专题：竖直平面内的圆周运动

竖直面内的圆周运动一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。

2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。

物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋F N＝mv2R mg±F N＝mv2R临界特征F N＝0mg＝mv2minR即v min＝gRv＝0即F向＝0F N＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥gR v≥0【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。

小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则()A ．小球的质量为aRbB ．当地的重力加速度大小为RbC ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 【答案】： ACD【典例2】用长L ＝ 0.6 m 的绳系着装有m ＝ 0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。

G ＝10 m/s 2。

求：(1) 最高点水不流出的最小速度为多少？(2) 若过最高点时速度为3 m/s ，此时水对桶底的压力多大？ 【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。

这是最小速度即是过最高点的临界速度v 0。

以水为研究对象， mg ＝m v 20L解得v 0＝Lg ＝0.6×10 m/s ≈ 2.45 m/s(2) 因为 v ＝ 3 m/s>v 0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。

第五章抛体运动专题05：竖直平面内的圆周运动问题题组一拱形桥、凹形路面模型1.(2023江苏镇江实验高中月考)如图所示，甲、乙、丙、丁是游乐场中比较常见的过山车情景，甲、乙两图的过山车在轨道的外侧做圆周运动，丙、丁两图的过山车在轨道的内侧做圆周运动，过山车上有安全锁(由三个轮子组成)，把过山车套在了轨道上，四个图中轨道的半径都为R，重力加速度为g，下列说法正确的是()A.甲图中，当过山车以一定的速度通过轨道最高点时，座椅一定给人向上的力B.乙图中，当过山车以一定的速度通过轨道最低点时，座椅一定给人向上的力C.丙图中，当过山车以一定的速度通过轨道最低点时，座椅可能给人向下的力D.丁图中，过山车过最高点的最小速度为√gR2.(2023广东实验中学期中)某段路面由两个半径相同的圆弧相切组成，某同学乘坐的汽车(视为质点)。

以不变的速率通过这段路面，在通过凸形路面最高点B时，汽车对路面的压力大小为其所受重力的34已知汽车及车上人的总质量为m，圆弧路面的半径为R，重力加速度大小为g，下列说法正确的是()A.汽车的速率为√gRB.汽车的速率为√gR2C.汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为3mg2D.汽车通过凹形路面最低点A时，对路面的压力大小为7mg4题组二轻绳模型3.(2023江苏连云港四校期中联考)如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，已知重力加速度为g，则下列说法中正确的是()A.小球在圆周最高点时的向心力一定是重力B.小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C.若小球恰好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为√gLD.小球过最低点时绳子的拉力有可能小于小球的重力4.(2023北京朝阳六校联考)如图所示，滚筒洗衣机脱水时，滚筒绕水平转动轴转动，滚筒上有很多漏水孔，附着在潮湿衣服上的水从漏水孔中被甩出，达到脱水的目的。

某一阶段，如果认为湿衣服在竖直平面内做匀速圆周运动，已知滚筒半径为R，取重力加速度为g，那么下列说法正确的是()A.衣物转动到最高点时水滴更容易被甩出B.脱水过程中滚筒对衣物作用力始终指向圆心C.脱水过程中滚筒对衣物的摩擦力始终充当向心力D.为了保证衣物在脱水过程中能做完整的圆周运动，滚筒转动的角速度至少为√gR5.(2022浙江温州期末)激光高速特技车(以下简称小车)依靠强磁电机提供动力，能以很大的速度在空心球体中运动。

