微分形式的基本方程_流体力学

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流体力学-N-S方程

dvx v x v x v x v x 1 p 2 vx vx vy vz x dt t x y z dvy v y v y v y v y 1 p 2 Y vy vx vy vz y dt t x y z 1 p 2 dvz v z v z v z v z Z vz vx vy vz z dt t x y z X
实际流体的运动微分方程
——纳维-斯托克斯方程式（N-S方程式）
以应力表示的黏性流体运动微分方程式
• 一、作用在流体微元上的应力在粘性不起作用的平衡流体中，或者在没有粘性的理想运动流体中，作用在流体微元表面上的表面力只有与表面相垂直的压应力，而且压应力又具有一点上各向同性的性质。
图一
v x x v y
（6）
由式（6）可以看出，由于各个方向的直线应变速度不见得相等，因而这种由于粘性阻碍作用所产生的法向应力也是各向不等的，p'xxp'yyp'zz统称为一点上的各项异性压强。 • 于是在实际流体运动时，一点上的法向应力除了由于分子运动统计平均的各向同性压强p之外，还需加上由于粘性影响而与直线变形有关的各向异性压强，最后可以得到法向应力与直线应变速度之间的关系为
（9）
此式说明一点上的各向同性压强也就是不可压缩实际流体中不同方向压强的算术平均值。这给具体计算实际流体中的压强带来很大的方便，我们无需进一步研究各向异性压强，只要找出各向同性压强与其他流动参数之间的关系，则据此算出的各向同性压强事实上也就是不可压缩实际运动流体一点上的流体动压强。
p的含义
但是在运动着的实际流体中取出边长dx、dy、 dz的六面体微元，如右图1多示，由于粘性影响，当微元有剪切变形时，作用在微元体ABCDEFGH上的表面力就不仅有压应力p，而且也有切应力τ 。当微元有直线变形时，一点上的压应力也不再具有各项同性的性质了。

B3 微分形式的基本方程

当流场为定常时无需初始条件. 当流场为定常时,无需初始条件. 定常
举例
牛顿粘性流体( 在重力下沿倾角θ [例]牛顿粘性流体(ν=μ/ρ)在重力下沿倾角θ的斜坡做定常层流流动，大气压为p 流层深度为h 做定常层流流动，大气压为 pa=0, 流层深度为 h ，速度﹑体积力和压强分别为
f x = g sin θ , f y = − g cos θ
(4)
B3.3 微分形式的能量方程
如下图所示，取流场中一固定的流体微元为研究对象：如下图所示，取流场中一固定的流体微元为研究对象：
∂ (up xx ) dx dydz up xx + ∂x
up xx dydz
应力所做的功率
x轴方向上应力所做的功率为：轴方向上应力所做的功率为：
p = ρRT
3.在前面的方程组中： 3.在前面的方程组中：在前面的方程组中
(7 )
p xx = τ xx − p
p yy = τ yy − p
p zz = τ zz − p
其中，为正应力；其中，τxx, τyy, τzz—为正应力；p—为微元表面压强
4.若研究对象为牛顿流体，则有： 4.若研究对象为牛顿流体，则有：若研究对象为牛顿流体
∂(up xx ) ∂ (uτ zx ) up xx + dx − up xx dydz + uτ zx + dz − uτ zx dxdy + ∂x ∂z ∂ (uτ yx ) ∂ (uτ yx ) ∂ (up xx ) ∂(uτ zx ) uτ yx + dy − uτ yx dxdz = dxdydz + dxdydz + dxdydz ∂y ∂x ∂z ∂y

流体力学基本方程的推导和应用

流体力学基本方程的推导和应用流体力学是研究流体运动规律的学科，它的基础是一组基本方程。

这些方程描述了流体的质量守恒、动量守恒和能量守恒。

在本文中，我们将推导这些基本方程，并探讨它们在实际应用中的作用。

首先，我们来推导流体力学的质量守恒方程。

根据质量守恒定律，单位时间内通过某一截面的质量应该等于流入该截面的质量减去流出该截面的质量。

设流体的密度为ρ，流体在x方向上的速度为u，流体通过截面的面积为A，则单位时间内通过该截面的质量为ρuA。

假设流体在该截面上的流入速度为u，流出速度为u+Δu，则单位时间内流入该截面的质量为ρuA，单位时间内流出该截面的质量为ρ(Δu)A。

根据质量守恒定律，我们可以得到以下方程：ρuA - ρ(Δu)A = 0通过简化和除以Δt，我们可以得到质量守恒方程的微分形式：∂(ρuA)/∂t + ∂(ρu^2A)/∂x = 0接下来，我们来推导流体力学的动量守恒方程。

