随机变量及其分布列与独立性检验练习题附答案

离散型随机变量及其分布列测试题（含答案）离散型随机变量及其分布列测试题⼀、选择题：1、如果X 是⼀个离散型随机变量，则假命题是( )A. X 取每⼀个可能值的概率都是⾮负数；B. X 取所有可能值的概率之和为1；C. X 取某⼏个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D. X 在某⼀范围内取值的概率⼤于它取这个范围内各个值的概率之和2①某寻呼台⼀⼩时内收到的寻呼次数X ；②在(0,1)区间内随机的取⼀个数X ；③某超市⼀天中的顾客量X 其中的X 是离散型随机变量的是（） A ．①； B ．②； C ．③； D ．①③3、设离散型随机变量ξ的概率分布如下，则a 的值为（）A ．12 B ．6 C ．3 D ．44、设随机变量X 的分布列为()()1,2,3,,,k P X k k n λ===??，则λ的值为（）A ．1；B ．12； C ．13； D ．145．给出下列四个命题：①15秒内，通过某⼗字路⼝的汽车的数量是随机变量；②在⼀段时间内，某侯车室内侯车的旅客⼈数是随机变量；③⼀条河流每年的最⼤流量是随机变量；④⼀个剧场共有三个出⼝，散场后某⼀出⼝退场的⼈数是随机变量．其中正确的个数是（ D ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．46、设随机变量X 等可能取1、2、3...n 值，如果(4)0.4p X ≤=,则n 值为（）A. 4B. 6C. 10D. ⽆法确定7、投掷两枚骰⼦，所得点数之和记为X ，那么4X =表⽰的随机实验结果是（）A. ⼀枚是3点，⼀枚是1点B. 两枚都是2点C. 两枚都是4点D. ⼀枚是3点，⼀枚是1点或两枚都是2点8．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．⾄多有2只是坏的9.(2007年湖北卷第1题) 如果nx x ??? ?-3223 的展开式中含有⾮零常数项，则正整数n 的最⼩值为 A.3 B.5 C.6 D.1010.（2007年湖北卷第9题）连掷两次骰⼦得到的点数分别为m 和n ，记向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)的夹⾓为θ，则??π∈θ20，的概率是A.125 B.21 C.127 D.65 11.（2007年北京卷第5题）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位⽼⼈拍照，要求排成⼀⾏，2位⽼⼈相邻但不排在两端，不同的排法共有A ．1440种 B.960种 C ．720种 D.480种12.(2007年全国卷Ⅱ第10题) 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期⽇参加公益活动，每⼈⼀天，要求星期五有2⼈参加，星期六、星期⽇各有1⼈参加，则不同的选派⽅法共有 (A)40种 (B) 60种 (C) 100种 (D) 120种⼆、填空题：13 、下列表中能成为随机变量X 的分布列的是（把全部正确的答案序号填上）()2,1,2,3,,21n P X k k n ===-14、已知2Y X =为离散型随机变量，Y 的取值为1,2,3,,10 ，则X 的取值为 15、⼀袋中装有5只同样⼤⼩的⽩球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最⼤号码数X 可能取值为16. (2007年重庆卷第4题)若1nx x ?+展开式的⼆项式系数之和为64，则展开式的常数项为_____17、某城市出租汽车的起步价为10元，⾏驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不⾜1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于⾏车路线的不同以及途中停车时间要转换成⾏车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机⼀次接送旅客的⾏车路程ξ是⼀个随机变量，他收旅客的租车费可也是⼀个随机变量 (1)求租车费η关于⾏车路程ξ的关系式； (2)已知某旅客实付租车费38元，⽽出租汽车实际⾏驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多⼏分钟?18、⼀盒中放有⼤⼩相同的红⾊、绿⾊、黄⾊三种⼩球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的⼀半．现从该盒中随机取出⼀个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出⼀球所得分数X 的分布列．分析：欲写出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每⼀值时的概率．19.(2007年重庆卷第6题) 从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中⾄少有2张价格相同的概率20.(2007年辽宁卷) ⼀个坛⼦⾥有编号为1，2，…，12的12个⼤⼩相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是⿊球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且⾄少有1个球的号码是偶数的概率为多少 21、⼀个类似于细胞分裂的物体，⼀次分裂为⼆，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，⽽随机终⽌．设分裂n 次终⽌的概率是n21(n =1,2,3,…)．记X 为原物体在分裂终⽌后所⽣成的⼦块数⽬，求(10)P X ≤.22．(本题满分12分)(2010·浙江杭州⾼⼆检测)甲、⼄等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位⾄少有⼀名志愿者．② ()1,2,3,4,5,P X k k k=== ④⑤(1)求甲、⼄两⼈同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、⼄两⼈不在同⼀个岗位服务的概率；(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的⼈数，求X 的分布列．⾼中数学系列2—3单元测试题（2.1）参考答案⼀、选择题：1、D2、D3、C4、B5、D6、C7、D8、C9、B 10、C 11、B 12、B ⼆、填空题： 13、③④ 14、13579,1,,2,,3,,4,,52222215、 3,4,5 16、 2017、解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2 (2)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟． 18、解：设黄球的个数为n ，由题意知绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ．∴ 44(1)77n P X n ===，1(0)77n P X n ===，22(1)77n P X n =-==．19、解从总数为10的门票中任取3张，总的基本事件数是C 310=120，⽽“⾄少有2张价格相同”则包括了“恰有2张价格相同”和“恰有3张价格相同”，即C 25+C 9033351822172315=++?+??C C C C C C （种）.所以，所求概率为.4312090= 20解P （A ）=112211122232562122326=??-?=-C C C .21、解：依题意，原物体在分裂终⽌后所⽣成的数⽬X 的分布列为．∴ (10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==8842=++．22. [解析] (1)记甲、⼄两⼈同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140.即甲、⼄两⼈同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记甲、⼄两⼈同时参加同⼀岗位服务为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110.所以，甲、⼄两⼈不在同⼀岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910.(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件“X ＝2”是指有两⼈同时参加A 岗位服务，则P (X ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P (X ＝1)＝1－P (X ＝2)＝34，X 的分布列为：。

一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．2．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．【解答】解：（1）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，每次取出次品的概率为：，相当于5次独立重复实验，ξ～B（5，），P（ξ＝0）＝＝0.59059，P（ξ＝1）＝＝0.32805，P（ξ＝2）＝＝0.07329，P（ξ＝3）＝＝0.0081，P（ξ＝4）＝＝0.00045，P（ξ＝5）＝＝0.00001，∴ξ的分布列为：ξ012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.00001（2）由题意知η的可能取值为0，1，2，3，4，5，且η～B（5，0.1），∴η的分布列为：η012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.000012．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．【解答】解：（1）由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为；（2）从该公司任选两名司机，记“这两人中﹣人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次“为事件B，“这两人中﹣人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：X012P3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）由意可知，选出的3名同学全是男生的概率为＝，∴选出的3名同学中至少有1名女生的概率为P＝1﹣＝．（2）根据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ0123P4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．【解答】解：（I）从甲中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，从乙中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，故“两球颜色相同”的概率P＝．（II）由题意可得，ξ所有可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，故ξ的分布列为：ξ012P5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．【解答】解：（1）依题意，得，解得或（舍去），所以．（2）由（1）得，，所以，．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）设事件该射手第i次射击，击中目标为A i，i＝1，2，3，则，所以，事件射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标可表示为，因为事件，，A1A2A3互斥，所以又事件A1，A2，A3相互独立，所以＝＝；（2）事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次等于事件前3次中恰好击中两次目标且第四次击中目标，又各次击中目标的概率为，所以前3次中恰有两次击中目标的概率为，第四次击中目标的概率为，所以事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率；（3）由已知ξ的取值有3，4，5，⋅⋅⋅，n，⋅⋅⋅，又，，，⋅⋅⋅，，所以随机变量ξ的分布列为：ξ345…n…P……7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．【解答】解：（1）由题意可得，X可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，故X的分布列为：X0123P（2）设得分为Y，则得分Y可以取4，5，6，7，分别对应4个黑球，3黑1红，2黑2红，1黑3红四种情况，P（Y≥6）＝P（Y＝6）+P（Y＝7）＝，故得分不小于6分的概率为．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．【解答】解：（1）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，∴随机变量ξ的分布列为：ξ012P（2）事件“选出的2学生至少有一女生”的概率为：P＝P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝＝．。

§1.1 独立性检验一、基础过关1．当χ2>2.706时，就有________的把握认为“x 与y 有关系”．2．在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶，则χ2≈__________.(结果保留3位小数)3．分类变量X 和Y 的列表如下，则下列说法判断正确的是________．(填序号)y 1 y 2 总计x 1 a b a ＋b x 2c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋d①ad －bc 越小，说明X 与Y 的关系越弱； ②ad －bc 越大，说明X 与Y 的关系越强； ③(ad －bc )2越大，说明X 与Y 的关系越强； ④(ad －bc )2越接近于0，说明X 与Y 的关系越强．4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110由χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得，χ2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：P (χ2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是________．①在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”； ②在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”； ③有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”； ④有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”．5．为了研究男子的年龄与吸烟的关系，抽查了100个男子，按年龄超过和不超过40岁，吸烟量每天多于和不多于20支进行分组，如下表：年龄合计 不超过40岁 超过40岁吸烟量不多于20支/天 50 15 65 吸烟量多于20支/天10 25 35 合计6040100则有________的把握确定吸烟量与年龄有关． 二、能力提升6．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些情况，具体数据如下表：专业 性别非统计专业统计专业 合计 男 13 10 23 女 7 20 27 合计203050为了判断主修统计专业是否与性别有关，根据表中的数据，得χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844.因为χ2≈4.844>3.841，所以判断主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．7．在2×2列联表中，若每个数据变为原来的2倍，则卡方值变为原来的________倍． 8．下列说法正确的是________．(填序号)①对事件A 与B 的检验无关，即两个事件互不影响； ②事件A 与B 关系越密切，χ2就越大；③χ2的大小是判断事件A 与B 是否相关的惟一数据； ④若判定两事件A 与B 有关，则A 发生B 一定发生．9．为研究某新药的疗效，给50名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：无效 有效 总计 男性患者 15 35 50 女性患者 6 44 50 总计2179100设H 0：服用此药的效果与患者的性别无关，则χ2的值约为________，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．10．某县对在职的71名高中数学教师就支持新的数学教材还是支持旧的数学教材做了调查，结果如下表所示：支持新教材支持旧教材合计 教龄在15年以上的教师122537教龄在15年以下的教师102434合计224971根据此资料，你是否认为教龄的长短与支持新的数学教材有关？11．下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：得病不得病总计干净水52466518不干净水94218312总计146684830(1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关，请说明理由；(2)若饮用干净水得病5人，不得病50人；饮用不干净水得病9人，不得病22人．按此样本数据分析这种疾病是否与饮用水的卫生程度有关，并比较两种样本在反映总体时的差异．三、探究与拓展12．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂：分组[29.86，29.90) [29.90，29.94) [29.94，29.98)[29.98，30.02)频数126386182分组[30.02，30.06) [30.06，30.10) [30.10，30.14)频数9261 4乙厂：分组[29.86，29.90) [29.90，29.94) [29.94，29.98) [29.98，30.02)频数297185159分组[30.02，30.06) [30.06，30.10) [30.10，30.14)频数766218(1)分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；(2)由以上统计数据填写2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．答案1．90% 2.16.373 3.③ 4.③ 5.99.9% 6．5% 7.2 8.② 9.4.882 5%10．解 由公式得χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝71×(12×24－25×10)237×34×22×49≈0.08.∵χ2<2.706.∴我们没有理由说教龄的长短与支持新的数学教材有关． 11．解 (1)假设：传染病与饮用水的卫生程度无关． 由公式得χ2＝830×(52×218－466×94)2146×684×518×312≈54.21.因为54.21>10.828.因此我们有99.9%的把握认为该地区这种传染病与饮用水的卫生程度有关． (2)依题意得2×2列联表：得病 不得病 总计 干净水 5 50 55 不干净水 9 22 31 总计147286此时，χ2＝86×(5×22－50×9)255×31×14×72≈5.785.由于5.785>5.024，所以我们有97.5%的把握认为该种传染病与饮用水的卫生程度有关． 两个样本都能统计得到传染病与饮用水的卫生程度有关这一相同结论，但(1)问中我们有99.9%的把握肯定结论的正确性，(2)问中我们只有97.5%的把握肯定结论的正确性． 12．解 (1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500×100%＝72%；乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500×100%＝64%. (2)甲厂 乙厂 总计 优质品 360 320 680 非优质品 140 180 320 总计5005001 000由列联表中的数据，得χ2＝1 000×(360×180－320×140)2680×320×500×500≈7.353>6.635.所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。

离散型随机变量及其分布列一、离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X 、Y 、ξ、η …表示．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．二、离散型随机变量的分布列一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2， …x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2， … ，n)的概率P(X ＝x i )＝p i ，则表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．有时为了表达简单，1.i P ≥0，i ＝1,2，…，n ； 211n i i p ==∑.四、常见离散型随机变量的分布列p ＝P(X ＝1)为成功概率．2．超几何分布列一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k}发生的概率为(),0,1,2,k n k M N M n C C P X k k m C --=== .其中m ＝min{M ，n}，且n≤N ，M≤N ，n ，M ，N ∈N*.称分布列例1：设随机变量X A.1 B.1 C.23 D.12X ，那么X ＝4表示的随机试验结果是( )A ．2颗都是4点B ．1颗是1点，另一颗是3点C ．2颗都是2点D ．1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点解：X ＝4表示的随机试验结果是1颗1点，另1颗3点或者两颗都是2点．例3：若随机变量X 的分布列P (x ＝i )＝i 2a(i ＝1、2、3)，则P (x ＝2)＝ ( ) A.1 B.1 C.1 D.1 ＝0.3，那么n ＝________.2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布解：P (X ＝0)＝1C 25＝110，P (X ＝1)＝C 3C 2C 25＝35，P (X ＝2)＝C 3C 25＝310. 1．对随机变量的理解(1)随机变量具有如下特点：其一，在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性；其二，在大量重复试验中能按一定统计规律取实数值的变量，即存在统计规律性．(2)由离散型随机变量分布列的概念可知，离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．因此， 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．2．分布列正误的检验方法对于离散型随机变量的分布列，要注意利用它的两条性质检验所列分布列是否正确，如果求出的离散型随机变量的分布列不满足这两条性质，就说明计算过程中存在错误；反之，也不能说明所得分布列一定是正确的．但要掌握利用这两条性质判断计算过程是否存在错误的方法．例6：设X则q 等于 A ．1 B ．1±2 C ．1－2 D ．1＋2则k 的值为 A.12B ．1C ．2D ．3若P (ξ2<x )＝1112，则实数x 的取值范围是__________．i i ＝1,2…. 2．P 1＋P 2＋…＋P n ＝1.其主要作用是用来判断离散型随机变量的分布列的正确性，或者用来计算随机变量取某些值的概率. 例9：某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．求X 的分布列．解：X 的所有可能取值为：0,1,2,3,4，P (X ＝i )＝C i 4C 4－i 4C 4(i ＝0,1,2,3,4)，即例10：1个红球每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场．(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和；解：由题意知η可取3,2,1,0即当η＝3时，ξ＝0.η＝2时，ξ＝1.η＝1时，ξ＝2.η＝0时，ξ＝3.∴η的分布列为η 3 2 1 0P 542 1021 514 121例13：第:31组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如下茎如图(单位：cm)： 若身高在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm 以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪解：(1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16，所以抽中的“高个子”有12×16＝2人，“非高个子”有18×16＝3人．用事件A 表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A 表示“没有1名‘高个子’被选中”，则P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 25＝1－310＝710.因此，至少有1人是“高个子”的概率是710. (2)依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝C 38C 312＝1455，P (ξ＝1)＝C 14C 28C 312＝2855，P (ξ＝2)＝C 24C 18C 312＝1255，P (ξ＝3)＝C 34C 312＝155.因此，ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3P 1455 2855 1255 155胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解：(1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D 、E 、F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知F 、E 、D 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立， 因此p (ξ＝0)＝P (DEF )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝P (DE F )＋P (DEF )＋P (D EF )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式得 P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 因此E (ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.。

