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平面结构问题的有限单元法

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1有限元法基础及平面结构问题的有限元法

1有限元法基础及平面结构问题的有限元法

车辆工程技术中心
机电工程学院
（4）利用结构力的平衡条件和边界条件把各个 单元按原来的结构重新连接起来，集合成整体 的有限元方程，求解出节点位移。 重点：对于不同的结构，要采用不同的单元，但 各种单元的分析方法又是一致的。
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四、有限元法的学习路线
从最简单的平面结构入手，由浅入深，介 绍有限元理论以及在汽车结构分析中的应用。
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汽车结构由不同的材料组成，其结构也非 常复杂，包括板、梁、轴、块等通过铆接或焊 接而成。 汽车结构承受的载荷也十分复杂，其中包 括自重，路面激励、惯性力及构件之间的约束 力。
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各种汽车结构件都可以应用有限元进行静 态分析、模态分析和动态分析。现代汽车设计 中，已从早期的静态分析为主转化为以模态分 析和动态分析为主。 汽车结构有限元分析的应用主要体现在以 下几方面：见教材P3
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弹性力学 —区别与联系 — 材料力学
3、研究的方法：有较大的区别。
虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究， 但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。 材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因 而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。 这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往 是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无 限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假 设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。 所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解 答的精确程度，并确定它们的适用范围。
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目前应用较多的通用有限元软件如下表：

有限单元法及工程应用

有限单元法及工程应用

有限单元法及工程应用有限单元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域。

它是一种将复杂的连续体分割为有限个简单形状的小单元，并将偏微分方程转化为代数方程求解的方法。

有限单元法通过将计算领域离散化为一个有限的单元网络，然后通过求解每个单元上的方程来得到整个计算领域的解。

这种方法在解决复杂问题上具有很大的优势，并已经在工程应用中得到广泛应用。

有限单元法在工程应用中有许多不同的方面。

以下是其中一些主要的应用领域：1. 结构力学分析：有限单元法可以用于结构的形状、变形、应力和振动等问题的分析。

通过将结构离散为有限个单元，可以准确地计算结构的应力分布和变形情况，进而评估结构的稳定性和可靠性。

这在建筑、桥梁、飞机和船舶等领域中得到广泛应用。

2. 热传导分析：有限单元法可以用于热传导问题的分析，如温度分布、热流量和热应力等。

通过建立传导方程和边界条件，可以计算不同材料和结构的热行为，进而为热处理、热设备设计和热工艺优化提供指导。

3. 流体力学分析：有限单元法可以用于求解流体力学方程，如流体流动、湍流、传质和热传递等。

通过将流体域划分为有限个单元，可以计算流速、压力和流体力学特征等。

这在空气动力学、水力学和化工工艺等领域中得到广泛应用。

4. 电磁场分析：有限单元法可以用于求解静电场、磁场和电磁波等问题。

通过建立电磁方程和边界条件，可以计算电场、磁场和电磁波的分布和特性。

这在电力系统、电子器件和电磁辐射等领域中得到广泛应用。

5. 生物医学工程：有限单元法可以应用于生物医学领域的各种问题，如骨骼力学、组织力学、生物电流和生物传递等。

通过对生物体或医学设备建立有限元模型，可以模拟和预测生物体的行为和反应，为生物医学研究和医学工程设计提供指导。

以上只是有限单元法在工程应用中的一部分方面。

由于其灵活性和适用性，有限单元法被广泛应用于各种工程领域，为工程师提供了一种有效的工具来解决现实世界中的复杂问题。

[工学]第4章 平面问题的有限元法-3刚度矩阵

[工学]第4章 平面问题的有限元法-3刚度矩阵
* 1 1 * 2 * 3 3
* T
F
T
* * * * * x x y * * y z z xy xy yz yz zx zx
({ } )
T
e T
R
e
(f)
而单元内的应力在虚应变上所做的功为
tdxdy
(g)
这里我们假定单元的厚度t为常量。把（d）式及（4-16） 式代入上式，并将提到积分号的前面，则有
({ } )
e T
B D B
T
e
tdxdy
根据虚位移原理，由（f）和（h）式可得到单元的虚功方程 即 e T e e T e T ({ } ) R ({ } ) B D B tdxdy 注意到虚位移是任意的，所以等式两边与相乘的项应该相等， 即得
R
e
B D Btdxdy
T
e
记
k B D B tdxdy
e T
(4-24) (4-25)
则有
R k
e e
e
上式就是表征单元的节点力和节点位移之间关系的刚 度方程，[k]e就是单元刚度矩阵。如果单元的材料是均质的 ，那么矩阵 [D] 中的元素就是常量，并且对于三角形常应 变单元，[B]矩阵中的元素也是常量。当单元的厚度也是常 量时,因 dxdy ,所以式(4-24)可简写为
1 2 4 7 11 3 5 8 6 9 10 15
12
13
14
图 4-6 a
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 15
2
3
4
5