专题5 竖直面内的圆周运动（解析版）一、目标要求目标要求重、难点向心力的来源分析重难点水平面内的圆周运动重难点火车转弯模型难点二、知识点解析1．汽车过桥模型(单轨，有支撑)汽车在过拱形桥或者凹形桥时，桥身只能给物体提供弹力，而且只能向上(如以下两图所示)．(1)拱形桥(失重)汽车在拱形桥上行驶到最高点时的向心力由重力和桥面对汽车的弹力提供，方向竖直向下，在这种情况下，汽车对桥的压力小于汽车的重力：mg－F＝2mvR,F ≤ mg，汽车的速度越大，汽车对桥的压力就越小，当汽车的速度达到v max＝gR，此时物体恰好离开桥面，做平抛运动．(2)凹形路(超重)汽车在凹形路上行驶通过最低点的向心力也是由重力和桥面对汽车的弹力提供，但是方向向上，在这种情况下，汽车对路面的压力大于汽车的重力：2-=mvF mgR，由公式可以看出汽车的速度越大，汽车对路面的压力也就越大．说明：汽车过桥模型是典型的变速圆周运动．一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题．2．绳模型(外管，无支撑，水流星模型)(1)受力条件：轻绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力，圆形轨道对小球只能产生垂直于轨道向内的弹力，故这两种模型可归结为一种情况，即只能对物体施加指向轨迹圆心的力．(2)临界问题：①临界条件：小球在最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)如果刚好等于零，小球的重力充当圆周运动所需的向心力，这是小球能通过最高点的最小速度，则：2=v mg m R，解得：0=v gR说明：如果是处在斜面上，则向心力公式应为：20sin v mg m R α=，解得:0sin v gR α=②能过最高点的条件：v ≥0v ．③不能过最高点的条件：v ＜0v ，实际上小球在到0v 达最高点之前就已经脱离了圆轨道，做斜上抛运动．3．杆模型(双管，有支撑)(1)受力条件：轻杆对小球既能产生拉力又能产生支持力，圆形管道对其内部的小球能产生垂直于轨道用长为L 的轻绳拴着质量为m 的小球 使小球在竖直平面内作圆周运动 质量为m 的小球在半径为R 的光滑竖直外管内侧做圆周运动用长为L 的轻杆拴着质量为m 的小球使小球在竖直平面内作圆周运动 质量为m 的小球在半径为R 的光滑竖直双管内做圆周运动向内和向外的弹力．故这两种模型可归结为一种情况，即能对物体施加沿轨道半径向内和向外的力．(2)临界问题：①临界条件：由于硬杆或管壁的支撑作用，小球能到达最高点的临界速度0=v 临，此时轻杆或轨道内侧对小球有向上的支持力：0-=N F mg ．②当0＜v gR N F ．由-mg N F 2=v m R 得：N F 2=-v mg m R．支持力N F 随v 的增大而减小，其取值范围是0＜N F ＜mg ．③当=v gR 时，重力刚好提供向心力，即2=v mg m R，轻杆或轨道对小球无作用力．④当v gR F 或轨道外侧对小球施加向下的弹力N F 弥补不足，由2+=v mg F m R 得：2=-v F m mg R，且v 越大F (或N F )越大．说明：如果是在斜面上：则以上各式中的mg 都要改成sin mg α． 4．离心运动做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者减小的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动．(1)离心运动的成因做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞去的倾向．当2F mr ω=时，物体做匀速圆周运动；当0F =时，物体沿切线方向飞出；当2F mr ω<时，物体逐渐远离圆心．F 为实际提供的向心力．如图所示．(2)离心运动的应用离心运动可以给我们的生活、工作带来方便，如离心干燥器、洗衣机的脱水筒等就是利用离心运动而设计的．离心干燥器：将湿物体放在离心干燥器的金属网笼里，当网笼转得较快时，水滴所受的附着力不足以提供其维持圆周运动所需的向心力，水滴就做离心运动，穿过网孔，飞离物体，使物体甩去多余的水分．(3)离心运动的防止有时离心运动也会给人们带来危害，如汽车、摩托车、火车转弯时若做离心运动则易造成交通事故；砂轮转动时发生部分砂块做离心运动而造成人身伤害．因此应对它们进行限速，这样所需向心力mvr2较小，不易出现向心力不足的情况，从而避免离心运动的产生．(4)几种常见的离心运动物理情景实物图原理图现象及结论洗衣机脱水筒当水滴跟物体之间的附着力F不能提供足够的向心力(即2ω<F m r))时，水滴做离心运动汽车在水平路面上转弯当最大静摩擦力不足以提供向心力(即2max<vF mr))时，汽车做离心运动三、考查方向题型1：汽车过桥模型典例一：如图所示，质量为m的滑块与轨道间的动摩擦因数为μ，当滑块从A滑到B的过程中，受到的摩擦力的最大值为Fμ，则( )A．Fμ=μmg B．Fμ＜μmgC．Fμ＞μmg D．无法确定Fμ的值【答案】：C【解析】在四分之一圆弧底端，根据牛顿第二定律得：2vN mg mR-=，解得：N=mg+ 2vmR，此时摩擦力最大，有：2＞v F N mg m mg R μμμμ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．故C 正确确，ABD 错误．题型2：绳模型典例二：如图所示，杂技演员表演水流星节目．一根长为L 的细绳两端系着盛水的杯子，演员握住绳中间，随着演员的抡动，杯子在竖直平面内做圆周运动，杯子运动中水始终不会从杯子洒出，设重力加速度为g ，则杯子运动到最高点的角速度ω至少为( )A gLB 2g LC 5gLD 10gL【答案】：B【解析】：据题知，杯子圆周运动的半径2=Lr ，杯子运动到最高点时，水恰好不流出，由水的重力刚好提供其做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得：22Lmg m ω= 解得：2g L ω=题型3：杆模型典例三：一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( )A ．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零B gRC ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 【答案】：A【解析】：轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v gR A正确，B错误；若v gR最高点对小球的弹力竖直向上，mg－F＝m2vR，随v增大，F减小，若v gR高点对小球的弹力竖直向下，mg＋F＝m2vR，随v增大，F增大，故C、D均错误。

