巧用导数求和三例

导数应用与数列求和作者：王大成来源：《神州》2011年第31期高中引入了导数概念，给出了导数的定义，讲清楚了导数的几何意义及物理意义，在应用方面也给出了一些例题，主要是解决函数单调性、最值、不等式证明等问题。

但是在数列求和方面的应用基本上还没有涉及到，因此我仅以本文来为导数的应用开辟一条新的途径。

问题一：数列（an）的通项公式an=n×2n-1（n∈N*），求数列（an）的前项和Sn.1.错位相减法：Sn=1×20+2×21+3×22+...+n×2n-1 (1)2Sn=1×21+2×22+...+（n-1）×2n-1+n×2n (2)由（1）-（2）得，-Sn=1+21+22+…+2n-1-n×2n，有-Sn=1+（n-1）×2（n∈N*）2.导数法：令f（x）=x+x2+x3+…xn（x≠0，x≠1）f（x）=1×x0+2x1+3x2+…+nxn-1，所以Sn=f（2），f（x）=x+x2+x3+…+xn=x（1-xn）/1-x，因为f（x）=［1-（n-1）xn］（1-x）+（x-xn-1）/（1-x）2有Sn=f（2）=1+（n-1）×2n定理1：数列（an）的通项公式an=n×pn-1（p≠0，p≠1，n∈N*），其前项n和为Sn，则Sn=1+［（p-1）n-1］pn/（1-p）2。

证明：令f（x）=x+x2+x3+…+xn（x≠0，x≠1），所以，f（x）=1×x0+2x1+3x2+…+nxn-1，所以Sn=f（p），f（x）=x+x2+x3+…+xn=x（1-xn）/1-x，因為f（x）=［1-（n+1）xn］（1-x）+（x-xn-1）/（1-x）2有Sn=f（p）=1+［（p-1）n-1］pn/（1-p）2，证毕。

问题二：数列（cn）的通项公式cn=anbn（n∈N*），其中，an=pn+q（p，q是常数），bn=r·sn-1（rs≠0），求数列（an）前项和Tn。

龙源期刊网
例谈导数与三角函数的结合应用
作者：虞玉华
来源：《理科考试研究·高中》2014年第11期
三角函数作为初等函数的一种，与其他函数一样，学习及研究的相关内容都是一样的，也就是说，我们研究三角函数的性质都是包括函数的单调性、周期性和奇偶性等等.那么，我们运用导数来解决三角函数的问题的思路也是一样的.下面我们用几个具体的例子来归纳这类问题的解题方法.
一、三角函数的单调性
二、三角函数的周期性
三、三角函数的图象
点评根据函数判断大致的图象也是高考中常出现的题目，在判断图象的时候，我们一般是根据函数的奇偶性、周期性等相关的性质进行比对.而这些函数的性质的问题又是通过导数来求解的.因此，这个问题的实质还是函数的性质.
总之，用导数的方法来解决相关的函数问题，是一种便捷且有效的方法.导数的学习可以说是为研究函数引入了一个强大的工具，学生们在数学学习中一定要掌握好这种方法，并学会灵活用于解决函数问题，就能轻松攻克函数这个难关.。

即
(tan x ) sec 2 x .
同理可得 (cot x ) csc 2 x .
例5 求 y sec x 的导数 .
解
1 y (sec x ) ( ) cos x (cos x ) sin x sec x tan x . 2 2 cos x cos x
机动 目录

1
( x 3 4 cos x sin 1) x ( 3 x 2 4 sin x )
上页
下页
返回
结束
例4 求 y tan x 的导数 . 解
sin x y (tan x ) ( ) cos x
(sin x ) cos x sin x(cos x ) cos 2 x 1 cos 2 x sin2 x sec2 x cos 2 x cos 2 x
( 3) [
i 1
n
f1 ( x ) f 2 ( x ) f n ( x ) f i ( x )] f1 ( x ) f 2 ( x ) f n( x )
f i( x ) f k ( x );
i 1 k 1 k i
n
n
二、高阶导数的概念
问题: 变速直线运动的加速度.
y 2 cos x cos x ln x 2 sin x ( sin x ) ln x 1 2 sin x cos x x 1 2 cos 2 x ln x sin 2 x . x
1 例3. y (1 x ) (3 ) , x3
2
解:
x x0
x x0
二阶导函数记作
d 2 y d 2 f ( x) f ( x ), y , 2 或 . 2 dx dx

导数在数列求和中的应用导数进入中学数学教材，给传统的中学数学内容注入了新的生机与活力，怎样利用导数这个工具重新认识原中学课程中求函数的极值和判断函数的单调性的问题，并为其研究提供新的途径和方法，是当今中学数学中的新的课题之一，纵观目前各类刊物，对导数的研究多数停留在函数，解析几何等内容上，而对其他方面关注较少，本文则从一个侧面介绍导数在一类数列求和问题中的应用，以开阔学生视野，拓宽解决这类问题的方法。

高中数学教材必修5有一个习题：求1+2x+3x2+…+nx(n-1)的和Sn。

编者的本意是分三种情况进行求和：①x=0；②x=1；③x≠0且x≠1。

其中第③种情况要用错位相减的方法求。

现在就用导数的方法进行求解。

因为,(xn)’=nxn-1,而且x+x2+x3+…+xn=x(1-xn)/1-x (1)对（1）式两边进行求导数运算，就有：Sn=1+2x+3x2+…+nx(n-1)=(x+x2+x3+…+xn)’=[x(1-xn)/1-x]’=1/(1-x)2[1-(n+1)xn+nxn+1]所以，用上面的方法就可以求通项为(xn+y)qn-1(x、y、q、为常数，其中q≠0且q≠1，x≠0，y≠0)的数列的前n项的和Sn。

因为,(xn+y)qn-1=xnqn-1+yqn-1；所以只需分别求数列{xnqn-1}与{yqn-1}的和，再相加就可以得Sn。

而数列{yq(n-1)}为等比数列，用公式求即可。

设数列{xnqn-1}与{yqn-1}的前n项的和分别为Tn和Dn，则Sn=Tn+Dn，其中Dn=y(1-qn)/1-q。

现在就形如{xnqn-1}的数列用导数运算的方法求其前项的n和Tn。

Tn=x(q0+2q1+3q2+4q3+…nqn-1)=x(q1+q2+q3+…qn)’=x[q(1-qn)/1-q]’=x/(1-q)2[1-(n+1)qn+nqn+1]。

所以Sn=x/(1-q)2[1-(n+1)qn+nqn+1]+y(1-qn)/1-q （2）下面就三个具体的数列进行求和运用。