(完整版)1.2.2独立性检验的基本思想及其初步应用习题及答案

1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用例题:1.三维柱形图中柱的高度表示的是（ )A ．各分类变量的频数B ．分类变量的百分比C ．分类变量的样本数D ．分类变量的具体值解析: 三维柱形图中柱的高度表示图中各个频数的相对大小.选A2. 统计推断，当______时，有95 ％的把握说事件A 与B 有关；当______时，认为没有充分的证据显示事件A 与B 是有关的.解析:当841.3>k 时,就有95 ％的把握说事件A 与B 有关,当076.2≤k 时认为没有充分的证据显示事件A 与B 是有关的.3.为了探究患慢性气管炎与吸烟有无关系,调查了却339名50岁以上的人,结果如下表所示,据此数据请问:50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关系吗?分析:有表中所给的数据来计算2K 的观测值k,再确定其中的具体关系.解:设患慢性气管炎与吸烟无关.a=43,b=162,c=13,d=121,a+b=205,c+d=134, a+c=56,b+d=283,n=339所以2K 的观测值为469.7))()()(()(2==+++-=d b c a d c b a bc ad n k .因此635.6>k ,故有99%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关.课后练习:1. 在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积与副对角线上的两个柱形的高度的乘积相差越大两个变量有关系的可能性就（ ）A.越大B.越小C.无法判断D.以上都不对2.下列关于三维柱形图和二维条形图的叙述正确的是: ( ) A .从三维柱形图可以精确地看出两个分类变量是否有关系B .从二维条形图中可以看出两个变量频数的相对大小，从三维柱形图中无法看出相对频数的大小C .从三维柱形图和二维条形图可以粗略地看出两个分类变量是否有关系D .以上说法都不对3．对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值K ,说法正确的是（) A . k 越大，" X 与Y 有关系”可信程度越小; B . k 越小，" X 与Y 有关系”可信程度越小; C . k 越接近于0，" X 与Y 无关”程度越小 D . k 越大，" X 与Y 无关”程度越大4. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ）A.若K 2的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病;B.从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病;C.若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误;D.以上三种说法都不正确.5.若由一个2*2列联表中的数据计算得k 2=4.013,那么有 把握认为两个变量有关系6.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：250(1320107) 4.84423272030k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯因为23.841K ≥，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为 ____;7.在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人。

1．2独立性检验的基本思想及其初步应用[导入新知]1．分类变量变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．随机变量K2＝利用随机变量K2来确定是否能以给定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量独立性检验．[化解疑难]反证法原理与独立性检验原理的比较反证法原理——在假设H0下，如果推出一个矛盾，就证明了H0不成立．独立性检验原理——在假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断H0不成立，且该推断犯错误的概率不超过小概率.[导入新知]独立性检验的具体做法(1)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查下表确定临界值k0.(2)利用公式K2k.(3)如果k≥k0α；否则，就[化解疑难](1)通过列联表或观察等高条形图判断两个分类变量之间有关系，属于直观判断，不足之处是不能给出推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率，而独立性检验可以弥补这个不足．(2)列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，因此，需要用独立性检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体．[例1]某学校对高三学生作了一项调查，发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张．作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系．[解]作列联表如下：相应的等高条形图如图所示：图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例．从图中可以看出考前紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关．[类题通法]细解等高条形图(1)绘制等高条形图时，列联表的行对应的是高度，两行的数据不相等，但对应的条形图的高度是相同的；两列的数据对应不同的颜色．(2)等高条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色，观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显⎝⎛⎭⎫即a a ＋b 和cc ＋d 相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．[活学活用]为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系，调查了一千多名青少年及其家长，数据如下：解：等高条形图如下：由图形观察可以看出子女吸烟者中父母吸烟的比例要比子女不吸烟者中父母吸烟的比例高，因此可以在某种程度上认为“子女吸烟与父母吸烟有关系”.[例2]数据：的前提下，认为每晚都打鼾与患心脏病有关系．2×2列联表确定a，b，c，d，n的值，然后代入随机变量K2的计算公式求出观测值k，将k与临界值k0进行对比，确定有多大的把握认为“两个分类变量有关系”．[活学活用]某生产线上，质量监督员甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系？解：根据题目所给数据得如下2×2列联表：由列联表中的数据，得K 2的观测值为k ＝1 500×(982×17－8×493)2990×510×1 475×25≈13.097＞10.828.因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系．1.独立性检验与统计的综合应用表2：B 类工人生产能力的频数分布表(1)确定x ，y 的值；(2)完成下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为工人的生产能力与工人的类别有关系？附：K2[(2)根据所给的数据可以完成列联表，如下表所示：(6分)由列联表中的数据，得K2的观测值为[活学活用]电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？附：解：由频率分布直方图可知，在抽取的100名观众中，“体育迷”有25名，“非体育迷”有75名，又已知100名观众中女性有55名，女“体育迷”有10名，所以男性有45名，男“体育迷”有15名，从而可完成2×2列联表，如下表：由k[随堂即时演练]1．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是()解析：选D在四幅图中，D图中两个深色条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强，故选D.2．下面是一个2×2列联表：则表中a ，b 处的值分别为( ) A ．94,96 B ．52,50 C ．52,54D ．54,52解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋21＝73，a ＋2＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝54.3．独立性检验所采用的思路是：要研究A ，B 两类型变量彼此相关，首先假设这两类变量彼此________．在此假设下构造随机变量K 2，如果K 2的观测值较大，那么在一定程度上说明假设________．答案：无关 不成立4．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：①若K 2的观测值k >6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________．解析：K 2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．答案：③5．在一次天气恶劣的飞机航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下推断：在天气恶劣的飞机航程中，男乘客比女乘客更容易晕机？解：由已知条件得出下列2×2列联表：由公式可得K2的观测值k＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝89(24×26－31×8)255×34×32×57≈3.689>2.706.故在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为“在天气恶劣的飞机航程中，男乘客比女乘客更容易晕机”．。