一、选择题1．在一个箱子中装有大小形状完全相同的有4个白球和3个黑球，现从中有放回地摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X ，黑球个数Y ，则（ ） A ．()()()(),E X E Y D X D Y >> B ．()()()(),E X E Y D X D Y => C ．()()()(),E X E Y D X D Y >=D ．()()()(),E X E Y D X D Y ==2．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布()20.1,0.3N ，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间()0.4,0.7内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ，则()68.27%P μσξμσ-<<+=，()2295.45%P μσξμσ-<<+=）A ．31.74%B ．27.18%C ．13.59%D ．4.56%3．假定男女出生率相等，某个家庭有两个小孩，已知该家庭至少有一个女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．164．某地区共有高二学生5000人，该批学生某次数学考试的成绩服从正态分布()260,8N ，则成绩在7684分的人数大概是（ ）附：()0.6827P Z μσμσ-<<+=，()220.9545P Z μσμσ-<<+=，()330.9973P Z μσμσ-<<+=.A ．107B ．679C ．2493D ．23865．设103p <<，随机变量ξ的分布列如下：当p 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时，下列结论正确的是（ ） A ．()D ξ减小 B ．()D ξ增大 C ．()D ξ先减小后增大D ．()D ξ先增大后减小6．某种疾病的患病率为0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为（ ） A ．0.495%B ．0.940 5%C ．0.999 5%D ．0.99%7．设01p <<，随机变量ξ的分布列是ξ0 12P2p 12p- 12则当p 在()0,1内增大时（ ） A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ增大，()D ξ增大8．已知随机变量~X N ()22,σ，(0)0.84P X=，则(04)P X <<=（ ）A ．0.16B ．0.32C ．0.66D ．0.689．已知随机变量ξ的取值为()0,1,2i i =.若()105P ξ==，()1E ξ=，则( ) A ．()()1P D ξξ=< B ．()()1P D ξξ== C ．()()1P D ξξ=>D ．()()115P D ξξ==10．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有23的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（ ） A ．1320B ．920C ．15D ．12011．某校1 000名学生的某次数学考试成绩X 服从正态分布，其密度函数2222()x f x e-μ-σ=π⋅σ（）x ∈R （）曲线如图所示，正态变量X 在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%，则成绩X 位于区间(52,68]的人数大约是（ ）A ．997B ．954C ．683D ．34112．已知2~(1,)X N σ，(03)0.7P X <≤=，(02)0.6P X <≤=，则(3)≤=P X （ ） A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.9二、填空题13．设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件进行调查，则查得次品数的数学期望为__________.14．由“0，1，2”组成的三位数密码中，若用A 表示“第二位数字是2”的事件，用B 表示“第一位数字是2”的事件，则(|)P A B =__________.15．某工厂在试验阶段大量．．生产一种零件，这种零件有A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响，若有且仅有一项技术指标达标的概率为12，至少一项技术指标达标的概率为34.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品，任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，则E ξ=______.16．已知随机变量X 的分布列为(0,0)a b >>，当D(X)最大时，E(X)=_______________．17．已知随机变量ξ的分布列为且数学期望83E ξ=，则方差D ξ=__________． 18．袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球，设“第一次摸得红球”为事件A ，“摸得的两球同色”为事件B ，则概率P(B|A)＝________.三、解答题19．某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除了颜色外均相同. （1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记取到红球的次数为ξ，求ξ的分布列；（3）每次从纸箱中摸取一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取20次，取得几次红球的概率最大？（只需写出结论）20．为了解果园某种水果产量情况，随机抽取100个水果测量质量，样本数据分组为[)100,150，[)150,200，[)200,250，[)250,300，[)300,350，[]350,400（单位：克），其频率分布直方图如图所示：（1）用分层抽样的方法从样本里质量在[)250,300，[)300,350的水果中抽取6个，求质量在[)250,300的水果数量；（2）从（1）中得到的6个水果中随机抽取3个，记X 为质量在[)300,350的水果数量，求X 的分布列和数学期望；（3）果园现有该种水果越20000个，其等级规则及销售价格如下表所示： 质量m （单位：克） 200m < 200300m ≤<300m ≥等级规格 二等 一等 特等 价格（元/个）471021．张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有7次选题答题的机会(选一题答一题)，若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为12. （1）求张明进入下一轮的概率；（2）设张明在本次面试中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望. 22．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回．试求： （1）顾客买下该箱的概率α；（2）在顾客买下的一箱中，求无残次品的概率β.23．时值金秋十月，秋高气爽，我校一年一度的运动会拉开了序幕.为了增加运动会的趣味性，大会组委会决定增加一项射击比赛，比赛规则如下：向甲､乙两个靶进行射击，先向甲靶射击一次，命中得2分，没有命中得0分；再向乙靶射击两次，如果连续命中两次得3分，只命中一次得1分，一次也没有命中得0分.小华同学准备参赛，目前的水平是：向甲靶射击，命中的概率是35；向乙靶射击，命中的概率为23.假设小华同学每次射击的结果相互独立.（1）求小华同学恰好命中两次的概率； （2）求小华同学获得总分X 的分布列及数学期望.24．现有编号为1，2，3的三只小球和编号为1，2，3的三个盒子，将三只小球逐个随机地放入三个盒子中，每只球的放置相互独立. （1）求恰有一个空盒的概率；（2）求三只小球在三个不同盒子中，且每只球编号与所在盒子编号不同的概率； （3）记录所有至少有一只球的盒子，以X 表示这些盒子编号的最小值，求()E X . 25．随着如今人们生活水平的不断提高，旅游成了一种生活时尚，尤其是老年人的旅游市场在不断扩大.为了了解老年人每年旅游消费支出（单位：元）的情况，相关部门抽取了某地区1000名老年人进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：（2）根据样本数据，可近似地认为老年人的旅游费用支出X 服从正态分布()23000,1000N ，若该地区共有老年人95000人，试估计有多少位老年人旅游费用支出在5000元以上；（3）已知样本数据中旅游费用支出在[)5000,6000范围内的10名老人中有7名女性，3名男性.现想选其中3名老人回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列. 附：若()2~,X Nμσ，()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=.26．为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现F 症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现F 症状的概率均为13，且每次给药后是否出现F 症状与上次给药无关．（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现2次F 症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现3次F 症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为X ，求X 的分布列和数学期望．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】有放回地摸出一个球，它是白球的概率是47，它是黑球的概率是37，因此4(5,)7XB ，3(5,)7YB ，由二项分布的均值与方差公式计算后可得结论．【详解】 有放回地摸出一个球，它是白球的概率是47，它是黑球的概率是37，因此4(5,)7XB ，3(5,)7YB ，∴420()577E X =⨯=，315()577E Y =⨯=， 4360()57749D X =⨯⨯=，3460()57749D Y =⨯⨯=．故选：C 【点睛】结论点睛：本题考查二项分布，掌握二项分布的概念是解题关键．变量(,)XB n p ，则()E X np =，()(1)D X np p =-．2．C解析：C 【分析】由题意可知0.1,0.3μσ==，结合题意得出(0.20.4)68.27%P ξ-<<=，(0.50.7)95.45%P ξ-<<=，再由()(0.50.7)(0.20.4)0.40.72P P P ξξξ-<<--<<<<=，即可得出答案.【详解】由题意可知0.1,0.3μσ==则(0.20.4)68.27%P ξ-<<=，(0.50.7)95.45%P ξ-<<= 即()(0.50.7)(0.20.4)95.45%68.27%0.40.713.59%22P P P ξξξ-<<--<<-<<===故选：C【点睛】本题主要考查了利用正态分布对称性求概率，属于中档题.3．B解析：B 【分析】记事件A 为“至少有一个女孩”，事件B 为“另一个也是女孩”，分别求出A 、B 的结果个数，问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求(|)P B A ，由条件概率公式求解即可. 【详解】解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}．记事件A 为“至少有一个女孩”，事件B 为“另一个也是女孩”，则{A =（男，女），（女，男），（女，女）}，{B =（男，女），（女，男），（女，女）}，{AB =（女，女）}．于是可知3()4P A =，1()4P AB =． 问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求(|)P B A ，由条件概率公式，得()114334P B A ==．故选：B ． 【点睛】本题的考点是条件概率与独立事件，主要考查条件概率的计算公式：()()()P AB P B A P A =，等可能事件的概率的求解公式：()mP M n=（其中n 为试验的所有结果，m 为基本事件的结果）.4．A解析：A 【分析】由已知结合2σ与3σ原则求得P （76＜Z ＜84），乘以5000得答案． 【详解】由学生某次数学考试的成绩服从正态分布N （60，82），得μ＝60，σ＝8，(7684)(23)P Z P Z μσμσ∴<<=+<<+1[(33)(22)]2P Z P Z μσμσμσμσ=-<<+--<<+1(0.99730.9545)0.02142=-= ∴成绩在76～84分的人数大概是5000×0.0214＝107． 故选：A ． 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．5．A解析：A 【分析】根据方差公式得出211()64D p ξ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质，即可得出答案. 【详解】122()01333E p p p ξ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222122()013333D p p p p ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--++-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⨯2212113964p p p ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭当p 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时，()D ξ∴减小 故选：A 【点睛】本题主要考查了求离散型随机变量的方差，涉及了二次函数性质的应用，属于中档题.6．A解析：A 【分析】设事件A ＝“血检呈阳性”，B ＝“患该种疾病”,由题得P （B ）＝0.005，P (A |B )＝0.99， 由条件概率得P (AB )＝P （B ）P (A |B )，计算即得解. 【详解】设事件A ＝“血检呈阳性”，B ＝“患该种疾病”． 依题意知P （B ）＝0.005，P (A |B )＝0.99，由条件概率公式P (A |B )＝()()P AB P B ，得P (AB )＝P （B ）P (A |B )＝0.005×0.99=0.00495， 故选：A. 【点睛】本题主要考查条件概率的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．B解析：B 【分析】根据题意计算随机变量ξ的分布列和方差，再判断p 在(0,1)内增大时，()E ξ、()D ξ的单调性即可． 【详解】解：设01p <<，随机变量ξ的分布列是1131()01222222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=-， 方差是22231311311()(0)(1)(2)222222222p p D p p p ξ-=-+⨯+-+⨯+-+⨯ 21144p p =-++ 215(2)44p =--+，当p 在(0,1)内增大时，()E ξ减小，()D ξ增大．故选：B ． 【点睛】本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力．8．D解析：D 【分析】先由对称性求出(X 4)P ≥，再利用(04)12(4)P X P X <<=-≥即得解. 【详解】由于随机变量~X N ()22,σ，关于2X =对称，故(4)(0)1(0)10.840.16P X P X P X ≥=≤=-≥=-= (04)12(4)10.320.68P X P X ∴<<=-≥=-=故选：D 【点睛】本题考查了正态分布在给定区间的概率，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.9．C解析：C 【分析】设()1P x ξ==，根据()f x ，()1E ξ=列方程求出x ，进而求出()D ξ，即可比较大小. 【详解】设()1P x ξ==， 则()425P x ξ==-，则()1480121555x x E x ξ⎛⎫=⨯+⨯+-⨯=-= ⎪⎝⎭，解得()315P ξ==，()125P ξ==， 则()()()()22213120111215555D ξ=⨯-+⨯-+⨯-=， 故()()1P D ξξ=>， 故选：C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.10．C解析：C 【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B ，利用二项分布的知识计算出()P A ，再计算出()P AB ，结合条件概率公式求得结果. 【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B则()2323332122033327P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()122433327P AB =⨯⨯= ()()()15P AB P B A P A ∴==本题正确选项：C 【点睛】本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题.11．C解析：C 【解析】分析：先由图得,μσ，再根据成绩X 位于区间(52,68]的概率确定人数. 详解：由图得8μσ=== 因为60852,60868-=+=，所以成绩X 位于区间(52,68]的概率是68.3%， 对应人数为68.3%1000683⨯=， 选C.点睛：利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.12．D解析：D 【解析】分析：根据随机变量X 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得()3P X ≤．详解：由题意230.70.60.1P x =-=，（＜＜） ， ∵随机变量()2~1,X N σ，(02)0.6P X <≤=，(12)0.3P X <≤=∴()130.30.10.4,P X <≤=+=30.40.50.9P X =+=（＜）， 故选D ．点睛：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．二、填空题13．【分析】设抽得次品数为列出随机变量的分布列进而可求得的值【详解】设抽得次品数为则随机变量的可能取值有则所以随机变量的分布列如下表所示： 所以故答案为：【点睛】方法点睛：求离散型随机解析：35【分析】设抽得次品数为X ，列出随机变量X 的分布列，进而可求得()E X 的值. 【详解】设抽得次品数为X ，则随机变量X 的可能取值有0、1、2，则()272107015C P X C ===，()11372107115C C P X C ===，()232101215C P X C ===， 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，()0121515155E X =⨯+⨯+⨯=. 故答案为：35. 【点睛】方法点睛：求离散型随机变量均值与方差的基本方法： （1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．（2）已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y aX b =+的均值、方差，可直接用X 的均值、方差的性质求解；（3）如果所给随机变量是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），利用它们的均值、方差公式求解．14．【分析】利用古典摡型的概率计算公式分别求得结合条件概率的计算公式即可求解【详解】由012组成的三位数密码共有个基本事件又由用A 表示第二位数字是2的事件用B 表示第一位数字是2的事件可得所以故答案为：【解析：13【分析】利用古典摡型的概率计算公式，分别求得(),()P B P A B ，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由“0，1，2”组成的三位数密码，共有33327⨯⨯=个基本事件，又由用A 表示“第二位数字是2”的事件，用B 表示“第一位数字是2”的事件， 可得33131(),()273279P B P A B ⨯====， 所以1()19(|)1()33P A B P A B P B ===. 故答案为：13.【点睛】本题主要考查了条件概率的计算与求解，其中解答中熟记条件概率的计算公式，准确运算时解答得关键，属于基础题.15．1【分析】设两项技术指标达标的概率分别为得到求得的值进而得到可得分布列和的值得到答案【详解】由题意设两项技术指标达标的概率分别为由题意得解得所以即一个零件经过检测为合格品的概率为依题意知所以故答案为解析：1 【分析】设,A B 两项技术指标达标的概率分别为12,P P ，得到()()()()122112111231114P p P P P P ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩，求得12,P P 的值，进而得到1(4,)4B ξ，可得分布列和E ξ的值，得到答案．【详解】由题意，设,A B 两项技术指标达标的概率分别为12,P P ，由题意，得()()()()122112111231114P p P P P P ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩，解得1211,22P P ==， 所以1214P PP ==，即一个零件经过检测为合格品的概率为14， 依题意知1(4,)4B ξ，所以1414E ξ=⨯=．故答案为1． 【点睛】本题主要考查了随机变量的分布列及其数学期望的计算，其中解答中根据概率的计算公式，求得12,P P 的值，得到随机变量1(4,)4B ξ是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．16．【分析】先计算再计算当时最大得到答案【详解】由题知故当时最大此时故答案为【点睛】本题考查了期望和方差意在考查学生的计算能力解析：54【分析】先计算13b a =-，再计算()24E X a =-，2()166D X a a =-+，当316a =时()D X 最大,得到答案. 【详解】由题知13()22(13)24b a E X a a a=-∴=+-=-,2222()(42)(41)2(4)(13)166D X a a a a a a a a =-⋅+-⋅+⋅-=-+,故当316a =时()D X 最大, 此时5()4E X = 故答案为54【点睛】本题考查了期望和方差，意在考查学生的计算能力.17．【解析】分析：根据概率和为求出的值在根据期望公式求得的值由方差公式可得结果详解：故答案为点睛：本题考查离散型随机变量的分布列离散型随机变量的期望与方差公式意在考查综合应用所学知识解决问题的能力属于中 解析：179【解析】分析：根据概率和为1，求出y 的值，在根据期望公式求得x 的值，由方差公式可得结果. 详解：1111,623y y ++=∴=， 11181+4=3623x ∴⨯+⨯，2x ∴=，222818181171243336329D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为179.点睛：本题考查离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的期望与方差公式，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，属于中档题.18．【解析】由P(A)＝P(AB)＝×＝由条件概率得P(B|A)＝＝解析：14【解析】由P (A )＝，P (AB )＝×＝，由条件概率得P (B |A )＝＝.三、解答题19．（1）12；（2）分布列见解析；（3）15次. 【分析】（1）利用组合数公式和古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）由题意可知，34,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量ξ的分布列； （3）根据独立重复试验的概率公式可得出结论. 【详解】（1）一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出2个红球，相当于从3个红球中摸出2个红球，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为232412C P C ==；（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，则每次摸到红球的概率均为34， 这样摸球4次，则34,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以，()4110=4256P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()3143131=4464P C ξ⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，()22243127244128P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()334312734464P C ξ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭，()438144256P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭. 因此，随机变量ξ的分布列如下表所示：【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.20．（1）4个；（2）分布列见解析；期望为1；（3）143000（元）． 【分析】（1）根据频率分布直方图得到质量在[)250,300，[)300,350的该水果的频率，按照比例抽取即可.（2）由（1）知，6个水果中由2个质量在[)300,350，得到X 的所有可能取值为0，1，2，再分别求得其相应的概率，列出分布列，再求期望.（3）根据频率分布直方图，得到质量在[)100,150，[)150,200，[)200,250，[)250,300，[)300,350，[]350,400的该种水果的频率，然后估计20000个水果中，哥等级的个数求解. 【详解】（1）质量在[)250,300，[)300,350的该水果的频率分别为0.008500.4⨯=，0.004500.2⨯=，其比为2:1，所以按分层抽样从质量在[)250,300，[)300,350的这种水果中随机抽取6个， 质量在[)250,300的该种水果有4个．（2）由（1）可知，6个水果中由2个质量在[)300,350， 所以X 的所有可能取值为0，1，2．()3436C 10C 5P X ===，()214236C C 31C 5P X ===，()124236C C 12C 5P X ===．所以X 的分布列为故X 的数学期望()0121555E X =⨯+⨯+⨯=． （3）由频率分布直方图可知，质量在[)100,150，[)150,200，[)200,250，[)250,300，[)300,350，[]350,400的该种水果的频率分别为0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05．所以估计20000个水果中，二等品有()200000.10.14000⨯+=个； 一等品有()200000.150.411000⨯+=个； 特等品有()200000.20.055000⨯+=个．果园该种水果的销售收入为40004110007500010143000⨯+⨯+⨯=（元）． 【点睛】方法点睛：求解离散型随机变量X 的分布列的步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X 取每个值的概率；③写出X 的分布列．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识． 21．（1）12；（2）分布列答案见解析，数学期望：9316. 【分析】（1）分情况讨论张明进入下一轮的概率；（2）由条件可知4,5,6,7ξ=，理解随机变量对应的事件，写出概率分布列，计算数学期望. 【详解】（1）张明答4道题进入下一轮的概率为411()216=，答5道题进入下一轮的概率为3341111()2228C ⋅⋅⋅=，答6道题进入下一轮的概率为33251115()()22232C ⋅⋅⋅=，答7道题进入下一轮的概率为33361115()()22232C ⋅⋅⋅=，张明进入下一轮的概率为1155116832322P =+++=； （2）ξ可能取值为4､5､6､7，当4ξ=时可能答对4道题进入下一轮，也可能打错4道题被淘汰，44111(4)()()228P ξ==+=，3333441111111(5)()()2222224P C C ξ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，332332551111115(6)()()()()22222216P C C ξ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，333333661111115(7)()()()()22222216P C C ξ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，于是ξ的分布列为：5593()456784161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】关键点点睛：第二问和第一问的对应的概率不一样，比如第一问当5ξ=时，表示答5题后进入下一轮，第二问5ξ=时，表示答5题后进入下一轮，或是被淘汰，分清事件，才能正确写出概率.22．（1）0.94；（2）0.85. 【分析】（1）先求出一箱中有i 件残次品的概率，再求查看的有i 件残次品的概率，进而由条件概率求出顾客买下该箱玻璃杯的概率；（2）由（1）可得顾客买下该箱玻璃杯的条件下没有残次品的概率． 【详解】设A ＝‘顾客买下该箱’，B ＝‘箱中恰有i 件残次品’，i ＝0,1,2，(1)α＝P (A )＝P (B 0)P (A |B 0)＋P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)P (A |B 2)＝0.8＋0.1×419420C C ＋0.1×418420C C ≈0.94.(2)β＝P (B 0|A )＝()()00.80.94P AB P A =≈0.85. 【点睛】结论点睛：应用条件概率时弄清概率P (B |A )和P (AB ) 的区别与联系: (1)联系:事件A 和B 都发生了;(2)区别: a 、P (B | A )中，事件A 和B 发生有时间差异，A 先B 后;在P (AB )中，事件A 、B 同时发生.b 、样本空间不同，在P (B |A )中，样本空间为A ,事件P (AB )中,样本空间仍为Ω. 23．（1）49；（2）分布列答案见解析，数学期望：13445. 【分析】（1）记：“小华恰好命中两次”为事件A ，“小华射击甲靶命中”为事件B ，“小华第一次射击乙靶命中”为事件C ，“小华第二次射击乙靶命中”为事件D ， 则有A BCD BCD BCD =++，由互斥事件与独立事件的概率公式可得；（2）随机变量X 的取值可能为0,1,2,3,5，求出它们的概率可得分布列，由期望公式可计算出期望． 【详解】解：（1）记：“小华恰好命中两次”为事件A ，“小华射击甲靶命中”为事件B ， “小华第一次射击乙靶命中”为事件C ，“小华第二次射击乙靶命中”为事件D ， 由题意可知3()5P B =，2()()3P C P D ==，由于A BCD BCD BCD =++， ∴3213122224()()5335335339P A P BCD BCD BCD =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 故甲同学恰好命中一次的概率为49. （2）X =0，1，2，3，5．2212(0)5345P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，122218(1)53345P X C ==⨯⨯⨯=， 2311(2)5315P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，123212224(3)5335339P X C ==⨯⨯⨯+⨯⨯=，2324(5)5315P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()0123545451591545E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查互斥事件与相互独立事件的概率公式，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题关键是把事件“小华恰好命中两次”拆成一些互斥事件的和，确定随机变量的可能值并计算出概率． 24．（1）23；（2）227；（3）43. 【分析】（1）方法一：将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来，写出满足条件的基本事件，用满足条件的个数除以总的个数计算其概率； 方法二：用排列组合数表示；（2）方法一：将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来，写出满足条件的基本事件，用满足条件的个数除以总的个数计算其概率；方法二：用排列组合数表示；（3）方法一：将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来，写出满足条件的基本事件，用满足条件的个数除以总的个数计算其概率；方法二：用排列组合数表示；【详解】解：方法一：记三个球分别为①，②，③，试验的全部基本事件如下表：共27种.根据古典概型公式()182 273P A==.（2）记“三只小球在三个不同盒子中，且每只球的编号与所在盒子编号不同”为事件B，事件B包含的基本事件数有2种.根据古典概型公式2 ()27 P B=.（3）X的可能取值为1，2，3.19(1)27P X ==，7(2)27P X ==，1(3)27P X ==； X 的分布列如下：()1232727273E X =⨯+⨯+⨯=. 方法二：（1）记“恰有一个空盒”为事件A ，则11133232()33C C C P A ==. （2）记“三只小球在三个不同盒子中，且每只球的编号与所在盒子编号不同”为事件B . 则322()327P B ==. （3）X 的可能取值为1，2，3.3333219(1)327P X -===， 333217(2)327P X -===， 311(3)327P X ===； X 的分布列如下：()1232727273E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】求古典概型概率的步骤：（1）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A ；（2）分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ；（3）利用公式()mP A n=，求出事件A 的概率． 25．（1）2320元；（2）2166位；（3）分布列见解析. 【分析】（1）将每组的中点值乘以对应组的人数，将所得结果全部相加并除以1000可得出该样本的平均数；（2）由题可得25000μσ+=，计算出()2P X μσ≥+的值，乘以95000即可得解； （3）由题意可知，随机变量ξ的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，进而可得出随机变量ξ的分布列.【详解】（1）设样本平均数为x ，则有：50012015002602500340350025045002055001023201000x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（元）；（2）3000μ=，1000σ=，25000μσ∴+=， 所以旅游费用在5000元以上的概率为()()2120.022228P P X X μσμσμσ--+==+≥<<， 950000.02282166⨯=，所以估计有2166位老人旅游费用支出在5000元以上； （3）由题意可知，ξ的取值为0、1、2、3，()373107024C P C ξ===，()217331021140C C P C ξ===，()12733107240C C P C ξ===，()3331013120C P C ξ===. 所以，随机变量ξ的分布列为思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.26．（1）2227；（2）分布列见解析，21781. 【分析】（1）利用“正难则反”思想，计算一个给药周期也没有参加完的概率P ，则至少能参加一个给药周期的概率为1P -；（2）先计算出一个给药周期内至少出现3次F 症状的概率，然后根据题目条件确定随机变量X 的可能取值，分别计算每一个X 值所对应的概率，列出分布列并求出数学期望.【详解】解：（1）设“一只白鼠至少能参加一个给药周期”为事件M ，则M 的对立事件为一个给药周期也没有参加完．设一次给药出现F 症状为事件A ，则一个给药周期也没有参加完的概率为()()212115333327P P AA P AAA ⎛⎫=+=+⨯⨯= ⎪⎝⎭， 所以一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率为()522112727P M P =-=-=． （2）设事件B 为“在一个给药周期中某只白鼠至少出现3次F 症状”， 则()343412113339P B C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则随机变量X 的取值为1,2,3． ()3434121113339P X C ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()818219981P X P B P B ==-⋅=⨯=⎡⎤⎣⎦， ()()()88643119981P X P B P B ==-⋅-=⨯=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望为()8642171239818184E X =⨯+⨯+⨯=． 【点睛】 本题考查概率的乘法公式及加法公式，考查随机变量的分布列及数学期望计算，难度一般.解答时易错点如下：（1）每次给药相互独立；（2）在解答第（2）小题时，注意若前一个给药周期能通过，才可以参加下一个给药周期.。

第2章 随机变量及其分布（练习、复习题及答案）一、填空题：1.随机变量ξ的分布列为P(ξ=k )=a /N ，(k =1,2,…,N)，则a = 1 .2.射手每次射击击中目标的概率为p ,连续向同一目标射击，直到某一次击中目标为止,则射击次数ξ的分布列为 P(ξ=k )=p (1-p )k -1,k =1,2,….3.随机变量ξ服从参数为(2,p )的二项分布,随机变量η服从参数为(4,p )的二项分布,若P(ξ<1)=4/9,则P(η≥1)=_ 65/81_.4.离散型随机变量ξ的概率分布P(ξ=0)=0.2，P(ξ=1)=0.3，P(ξ=2)=0.5，则P(ξ≤1.5)=__0.5__.5.随机变量ξ的分布列为P(ξ=k )=!k Ckλ,k =0,1,2,…(λ>0)，则C ＝ e -λ. *λλλλe =++++!3!2!11326.随机变量ξ的分布列为P(ξ=k )=k a -λ,k =1,2,…，其中λ>1，则a ＝ λ-1 .7.一实习生用同一台机器接连独立地制造三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率3,2,1,11=+=i i p i ，以ξ表示三个零件中合格品的个数，则P{ξ=2}＝ 11/24 .8.随机变量ξ的分布函数为F(x ),则概率P(ξ≥a )用F(x )表示为__ 1-F(a )__. 9.随机变量ξ的分布函数为F(x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥+--0 0 0)1(1x x ex x ,,,则P(ξ≤1)=_1-2e -1_. 10.随机变量ξ的概率密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<-其他,), 0 2A(2x x ,则A=__1/4__.11.连续型随机变量ξ的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=1, 110,0,0)(F 2x x x x x ,则ξ的概率密度f (x )=⎩⎨⎧<<其他, 1 10,2x x .12.连续型随机变量ξ的分布函数为)0(00,0B A )(F >⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=-λλx x ex x ,, ，则常数A =_1 ,B =_-1;P{-1<ξ<1}= 1-e -λ.13.随机变量ξ的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥+-=-0, 00,)1(1)(x x ex x F x ,则相应的概率密度是⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0, 00,)(x x xex f x .14.随机变量ξ在[1,4]上服从均匀分布,现在对进行3次独立试验,则至少有2次观察值大于2的概率为_20/27_.15.随机变量ξ ~N(70,102)，则P(60<ξ<80)=_0.6826_.(已知Φ(1)=0.8413)16.随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(2<ξ<4)=0.3,则P(ξ<0)=_0.2_.17.随机变量服从正态分布N(μ,σ2)，已知P(ξ<9)=0.975，P(ξ<2)=0.062，则P(ξ>6)=_0.3228_. 18.若ξ~N(0,1)，则η=ξ3的密度函数为+∞<<-∞--y e yy,231322132π.19.统考成绩服从正态分布N(70,102),在参加统考的人中,及格者100人(及格分数为60分),则不及格人数约为_19_.二、选择题1.在下列结果中，构成概率分布的是( D ).{}{}{}{}),,(D.P ),,,(C.P ),,(B.P ),,,(A.P 2 132 2 1 032 2 131 2 1 031============k k ξk k ξk k ξk k ξkkkk2.随机变量ξ的概率分布为P(ξ=k )=b λk (k =1,2,…), b >0，则( C ). A.λ为任意正实数 B.λ=b +1 C.b+=11λ D.11-=b λ3.常数b =( B )时，),,( 2 1)1(=+=k k k b p k 为离散型随机变量的概率分布.A.2B.1C.0.5D.34.设ξ是一个离散型随机变量，则( D )可以成为ξ的分布列.{}{}, , , n n en ξn n en ξx x x x x R p p p nn210!32 1!30.22.0 .303.0 .10 ,1 0 1 3354321======⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛---.D.P,,.C.P B.A.5.随机变量ξ~N(0,1)，ξ的分布函数为Φ(x )，则P(⎢ξ⎪<1)的值为( B ).A.2[1-Φ(1)]B.2Φ(1)-1C.1-Φ(1)D.1-2Φ(1)6.随机变量ξ~N(0,1)，ξ的分布函数为Φ(x )，则P(⎢ξ⎪>2)的值为( A ). A.2[1-Φ(2)] B.2Φ(2)-1 C.2-Φ(2) D.1-2Φ(2)7.设随机变量ξ的分布函数为F (x )，在下列概率中可表示为F (a +0) - F (a )的是( C ). A.P{ξ≤a } B. P{ξ>a } C. P{ξ=a } D. P{ξ≥a }8.下列函数可以作为某一随机变量ξ的密度函数的是( D ).⎪⎩⎪⎨⎧∈=⎪⎩⎪⎨⎧-∈=⎪⎩⎪⎨⎧∈=⎩⎨⎧∈=其他D. 其他C. 其他B.其他A., 0 ]2,0[,sin )(, 0 ]2,2[,sin )(, 0 ]23,0[,sin )( , 0 ],0[,sin )(πππππx x x f x x x f x x x f x x x f9.设ξ的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0 0 0)(1A )(4x x x x x f ,,，则A=( B ).A.3B.6C.2.5D.4 10.设随机变量ξ的密度函数为f (x )=)(21+∞<<-∞-x ex，则其分布函数的是( B ).⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<=---1, 1 10,2110, 21 )(0, 1 0,211)(0,2110, 21 )( 0, 0 0,21)(x x e x e x F x x e x F x e x e x F x x e x F x xx x xx D. C. B.A.11.设f (x )是一连续型随机变量ξ的密度函数，其表达式为分段函数，则当x ∈( A )时，f (x )=cos x ，其余f (x )=0.]47,23[],0[],2[]2,0[ππππππ D. C. B.A.12.设随机变量ξ服从[0，5]上的均匀分布，则关于t 的方程4t 2+4ξt+ξ+2=0有实根的概率是( B ).A.0.4B.0.6C.1D.1/313.设随机变量ξ~N(μ, 62)，η~ N(μ, 82)，记p 1=P{ξ≤μ-6}，p 2=P{η≥μ+8}，则( A ).A. p 1=p 2B. p 1>p 2C. p 1<p 2D. p 1≤p 2 三、解答题：1.下列表格是概率分布吗？为什么？(1) ξ 1 2 3 4 不是 (2) ξ -1 0 1 4 是 P 0.2 0.3 0.3 0.4 P 0.1 0.2 0.3 0.4 2.求常数C ,使下列函数成为概率分布:P(ξ=k )=Ck ,k =1,2,…, n ； )1(2+=n n C3.随机变量ξ~b (n , p )，已知P(ξ=1)=P(ξ=n -1)，试求 p 与P(ξ=2)的值.p =0.5，P(ξ=2)=122)1(21+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n nnn n C4.随机试验中事件A 发生的概率为p ，把这个试验独立重复地做两次。

一、选择题1．长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，设事件A 为下雨，事件B 为刮风，那么()|P A B =（ ） A ．12B ．34C ．25D ．382．赵先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行．赵先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟．公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布(33N ，24)，下车后从公交站步行到单位要12分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布(44N ，22)，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟．给出下列说法：从统计的角度认为所有合理的说法的序号是（ ）（1）若8:00出门，则乘坐公交上班不会迟到；（2）若8:02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大； （3）若8:06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大； （4）若8:12出门．则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到．参考数据：2~(,)Z N μσ，则()0.6827P Z μσμσ-<+≈，(22)0.9545P Z μσμσ-<+≈，(33)0.9973P Z μσμσ-<+≈A ．（1）（2）（3）（4）B ．（2）（4）C ．（3）（4）D ．（4）3．《山东省高考改革试点方案》规定：2020年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +，B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%、16%、7%、3%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[]91,100，[81,90]，[]71,80、[]61,70、[]51,60、[]41,50、[]31,40、[]21,30、八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果山东省某次高考模拟考试物理科目的原始成绩X ～()50,256N ，那么D 等级的原始分最高大约为（ ）附：①若X ～()2,Nμσ，X Y μσ-=，则Y ～()0,1N ；②当Y ～()0,1N 时，()1.30.9P Y ≤≈.A ．23B ．29C ．36D ．434．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)P B A =（ ）A ．38B ．1340C ．1345D ．345．先后抛掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，设事件A 为4x y +>，事件B 为x y ≠，则概率()|P B A =（ ）A ．45B ．56C ．1315D ．2156．条件:p 将1，2，3，4四个数字随机填入如图四个方格中，每个方格填一个数字，但数字可以重复使用.记方格A 中的数字为1x ，方格B 中的数字为2x ；命题1若p ，则()()1122E x E x =，且()()()1212E x x E x E x +=+；命题2若P ，则()()1124D x D x =，且()()()1212D x x D x D x +=+( )A ．命题1是真命题，命题2是假命题B ．命题1和命题2都是假命题C ．命题1是假命题，命题2是真命题D ．命题1和命题2都是真命题7．已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示，则（ ）ξ1 2 3P131216η1 2 3P161213A ．E E ξη<，D D ξη<B ．E E ξη<，D D ξη>C ．E E ξη<，D D ξη=D ．E E ξη=，D D ξη=8．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于3”；事件B ：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P （B /A ）的值等于（ ） A ．118B ．19C ．16D ．139．已知随机变量i X 满足()1i i P X p ==，()01,1,2i i P X p i ==-=，若21211p p <<<，则（ ） A ．()()12E X E X < ， ()()12D X D X < B ．()()12E X E X > ， ()()12D X D X < C ．()()12E X E X < ， ()()12D X D X > D ．()()12E X E X > ， ()()12D X D X >10．某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X 近似服从正态分布2(84,)N σ，且(7884)0.3P X <≤=.该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为（ ） A ．60 B ．80 C ．100D ．12011．如图所示,EFGH 是以O 为圆心,半径为1的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地扔到该圆内,事件A 表示“豆子落在正方形EFGH 内”,事件B 表示“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则P(B|A)等于( )A ．18B ．14C ．12D ．3812．若随机变量()100,,X B p X ~的数学期望()24E X =，则p 的值是( ) A ．25B ．35C ．625D ．1925二、填空题13．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为____________.14．由“0，1，2”组成的三位数密码中，若用A 表示“第二位数字是2”的事件，用B 表示“第一位数字是2”的事件，则(|)P A B =__________.15．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是________.16．一批产品的一等品率为0.9，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的一等品件数，则D()X =__________。