根据牛顿第二定律，流体的动量变化率等于作用在流体上的力。

设流体的密度为ρ，流体在x方向上的速度为u，流体在y方向上的速度为v，流体在z方向上的速度为w，则单位体积内的动量为ρu，ρv和ρw。

假设流体受到的力为Fx，Fy和Fz，则根据动量守恒定律，我们可以得到以下方程组：∂(ρu)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρuw)/∂y + ∂(ρu^2)/∂x + ∂(ρuv)/∂y + ∂(ρuw)/∂z = Fx∂(ρv)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρv^2)/∂y + ∂(ρvw)/∂z = Fy∂(ρw)/∂t + ∂(ρuw)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρw^2)/∂z + ∂(ρvw)/∂z = Fz通过简化和除以Δt，我们可以得到动量守恒方程的微分形式：∂(ρu)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρuw)/∂y + ∂(ρu^2)/∂x + ∂(ρuv)/∂y + ∂(ρuw)/∂z = Fx∂(ρv)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρv^2)/∂y + ∂(ρvw)/∂z = Fy∂(ρw)/∂t + ∂(ρuw)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρw^2)/∂z + ∂(ρvw)/∂z = Fz最后，我们来推导流体力学的能量守恒方程。

微分方程在流体力学中的应用

微分方程在流体力学中的应用流体力学是研究流体力学性质和流体力学行为的科学。

在流体力学的研究中，微分方程被广泛应用于描述流体的动力学和运动。

一、流体运动的微分方程描述在流体力学中，我们常用以下两个基本的微分方程来描述流体的运动：1. 运动方程（Navier-Stokes方程）：它是描述流体动量守恒的基本方程，用于描述流体介质内部任意一点的运动状态。

它可以表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中ρ是流体的密度，v是流体的速度矢量，t是时间，∇·表示散度。

2. 运动场的连续性方程（连续方程）：它是描述流体质点的连续性的方程，用于描述流体质点在空间的运动状态。

连续方程可以表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0通过求解这些微分方程，我们可以得到流体的速度分布、压力分布、流量等重要的物理量。

二、在流体力学中的应用案例1. 管道流动问题考虑一个无限长的圆形平面图案，假设进口处有一定的速度和压力，通过微分方程描述流体在管道中的运动状态，可以计算出流体在不同位置的速度和压力分布。

