立体几何中距离问题

立体几何中的距离问题【要点精讲】1．距离空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。

其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度点到平面的距离平面外一点P在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离；求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。

○2等体积法。

直线及平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。

求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。

异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为 ，它们的公垂线AA ′的长度为d ，在a 上有线段A ′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝θcos 2222mn n m d ±++（“±”符号由实际情况选定）点到面的距离的做题过程中思考的几个方面: ①直接作面的垂线求解；②观察点在及面平行的直线上，转化点的位置求解； ③观察点在及面平行的平面上，转化点的位置求解； ④利用坐标向量法求解⑤点在面的斜线上，利用比例关系转化点的位置求解。

**立体几何中的求距离问题**1. **定义与公式**在立体几何中，距离是一个重要的概念。

它表示点与点之间、线与线之间、面与面之间的最短距离。

对于两点A和B，它们之间的距离称为AB的距离，用公式表示为：AB = sqrt[(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²]。

2. **求解方法**求两点间的距离主要依赖于坐标变换和勾股定理。

首先，需要确定两点的三维坐标，然后通过计算两坐标之间的差的平方，再开方得到距离。

3. **实际应用**在实际生活中，距离的概念广泛应用于各种场景，如地理学中的地球距离、物理学中的物体间距离、工程学中的结构尺寸等。

在科学研究和工程实践中，计算距离是一个必不可少的步骤。

4. **易错点**在计算距离时，容易出现错误的地方包括单位不一致、坐标表示错误或计算错误等。

为了避免这些问题，需要仔细检查并确保所有的单位和坐标都是正确的。

5. **真题演练**给定两点A(1,2,3)和B(4,5,6)，求AB的距离。

解：根据公式，AB的距离为：sqrt[(4-1)² + (5-2)² + (6-3)²] = sqrt(9+9+9) = 3*sqrt(3)6. **知识点总结**求两点间的距离主要依赖于坐标变换和勾股定理。