一、选择题1．已知随机变量ξ的分布列如下表，若()2E ξ=，则()D ξ的最小值等于（ ）A ．0B ．2C ．1D ．122．某种疾病的患病率为0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为（ ） A ．0.495%B ．0.940 5%C ．0.999 5%D ．0.99%3．已知随机变量X 的取值为1,2,3，若()136P X ==，()53E X =，则()D X =（ ） A ．19B ．39C ．59D ．794．已知随机变量ξ的取值为()0,1,2i i =.若()105P ξ==，()1E ξ=，则( ) A ．()()1P D ξξ=< B ．()()1P D ξξ== C ．()()1P D ξξ=>D ．()()115P D ξξ==5．高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，在甲和乙相邻的条件下，丙和乙也相邻的概率为（ ） A ．110B ．14C ．310D ．256．随机变量X 服从正态分布()()()210,12810X N P X m P X n σ->==，，≤≤，则12m n+的最小值为（ ）A ．3+B ．6+C ．3+D ．6+7．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件A 为4名同学所报项目各不相同”,事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则(|)P B A =（ ） A ．14B ．34C ．29D ．598．若某校研究性学习小组共6人，计划同时参观科普展，该科普展共有甲，乙，丙三个展厅，6人各自随机地确定参观顺序，在每个展厅参观一小时后去其他展厅，所有展厅参观结束后集合返回，设事件A为：在参观的第一小时时间内，甲，乙，丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人；事件B为：在参观的第二个小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为2人，则(|)P B A=（）．A．38B ．18C．316D．1169．已知三个正态分布密度函数()()2221e2iixiixμσϕπσ--=（, 1,2,3i=）的图象如图所示则（）A．123123==μμμσσσ<>，B．123123==μμμσσσ><，C．123123μμμσσσ=<<=，D．123123==μμμσσσ<<，10．已知随机变量X的分布列如下表所示则(25)E X-的值等于A．1 B．2 C．3 D．411．随机变量()~1,4X N，若()20.2p x≥=，则()01p x≤≤为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.612．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.8,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是（）A．0.8B．0.9C．58D．89二、填空题13．一个口袋中有7个大小相同的球，其中红球3个，黄球2个，绿球2个.现从该口袋中任取3个球，设取出红球的个数为ξ，则()E ξ=______.14．一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则(0)ξ==P _______；()E ξ=______． 15．记A,B 为两个事件,若事件A 和B 同时发生的概率为310,在事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率为12,则事件A 发生的概率为_____. 16．已知随机变量2(1,)XN σ，若(01)0.3P X <<=，则(2)P X >=__________．17．已知随机变量X 的分布列如下,若E(X)=3,则D(X)=____.18．有10张纸币，其中有4张假币，从中取出两张，已知其中一张是假币，则另一张也是假币的概率为____．三、解答题19．2020年某市教育主管部门为了解近期举行的数学竞赛的情况，随机抽取500名参赛考生的数学竞赛成绩进行分析，并制成如下的频率分布直方图：（1）求这500名考生的本次数学竞赛的平均成绩x (精确到整数)； （2）由频率分布直方图可认为：这次竞赛成绩X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似等于样本的平均数x ，σ近似等于样本的标准差s ，并已求得18s ≈.用该样本的频率估计总体的概率，现从该市所有考生中随机抽取10名学生，记这次数学竞赛成绩在(86,140]之外的人数为Y ，求(2)P Y =的值(精确到0.001). 附：（1）当()2,XN μσ时，()0.6827,(22)0.9545P X P X μσμσμσμσ-<+=-<+=；（2）820.81860.18140.0066⨯≈.20．甲､乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表： 甲公司送餐员送餐单数频数表： 送餐单数 38 39 40 41 42 天数101510105送餐单数 38 39 40 41 42 天数51010205（1）记乙公司送餐员日工资为X (单位：元)，求X 的分布列和数学期望；（2）小王打算到甲､乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.21．教育是阻断贫困代际传递的根本之策.补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在.治贫先治愚﹐扶贫先扶智.为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，郑州市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动.支教活动共3分批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从5人中随机抽选.已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验. （1）求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次活动中有且只有一次被抽选到的概率﹔ （2）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人﹖请说明理由； （3）现在需要2名支教教师完成某项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位教师一定时间内不能完成教学任务，则再派另一位教师.若有A B 、两个教师可派，他们各自完成任务的概率分别为12p p 、，假设121p p >>，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.若按某种指定顺序派人，这两个人各自能完成任务的概率依次为12,q q ，其中12,q q 是12p p 、的一个排列，试分析以怎样的顺序派出教师，可使所需派出教师的人员数目的数学期望达到最小.22．某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如图：（1）比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；（2）以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X 的分布列和均值．23．时值金秋十月，秋高气爽，我校一年一度的运动会拉开了序幕.为了增加运动会的趣味性，大会组委会决定增加一项射击比赛，比赛规则如下：向甲､乙两个靶进行射击，先向甲靶射击一次，命中得2分，没有命中得0分；再向乙靶射击两次，如果连续命中两次得3分，只命中一次得1分，一次也没有命中得0分.小华同学准备参赛，目前的水平是：向甲靶射击，命中的概率是35；向乙靶射击，命中的概率为23.假设小华同学每次射击的结果相互独立.（1）求小华同学恰好命中两次的概率；（2）求小华同学获得总分X的分布列及数学期望.24．近年来，我国肥胖人群的规模不断扩大，肥胖人群有很大的心血管安全隐患，目前，国际上常用身体质量指数(Bodv Mass Index，缩写BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI＝体重（单位：千克）÷身高2（单位：2m），中国成人的BMI数值标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖.某单位随机调查了100名员工，测量身高、体重并计算出BMI值.（1）根据调查结果制作了如下2×2列联表，请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为肥胖与不经常运动有关；人中“经常运动且不肥胖”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.25．A口袋中有大小相同编号不同的4个黄色乒乓球和2个白色乒乓球，B口袋中有大小相同编号不同的3个黄色乒乓球和3个白色乒乓球，现从A、B两个口袋中各摸出2个球（1）求摸出的4个球中有3个黄色兵乓球和1个白色乒乓球的概率；（2）求摸出的4个球中黄球个数ξ的数学期望．26．出于“健康､养生”的生活理念.某地的M炊具有限公司的传统手工泥模工艺铸造的平底铁锅一直受到全国各地消费者的青睐.M炊具有限公司下辖甲､乙两个车间，甲车间利用传统手工泥模工艺铸造T型双耳平底锅，乙车间利用传统手工泥模工艺铸造L型双耳平底锅，每一口双耳平底锅按照综合质量指标值(取值范围为[50,100])划分为：综合质量指标值不低于70为合格品，低于70为不合格品.质检部门随机抽取这两种平底锅各100口，对它们的综合质量指标值进行测量，由测量结果得到如下的频率分布直方图：将此样本的频率估计为总体的概率.生产一口T 型双耳平底锅，若是合格品可盈利40元，若是不合格品则亏损10元；生产一口L 型双耳平底锅，若是合格品可盈利50元，若是不合格品则亏损20元.（1）记X 为生产一口T 型双耳平底锅和一口L 型双耳平底锅所得的总利润，求随机变量X 的数学期望；（2）M 炊具有限公司生产的T 和L 型双耳平底锅共计1000口，并且两种型号获得的利润相等，若将两种型号的合格品再按质量综合指标值分成3个等级，其中[70,80)为三级品，[80,90)为二级品，[90,100]为一级品，试判断生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中哪种型号的一级品多？请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据分布列的性质可得23a =，由()2E ξ=可得出62m n =-，再由二次函数的基本性质可求得()D ξ的最小值. 【详解】由分布列的性质可得23a =，()12233E m n ξ=+=，所以，26m n +=，则62m n =-，()()()()()()222221212224222203333D m n n n n ξ=-+-=-+-=-≥， 因此，()D ξ的最小值为0. 故选：A.本题考查利用随机分布列的性质解题，同时也考查了方差最值的计算，考查计算能力，属于中等题.2．A解析：A 【分析】设事件A ＝“血检呈阳性”，B ＝“患该种疾病”,由题得P （B ）＝0.005，P (A |B )＝0.99， 由条件概率得P (AB )＝P （B ）P (A |B )，计算即得解. 【详解】设事件A ＝“血检呈阳性”，B ＝“患该种疾病”． 依题意知P （B ）＝0.005，P (A |B )＝0.99， 由条件概率公式P (A |B )＝()()P AB P B ， 得P (AB )＝P （B ）P (A |B )＝0.005×0.99=0.00495， 故选：A. 【点睛】本题主要考查条件概率的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．C解析：C 【分析】设(1)P X p ==，(2)P X q ==，则由1(3)6P X ==，5()3E X =，列出方程组，求出p ，q ，即可求得()D X ．【详解】设(1)P X p ==，(2)P X q ==，1563()23E X p q =++⨯=——①，又161p q ++=——② 由①②得，12p =，13q =，222111()(1)(25555333(9))2336D X ∴=-+-+-=故选：C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．4．C【分析】设()1P x ξ==，根据()f x ，()1E ξ=列方程求出x ，进而求出()D ξ，即可比较大小. 【详解】 设()1P x ξ==， 则()425P x ξ==-，则()1480121555x x E x ξ⎛⎫=⨯+⨯+-⨯=-= ⎪⎝⎭，解得()315P ξ==，()125P ξ==， 则()()()()22213120111215555D ξ=⨯-+⨯-+⨯-=， 故()()1P D ξξ=>， 故选：C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.5．B解析：B 【分析】记事件:A 甲乙相邻，事件:B 乙丙相邻，利用排列组合思想以及古典概型的概率公式计算出()P A 和()P AB ，再利用条件概率公式可计算出所求事件的概率． 【详解】记事件:A 甲乙相邻，事件:B 乙丙相邻，则事件:AB 乙和甲丙都相邻，所求事件为B A ，甲乙相邻，则将甲乙两人捆绑，与其他三位同学形成四个元素，排法种数为424248A A =，由古典概型的概率公式可得()554825P A A ==. 乙和甲丙都相邻，则将甲乙丙三人捆绑，且乙位置正中间，与其他两位同学形成三个元素，排法种数为323212A A =，由古典概型的概率公式可得()5512110P AB A ==， 由条件概率公式可得()()()1511024P AB P B A P A ==⨯=，故选B. 【点睛】本题考查条件概率的计算，解这类问题时，要弄清各事件事件的关系，利用排列组合思想以及古典概型的概率公式计算相应事件的概率，并灵活利用条件概率公式计算出所求事件的概率，考查计算能力，属于中等题．6．D【分析】利用正态密度曲线的对称性得出12m n +=，再将代数式22m n +与12m n +相乘，展开后可利用基本不等式求出12m n+的最小值． 【详解】 由于()210,XN σ，由正态密度曲线的对称性可知，()()128P X P X m >=<=，所以，()()188102P X P X <+≤≤=，即12m n +=，221m n ∴+=， 由基本不等式可得()1212422266m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭6=， 当且仅当()420,0m n m n n m=>>，即当n =时，等号成立， 因此，12m n +的最小值为6+，故选D. 【点睛】本题考查正态密度概率以及利用基本不等式求最值，解题关键在于利用正态密度曲线的对称性得出定值，以及对所求代数式进行配凑，以便利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题．7．A解析：A 【分析】确定事件AB ，利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，再利用条件概型的概率公式可计算出()P B A 的值. 【详解】事件AB 为“4名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”，则()3344A P AB =，()4444A P A =，()()()3434444144P AB A P B A P A A ∴==⋅=，故选A. 【点睛】本题考查条件概型概率的计算，考查条件概率公式的理解和应用，考查运算能力，属于中等题．8．A解析：A 【分析】先求事件A 包含的基本事件，再求事件AB 包含的基本事件，利用公式可得.由于6人各自随机地确定参观顺序，在参观的第一小时时间内，总的基本事件有63个；事件A 包含的基本事件有222642C C C 个；在事件A 发生的条件下，在参观的第二个小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为2人的基本事件为244C ⨯个，而总的基本事件为62，故所求概率为24643(/)28C P B A ⨯==,故选A. 【点睛】本题主要考查条件概率的求解，注意使用缩小事件空间的方法求解.9．D解析：D 【分析】正态曲线关于x ＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果． 【详解】根据课本中对正太分布密度函数的介绍知道：当正态分布密度函数为()()2221ei i x i ix μσϕ--=，则对应的函数的图像的对称轴为：i μ，∵正态曲线关于x ＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从A ，D 两个答案中选一个， ∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，第一个和第二个的σ相等 故选D ． 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．10．A解析：A 【分析】先求出b 的值，再利用期望公式求出E(X)，再利用公式求出()25E X -. 【详解】由题得0.1+0.2+0,20.11,0.4,b b ++=∴=，所以()10.120.230.440.250.13E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以(25)2()52351E X E X -=-=⨯-=. 故答案为A 【点睛】(1)本题主要考查分布列的性质和期望的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 若a b ηξ=+(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，E η=()E a b aE b ξξ+=+，2()D a b a D ξξ+=.11．B解析：B 【解析】分析：根据正态分布的整体对称性计算即可得结果. 详解：(0)(2)0.2,P X P X ≤=≥=10.22(01)0.3,2P X -⨯∴≤≤== 故选B.点睛：该题考查的是有关正态分布的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正态分布曲线的对称性，从而求得结果.12．D解析：D 【解析】分析：根据题意，记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ，由相互独立事件的概率公式，计算可得目标被击中的概率，进而由条件概率的公式，计算可得答案．详解：根据题意，记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ， 则P （C ）=1﹣P （A ）P （B ）=1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.5）=0.9； 则目标是被甲击中的概率为P=0.880.99=. 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查独立事件的概率和条件概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 条件概率的公式:()(|)()P AB P B A P A =，(|)P B A =()()n AB n A .条件概率一般有“在A 已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生， 发生了才能称为条件概率.但是有时也没有，要靠自己利用条件概率的定义识别.二、填空题13．【分析】先确定随机变量的取值再分别计算对应的概率最后利用期望的计算公式即得结果【详解】依题意设取出红球的个数为则而口袋中有红球3个其他球4个故故故答案为：【点睛】方法点睛：求离散型随机变量的期望的步解析：97【分析】先确定随机变量的取值0,1,2,3ξ=，再分别计算对应的概率，最后利用期望的计算公式即得结果. 【详解】依题意，设取出红球的个数为ξ，则0,1,2,3ξ=，而口袋中有红球3个，其他球4个，故()34374035C P C ξ===，()12343718135C C P C ξ===，()21343712235C C P C ξ===，()33375313C C P ξ===，故()418121459012335353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==. 故答案为：97. 【点睛】 方法点睛：求离散型随机变量的期望的步骤：（1）先确定随机变量的取值12,,...,n x x x ξ=；（2）再计算每个变量所对应的概率(),1,2,3,...,i i P x p i n ξ===； （3）利用公式()112233...n n E x p x p x p x p ξ=++++，计算得到期望即可.14．1【分析】先计算出的分布列再利用公式可求【详解】随机变量对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球第二次拿红球所以对应事件为第一次拿黄球第二次拿红球或第一次拿黄球第二次拿绿球第三次拿红球或第一次拿绿球第二解析：131 【分析】先计算出ξ的分布列，再利用公式可求()E ξ.【详解】随机变量0,1,2ξ=，0ξ=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以1111(0)4433P ξ==+⨯=， 1ξ=对应事件为第一次拿黄球，第二次拿红球，或第一次拿黄球，第二次拿绿球，第三次拿红球，或第一次拿绿球，第二次拿黄球，第三次拿红球， 故212111211(1)434324323P ξ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 故111(2)1333P ξ==--=，所以111()0121333E ξ=⨯+⨯+⨯=. 故答案为：1;13. 【点睛】关键点点睛：计算离散型随机变量的分布列，注意随机变量取值时对应的含义，从而正确计算对应的概率，另外注意利用对立事件计算概率.15．【分析】由题意可得且由此求得事件发生的概率的值【详解】设事件发生的概率为事件发生的概率为则由题意可得且解得故答案为【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式条件概率公式属于中档题解析：35【分析】由题意可得()()()310P AB P A P B ==，且()1/2P B A =，由此求得事件A 发生的概率()P A 的值．【详解】设事件A 发生的概率为()P A ，事件B 发生的概率为()P B ，则由题意可得()()()310P AB P A P B ==，且()()()()3110/=2P AB P B A P A P A ==， 解得()35P A =，故答案为35. 【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式、条件概率公式，属于中档题．16．02【分析】随机变量得到曲线关于称根据曲线的对称性得到根据概率的性质得到结果【详解】随机变量∴曲线关于对称∴故答案为02【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义函数图象对称性的应用等解析：0.2 【分析】随机变量()21,X N σ~，得到曲线关于1x =称，根据曲线的对称性得到200.501P X P X P X >=<=-<<（）（）（），根据概率的性质得到结果． 【详解】随机变量()21,X N σ~，∴曲线关于1x =对称，∴200.5010.2P X P X P X >=<=-<<=（）（）（），故答案为0.2. 【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题17．1【分析】由题意根据和分布列的性质求得的值再利用方差的公式即可求解【详解】根据题意得解得∴D(X)=(1-3)2×01+(2-3)2×02+(3-3)2×03+(4-3)2×04=1【点睛】本题主要解析：1 【分析】由题意，根据()3E X =和分布列的性质，求得,m n 的值，再利用方差的公式，即可求解. 【详解】 根据题意,得解得∴D(X)=(1-3)2×0.1+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.3+(4-3)2×0.4=1. 【点睛】本题主要考查了分布列的性质和期望与方差的计算，其中明确分布列的性质和相应的数学期望和方差的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.18．【解析】分析：记抽出的两张有一张是假币为事件A 抽出的两张都是假币为事件B 利用条件概率计算公式能求出其中1张放到验钞机上检验发现是假钞则另一张也是假钞的概率详解：记抽出的两张有一张是假币为事件A 抽出的解析：15【解析】分析：记“抽出的两张有一张是假币”为事件A ，“抽出的两张都是假币”为事件B ，利用条件概率计算公式能求出其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率． 详解：记“抽出的两张有一张是假币”为事件A ，“抽出的两张都是假币”为事件B ， 则将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率为：24210211446210()1(|)()5C C P AB P B A C C C P A C ===+. 点睛：本题主要考查了条件的求解以及组合数的应用，正确理解条件概率的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及转化与化归思想的应用，试题比较基础，属于基础题．三、解答题19．（1）104(分)；（2）0.298. 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数公式求解.（2）由104,18μσ==，求得(86140)(2)P X P X μσμσ<=-<+，进而得到(P X μσ-或2)X μσ>+，然后由()10,0.1814Y B ~求解.【详解】（1）10(650.0028750.01850.01950.0181050.02x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，1150.0181250.0121350.008+⨯+⨯+⨯1450.0012)+⨯1010.416104.16104(=⨯=≈分).（2）由题意知()2,,X Nμσ~且104,18μσ==，所以8610418,1401041822μσμσ=-=-=+⨯=+， 所以0.68270.9545(86140)(2)0.81862P X P X μσμσ+<=-<+==，所以(P X μσ-或2)10.81860.1814X μσ>+=-=， 所以()10,0.1814Y B ~，所以()228102C 0.18140.8186450.006630.298P Y ==⨯⨯≈⨯≈.【点睛】结论点睛：（1）若X 服从正态分布，即X ～N (μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线X ＝μ对称和曲线与x 轴之间的面积为1.（2）二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位．①判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次． ②对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P (X ＝k )＝kk n kn p q C -.其中k ＝0，1，…，n ，q ＝1－p .20．（1）详见解析；（2）推荐小王去乙公司应聘，理由见解析. 【分析】（1）本题首先可以设乙公司送餐员送餐单数为a ，然后依次求出38a =、39a =、40a =、41a =、42a =时的工资X 以及概率p ，即可列出X 的分布列并求出数学期望；（2）本题可求出甲公司送餐员日平均工资，然后与乙公司送餐员日平均工资进行对比，即可得出结果. 【详解】（1）设乙公司送餐员送餐单数为a ， 当38a =时，386228X =⨯=，515010p ； 当39a =时，396234X =⨯=，101505p ； 当40a =时，406240X =⨯=，101505p； 当41a =时，40617247X =⨯+⨯=，202505p ； 当42a=时，40627254X =⨯+⨯=，515010p，故X 的所有可能取值为228、234、240、247、254， 故X 的分布列为：故()228234240247254241.81055510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）甲公司送餐员日平均送餐单数为：380.2390.3400.2410.2420.139.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，则甲公司送餐员日平均工资为80439.7238.8+⨯=元， 因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元，238.8241.8<， 所以推荐小王去乙公司应聘. 【点睛】 关键点点睛：（1）求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值和取每一个值时的概率，然后列成表格的形式后即可，（2）根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从平均数、方差等的大小关系作出比较后得到结论.21．（1）54125；（2）第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人，理由见解析；（3）按照先A 后B 的顺序所需人数期望最小. 【分析】（1）在每轮抽取中，甲被抽中的概率为25，则三次抽取中，“甲”恰有一次被抽取到的概率为2132355P C ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）设ξ表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有0,1,2，分别求出各种情况的概率，从而得出答案.（3）设X 表示先A 后B 完成任务所需人员数目，求出的X 期望，设Y 表示B 先后A 完成任务所需人员数目，求出的Y 期望，从而得出结论. 【详解】（1）5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到概率为142525C C =，则三次抽取中，“甲”恰有一次被抽取到的概率为2132********P C ⎛⎫== ⎪⎝⎭ (2)第二次抽取到的没有支教经验的教师人数最有可能是1人.设ξ表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有0,1,2，则有:()11222222332222222222555555370,100C C C C C C C P C C C C C C ξ==⋅+⋅+⋅=()11111122112323233241222222555555541,100C C C C C C C C C C P C C C C C C ξ==⋅+⋅+⋅=()2112223233322222255555920,100C C C C C C P C C C C C ξ==⋅+⋅+⋅=因为()()()102P P P ξξξ=>=>=，故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人. （3）按照先A 后B 的顺序所需人数期望最小. 设X 表示先A 后B 完成任务所需人员数目，则111212E X p p p =+-=-设Y 表示B 先后A 完成任务所需人员数目，则22212212,0()E Y p p p E Y E X p p =+-=-=->-.故按照先A 后B 的顺序所需人数期望最小. 【点睛】关键点睛：本题考查求概率和求离散型随机变量的数学期望，解答本题的关键是设X 表示先A 后B 完成任务所需人员数目，得出()()111212E X p p p =+-=-，设Y 表示B 先后A 完成任务所需人员数目，则()()111212E X p p p =+-=-，相减得出大小，属于中档题.22．（1）甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大，乙同学做解答题相对稳定些；（2）分布列见解析，38.【分析】（1）根据平均数公式和方差公式计算结果，并根据平均数和方差的意义，得到结论；（2）甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝38，P 2＝12，并计算123138216PP =⨯=,由条件可知32,16X B ⎛⎫⎪⎝⎭，根据二项分布计算分布列和均值. 【详解】（1） 1=8x 甲(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， 1=8x 乙(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，21=8s 甲 [(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，21=8s 乙[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．（2）根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝38，P 2＝12， 两人失分均超过15分的概率为P 1P 2＝316， X 的所有可能取值为0，1，2.依题意，32,16XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()22313,0,1,21616k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则X 的分布列为X 的均值E (X )＝2168⨯=.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是判断X 服从二项分布，并计算在每次周练两人失分均超过15分的概率，这样就容易写错分布列. 23．（1）49；（2）分布列答案见解析，数学期望：13445. 【分析】（1）记：“小华恰好命中两次”为事件A ，“小华射击甲靶命中”为事件B ， “小华第一次射击乙靶命中”为事件C ，“小华第二次射击乙靶命中”为事件D ， 则有A BCD BCD BCD =++，由互斥事件与独立事件的概率公式可得；（2）随机变量X 的取值可能为0,1,2,3,5，求出它们的概率可得分布列，由期望公式可计算出期望． 【详解】解：（1）记：“小华恰好命中两次”为事件A ，“小华射击甲靶命中”为事件B ， “小华第一次射击乙靶命中”为事件C ，“小华第二次射击乙靶命中”为事件D ， 由题意可知3()5P B =，2()()3P C P D ==，由于A BCD BCD BCD =++， ∴3213122224()()5335335339P A P BCD BCD BCD =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 故甲同学恰好命中一次的概率为49. （2）X =0，1，2，3，5．2212(0)5345P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，122218(1)53345P X C ==⨯⨯⨯=， 2311(2)5315P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，123212224(3)5335339P X C ==⨯⨯⨯+⨯⨯=，2324(5)5315P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()0123545451591545E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查互斥事件与相互独立事件的概率公式，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题关键是把事件“小华恰好命中两次”拆成一些互斥事件的和，确定随机变量的可能值并计算出概率．。

专题8.3 列联表与独立性检验姓名：班级：重点分类变量与列联表难点独立性检验例1-1．在一次独立性检验中，其把握性超过了%99，则随机变量2K 的可能值为（ ）。

A 、841.3B 、024.5C 、635.6D 、897.7【答案】D【解析】∵在一次独立性检验中，其把握性超过了%99，对应的临界值表中数值为小于01.0，查表可得01.0)635.6(2=≥K P ，故635.62>K ，故选D 。

例1-2．把两个分类变量的频数列出，称为（ ）。

A 、三维柱形图B 、二维条形图C 、列联表D 、独立性检验【答案】C【解析】选项A 、B 是粗略地判断两个分类变量是否相关的方法，错，选项C 用两个分类变量的频数列表，对，选项D 是通过列联表计算得到两变量是否相关的方法，错，故选C 。

例1-3．通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量2K 的观测值892.4≈k ，参照附表，得到的正确结论是（ ）。

)(02k K P ≥100.0050.0025.00k 706.2841.3024.5A 、有%5.97以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B 、有%5.97以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C 、在犯错误的概率不超过%5的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D 、在犯错误的概率不超过%5的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】C【解析】∵计算得到统计量值2K 的观测值841.3892.4>≈k ，参照题目中的数值表，得到正确的结论是：在犯错误的概率不超过%5的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”，故选C 。

例1-4．某22⨯列联表：1y 2y 总计1x 431622052x 13121134总计56283339则随机变量2K 的值为 。

【答案】469.7【解析】469.728356134205)1621312143(33922=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K 。