这对于实际的管道流动问题，如输油管道、水管道等的设计和分析非常重要。

2. 气象学中的天气预报流体力学中的微分方程也被广泛应用于天气预报中。

通过测量大气中的温度、湿度等参数，并将其转化为微分方程的形式，可以建立起大气的运动模型，从而预测未来的天气变化情况。

这对于农业生产、交通运输等方面都具有重要的实际意义。

3. 湍流流动湍流是流体力学中一个非常复杂的问题。

通过求解Navier-Stokes方程，可以研究湍流流动中的速度场和压力场的分布规律。

湍流流动在自然界和工程实践中都普遍存在，如河流、大气中的暴风雨等都与湍流有关。

总结：微分方程在流体力学中扮演着重要的角色，它通过描述流体的运动状态和守恒性质，为我们揭示了流体力学的各种现象和规律。

通过求解这些微分方程，我们可以进一步理解和优化流体的运动方式，为实际问题的解决提供有效的数学工具与方法。

工程流体力学22流体平衡微分方程

2
1 6
3 p x 3
dx 2
3
p
p x
dx 2
1 2
2 p x 2
dx 2
2
1 6
3 p x 3
dx 2
3
略去二阶以上无穷小量后，分别等于
p 1 p dx 2 x
p 1 p dx 2 x
第二节流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
垂直于x轴的左、右两微元面上的总压力分别为
第二节流体平衡微分方程
静压强是空间坐标的连续函数
p p(x, y, z)
求静压强分布规律研究平衡状态的一般情况推导平衡微分方程式
流体静力学基本方程
第二节流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
在静止流体中任取一平行六面体的流体微团，边长为 dx，dy，dz的微元，中心点静压强为p(x,y,z)
1 p
f x x 0
第二节流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
同理得
fx
1
p x
0
1 p
f y y 0
fz
1
p z
0
写成矢量形式
f
1
p
0
流体平衡微分方程式欧拉平衡微分方程式
第二节流体平衡微分方程
f
1
p
0
物理意义
在静止流体中，某点单位质量流体的质量力
与静压强的合力相平衡。
第二节流体平衡微分方程
四、等压面 1. 定义
在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面
等压面可以用p(x,y,z)＝常数来表示。 dp=0
几点说明对不同的等压面，其常数值是不同的流体中任意一点只能有一个等压面通过。

流体力学中的三大基本方程

dx
dt
p x
fx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
16
同理可得y,z方向上的：
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
1
p x
fx
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
1
p y
fy
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
1
p z
fz
17
向量形式：
dr
r f
1
gradp
dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
2x
z 2
)
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
fy
1
p y
( 2 y
x2
2 y
y 2
2 y )
z 2
19
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
fz
1
p z
( 2z
x 2
2z
y 2
2z )
z 2
1.
含有四个未知量（
，
x
y，完 z整, P的）方程组。
2. 描述了各种量间的依赖关系。
3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始条件）→特解。

流体力学第五章流体动力学微分形式基本方程

或 D w 0
Dt
第4页退出返回
（5.3a）
第五章流体动力学微分形式基本方程
第一节连续性方程
对于稳定流动， 0，于是式（5.1）变为
t wx wy wz 0
x
y
z
即
w 0
对于不可压缩流体，为常数，则连续性方程为
wx wy wz 0 x y z
即
w 0
和为零，六面体中流体的质量是不变的，即
wx
wy
wz
0
t x
y
z
（5.1）
式（5.1）就是流体的连续性方程。将上式展开，并且注意到
d dt
t
wx
x
wy
y
wz
z
则连续性方程也可写成 1 d wx wy wz 0 dt x y z
（5.2）
写成向量形式 (w) 0
t
（5.3）
Fr
1
p r
w t
wr
w r
w r
w
wz
w z
wr w r
F
1
p r
（5.9）
wz t
wr
wz r
w r
wz
wz
wz z
Fz
1
p z
式中 Fr 、F 、Fz 分别为单位质量的体积力在r、、z方向的分量。
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第五章流体动力学微分形式基本方程
第二节理想流体运动方程
其中，f1至f6是给定的函数。对于稳定流动，流场中各点的物理量不随时间改变，所以不存在初始条
件。
边界条件是指所求物理量在边界上的取值。如对静止的固体壁面，由于

微分形式的基本方程解析课件

Fluid Mechanics and Machinery
连续性方程
B3 微分形式的基本方程
4
质量守恒定律在流体力学中的具体形式。
dt时间内, 流进控制体的流体质量为
uxdydzdt
流出的流体质量为
ux dy
(
ux
ux
x
dx )dydzdt
dz dx
dt时间x轴向流出的净质量:
ux
ux
x
dx
y
Ox z
B3 微分形式的基本方程 12
质量力作用在流体的每个质点（微团）上
并与流体质量成正比的力称为质量力。
A点附近取微团 dm, dV, dF∝dm , 称
lim 质量力极限为f作用在A点F的单d位F质(量N力k。g或m/s 2 )
V 0 m dm
lim
体积力 f
F dF ( N / m3 )
B y
p z
pn pxnx pyny pznz
Fluid Mechanics and Machinery
B3 微分形式的基本方程 23
pn pnxi pnyj pnzk
px pxxi xyj xzk
py yxi pyy j yzk pz zxi zy j pzzk
⊿V是比⊿A高一阶的小量
pnA 0
pn
n
pn
22
pndA pxdAx p ydAy pzdAz 0
pz
pz
,
p x
px
,
p y
n nxi ny j nzk
py
px
z C
dz
p y
n
dx
A
dAx nxdA;dAy nydA;dAz nzdA