1.2独立性检验的基本思想及其初步应用课后训练案巩固提升一、A组1.在4个独立性检验中,根据试验数据得到K2统计量的值分别为:①6.98;②4.75;③2.93;④9.24.其中在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两个事件有关的独立性检验有()(参考临界值:P(K2≥6.635)≈0.01)A.1个B.2个C.3个D.4个解析:只有①和④,我们可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两个事件有关.答案:B2.在一次调查后,根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图,则()A.两个分类变量关系较弱B.两个分类变量没有关系C.两个分类变量关系较强D.无法判断解析:从条形图中可以看出,在x1中y1的比重明显大于x2中y1的比重,所以两个分类变量的关系较强.答案:C3.在研究打鼾与患心脏病之间的关系中,通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关系”的结论,并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的.下列说法正确的是()A.100个心脏病患者中至少有99人打鼾B.1个人患心脏病,则这个人有99%的概率打鼾C.100个心脏病患者中一定有打鼾的人D.100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有答案:D4.为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系,某研究机构随机抽取了60名高中生,通过问卷调查,得到以下数据:作文成绩优秀作文成绩一般总计课外阅读量较大221032课外阅读量一般82028总计303060由以上数据,计算得到K2的观测值k≈9.643,根据临界值表,以下说法正确的是()附:P(K2≥k0)0.250.150.100.0250.0100.005k0 1.323 2.072 2.706 5.024 6.6357.879。

高二数学独立性检验的基本思想及其初步应用试题答案及解析1.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下列联表喜爱打篮球不喜爱打篮球合计则至少有的把握认为喜爱打篮球与性别有关（请用百分数表示）.附【答案】99.5%【解析】解：根据所给的列联表，得到k2=50(20×15-10×5)2（30×20×25×25） =8.333＞7.879，∴至少有99.5%的把握说明喜爱打篮球与性别有关．故答案为：99.5%2.下面是一个22列联表，则表中a、b处的值分别为( )y y总计A. 94、96B. 52、54C. 52、50D. 54、52【答案】B【解析】解：因为根据表格中的数据可知，2+a=b,b+46=100,b=54,a=52,选B3.(本小题满分12分)为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，调查了105个样本，统计结果为：服用药的共有55个样本，服用药但患病的仍有10个样本，没有服用药且未患病的有30个样本.（1）根据所给样本数据画出2×2列联表；（2）请问能有多大把握认为药物有效？【答案】 (1)(2)这种判断出错的可能性不超过5%【解析】根据题意，列出服用药的共有55个样本，则未服药的50个样本，服用药但未患病的有20个样本，没有服用药且未患病的有30个样本，列出2×2列联表；求出，记忆卡方范围，得出判断。