高中数学选修2-3随机变量及其分布（分布列）精选题目（附答案）一、条件概率1．在区间(0,1)内随机取一个数x ，若A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0<x <12，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 14<x <34，则P (B |A )等于( )A.12B.14 C.13 D.34解析：选A P (A )＝121＝12，∵A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 14<x <12， ∴P (AB )＝141＝14， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12.2.有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取2件，求：(1)第一次抽到次品的概率；(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．解：记第一次抽到次品为事件A，第二次抽到次品为事件B.(1)第一次抽到次品的概率为P(A)＝520＝14.(2)第一次和第二次都抽到次品的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝1 19.(3)在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为P(B|A)＝119÷14＝419.3．抛掷5枚硬币，在已知至少出现了2枚正面朝上的情况下，问：正面朝上数恰好是3枚的条件概率是多少？解：法一：记至少出现2枚正面朝上为事件A，恰好出现3枚正面朝上为事件B，所求概率为P(B|A)，事件A包含的基本事件的个数为n(A)＝C25＋C35＋C45＋C55＝26，事件B包含的基本事件的个数为n(B)＝C35＝10，P(B|A)＝n(AB)n(A)＝n(B)n(A)＝1026＝5 13.法二：事件A，B同上，则P(A)＝C25＋C35＋C45＋C5525＝2632，P(AB)＝P(B)＝C3525＝1032，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)P(A)＝513.4．已知甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，若目标被击中，则它是被甲击中的概率是________．解析：令事件A，B分别表示甲、乙两人各射击一次击中目标，由题意可知P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，令事件C表示目标被击中，则C＝A∪B，则P(C)＝1－P(A)P(B)＝1－0.4×0.5＝0.8，所以P(A|C)＝P(AC)P(C)＝0.60.8＝0.75.答案：0.755．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②从中有放回地取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43； ③现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回地取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627.其中所有正确结论的序号是________．解析：①恰有一个白球的概率P ＝C 12C 24C 36＝35，故①正确；②每次任取一球，取到红球次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23，其方差为6×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝43，故②正确；③设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}，则P (A )＝23，P (AB )＝4×36×5＝25，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35，故③错；④每次取到红球的概率P ＝23，所以至少有一次取到红球的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝2627，故④正确． 答案：①②④二、相互独立事件的概率1.A ，B ，C 三名乒乓球选手间的胜负情况如下：A 胜B 的概率为0.4，B 胜C 的概率为0.5，C 胜A 的概率为0.6，本次竞赛按以下顺序进行：第一轮：A 与B ；第二轮：第一轮的胜者与C ；第三轮：第二轮的胜者与第一轮的败者；第四轮：第三轮的胜者与第二轮的败者．求：(1)B 连胜四轮的概率；(2)C 连胜三轮的概率．解：(1)要B 连胜四轮，以下这些相互独立事件须发生：第一轮B 胜A ，第二轮B 胜C ，第三轮B 再胜A ，第四轮B 再胜C .根据相互独立事件同时发生的概率公式，得所求概率为P ＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.故B连胜四轮的概率为0.09.(2)C连胜三轮应分两种情况：①第一轮A胜B，则第二轮C胜A，第三轮C 胜B，第四轮C胜A，得C连胜三轮的概率为P1＝0.4×0.6×(1－0.5)×0.6＝0.072;②第一轮B胜A，则第二轮C胜B，第三轮C胜A，第四轮C胜B，得C 连胜三轮的概率为P2＝(1－0.4)×(1－0.5)×0.6×(1－0.5)＝0.09.由于①②两种情况是两个互斥事件，所以所求概率为P＝P1＋P2＝0.072＋0.09＝0.162.故C连胜三轮的概率为0.162.2．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求P(ξ≤1)．解：(1)设“甲胜A”为事件D，“乙胜B”为事件E，“丙胜C”为事件F，则D，E，F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式，知P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.红队至少两人获胜的事件有DE F，D E F，D EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE F)＋P(D E F)＋P(D EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意，知ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(D E F)＋P(D E F)＋P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，所以P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.45.三、离散型随机变量的分布列及均值、方差求离散型随机变量X的均值与方差的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能的全部取值；(2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)；(3)写出X的分布列；(4)由分布列和均值的定义求出E(X);(5)由方差的定义，求D(X)．1．设离散型随机变量ξ的概率分布列如下：则p的值为()A.12 B.16C.13 D.14解析：选A因为15＋15＋110＋p＝1，所以p＝12，故选A.2．10张奖劵中只有3张有奖，若5个人购买，每人1张，则至少有1个人中奖的概率为()A.310 B.112C.12 D.1112解析：选D设事件A为“无人中奖”，则P(A)＝C57C510＝112，则至少有1个人中奖的概率P＝1－P(A)＝1－112＝1112.3．设随机变量X等可能地取值1,2,3，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，则P(Y<6)的值为()A．0.3 B．0.5C．0.1 D．0.2解析：选A由Y＝2X－1<6，得X<3.5，∴P(Y<6)＝P(X<3.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.3.4．若离散型随机变量X的分布列为则X 的数学期望E (X )＝( ) A.32 B ．2 C.52 D ．3解析：选A 由数学期望的公式可得：E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝32.5．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，且两人是否击中相互不受影响，则恰有一人击中敌机的概率为( )A ．0.9B ．0.2C ．0.7D ．0.5解析：选D 设事件A ，B 分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P (A )＝0.4，P (B )＝0.5，且A 与B 互相独立，则事件恰有一人击中敌机的概率为P (A B ＋A B )＝P (A )[1－P (B )]＋[1－P (A )]P (B )＝0.5，故选D.6.甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方是2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列及均值．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意知各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827，P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427. 所以，甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率分别是827，827，427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4，由题意知各局比赛结果相互独立，所以P (A 4)＝C 24⎝⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427. 由题意知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得 P (X ＝0)＝P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627， P (X ＝1)＝P (A 3)＝427， P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327. 故X 的分布列为所以E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79.7．小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列、均值及方差．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28种，当X ＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1,0,1.X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为E (X )＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27＝－314.D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3142×114＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋3142×514＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3142×27＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3142×27≈0.88. 8．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获得50元，生产出一件乙等品可获得30元，生产出一件次品，要赔20元．已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次等品的概率分别为0.6,0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利________元．解析：设生产一件该产品可获利X 元，则随机变量X 的取值可以是－20,30,50.依题意，得X 的分布列为故E (X )＝－20×0.1＋30×0.3＋50×0.6＝37.9．(本小题满分10分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令X 表示走出迷宫所需的时间．(1)求X 的分布列； (2)求X 的均值．解：(1)X 的所有可能取值为1,3,4,6.P (X ＝1)＝13，P (X ＝3)＝16，P (X ＝4)＝16，P (X ＝6)＝13，所以X 的分布列为(2)E (X )＝1×13＋3×16＋4×16＋6×13＝72.10．(本小题满分12分)已知某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，他们获得冠军的概率分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分Y 的分布列．解：(1)∵X 的可能取值为0,1,2,3，取相应值的概率分别为 P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝19， P (X ＝1)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×23＝718，P (X ＝2)＝12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×23＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×23＝718，P (X ＝3)＝12×13×23＝19， ∴随机变量X 的分布列为(2)根据题意知得分Y ＝5X ＋2(3－X )＝6＋3X ， ∵X 的可能取值为0,1,2,3.∴Y 的可能取值为6,9,12,15，取相应值的概率分别为 P (Y ＝6)＝P (X ＝0)＝19，P (Y ＝9)＝P (X ＝1)＝718， P (Y ＝12)＝P (X ＝2)＝718，P (Y ＝15)＝P (X ＝3)＝19. ∴随机变量Y 的分布列为11．(本小题满分12分)北京市政府为做好APEC 会议接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该海产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响．(1)求该海产品不能销售的概率；(2)如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利—80元)．已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利ξ元，求ξ的分布列，并求出均值E (ξ)．解：(1)设“该海产品不能销售”为事件A ， 则P (A )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＝14.所以，该海产品不能销售的概率为14.(2)由已知，可知ξ的可能取值为－320，－200，－80,40,160. P (ξ＝－320)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫144＝1256，P (ξ＝－200)＝C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫143×34＝364，P (ξ＝－80)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝27128，P (ξ＝40)＝C 34×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P (ξ＝160)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫344＝81256.所以ξ的分布列为E (ξ)＝－320×1256－200×364－80×27128＋40×2764＋160×81256＝40.四、二项分布在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n .这时称X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )．当X ～B (n ，p )时，E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．1. 某单位选派甲、乙、丙三人组队参加知识竞赛，甲、乙、丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是34，甲、丙两人都答错的概率是112，乙、丙两人都答对的概率是14，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．(1)求该单位代表队答对此题的概率；(2)此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错得－10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的均值(精确到1分)．解：(1)记甲、乙、丙分别答对此题为事件A ，B ，C ，由已知，得P (A )＝34，[1－P (A )][1－P (C )]＝112，∴P (C )＝23.又P (B )P (C )＝14，∴P (B )＝38. ∴该单位代表队答对此题的概率 P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－38×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝9196. (2)记X 为该单位代表队必答题答对的道数，Y 为必答题的得分，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，9196， ∴E (X )＝10×9196＝45548.而Y ＝20X －10×(10－X )＝30X －100， ∴E (Y )＝30E (X )－100＝1 4758≈184. 2．某运动员投篮命中率为p ＝0.6. (1)求投篮1次时命中次数X 的均值； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的均值． 解：(1)投篮1次，命中次数X 的分布列如表：则E (X )＝p ＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布， 即Y ～B (5,0.6)．则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3.3．(本小题满分12分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？解：法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分X ≤3”的事件为A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”． 因为P (X ＝5)＝23×25＝415，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1－415＝1115， 即这两人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的均值E (3X 2)．由已知可得，X 1～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，X 2～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，25， 所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝45， 从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝125. 因为E (2X 1)>E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 包含“X ＝0”“X ＝2”“X ＝3”三个两两互斥的事件． 因为P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝15，P (X ＝2)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝25，P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－23×25＝215，所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115，即这两人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：所以E(X1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E(X2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E(X1)>E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．五、正态分布1．正态分布N1(μ1，σ21)，N2(μ2，σ22)，N3(μ3，σ23)(其中σ1，σ2，σ3均大于0)所对应的密度函数图象如图所示，则下列说法正确的是()A．μ1最大，σ1最大B．μ3最大，σ3最大C．μ1最大，σ3最大D．μ3最大，σ1最大解析：选D在正态曲线N(μ，σ2)中，x＝μ为正态曲线的对称轴，结合图象可知，μ3最大；又参数σ确定了曲线的形式：σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”．故由图象知σ1最大．故选D.2. (1)已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，P (0<X <4)＝0.8，则P (X >4)的值为( )A ．0.1B ．0.2C ．0.4D ．0.6(2)2018年1月某校高三年级1 600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X ～N (100，σ2)(试卷满分为150分)．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次统考中数学成绩不低于120分的学生人数约为( )A ．80B ．100C ．120D ．200(3)若随机变量ξ～N (2，σ2)，且P (ξ>3)＝0.158 7，则P (ξ>1)＝________. 解析：(1)∵随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，∴正态曲线的对称轴是x ＝2，∵P (0<X <4)＝0.8，∴P (X >4)＝12×(1－0.8)＝0.1，故选A.(2)∵X ～N (100，σ2)，∴其正态曲线关于直线x ＝100对称，又∵数学成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的34，∴由对称性知，数学成绩不低于120分的学生人数约为总人数的12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＝18，∴此次考试中数学成绩不低于120分的学生人数约为18×1 600＝200.故选D.(3)∵随机变量ξ～N (2，σ2)，∴正态曲线关于x ＝2对称，∵P (ξ>3)＝0.158 7，∴P (ξ>1)＝P (ξ<3)＝1－0.158 7＝0.841 3.答案：(1)A (2)D (3)0.841 33．某市去年高考考生成绩服从正态分布N (500,502)，现有25 000名考生，试确定考生成绩在550～600分的人数．解：因为考生成绩X ～N (500,502)， 所以μ＝500，σ＝50，所以P＝(550<x≤600)＝12[P(500－2×50<x≤500＋2×50)－P(500－50<x≤500＋50)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.故考生成绩在550～600分的人数为25 000×0.135 9≈3 398人．4．(本小题满分12分)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人．(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？(2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？解：(1)设参赛学生的成绩为X，因为X～N(70,100)，所以μ＝70，σ＝10.则P(X≥90)＝P(X≤50)＝12[1－P(50<X<90)]＝12[1－P(μ－2σ<X<μ＋2σ)]＝12×(1－0.954 4)＝0.022 8，120.022 8≈526.因此，此次参赛学生的总数约为526人．(2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝12[1－P(60<X<80)]＝12[1－P(μ－σ<X<μ＋σ)]＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7，得526×0.158 7≈83.因此，此次竞赛成绩为优的学生约为83人．六、茎叶图为了搞好世界大学生夏季运动会的接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高绘成如图所示的茎叶图(单位：cm)．若身高在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm 以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列．解： (1)根据茎叶图知，“高个子”有12人，“非高个子”有18人．用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16，所以选中的“高个子”有12×16＝2(人)，“非高个子”有18×16＝3(人)．用事件A 表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A －表示“没有‘高个子’被选中”，则P (A )＝1－C 23C 25＝1－310＝710.因此，至少有1人是“高个子”的概率是710.(2)由茎叶图知，“女高个子”有4人，“男高个子”有8人．依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝C 38C 312＝1455，P (ξ＝1)＝C 14C 28C 312＝2855，p (ξ＝2)＝C 24C 18C 312＝1255，P (ξ＝3)＝C 34C 312＝155.因此，ξ的分布列为。

随机变量及其分布方法总结经典习题及解答一、离散型随机变量及其分布列1、离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。

常用大写英文字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。

2、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为：x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…为随机变量ξ的分布列3、分布列的两个性质：⑴Pi≥0，i＝1，2，… ⑵P1+P2+…=1、常用性质来判断所求随机变量的分布列是否正确！二、热点考点题型考点一: 离散型随机变量分布列的性质1、随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(＜ξ＜)的值为A、B、C、D、答案：D考点二：离散型随机变量及其分布列的计算2、有六节电池，其中有2只没电，4只有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，所要测试的次数为随机变量，求的分布列。

解：由题知2，3，4，5∵ 表示前2只测试均为没电，∴ ∵ 表示前两次中一好一坏，第三次为坏，∴ ∵ 表示前四只均为好，或前三只中一坏二好，第四个为坏，∴ ∵ 表示前四只三好一坏，第五只为坏或前四只三好一坏第五只为好∴ ∴ 分布列为2345P三、条件概率、事件的独立性、独立重复试验、二项分布与超几何分布1、条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

2、相互独立事件：如果事件A（或B）是否发生对事件B （或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

①如果事件A、B是相互独立事件，那么，A与、与B、与都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

我们把两个事件A、B同时发生记作AB，则有P（AB）= P（A）P（B）推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

一、选择题1．已知随机变量ξ的分布列如下表，若()2E ξ=，则()D ξ的最小值等于（ ）A ．0B ．2C ．1D ．122．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p .某检验员从该生产线上随机抽检50个零件，设其中优等品零件的个数为X .若()8D X =，(20)P X =(30)P X <=，则p =（ ） A ．0.16B ．0.2C ．0.8D ．0.843．假定男女出生率相等，某个家庭有两个小孩，已知该家庭至少有一个女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．164．随机变量X 的概率分布为()()()1,2,31aP X n n n n ===+，其中a 是常数，则()E aX =（ ）A ．3881B ．139C ．152243D ．52275．从一个装有3个白球，3个红球和3个蓝球的袋中随机抓取3个球，记事件A 为“抓取的球中存在两个球同色”，事件B 为“抓取的球中有红色但不全是红色”，则在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率()|P B A =（ ） A ．37B ．1237C ．1219D ．16216．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在()0,1内变化时，（ ） A ．()D ξ增大B ．()D ξ减小C ．()D ξ先增大后减小 D ．()D ξ先减小后增大7．甲、乙、丙三人每人准备在3个旅游景点中各选一处去游玩，则在“至少有1个景点未被选择”的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是（ ） A ．17B ．18C ．114D ．3148．某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ） A ．313B ．413C ．14D ．159．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>10．随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若(2)0.2P ξ<=，(26)0.6P ξ<<=，则μ=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为（ ） A ．8225B ．12C ．34D ．3812．若随机变量X 的分布列为（ ）且()1E X =，则随机变量X 的方差()D X 等于（ ） A ．13B ．0C ．1D ．23二、填空题13．在一个不透明的摸奖箱中有五个分别标有1，2，3，4，5号码的大小相同的小球，现甲､乙､丙三个人依次参加摸奖活动，规定：每个人连续有放回地摸三次，若得到的三个球编号之和恰为4的倍数，则算作获奖，记获奖的人数为X ，则X 的数学期望为___________.14．随机变量X 的概率分布满足()()100,1,2,3,10k C P X k k M===,，则()E X =______________.15．随机变量X 的取值为0、1、2，()00.2P X ==，0.4DX =，则EX =______.16．随机变量ξ的取值为0，1，2，若()104P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=______. 17．设随机变量X 的概率分布如下表所示,且随机变量X 的均值()E X 为2.5 ,则随机变量X 的方差()V X 为__________．18．抛掷红、黄两颗骰子，设事件A 为“黄色的骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于7”.当已知黄色的骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于7的概率为__________．三、解答题19．某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除了颜色外均相同. （1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记取到红球的次数为ξ，求ξ的分布列；（3）每次从纸箱中摸取一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取20次，取得几次红球的概率最大？（只需写出结论）20．根据国家《环境空气质量》规定:居民区中的PM 2.5(PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物)年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM 2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM 2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下:(2)求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由；(3)将频率视为概率，监测去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ)和方差D(ξ).21．某单位招聘员工时，要求参加笔试的考生从5道A类题和3道B类题共8道题中任选3道作答.（1）求考生甲至少抽到2道B类题的概率；（2）若答对A类题每道计1分，答对B类题每道计2分，若不答或答错，则该题计0分.考生乙抽取的是1道A类题，2道B类题，且他答对每道A类题的概率为23，答对每道B类题的概率是12，各题答对与否相互独立，用X表示考生乙的得分，求X的分布列和数学期望.22．三个罐子分别编号为1，2，3，其中1号罐中装有2个红球和1个黑球，2号罐中装有3个红球和1个黑球，3号罐中装有2个红球和2个黑球，若某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率.23．某商场在“双十二”进行促销活动，现有甲、乙两个盒子，甲盒中有3红2白共5个小球，乙盒中有1红4白共5个小球，这些小球除颜色外完全相同．有两种活动规则：规则一：顾客先从甲盒中随机摸取一个小球，从第二次摸球起，若前一次摸到红球，则还从该盒中摸取一个球，若前一次摸到白球，则从另一个盒中摸取一个球，每摸出1个红球奖励100元，每个顾客只有3次摸球机会（每次摸球都不放回）；规则二：顾客先从甲盒中随机摸取一个小球，从第二次摸球起，若前一次摸到红球，则要从甲盒中摸球一个，若前一次摸到白球，则要从乙盒中摸球一个，每摸出1个红球奖励100元，每个顾客只有3次摸球机会（每次摸球都不放回）．（1）按照“规则一”，求一名顾客摸球获奖励金额的数学期望；（2）请问顾客选择哪种规则进行抽奖更有利，并请说明理由．24．山竹，原产于马鲁古，具有清热泻火、生津止渴的功效，其含有丰富的蛋白质与脂类，对体弱、营养不良的人群都有很好的调养作用，因此被誉为夏季的“水果之王”，受到广大市民的喜爱．现将某水果经销商近一周内山竹的销售情况统计如下表所示：（1）根据表格中数据，完善频率分布直方图；（2）求近一周内采购量在286箱以下（含286箱）的人数以及采购数量x 的平均值； （3）以频率估计概率，若从所有采购者中随机抽取4人，记采购量不低于260箱的采购人数为X ，求X 的分布列以及数学期望()E X ．25．某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5),[5,6]共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）.（1）从甲班每天学习数学的平均时间在[0,2)的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0,1)范围内的概率；（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.26．某种子公司培育了一个豌豆的新品种，新品种豌豆豆荚的长度比原来有所增加，培育人员在一块田地(超过1亩)种植新品种，采摘后去掉残次品，将剩下的豆荚随机按每20个一袋装袋密封.现从中随机抽取5袋，测量豌豆豆荚的长度(单位：dm )，将测量结果按)0.6,0.8⎡⎣，)0.8,1.0⎡⎣，)1.0,1.2⎡⎣，)1.2,1.4⎡⎣，[]1.41.6,分为5组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a 的值并估计这批新品种豌豆豆荚长度的平均数x -(不含残次品，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（2）假设这批新品种豌豆豆荚的长度X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ的近似值为豌豆豆荚长度的平均数x -，0.23σ=，试估计采摘的100袋新品种豌豆豆荚中，长度位于区间()0.88,1.57内的豆荚个数；（3）如果将这批新品种豌豆中豆荚长度超过1.4dm 的豆荚称为特等豆荚，以频率作为概率，随机打开一袋新品种豌豆豆荚，记其中特等豆荚的个数为ξ，求1ξ≤的概率和ξ的数学期望.附：19170.04620⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，若随机变量()2,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<<+=.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据分布列的性质可得23a =，由()2E ξ=可得出62m n =-，再由二次函数的基本性质可求得()D ξ的最小值. 【详解】由分布列的性质可得23a =，()12233E m n ξ=+=，所以，26m n +=，则62m n =-，()()()()()()222221212224222203333D m n n n n ξ=-+-=-+-=-≥，因此，()D ξ的最小值为0. 故选：A. 【点睛】本题考查利用随机分布列的性质解题，同时也考查了方差最值的计算，考查计算能力，属于中等题.2．C解析：C 【分析】由(20)(30)p X P X =<=求出的范围，再由方差公式求出值．【详解】∵(20)(30)p X P X =<=，∴2020303030205050(1)(1)C p p C p p -<-，化简得1p p -<，即12p >，又()850(1)D X p p ==-，解得0.2p =或0.8p =，∴0.8p =，故选C ． 【点睛】 本题考查概率公式与方差公式，掌握这两个公式是解题的关键，本题属于基础题．3．B解析：B 【分析】记事件A 为“至少有一个女孩”，事件B 为“另一个也是女孩”，分别求出A 、B 的结果个数，问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求(|)P B A ，由条件概率公式求解即可. 【详解】解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}．记事件A 为“至少有一个女孩”，事件B 为“另一个也是女孩”，则{A =（男，女），（女，男），（女，女）}，{B =（男，女），（女，男），（女，女）}，{AB =（女，女）}．于是可知3()4P A =，1()4P AB =． 问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求(|)P B A ，由条件概率公式，得()114334P B A ==．故选：B ． 【点睛】本题的考点是条件概率与独立事件，主要考查条件概率的计算公式：()()()P AB P B A P A =，等可能事件的概率的求解公式：()mP M n=（其中n 为试验的所有结果，m 为基本事件的结果）.4．D解析：D 【分析】根据裂项相消法以及概率的性质求出a ，再得出()E X ，最后由()()E aX aE X =得出答案. 【详解】()()11a a aP X n n n n n ===-++(1)(2)(3)1P X P X P X =+=+== 122334a a a a a a ∴-+-+-=，解得43a =则221(1),(2),(3)2369129a a a P X P X P X ========= 62113()1239999E X ∴=⨯+⨯+⨯=452()()392137E aX aE X ∴==⨯=故选：D 【点睛】本题主要考查了随机变量分布列的性质以及均值的性质，属于中档题.5．C解析：C 【分析】根据题意，求出()P A 和()P AB ，由公式()()()|P AB P B A P A =即可求出解答.【详解】解：因为事件A 为“抓取的球中存在两个球同色”包括两个同色和三个同色，所以()213363393357198428C C C P A C +=== 事件A 发生且事件B 发生概率为：()12213336392363847C C C C P AB C +===故()()()3127|191928P AB P B A P A ===. 故选：C. 【点睛】本题考查条件概率求法，属于中档题.6．A解析：A 【分析】计算出()E ξ和()2E ξ，根据()()()22D E E ξξξ=-将()D ξ表示成关于p 的函数，研究函数的单调性即可得出结论. 【详解】()()()()222112nni i i i i i i D E p E E p ξξξξξξξ==⎡⎤=-⋅=-+⋅⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑()()()()()()()2222222122ni i i i i p p E E E E E E E ξξξξξξξξξ=⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦∑， 由分布列得()1111012222p p p E ξ--=-⨯+⨯+⨯=，()211110222p p p E ξ+-+=⨯+⨯=， 所以，()()()()222221111152224444p p D E E p p p ξξξ+-⎛⎫=-=-=-++=--+ ⎪⎝⎭， 所以，当()0,1p ∈时，()D ξ随着p 的增大而增大. 故选：A. 【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查二次函数的单调性，属于中等题.7．A解析：A 【分析】设事件A 为：至少有1个景点未被选择，事件B 为：恰有2个景点未被选择,计算()P AB 和()P A ,再利用条件概率公式得到答案.【详解】设事件A 为：至少有1个景点未被选择，事件B 为：恰有2个景点未被选择331()39P AB == 3337()139A P A =-=()1()()7P AB P B A P A == 故答案选A 【点睛】本题考查了条件概率，意在考查学生对于条件概率的理解和计算.8．A解析：A 【分析】根据条件概率的计算公式，分别求解公式各个部分的概率，从而求得结果. 【详解】设事件A 为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件B 为“学生丙第一个出场”则()41134333555578A C C A P A A A +==，()1333555518C A P AB A A == 则()()()1837813P AB P B A P A === 本题正确选项：A 【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.9．B解析：B 【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=. ()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯， 故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=, 故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B. 【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别. 10．B解析：B【分析】直接根据正态曲线的对称性求解即可.【详解】(2)0.2ξ<=，(26)0.6Pξ<<=，()610.20.60.2Pζ∴>=--=，即()()26P Pζζ<=>，2642μ+∴==，故选B.【点睛】本题主要考查正态分布与正态曲线的性质，属于中档题. 正态曲线的常见性质有：（1）正态曲线关于xμ=对称，且μ越大图象越靠近右边，μ越小图象越靠近左边；（2）边σ越小图象越“痩长”，边σ越大图象越“矮胖”;(3)正态分布区间上的概率，关于μ对称，()()0.5P x P xμμ>=<=11．D解析：D【解析】分析：根据条件概率求结果.详解：因为在下雨天里，刮风的概率为既刮风又下雨的概率除以下雨的概率，所以在下雨天里，刮风的概率为13104815=，选D.点睛：本题考查条件概率，考查基本求解能力.12．D解析：D【解析】分析：先根据已知求出a,b的值，再利用方差公式求随机变量X的方差()D X.详解：由题得1113,,130213a ba ba b⎧++=⎪⎪∴==⎨⎪⨯++=⎪⎩所以2221112()(01)(11)(21).3333D X=-⋅+-⋅+-⋅=故答案为D.点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，那么D ξ＝211()x E p ξ-⋅＋222()x E p ξ-⋅＋…＋2()n n x E p ξ-⋅,称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E ξ是随机变量ξ的期望．二、填空题13．【分析】由题意可知抽得三球编号和为4812三种情况的基本事件有31种而总事件有125种即三个球编号之和恰为4的倍数的概率为则有根据二项分布的期望公式求期望即可【详解】三个球编号之和恰为4的倍数的基本 解析：93125【分析】由题意可知抽得三球编号和为4,8,12三种情况的基本事件有31种，而总事件有125种，即三个球编号之和恰为4的倍数的概率为31125，则有31~(3,)125X B ，根据二项分布的期望公式求期望即可. 【详解】三个球编号之和恰为4的倍数的基本事件：(1,1,2)有3种、(1,2,5)有6种、(1,3,4)有6种、(2,2,4)有3种、(2,3,3)有3种、(2,5,5)有3种、(3,4,5)有6种、(4,4,4)有1种，而总共有555125⨯⨯=， ∴三个球编号之和恰为4的倍数的概率为31125，由题意31~(3,)125X B ， ∴X 的数学期望：3193()3125125E X =⨯=. 故答案为：93125. 【点睛】关键点点睛：根据编号和分组得到三个球编号之和恰为4的倍数的基本事件数，进而确定其概率，由人数为X 服从31(3,)125B 的二项分布，求期望. 14．【分析】由可求得再利用随机变量数学期望公式结合倒序相加法可求得的值【详解】由题意可得则倒序：故则故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查数学期望的计算解题的关键就是利用二项式系数的对称性结合倒序相加法 解析：5【分析】由()101k P X k ===∑可求得102M =，再利用随机变量数学期望公式结合倒序相加法可求得()E X 的值. 【详解】由题意可得()101010101000212k k k C P X k M MM ======⇒=∑∑， 则()012101010101001210C C C C E X M M M M=⋅+⋅+⋅++⋅. 倒序：()109801010101010980C C C C E X M M M M=⋅+⋅+⋅++⋅. 0101010C C =，191010C C =，281010C C =，，故()()012101010101010210E X C C C C M=++++=，则()5E X =.故答案为：5. 【点睛】关键点点睛：本题考查数学期望的计算，解题的关键就是利用二项式系数的对称性，结合倒序相加法求出()E X 的值，同时也要注意随机变量在所有可能取值下的概率之和为1，结合二项式定理求出M 的值.15．【分析】设可得出可求出的表达式利用方差公式可求出的值即可求出的值【详解】设其中可得出解得因此故答案为：【点睛】本题考查利用随机变量方差求数学期望解题的关键就是列出方程求解考查运算求解能力属于中等题 解析：1【分析】设()2P X x ==，可得出()10.8P X x ==-，可求出EX 的表达式，利用方差公式可求出x 的值，即可求出EX 的值. 【详解】设()2P X x ==，其中00.8x ≤≤，可得出()10.8P X x ==-，()00.210.820.8EX x x x ∴=⨯+⨯-+=+，()()()()2220.80.20.20.8 1.20.4DX x x x x x =+⨯+-⨯-+-⨯=，解得0.2x =，因此，0.20.81EX =+=. 故答案为：1. 【点睛】本题考查利用随机变量方差求数学期望，解题的关键就是列出方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.16．【分析】根据计算得到再计算得到答案【详解】则；故故答案为：【点睛】本题考查了方差的计算意在考查学生的计算能力 解析：12【分析】根据()()3124P P ξξ=+==，()()()1221P E P ξξξ=+===计算得到 ()()111,224P P ξξ====，再计算()D ξ得到答案.【详解】()104P ξ==，则()()3124P P ξξ=+==；()()()1221P E P ξξξ=+===故()()111,224P P ξξ====.()()()()22211111011214242D ξ=-+-+-=故答案为：12【点睛】本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.17．【解析】分析：根据分布列的性质求出的值然后再根据方差的定义求解即可得到结论详解：由题意得即解得∴点睛：（1）离散型随机变量的分布列中所有概率和为1这一性质为求概率和检验分布列是否正确提供了工具（2）解析：98【解析】分析：根据分布列的性质求出,a b 的值，然后再根据方差的定义求解即可得到结论．详解：由题意得3318163352348162a b a b ⎧+++=⎪⎪⎨⎪++⨯+⨯=⎪⎩，即716528a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得14316a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴()2222515353539123424216282168V X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．点睛：（1）离散型随机变量的分布列中所有概率和为1，这一性质为求概率和检验分布列是否正确提供了工具．（2）求分布列的期望和方差时可根据定义直接求解即可．18．【解析】分析：由题意知这是一个条件概率做这种问题时要从这两步入手一是做出黄色骰子的点数为或的概率二是两颗骰子的点数之和大于的概率再做出两颗骰子的点数之和大于且黄色骰子的点数为或的概率根据条件概率的公 解析：712【解析】分析：由题意知这是一个条件概率，做这种问题时，要从这两步入手，一是做出黄色骰子的点数为3或6的概率，二是两颗骰子的点数之和大于7的概率，再做出两颗骰子的点数之和大于7且黄色骰子的点数为3或6的概率，根据条件概率的公式得到结果.详解：设x 为掷红骰子的点数，y 为黄掷骰子得的点数，(),x y 共有6636⨯=种结果，则黄色的骰子的点数为3或6所有12种结果，两颗骰子的点数之和大于7所有结果有10种，利用古典概型概率公式可得()()()1211077,,363361836P A P B P AB =====，由条件概率公式可得()()()7736|1123P AB P B A P A ===，故答案为712. 点睛：本题主要考查条件概率以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出；(3)利用两个原理及排列组合知识.三、解答题19．（1）12；（2）分布列见解析；（3）15次. 【分析】（1）利用组合数公式和古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）由题意可知，34,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量ξ的分布列； （3）根据独立重复试验的概率公式可得出结论. 【详解】（1）一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出2个红球，相当于从3个红球中摸出2个红球，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为232412C P C ==；（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，则每次摸到红球的概率均为34， 这样摸球4次，则34,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以，()4110=4256P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()3143131=4464P C ξ⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，()22243127244128P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()334312734464P C ξ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()438144256P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭. 因此，随机变量ξ的分布列如下表所示：【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.20．（1）22.5微克/立方米， 37.5微克/立方米；（2）40.5(微克/立方米), 需要改进,理由见解析；（3）分布列见解析，1.8，0.18. 【分析】（1）根据表中数据即可得出； （2）直接计算出平均数即可判断； （3）可得ξ的可能取值为0，1，2，且92,10B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，由此的可得出分布列，求出均值和方差. 【详解】(1)由表可知众数在第二组，为15+3022.52=微克/立方米， 因为前两组的频率之和为0.4，前三组的频率之和为0.6，故中位数在第三组，设为x ， 则0.1300.24530x -=-，解得37.5x =微克/立方米， 所以众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米.(2)去年该居民区PM 2.5的年平均浓度为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5(微克/立方米). ∵40.5>35，∴去年该居民区PM 2.5的年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进.(3)记事件A 表示“一天PM 2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则P (A )=910. 随机变量ξ的可能取值为0，1，2，且92,10B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴2299()11010kkk P k C ξ-⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(k=0，1，2)，即∴()2 1.810E np ξ==⨯=， 91()(1)20.181010D np p ξ=-=⨯⨯=. 【点睛】本题考查样本数据众数、中位数、平均数的求解，考查二项分布的分布列和均值、方差的求解，解题的关键是正确分析数据，得出92,10B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 21．（1）27；（2）分布列见解析；期望为83.【分析】（1）利用组合数计算考生甲至少抽到2道B 类题的种数，利用古典概型的概率计算公式可求概率.（2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，分别计算出各自的概率后可得分布列，再利用公式计算期望即可. 【详解】解：（1）设“考生甲至少抽到2道B 类题”为事件A ，则213353382()7C C C P A C +== （2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，所以2211(0)113212P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2211(1)1326P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，122111(2)113226P X C ⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，122111(3)13223P X C ⎛⎫==⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭， 222211(4)1C 3212P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2211(5)326P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为所以123456631263EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】方法点睛：离散型随机变量的分布列的计算，注意理解每个取值的含义，并借助排列组合的知识计算相应的概率.22．2336【分析】记i B =｛球取自i 号罐｝(1,2,3)i =，A ={取得红球}，则123A AB AB AB =++，且123,,AB AB AB 两两互斥，由条件概率公式计算出123,,AB AB AB 的概率可得结论．【详解】记i B =｛球取自i 号罐｝(1,2,3)i =，A ={取得红球}，显然A 的发生总是伴随着123,,B B B 之一同时发生，即123A AB AB AB =++，且123,,AB AB AB 两两互斥，()()()123231,,342P A B P A B P A B ===∣∣∣，所以()()()()()3123112131123()33343236i i i P A P AB P AB P AB P B P A B ==++===⨯+⨯+⨯=∑∣.【点睛】关键点点睛：本题考查条件概率，互斥事件的概率公式．解题关键是把取得红球这个事件拆分成三个互斥事件的和：记i B =｛球取自i 号罐｝(1,2,3)i =，A ={取得红球}，123A AB AB AB =++，而由条件概率公式可得123,,AB AB AB 的概率．23．（1）138；（2）选择规则一更有利．理由见解析.【分析】（1）按规则一，设3次摸球后摸到的红球个数为随机变量X ，其可能的取值有0，1，2，3，4利用互斥事件以及独立事件同时发生的计算公式分别计算出各个概率的值，并列出分布列，而所求的奖励金额为随机变量100X ，根据期望计算公式即可求解； （2）与（1）同方法可求出规则二的奖励金额的期望，与（1）中的结果相比较，即可知规则一更有利. 【详解】解：（1）按照规则一，设顾客经过3次摸球后摸取的红球个数为X ， 则X 可以取0，1，2，3，则()2412055425==⨯⨯=P X ； ()32421424314154555455425==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=P X ； ()32232113254354550==⨯⨯+⨯⨯=P X ；()3211354310==⨯⨯=P X ． 随机变量X 的分布列为：()214131100100012313825255010⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭E X ．（2）若选规则二，设顾客经过3次摸球后摸取的红球个数为Y ，则Y 可以取0，1，2，3()2436055425==⨯⨯=P Y ； ()32421124117154555455450==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=P Y ；()3223212138254354555425==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=P Y ；()3211354310==⨯⨯=P Y ．随机变量Y 的分布列为：()61781100100012312825502510⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭E Y ，因为()()100100>EX E Y ，所以选择规则一更有利．【点睛】方法点睛：与数学期望相关的决策性问题解题步骤：①设出随机变量，并写出其所有可能的取值；②求出每个随机变量的概率；③写出分布列；④求出数学期望；⑤针对具体的问题选择合适的方案.24．（1）直方图见解析；（2）270；（3）分布列见解析，()125E X =. 【分析】（1）求出各组频率，得出频率除以组距值，即可完善频率分布直方图； （2）根据频率分布直方图即可列式求解； （3）可知34,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，求出概率，即可得出分布列和期望值. 【详解】（1）依题意，转化频率分布表如下所示： 采购数量x （单位：箱） [)220,240[)240,260[)260,280[)280,300[]300,320采购人数 100 100 50 200 50 频率 0.2 0.2 0.1 0.4 0.1 频率/组距0.0100.0100.0050.0200.005（2）采购量在286箱以下（含286）的频率为60.20.20.10.40.6220+++⨯=； 故采购量在286箱以下（含286）的人数为5000.62310⨯=； 所求平均值为2300.22500.22700.12900.43100.146502711631270⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++++=；（3）依题意，34,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()421605625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()3143296155625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()222432216255625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()33432216355625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()438145625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 故X 的分布列为：故()455E X =⨯=． 【点睛】 本题考查频率分布直方图、样本的数字特征、离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查考生直观想象、数学建模、数学运算、逻辑推理的核心素养． 25．（1）35；（2）分布列见解析，127. 【分析】（1）先求出甲班的总人数，再利用频率分布直方图求出甲班在[0，1），[1，2）的人数，从而可以计算出抽取 3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0,1)范围内的概率；（2）首先计算出甲，乙两班中数学平均时间在区间[5，6]的人数，从而可以得到随机变量ξ的取值，并计算出对应的概率，写出随机变量ξ的分布列，即可计算出随机变量ξ的数学期望.【详解】（1）因为乙班学生的总人数为2+5+10+16+14+3=50，所以甲班中学习平均时间在[0，1）内的人数为50×0.04=2，甲班中学习平均时间在[1，2）内的人数为50×0.08=4.设“3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0，1）范围内”为事件A ，则122436263()205C C P A C ⋅⨯===； （2）甲班学习数学平均时间在区间[5，6]的人数为50×0.08=4.由频数分布表知乙班学习数学平均时间在区间[5，6]的人数为3，两班中学习数学平均时间不小于5小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3.0434471(0)35C C P C ξ===， 13344712(1)35C C P C ξ===，22344718(2)35C C P C ξ===， 3134474(3)35C C P C ξ===. 所以ξ的分布列为()0123353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】 思路点睛：离散型随机变量分布列：（1）明取值；（2）求概率；（3）画表格；（4）做检验.26．（1）0.75a =，平均数为1.11；（2）1637(个)；（3）概率为320，数学期望3. 【分析】（1）先根据频率分布直方图的性质求得a 的值，再根据平均数的计算方法即可得这批新品种豌豆荚长度的平均数的估计值；（2）根据μ与σ的值得到()0.88<<1.57X P ,即()2P X μσμσ-<<+，再利用正态分布的有关知识计算相应的概率，最后求豆荚个数；（3）先得到豆荚长度超过1.4dm 的频率为320，再判断ξ服从二项分布，最后计算所求概率和数学期望.【详解】（1）由频率分布直方图可得0.50.210.220.220.21a ⨯+⨯+⨯+⨯=.解得0.75a = 估计新品种豌豆豆荚长度的平均数0.70.50.20.910.2 1.120.2 1.30.750.2 1.50.750.2 1.11x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. （2）由（1）知新品种豌豆豆荚长度的平均数约为1.11，则 1.11μ=，又0.23σ=，所以0.88μσ-=， 1.34μσ+=，20.65μσ-=，2 1.57μσ+=.所以()()0.88 1.572P X P X μσμσ<<=-<<+()()220.81862P X P X μσμσμσμσ-<<++-<<+== 所以100袋豌豆豆荚中，长度位于区间()0.88,1.57内的豆荚个数为100200.81861637.21637⨯⨯=≈(个)（3）在新品种豌豆豆荚中随机抽取一个，豆长度超过1.4dm 的频率为。