流体力学中三大基本方程

（ d t） d x d y d zd x d y d z d td x d y d z
t
t
单位时间内，微元体质量增量：
dtdxd/dyt dzdxdydz
t
t
（微团密度在单位时间内的变率及微团体积的乘积）
⑶根据连续性条件：
t x （ x ） y （ y） z （ z） 0
ax
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
ay
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
az
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程：
得x方向上的运动微分方程：
d d txd x d y d z p xd x d y d z fx d x d y d z
单位体积流体的运动微分方程：
dx
dt
同理可得在单位时间内沿y，z方向流出及流入控制体的质
量差为
vy
d
x
d
yd和z
vz
dxdydz
y
z
故单位时间内流出及流入微元体流体质量总变化为：
x （ x） y （ y） z（ z） dxdydz
⑵控制体内质量变化：
因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：
pxfx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
同理可得y,z方向上的：

流体力学-05 微分形式基本方程

控制面净的质量流率
化工流体力学大连理工大学流体与粉体工程研究设计所刘志军 2010年9月~10月
控制体内的质量变化率为
质量守恒的微分表达式
化工流体力学大连理工大学流体与粉体工程研究设计所刘志军 2010年9月~10月
质量守恒定律表示为
化工流体力学大连理工大学流体与粉体工程研究设计所刘志军 2010年9月~10月
为常数的线在该点处斜率的负倒数
Ψ 为常数的线与 Φ 为常数的线是正交的。为常数的线是正交的
化工流体力学大连理工大学流体与粉体工程研究设计所刘志军 2010年9月~10月
5-6.3 6 3 无旋流动和粘度
速度势只在无旋流动中存在，流函数满足连续性方程，流函数不限定在无旋流动中。在什么条件下能够形成无旋流动？开始不旋转的质点在没有角变形时将不会发展成旋转运动。
化工流体力学大连理工大学流体与粉体工程研究设计所刘志军 2010年9月~10月
Surface Left ( x) (Right (+x) = = = = = = = =
化工流体力学大连理工大学流体与粉体工程研究设计所刘志军 2010年9月~10月
Bottom = ( y) (Top (+y) Back ( z) (Front (+z) = = =
每一个面的性能参数通过相对于O点的泰勒级数展开
化工流体力学大连理工大学流体与粉体工程研究设计所刘志军 2010年9月~10月
Surface Inside = (-r) ( Right = (+r) Front = ( θ) (Back = (+θ ) Bottom = ( z) (Top = (+z)

流体力学3.5 理想流体动力学微分型基本方程

x0 b
y0 b
z0 b
x0 y0 z0
c c c
流体力学第三章
右侧 x, y, z,t dxdydz a,b, c,t Ddadbdc

x y1 z
a a a
其中
D

x, y, z a,b,c

x b
t0时刻, A0 , 0 - - - - - - - t时刻, A,
质点(x0 , y0, z0 ) - - - - - -质点(x, y, z)

x0 y0

f1 a,b, c,t0 f2 a,b, c,t0

x

y

f1 a,b, c,t f2 a,b, c,t
流体力学第三章
第3章
理想流体动力学
流体力学第三章
3.5微分型基本方程组
3.5 理想流体动力学微分型基本方程式
3.5.1 连续方程一、欧拉型连续方程通量法求欧拉型的连续方程
流体力学第三章
在X方向流入的质量为：
udydz

udydz

udydz
x
dx

u
x
dxdydz
u x

v
u y

w
u z

X

1

p x
V t

V

V

F

1

p
vt

u
v x

v
v y

w
v z

Y

流体力学连续性方程微分形式

0 t
适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。
（2）不可压缩流体的连续性微分方程
当为不可压缩流时

u x u y u z 0 x y z
Const
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量），与流出的流体体积（质量）之差等于零。适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
质量守恒定律：单位时间内流出与流入六面体的流体质量差之总和应
等于六面体内因密度变化而减少的质量，即：
[
•
( u x ) x
( u y ) ( u z ) y ]dxdydz dxdydz z t
流体的连续性微分方程的一般形式：
适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流；可压
第三节流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程
1
在流场内取一微元六面体（如图），边长为dx,dy,dz，中心点O流速为（ ux,uy,uz ） D' z C' ux dx ux dx A' dz u B' u z u x x 2 x x 2 o’ M uy ux N 以x轴方向为例： C D ux dx 1 dx dy u u 左表面流速 M A x 2 x B o u x x 1 右表面流速 u N u x dx 2 x y ∴ 单位时间内x方向流出流进的质量流量差： ( u x ) ( u x ) 1 1 M M [ u x dx]dydz [ u x dx]dydz 右左 2 x 2 x ( u x ) x dxdydz

