回归教材高考试题

- 1 - 新课标2013年高考物理考前十天回归教材九
(电磁感应)
第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题(本题共10小题，每题4分，共40分．有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确，把正确选项前的字母填在题后的括号内
)
图1
1．如图1所示，闭合圆导线圈平行地放置在匀强磁场中，其中ac 、bd 分别是平行、垂直于磁场方向的两直径．试分析线圈做如下运动时，能产生感应电流的是( )
A ．使线圈在纸面内平动或转动
B ．使线圈平面沿垂直纸面方向向纸外平动
C ．使线圈以ac 为轴转动
D ．使线圈以bd 为轴转动
解析：使线圈在纸面内平动或转动，沿垂直纸面方向向纸外平动或以ac 为轴转动，线圈中的磁通量始终为零，不变化，无感应电流产生；以bd 为轴转动时，线圈中的磁通量不断变化，能产生感应电流，所以D 选项正确．
答案：D
2．如图2所示，螺线管的导线的两端与两平行金属板相接，一个带负电的小球用丝线悬挂在两金屑板间，并处于静止状态，若条形磁铁突然插入线圈时，小球的运动情况是(
)
图2
A ．向左摆动
B ．向右摆动
C ．保持静止
D ．无法判定
解析：当条形磁铁插入线圈中时，线圈中向左的磁场增强．由楞次定律可判定金属板左端电势高，故带负电的小球将向左摆动，A 正确．
答案：A
3．如图3所示，AOC 是光滑的金属轨道，AO 沿竖直方向，OC 沿水平方向，PQ 是一根金属直杆如图所示立在导轨上，直杆从图示位置由静止开始在重力作用下运动，运动过程中Q。

3借助在平行四边行A BCD 中如图(6)有22222()A B BC A C BD +=+,∴22221()()()222A C BD AB BC =+,即三角形中第三边为定长时,两边的平方和22()A B BC +与第三边上的中线同时取最大(小)值,因此,容易看出符合条件的位置为D 点(达到最小值),E 点(达到最大值),4,6OD OE ==,可得所求最大、最小值分别为80、40.从以上题例可以看出,线性规划是我们解题过程中进行数形结合的一种好的有效的方法.它直观.明了,容易让学生接受,而应用此方法解题,往往能起到事半功倍的效果,并能很好地开拓学生的思维视野,培养学生的发散思维能力和创造性思维能力.一道引领高三学生回归课本的好题——评析2006年高考福建卷(理)第22题福建福清第三中学李云杰1问题提出人教版高一上课本复习参考题三P136的第14题为:已知数列{}n a 是等差数列.1a =1,设211222n c =++++",求证:121144a a "14(1)nna a c =+.通过改编成为,2006年高考福建卷(理)第22题.已知数列{}n a 满足*111,21()n n a a a n N +==+∈.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足12111444nbb b ="(1)nb n a +,证明{}n b 是等差数列;(3)证明:*122311()232n n a a a n nn N a a a +<++<∈".本试题主要考查数列、不等式基本知识,考查化归的数学思想方法,考查代数推理等综合解题能力.下面我们从试题的命制、背景、思想方法、知识延伸和反思启示来剖析这一道题.2考题探源2006年福建省高考数学考试说明指出:命题应认真研究教材,挖掘教材中相关知识的教育价值与功能.本题题干条件,数列{}n a 满足111,2n n a a a +==*1()n N +∈,有深厚的数学文化背景.2.1河内塔(梵塔)问题河内塔问题是印度的一个古老的传说.