独立性检验练习含答案一、基础过关1. 5 2×2.706 时,就有 的把握认为“x与y 百大系”。

2.在某医院，由于意心解病而住院的 665名男性病人中，有 214人类殖，而另外772名不是由于忠心鼓励自住院的男性病人中有175人先项，统 计~ (结果保留 3位小数)①ad b c 接小,说明X 与Y 的关系线段. ②ad -bc 越大,说明X 与Y 的关系越来。

②[ad -bo]'越大,说明X 与Y 的关系基础. ①(ad -bc)²能按照下0.说明x 与Y 的关系解析.4. 请对随机询问110名性别有限的血拉工品五级每上项目sh ，是到up 下的网联表：lna −n (ad−log 3)(a+b/c+d/a+c ]b+d其中 xx =110×(40×30−20×20)60×50×60×50=7.8参照班表，得到的正确结论是 .②在配错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该难运动与性别无关”。

③有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”。

①有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”。

3.分类型是 X 和Y填序号)进入.5.为了争辩男子的年龄与吸烟的关系，并查了100个男子，按年龄超过和不超过40岁.0烟就有 的把握确定吸烟量与年龄有关。

二、才能提升为了判定上修统计专业是否与性别有关，依据表示的数据，智可能性为 .7.0.2×2列联表中，如哪个数据变为较大的20.认中方们交入课 文的 。

B.以下说法正确选项 .(填序号)00对大事A 与B 的检验无关，即两个大事无不影响. ②大事A 与B 关系越宗热， x 就越大.③义的大小处判定大事 A 与B 是否相关的参一数据. ④如判定两大事 A 与8有关，就 A 发生8确定发生。

9.为争辩某新药的疗效，输无论 “” 。

”4124 46 36 50 ␡ “ “ -- 21 79 400设 H 。

一、选择题1．某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩ξ占近似服从正态分布()295,N σ，且(9195)0.25P ξ<≤=．若该校有700人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低于99分的人数为（ ） A ．100B ．125C ．150D ．1752．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在()0,1内变化时，（ ） A ．()D ξ增大 B ．()D ξ减小 C ．()D ξ先增大后减小D ．()D ξ先减小后增大3．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有23的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（ ） A ．1320B ．920C ．15D ．1204．某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ） A ．313B ．413C ．14D ．155．某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X 近似服从正态分布2(84,)N σ，且(7884)0.3P X <≤=.该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为（ ） A ．60 B ．80 C ．100D ．1206．一个口袋中装有若干个除颜色外都相同的黑色、白色的小球，从中取出一个小球是白球的概率为35，连续取出两个小球都是白球的概率为25，已知某次取出的小球是白球，则随后一次取出的小球为白球的概率为（ ）A．35B．23C．25D．157．如图所示,EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地扔到该圆内,事件A表示“豆子落在正方形EFGH内”,事件B表示“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则P(B|A)等于()A．18B．14C．12D．388．随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ，若(2)0.2Pξ<=，(26)0.6Pξ<<=，则μ=（）A．3 B．4 C．5 D．69．10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽取两张.则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率是( )A．27B．29C．310D．1510．随机变量()~1,4X N，若()20.2p x≥=，则()01p x≤≤为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.611．某校1 000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其密度函数2222()xf x e-μ-σ=π⋅σ（）x∈R（）曲线如图所示，正态变量X在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%，则成绩X位于区间(52,68]的人数大约是（）A．997B．954C．683D．34112．已知随机变量ξ服从正态分布()21,Nσ，若()20.66Pξ≤=，则()0Pξ≤=（）A．0.84B．0.68C．0.34D．0.16二、填空题13．已知随机变量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且E (η)＝7，若ξ的分布列如下表，则n 的值为__. ξ 12 3 4P14 mn11214．已知随机变量X 的分布列如下,若E(X)=3,则D(X)=____.15．已知随机变量ξ的分布列为ξ1x 4Py1612且数学期望83E ξ=，则方差D ξ=__________． 16．已知某厂生产一种产品的质量指标值X 服从正态分布(71,119)N ，则从该厂随机抽取的10000件产品中，质量指标值不低于81.91的产品约有_______件． 附：718.42,11910.91,()0.6826,(33)0.9974P X P X μσμσμσμσ=≈-<<+=-<<+=17．已知某随机变量X 的分布列如下（,p q ∈R ）：且X 的数学期望1()2E X =，那么X 的方差()D X =__________． 18．下列说法正确的有________(填序号)．①离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值； ②离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的平均水平； ③离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的波动水平； ④离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的波动水平．三、解答题19．某校拟举办“成语大赛”，高一（1）班的甲、乙两名同学在本班参加“成语大赛”选拔测试，在相同的测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）的茎叶图如图所示.（1）你认为选派谁参赛更好？并说明理由；（2）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取1次进行分析，设抽到的2次成绩中，90分以上的次数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X .20．为了解果园某种水果产量情况，随机抽取100个水果测量质量，样本数据分组为[)100,150，[)150,200，[)200,250，[)250,300，[)300,350，[]350,400（单位：克），其频率分布直方图如图所示：（1）用分层抽样的方法从样本里质量在[)250,300，[)300,350的水果中抽取6个，求质量在[)250,300的水果数量；（2）从（1）中得到的6个水果中随机抽取3个，记X 为质量在[)300,350的水果数量，求X 的分布列和数学期望；（3）果园现有该种水果越20000个，其等级规则及销售价格如下表所示： 质量m （单位：克） 200m < 200300m ≤<300m ≥等级规格 二等 一等 特等 价格（元/个）471021．某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如图：（1）比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；（2）以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X 的分布列和均值．22．2020年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作[20,40)、9:40~10:00记作[40,60)，10:00~10:20记作[60,80)，10:20~10:40记作[80,100)，例如：10点04分，记作时刻64.（Ⅰ）估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（Ⅱ）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T 服从正态分布()2~,N μσ，其中μ可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，2σ用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.假如4日全天共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.附：若随机变量T 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P T μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P T μσμσ-<≤+=，(33)0.9973P T μσμσ-<≤+=.23．某商场在“双十二”进行促销活动，现有甲、乙两个盒子，甲盒中有3红2白共5个小球，乙盒中有1红4白共5个小球，这些小球除颜色外完全相同．有两种活动规则： 规则一：顾客先从甲盒中随机摸取一个小球，从第二次摸球起，若前一次摸到红球，则还从该盒中摸取一个球，若前一次摸到白球，则从另一个盒中摸取一个球，每摸出1个红球奖励100元，每个顾客只有3次摸球机会（每次摸球都不放回）；规则二：顾客先从甲盒中随机摸取一个小球，从第二次摸球起，若前一次摸到红球，则要从甲盒中摸球一个，若前一次摸到白球，则要从乙盒中摸球一个，每摸出1个红球奖励100元，每个顾客只有3次摸球机会（每次摸球都不放回）．（1）按照“规则一”，求一名顾客摸球获奖励金额的数学期望； （2）请问顾客选择哪种规则进行抽奖更有利，并请说明理由．24．某中学举办的校园文化周活动中，从周一到周五的五天中，每天安排一项内容不同的活动供学生选择参加，要求每位学生参加三项活动，其中甲同学必须参加周一的活动，不参加周五的活动，其余三天的活动随机选择两项参加，乙同学和丙同学可以在周一到周五中随机选择三项参加.（1）求甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的概率；（2）用X 表示甲､乙､丙三名同学选择周三活动的人数之和，求X 的分布列和数学期望. 25．某学校为了了解学生暑假期间学习数学的情况，抽取了人数相等的甲、乙两班进行调查，甲班同学每天学习数学的平均时间的频率分布直方图（将时间分成[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5),[5,6]共6组）和乙班同学每天学习数学的平均时间的频数分布表如图所示（单位：小时）.（1）从甲班每天学习数学的平均时间在[0,2)的人中随机选出3人，求3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0,1)范围内的概率；（2）从甲、乙两个班每天学习数学平均时间不小于5个小时的学生中随机抽取4人进一步了解其他情况，设4人中乙班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.26．某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.（1）通过分析可以认为考生初试成绩X 服从正态分布2(,)N μδ，其中64μ=，2169δ=，试估计初试成绩不低于90分的人数；（2）已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为34，后两题答对的概率均为23，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试试成绩为Y ，求Y 的分布列及数学期望.附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μδ，则()0.6826P X μδμδ-<<+=，()220.9544P X μδμδ-<<+=，()330.9974P X μδμδ-<<+=．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由题意，成绩X 近似服从正态分布()295,N σ，则正态分布曲线的对称轴为95X =，根据正态分布曲线的对称性，求得()199[12(9195)]2P X P X ≥=⨯-⨯<≤，进而可求解，得到答案. 【详解】由题意，成绩X 近似服从正态分布()295,N σ，则正态分布曲线的对称轴为95X =， 又由(9195)0.25P ξ<≤=， 根据正态分布曲线的对称性，可得()()1199[12(9195)]120.250.2522P X P X ≥=⨯-⨯<≤=-⨯=，所以该市某校有700人中，估计该校数学成绩不低于99分的人数为7000.25175⨯=人， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：该题主要考查了正态分布曲线的性质的应用，其中解答中熟练应用正态分布曲线的对称性，求得成绩不低于99分的概率是解答的关键.2．A解析：A 【分析】计算出()E ξ和()2E ξ，根据()()()22D E E ξξξ=-将()D ξ表示成关于p 的函数，研究函数的单调性即可得出结论. 【详解】()()()()222112nni i i i i i i D E p E E p ξξξξξξξ==⎡⎤=-⋅=-+⋅⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑()()()()()()()2222222122ni i i i i p p E E E E E E E ξξξξξξξξξ=⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦∑， 由分布列得()1111012222p p p E ξ--=-⨯+⨯+⨯=，()211110222p p p E ξ+-+=⨯+⨯=，所以，()()()()222221111152224444p p D E E p p p ξξξ+-⎛⎫=-=-=-++=--+ ⎪⎝⎭， 所以，当()0,1p ∈时，()D ξ随着p 的增大而增大. 故选：A. 【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查二次函数的单调性，属于中等题.3．C解析：C 【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B ，利用二项分布的知识计算出()P A ，再计算出()P AB ，结合条件概率公式求得结果. 【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B则()2323332122033327P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()122433327P AB =⨯⨯= ()()()15P AB P B A P A ∴==本题正确选项：C 【点睛】本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题.4．A解析：A 【分析】根据条件概率的计算公式，分别求解公式各个部分的概率，从而求得结果. 【详解】设事件A 为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件B 为“学生丙第一个出场”则()41134333555578A C C A P A A A +==，()1333555518C A P AB A A == 则()()()1837813P AB P B A P A === 本题正确选项：A 【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.5．B解析：B 【分析】由题意，成绩X 近似服从正态分布()284,N σ，则正态分布曲线的对称轴为84X =，根据正态分布曲线的对称性，求得()190[12(7884)]2P X P X ≥=⨯-⨯<≤,进而可求解，得到答案. 【详解】由题意，成绩X 近似服从正态分布()284,N σ，则正态分布曲线的对称轴为84X =，又由(7884)0.3P X <≤=， 根据正态分布曲线的对称性，可得()()1190[12(7884)]10.60.222P X P X ≥=⨯-⨯<≤=-=,所以该市某校有400人中，估计该校数学成绩不低于90分的人数为4000.280⨯=人， 故选B. 【点睛】本题主要考查了正态分布曲线的性质的应用，其中解答中熟练应用正态分布曲线的对称性，求得成绩不低于90分的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6．B解析：B 【分析】直接利用条件概率公式求解即可. 【详解】设第一次取白球为事件A ，第二次取白球为事件B ，连续取出两个小球都是白球为事件AB ，则()P A =35，()P AB =25，某次取出的小球是白球，则随后一次取出的小球为白球的概率为()()()225|335P AB P B A P A ===，故选B. 【点睛】本题主要考查条件概率公式的应用，属于基础题.求解条件概率时，一要区分条件概率与独立事件同时发生的概率的区别与联系；二要熟记条件概率公式()()()|P AB P B A P A =.7．B解析：B 【分析】由几何概型概率计算公式可得P(A)=2π，再根据条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由几何概型概率计算公式可得P(A)=S 2S π=正圆；事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”, 则P(AB)=2EOH11S12.S π2π圆⨯==由条件概率的计算公式可得P(B|A)=1P(AB)12π2P(A)4π==，故选B. 【点睛】本题主要考查了几何概型及其概率的计算，以及条件概率的计算问题，其中解答中正确理解题意，合理利用几何概型及其概率的计算公式和条件概率的计算公式，合理、准确求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.8．B解析：B 【分析】直接根据正态曲线的对称性求解即可. 【详解】(2)0.2ξ<=，(26)0.6P ξ<<=，()610.20.60.2P ζ∴>=--=，即()()26P P ζζ<=>，2642μ+∴==，故选B. 【点睛】本题主要考查正态分布与正态曲线的性质，属于中档题. 正态曲线的常见性质有：（1）正态曲线关于x μ=对称，且μ越大图象越靠近右边，μ越小图象越靠近左边；（2）边σ越小图象越“痩长”，边σ越大图象越“矮胖”;(3)正态分布区间上的概率，关于μ对称，()()0.5P x P x μμ>=<= 9．B解析：B 【分析】根据第一次抽完的情况下重新计算总共样本数和满足条件样本数，再由古典概型求得概率． 【详解】在第一次抽中奖后，剩下9张奖券，且只有2张是有奖的，所以根据古典概型可知，第二次中奖的概率为29P =．选B.【点睛】事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率称为“事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率”，记为(|)P B A ；条件概率常有两种处理方法： （1）条件概率公式：()(|)()P AB P B A P A =． （2）缩小样本空间，即在事件A 发生后的己知事实情况下，用新的样本空间的样本总数和满足特征的样本总数来计算事件B 发生的概率．10．B解析：B 【解析】分析：根据正态分布的整体对称性计算即可得结果. 详解：(0)(2)0.2,P X P X ≤=≥=10.22(01)0.3,2P X -⨯∴≤≤== 故选B.点睛：该题考查的是有关正态分布的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正态分布曲线的对称性，从而求得结果.11．C解析：C 【解析】分析：先由图得,μσ，再根据成绩X 位于区间(52,68]的概率确定人数. 详解：由图得8μσ=== 因为60852,60868-=+=，所以成绩X 位于区间(52,68]的概率是68.3%， 对应人数为68.3%1000683⨯=， 选C.点睛：利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.12．C解析：C 【解析】分析：先根据正态分布得(12)0.16,P ξ≤≤=再求(01)0.16,P ξ≤≤=最后求得() 0P ξ≤=0.34.详解：由正态分布曲线得(12)0.660.50.16,P ξ≤≤=-= 所以(01)0.16,P ξ≤≤=所以()0P ξ≤=0.5-0.16=0.34. 故答案为C.点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想和方法.（2）解答本题的关键是数形结合，要结合正态分布曲线的图像和性质解答，不要死记硬背.二、填空题13．【解析】所以且概率和解得解析：13【解析】42ηξ=-，()()9427,4E E E ηξξ=-==，所以()11912344124E m n ξ=⨯+++⨯=，且概率和111412m n +++=，解得13n =.14．1【分析】由题意根据和分布列的性质求得的值再利用方差的公式即可求解【详解】根据题意得解得∴D(X)=(1-3)2×01+(2-3)2×02+(3-3)2×03+(4-3)2×04=1【点睛】本题主要解析：1 【分析】由题意，根据()3E X =和分布列的性质，求得,m n 的值，再利用方差的公式，即可求解. 【详解】 根据题意,得解得∴D(X)=(1-3)2×0.1+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.3+(4-3)2×0.4=1. 【点睛】本题主要考查了分布列的性质和期望与方差的计算，其中明确分布列的性质和相应的数学期望和方差的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.15．【解析】分析：根据概率和为求出的值在根据期望公式求得的值由方差公式可得结果详解：故答案为点睛：本题考查离散型随机变量的分布列离散型随机变量的期望与方差公式意在考查综合应用所学知识解决问题的能力属于中 解析：179【解析】分析：根据概率和为1，求出y 的值，在根据期望公式求得x 的值，由方差公式可得结果. 详解：1111,623y y ++=∴=， 11181+4=3623x ∴⨯+⨯，2x ∴=，222818181171243336329D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为179.点睛：本题考查离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的期望与方差公式，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，属于中档题.16．1587【解析】分析：由服从正态分布可得根据正态曲线的性质可得结果详解：服从正态分布件产品中质量指标值不低于的产品约有件故答案为点睛：本题主要考查正态分布的性质与实际应用属于中档题有关正态分布的应用解析：1587 【解析】分析：由X 服从正态分布()71,119N ，可得71,10.91μσ==，根据正态曲线的性质可得结果. 详解：X 服从正态分布()71,119N ，71,10.91μσ∴==，()()181.91160.0981.912P X P X ⎡⎤∴=≥=-<<⎣⎦ ()110.68260.15872=-=， 10000∴件产品中，质量指标值不低于81.91的产品约有 100000.15871587⨯=件,故答案为1587.点睛：本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题.有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布“挂起钩来”；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.17．【解析】根据题意可得解得故的方差解析：34【解析】根据题意可得112p q p q +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得34p =，14q =，故X 的方差2213113()1124244D X ⎛⎫⎛⎫=-⨯+--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 18．4【解析】①错误因为离散型随机变量ξ的期望反映了ξ取值的平均水平②错误因为离散型随机变量ξ的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度③错误因为离散型随机变量的方差反映了ξ取值的波动水平而随机变量的期望解析：4 【解析】①错误．因为离散型随机变量ξ的期望()E ξ反映了ξ取值的平均水平．②错误．因为离散型随机变量ξ的方差()D ξ反映了随机变量偏离于期望的平均程度．③错误．因为离散型随机变量的方差()D ξ反映了ξ取值的波动水平，而随机变量的期望()E ξ反映了ξ取值的平均水平．④正确．由方差的意义可知正确．三、解答题19．（1）选派乙参赛更好，理由见解析；（2）分布列见解析，()25E X =. 【分析】（1）计算出甲、乙两人5次测试的成绩的平均分与方差，由此可得出结论；（2）由题意可知，随机变量X 的取值有0、1、2，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可计算得出()E X . 【详解】（1）甲5次测试成绩的平均分为555876889236955x ++++==甲，方差为22222213693693693693695704555876889255555525s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦甲，乙5次测试成绩的平均分为658287859541455x ++++==乙，方差为22222214144144144144142444658285879555555525s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦乙，所以，x x <甲乙，22s s >甲乙，因此，选派乙参赛更好；（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2，()24160525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()148125525P X ==⨯⨯=，()2112525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：因此，()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.20．（1）4个；（2）分布列见解析；期望为1；（3）143000（元）． 【分析】（1）根据频率分布直方图得到质量在[)250,300，[)300,350的该水果的频率，按照比例抽取即可.（2）由（1）知，6个水果中由2个质量在[)300,350，得到X 的所有可能取值为0，1，2，再分别求得其相应的概率，列出分布列，再求期望.（3）根据频率分布直方图，得到质量在[)100,150，[)150,200，[)200,250，[)250,300，[)300,350，[]350,400的该种水果的频率，然后估计20000个水果中，哥等级的个数求解. 【详解】（1）质量在[)250,300，[)300,350的该水果的频率分别为0.008500.4⨯=，0.004500.2⨯=，其比为2:1，所以按分层抽样从质量在[)250,300，[)300,350的这种水果中随机抽取6个， 质量在[)250,300的该种水果有4个．（2）由（1）可知，6个水果中由2个质量在[)300,350， 所以X 的所有可能取值为0，1，2．()3436C 10C 5P X ===，()214236C C 31C 5P X ===，()124236C C 12C 5P X ===．所以X 的分布列为故X 的数学期望()0121555E X =⨯+⨯+⨯=． （3）由频率分布直方图可知，质量在[)100,150，[)150,200，[)200,250，[)250,300，[)300,350，[]350,400的该种水果的频率分别为0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05．所以估计20000个水果中，二等品有()200000.10.14000⨯+=个；一等品有()200000.150.411000⨯+=个； 特等品有()200000.20.055000⨯+=个．果园该种水果的销售收入为40004110007500010143000⨯+⨯+⨯=（元）． 【点睛】方法点睛：求解离散型随机变量X 的分布列的步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X 取每个值的概率；③写出X 的分布列．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识． 21．（1）甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大，乙同学做解答题相对稳定些；（2）分布列见解析，38.【分析】（1）根据平均数公式和方差公式计算结果，并根据平均数和方差的意义，得到结论；（2）甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝38，P 2＝12，并计算123138216PP =⨯=,由条件可知32,16X B ⎛⎫⎪⎝⎭，根据二项分布计算分布列和均值. 【详解】（1） 1=8x 甲(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， 1=8x 乙(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，21=8s 甲 [(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，21=8s 乙[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．（2）根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝38，P 2＝12， 两人失分均超过15分的概率为P 1P 2＝316， X 的所有可能取值为0，1，2.依题意，32,16XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()22313,0,1,21616kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则X 的分布列为X 的均值E (X )＝2168⨯=. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是判断X 服从二项分布，并计算在每次周练两人失分均超过15分的概率，这样就容易写错分布列. 22．（Ⅰ）10:04；（Ⅱ）答案见解析；（Ⅲ）819. 【分析】（Ⅰ）结合频率分布直方图，利用平均数公式求解.（Ⅱ）结合频率分布直方图，利用分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在[20,60)这一区间内的车辆数为(0.0050.015)20104+⨯⨯=，则X 的可能的取值为0，1，2，3，4，再分别求得相应的概率，列出分布列.（Ⅲ）由（1）得64μ=，再利用频率分布直方图求得σ，然后利用3σ原则求解. 【详解】（Ⅰ）这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：(300.005500.015700.020900.010)2064⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，即10∶04（Ⅱ）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在20，60这一区间内的车辆数， 即(0.0050.015)20104+⨯⨯=， 所以X 的可能的取值为0，1，2，3，4.所以()464101014C P X C ===，()31644108121C C P X C ===，()2264410327C C P X C ===， ()136********C C P X C ===，()4441014210C P X C ===.所以X 的分布列为：（Ⅲ）由（1）得，22222(3064)0.1(5064)0.3(7064)0.4(9064)0.2324σ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=车辆所以18σ=，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数也就是在46，100通过的车辆数， 由()2~64,18T N ，得()(22)(641864218)0.818622P T P T P T μσμσμσμσ-<≤+-<≤+-≤≤+⨯=+=，所以估计在在9:46~10:40之间通过的车辆数为10000.8186819⨯≈. 【点睛】方法点睛：(1)求解离散型随机变量X 的分布列的步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X 取每个值的概率；③写出X 的分布列．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．23．（1）138；（2）选择规则一更有利．理由见解析. 【分析】（1）按规则一，设3次摸球后摸到的红球个数为随机变量X ，其可能的取值有0，1，2，3，4利用互斥事件以及独立事件同时发生的计算公式分别计算出各个概率的值，并列出分布列，而所求的奖励金额为随机变量100X ，根据期望计算公式即可求解； （2）与（1）同方法可求出规则二的奖励金额的期望，与（1）中的结果相比较，即可知规则一更有利. 【详解】解：（1）按照规则一，设顾客经过3次摸球后摸取的红球个数为X ， 则X 可以取0，1，2，3，则()2412055425==⨯⨯=P X ； ()32421424314154555455425==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=P X ； ()32232113254354550==⨯⨯+⨯⨯=P X ；()3211354310==⨯⨯=P X ． 随机变量X 的分布列为：()214131100100012313825255010⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭E X ．（2）若选规则二，设顾客经过3次摸球后摸取的红球个数为Y ，则Y 可以取0，1，2，3()2436055425==⨯⨯=P Y ； ()32421124117154555455450==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=P Y ；()3223212138254354555425==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=P Y ；54310随机变量Y 的分布列为：()61781100100012312825502510⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭E Y ，因为()()100100>EX E Y ，所以选择规则一更有利．【点睛】方法点睛：与数学期望相关的决策性问题解题步骤：①设出随机变量，并写出其所有可能的取值；②求出每个随机变量的概率；③写出分布列；④求出数学期望；⑤针对具体的问题选择合适的方案. 24．（1）415；（2）2815. 【分析】（1）利用相互独立事件概率公式，可求甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的概率；（2）由题意可以知道随机变量X 的可能值为0，1，2，3，利用独立事件概率公式即可求得随机变量每一个值对应的概率，并列出其分布列，再由期望公式求解． 【详解】（1）设A 表示事件“甲同学选周三的活动”， B 表示事件“乙同学选周三的活动”，则P （A ）122323C C ==，P （B ）243535C C ==，事件A ，B 相互独立，∴甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的概率为()P AB P =（A ）234()(1)3515P B =⨯-=；（2）设C 表示事件“丙同学选周三的活动”，则P （C ）243535C C ==， X 的可能取值为0，1，2，3，则1224(0)35575P X ==⨯⨯=；2221321234(1)35535535515P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；23222313311(2)35535535525P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；35525X 的分布列数学期望01237515252515EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关. 25．（1）35；（2）分布列见解析，127. 【分析】（1）先求出甲班的总人数，再利用频率分布直方图求出甲班在[0，1），[1，2）的人数，从而可以计算出抽取 3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0,1)范围内的概率；（2）首先计算出甲，乙两班中数学平均时间在区间[5，6]的人数，从而可以得到随机变量ξ的取值，并计算出对应的概率，写出随机变量ξ的分布列，即可计算出随机变量ξ的数学期望. 【详解】（1）因为乙班学生的总人数为2+5+10+16+14+3=50， 所以甲班中学习平均时间在[0，1）内的人数为50×0.04=2， 甲班中学习平均时间在[1，2）内的人数为50×0.08=4.设“3人中恰有1人学习数学的平均时间在[0，1）范围内”为事件A ，则122436263()205C C P A C ⋅⨯===； （2）甲班学习数学平均时间在区间[5，6]的人数为50×0.08=4. 由频数分布表知乙班学习数学平均时间在区间[5，6]的人数为3，两班中学习数学平均时间不小于5小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3.0434471(0)35C C P C ξ===， 13344712(1)35C C P C ξ===，22344718(2)35C C P C ξ===， 3134474(3)35C C P C ξ===.。