等，即pxx pyy pzz。任一点动压强为：
p xx p p zz ) 3 u

微分型基本方程_449206731

VF = VW , TF = TW
液体——流体界面（互不搀混流体的界面）
1 1 考虑表面张力： ( pn i n ) + − ( pn i n ) − = σ ( + ) R1 R2
V+ = V−
( pn i s ) + = ( pn i s ) − ( pn it ) + = ( pn it ) −
2 pij = [ − p + ( µ ′ − µ )∇iV ]δ ij + 2 µ Sij 3
p = ρ RT ,
e = cvT
独立未知数：
ρ , e, T ,V , p, pij 13个未知数
流体力学方程组的封闭性
二、流体动力学中经常采用封闭方程组
2. 重力场，qR=0，牛顿流体、Fourier定律的不可压缩均质流体
D V2 （ ∫∫∫) ρ e + 2 )dτ 0 = τ∫∫∫) qR ρ dτ 0 + A∫∫t ) qλ dA0 + τ∫∫∫) ( f iV )ρ dτ 0 + A∫∫t（pn iV )dA0 Dt τ 0 ( t 0 (t 0( 0 (t 0( )
D V2 D V2 D V2 （（（ ∫∫∫) ρ e + 2 )dτ 0 = τ∫∫∫) Dt e + 2 )ρ dτ 0 = ∫∫∫ Dt e + 2 )ρ dτ Dt τ 0 ( t τ 0 (t
流体的运动方程——动量守恒
微分形式基本方程 D ∫∫∫) ρVdτ 0 = τ∫∫∫) ρ fdτ 0 + A∫∫t ) pndA0 Dt τ 0 ( t 0 (t 0(
D D DV D DV DV ρVdτ 0 = ∫∫∫ ( ρVdτ 0 ) = ∫∫∫ [ ρ dτ 0 + V ( ρ dτ 0 )] = ∫∫∫ ρ dτ 0 = ∫∫∫ ρ dτ ∫∫∫) Dt τ 0 ( t Dt Dt Dt Dt Dt τ0 (t ) τ0 (t ) τ0 (t ) τ

第4章_流体动力学微分形式的基本方程

u z t
u x x
2u x ) 2 z 2u y ) 2 z 2u z ) 2 z
给出定解条件
初始条件
边界条件
理论上，方程组可解。
2. N－S方程组的特点非线性
二阶
u u u u x x x x x y z ( u u u ) x y z t x y z
除以ΔxΔyΔz，并令 Δx→0,Δy→0,Δz→0 取极限，得出
yx u u u u x x x x xx zx ( u u u ) X x y z t x y z x y z
对于恒定流动： 0 , ( u ) 0 t
u 0 对于不可压缩流体：
u u u y x 或 z 0 x y z
柱坐标下的不可压缩流体连续性方程：
1 ( ru ) 1 u u r z 0 r r r z
存在问题：方程组不闭合（4个方程，9个未知量）。
2. 不可压缩流体的应力与应变率关系

xx
p 2 p 2 p 2
yx
yy
zz
xy

yz
zy
zx
xz
u x x u y y u z z u y u x ( ) x y u y u z ( ) y z u x u z ( ) z x
偏微分
方程组
一般情况下， N－S方程组难于求解。
3. 主要解法
（1）层流精确解对于某些简单流动，非线性项为零，可求得精确解。例如： ① 平行平板间的二维恒定层流运动

流体的微分控制方程

流体的微分控制方程流体力学是研究流体在力的作用下运动规律的学科，而微分控制方程是用来描述流体运动的基本方程。

本文将介绍流体的微分控制方程，并探讨其中的物理意义和应用。

一、质量守恒方程在流体力学中，质量守恒方程描述了流体运动过程中质量的变化情况。

质量守恒方程可以写为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ表示流体的密度，t表示时间，v表示流体的速度矢量，∇表示空间中的梯度运算符，·表示向量的点乘运算符。