专题十一模型专题（3）竖直面上的圆周运动【典型模型解读】1.竖直面内匀速圆周运动：注意匀速圆周运动的条件2.竖直平面内非匀速圆周运动的两类典型模型分析轻绳模型轻杆模型实例如球与绳连接、沿内轨道运动的球等如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等图示最高点无支撑最高点有支撑最高点受力特征重力、弹力，弹力方向指向圆心重力、弹力，弹力方向指向圆心或背离圆心受力示意图力学方程mg+F N=mrv2mg±F N=mrv2临界特征F N=0,v min=gr竖直向上的F N=mg,v=0过最高点条件v≥gr v≥0速度和弹力关系讨论分析①能过最高点时，v≥gr，F N+mg=mrv2，绳、轨道对球产生弹力F N②不能过最高点时，v<gr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动①当v=0时，F N=mg，F N为支持力，沿半径背离圆心②当0<v<gr时，-F N+mg=mrv2，F N背离圆心，随v的增大而减小③当v=gr时，F N=0④当v>gr时，F N+mg=mrv2，F N指向圆心并随v的增大而增大【典例讲练突破】【例1】（2019高考江苏卷物理6）如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱（）A.运动周期为2πRω B.线速度的大小为ωRC.受摩天轮作用力的大小始终为mgD.所受合力的大小始终为m ω2R【解析】由于座舱做匀速圆周运动，由公式2πTω=，解得：2πT ω=，故A 错误；由圆周运动的线速度与角速度的关系可知，v R ω=，故B 正确；由于座舱做匀速圆周运动，所以座舱受到摩天轮的作用力是变力，不可能始终为mg ，故C 错误；由匀速圆周运动的合力提供向心力可得：2F m R ω=合，故D 正确。

【答案】BD【练1】在考驾驶证的科目二阶段，有一项测试叫半坡起步，这是一条类似于凸型桥面设计的坡道。

1、轻绳或细杆作用下物体在竖直面内的圆周运动（1）轻杆作用下的运动如图所示，杆长为L，杆的一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端在竖直平面内做圆周运动，小球在最高点A时，若杆与小球m之间无相互作用力，那么小球做圆周运动的向心力仅由重力提供：得=，由此可得小球在最高点时有以下几种情况：当=0时，杆对球的支持力F N = mg，此为过最高点的临界条件。

②当=时，，=0③当0＜＜时，m g＞＞0且仍为支持力，越大越小④当＞时，＞0，且为指向圆心的拉力，越大越大（2）细绳约束或圆轨道约束下的运动：如图所示为没有支撑的小球（细绳约束、外侧轨道约束下）在竖直平面内做圆周运动过最高点时的情况。

①当，即当==时，为小球恰好过最高点的临界速度。

②当＜，即＞=时（绳、轨道对小球还需产生拉力和压力），小球能过最高点③当＞，即＜=时，小球不能通过最高点，实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了圆周轨道。