一、选择题1．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建76光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要200秒，而目前世界最快的超级计算机要用6亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家.“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子.如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为（ ）A ．1128B ．7128C ．21128D ．351282．随机变量ξ的分布列如表所示，若1()3E X =-，则(31)D X +=（ ）ξ-1 0 1p12abA ．4B ．5C ．6D ．73．随机变量X 的取值为0，2，3，若1(0),()26P X E X ===，则(23)D X -=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)P B A =（ ）A ．38B ．1340C ．1345 D ．345．已知随机变量X 的分布列表如下表，且随机变量23Y X =+，则Y 的期望是（ ）A ．73B ．53C ．13D ．166．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在()0,1内变化时，（ ） A ．()D ξ增大 B ．()D ξ减小 C ．()D ξ先增大后减小D ．()D ξ先减小后增大7．先后抛掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，设事件A 为4x y +>，事件B 为x y ≠，则概率()|P B A =（ ）A ．45B ．56C ．1315D ．2158．已知随机变量ξ的取值为()0,1,2i i =.若()105P ξ==，()1E ξ=，则( ) A ．()()1P D ξξ=< B ．()()1P D ξξ== C ．()()1P D ξξ=>D ．()()115P D ξξ==9．已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示，则（ ）A ．E E ξη<，D D ξη<B ．E E ξη<，D D ξη>C ．E E ξη<，D D ξη=D ．E E ξη=，D D ξη=10．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)XN σ，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-； （4）“1≥x ”是“12x x+≥”的充分不必要条件. A ．1B ．2C ．3D ．411．若随机变量X 的分布列为（ ）且()1E X =，则随机变量X 的方差()D X 等于（ ） A ．13B ．0C ．1D ．2312．2018年6月18日，是我国的传统节日“端午节”.这天，小明的妈妈煮了5个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅.小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为( ) A ．14B ．34C ．110D ．310二、填空题13．设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件进行调查，则查得次品数的数学期望为__________.14．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为____________. 15．随机变量X 的概率分布为2()(1,2,3)aP X n n n n===+，其中a 是常数，则()D aX =__________．16．某工厂在试验阶段大量．．生产一种零件，这种零件有A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响，若有且仅有一项技术指标达标的概率为12，至少一项技术指标达标的概率为34.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品，任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，则E ξ=______.17．先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，落在水平桌面上，设事件A 为“第一次正面向上”，事件B 为“后两次均反面向上”，则(|)P B A =________. 18．给出如下四个结论：①若随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)且P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤－2)＝0.16；②∃a ∈R ＋，使得f (x )＝21xx x e--+－a 有三个零点； ③设线性回归方程为y ＝3－2x ，则变量x 每增加一个单位时，y 平均减少2个单位； ④若命题p ：∀x ∈R ，e x >x ＋1，则¬p 为真命题；以上四个结论正确的是________．(把你认为正确的结论都填上)三、解答题19．已知某射手射中固定靶的概率为34，射中移动靶的概率为23，每次射中固定靶､移动靶分别得1分､2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次.（1）求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率； （2）求该射手的总得分X 的分布列和数学期望.20．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩ξ近似服从正态分布()70,100N ．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名．（1）此次参赛的学生总数约为多少人?（2）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，则设奖的分数线约为多少分? 说明：对任何一个正态分布()2~,X Nμσ来说，通过1X Z μσ-=转化为标准正态分布()~0,1Z N ，从而查标准正态分布表得到()()1P X X Z <=Φ． 参考数据：可供查阅的（部分）标准正态分布表()Z Φ1.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97620.97672.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.9817 2.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.985721．某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除了颜色外均相同.（1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记取到红球的次数为ξ，求ξ的分布列；（3）每次从纸箱中摸取一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取20次，取得几次红球的概率最大？（只需写出结论）22．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊，双向转诊，急慢分治､上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务.已知该地区居民约为2000万.从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图甲所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁以上的居民，各年龄段被访者签约率如图乙所示.（1）估计该地区年龄在71~80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图中年龄在71~80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取三人，以已签约家庭医生的居民为变量X，求这三人中恰有二人已签约家庭医生的概率；并求变量X的数学期望和方差.23．根据国家《环境空气质量》规定:居民区中的PM2.5(PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物)年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下:组别PM2.5/(微克/立方米)频数/天频率第一组[0，15)40.1第二组[15，30)120.3第三组[30，45)80.2第四组[45，60)80.2第五组[60，75)40.1第六组[75，90]40.1(2)求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由；(3)将频率视为概率，监测去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ)和方差D(ξ).24．设袋中有5个红球，3个黑球，2个白球，试按：（1）有放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到白球的概率；（2）不放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到白球的概率.25．为了响应政府“节能减排”的号召，某知名品牌汽车厂家决定生产一款纯电动汽车.生产前，厂家进行了人们对纯电动汽车接受程度的调查.在20~60岁的人群中随机抽取了100人，调查数据的频率分布直方图和接受纯电动汽车的人数与年龄的统计结果如图所示：年龄[)20,28[)28,36[)36,44[)44,52[)52,60接受1461528170.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同年龄人群对纯电动汽车的接受程度有差异？8人调查不接受“纯电动汽车”的原因，现从这8人中随机抽取2人.记抽到44岁以下的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望.22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++26．A 口袋中有大小相同编号不同的4个黄色乒乓球和2个白色乒乓球，B 口袋中有大小相同编号不同的3个黄色乒乓球和3个白色乒乓球，现从A 、B 两个口袋中各摸出2个球 （1）求摸出的4个球中有3个黄色兵乓球和1个白色乒乓球的概率； （2）求摸出的4个球中黄球个数ξ的数学期望．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向右边跳动2次，由二项分布概率即可求解. 【详解】小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向左边跳动5次，向右边跳动2次，而向左或向右的概率均为12，则向右的次数服从二项分布，所以所求的概率为2527112122128P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：C. 【点睛】本题的解题关键是判断小球向右边跳动的次数服从二项分布.2．B解析：B 【分析】 由于()13E X =-，利用随机变量的分布列列式，求出a 和b ，由此可求出()D X ，再由()(319)X D D X +=，即可求出结果.【详解】 根据题意，可知：112a b ++=，则12a b +=， ()13E X =-，即：1123b -+=-，解得：16b =，13a ∴=，()22211111151013233369X D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()59959(31)D D X X ==⨯+=， ∴5(31)D X +=.故选：B. 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，以及离散型随机变量的分布列､数学期望等知识，考查运算求解能力.3．C解析：C 【分析】首先设23(2),(3)P X P P X P ====，根据概率和为1以及()2E X =求2P 和3P ，再求()D X ，最后根据公式()()2D aX b a D X +=求解.记23(2),(3)P X P P X P ====，则2356P P +=，由23()232E X P P =+=，解得2311,23P P ==，故222111()(0())(2())(3())1623D X E X E X E X =-+-+-=，所以(23)4()4D X D X -==.故选:C 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列及期望、方差的计算，属于基础题型.解决本题应掌握结论：（1）离散型随机变量的概率和为1；（2）期望1122()n n E X x P x P x P =++⋯+，()()E aX b aE X b +=+；（3）方差()()()2221122()()()()n n D X x E X P x E X P x E X P =-+-++-，2()()D aX b a D X +=.4．B解析：B 【分析】由条件概率的定义()(|)()P A B P B A P A =，分别计算(),()P A B P A 即得解.【详解】 由题意5()9P A = 事件AB 为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有223313⨯+⨯=个事件1313()9872P A B ==⨯由条件概率的定义：()13(|)()40P A B P B A P A ==故选：B 【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.5．A解析：A 【分析】由随机变量X 的分布列求出m ，求出()E X ，由23Y X =+，得()()23E Y E X =+，由此能求出结果．由随机变量X 的分布列得：11123m ++=， 解得16m =， ()11111012363E X ∴=-⨯+⨯+⨯=-，23Y X =+，()()2723333E Y E X ∴=+=-+=．故选：A ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．A解析：A 【分析】 计算出()E ξ和()2Eξ，根据()()()22D E E ξξξ=-将()D ξ表示成关于p 的函数，研究函数的单调性即可得出结论. 【详解】()()()()222112nni i i i i i i D E p E E p ξξξξξξξ==⎡⎤=-⋅=-+⋅⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑()()()()()()()2222222122ni i i i i p p E E E E E E E ξξξξξξξξξ=⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦∑， 由分布列得()1111012222p p p E ξ--=-⨯+⨯+⨯=，()211110222p p p E ξ+-+=⨯+⨯=， 所以，()()()()222221111152224444p p D E E p p p ξξξ+-⎛⎫=-=-=-++=--+ ⎪⎝⎭， 所以，当()0,1p ∈时，()D ξ随着p 的增大而增大. 故选：A. 【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查二次函数的单调性，属于中等题.7．C解析：C分别得到所有基本事件总数、4x y +>的基本事件个数、满足4x y +>且x y ≠的基本事件个数，根据古典概型概率公式计算可得()P AB 和()P A ；由条件概率公式计算可得结果. 【详解】先后抛掷骰子两次，正面朝上所得点数(),x y 的基本事件共有6636⨯=个 则4x y +≤的有()1,1、()1,2、()2,1、()2,2、()1,3、()3,1，共6个基本事件4x y ∴+>的基本事件共有36630-=个，其中x y =的有()3,3、()4,4、()5,5、()6,6，共4个∴满足4x y +>且x y ≠的基本事件个数为30426-=个()26133618P AB ∴==，()30153618P A == ()()()131318151518P AB P B A P A ∴=== 故选：C【点睛】本题考查条件概率的计算问题，涉及到古典概型概率问题的求解；关键是能够准确计算基本事件总数和满足题意的基本事件的个数.8．C解析：C 【分析】设()1P x ξ==，根据()f x ，()1E ξ=列方程求出x ，进而求出()D ξ，即可比较大小. 【详解】 设()1P x ξ==，则()425P x ξ==-，则()1480121555x x E x ξ⎛⎫=⨯+⨯+-⨯=-= ⎪⎝⎭， 解得()315P ξ==，()125P ξ==， 则()()()()22213120111215555D ξ=⨯-+⨯-+⨯-=，故()()1P D ξξ=>， 故选：C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.9．C【分析】由题意分别求出E ξ，D ξ，E η，D η，由此能得到E ξ＜E η，D ξ＞D η． 【详解】 由题意得： E ξ111123326=⨯+⨯+⨯=116， D ξ22211111111151(1)(2)(3)636108266=-⨯+-⨯+-⨯=． E η111131236236=⨯+⨯+⨯=， D η＝（1316-）216⨯+（2136-）212⨯+（3136-）21513108⨯=， ∴E ξ＜E η，D ξ=D η． 故选：C ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查运算求解能力，是中档题．10．C解析：C 【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有210x ->，是错误的；（2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确；（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．11．D解析：D 【解析】分析：先根据已知求出a,b 的值，再利用方差公式求随机变量X 的方差()D X .详解：由题得1113,,130213a b a b a b ⎧++=⎪⎪∴==⎨⎪⨯++=⎪⎩ 所以2221112()(01)(11)(21).3333D X =-⋅+-⋅+-⋅= 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，那么D ξ＝211()x E p ξ-⋅＋222()x E p ξ-⋅＋…＋2()n n x E p ξ-⋅,称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E ξ是随机变量ξ的期望．12．A解析：A 【解析】分析：设事件A =“取到的两个为同一种馅”，事件B =“取到的两个都是腊肉馅”，求出22223241,10101010C C C P A P AB +====（），（） ，利用()()|P AB P B A P A =（），可得结论． 详解：设事件A =“取到的两个为同一种馅”，事件B =“取到的两个都是腊肉馅馅”，由题意，22223241,10101010C C C P A P AB +====（），（），()()1|.4P AB P B A P A ∴==（） 故选A ．点睛：本题考查条件概率，考查学生的计算能力，正确运用公式是关键．二、填空题13．【分析】设抽得次品数为列出随机变量的分布列进而可求得的值【详解】设抽得次品数为则随机变量的可能取值有则所以随机变量的分布列如下表所示： 所以故答案为：【点睛】方法点睛：求离散型随机解析：35【分析】设抽得次品数为X ，列出随机变量X 的分布列，进而可求得()E X 的值. 【详解】设抽得次品数为X ，则随机变量X 的可能取值有0、1、2，则()272107015C P X C ===，()11372107115C C P X C ===，()232101215C P X C ===， 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，()0121515155E X =⨯+⨯+⨯=. 故答案为：35. 【点睛】方法点睛：求离散型随机变量均值与方差的基本方法： （1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．（2）已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y aX b =+的均值、方差，可直接用X 的均值、方差的性质求解；（3）如果所给随机变量是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），利用它们的均值、方差公式求解．14．【分析】设事件为一瓶是蓝色事件为另一瓶是红色事件为另一瓶是黑色事件为另一瓶是红色或黑色可得利用条件概率公式可求得所求事件的概率【详解】设事件为一瓶是蓝色事件为另一瓶是红色事件为另一瓶是黑色事件为另一解析：67【分析】设事件A 为“一瓶是蓝色”，事件B 为“另一瓶是红色”，事件C 为“另一瓶是黑色”，事件D 为“另一瓶是红色或黑色”，可得D B C =⋃，利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】设事件A 为“一瓶是蓝色”，事件B 为“另一瓶是红色”，事件C 为“另一瓶是黑色”，事件D 为“另一瓶是红色或黑色”，则D B C =⋃，且B 与C 互斥，又()11223225710C C C P A C +==，()122515C P AB C ==，()11222525C C P AC C ==，故()()()()()()()()()67P AB P AC P D A P B C A P B A P C A P A P A =⋃=+=+=. 故答案为：67. 【点睛】方法点睛：求条件概率的常用方法： （1）()()()P AB P B A P B =；（2）()()()n AB P B A n B =；（3）转化为古典概型求解.15．【分析】根据随机变量分布列概率和为1求出求出再由方差性质即可求解【详解】由题意得则∴则∴故答案为:【点睛】本题考查离散型随机变量分布列性质期望方差以及方差的性质考查计算求解能力属于中档题 解析：608729【分析】根据随机变量分布列概率和为1求出a ，求出(),()E X D X ，再由方差性质，即可求解. 【详解】 由题意得11111311122334223344a a a a a ⎛⎫++=-+-+-== ⎪⨯⨯⨯⎝⎭， 则43a =，∴()213P X ==，()229P X ==，()139P X ==，则24113()3939E X =++=，222132********()12393999981D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2608()()729D aX a D X ==. 故答案为:608729【点睛】本题考查离散型随机变量分布列性质、期望、方差以及方差的性质，考查计算求解能力，属于中档题.16．1【分析】设两项技术指标达标的概率分别为得到求得的值进而得到可得分布列和的值得到答案【详解】由题意设两项技术指标达标的概率分别为由题意得解得所以即一个零件经过检测为合格品的概率为依题意知所以故答案为解析：1 【分析】设,A B 两项技术指标达标的概率分别为12,P P ，得到()()()()122112111231114P p P P P P ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩，求得12,P P 的值，进而得到1(4,)4B ξ，可得分布列和E ξ的值，得到答案．【详解】由题意，设,A B 两项技术指标达标的概率分别为12,P P ，由题意，得()()()()122112111231114P p P P P P ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩，解得1211,22P P ==， 所以1214P PP ==，即一个零件经过检测为合格品的概率为14， 依题意知1(4,)4B ξ，所以1414E ξ=⨯=．故答案为1． 【点睛】本题主要考查了随机变量的分布列及其数学期望的计算，其中解答中根据概率的计算公式，求得12,P P 的值，得到随机变量1(4,)4B ξ是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．17．【分析】先列出事件与事件的基本事件的个数再利用独立事件与条件概率的求法可得即可求解【详解】由题意先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币事件A 为第一次正面向上其基本事件为（正正正）（正正反）（正反正）（正反反解析：14【分析】先列出事件A 与事件B 的基本事件的个数，再利用独立事件与条件概率的求法可得(|)P B A ，即可求解．【详解】由题意，先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，事件A 为“第一次正面向上”，其基本事件为（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反）共4个，在第一次正面向上的条件下，“后两次均反面向上”，其基本事件为（正，反，反）共1个，即1(|)4P B A =， 故答案为14． 【点睛】本题主要考查了独立事件与条件概率的计算，其中解答中熟记条件概率的计算公式，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18．①③④【解析】由正态分布曲线得①正确；令得当时单调递增当时单调递减当时单调递增得且时的图象如图所示函数有两个零点故②错误；由回归直线方程的定义知③正确；④中当时错误故为假命题为真命题④正确故答案为①解析：①③④ 【解析】由正态分布曲线得()()()24140.16P P P ξξξ≤-=≥=-≤=，①正确；令()21x x x g x e --+=，得()22'xx x g x e--=，当(),1x ∈-∞-时，()()'0,g x g x >单调递增，当()1,2x ∈-时，()()'0,g x g x <单调递减，当()2,x ∈+∞时，()()'0,g x g x >单调递增，得()()21,25g e g e --==-，且150,22g x ⎛⎫-±=→+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()()'0,g x g x <∴的图象如图所示函数有两个零点，故②错误；由回归直线方程的定义知③正确；④中当0x =时，01e >错误，故p 为假命题，p ⌝为真命题，④正确，故答案为①③④．三、解答题19．（1）13；（2）分布列答案见解析，数学期望：4112. 【分析】（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D ，得到D ABC BC A =+，结合互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，即可求解；（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，根据互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【详解】（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D ， 则()34P A =，()()23P B P C ==， D ABC BC A =+，其中ABC C AB +互斥，,,,,A B C B C 相互独立，从而()()()()322114336P ABC P A P B P C ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭， 则()()()()13P D P ABC ABC P ABC P ABC =+=+=， 所以该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次的概率为13. （2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，则()()()()()3221011143336P X P ABC P A P B P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()3111143312P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=，1211121(2)()()()()()()()4334339P X P ABC ABC P A P B P C P A P B P C ==+=+=⨯⨯+⨯⨯=，()()()()()()()()321312134334333P X P ABC ABC P A P B P C P A P B P C ==+=+=⨯⨯+⨯⨯=()()()()()122144339P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=,3221(5)()()()()4333P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=,该射手的总得分X 的分布列为随机变量X 的数学期望()11111141012345.3612939312E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】求随机变量X 的期望与方差的方法及步骤： 理解随机变量X 的意义，写出X 可能的全部值； 求X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列； 由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),E X D X ；若随机变量X 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解. 20．（1）526（人）；（2）83分. 【分析】（1）由题意知9070(90)(2)10P ξ-⎛⎫<=Φ=Φ ⎪⎝⎭，则(90)1(90)P P ξξ=-<可求，结合对应人数可得总人数；（2）假定设奖的分数线为x 分，由题意知7050()10.095110526x P x ξ-⎛⎫=-Φ== ⎪⎝⎭，查表得x 值. 【详解】 （1）由题意知9070(90)1(90)11(2)10.97720.022810P P ξξ-⎛⎫=-<=-Φ=-Φ=-= ⎪⎝⎭，故此次参赛的学生总数约为125260.0228≈（人）．（2）假定设奖的分数线为x 分，由题意知7050()1()10.095110526x P x P x ξξ-⎛⎫=-<=-Φ== ⎪⎝⎭， 即700.904910x -⎛⎫Φ=⎪⎝⎭，查表得70 1.3110x -=， 解得83.1x =，故设奖的分数线约为83分． 【点睛】本题关键在于正确理解正态分布概率计算公式及运用. 21．（1）12；（2）分布列见解析；（3）15次. 【分析】（1）利用组合数公式和古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）由题意可知，34,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量ξ的分布列； （3）根据独立重复试验的概率公式可得出结论.【详解】（1）一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出2个红球，相当于从3个红球中摸出2个红球，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为232412C P C ==；（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，则每次摸到红球的概率均为34， 这样摸球4次，则34,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以，()4110=4256P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()3143131=4464P C ξ⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，()22243127244128P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()334312734464P C ξ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭，()438144256P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭. 因此，随机变量ξ的分布列如下表所示：【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.22．（1）56万；（2）这三人中恰有二人已签约庭医生的概率为0.441，数学期望2.1，方差0.63. 【分析】（1）根据频率分布直方图可直接计算该组的频率，故可估计该地区年龄在71~80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）由题知此地区年龄段在71~80的每个居民签约家庭医生的概率为0.7P =，“从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取三人”为事件B ，随机变量为X ，满足二项分布，进而可求概率，期望及方差.【详解】（1）由题知该地区居民约为2000万，由图1知，该地区年龄在71~80岁的居民人数为0.00410200080⨯⨯=万.由图2知.年龄在71~80岁的居民签概率为0.7.所以该地区年龄在71~80岁且已签约家庭医生的居民人数为800.756⨯=万.（2）由题知此地区年龄段在71~80的每个居民签约家庭医生的概率为0.7P =，且每个居民之间是否签约是独立的，所以设“从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取三人”为事件B ，随机变量为X ，这三人中恰有二人已签约庭医生的概率为()()()212320.710.70.441P X C ==-=. 数学期()30.7 2.1E X =⨯=，方差()30.70.30.63D X =⨯⨯=.23．（1）22.5微克/立方米， 37.5微克/立方米；（2）40.5(微克/立方米), 需要改进,理由见解析；（3）分布列见解析，1.8，0.18.【分析】（1）根据表中数据即可得出；（2）直接计算出平均数即可判断；（3）可得ξ的可能取值为0，1，2，且92,10B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此的可得出分布列，求出均值和方差.【详解】(1)由表可知众数在第二组，为15+3022.52=微克/立方米， 因为前两组的频率之和为0.4，前三组的频率之和为0.6，故中位数在第三组，设为x ， 则0.1300.24530x -=-，解得37.5x =微克/立方米， 所以众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米.(2)去年该居民区PM 2.5的年平均浓度为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5(微克/立方米).∵40.5>35，∴去年该居民区PM 2.5的年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进.(3)记事件A 表示“一天PM 2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则P (A )=910. 随机变量ξ的可能取值为0，1，2，且92,10B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴2299()11010k k k P k C ξ-⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(k=0，1，2)，即∴()2 1.810E np ξ==⨯=， 91()(1)20.181010D np p ξ=-=⨯⨯=. 【点睛】本题考查样本数据众数、中位数、平均数的求解，考查二项分布的分布列和均值、方差的求解，解题的关键是正确分析数据，得出92,10B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．（1）16125；（2）745. 【分析】设A =｛第一次未摸到白球｝，B =｛第二次未摸到白球｝，C =｛第三次摸到白球｝，则事件“第三次才摸到白球”可表示为ABC .（1）有放回地摸球，每次都是从10个球中摸一球，由条件概率公式计算．（2）无放回地摸球，三次摸球时的个数不相等，计算出相应的概率后由条件概率公式计算可得．【详解】设A =｛第一次未摸到白球｝，B =｛第二次未摸到白球｝，C =｛第三次摸到白球｝，则事件“第三次才摸到白球”可表示为ABC .（1）有放回时， 882(),(),()101010P A P B A P C AB ===∣∣， ()()()()P ABC P C AB P B A P A =∣∣28816101010125=⨯⨯=. （2）不放回时， 872(),(),()1098P A P B A P C AB ===∣∣， ()()()()P ABC P C AB P B A P A =∣∣2787891045=⨯⨯=. 【点睛】关键点点睛：本题考查条件概率的计算．解题第一步设A =｛第一次未摸到白球｝，B =｛第二次未摸到白球｝，C =｛第三次摸到白球｝，则事件“第三次才摸到白球”可表示为ABC .由条件概率公式有()()()()P ABC P CAB P B A P A =∣∣，解题时注意有放回和无放回的区别．即在计算(|)P B A 和(|)P C AB 时，两种情况下球的个数是不一样的．25．（1）联表答案见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同人群对“纯电动汽车”的接受程度有差异；（2）分布列答案见解析，数学期望为32. 【分析】（1）列出22⨯列联表，然后代入公式计算2K ，然后与表格的数据比较大小即可判断；（2）根据分层抽样判断出44岁以下的有6人，44岁及44岁以上的有2人，然后判断X 的可能取值，利用超几何分布计算概率即可.【详解】解：（1）由题可得22⨯联表如下：∵2100(3554515)25 6.25 3.841505080204K ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯. ∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同人群对“纯电动汽车”的接受程度有差异.（2）由题意可知，抽取的8人中44岁以下的有6人，44岁及44岁以上的有2人，所以X 的可能取值有0，1，2.0262281(0),28C C P X C ===1126283(1),7C C P X C ===262815(2),28C P X C === 所以随机变量X 的分布列为：()012287282E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】 易错点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．26．（1）2675；（2）73． 【分析】。