开天辟地的神勃拉玛在一个庙里留下了三根金刚石的棒,第一根上面套着64个圆的金片,最大的一个在底下,其余一个比一个小,依次叠上去,庙里的众僧不倦地把它们一个个地从这根棒搬到另一根棒上,规定可利用中间的一根棒作为帮助,但每次只能搬一个,而且大的不能放在小的上面.显然,众僧们耗尽毕生精力也不可能完成金片的移动.(1)河内塔问题的情境性设有n 个银片,大小不同,从大到小排列在三根金棒中的一根.这些银片要搬到另一根金棒上,每次搬一个.第三根金棒作为银片暂时摆放用.在搬动过程中,仍要保持大片在下,小片在上,问要搬动多少次,才能将所有银片从一根棒搬到另一根,且搬完后银片相对位置不变？评注:改编成一道解答题,体现结论的一般化与推广的过程,培养学生数学的归纳能力和阅读能力,并在解题中体会数学的化归思想.(2)河内塔问题的求解主要有两个思路,一是采用“归纳——猜想——证明”的方法;二是寻找n a 与前面各项之间的关系,由题设条件列出等式.显然,“归纳——猜想——证明”法较常见,但递推方法更实用.解法一令用n a 表所求的搬动次数,显然121,3a a ==,由操作易知347,15a a ==,于是可猜想21n n a =,再用数学归纳法证明.解法二令用表所求的搬动次数,把第4n a35一棒n 个银片的1n 个搬到第三棒,再将最大一个银片搬到第二棒,然后又将第三棒上的1n 个片搬到第二棒上,如此继续,可完成这次搬动任务.因为搬1n 个银片从一棒到另一棒需1n a 次,故可得递推式121n n a a =+,11a =.对递推式121n n a a =+,11a =的求解.最后,可得21n n a =,就是2006年高考试题第一小题,数列{}n a 的通项公式.3化归思想数列这一章,教材重点是介绍了等差数列和等比数列,其它递推数列一般均可以化归为这两个基本数列.河内塔问题渗透的是一种化归的思想,递推式121n n a a =+,11a =的求解方法较多.比如,迭代法、转化为等比数列、直接使用待定系数法、转化为二阶常系数齐次递推数列等.下面,我们将问题一般化为:1n n a pa +=+q (,p q 为常数,0,1pq p ≠≠).要探究这个递推数列通项问题,我们先给出两个常用数列模型的结论:(1)1()n n a a f n +=+,通项公式为1111()n n k a a f k +==+∑.(2)1(),(()0)n n a f n a f n +=≠,通项公式为1111()n n k a a f k +==∏.则我们可以将递推问题1n n a pa q +=+化归为以上两个数列模型.3.1方法点拨将递推问题1n n a pa q +=+(1)p ≠去掉p 可转化为类型(1),去掉q 可转化为(2),有如下思路.思路1两边同除以1n p +得11n nn na a p p ++=+1n q p +.数列{}nna p 即为类型(1);思路211()n n n n a a pa q pa q +=++1()nn p a a =.数列1{}n n a a +即为类型(2);思路3引入待定参数λ,使λ+=()()n n p a p a λλ=,数列{}n a λ即为类型(2).要定出λ,只需把所构造递推式与原递推式比较得(1),1qp q pλλ==.应用(1)或(2)通项公式,不难得到此类型通项公式为:111(1)1n n n q p a a p p =+.3.2回归课本,知识变式延伸为了体现高考命题的公平性,通常都会依据课本,所以不少高考数学试题都能在课本上找到“影子”,不少高考题就是对课本原题的变型、改造及综合.因而高三复习,应该引导学生回归课本,对着课本目录回忆和梳理知识,把重点放在掌握例题涵盖的知识及解题方法上,选择一些针对性极强的题目进行强化训练,复习才有实效.下面对*111,21()n n a a a n N +==+∈继续进行研究.