N f n n n n =++∈，计算)10(,),3(),2(),1(f f f f Λ的值，并归纳一般性结论.通过练习，巩固归纳推理的步骤，进一步学习其用法. 所选两题分别为教材课后习题和课堂例题.力争把教材用好用足.练习2的处理： (1) 计算发现)10(,),3(),2(),1(f f f f 都是质数，但由此归纳推理得()f n 为质数确是错误的.(2) 题目本身是开放的，还可以得出很多结论，比如都是奇数，相邻项之差为等差数列，等等. 鼓励同学给出自己的结论，但要引导他们得出更深刻的结论.强调归纳推理所得的结论不一定正确.此为教材例题，这里把它改为开放题处理似乎更合适.五. 引导小结，设疑再思 1. 回顾小结 (1) 引导学生从知识、方法、收获三个方面进行小结，明确推理、合情推理、归纳推理的概念及彼此间关系. (2) 以问题的方式引导学生思考“推理”与“证明”的关系，加深对概念的理解，强调推理的作用． 2. 布置作业：课本P56练习A 、B.回顾小结.提高认识 （引导学生从“推理结论是否正确”和“推理的作用”两个方面理解它们之间的差异）.。

2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理学 习 目 标核 心 素 养1．了解合情推理的含义．(易混点)2．理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳和类比推理进行简单的推理．(重点、难点)1．通过学习归纳推理和类比推理，培养数学逻辑推理的素养．2．借助合情推理，培养抽象概括的素养.1．归纳推理与类比推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)特征归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理类比推理是由特殊到特殊的推理 思考：归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？[提示] 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．2．合情推理⎭⎪⎬⎪⎫归纳推理类比推理→合情推理→从具体问题出发―――――――――――→经过观察、分析、比较、联想再进行归纳、类比提出猜想1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )A ．归纳推理B ．类比推理C ．没有推理D ．以上说法都不对B [推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．]2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形的面积S 扇＝( )A.r 22B.l 22C.lr2 D ．不可类比 C [结合类比推理可知S 扇＝lr 2.]3．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个点，每个图形总的点数记为a n ，则a 6＝________，a n ＝______(n >1，n ∈N *)．15 3n －3 [依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a 6＝3×6－3＝15.由n ＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得a n ＝3n －3(n >1，n ∈N *)．]数、式中的归纳推理12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …照此规律，第n 个等式可为________．(2)已知：f (x )＝x 1－x ，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))(n >1，且n ∈N *)，则f 3(x )的表达式为________，猜想f n (x )(n ∈N *)的表达式为________．(3)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，满足S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)．①求a 2，a 3，a 4的值； ②猜想a n 的表达式．(1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2(2)f 3(x )＝x 1－4x f n (x )＝x 1－2n －1x[(1)12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2 ＝(－1)n ＋1(1＋2＋…＋n )＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2. (2)∵f (x )＝x1－x ，∴f 1(x )＝x1－x . 又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x1－x 1－x＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x1－2x 1－2×x 1－2x＝x 1－4x ， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x1－4x 1－4×x 1－4x ＝x 1－8x ，f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x1－8x1－8×x 1－8x＝x 1－16x ， 根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x.](3)解：①因为a 1＝3，且S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)， 所以S 1＝6－2a 2＝a 1＝3，解得a 2＝32，又S 2＝6－2a 3＝a 1＋a 2＝3＋32，解得a 3＝34，又S 3＝6－2a 4＝a 1＋a 2＋a 3＝3＋32＋34，解得a 4＝38.②由①知a 1＝3＝320，a 2＝32＝321，a 3＝34＝322，a 4＝38＝323，…，猜想a n ＝32n －1(n ∈N *)．进行数、式中的归纳推理的一般规律(1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法,①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； ③提炼出等式(或不等式)的综合特点； ④运用归纳推理得出一般结论.(2)数列中的归纳推理,在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和公式.①通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；②根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解；③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式.[跟进训练]1．(1)数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于________． (2)已知下列各式： 1＞12， 1＋12＋13＞1， 1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＞32， 1＋12＋13＋…＋115＞2， …，请你归纳出一般性结论：________.(1)65 (2)1＋12＋13＋…＋12n －1＞n2 [(1)因为4＋1＝5, 8＋1＝9, 16＋1＝17,32＋1＝33，猜测x ＝64＋1＝65.(2)观察不等式左边，各项分母从1开始依次增加1，且终止项为2n －1，不等式右边依次为12，22，32，42，…，从而归纳得出一般结论：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n2.]