一、选择题1．某人射击一发子弹的命中率为0.8，现他射击19发子弹，理论和实践都表明，这19发子弹中命中目标的子弹数n 的概率()f n 如下表，那么在他射击完19发子弹后，其中击中目标的子弹数最大可能是（ ） n1…k…19()f n 190.21118190.80.2C … 19190.80.2kk k C - …190.8A ．14发B ．15发C ．16发D ．15或16发2．随机变量X 的概率分布为()()()1,2,31aP X n n n n ===+，其中a 是常数，则()E aX =（ ）A ．3881B ．139C ．152243D ．52273．已知随机变量~X N ()22,σ，(0)0.84P X=，则(04)P X <<=（ ）A ．0.16B ．0.32C ．0.66D ．0.684．条件:p 将1，2，3，4四个数字随机填入如图四个方格中，每个方格填一个数字，但数字可以重复使用.记方格A 中的数字为1x ，方格B 中的数字为2x ；命题1若p ，则()()1122E x E x =，且()()()1212E x x E x E x +=+；命题2若P ，则()()1124D x D x =，且()()()1212D x x D x D x +=+( )A ．命题1是真命题，命题2是假命题B ．命题1和命题2都是假命题C ．命题1是假命题，命题2是真命题D ．命题1和命题2都是真命题5．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件A 为4名同学所报项目各不相同”,事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则(|)P B A =（ ） A ．14B ．34C ．29D ．596．一个盒子装有4件产品，其中有3件一等品，1件二等品.从中不放回的取两次，每次取出一件.设事件A 为“第一次取到的是一等品”，事件B 为“第二次取到的是一等品”.则()|P B A =（ ）A ．34 B ．13C ．23D ．127．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则11p q+的最小值为（ ） A ．2B ．52C ．94D ．48．某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ） A ．313B ．413C ．14D ．159．一个口袋中装有若干个除颜色外都相同的黑色、白色的小球，从中取出一个小球是白球的概率为35，连续取出两个小球都是白球的概率为25，已知某次取出的小球是白球，则随后一次取出的小球为白球的概率为（ ）A ．35B ．23C ．25D ．1510．如图所示,EFGH 是以O 为圆心,半径为1的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地扔到该圆内,事件A 表示“豆子落在正方形EFGH 内”,事件B 表示“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则P(B|A)等于( )A ．18B ．14C ．12D ．3811．已知离散型随机变量X 的分布列如下：X1 2Px4x5x由此可以得到期望()E X 与方差()D X 分别为（ ） A ．() 1.4E X =，()0.2D X =B ．()0.44E X =，() 1.4D X =C ．() 1.4E X =，()0.44D X = D ．()0.44E X =，()0.2D X =12．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是奇数点的情况下，第二次抛出的也是奇数点的概率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．1二、填空题13．一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则(0)ξ==P _______；()E ξ=______．14．若随机变量X 的分布列如下表，且()2E X =，则()23D X -的值为________.15．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是________.16．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中胜的概率为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为______．17．10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽两张．则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率为_________ ．18．设随机变量X 的概率分布如下表所示,且随机变量X 的均值()E X 为2.5 ,则随机变量X 的方差()V X 为__________．三、解答题19．上饶市正在创建全国文明城市，我们简称创文.全国文明城市是极具价值的无形资产和重要城市品牌.创文期间，将有创文检查人员到学校随机找学生进行提问，被提问者之间回答问题相互独立、互不影响.对每位学生提问时，创文检查人员将从规定的5个问题中随机抽取2个问题进行提问.某日，创文检查人员来到A 校，随机找了三名同学甲、乙、丙进行提问，其中甲只能答对这规定5个问题中的3个，乙能答对其中的4个，而丙能全部答对这5个问题.计一个问题答对加10分，答错不扣分，最终三人得分相加，满分60分，达到50分以上（含50分）时该学校为优秀. （1）求甲、乙两位同学共答对2个问题的概率；（2）设随机变量X表示甲、乙、丙三位同学共答对的问题总数，求X的分布列及数学期望，并求出A校为优秀的概率.20．李雷、韩梅梅两人进行象棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满4局时停止．设李雷在每局中获胜的概率为12P P⎛⎫>⎪⎝⎭，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为58．（1）求P的值；（2）设ξ表示比赛停止时李雷的总得分，求随机变量ξ的分布列和数学期望()Eξ．21．为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘制成折线图如下:(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选取的男生人数为X，求随机变量X 的分布列及均值E(X);(3)试比较男生学习时间的方差21s与女生学习时间的方差22s的大小.(只需写出结论) 22．某软件是一款自营生鲜平台以及提供配送服务的生活类APP.某机构为调查顾客对该软件的使用情况，在某地区随机抽取了100人，调查结果整理如下：顾客年龄20岁以下[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]70岁以上使用人数510188420未使用人数 0 0 2 12 36 3 0（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30,50)且未使用这款APP 的概率； （2）从被抽取的年龄在[50,70]且使用这款APP 的顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，用X 表示这2人中年龄在[50,60)的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望； （3）为鼓励居民使用，该机构拟对使用这款APP 的居民赠送1张5元的代金劵.若某区预计有6000人具有购物能力，试估计该机构至少应准备多少张代金券.23．为了解果园某种水果产量情况，随机抽取100个水果测量质量，样本数据分组为[)100,150，[)150,200，[)200,250，[)250,300，[)300,350，[]350,400（单位：克），其频率分布直方图如图所示：（1）用分层抽样的方法从样本里质量在[)250,300，[)300,350的水果中抽取6个，求质量在[)250,300的水果数量；（2）从（1）中得到的6个水果中随机抽取3个，记X 为质量在[)300,350的水果数量，求X 的分布列和数学期望；（3）果园现有该种水果越20000个，其等级规则及销售价格如下表所示： 质量m （单位：克） 200m < 200300m ≤<300m ≥等级规格 二等 一等 特等 价格（元/个）471024．某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如图：（1）比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；（2）以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X 的分布列和均值．25．双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城2009年11月11日举办的网络促销活动，双十一已成为中国电子商务行业的年度盛事，开且逐渐影响到国际电子商务行业，某网络促销平台从去年的双十一当天的消费者中随机抽取500名，调查他们的消费金额（单位：百元）情况，根据调查的结果绘制了频数分布表，其中消费金额在[)9,11，[)1,13，[]13,15的频数成等比数列.组区间的中点值为代表）；（2）用分层抽样的方法从消费金额在[)3,5，[)5,7，[)9,11内的消费者中抽13人，再从这13人中随机抽取3人，记抽取的3人中消费金额超过平均数的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.26．随着如今人们生活水平的不断提高，旅游成了一种生活时尚，尤其是老年人的旅游市场在不断扩大.为了了解老年人每年旅游消费支出（单位：元）的情况，相关部门抽取了某地区1000名老年人进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：（2）根据样本数据，可近似地认为老年人的旅游费用支出X 服从正态分布()23000,1000N ，若该地区共有老年人95000人，试估计有多少位老年人旅游费用支出在5000元以上；（3）已知样本数据中旅游费用支出在[)5000,6000范围内的10名老人中有7名女性，3名男性.现想选其中3名老人回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列. 附：若()2~,X Nμσ，()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除1．D 解析：D 【分析】设第k 发子弹击中目标的概率最大，根据题意，可以表示第1k -、k 、1k +发子弹击中目标的概率，进而可得()()1f k f k ≥+且()()1f k f k ≥-，即可得关于k 的不等式组，求解可得答案． 【详解】根据题意，设第k 发子弹击中目标的概率最大，而19发子弹中命中目标的子弹数n 的概率()19190.80.2k k k P n k C -⋅⋅==（0k =，1，2，，19），则有()()1f k f k ≥+且()()1f k f k ≥-，即191118191919112019190.80.20.80.20.80.20.80.2k k k k k kkk k k k kC C C C -++-----⎧⋅⋅≥⋅⋅⎨⋅⋅≥⋅⋅⎩ ，解可得1516k ≤≤ ， 即第15或16发子弹击中目标的可能性最大，则他射完19发子弹后，击中目标的子弹最可能是第15或16发. 故选：D ． 【点睛】本题考查n 次独立重复试验中发生k 次的概率问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题．2．D解析：D 【分析】根据裂项相消法以及概率的性质求出a ，再得出()E X ，最后由()()E aX aE X =得出答案. 【详解】()()11a a aP X n n n n n ===-++(1)(2)(3)1P X P X P X =+=+== 122334a a a a a a ∴-+-+-=，解得43a =则221(1),(2),(3)2369129a a a P X P X P X ========= 62113()1239999E X ∴=⨯+⨯+⨯=452()()392137E aX aE X ∴==⨯=【点睛】本题主要考查了随机变量分布列的性质以及均值的性质，属于中档题.3．D解析：D 【分析】先由对称性求出(X 4)P ≥，再利用(04)12(4)P X P X <<=-≥即得解. 【详解】由于随机变量~X N ()22,σ，关于2X =对称，故(4)(0)1(0)10.840.16P X P X P X ≥=≤=-≥=-= (04)12(4)10.320.68P X P X ∴<<=-≥=-=故选：D 【点睛】本题考查了正态分布在给定区间的概率，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.4．D解析：D 【分析】方格A 中的数字为1x ，方格B 中的数字为2x ；由题意可知：所填入的数字1x 与2x 相互独立．再利用数学期望的性质及其方差的性质即可得出． 【详解】方格A 中的数字为1x ，方格B 中的数字为2x ；由题意可知：所填入的数字1x 与2x 相互独立.命题1若p ，则由数学期望的性质可得：()()1122E x E x =，且()()()1212E x x E x E x +=+；命题2若P ，则由方差的性质可得：()()1124D x D x =，且()()()1212D x x D x D x +=+.因此命题1，2都正确. 故选：D. 【点睛】本题考查数学期望的性质及其方差的性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力.5．A解析：A 【分析】确定事件AB ，利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，再利用条件概型的概率公式可计算出()P B A 的值. 【详解】事件AB 为“4名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”，则()3344A P AB =，()4444A P A =，()()()3434444144P AB A P B A P A A ∴==⋅=，故选A. 【点睛】本题考查条件概型概率的计算，考查条件概率公式的理解和应用，考查运算能力，属于中等题．6．C解析：C 【分析】利用古典概型概率公式计算出()P AB 和()P A ，然后利用条件概率公式可计算出结果． 【详解】事件:AB 前两次取到的都是一等品，由古典概型的概率公式得()232412A P AB A ==，由古典概型的概率公式得()34P A =，由条件概率公式得()()()142233P AB P B A P A ==⨯=， 故选C. 【点睛】本题考查条件概率公式求概率，解题时要弄清楚各事件之间的关系，关键在于灵活利用条件概率公式计算，考查运算求解能力，属于中等题．7．C解析：C 【分析】根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不等式即可得到11p q+的最小值. 【详解】离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p ，，所以有()4E X np ==，()()1D X q np p ==-（，所以44p q +=，即14qp +=，（0p >，0q >）所以11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 5592144444q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭， 当且仅当423q p ==时取得等号．故选C ． 【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题． 8．A解析：A 【分析】根据条件概率的计算公式，分别求解公式各个部分的概率，从而求得结果. 【详解】设事件A 为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件B 为“学生丙第一个出场”则()41134333555578A C C A P A A A +==，()1333555518C A P AB A A == 则()()()1837813P AB P B A P A === 本题正确选项：A 【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.9．B解析：B 【分析】直接利用条件概率公式求解即可. 【详解】设第一次取白球为事件A ，第二次取白球为事件B ，连续取出两个小球都是白球为事件AB ，则()P A =35，()P AB =25，某次取出的小球是白球，则随后一次取出的小球为白球的概率为()()()225|335P AB P B A P A ===，故选B. 【点睛】本题主要考查条件概率公式的应用，属于基础题.求解条件概率时，一要区分条件概率与独立事件同时发生的概率的区别与联系；二要熟记条件概率公式()()()|P AB P B A P A =.10．B解析：B 【分析】由几何概型概率计算公式可得P(A)=2π，再根据条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由几何概型概率计算公式可得P(A)=S 2S π=正圆；事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”, 则P(AB)=2EOH11S12.S π2π圆⨯==由条件概率的计算公式可得P(B|A)=1P(AB)12π2P(A)4π==，故选B. 【点睛】本题主要考查了几何概型及其概率的计算，以及条件概率的计算问题，其中解答中正确理解题意，合理利用几何概型及其概率的计算公式和条件概率的计算公式，合理、准确求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.11．C解析：C 【分析】由离散型随机变量X 的分布列的性质求出x ＝0.1，由此能求得结果 【详解】由x ＋4x ＋5x ＝1得x ＝0.1， E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4，D(X)＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5＝0.44. 故选C 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，由已知先求出x 的值，然后运用公式求得期望和方差，属于基础题．12．C解析：C 【解析】分析：设A 表示“第一次抛出的是奇数点”，B 表示“第二次抛出的是奇数点”，利用古典概型概率公式求出()(),P A P AB 的值，由条件概率公式可得结果. 详解：设A 表示“第一次抛出的是奇数点”，B 表示“第二次抛出的是奇数点”，()()31111,62224P A P AB ===⨯=， ()()()114|122P AB P B A P A ===，∴在第一次抛出的是奇数点的情况下，第二次抛出的也是奇数点的概率为12，故选C. 点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意条件概率计算公式的合理运用，同时注意区分独立事件同时发生的概率与条件概率的区别与联系.二、填空题13．1【分析】先计算出的分布列再利用公式可求【详解】随机变量对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球第二次拿红球所以对应事件为第一次拿黄球第二次拿红球或第一次拿黄球第二次拿绿球第三次拿红球或第一次拿绿球第二解析：131 【分析】先计算出ξ的分布列，再利用公式可求()E ξ. 【详解】随机变量0,1,2ξ=，0ξ=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以1111(0)4433P ξ==+⨯=， 1ξ=对应事件为第一次拿黄球，第二次拿红球，或第一次拿黄球，第二次拿绿球，第三次拿红球，或第一次拿绿球，第二次拿黄球，第三次拿红球， 故212111211(1)434324323P ξ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 故111(2)1333P ξ==--=，所以111()0121333E ξ=⨯+⨯+⨯=. 故答案为：1;13. 【点睛】关键点点睛：计算离散型随机变量的分布列，注意随机变量取值时对应的含义，从而正确计算对应的概率，另外注意利用对立事件计算概率.14．【分析】利用分布列求出利用期望求解然后求解方差即可【详解】解：由题意可得：解得因为所以：解得故答案为：【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列方差的求法属于中档题 解析：4【分析】利用分布列求出p ，利用期望求解a ，然后求解方差即可． 【详解】解：由题意可得：11163p ++=，解得12p =，因为()2E X =，所以：111022623a ⨯+⨯+⨯=，解得3a =．222111()(02)(22)(32)1623D X =-⨯+-⨯+-⨯=．(23)4()4D X D X -==．故答案为：4． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、方差的求法，属于中档题.15．【分析】利用列举法求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下基本事件总数n=3这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m=1由此能求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下这时另一个也是女孩的概率【详解】一个家庭有解析：13【分析】利用列举法求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下，基本事件总数n =3，这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m =1，由此能求出已知这个家庭有一个是女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率. 【详解】一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的， 基本事件有: {男，男}，{男，女}，{女,男}，{女,女}, 已知这个家庭有一个女孩的条件下，基本事件总数n =3 , 这时另一个也是女孩包含的基本事件个数m =1，∴已知这个家庭有一个女孩的条件下，这时另一个也是女孩的概率是13m p n ==， 故答案为：13【点睛】本题主要考查了条件概率，可以列举在某条件发生的情况下，所有事件的个数及所研究事件的个数，利用古典概型求解，属于中档题.16．【分析】求出甲获得冠军的概率比赛进行了局的概率根据条件概率公式得到答案【详解】根据题意甲获得冠军的概率为其中比赛进行了局的概率为所以在甲获得冠军的条件下比赛进行了3局的概率为故答案为【点睛】本题考查解析：2 5【分析】求出甲获得冠军的概率，比赛进行了3局的概率，根据条件概率公式，得到答案.【详解】根据题意，甲获得冠军的概率为2221212220 3333333327⋅+⋅⋅+⋅⋅=，其中，比赛进行了3局的概率为2121228 33333327⋅⋅+⋅⋅=，所以，在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为822720527P==.故答案为2 5 .【点睛】本题考查条件概率，相互独立事件概率公式，属于中档题.17．【分析】设事件A表示第一次抽到中奖券事件B表示第二次也抽到中奖券则P（A）=P（AB）=由此利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到中奖券的条件下第二次也抽到中奖券的概率【详解】10张奖券中有3张是有解析：2 9【分析】设事件A表示“第一次抽到中奖券”，事件B表示“第二次也抽到中奖券”，则P（A）=3 10，P（AB）=32109⨯，由此利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率．【详解】10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽两张，设事件A表示“第一次抽到中奖券”，事件B表示“第二次也抽到中奖券”，∴P（A）=310，P（AB）=32109⨯，∴在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率：P（B|A）=()()322109.3910P ABP A⨯==故答案为29．【点睛】本题考查概率的求法，考查条件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，P（B|A）=()()()()=P AB n AB P A n A.18．【解析】分析：根据分布列的性质求出的值然后再根据方差的定义求解即可得到结论详解：由题意得即解得∴点睛：（1）离散型随机变量的分布列中所有概率和为1这一性质为求概率和检验分布列是否正确提供了工具（2）解析：9 8【解析】分析：根据分布列的性质求出,a b的值，然后再根据方差的定义求解即可得到结论．详解：由题意得3318163352348162a ba b⎧+++=⎪⎪⎨⎪++⨯+⨯=⎪⎩，即716528a ba b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得14316ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴()2222 515353539 123424216282168V X⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．点睛：（1）离散型随机变量的分布列中所有概率和为1，这一性质为求概率和检验分布列是否正确提供了工具．（2）求分布列的期望和方差时可根据定义直接求解即可．三、解答题19．（1）310；（2）分布列见解析，期望值245，3350.【分析】（1）首先事件甲、乙两位同学共答对2个问题，分为两人各答对1题，或是乙答对2题，再求互斥事件和的概率；（2）由条件可知3,4,5,6X=,再根据随机变量对应的事件，分别求概率，再列出分布列，并计算数学期望,根据分布列，列出该学校为优秀的概率.【详解】（1）记“甲、乙两位同学共答对2题”为事件A，则()()111122324124225310C C C C C C P M C ⋅⋅⋅+⋅==（2）由题意可知随机变量X 的可能取值为3、4、5、6，()()211224153251325C C C C P X C ⋅⋅⋅===()()3410P X P M === ()()211211223415324532512525C C C C C C C C P X C ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅===()()2223453259650C C C P X C ⋅⋅===所以，随机变量X 的分布列如下表所示：13129243456251025505EX =⨯+⨯+⨯+⨯= A 校为优秀的概率()()1293356255050P X P X =+==+=. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分清随机变量代表的事件，其中容易错的是乙同学会5题中的四个题，所以两个题，至少会一题. 20．（1）34p =；（2）分布列见解析，3316. 【分析】（1）第二局比赛结束时比赛停止等价于李雷连胜2局或韩梅梅连胜2局，由此列式可解得结果；（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，求出ξ的每个取值的概率可得分布列，根据期望公式可得所求期望值. 【详解】（1）依题意，当李雷连胜2局或韩梅梅连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束， ∴有225(1)8p p +-=，解得34p =或14p =，∵12p >，∴34p =（2）依题意知，ξ的所有可能值为0，1，2，3，∴111(0)4416P ξ==⨯= ∴1213116(1)4444256P C ξ==⨯⨯⨯⨯=∴112233131345(2)44444464P C C ξ==⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=∴12133354(3)4444256P C ξ==⨯⨯⨯⨯=∴随机变量ξ的分布列为：故232566425616E ξ=+⨯+⨯=． 【点睛】关键点点睛：求出随机变量ξ的所有可能取值的概率是解题关键.21．（1）240人；（2）分布列见解析，2；（3）2212s s >. 【分析】（1）由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，把频率当概率可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数；（2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的取值为0，1，2，3，4；利用组合知识，由古典概型公式计算可得X =0，1，2，3，4的概率，进而可得随机变量X 的分布列；（3）根据折线图，看出男生、女生的学习时间的集中与分散程度，根据方差的实际意义可得答案． 【详解】(1)由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人.故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为400×1220=240. (2)学习时间不少于4小时的学生共8人，其中男生人数为4， 故X 的所有可能取值为0，1，2，3，4. 由题意可得P (X=0)=4448170C C =，P (X=1)=1344481687035C C C ==， P (X=2)=22444836187035C C C ==，P (X=3)=3144481687035C C C ==， P (X=4)=4448170C C =.∴均值E (X )=0×170+1×835+2×1835+3×835+4×170=2.(3)由折线图可得2212s s >. 【点睛】方法点睛：本题考查了折线统计图和超几何分布，考查了离散型随机变量分布列和数学期望的计算，求解离散型随机变量分布列的步骤是： 首先确定随机变量X 的所有可能取值；计算X 取得每一个值的概率，可通过所有概率和为1来检验是否正确； 进行列表，画出分布列的表格；最后扣题，根据题意求数学期望或者其它． 22．（1）750；（2）分布列见解析，43；（3）2820张.【分析】（1）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有2+12＝14人，由概率公式即可得到所求值；（2）X 所有的可能取值为0，1，2，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望； （3）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有47人，计算可得所求值． 【详解】（1）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30， 50)且未使用这款APP 的共有2+12=14人，所以随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30， 50)且未使用这款APP 的概率为14710050P ==． （2）X 的所有可能取值为0，1，2，则()22261015C P X C ===， ()1142268115C C P X C ===， ()24266215C P X C === .所以X 的分布列为()18640121515153E X =⨯+⨯+⨯=. （3）在随机抽取的100名顾客中，使用自助结算机的共有5101884247+++++=人， 所以该机构至少应准备张代金券的张数估计为:4760002820100⨯=张. 【点睛】本题考查统计表，随机变量X 的分布列及数学期望，以及古典概型，求X 的分布列，关键点是求出X 所有可能取值对应的概率可得，是一道综合题．23．（1）4个；（2）分布列见解析；期望为1；（3）143000（元）． 【分析】（1）根据频率分布直方图得到质量在[)250,300，[)300,350的该水果的频率，按照比例抽取即可.（2）由（1）知，6个水果中由2个质量在[)300,350，得到X 的所有可能取值为0，1，2，再分别求得其相应的概率，列出分布列，再求期望.（3）根据频率分布直方图，得到质量在[)100,150，[)150,200，[)200,250，[)250,300，[)300,350，[]350,400的该种水果的频率，然后估计20000个水果中，哥等级的个数求解. 【详解】（1）质量在[)250,300，[)300,350的该水果的频率分别为0.008500.4⨯=，0.004500.2⨯=，其比为2:1，所以按分层抽样从质量在[)250,300，[)300,350的这种水果中随机抽取6个， 质量在[)250,300的该种水果有4个．（2）由（1）可知，6个水果中由2个质量在[)300,350， 所以X 的所有可能取值为0，1，2．()3436C 10C 5P X ===，()214236C C 31C 5P X ===，()124236C C 12C 5P X ===．所以X 的分布列为故X 的数学期望()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=． （3）由频率分布直方图可知，质量在[)100,150，[)150,200，[)200,250，[)250,300，[)300,350，[]350,400的该种水果的频率分别为0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05．所以估计20000个水果中，二等品有()200000.10.14000⨯+=个； 一等品有()200000.150.411000⨯+=个； 特等品有()200000.20.055000⨯+=个．果园该种水果的销售收入为40004110007500010143000⨯+⨯+⨯=（元）． 【点睛】方法点睛：求解离散型随机变量X 的分布列的步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X 取每个值的概率；③写出X 的分布列．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识． 24．（1）甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大，乙同学做解答题相对稳定些；（2）分布列见解析，38.【分析】（1）根据平均数公式和方差公式计算结果，并根据平均数和方差的意义，得到结论；（2）甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝38，P 2＝12，并计算123138216PP =⨯=,由条件可知32,16X B ⎛⎫⎪⎝⎭，根据二项分布计算分布列和均值. 【详解】（1） 1=8x 甲(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， 1=8x 乙(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，21=8s 甲 [(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，21=8s 乙[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．（2）根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝38，P 2＝12， 两人失分均超过15分的概率为P 1P 2＝316，。