竖直面内的圆周运动一般不是匀速圆周运动，而是变速圆周运动，此时由物体受到的合力沿半径方向的分力来提供向心力，一般只研究最高点和最低点，此情况下，经常出现临界状态，应注意：（1）绳模型：临界条件为物体在最高点时拉力为零（2）杆模型：临界条件为物体在最高点时速度为零例1、一根绳子系着一个盛水的杯子，演员抡起绳子，杯子就在竖直面内做圆周运动，到最高点时，杯口朝下，但杯中的水并不流出来，如图所示，为什么呢？解析：对杯中水，当=时，即=时，杯中水恰不流出，若转速增大，＜时，＞时，杯中水还有远离圆心的趋势，水当然不会流出，此时杯底对水有压力，即N+=，N=－；而如果＞，＜时，水会流出。

例2、如图所示，轻杆OA长l=0.5m，在A端固定一小球，小球质量m=0.5kg，以O点为轴使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时，小球的速度大小为=0.4m/s，求在此位置时杆对小球的作用力。

（g取10 m／s 2）解法一：先判断小球在最高位置时，杆对小球有无作用力，若有作用力，判断作用力方向如何小球所需向心力==0.5×=0.16 N小球受重力=0.5×10=5 N重力大于所需向心力，所以杆对小球有竖直向上的作用力F，为支持力以竖直向下为正方向，对小球有－F=解得：F= 4.84 N解法二：设杆对小球有作用力F，并设它的方向竖直向下，对小球则有－F=F=－=－4.84 N“－”表示F方向与假设的方向相反，支持力方向向上。

竖直平面内的圆周运动一.竖直平面内的圆周运动属于圆周运动二.两种情况：1、没有支撑物的物体在竖直平面内的圆周运动①临界条件：小球到达最高点时绳的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球重力提供其圆周运动的向心力，即mg=mv02/R∴刚过最高点的临界速度（最小速度）v=②当v≥v0时小球通过最高点③当v＜v0时小球不能到达最高点。

2、有支撑物的物体在竖直平面内的圆周运动v=0弹力的大小b图中的弹力a图中的弹力速度范围课堂练习1、绳系着装水的桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳长=0.4m.求（1）桶在最高点水不流出的最小速率？（2）水在最高点速率=3m/s时水对桶底的压力？(g取10m/s2)2、细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（）A．a处为拉力，b处为拉力B．a处为拉力，b处为推力C．a处为推力，b处为拉力D．a处为推力，b处为推力作业1.长度为0.5m的轻质细杆，A端有一质量为3kg的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，小球通过最高点时的速度为2m/s，取g=10m/s2，则此时轻杆OA将（）A．受到6.0N的拉力B．受到6.0N的压力C．受到24N的拉力D．受到54N的拉力2.一轻杆一端固定一质量为m的小球，另一端以O为圆心，使小球做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是()A、小球过最高点时，杆所受的弹力可以等于0B、小球过最高点时的最小速度为√gRC、小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定大于杆对球的作用力D、小球过最高点时，杆对球的作用力一定与小球所受重力方向相反3.质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度值为V，当小球以2V的速度经过最高点时，对轨道的压力值是（）（A）0 （B）mg (C)3mg (D)5mg4.一质量为0.5kg的小球，用0.4m长的细线拴住在竖直面内作圆周运动，求：当小球在圆上最高点速度为4m/s时，细线的拉力是多少？（g=10m/s2）5. 如图，质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度是v，当小球以3v 的速度经过最高点时，对轨道的压力大小是多少？6.用钢管做成半径为R=0.5m的光滑圆环（管径远小于R）竖直放置，一小球（可看作质点，直径略小于管径）质量为m=0.2kg在环内做圆周运动，求:小球通过最高点A时，下列两种情况下球对管壁的作用力. 取g=10m/s2(1) A的速率为1.0m/s (2) A的速率为4.0m/s。

2022届高考物理二轮复习专题突破：专题二十二竖直平面内的圆周运动一、单选题1．（2分）如图所示，有一长为L的细绳，一端悬挂在A点，另一端拴一质量为m、电量为q的带有负电荷的小球；悬点A处放一正电荷，电量也为q。

