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第2章弹性力学平面问题有限单元法2.1 三角形单元(triangular Element)三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是:①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。
一、结点位移和结点力列阵设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。
在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x、y两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为：相应结点力列阵为: (式2-1-1)二、单元位移函数和形状函数前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。
即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。
构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。
以位移(u i ,v i ,…u m v m )为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。
在平面应力问题中，有u,v两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成:(,)123u u x y x yααα==++546(,)v v x y x yααα==++(2-1-2)a式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标) {}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=mjimeddddmjjivuvuvui{}iijjmXYX(2-1-1)YXYiejmmFF FF⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭确定。
将3个结点坐标(x i,y i ),(x j,y j ),(x m,y m )代入上式得如下两组线性方程:123i i i u x y ααα=++ 123j j j u x y ααα=++ (a)123m m m u x y ααα=++和546i i i v x y ααα=++ 546j j j v x y ααα=++ (b)546m m m v x y ααα=++利用线性代数中解方程组的克来姆法则,由(a)可解出待定常数1α 、2α 、3α :11A Aα=22A Aα=33A Aα=式中行列式:1i i i j j j m m m u x y A u x y u x y =2111i i j j m mu y A u y u y =3111i i j j m m x u A x u x u = 2111i i j j m mAx y A x y x y ==A 为△ijm 的面积,只要A 不为0,则可由上式解出:11()2m m i ij j a u a u a u A α=++ 21()2m m i ij j bu b u b u A α=++ （C ）31()2m mi i j j c u c u c u A α=++式中:m m i j j a x y x y =- m m j i i a x y x y =- m i j j i a x y x y =-m i j b y y =- m j i b y y =- m i j b y y =- （d ）m i j c x x =- m j i c x x =- m j i c x x =-为了书写方便，可将上式记为: m m i j ia x y x y =-m ij by y =- (,,)i j m u u u u ruu u u r m i jc x x =-(,,)i j m u u u u ru u u u r表示按顺序调换下标,即代表采用i,j,m 作轮换的方式便可得到(d)式。
第三章平面问题有限单元法3.1平面问题的单元划分1. 问题的提出（1）连续体上无自然的结点和单元分界面，必须人为地用若干个离算点将连续体划分为有限个单元（2）没有通用的公式能描述节点位移和单元内任一点的位移及应力关系，应该选择适当的位移函数来建立这种关系2. 要求（1）几何近似：计算模型应在几何上与原型和结构近似（2）物理近似：离算的单元的物理力学性质与原型近似（3）边界条件近似3. 离算化过程及内容（1）确定计算模型几何形状和尺寸，包括边界约束条件和荷载情况；（2）选择单元类型，用有限个单元划分求解区域；（3）单元和结点编号为保证单元面积不为负，单元结点应按逆时针编号4. 定义单元（1）定义每个单元的节点编号：i,j,k,…;（2）定义每个单元结点在总体坐标系中的坐标i(x,y) j(x,y) k(x,y)（3）给出每个单元的材料性质：E cμγϕ、、、、用于平面问题离散化单元主要有：三角形三结点单元（简称三角形单元）、三角形6节点单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元、任意四边形单元5. 划分求解域注意事项（1）曲线边界，可用多段直线模拟；（2）每个三角形（四边形）单元，边长比不应过于悬殊，以免计算误差过大或者奇异；（3）任一单元的顶点必须是相邻单元的顶点，不能是内点；（4）重点区域加密处理；（5）荷载突变处（均布荷载及集中荷载）加密处理，突变处需设置结点；（6）材料性质差异悬殊处应分别划分单元；（7）充分利用对称性进行简化处理；（8）兼顾精度和经济性。
3.2单元的位移函数及插值函数根据有限元法的基本思路，将弹性体离散成有限个单元体的组合，以结点的位移作为未知量。
弹性体内实际的位移分布可以用单元内的位移分布函数来分块近似地表示。
在单元内的位移变化可以假定一个函数来表示，这个函数称为单元位移函数、或单元位移模式。
对于弹性力学平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，...26524321++++++=y a xy a x a y a x a a u...26524321++++++=y b xy b x b y b x b b v（3.1）多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。
第三章 平面问题有限单元法习题答案3-2图示等腰直角三角形单元，设μ=1/4，记杨氏弹性模量E ，厚度为t ，求形函数矩阵[N ]、应变矩阵[B ]、应力矩阵[S ]与单元刚度矩阵[K ]e 。
【解】：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=-=-=-=-=-=-=i j m j i m i j j i mm i j i m j m i i m j j m i m j i j m m j i xx c y y b y x y x a x x c y y b y x y x a x x c y y b y x y x a ,,,,,,⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=-==-==-==-==-==-==-==-=aa c a ab a a a a a ac b a a a c a a b a a m m mj j j i i i 0,0,0*0*0,000,00**0000,0,0*00*02 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡=m jim j iN N N N N N N 0000 ),,()(21m j i y c x b a AN i i i i ++=221001010121a a a A ==[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=--=--==++==++=y x a y x yx a y x a N ay x a ay ax a a N ay ay x a N a x y ax a N m j i 0000001)(1)00(1)00(12222aaj(0,a)[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+-=10003101310310001310311103)411(24121000141410411411)421)(41()411()1(22100011011)21)(1()1(E E E E D μμμμμμμμμ[][]321B B B B =⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=-==-==-==-==-==-==-==-=aa c a ab a a a a a ac b a a a c a a b a a m m mj j j i i i 0,0,0*0*0,000,00**0000,0,0*00*02 [][][][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11011010100001000111110011011000110000110000100212a B a B a B a a a a B b c c b AB m j i i ii ii[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10003101310E D []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=1101101010000100011a B[][][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==1101103130011310031011011010100001000110003101310a E a E B D S[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10003101310E D []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=1101101010000100011a B[][][][]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==42311124111331300111011011011013100320211101101010000100011000310131101101010000100011022Et a t a E tAB D B K TT e3-3正方形薄板，受力与约束如图所示，划分为两个三角形单元，μ=1/4，板厚为t ，求各节点位移与应力。