一、选择题1．在一个箱子中装有大小形状完全相同的有4个白球和3个黑球，现从中有放回地摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X ，黑球个数Y ，则（ ） A ．()()()(),E X E Y D X D Y >> B ．()()()(),E X E Y D X D Y => C ．()()()(),E X E Y D X D Y >=D ．()()()(),E X E Y D X D Y ==2．将两颗骰子各掷一次，设事件A =“两个点数都不相同”，B =“至少出现一个5点”，则概率()P A B =（ ） A ．1011B ．511C ．518D ．5363．随机变量X 的概率分布为()()()1,2,31aP X n n n n ===+，其中a 是常数，则()E aX =（ ）A ．3881B ．139C ．152243D ．52274．已知随机变量X 的分布列：若()1E X =，(21)2D X +=，则p =（ ） A ．13B ．14C ．15D ．165．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)P B A =（ ） A ．38B ．1340C ．1345D ．346．高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，在甲和乙相邻的条件下，丙和乙也相邻的概率为（ ） A ．110B ．14C ．310D ．257．8张卡片上分别写有数字12345678、、、、、、、，从中随机取出2张，记事件A =“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，事件B =“所取2张卡片上的数字之和小于9”，则()|=P B A （ ）A ．16B ．13C ．12D ．238．已知随机变量i X 满足()1i i P X p ==，()01,1,2i i P X p i ==-=，若21211p p <<<，则（ ） A ．()()12E X E X < ， ()()12D X D X < B ．()()12E X E X > ， ()()12D X D X < C ．()()12E X E X < ， ()()12D X D X > D ．()()12E X E X > ， ()()12D X D X >9．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有23的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（ ） A ．1320B ．920C ．15D ．12010．已知离散型随机变量X 的分布列如下：由此可以得到期望()E X 与方差()D X 分别为（ ） A ．() 1.4E X =，()0.2D X = B ．()0.44E X =，() 1.4D X = C ．() 1.4E X =，()0.44D X =D ．()0.44E X =，()0.2D X =11．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.8,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是（ ） A ．0.8B ．0.9C ．58D ．8912．2018年6月18日，是我国的传统节日“端午节”.这天，小明的妈妈煮了5个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅.小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为( ) A ．14B ．34C ．110D ．310二、填空题13．在一个不透明的摸奖箱中有五个分别标有1，2，3，4，5号码的大小相同的小球，现甲､乙､丙三个人依次参加摸奖活动，规定：每个人连续有放回地摸三次，若得到的三个球编号之和恰为4的倍数，则算作获奖，记获奖的人数为X ，则X 的数学期望为___________.14．下列说法中，正确的有_______．①回归直线ˆˆˆy bx a =+恒过点(),x y ，且至少过一个样本点；②根据22⨯列列联表中的数据计算得出2 6.635K ≥，而()26.6350.01P K ≥≈，则有99%的把握认为两个分类变量有关系；③2K 是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当2K 的值很小时可以推断两个变量不相关；④某项测量结果ξ服从正态分布()21,N a，则(5)0.81P ξ≤=，则(3)0.19P ξ≤-=．15．如图，EFGH 是圆O 的内接正方形，将一颗豆子随机扔到圆O 内，记事件A ：“豆子落在正方形EFGH 内”，事件B ：“豆子落在扇形OEH （阴影部分）内”，则条件概率(|)P B A =__．16．在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标X~N （100，100），且110120X <<的产品数量为5436件，请估计该批次检测的产品数量是________件.参考数据，若()2~,X Nμσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，(22)0.9545P X μσμσ-<<+=，(33)0.9973P X μσμσ-<<+=.17．某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N （100，σ2），已知P （80<ξ<120）=0.70，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析．则应从120分以上的试卷中抽取________份．18．某种袋装大米的质量X （单位：kg ）服从正态分布()50,0.01N ，任意选一袋这种大米，则质量在49.850.1kg ~的概率为__________．（()()0.6826,220.9544P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=）三、解答题19．为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为13，答错的概率为23. （1）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）若甲在回答过程中出现在第()2i i ≥个等级的概率为i P ，证明：{}1i i P P --为等比数列.20．李雷、韩梅梅两人进行象棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满4局时停止．设李雷在每局中获胜的概率为12P P ⎛⎫> ⎪⎝⎭，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为58． （1）求P 的值；（2）设ξ表示比赛停止时李雷的总得分，求随机变量ξ的分布列和数学期望()E ξ． 21．为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘制成折线图如下:(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数； (2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选取的男生人数为X ，求随机变量X 的分布列及均值E (X );(3)试比较男生学习时间的方差21s 与女生学习时间的方差22s 的大小.(只需写出结论) 22．某企业为了解职工A 款APP 和B 款APP 的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如下表：男职工女职工使用不使用 使用 不使用 A 款APP 72人48人40人80人（1）分别估计该企业男职工使用A 款APP 的概率､该企业女职工使用A 款APP 的概率； （2）从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用A 款APP 的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；（3）据电商行业发布的市场分析报告显示，A 款APP 的用户中男性占52.04%､女性占47.96%；B 款APP 的用户中男性占38.92%､女性占61.08%.试分析该企业职工使用A 款APP 的男､女用户占比情况和使用B 款APP 的男､女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男､女用户占比情况更相符.23．已知一个袋中装有3个白球和3个红球，这些球除颜色外完全相同.（1）每次从袋中取一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数ξ的分布列和数学期望()E ξ；（2）每次从袋中取一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取3次，求取出红球次数η的分布列、数学期望()E η和方差()D η.24．根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效.（1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X ，求X 的概率分布及数学期望；（2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率p ，并根据p 的值解释该试验方案的合理性.（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）25．甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是23，乙能答对其中的8道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出4道题进行测试，只有选中的4个题目均答对才能入选. （1）求甲恰有2个题目答对的概率；（2）求乙答对的题目数X 的分布列与期望.26．某单位有车牌尾号为2的汽车A 和尾号为6的汽车B ，两车分属于两个独立业务部门.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A 车日出车频率0.6，B 车日出车频率0.5.该地区汽车限行规定如下：. （1）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；（2）设X 表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X 的分布列及其数学期望()E X .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】有放回地摸出一个球，它是白球的概率是47，它是黑球的概率是37，因此4(5,)7X B，3(5,)7Y B，由二项分布的均值与方差公式计算后可得结论．【详解】有放回地摸出一个球，它是白球的概率是47，它是黑球的概率是37，因此4(5,)7X B，3(5,)7Y B，∴420()577E X=⨯=，315()577E Y=⨯=，4360()57749D X=⨯⨯=，3460 ()57749D Y=⨯⨯=．故选：C【点睛】结论点睛：本题考查二项分布，掌握二项分布的概念是解题关键．变量(,)X B n p，则()E X np=，()(1)D X np p=-．2．A解析：A【分析】根据条件概率的含义，(A|B)P其含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少出现一个5点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率，分别求得“至少出现一个5点”与“两个点数都不相同”的情况数目，进而相比可得答案．【详解】根据条件概率的含义，(A|B)P其含义为在B发生的情况下，A发生的概率，即在“至少出现一个5点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率，“至少出现一个5点”的情况数目为665511⨯-⨯=，“两个点数都不相同”则只有一个5点，共12510C⨯=种，故10(|)11P A B =． 故选：A ． 【点睛】本题考查条件概率，注意此类概率计算与其他的不同，(A |B)P 其含义为在B 发生的情况下，A 发生的概率．3．D解析：D 【分析】根据裂项相消法以及概率的性质求出a ，再得出()E X ，最后由()()E aX aE X =得出答案. 【详解】()()11a a aP X n n n n n ===-++(1)(2)(3)1P X P X P X =+=+== 122334a a a a a a ∴-+-+-=，解得43a =则221(1),(2),(3)2369129a a a P X P X P X ========= 62113()1239999E X ∴=⨯+⨯+⨯=452()()392137E aX aE X ∴==⨯=故选：D 【点睛】本题主要考查了随机变量分布列的性质以及均值的性质，属于中档题.4．B解析：B 【分析】由(21)4()D X D X +=，可得1()2D X =，由随机变量分布列的期望、方差公式，联立即得解. 【详解】由题意，11()0()2121222aE X p a p p =⨯-+⨯+⨯=∴+= 且(21)2D X +=，又1(21)4()()2D X D X D X +=∴=22211()(01)()(1)(21)222D X p a p ∴=-⨯-+-⨯+-⨯=联立可得：11,4a p == 故选：B 【点睛】本题考查了随机变量分布列的期望和方差，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.5．B解析：B 【分析】由条件概率的定义()(|)()P A B P B A P A =，分别计算(),()P A B P A 即得解.【详解】 由题意5()9P A = 事件AB 为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有223313⨯+⨯=个事件1313()9872P A B ==⨯由条件概率的定义：()13(|)()40P A B P B A P A ==故选：B 【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.6．B解析：B 【分析】记事件:A 甲乙相邻，事件:B 乙丙相邻，利用排列组合思想以及古典概型的概率公式计算出()P A 和()P AB ，再利用条件概率公式可计算出所求事件的概率． 【详解】记事件:A 甲乙相邻，事件:B 乙丙相邻，则事件:AB 乙和甲丙都相邻，所求事件为B A ，甲乙相邻，则将甲乙两人捆绑，与其他三位同学形成四个元素，排法种数为424248A A =，由古典概型的概率公式可得()554825P A A ==.乙和甲丙都相邻，则将甲乙丙三人捆绑，且乙位置正中间，与其他两位同学形成三个元素，排法种数为323212A A =，由古典概型的概率公式可得()5512110P AB A ==， 由条件概率公式可得()()()1511024P AB P B A P A ==⨯=，故选B. 【点睛】本题考查条件概率的计算，解这类问题时，要弄清各事件事件的关系，利用排列组合思想以及古典概型的概率公式计算相应事件的概率，并灵活利用条件概率公式计算出所求事件的概率，考查计算能力，属于中等题．7．C解析：C 【分析】利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，再利用条件概率公式()P B A =()()P AB P A 可得出答案． 【详解】事件AB 为“所取2张卡片上的数字之和为小于9的偶数”，以(),a b 为一个基本事件，则事件AB 包含的基本事件有：()1,3、()1,5、()1,7、()2,4、()2,6、()3,5，共6个， 由古典概型的概率公式可得()286314P AB C ==， 事件A 为“所取2张卡片上的数字之和为偶数”，则所取的两个数全是奇数或全是偶数，由古典概型的概率公式可得()2428237C P A C ==，因此，()()()3711432P AB P B A P A ==⨯=， 故选C ． 【点睛】本题考查条件概率的计算，数量利用条件概率公式，是解本题的关键，同时也考查了古典概型的概率公式，考查运算求解能力，属于中等题．8．C解析：C 【分析】根据题目已知条件写出12,X X 的分布列，取特殊值计算出两者的期望和方差，由此得出正确选项. 【详解】 依题意可知：由于2121p p <<<，不妨设12,34p p ==.故121223,,34EX EX EX EX ==<,121223,,916DX DX DX DX ==>，故选C.【点睛】本小题主要考查随机变量分布列期望和方差的计算，考查分析与阅读理解能力，属于中档题.9．C解析：C 【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B ，利用二项分布的知识计算出()P A ，再计算出()P AB ，结合条件概率公式求得结果. 【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B则()2323332122033327P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()122433327P AB =⨯⨯= ()()()15P AB P B A P A ∴== 本题正确选项：C 【点睛】本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题.10．C解析：C 【分析】由离散型随机变量X 的分布列的性质求出x ＝0.1，由此能求得结果 【详解】由x ＋4x ＋5x ＝1得x ＝0.1， E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4，D(X)＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5＝0.44. 故选C 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列的性质，由已知先求出x 的值，然后运用公式求得期望和方差，属于基础题．11．D解析：D 【解析】分析：根据题意，记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ，由相互独立事件的概率公式，计算可得目标被击中的概率，进而由条件概率的公式，计算可得答案．详解：根据题意，记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ， 则P （C ）=1﹣P （A ）P （B ）=1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.5）=0.9； 则目标是被甲击中的概率为P=0.880.99=. 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查独立事件的概率和条件概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 条件概率的公式:()(|)()P AB P B A P A =，(|)P B A =()()n AB n A .条件概率一般有“在A 已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生， 发生了才能称为条件概率.但是有时也没有，要靠自己利用条件概率的定义识别.12．A解析：A 【解析】分析：设事件A =“取到的两个为同一种馅”，事件B =“取到的两个都是腊肉馅”，求出22223241,10101010C C C P A P AB +====（），（） ，利用()()|P AB P B A P A =（），可得结论． 详解：设事件A =“取到的两个为同一种馅”，事件B =“取到的两个都是腊肉馅馅”，由题意，22223241,10101010C C C P A P AB +====（），（），()()1|.4P AB P B A P A ∴==（） 故选A ．点睛：本题考查条件概率，考查学生的计算能力，正确运用公式是关键．二、填空题13．【分析】由题意可知抽得三球编号和为4812三种情况的基本事件有31种而总事件有125种即三个球编号之和恰为4的倍数的概率为则有根据二项分布的期望公式求期望即可【详解】三个球编号之和恰为4的倍数的基本解析：93125【分析】由题意可知抽得三球编号和为4,8,12三种情况的基本事件有31种，而总事件有125种，即三个球编号之和恰为4的倍数的概率为31125，则有31~(3,)125X B ，根据二项分布的期望公式求期望即可. 【详解】三个球编号之和恰为4的倍数的基本事件：(1,1,2)有3种、(1,2,5)有6种、(1,3,4)有6种、(2,2,4)有3种、(2,3,3)有3种、(2,5,5)有3种、(3,4,5)有6种、(4,4,4)有1种，而总共有555125⨯⨯=， ∴三个球编号之和恰为4的倍数的概率为31125，由题意31~(3,)125X B ， ∴X 的数学期望：3193()3125125E X =⨯=. 故答案为：93125. 【点睛】关键点点睛：根据编号和分组得到三个球编号之和恰为4的倍数的基本事件数，进而确定其概率，由人数为X 服从31(3,)125B 的二项分布，求期望. 14．②④【分析】由回归直线的性质判断①；由独立性检验的性质判断②③；由正态分布的特点判断④【详解】回归直线恒过点但不一定要过样本点故①错误；由得有99的把握认为两个分类变量有关系故②正确；的值很小时只能解析：②④ 【分析】由回归直线的性质判断①；由独立性检验的性质判断②③；由正态分布的特点判断④. 【详解】回归直线ˆˆˆybx a =+恒过点(),x y ，但不一定要过样本点，故①错误； 由2 6.635K ≥，得有99%的把握认为两个分类变量有关系，故②正确；2K 的值很小时，只能说两个变量的相关程度低，不能说明两个变量不相关，故③错误；(5)0.81P ξ≤=,(5)(3)10.810.19P P ξξ∴>=<-=-=，故④正确；故答案为：②④ 【点睛】本题主要考查了正态分布求指定区间的概率等，属于中等题.15．【分析】利用与面积有关的几何概型公式求出然后代入条件概率公式即可求解【详解】如图设正方形边长为由几何概型的概率公式可得（A ）由条件概率公式可得故答案为：【点睛】本题考查与面积有关的几何概型和条件概率解析：14【分析】利用与面积有关的几何概型公式求出()(),P A P AB ,然后代入条件概率公式()()()P AB P B A P A =即可求解.【详解】如图,设正方形边长为a ，由几何概型的概率公式可得, P （A ）2222()a ππ==⨯，21122()22()a a P AB a ππ⨯==⨯， ∴由条件概率公式可得,1()12(|)2()4P AB P B A P A ππ===． 故答案为：14【点睛】本题考查与面积有关的几何概型和条件概率的求解;熟练掌握概率公式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.16．40000【分析】首先根据条件判断可知根据条件求得概率最后再计算样本总量【详解】可知又（件）故填：40000【点睛】本题考查了正态分布应用的实际问题计算正态分布下的概率时需充分应用曲线关于对称对称轴解析：40000 【分析】首先根据条件判断100,10μσ==，可知()()1101202P X P x μσμσ<<=+<<+，根据条件求得概率，最后再计算样本总量. 【详解】()100,100XN可知100,10μσ==()()1101202P X P x μσμσ<<=+<<+()()222P x P X μσμσμσμσ-<<+--<<+=0.95450.68270.13592-==,又5436400000.1359=（件）. 故填：40000. 【点睛】本题考查了正态分布应用的实际问题，计算正态分布下的概率时，需充分应用曲线关于x μ=对称，对称轴两侧的概率均为0.5.17．15【解析】分析：根据正态分布概率计算可求出120分以上的概率；根据分层抽样可求出120分以上抽取样本的数量详解：根据正态分布所以根据分层抽样中概率值可得120分以上抽取份数为点睛：本题考查了利用正解析：15． 【解析】分析：根据正态分布概率计算，可求出120分以上的概率；根据分层抽样，可求出120分以上抽取样本的数量． 详解：根据正态分布()2100,N σ ,100μ= ，()801200.7P ξ<<=所以()10.71200.152P ξ-<== 根据分层抽样中概率值，可得120分以上抽取份数为1200.1515⨯=点睛：本题考查了利用正态分布的概率特征，计算特定范围内的概率，结合分层抽样求出抽取样本的数数量，属于简单题．18．08185【解析】分析：先求出再求得从而可得结果详解：因为（单位：）服从正态分布所以根据正态分布的对称性可得故答案为点睛：本题主要考查正态分布的性质与实际应用属于中档题有关正态分布的应用题考查知识点解析：0.8185. 【解析】分析：先求出()49.950.10.6826P X <<=，再求得()49.849.90.1359P X <<=，从而可得结果.详解：因为X （单位：kg ）服从正态分布()50,0.01N ， 所以，50,0.1μσ==，根据正态分布的对称性，可得()49.950.10.6826P X <<=，()()149.849.90.95440.68260.13592P X <<=-=， ()49.850.10.68260.13590.8185P X ∴<<=+=，故答案为0.8185.点睛：本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题.有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布“挂起钩来”；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.三、解答题19．（1）分布列答案见解析，数学期望：203；（2）证明见解析. 【分析】（1）首先确定X 的所有可能取值5,6,7,8,9,10X =，根据概率公式分别求出对应发生的概率，列出分布列，即可求出数学期望；（2）根据已知的关系，求出1i P +与i P ，1i P -的关系式112133i i i P P P +-=+，再通过化简和等比数列的定义求解即可. 【详解】解：（1）依题意可得，5,6,7,8,9,10X =，55552232(5)33243P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4445212180(6)53333243P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 32352180(7)33243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()23252140833243P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()4152110933243P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()50511103243P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 则X 的分布列如表所示.()56789102432432432432432433E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）处于第1i 个等级有两种情况： 由第i 等级到第1i等级，其概率为23i P ； 由第1i -等级到第1i等级，其概率为113i P -；所以112133i i i P P P +-=+，所以()1113i i i i P P P P +--=--，即1113i i i i P P P P +--=--. 所以数列{}1i i P P --为等比数列. 【点睛】本题考查概率公式､随机变量的分布列及数学期望，考查运算求解能力､数据处理能力，考查数学运算､逻辑推理核心素养.其中第二问解题的关键在于寻找1i P +与i P ，1i P -的关系式，即：()1121233i i i P P P i +-=+≥，进而根据等比数列的定义证明. 20．（1）34p =；（2）分布列见解析，3316. 【分析】（1）第二局比赛结束时比赛停止等价于李雷连胜2局或韩梅梅连胜2局，由此列式可解得结果；（2）ξ的所有可能值为0，1，2，3，求出ξ的每个取值的概率可得分布列，根据期望公式可得所求期望值. 【详解】（1）依题意，当李雷连胜2局或韩梅梅连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束， ∴有225(1)8p p +-=，解得34p =或14p =，∵12p >，∴34p =（2）依题意知，ξ的所有可能值为0，1，2，3，∴111(0)4416P ξ==⨯= ∴1213116(1)4444256P C ξ==⨯⨯⨯⨯=∴112233131345(2)44444464P C C ξ==⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=∴12133354(3)4444256P C ξ==⨯⨯⨯⨯=∴随机变量ξ的分布列为：故232566425616E ξ=+⨯+⨯=． 【点睛】关键点点睛：求出随机变量ξ的所有可能取值的概率是解题关键. 21．（1）240人；（2）分布列见解析，2；（3）2212s s >. 【分析】（1）由折线图分析可得20名学生中有12名学生每天学习不足4小时，把频率当概率可以估计校400名学生中天学习不足4小时的人数；（2）学习时间不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的取值为0，1，2，3，4；利用组合知识，由古典概型公式计算可得X =0，1，2，3，4的概率，进而可得随机变量X 的分布列；（3）根据折线图，看出男生、女生的学习时间的集中与分散程度，根据方差的实际意义可得答案． 【详解】(1)由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人.故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为400×1220=240. (2)学习时间不少于4小时的学生共8人，其中男生人数为4， 故X 的所有可能取值为0，1，2，3，4. 由题意可得P (X=0)=4448170C C =，P (X=1)=1344481687035C C C ==， P (X=2)=22444836187035C C C ==， P (X=3)=3144481687035C C C ==， P (X=4)=4448170C C =.∴均值E (X )=0×170+1×835+2×1835+3×835+4×170=2.(3)由折线图可得2212s s >. 【点睛】方法点睛：本题考查了折线统计图和超几何分布，考查了离散型随机变量分布列和数学期望的计算，求解离散型随机变量分布列的步骤是：首先确定随机变量X 的所有可能取值；计算X 取得每一个值的概率，可通过所有概率和为1来检验是否正确； 进行列表，画出分布列的表格；最后扣题，根据题意求数学期望或者其它．22．（1）13；（2）分布列答案见解析，数学期望：1415；（3）该企业职工使用B APP 的情况与官方发布的男､女用户情况更相符 【分析】（1）根据题中数据，用频率估计概率，即可求出；（2）先确定X 的取值，再计算出对应的概率，即求出X 的分布列及数学期望；（3）分别计算出A 款，B 款APP 的男､女用户总人数，再计算对应的男用户，女用户的概率，再根据题意判断即可. 【详解】解：（1）由所给数据可知，男职工使用A 款APP 的人数为72， 用频率估计概率，可得男职工使用京东APP 的概率约为7231205=， 同理，女职工使用A 款APP 的概率约为4011203=； （2）X 的可能取值为0，1，2，()3140115315P X ⎛⎫⎛⎫∴==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()31318111535315P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3112535P X ==⨯=.∴X 的分布列为：X 的数学期望()0121515515E X =⨯+⨯+⨯=； （3）样本中，A 款APP 的男､女用户为7240112+=(人)，其中男用户占7264.3112≈%；女用户占4035.7112≈%， 样本中，B 款APP 的男､女用户为6084144+=(人)，其中男用户占6041.7144≈%；女用户占8458.3144≈%，∴该企业职工使用B APP 的情况与官方发布的男､女用户情况更相符.【点睛】 思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.23．（1）分布列见解析；期望为74；（2）分布列见解析；3()2E η=，3()4D η=.【分析】（1）取到一个红球为止，取球次数ξ所有可能1、2、3、4，求对应次数的概率即可列分布列，求()E ξ；（2）取出后放回，每次取到红球的概率相同，相当于做了三次独立重复试验13,2B η⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布概率公式和期望、方差公式即可求解. 【详解】（1）ξ的可能取值为1、2、3、4，31(1)62P ξ===，333(2)6510P ξ==⨯=， 3233(3)65420P ξ==⨯⨯=，32131(4)654320P ξ==⨯⨯⨯=，故ξ的分布列为：17()123421020204E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）取出后放回，取球3次，每次取到红球的概率为3162=，可看作3次独立重复试验，所以13,2B η⎛⎫ ⎪⎝⎭， η的可能取值为0、1、2、3，303111(0)228P C η⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1213113(1)228P C η⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2123113(2)228P C η⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，333111(4)228P C η⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故ξ的分布列为：∴()322E η=⨯=， 113()3224D η=⨯⨯=.【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）24．（1）分布列见解析，()1E X =；（2）0.01p ≈，答案见解析. 【分析】（1）先分析X 的可取值，然后根据超几何分布的相关知识求解出X 的概率分布以及数学期望；（2）先分析新药无效的情况：10中1人痊愈、10中0人痊愈，由此求解出无效的概率，并分析试验方案的合理性. 【详解】解：（1）X 的所有可能取值为0，1，2252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===∴X 的分布列如下： ()0121999E X =⨯+⨯+⨯=．（2）新药无效的情况有：10中1人痊愈、10中0人痊愈，∴0109110101111110.015%22221024p C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅=≈< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故可认为新药无效事件是小概率事件，从而认为新药有效，故该试验方案合理.【点睛】易错点睛：超几何分布和二项分布的区别与联系：（1）超几何分布描述的是不放回抽样问题，二项分布描述的是放回抽样问题；（2）超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题，二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题；（3）当调查研究的样本容量很大时，在有放回地抽取和不放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似将超几何分布认为是二项分布.25．（1）827；（2）答案见解析． 【分析】（1）甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是23，从而甲答对题目数~(43,)2B ξ，由此能求出甲恰有2个题目答对的概率； （2）由题意知乙答对的题目数X 的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．【详解】（1）甲乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是23， ∴选中的4个题目甲恰有2个题目答对的概率222418()(223)37P C ==． （2）由题意知乙答对的题目数X 的可能取值为2，3，4，22284102(2)15C C P X C ===， 13284108(3)15C C P X C ===， 484101(4)3C P X C ===， X ∴的分布列为：()=234=151535E X ⨯+⨯+⨯.。