如果要使小球能在竖直平面内作完整的圆周运动，如图所示。

若已知重力加速度为g，则（）A．小球到达最高点D点速度的最小值为√gLB．小球到达与A点等高的C点受到绳子拉力的最小值为为kq2 L2C．小球到达最低点B点速度的最小值为√kq2mL+4gLD．小球到达最低点B点受到绳子拉力的最小值为6mg2．（2分）如图所示，粗糙程度处处相同的半圆形竖直轨道固定放置，其半径为R，直径POQ水平。

一质量为m的小物块（可视为质点）自P点由以v0=√gR开始沿轨道下滑，滑到轨道最低点N时，小物块对轨道的压力为3mg，g为重力加速度的大小。

则下列说法正确的是（）A．小物块到达最低点N时的速度大小为√3gRB．小物块从P点运动到N点的过程中重力做功为2mgRC．小物块从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功为12mgRD．小物块从P点开始运动经过N点后恰好可以到达Q点3．（2分）如图所示，由竖直轴和双臂构成的“Y”型支架可以绕竖直轴转动，双臂与竖直轴所成锐角为37°。

一个质量为2kg的小球穿在一条臂上，到O点的距离为20cm，小球始终与支架保持相对静止，设支架转动的角速度为ω，g取10m/s2则下列说法错误的是（）A．ω由零逐渐增加，臂对小球的摩擦力一直减小B．当ω=10√10时，臂对小球的摩擦力为零3rad/sC．当ω=0时，臂对小球的摩擦力大小为16ND．当ω=5√10rad/s时，臂对小球的摩擦力大小为mg4．（2分）如图所示，将内壁光滑半径为R的圆形细管竖直固定放置，一质量为m的小球在管内做圆周运动，小球过最高点时的速度为v，则下列说法正确的是（）A．v的最小值为v min=√gRB．若0<v<√gR，当v逐渐增大时，小球m受到内管壁向上的支持力逐渐减小C．小球通过最低点时可能受到内管壁向下的压力D．若小球恰好通过最高点，则小球在最低点与最高点受到管的弹力大小之差为5mg5．（2分）如图所示，火车质量为m，火车转弯半径为R，铁轨平面倾角为θ，当火车以速率v0驶过转弯处时，由重力和支持力的水平合力完全提供向心力，重力加速度为g，下列说法不正确的是（）A ．当以速率 v 0 行驶时，向心力大小为 m v 02RB ．当以速率 v 0 行驶时，向心力大小为 mgtanθC ．当以速率 v(v >v 0) 行驶时，火车轮缘与外轨挤压D ．当以速率 v(v >v 0) 行驶时，火车轮缘与内轨挤压6．（2分）世界一级方程式锦标赛新加坡大奖赛赛道单圈长5.067公里，共有23个弯道，赛车在水平路面上转弯时，常常在弯道上冲出跑道，则以下说法正确的是( )A ．是由于赛车行驶到弯道时，运动员未能及时转动方向盘造成赛车冲出跑道的B ．是由于赛车行驶到弯道时，运动员没有及时加速才造成赛车冲出跑道的C ．是由于赛车行驶到弯道时，运动员没有及时减速才造成赛车冲出跑道的D ．由公式F ＝mω2r 可知，弯道半径越大，越容易冲出跑道二、多选题7．（3分）如图所示，足够大的水平圆台中央固定一光滑竖直细杆，原长为L 的轻质弹簧套在竖直杆上，质量均为m 的光滑小球A 、B 用长为L 的轻杆及光滑铰链相连，小球A 穿过竖直杆置于弹簧上。

专题 竖直面内的圆周运动一、轻绳模型1．（2022·全国·高一专题练习）如图，轻绳OA 拴着质量为m 的物体，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，下列说法正确的是（ ） A ．小球过最高点时的最小速度是0 B ．小球过最高点时，绳子拉力可以为零C ．若将轻绳OA 换成轻杆，则小球过最高点时，轻杆对小球的作用力不可以与小球所受重力大小相等，方向相反D ．若将轻绳OA gR 2．（2022·高一课时练习）（多选）如图所示，轻绳一端系一小球，另一端固定于O 点，在O 点正下方的P 点钉一颗钉子，使线拉紧与竖直方向成一角度θ，然后由静止释放小球，当小球第一次通过最低点，悬线碰到钉子瞬间（ ） A ．小球的瞬时速度突然变大 B ．小球的角速度突然变大 C ．小球的向心加速度突然变小 D ．线所受的拉力突然变大3．（2022春·湖北襄阳·高一襄阳四中阶段练习）王老师在课堂上给同学们做如下实验：一细线与桶相连，桶中装有小球，桶与细线一起在竖直平面内做圆周运动，最高点时小球竟然不从桶口漏出，如图所示，小球的质量m =0.2kg ，球到转轴的距离290cm 10m /s l g ==，。