有限元方法的发展及应用

有限元方法的发展及应用

有限元方法的发展及应用1 有限元法介绍1.1 有限元法定义有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。

它是起源于20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。

有限元法的基本思想是将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。

这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。

由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。

有限元法最初应用在工程科学技术中,用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。

1.2 有限元法优缺点有限元方法是目前解决科学和工程问题最有效的数值方法，与其它数值方法相比，它具有适用于任意几何形状和边界条件、材料和几何非线性问题、容易编程、成熟的大型商用软件较多等优点。

（1）概念浅显，容易掌握，可以在不同理论层面上建立起对有限元法的理解，既可以通过非常直观的物理解释来理解，也可以建立基于严格的数学理论分析。

（2）有很强的适用性，应用范围极其广泛。

它不仅能成功地处理线性弹性力学问题、费均质材料、各向异性材料、非线性应立-应变关系、大变形问题、动力学问题已及复杂非线性边界条件等问题，而且随着其基本理论和方法的逐步完善和改进，能成功地用来求解如热传导、流体力学、电磁场等领域的各类线性、非线性问题。

他几乎适用于求解所有的连续介质和场问题，以至于目前开始向纳米量级的分子动力学渗透。

（3）有限元法采用矩阵形式表达，便于编制计算机软件。

这样，不仅可以充分利用高速计算机所提供的方便，使问题得以快速求解，而且可以使求解问题的方法规范化、软件商业化，为有限元法推广和应用奠定了良好的基础。

结构力学的有限单元法——柔度矩阵法

结构力学的有限单元法——柔度矩阵法

结构力学的有限单元法——柔度矩阵法.naHuaPa0KeJjYuSjChana结构力学的有限单元法口丁学兴摘要:本文以实例介绍了与电子计算机性能相适应的力学模型:柔度矩阵法,实现了结构设计的程序化.有限单元法描述了与数字电子计算机逻辑性能相适应的力学模型.实现了部件设计的最优化.1.有限单元法应用范围:有限单元法不但适用于土木工程分析领域,也适用于国防和船舶等工程的分析领域.另外,还可以解决热传导和液流等方面的问题.2.有限单元法在工程设计中的常用法,包括:柔度矩阵法,刚度矩法和刚度集合法.3.应用结构力学的有限单元法应满足三个条件:A.平衡条件:荷载与杆端力平衡;B.相容条件:节点位移和杆端变形必须满足几何相容条件;C.物理条件:必须符合广义的虎克定律.4柔度矩阵法在结构设计中的应用:柔度矩阵法就是找出荷载,与其和杆端力,杆端变形,节点位移之间的关系,从而导出柔度矩阵.下面以图所示的悬臂梁为例,来说明柔度矩阵法的原理及计算步骤:(1)根据叠加原理建立线性议程组:如图所示悬臂梁.在一一一荷载作用下产生变形,其变形曲线如虚线所示,用A表示广义力,用D表示广义变位,根据叠加原理建立下列线性方程组:D1=FDz=F式中1A1+1A1+F11,12A222A212,F柔度矩阵法(2)求杆端力(荷载)与杆端变形的变换矩阵.[F~F1.1FI2]A_[]则D=FA (2)式中D为位移矩阵F为柔度矩阵A为荷载矩阵(3)代入初始数据求出杆端挠度和转角.由结构力学得出:Fn=1./3EJFzz=1/EJFI2=FzI=1/2EJ.一[:.1厄2/E][AA:I]当A1=2A:2EJ=31—2时.L22/2x3322/3L2JrL2/32/3]J.JF2]F8/9x2+2/3x2]F16/9+4/3]I-28/9"]FD1]L23一L2/3x2+2/3x2jL4,3+4,3jL8/3JLD2j即D1=28/9(挠度)D:8/3(转角)其计算结果与经典力学计算结果是一致的.经典力学的计算只能用人工进行.有限单元法可以通过数组的形式输入电子计算机,通过计算输出优化的结果, 所以本法具有广阔的发展前景.参考文献1.结构和连续力学中的有限单元法2.结构计算和程序设计(作者单位:萍乡市建筑设计院)0数系度柔称简数系影度一柔一为一¨F,●I,Jh2。

