微分形式的基本方程_流体力学

B3.2.1 体积力和表面力(2-1)
B3.2 作用在流体元上的力 B3.2.1 体积力和表面力 1.体积力
长程力 穿越空间作用 到流体元上
万有引力 电磁力 惯性力
与流体元体 积成正比
体积力
单位质量流体上的体积力
δ Fb f ( x , y ,z ,t ) l i m δ τ 0 ρ δ τ
B3.3 微分形式的动量方程 按牛顿第二定律，长方体流体元的运动方程为
d F d Fs d m d v b dt
各面元上 x 方向表面应力的
分量如图示。
表面力合力 dFsx 由应力梯度造成
τ y x p xx τ dFsx ( dx)dydz ( dy )dxdz ( zx dz )dxdy x y z
Pn n P = (nx , ny , nz ) τ yx τ zx
表面应力的分量式
pn x nx px x ny τ y x nz τz x
pn y nxτx y ny py y nz τz y
pn z nx τx z ny τ y z nz pz z
B3.2.3 应力场(4-3)
应力矩阵表示为
p 0 P 0 p

0
0
0 0 τ yx p τ zx

σx
τ xy σy τ zy
τ xz σz

τ yz
压强矩阵
偏应力矩阵
[例B3.2.3] 平面线性剪切流中的应力状态 已知：平面线性剪切流
2.静止流体中的应力状态 无切应力 静止流体的应力状态 只有法向应力
p xx p yy p zz pnn p
0 p 0 P 0 p 0 0 0 p
结论：静止流体中一点的应力状态只用一个标量静压强p表示.
B3.2.3 应力场(4-4)
单位体积流体上的体积力
δ Fb ρ f lim δ τ 0 δ τ
B3.2.1 体积力和表面力(2-2)
2.表面力
短程力 通过接触面 作用 压强 粘性切应力 与表面面积 和方位有关 表面力
表面力定义：作用在单位平面面积元上的短程力。
δ Fs pn ( x,y,z,t ) lim δA0 δ A
B3.2.3 应力场(4-2)
作用在外法矢沿x轴向的面积元dAx上三个应力分量如图示
作用在任意方位 n(nx , n y , nz ) 面元上的表面应力

pxx
τ xy p yy τ zy
τ xz τ yz pzz

δ （注意： Fs 和 pn 不一定与δ A 垂直）
n——面积元外法线单位矢 －n——面积元内法线单位矢
pn p- n
B3.2.2 重力场
B3.2.2
重力场
在直角坐标系的重力场中
f x 0, f y 0, f z g
f g k π
π gz
称为重力势，代表单位质量流体具有的重力势能
血液循环理论——流体连续性原理的胜利
血液循环图
B3.1.2 微分形式的连续性方程(2-1)
B3.1.2
微分形式的连续性方程
δt 边长为dx,dy,dz的长方体控制体元， 内x方向净流出的质量

( ρu) dx dydzδt ρudydzδt ( ρu) dxdydzδt ρu x x
切向应力为
τ xy τ yx μ( u v ) μ(k k ) 0 y x
（1）线应变率处处为零，附加法向应力为零，全流场 讨论： 的法向应力均等于平衡压强。 （2）角变形率也处处为零，全流场的粘性切应力为
零，流体和刚体一样作定轴旋转运动。
B3.3 微分形式的动量方程(2-1)
应力矩阵
pxx τ zx τ xy p yy τ zy τ xz τ yz
pzz

P τ yx
δAx 上的应力分量为 p xxτxyτxz , , δA y 上的应力分量为 τyx,p yyτyz ,
δAz 上的应力分量为 τzxτzy ,p zz ,
τ xy τ yx τ xz τ zx τ yz τ zy