变式1数列{}n a 中,121/2,1,n a a a ===241(2)na n +>,求{}n a 的通项公式;变式1告诉我们,数列的奇数项、偶数项都加1/3后,各自成等比数列.即利用隔项数列解题,这与2004年全国卷1的22题,(已知数列{}n a 中11a =,且221(1)k k k a a =+,21k a +=2k a 3k +,其中k 1,2,3,=",求{}n a 的通项公式)解题思路完全一致.拓展变式2把1n n a pa q +=+进行加工,可以得到如下问题,求它们的通项公式.变式2.111(0)n n n n a a pa pa p +=+≠;变式2.211(,0)n n n a pa qa p q +=+≠,此类型称为二阶线性递归关系;变式2.311(0)n n n a pa qa A pqA +=++≠,此类型称为二阶线性非齐次递归关系;变式2.4110(n n n n pa a qa ra pr ++++=≠0,n a 0)≠;变式2.5110n n n n A a a Ba ca d +++++=(0)A d ≠.这五个变式都有一定的研究价值,是高三数学开展研究性学习的好素材.分析历年高考试题,细心的一线教师会意识到这五个变式在理科数列试题当中的作用.高三复习1n a36中,对课本题目进行小题大做,变式深化,最终与高考试题衔接.这样既能使学生发挥潜能,探索创新,亲历课本题目演变成高考试题的过程,有利于减少学生对高考试题的害怕心理;又能充分发挥课本的基础作用,丰富课本的内涵,创造性的使用课本.当然,回归课本,不是强记题型、死背结论,而是要抓纲悟本,体会方法与思想.课本中的题目具有紧扣教材,简明扼要、难度适中,方法典型,符合“通性通法”的特点,是知识和能力的重要载体.4反思与启示扎实的基础知识、基本技能的掌握和熟练的基本数学思想和方法的运用,是灵活运用知识分析问题和解决问题的前提和保障.因此,复习时一定要狠抓基础知识的复习、基本技能的训练和基本方法的熟练运用.这就需要我们回归课本,夯实基础,才能提高数学复习的整体效益.那如何运用课本呢？不是简单的重复,可以指导学生做到以下4点:(1)在复习每一课题时,必须联系课本中的相应部分,不仅要弄懂课本提供的知识和方法,还要弄清定理、公式的推导过程和例题的求解过程,揭示例、习题之间的联系及其变换.如重温《等差数列的前n 项和》时,要深入对公式进行多种推导,在推导中让学生体会丰富多彩的数学方法,叠加法、迭代法等.(2)在解高考训练题时如果遇到障碍,应有查阅课本的习惯,通过课本查明我们在知识和方法上的缺陷,尽可能把问题回归为课本中的例题和习题.(3)在复习的训练过程中,我们会积累很多解题经验和方法,其中不乏一些规律性的东西,要注意从课本中探寻这些经验、方法和规律的依据.注重对知识过程的分析,让知识上升为方法,进而方法上升为思想.(4)注意通过课本题目的知识背景、来源等方面加以思考,改变设问方式、增加或减少变动因素和必要的引申、推广来扩大题目的训练功能.近几年来,特别是实行分省命题以来,许多试题设计独具匠心,令人回味无穷,但有一个共同点,各省命题都很注重对课本的开发、利用.这种导向作用,要求我们无论复习哪部分内容,我们都应该认真地对照课本,应有查阅课本的习惯.通过课本查明我们在知识和方法上的缺陷,尽可能把问题回归为课本中的例题和习题.要让学生学会灵活运用课本知识,自主探究深化课本内容的思想方法,以此来培养学生的创新意识和探究能力,提高学生的数学素养,摆脱题海的束缚,为高考成功打下坚实的基础.在学生学习及其有限的时间内,让学生做大量练习,势必剥夺学生思考的时间、空间.学生只会学到僵化的题型,数学能力低下,失去了做题的真正价值,更何况做大量的习题也未必能够押到宝.我们应该发挥课本的基础和示范作用,注重基础,用好课本,因为课本是知识和方法的重要载体,是高考试题的主要来源.省内部分重点校的高三数学备课组,要求各成员采取按专题,对课本各章节习题进行改编,我想这也是回归课本的一个途径.在探究课本知识中见能力,在研讨课本例题方法中见思想,应成为我们高三课堂解题教学的基础.编辑：《福建中学数学》编辑部（福建师大数学系350007fjzxsx@ ）（月刊）印刷：福建师范大学印刷厂2006年第11期发行：福州市邮政局（总第179期）订购：全国各地邮局（所）邮发代号3－二O O 六年十一月二十日出版国内统一刊号：N35－O 定价元福建中学数学49C 1084/1:2.00。