有限元分析第四章

有限元分析第四章

19
4）形函数的性质
形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具 有以下性质： 性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点 上的值等于0。对于本单元，有
20
Ni ( xi , yi ) 1 Ni ( x j , y j ) 0 Ni ( xm , ym ) 0
（i、j、m）
利用 N i 1 (ai bi x ci y )和ai、bi、ci公式证明 2A
对于一个具体问题进行分析，不管采用什么样的单元， 分析过程与思路是一样的，所不同的只是各种单元的位移模 式和单元刚度矩阵不一样，其他的包括整体刚度矩阵的组装 过程都完全一样，所以我们仅仅对矩形单元位移模式的求取 和单元刚度矩阵的求解加以介绍。
4.7 收敛准则
可以证明，对于一个给定的位移模式，其刚度系统的数 值要比精确值大。所以，在给定载荷的作用下，有限元计算 模型的变形要比实际结构的变形小。因而，当单元网格分得 越来越细时，位移的近似解将由下方收敛于精确解，即得到 真实解的下界。 为了保证解答的收敛性，要求选取的位移模式必须满足 以下三个条件： 1）位移模式必须包含单元的刚体位移 也就是说，当节点位移是某个刚体位移所引起时，弹 性体内将不会产生应变。所以位移模式不但要具有描述单元 本身形变的能力，而且还要具有描述由其他变形而通过节点 位移引起单元刚体位移的能力。例如，三角形三节点位移模 式中，常数项就是用于提供刚体位移的。
Ni(x、y)
1 i(xi，yi) x xi
x xi N i ( x, y ) 1 x j xi
N m ( x, y ) 0
证
N
y j (xj，yj)
m (xm，ym)
xj
x
N i ( x, y )

《有限单元法》PPT课件


➢有限单元法的应用
（2）在土力学、岩石力学、基础工程学等方 面，用来研究填筑和开挖问题、边坡稳定性问 题、土壤与结构的相互作用，坝、隧洞、钻孔、 涵洞、船闸等的应力分析，土壤与结构的动态 相互作用，应力波在土壤和岩石中的传播问题。
（3）在流体力学、水利工程学等方面，研究 流体的势流、流体的粘性流动、蓄水层和多孔 介质中的定常（非定常）渗流、水工结构和大 坝分析，流体在土壤和岩石中的稳态渗流，波 在流体中传播，污染的扩散问题。
➢有限单元法的特性
计算精度的可信性
随着单元数目的增加，近似解不断趋近于精确解。
计算的高效性
适合于计算机编程实现。
➢有限单元法的分析过程
结构物的离散
划分 单元
数据 建立 编码 信息 坐标
单 元 类 型 选 最 优 化 单 最 优 化 单 合适的坐标
择 （ 形 状 、 元 结 点 编 元 结 点 编 系（直角、
建立离散化 计算模型
（二维问题） （三维问题） （二阶问题） （四阶问题） （杆系问题） （组合体问题） （梁弯曲问题） （板弯曲问题）
单元分析 (科学规律)
形成总体方程 （组装总刚度阵） （组装载荷阵）
基础理论 (变分原理) (分片插值)
约束条件处理 (灵活、易错)
有限元方法的组成模块
解方程 (数值积分) (代数方程求解)
结点数等） 码
码
柱、球坐标）
➢有限单元法的分析过程
单元分析（结点位移与结点力的关系）
单元位 移模式
单元特 性分析
单元载 荷分析
形函数
单元刚度矩阵
等效荷载矩阵
➢有限单元法的分析过程
整体分析（结点位移与结点力的关系）
单元刚 度矩阵