求 （1）整个装置在最高点时，球不滚出来，求桶的最小速率； （2）如果通过最低点的速度为9m/s ，求此处球对桶底的压力大小。

4．（2023秋·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考期末）小李同学站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的小球，甩动手腕，使球恰好能在竖直平面内做完整的圆周运动。

再次加速甩动手腕，当球某次运动到最低点A 时，绳恰好断掉，如题图所示。

已知握绳的手离地面高度为2L ，手与球之间的绳长为L ，绳能承受的最大拉力为9mg ，重力加速度为g ，忽略手的运动半径和空气阻力。

求： （1）为使小球能在竖直平面内作完整的圆周运动，小球过最高点B 时的最小速度；（2）绳断时球的速度大小；（3）绳断后，小球落地点与抛出点A 的水平距离。

竖直面内的圆周运动一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。

2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。

物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋F N＝mv2R mg±F N＝mv2R临界特征F N＝0mg＝mv2minR即v min＝gRv＝0即F向＝0F N＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥gR v≥0【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。

小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则()A ．小球的质量为aRbB ．当地的重力加速度大小为RbC ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 【答案】： ACD【典例2】用长L ＝ 0.6 m 的绳系着装有m ＝ 0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。

G ＝10 m/s 2。

求：(1) 最高点水不流出的最小速度为多少？(2) 若过最高点时速度为3 m/s ，此时水对桶底的压力多大？ 【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。

这是最小速度即是过最高点的临界速度v 0。

以水为研究对象， mg ＝m v 20L解得v 0＝Lg ＝0.6×10 m/s ≈ 2.45 m/s(2) 因为 v ＝ 3 m/s>v 0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。

6.4 专题：竖直面内的圆周运动及圆周运动的临界问题一、基础篇1.如图所示，可视为质点的木块A、B叠放在一起，放在水平转台上随转台一起绕固定转轴OO′匀速转动，木块A、B与转轴OO′的距离为1 m，A的质量为5 kg，B的质量为10 kg。

已知A与B间的动摩擦因数为0.2，B与转台间的动摩擦因数为0.3，若木块A、B与转台始终保持相对静止，则转台角速度ω的最大值为(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2)()A．1 rad/s B. 2 rad/sC. 3 rad/s D．3 rad/s解析：选B对A有μ1m A g≥m Aω2r，对A、B整体有(m A＋m B)ω2r≤μ2(m A＋m B)g，代入数据解得ω≤ 2 rad/s，故B正确。

2.如图所示，内壁光滑的竖直圆桶绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则()A．绳的拉力可能为零B．桶对物块的弹力不可能为零C．若它们以更大的角速度一起转动，绳的张力一定增大D．若它们以更大的角速度一起转动，绳的张力仍保持不变解析：选D由于桶的内壁光滑，所以桶不能提供给物块竖直向上的摩擦力，所以绳子的拉力一定不能等于零，故A错误。

绳子沿竖直方向的分力与物块重力大小相等，若绳子沿水平方向的分力恰好提供向心力，则桶对物块的弹力为零，故B错误。

由题图可知，绳子与竖直方向的夹角不会随桶的角速度的增大而增大，所以绳子的拉力也不会随角速度的增大而增大，故C 错误，D 正确。

3.如图所示，杂技演员在表演节目时，用细绳系着的盛水的杯子可以在竖直平面内做圆周运动，甚至当杯子运动到最高点时杯里的水也不会流出来。

下列说法中正确的是( )A ．在最高点时，水对杯底一定有压力B ．在最高点时，盛水杯子的速度可能为零C ．在最低点时，细绳对杯子的拉力充当向心力D ．在最低点时，杯和水受到的拉力大于重力解析：选D 水和杯子恰好能通过最高点时，在最高点细绳的拉力为零，由它们的重力提供向心力，它们的加速度为g ，此时水对杯底恰好没有压力。