解:(1)根据所给样本数据可画出2×2列联表如下:服药未服药合计.。

6分(2)将表中数据代入公式,得到。

10分因为，所以有95%以上的把握认为药物有效，即这种判断出错的可能性不超过5%.。

12分4.统计中有一个非常有用的统计量，用它的大小可以确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”，下表是反映甲、乙两个平行班(甲班A老师教, 乙班B老师教)进行某次数学考试，按学生考试及格与不及格统计成绩后的2×2列联表.根据的值,你认为不及格人数的多少与不同老师执教有关系的把握大约为A．99.5% B．99.9% C．95% D．无充分依据.【答案】A【解析】解：k2= =80(4×24-16×36) 2/ 20×60×40×40 =9.6＞7.879 ∴不及格人数的多少与不同老师执教有关系的把握大约为99.5%故选A．5.统计中有一个非常有用的统计量，用它的大小可以确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”，下表是反映甲、乙两个平行班(甲班A老师教, 乙班B老师教)进行某学科测试，按学生考试及格与不及格统计成绩后的2×2列联表.不及格及格总计甲班(A教)43640乙班(B教)162440总计206080经计算＝9.6,你认为不及格人数的多少与不同老师执教有关系的把握大约为( )下面的临界值表供参考：A．99.5% B．99.9% C．95% D．无充分依据.【答案】A【解析】因为＝9.6 大于7.879，所以选A.6.随着生活水平的提高，越来越多的人参与了潜水这项活动。

3.2.1 独立性检验的基本思想及其初步应用(一)一、选择题。

1. 下面是2×2列联表：则表中a，b的值分别为（）A.21，46B.52，50C.52，54D.54，522. 在等高条形图形中，下列哪两个比值相差越大，“两个分类变量有关系”成立的可能性越大（）A.a a+b 与dc+dB.ca+b与ac+dC.aa+b与cc+dD.aa+b与cb+c3. 在研究两个分类变量之间是否有关系时，可以粗略地判断两个分类变量是否有关的是（）A.散点图B.等高条形图C.2×2列联表D.以上均不对4. 下面是一个2×2列联表：则表中a、b的值分别是（）A.94、96B.25、21C.25、27D.27、255. 某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列联表：文化程度与月收入列联表（单位：人）由上表中数据计算得K2的观测值k=6.109，请估计认为“文化程度与月收入有关系”的把握是（）A.1%B.99%C.2.5%D.97.5%6. 下面是调查中国东部地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出（）A.性别与喜欢理科无关B.女生中喜欢理科的比为80%C.男生比女生喜欢理科的可能性大些D.男生不喜欢理科的比为60%二、填空题。

中国医药学院周医师从事原住民痛风流行率的研究，周医师发现原住民342人中，患有痛风的有40人，其中17位TG（三酸甘油酯）超出正常值160，而非痛风组302人中有66位TG超出正常值．通过计算犯错误的概率认为“TG超出正常值与痛风________关．（填“有”或“无”）为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：根据表中数据，得k=________．某卫生机构对366人进行健康体检，有阳性家族史者糖尿病发病的有16例，不发病的有93例，有阴性家族史者糖尿病发病的有17例，不发病的有240例，认为糖尿病患者与遗传有关系的概率为________．三、解答题。

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独立性检验的基本思想及初步班级：姓名：_____________1。

与表格相比，能更直观地反映出相关数据总体状况的是（)A。

列联表 B.散点图C。

残差图D。

等高条形图2.分类变量X和Y的列联表如下：Y1Y2总计X1a b a+bX2c d c+d总计a+c b+d a+b+c+d则下列说法中正确的是（）A。

ad—bc越小,说明X与Y关系越弱B。

ad—bc越大，说明X与Y关系越强C。

（ad-bc）2越大,说明X与Y关系越强D。

(ad—bc）2越接近于0，说明X与Y关系越强【解析】选C.因为K2=,所以(ad—bc)2越大，则K2越大，X与Y关系越强，故选C.3。

下面是2×2列联表。

y1y2总计x1332154x2a1346总计b34则表中a,b处的值应为( )A.33，66B.25,50 C。

32，67 D.43,56【解析】选A。

由2×2列联表知a+13=46，所以a=33，又b=a+33，所以b=33+33=66。

4。

研究生毕业的一个随机样本给出了关于所获取学位类别与学生性别的分类数据如表所示:硕士博士总计男16227189女1438151总计30535340根据以上数据,则( ）A.性别与获取学位类别有关B.性别与获取学位类别无关C。