结构力学第六章平面应力问题的有限单元法

结构力学第六章平面应力问题的有限单元法引言平面应力问题是结构力学中的重要内容之一。

为了求解这类问题，目前广泛应用的方法之一是有限元方法。

有限元方法通过将复杂的问题离散为多个简单的有限元单元，在每个单元上进行计算，最后得到整个问题的近似解。

本文将介绍平面应力问题的有限单元法的基本原理，并讨论其在结构力学中的应用。

有限单元法概述有限单元法是一种通过将连续问题离散为有限数量的简单单元，再通过求解这些单元的位移和应力来近似求解原始问题的方法。

在平面应力问题中，我们通常将结构物在平面上分割为多个有限单元，并在每个单元上进行力学分析。

有限单元法的基本思想是，先在每个单元上假设位移场的近似形式，然后将位移场的近似形式与力学原理相结合，得到每个单元上的平衡方程。

通过求解这些平衡方程，我们可以得到每个单元上的位移场和应力场。

在有限元分析中，我们通常选择线性三角形单元或矩形单元作为平面应力问题的有限单元。

这些单元通常具有简单的几何形状和计算形式，便于计算机求解。

平面应力问题的有限单元法步骤平面应力问题的有限单元法通常包括以下几个步骤：1.离散化 - 将结构物划分为多个有限单元。

在平面应力问题中，我们通常选择三角形或矩形作为单元。

2.选取近似函数 - 在每个单元上选择位移场的近似函数形式，通常选择多项式形式。

3.建立单元刚度矩阵 - 通过应用平衡方程和力学原理，建立每个单元上的刚度矩阵。

4.组装总刚度矩阵 - 将所有单元的刚度矩阵组装成总刚度矩阵。

要注意，由于每个单元的自由度不同，需要将刚度矩阵根据单元的连接关系进行组装。

5.施加边界条件 - 根据实际情况，对总刚度矩阵和载荷向量进行修正，将边界条件考虑在内。

6.求解位移场 - 通过求解线性代数方程组，得到每个单元上的位移场。

7.计算应力场 - 根据位移场，计算每个单元上的应力场。

应用案例为了进一步说明平面应力问题的有限单元法的应用，以下是一个简单的应用案例。

假设有一块矩形薄板，长为L，宽为W。

有限单元法 数学术语

有限单元法有限单元法，是一种有效解决数学问题的解题方法。

其基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。

内容简述在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。

在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。

根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。

从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。

不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。

对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。

令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。

插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。

有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。

结构力学-第六章平面应力问题的有限单元法


刘敬喜，2007
6.1平面应力问题及其基本方程式
因而这种问题称为平面应力问题。同时，由于板 很薄，所以这三个应力分量，以及分析问题时须考 虑的三个应变分量x 、y 、xy及和两个位移分量u， v，都可以认为沿厚度不变化。这就是说，它们只是 坐标x和y的函数，不随坐标z的变化而变化。 在平面应力问题中，可用如下三个向量分别表 板中任一点的应力、应变和位移；
(c)
式(a)、(b)、(c)是应变分量与位移分量之间的关 系式，现归纳为： u x 称为平面应 x 力问题的几 v (6-5) y 何方程式， y 又称柯西方 v u 程式 xy 刘敬喜，2007 x y
6.1平面应力问题及其基本方程式
首先以通过中心C，并平行于z轴的直线为矩轴， 列力矩平衡方程Mc=0。
xy dx dx xy x dx dy 1 2 xydy 1 2 yy dy dy yx y dy dx 1 2 yx dx 1 2 0
线段PA的转角为：
v v dx v v x dx x
线段PB的转角为：
u u y dy u u dy y
刘敬喜，2007
6.1平面应力问题及其基本方程式
剪应变xy：
xy
v u x y
u u dx u u x x dx x
(a)
线段PB的正应变：
v v y dy v v y dy y
(b)
刘敬喜，2007
6.1平面应力问题及其基本方程式
剪应变xy：
xy
x y (6-1) xy
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平面结构问题的有限单元法
10
第四章 平面结构问题的有限单元法
令
Ni
1 2
(ai
bi x ci y)
(4-10)
在式(4-10)中表示的 Ni、N j、Nm 称为形函数，于
是位移函数表达式用形函数表示为：
u v
Niui N i vi
N juj N jvj
N mum N mvm
Niui
平面问题可以分为两类：平面应力问题和平面应 变问题。
图4-1 平面问题应力状态
平面结构问题的有限单元法
2
第四章 平面结构问题的有限单元法
4.1 平面应力问题