质量守恒方程实际上是对流体流动过程中连续性的物理描述，即单位时间内通过流体某一状态面的质量与该状态面内质量的变化率之间的关系。

通过对质量守恒方程的求解，可以得到流体运动的一些基本特征，比如速度分布、压力分布等。

二、动量守恒方程动量守恒方程是描述流体运动中动量变化的方程。

动量守恒方程可以写为：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·τ + ρg其中，p表示流体的静压力，τ表示流体的应力张量，g表示重力加速度。

动量守恒方程实际上是描述力对流体动量变化的贡献，它包括了压力力、应力力和重力力。

通过求解动量守恒方程，可以得到流体流动的速度分布、压力分布以及流动的稳定性等信息。

这对于工程中的流体输送、流体装置的设计和优化等具有重要意义。

三、能量守恒方程能量守恒方程是描述流体运动中能量变化的方程。

能量守恒方程可以写为：∂(ρe)/∂t + ∇·(ρev) = -∇·(pv) + ∇·(k∇T) + ρg·v + Q其中，e表示单位质量流体的内能，T表示温度，k表示热传导系数，Q表示单位体积流体的内部热源。

能量守恒方程描述了流体运动中能量转换和传递的过程。

通过求解能量守恒方程，可以得到流体流动中温度分布、热传导速率等信息。

对于热力学系统、热工装置的设计和优化有着重要的意义。

结语流体的微分控制方程是研究流体运动规律的重要工具。

流体力学基本方程

∂t
∂t
单位时段内控制体内流体质量的增量为：
∂ρ dtdxdydz / dt = ∂ρ dxdydz
(2)
∂t
∂t
− [∂(ρ vx ) + ∂(ρ vy ) + ∂(ρ vz )]dxdydz
(1)∂x∂y Nhomakorabea∂z
∂ρ + ∂(ρ vx ) + ∂(ρ vy ) + ∂(ρ vz ) = 0
∂t ∂x
系统：一团流体的集合，在运动过程中，系统始终包含着确定的这些流体质点。有确定的质量，而这一团流体的表面常常是不断变形的。控制体：控制体是流场中某一确定的空间区域，即相对于坐标系是固定不变的。控制体的表面是控制面，控制体的形状是根据流体运动情况和边界情况选定的。
7
第二节流体运动的基本概念
一、定常流、非定常流
∂v = 2 ∂y
∂w = 4 ∂z
∂u + ∂v + ∂w = 6 + 2 + 4 = 12 ≠ 0 ∂x ∂y ∂z
对不可压缩流体，以上流动不存在。对可压缩流体，因密度的变化未给出，故无法判断。
例题3：假定流管形状不随时间变化，设A为流管的横断面积，且在A断面上流动物理量是均匀的，试证明连续性方程具有下述形式：
20
江苏大学
Jiangsu University
对于定常流动：控制体内的质量增量，所以流入 = 流出
单位时间内流入控制体的质量： ρ v1 A1 单位时间内流出控制体的质量： ρ v2 A2
v1 A1 = v2 A2 Q1 = Q2
例1：如上图所示，有二块平行平板，上板以匀速v向下平移，间隙中的油向左右挤出，前后油液无流动。间隙宽b ，高h(t)，求油的平均流速随位置变化的关系u(x)。

第3章-流体力学连续性方程微分形式

欧拉运动微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz（流场任意相邻两点间距ds 的坐标分量），然而相加得：
( Xdx
Ydy

Zdz)

1
( px
dx

p y
dy

p z
dz)

dux dt
dx

duy d;
<II>
<III>
一、在势流条件下的积分
考虑条件 1、恒定流
当为恒定流时

t

0

(ux
x
)

(uy
y
)

(uz
z
)