基础巩固强化一、选择题1．在2×2列联表中，两个比值________相差越大，两个分类变量之间的关系越强( )A.a a ＋b 与c c ＋dB.a c ＋d 与c a ＋bC.a a ＋d 与c b ＋cD.a b ＋d 与c a ＋c[答案] A[解析] a a ＋b 与cc ＋d 相差越大，说明ad 与bc 相差越大，两个分类变量之间的关系越强．2．独立性检验中，不需要精确计算就可以粗略地判断两个分类变量是否有关的是( )A ．散点图B ．等高条形图C ．假设检验的思想D ．以上都不对 [答案] B[解析] 等高条形图可以粗略地判断两个分类变量是否有关，但无法精确地给出结论的可靠程度，故选B.3．假设有两个分类变量X 与Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其2×2列联表为：最大的一组为( )A ．a ＝5，b ＝4，c ＝3，d ＝2B ．a ＝5，b ＝3，c ＝4，d ＝2C ．a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝5D ．a ＝2，b ＝3，c ＝5，d ＝4 [答案] D[解析] 比较|a a ＋b －cc ＋d |.选项A 中，|59－35|＝245； 选项B 中，|58－46|＝124； 选项C 中，|25－49|＝245； 选项D 中，|25－59|＝745.故选D.4．某卫生机构对366人进行健康体检，其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人；阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，有______的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．( )A ．99.9%B ．99.5%C ．99%D ．97.5%[答案] D[解析] 可以先作出如下列联表(单位：人)：糖尿病患者与遗传列联表k＝366×(16×240－17×93)2109×257×33×333≈6.067>5.024.故我们有97.5%的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．5．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是()①若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误A．①B．①③C．③D．②[答案] C[解析]①推断在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，说法错误，排除A，B，③正确．排除D，选C.二、填空题6．为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以下的人，调查结果如下表：[答案]7.4697．调查者通过随机询问72名男女中学生喜欢文科还是理科，得到如下列联表(单位：名)性别与喜欢文科还是理科列联表“没有”)[答案]有[解析]通过计算K2的观测值k＝72×(16×8－28×20)2 36×36×44×28≈8.42>7.879.故我们有99.5%的把握认为中学生的性别和喜欢文科还是理科有关系．三、解答题8．某地区有关部门调查该地区的一种传染病与饮用不干净水的关系，得到如下列联表(单位：人)：传染病与饮用不干净水列联表[解析]由已知列联表中数据计算得K2的观测值为k＝830×(52×218－94×466)2≈54.21，518×312×146×684因为54.21>10.828，所以我们有99.9%的把握认为该地区的这种传染病与饮用不干净水是有关的．[点评]对数据作统计分析推断实质上是让我们来判断得这种传染病是否与饮用不干净的水有关系，即根据数据求K2的观测值，再利用其与临界值的大小关系来判断．。

高二数学独立性检验的基本思想及其初步应用试题答案及解析1.某高校“统计初步”课程教师随机调查了选该课的一些学生情况，共调查了50人，其中女生27人，男生23人。

女生中有20人选统计专业。

另外7人选非统计专业；男生中中有10人统计专业，另外,13人选非统计专业。

(1)根据以上数据完成下列的2×2列联表（2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为主修统计专业与性别有关系？【答案】(1) 列联表见解析（2）能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，有95%认为主修统计专业与性别有关系【解析】本试题主要是考查了独立性检验的思想在实际中的运用。

根据已知的列联表中的数据得到a,b,c,d，然后代入公式k2=得到的结果P(k2可知犯错率，得到结论。

解：(1)根据以上数据完成下列的2×2列联表专业非统计统计专业总计……6分(2)根据列联表中的数据，得到观测值k2=…………10分P(k2答：在犯错误的概率不超过0.005的前提下，有95%认为主修统计专业与性别有关系12分2.下面是一个22列联表，则表中a、b处的值分别为( )y y总计A. 94、96B. 52、54C. 52、50D. 54、52【答案】B【解析】解：因为根据表格中的数据可知，2+a=b,b+46=100,b=54,a=52,选B3.(本小题满分12分)为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，调查了105个样本，统计结果为：服用药的共有55个样本，服用药但患病的仍有10个样本，没有服用药且未患病的有30个样本.（1）根据所给样本数据画出2×2列联表；（2）请问能有多大把握认为药物有效？【答案】 (1)(2)这种判断出错的可能性不超过5%【解析】根据题意，列出服用药的共有55个样本，则未服药的50个样本，服用药但未患病的有20个样本，没有服用药且未患病的有30个样本，列出2×2列联表；求出，记忆卡方范围，得出判断。