如图所示的深梁结构，其厚度方向的尺寸远比其 它两个方向的尺寸小得多，可视为一薄板。它只承受 作用在其平面内的载荷，且沿厚度方向不变，计算时 以中性面为研究对象。其力学特点是：
图4-3 平面问题单元的主要类型
平面结构问题的有限单元法
5
第四章 平面结构问题的有限单元法
图4-4(a)表示的是带有椭圆孔的平板，在均匀压力
作用下的应力集中问题。图4-5(b)是利用结构的对称 性，采用三结点三角形单元而离散后的力学模型，各
单元之间以结点相连。
(a) 均匀受力板力学模型
(b) 力学模型离散化
方向上的尺寸大得多，同样，载荷
作用在xy坐标面内，且沿z轴方向均
匀分布。其力学特点是：
x 0, xz 0, yz 0
图4-2(b) 平面应变问题
但一般情况下 z 0 。
，
平面应变问题的弹性矩阵只需将式(4-1)中的E换成 E
换成
1 即可。
1 2
1
D
E(1 u) (1 )(1 2)
第四章 平面结构问题的有限单元法
4.1 平面应力问题 4.2 平面应变问题 4.3 平面问题的离散化 4.4 平面三结点三角形单元 4.5 ANSYS平面结构计算示例
平面结构问题的有限单元法
1
第四章 平面结构问题的有限单元法
严格地说，任何弹性体都是处于三维受力状态， 因而都是空间问题，但是在一定条件下，许多空间问 题都可以简化成平面问题。
z 0, xz zx 0, yz zy 0,
。
z 0
图4-2(a) 平面应力问题
平面应力问题的应力应变转换矩阵即弹性矩阵为：
D
E 1
2
1
0
1 0
0
0
1
平面结 构问题的有2限单元法
3
第四章 平面结构问题的有限单元法
4.2 平面应变问题
图示为一圆形涵洞的横截面。
其长度方向上的尺寸远比其它两个
i、j、m
Nivi
i、j、m
写成矩阵形式
ui
vi
{
f
}
uvBiblioteka Ni00 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
u v
j j
[INi
IN j
INm ]{}e
u
m
vm
(4-11) (4-12)
平面结构问题的有限单元法
11
第四章 平面结构问题的有限单元法
4.4.3 单元的应力与应变
位移函数矩阵形式：uvxx
y 1 y 0
x 0
y 0
0 1
0 x
0 y
3 4
5
平面结构问题的有限单元法
6
7
第四章 平面结构问题的有限单元法
简写为： f M
由于位移函数适用于单元中的任意一点，所以带入 3个结点的坐标后，得出结点处位移函数为
ui 1 xi
vi
0
0
yi 0 0 0 1 xi
u
1 2
[(ai
bi x
ci
y)ui
(a
j
bj
x
c
j
y)u
j
(am
bm x
cm
y)um
]
v
1
2i. j.m
1 2 [(ai
(ai bi x bi x ci
ci y)ui y)vi (a
j
bj
x
c
j
y)v
j
(am
bm x
cm
y)vm
]
(4-9)
1 2i. j.m
(ai bi x ci y)vi
bi
0 bj
0 bm
0
[ A]1
1 2
c0i
0 ai
cj 0
0 aj
cm 0
0
am
0
bi
0 ci
0 bj 0 cj
0
bm
0 cm
其中， 是三角形单元的面积，当三角形单元结
点i、j、m按逆时针次序排列时，则有
1 2
1 2 (xi y j
x j ym
xm yi )
1 2 (x j yi
xm y j
xi ym )
平面结构问题的有限单元法
9
第四章 平面结构问题的有限单元法
ai
xj xm
yj ym
x
j
ym
x m
y
1
bi
1
yj ym
y j ym
1 ci 1
xj xm
xm x j
其中记号
表示将i、j、m进行轮换后，可得
出另外两组带脚标的a、b、c的公式。
单元位移函数为结点位移的插值函数，即
由几何方程知
{ }
x y
xy
x 0
y
0
y
uv
x
(4-13)
将式(4-9)代入式(4-13)中，并求偏导数，得
x y
xy
1
2 1
2
1
2
(bi u i (ci vi (ci ui
b ju j bmum )
c jv j cmvm )
c ju j cmum ) (bivi b j v j
图4-4 平面问题有限单元法的计算力学模型
平面结构问题的有限单元法
6
第四章 平面结构问题的有限单元法
4.4 平面三结点三角形单元
4.1.1 位移函数
如果把弹性体离散成为有限 个单元体，而且单元很小时，就 很容易利用其结点的位移，构造 出单元的位移插值函数，即位移 函数。
图4-5 三角形单元
1
2
0 1
yi
2
u v
j j
1 0
xj 0
yj 0
00 1 xj
0 yj
3 4
u
m
1
xm
ym
0
0
0
vm 0 0 0 1 xm ym 6
简写为：{}e A
平面结构问题的有限单元法
8
第四章 平面结构问题的有限单元法
4.4.2 形函数矩阵
解出
[ A]1{ }e
ai 0 a j 0 am 0
平面结构问题的有限单元法
bmvm )
12
第四章 平面结构问题的有限单元法
x y
xy
1 21 21 2
(bi ui (ci vi (ci ui
1
1
1
0
0
0
0
1 2
2(1 )
平面结构问题的有限单元法
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第四章 平面结构问题的有限单元法
无论是平面应力问题还是平面应变问题的应力
与 应变 之间的关系均为：
D 0 ，其中：
x
y
T xy
式中 0 为初应变。
x
y
T xy
4.3 平面问题的离散化
(a) 三结点三角形单元 (b) 四结点正方形单元 (c) 四结点矩形单元 (d) 四结点四边形单元