几何图形中的归纳推理【例2】 (1)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有黑色地面砖的块数是________．(2)根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．(1)5n ＋1 (2)509 [(1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n－1)×5＝5n ＋1.(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29－3＝509.]利用归纳推理解决几何问题的两个策略(1)通项公式法：数清所给图形中研究对象的个数，列成数列，观察所得数列的前几项，探讨其变化规律，归纳猜想通项公式.(2)递推公式法：探究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数之间的关系，把各图形中研究对象的个数看成数列，列出递推公式，再求通项公式.[跟进训练]2．如图所示，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形中由n个正方形组成：通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有________根；第n个图形中，火柴棒有________根．163n＋1[数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4,7,10,13，…，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第5个图形中有火柴棒16根，第n个图形中有火柴棒(3n＋1)根．]类比推理及其应用(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，完成下列探究点： [探究问题]1．在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？提示：四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．2．三角形的面积等于底边与高乘积的12，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？提示：四面体的体积等于底面积与高的乘积的13.【例3】 (1)在等差数列{a n }中，对任意的正整数n ，有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n －12n －1＝a n .类比这一性质，在正项等比数列{b n }中，有________．(2)在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，写出△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间的关系，并给予必要证明．思路探究：(1)类比等差数列及等比数列的性质求解．(2)将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . [解] (1)由a 1＋a 2＋…＋a 2n －1类比成b 1·b 2·b 3…b 2n －1，除以2n －1，即商类比成开2n －1次方，即在正项等比数列{b n }中，有2n －1b 1·b 2·b 3…b 2n －1＝b n .(2)△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系为S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC .证明如下：如图，设直线OD 与BC 相交于点E ， ∵AD ⊥平面ABE ， ∴AD ⊥AE ，AD ⊥BC ， 又∵AO ⊥平面BCD ， ∴AO ⊥DE ，AO ⊥BC . ∵AD ∩AO ＝A ， ∴BC ⊥平面AED ， ∴BC ⊥AE ，BC ⊥DE . ∴S △ABC ＝12BC ·AE ，S △BOC ＝12BC ·OE, S △BCD ＝12BC ·DE .在Rt △ADE 中，由射影定理知AE 2＝OE ·DE ，∴S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD .1．(变条件)把本例(2)中的射影定理的表示换为“a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边”．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．[解] 如图所示，在四面体P －ABC 中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面P AB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ. 2．(变条件)把本例(2)条件换为“在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于点D ，有1AD 2＝1AB 2＋1AC 2成立”．那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．[解] 猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.下面证明上述猜想成立如图所示，连接BE，并延长交CD于点F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD, AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD.而AF平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．类比推理的一般步骤1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．2．合情推理的过程概括为：从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想1．判断正误(1)利用合情推理得出的结论都是正确的． ( ) (2)类比推理得到的结论可以作为定理应用． ( )(3)由个别到一般的推理为归纳推理． ( ) [答案] (1)× (2)× (3)√2．把3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，如图所示，则第六个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30B [第一个三角形数是1＋2＝3， 第二个三角形数是1＋2＋3＝6， 第三个三角形数是1＋2＋3＋4＝10.因此，归纳推理得第n 个三角形点数是1＋2＋3＋4＋…＋n ＋1＝(n ＋1)(n ＋2)2(个)．由此可以得出第六个三角形点数是28.]3．等差数列{a n }中有2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，且n ∈N *)，类比以上结论，在等比数列{b n }中类似的结论是________．b 2n ＝b n －1b n ＋1(n ≥2，且n ∈N *) [类比等差数列，可以类比出结论b 2n ＝b n －1b n ＋1(n ≥2，且n ∈N *)]4．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．[解] 如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝⎛⎭⎫b c 2＋⎝⎛⎭⎫a c 2＝a 2＋b 2c 2＝1. 于是把结论类比到四面体P －A ′B ′C ′中，我们猜想，三棱锥P －A ′B ′C ′中，若三个侧面P A ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.。