N－S方程的适用条件是：
ρ 常数
，
μ 常数
B3.4 纳维－斯托克斯方程(4-3)
N－S方程的矢量式为
Dv f p 2v
Dt
N－S方程的意义和求解： • 物理意义是：惯性力与体积力、压力、粘性力平衡
• 加上连续性方程 v 0 ，四个方程求解四个未知数 u、v、w、p，方程组是封闭的；
u ky
v0
（k为常数）
求： 应力状态 解: 附加法向应力
σ x 2μ u 2μ ( k y ) 0 x x
法向应力
σ y 2μ v 0 y
p yy p σ y p
p xx p σ x p
切应力
u v τ xy τ yx μ( ) μ k y x
v u τ xy τ yx μ x y
Hale Waihona Puke pyy p 2 μ v 2 μ v y 3
pzz p 2μ w 2 μ v z 3
不可压缩条件（ρ＝常数）
u w τ xz τ zx μ z x
B3.1.1 流体运动的连续性原理(2-1)
B3.1 微分形式的质量守恒方程 B3.1.1 流体运动的连续性原理 质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性。 • 不可压缩流体流进控制体的质量应等于流出控制体的质量， 称其为流体运动的连续性原理。 • 历史上对连续性的认识 古 代，漏壶、水流计时 16世纪，达· 芬奇指出河水流速与河横截面积成反比
同理可得
τ yx p yy τ yz ρ fy ρ(v u v v v w v) x y z t x y z
τ zx τ zy pzz ρ fz ρ(w u w v w w w) x y z t x y z
或改写为：
相对减少率。连续性方程适用于任何同种流体。 不可压缩流体连续性方程
v 0
[例B3.1.2] 不可压缩流动连续性方程 已知：不可压缩流体平面流动
x y 求： v 解： 由不可压缩流动连续性方程的二维形式
2
u
cy
2
（C为常数）
可得
u v v 0 x y
（B3.1.11）
• 在边界条件较简单时可求解析解;在边界条件较复杂时 可求数值解;
• 对不同的流动专题可作不同程度的简化（见专题篇）。
B3.4 纳维－斯托克斯方程(4-4)
N－S方程
(
惯性力
v (v )v ) t v (v )v ) t
π fx , x π fy , y π fz z
B3.2.3 应力场(4-1)
B3.2.3
应力场
1.运动粘性流体中的应力状态 与作用力的大小、方向、作用面方位有关 一点的表面 应力 用过该点三个坐标 面上三组表面力分 量唯一确定 应力状态

上式称为粘性流体运动一般微分方程，适用于任何流体。
B3.4 纳维－斯托克斯方程(4-1)
B3.4 纳维－斯托克斯方程 斯托克斯假设：1.将牛顿粘性定律从一维推广到三维； 2.流体各向同性； 3.静止时法向应力等于静压强。 对牛顿流体（μ＝常数）
pxx p 2μ u 2 μ v x 3

v u v v v wv ρ f p μ 2v 2v 2v ρ y y x2 y2 z2 t x y z

w u w v w ww ρ f p μ 2w 2w 2w ρ z z x2 y2 z2 t x y z
ρ ρu ρv ρw ρ (ρ v ) 0 t x y z t
用场量公式并运用质点导数概念，微分形式连续性方程为
Dρ ρ v 0 Dt
1 Dρ ρ Dt 左边代表一点邻域内流体体积的相对膨胀速率，右边代表密度 v
讨论： 附加法向应力与该方向的线应变率有关，平面线性剪切流中任 一点处在x、y方向的线应变率均为零，因此相应的附加法向应力 也均为零，x, y方向的法向应力均等于平衡压强；粘性切应力则 在全流场保持常数。
[例B3.2.3A] 刚体旋转流动:纯旋转(2-1) 已知：二维不可压缩平面流场为
u ky
17世纪，哈维发现人体血液循环理论
18世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程
B3.1.1 流体运动的连续性(2-2)
17世纪哈维：血液循环理论
• 解剖发现：从心脏到动脉末端血液单向
流动，从静脉末端到心脏也 是单向流动
• 定量测量：每小时流出心脏血液245kg • 大胆预言：从动脉到静脉再回心脏 • 45年后发现：毛细血管的存在
B3.3 微分形式的动量方程(2-2)
x方向的体积力分量为
dFbx dmf x
将dFsx和dFbx代入运动方程，并利用 dm ρdxdydz 和质点导数
概念，可化为
pxx τ xy τ xz ρ fx ρ(u u u v u w u ) x y z t x y z
3.应力的常用表达式 运动粘性流体中的(平均)压强
p 1 pxx p yy pzz 3
在法向应力中把压强分离出来
p xx p σ x