２０２４年１月上半月㊀教材点击㊀㊀㊀㊀真题追本溯源,回归教材本源以２０２３年高考数学新高考Ⅰ卷第８题为例◉安徽省铜陵市第三中学㊀丁学智㊀㊀摘要:高中数学教材中的一些典型例(习)题,具有相关模块知识的典型性与应用,也一直是高考数学命题的基本源泉之一．结合一道三角函数求值的高考真题的追根溯源,挖掘根源所在,开拓解题思路,总结性质规律,合理回归教材并挖掘教材知识,有效指导数学教学与复习备考．关键词:三角函数;公式;换元;教材;习题㊀㊀高中数学教材例(习)题往往是每年高考数学命题的一个重要脚本,回归教材本源,合理挖掘教材例(习)题的各个方面,基于数学问题场景㊁数学知识结构与数学思想方法等,全面构建相应的数学知识网络体系,架构数学基础知识之间的巧妙链接与综合应用,形成数学能力,合理渗透并应用到高考命题中去．１高考真题呈现(２０２３年新高考Ⅰ卷 ８)已知s i n(α－β)＝１３, c o sαs i nβ＝１６,则c o s(２α＋２β)＝(㊀㊀)．A．７９㊀㊀㊀B．１９㊀㊀㊀C．－１９㊀㊀㊀D．－７９此题通过两角差的三角函数值㊁两单角三角函数值的积来设置问题场景,利用两角和的二倍角的三角函数值的求解来创设问题,是高考中三角函数求值问题的一种基本题型与综合应用．三角函数求值的几种常见类型: 给角求值 给值求值 给值求角 等．解决问题的基本思路就是建立题设条件与所求结论之间函数值㊁函数名㊁角㊁运算式等要素之间的联系,结合相关的三角函数公式加以合理变换与转化,从而实现函数值㊁角等的求解与应用．２真题破解解法１:两角差的正弦公式法．因为s i n(α－β)＝s i nαc o sβ－c o sαs i nβ＝１３,而c o sαs i nβ＝１６,可得s i nαc o sβ＝１３＋１６＝１２,所以s i n(α＋β)＝s i nαc o sβ＋c o sαs i nβ＝１２＋１６＝２３．所以c o s(２α＋２β)＝１－２s i n２(α＋β)＝１－２ˑ(２３)２＝１９．故选:B．解法２:积化和差公式法．由c o sαs i nβ＝１６,利用积化和差公式,可得c o sα s i nβ＝１２[s i n(α＋β)－s i n(α－β)]＝１６．又s i n(α－β)＝１３,可得s i n(α＋β)＝１６ˑ２＋１３＝２３,所以c o s(２α＋２β)＝c o s２(α＋β)＝１－２s i n２(α＋β)＝１－２ˑ(２３)２＝１９．故选:B．解法３:换元法．设α－β＝γ,则α＝β＋γ,s i nγ＝１３．而c o sαs i nβ＝１６,即c o s(β＋γ)s i nβ＝１６,所以c o sβc o sγs i nβ－s i nγs i n２β＝１６．所以１２c o sγs i n２β－s i nγ １２(１－c o s２β)＝１６,即１２c o sγs i n２β－１２s i nγ＋１２s i nγc o s２β＝１６．所以１２s i n(２β＋γ)＝１３,即s i n(２β＋γ)＝２３．所以c o s(２α＋２β)＝c o s(４β＋２γ)＝１－２s i n２(２β＋γ)＝１－２ˑ(２３)２＝１９．故选:B．解后反思:涉及三角函数中的 给值求值 问题,借助题设条件,方法１中从两角差的正弦公式入手来变换,解法２中从积化和差公式的应用来转化,解法３１１教材点击２０２４年１月上半月㊀㊀㊀中从整体换元思维来切入,进而利用三角函数关系式的变形与转化,结合二倍角公式来分析与求解．