0
适用范围：理想、实际、可压缩、不可压缩的恒定流。
（2）不可压缩流体的连续性微分方程
当为不可压缩流时 Const

u x x

u y y

u z z
0
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量），
dt
p'xx 'xz 'xy
x
第三节流体动力学基本方程式
考虑条件：
13
1）
不可压缩流体的连续性微分方程：uxx

uy y

uz z
0
2）切应力与主应力的关系表达式
• 不可压缩粘性流体运动微分方程：纳维埃-斯托克斯方程（Navier-
Stokes，N-S)方程：
X

1
p x
1
第三章流体动力学基础
第三节流体动力学基本方程式
一、连续性微分方程二、理想流体运动微分方程三、粘性流体的运动微分方程

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B3.2.1 体积力和表面力(2-1)
B3.2 作用在流体元上的力 B3.2.1 体积力和表面力 1.体积力
长程力穿越空间作用到流体元上
万有引力电磁力惯性力
与流体元体积成正比
体积力
单位质量流体上的体积力
δ Fb f ( x , y ,z ,t ) l i m δ τ 0 ρ δ τ
B3.3 微分形式的动量方程按牛顿第二定律，长方体流体元的运动方程为
d F d Fs d m d v b dt
各面元上 x 方向表面应力的
分量如图示。
表面力合力 dFsx 由应力梯度造成
τ y x p xx τ dFsx ( dx)dydz ( dy )dxdz ( zx dz )dxdy x y z
Pn n P = (nx , ny , nz ) τ yx τ zx
表面应力的分量式
pn x nx px x ny τ y x nz τz x
pn y nxτx y ny py y nz τz y
pn z nx τx z ny τ y z nz pz z
B3.2.3 应力场(4-3)
应力矩阵表示为
p 0 P 0 p

0
0
0 0 τ yx p τ zx

σx
τ xy σy τ zy
τ xz σz

τ yz
压强矩阵
偏应力矩阵
[例B3.2.3] 平面线性剪切流中的应力状态已知：平面线性剪切流
2.静止流体中的应力状态无切应力静止流体的应力状态只有法向应力
p xx p yy p zz pnn p
0 p 0 P 0 p 0 0 0 p
结论：静止流体中一点的应力状态只用一个标量静压强p表示.
B3.2.3 应力场(4-4)
单位体积流体上的体积力
δ Fb ρ f lim δ τ 0 δ τ
B3.2.1 体积力和表面力(2-2)
2.表面力
短程力通过接触面作用压强粘性切应力与表面面积和方位有关表面力
表面力定义：作用在单位平面面积元上的短程力。
δ Fs pn ( x,y,z,t ) lim δA0 δ A
B3.2.3 应力场(4-2)
作用在外法矢沿x轴向的面积元dAx上三个应力分量如图示
作用在任意方位 n(nx , n y , nz ) 面元上的表面应力

pxx
τ xy p yy τ zy
τ xz τ yz pzz

δ （注意： Fs 和 pn 不一定与δ A 垂直）
n——面积元外法线单位矢－n——面积元内法线单位矢
pn p- n
B3.2.2 重力场
B3.2.2
重力场
在直角坐标系的重力场中
f x 0, f y 0, f z g
f g k π
π gz
称为重力势，代表单位质量流体具有的重力势能
血液循环理论——流体连续性原理的胜利
血液循环图
B3.1.2 微分形式的连续性方程(2-1)
B3.1.2
微分形式的连续性方程
δt 边长为dx,dy,dz的长方体控制体元，内x方向净流出的质量

( ρu) dx dydzδt ρudydzδt ( ρu) dxdydzδt ρu x x
切向应力为
τ xy τ yx μ( u v ) μ(k k ) 0 y x
（1）线应变率处处为零，附加法向应力为零，全流场讨论：的法向应力均等于平衡压强。（2）角变形率也处处为零，全流场的粘性切应力为
零，流体和刚体一样作定轴旋转运动。
B3.3 微分形式的动量方程(2-1)
应力矩阵
pxx τ zx τ xy p yy τ zy τ xz τ yz
pzz

P τ yx
δAx 上的应力分量为 p xxτxyτxz , , δA y 上的应力分量为 τyx,p yyτyz ,
δAz 上的应力分量为 τzxτzy ,p zz ,
τ xy τ yx τ xz τ zx τ yz τ zy

N－S方程的适用条件是：
ρ 常数
，
μ 常数
B3.4 纳维－斯托克斯方程(4-3)
N－S方程的矢量式为
Dv f p 2v
Dt
N－S方程的意义和求解： • 物理意义是：惯性力与体积力、压力、粘性力平衡
• 加上连续性方程 v 0 ，四个方程求解四个未知数 u、v、w、p，方程组是封闭的；
u ky
v0
（k为常数）
求：应力状态解: 附加法向应力
σ x 2μ u 2μ ( k y ) 0 x x
法向应力
σ y 2μ v 0 y
p yy p σ y p
p xx p σ x p
切应力
u v τ xy τ yx μ( ) μ k y x
v u τ xy τ yx μ x y
Hale Waihona Puke pyy p 2 μ v 2 μ v y 3
pzz p 2μ w 2 μ v z 3
不可压缩条件（ρ＝常数）
u w τ xz τ zx μ z x
B3.1.1 流体运动的连续性原理(2-1)
B3.1 微分形式的质量守恒方程 B3.1.1 流体运动的连续性原理质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性。 • 不可压缩流体流进控制体的质量应等于流出控制体的质量，称其为流体运动的连续性原理。 • 历史上对连续性的认识古代，漏壶、水流计时 16世纪，达· 芬奇指出河水流速与河横截面积成反比
同理可得
τ yx p yy τ yz ρ fy ρ(v u v v v w v) x y z t x y z
τ zx τ zy pzz ρ fz ρ(w u w v w w w) x y z t x y z
或改写为：
相对减少率。连续性方程适用于任何同种流体。不可压缩流体连续性方程
v 0
[例B3.1.2] 不可压缩流动连续性方程已知：不可压缩流体平面流动
x y 求： v 解：由不可压缩流动连续性方程的二维形式
2
u
cy
2
（C为常数）
可得
u v v 0 x y
（B3.1.11）
• 在边界条件较简单时可求解析解;在边界条件较复杂时可求数值解;
• 对不同的流动专题可作不同程度的简化（见专题篇）。
B3.4 纳维－斯托克斯方程(4-4)
N－S方程
(
惯性力
v (v )v ) t v (v )v ) t
π fx , x π fy , y π fz z
B3.2.3 应力场(4-1)
B3.2.3
应力场
1.运动粘性流体中的应力状态与作用力的大小、方向、作用面方位有关一点的表面应力用过该点三个坐标面上三组表面力分量唯一确定应力状态

上式称为粘性流体运动一般微分方程，适用于任何流体。
B3.4 纳维－斯托克斯方程(4-1)
B3.4 纳维－斯托克斯方程斯托克斯假设：1.将牛顿粘性定律从一维推广到三维； 2.流体各向同性； 3.静止时法向应力等于静压强。对牛顿流体（μ＝常数）
pxx p 2μ u 2 μ v x 3

v u v v v wv ρ f p μ 2v 2v 2v ρ y y x2 y2 z2 t x y z

w u w v w ww ρ f p μ 2w 2w 2w ρ z z x2 y2 z2 t x y z
ρ ρu ρv ρw ρ (ρ v ) 0 t x y z t
用场量公式并运用质点导数概念，微分形式连续性方程为
Dρ ρ v 0 Dt
1 Dρ ρ Dt 左边代表一点邻域内流体体积的相对膨胀速率，右边代表密度 v
讨论：附加法向应力与该方向的线应变率有关，平面线性剪切流中任一点处在x、y方向的线应变率均为零，因此相应的附加法向应力也均为零，x, y方向的法向应力均等于平衡压强；粘性切应力则在全流场保持常数。
[例B3.2.3A] 刚体旋转流动:纯旋转(2-1) 已知：二维不可压缩平面流场为
u ky
17世纪，哈维发现人体血液循环理论
18世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程
B3.1.1 流体运动的连续性(2-2)
17世纪哈维：血液循环理论
• 解剖发现：从心脏到动脉末端血液单向
流动，从静脉末端到心脏也是单向流动
• 定量测量：每小时流出心脏血液245kg • 大胆预言：从动脉到静脉再回心脏 • 45年后发现：毛细血管的存在
B3.3 微分形式的动量方程(2-2)
x方向的体积力分量为
dFbx dmf x
将dFsx和dFbx代入运动方程，并利用 dm ρdxdydz 和质点导数
概念，可化为
pxx τ xy τ xz ρ fx ρ(u u u v u w u ) x y z t x y z
3.应力的常用表达式运动粘性流体中的(平均)压强
p 1 pxx p yy pzz 3
在法向应力中把压强分离出来
p xx p σ x