其中解法１是最为常见的解题方法,也是解决问题的 通性通法 ,需要加以熟练掌握．而借助思维视角的改变,也有其他相关的技巧方法可以达到求解目的．３追本溯源追本溯源,该题是在高中数学教材的课后习题的基础上,依据数学基础知识,从命题形式㊁条件转化㊁结论设置㊁能力提升与综合应用等方面,开拓数学思维,改变对应问题的设置,从而实现问题的应用．习题㊀ 人民教育出版社２０１９年«数学»(必修第一册)第五章 三角函数 第２２９页习题５．５第９题已知s i n (α＋β)＝１２,s i n (α－β)＝１３．求证:(１)s i n αc o s β＝５c o s αs i n β;(２)t a n α＝５t a n β．该教材习题通过s i n (α＋β),s i n (α－β)与s i n α c o s β,c o s αs i n β之间的关系,合理设置已知条件与所求结论,以证明的方式来创设,是三角函数求值的另一种表达方式,达到三角函数求值的综合应用目的．以上教材习题的证明过程与技巧方法,可以参照上文原高考真题的解析过程,这里不再展开．其实,涉及三角函数求值的综合应用问题,是高中数学的一个重要知识点,也是各级㊁各类考试中的一个基本考点,难度一般比较简单或中等．４变式拓展变式㊀(湖北省２０２４届新高三腾云联盟八月联考数学试题)已知π２＜α＜３π２,－π２＜β＜０,且s i n α＋s i n β＝３(c o s α＋c o s β),则下列结论一定不正确的是(㊀㊀)．A．c o s (α－β)＝－１B ．s i n (α－β)＝０C ．c o s (α＋β)＝－１２D．s i n (α＋β)＝－３２分析:根据题设条件,抓住给出的三角函数关系式的两边比较工整,且均是两角正弦值(或余弦值)的和式特征,可以直接利用三角函数的和差化积公式加以转化,利用三角函数关系式的恒等变形,并结合角的取值范围来分析与判断所给结论是否成立．解:由s i n α＋s i n β＝３(c o s α＋c o s β),利用三角函数的和差化积公式,可得２s i n α＋β２c o s α－β２＝２３c o s α＋β２c o s α－β２．整理有c o s α－β２(s i n α＋β２－３c o s α＋β２)＝０．结合辅助角公式,得２c o s α－β２s i n (α＋β２－π３)＝０．由π２＜α＜３π２,－π２＜β＜０,可得π４＜α－β２＜π,－π３＜α＋β２－π３＜５π１２,故α－β２＝π２或α＋β２－π３＝０,解得α－β＝π或α＋β＝２π３．故选:D ．５教学启示５．１熟练掌握公式,把握常规方法解决三角函数求值问题的关键,就是充分挖掘题设条件与所求结论中的函数值㊁函数名㊁角㊁运算式等要素之间的联系,结合同角三角函数基本关系式㊁诱导公式㊁三角恒等变换公式以及解三角形中的相关定理等进行巧妙的 变 变角㊁变名㊁变式,如图１．图１由题设条件入手,到所求结论为止,构建联系,合理求 变 ,化归与转化,实现三角函数值的求解．５．２落实教材本源,探寻问题内涵脚踏实地,认真研究和学习高中数学教材中的基础知识与相关的例(习)题,从数学知识根源上去深入㊁研究㊁理解㊁掌握,充分把握数学基础知识的基本内涵与实质,以不变应万变,这才能真正发挥高中数学教材的最大作用．我们知道,高中数学教材的基础知识与对应的例(习)题等相关内容,都具有其他数学教学参考书㊁习题集等所不可替代的作用和教育教学功能,具有典型性,起到总结成功经验与标杆等方面的作用．教师要合理引导学生深入领会高中数学教材中对应例(习)题所展示出来的知识内涵与命题意图,并加以研究和开发,合理追根溯源．真正达到 双减 的目的,减少所谓的 补充内容 ,减少资料书的使用,真真切切地做到为学生减负,同时又能够增加学生动手㊁动脑等方面的能力,提高学习兴趣,是一举多得的好事情．Z２１。