在实际应用中，计算距离是一个重要的步骤。

为了避免错误，需要仔细检查坐标和单位。

7. **未来学习建议**在未来的学习中，可以进一步探索距离在不同领域的应用，如医学影像分析、地理信息系统等。

同时，可以尝试解决更复杂的几何问题，如多维空间中的距离计算、曲面上的最短路径等。

此外，可以学习更多关于向量和矩阵的知识，这些工具对于解决复杂的几何问题非常有帮助。

立体几何空间距离问题空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离.●难点磁场(★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,P A⊥平面ABCD，P A=2c,Q 是P A的中点.求：(1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离.P为RT△ABC所在平面α外一点,∠ACB=90°(如图)(1)若PC=a，∠PCA=∠PCB=60°，求P到面α的距离及PC和α所成的角（2）若PC=24，P到AC，BC的距离都是6√10，求P到α的距离及PC和α所成角（3）若PC=PB=PA，AC=18，P到α的距离为40，求P到BC的距离●案例探究［例1］把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求：(1)EF 的长；(2)折起后∠EOF 的大小.命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目.知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式. 错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直.技巧与方法：建系方式有多种，其中以O 点为原点，以OB 、OC 、OD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单.解：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0，－22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,－42a , a ),F (42a , 42a ,0) 21||||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420)0,42,42(),42,42,0()2(23,43)420()4242()042(||)1(22222-=>=<==-=⋅+-+⨯=⋅=-==∴=-+++-=OF OE OF OE OF OE a OF a OE a a a a a OF OE a a OF a a OE a EF a a a a a EF∴∠EOF =120°［例2］正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离.命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目. 知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.错解分析：本题容易错误认为O 1B 是A 1C 与AB 1的距离，这主要是对异面直线定义不熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距离.技巧与方法：求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得.解法一：如图，连结AC 1，在正方体AC 1中，∵A 1C 1∥AC ,∴A 1C 1∥平面AB 1C ，∴A 1C 1与平面AB 1C 间的距离等于异面直线A 1C 1与AB 1间的距离.连结B 1D 1、BD ，设B 1D 1∩A 1C 1=O 1,BD ∩AC =O ∵AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，∴AC ⊥平面BB 1D 1D∴平面AB 1C ⊥平面BB 1D 1D ，连结B 1O ，则平面AB 1C ∩平面BB 1D 1D =B 1O 作O 1G ⊥B 1O 于G ，则O 1G ⊥平面AB 1C∴O 1G 为直线A 1C 1与平面AB 1C 间的距离，即为异面直线A 1C 1与AB 1间的距离.在Rt △OO 1B 1中，∵O 1B 1=22，OO 1=1，∴OB 1=21121B O OO += 26∴O 1G =331111=⋅OB B O O O ，即异面直线A 1C 1与AB 1间距离为33.解法二：如图，在A 1C 上任取一点M ，作MN ⊥AB 1于N ，作MR ⊥A 1B 1于R ，连结RN ，∵平面A 1B 1C 1D 1⊥平面A 1ABB 1，∴MR ⊥平面A 1ABB 1，MR ⊥AB 1 ∵AB 1⊥RN ，设A 1R =x ,则RB 1=1－x ∵∠C 1A 1B 1=∠AB 1A 1=45°，∴MR =x ,RN =NB 1=)1(22x - 31)31(23)1(2122222+-=-+=+=x x x RN MR MN (0＜x ＜1)∴当x =31时，MN 有最小值33即异面直线A 1C 1与AB 1距离为33.●锦囊妙计空间中的距离主要指以下七种： (1)两点之间的距离. (2)点到直线的距离. (3)点到平面的距离. (4)两条平行线间的距离. (5)两条异面直线间的距离.(6)平面的平行直线与平面之间的距离. (7)两个平行平面之间的距离.七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)正方形ABCD 边长为2，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角(如图)，M 为矩形AEFD 内一点，如果∠MBE =∠MBC ，MB 和平面BCF 所成角的正切值为21，那么点M 到直线EF 的距离为( )21 D. 23C. B.1 22A.2.(★★★★)三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=1，AB =4，BC =3，∠ABC =90°,设平面A 1BC 1与平面ABC 的交线为l ，则A 1C 1与l 的距离为( )A.10B.11C.2.6D.2.4二、填空题3.(★★★★)如左下图，空间四点A 、B 、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则P 与Q 的最短距离为_________.4.(★★★★)如右上图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二面角E—AB—C 的度数为30°，那么EF与平面ABCD的距离为_________.三、解答题5.(★★★★★)在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图：(1)求证：平面A1BC1∥平面ACD1；(2)求(1)中两个平行平面间的距离；(3)求点B1到平面A1BC1的距离.6.(★★★★★)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B且面EAC与底面ABCD所成的角为45°,AB=a,求：(1)截面EAC的面积；(2)异面直线A1B1与AC之间的距离；(3)三棱锥B1—EAC的体积.7.(★★★★)如图，已知三棱柱A1B1C1—ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F.(1)求点A到平面B1BCC1的距离；(2)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等.8.(★★★★★)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =2π,AB = 31AD =a ,∠ADC =arccos552,P A ⊥面ABCD 且P A =a .(1)求异面直线AD 与PC 间的距离；(2)在线段AD 上是否存在一点F ，使点A 到平面PCF 的距离为36.参考答案 难点磁场解：(1)在矩形ABCD 中，作AE ⊥BD ，E 为垂足 连结QE ，∵QA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理得QE ⊥BE ∴QE 的长为Q 到BD 的距离 在矩形ABCD 中，AB =a ,AD =b , ∴AE =22ba ab +在Rt △QAE 中，QA =21P A =c∴QE =22222ba b a c ++∴Q 到BD 距离为22222ba b a c ++.(2)解法一：∵平面BQD 经过线段P A 的中点， ∴P 到平面BQD 的距离等于A 到平面BQD 的距离 在△AQE 中，作AH ⊥QE ，H 为垂足∵BD ⊥AE ,BD ⊥QE ,∴BD ⊥平面AQE ∴BD ⊥AH ∴AH ⊥平面BQE ，即AH 为A 到平面BQD 的距离.在Rt △AQE 中，∵AQ =c ,AE =22ba ab +∴AH =22222)(ba cb a abc ++∴P 到平面BD 的距离为22222)(ba cb a abc ++解法二：设点A 到平面QBD 的距离为h ，由 V A —BQD =V Q —ABD ,得31S △BQD ·h =31S △ABD ·AQ h =22222)(ba cb a abc S AQS BQDABD ++==⋅∆∆歼灭难点训练一、1.解析：过点M 作MM ′⊥EF ,则MM ′⊥平面BCF ∵∠MBE =∠MBC∴BM ′为∠EBC 为角平分线， ∴∠EBM ′=45°,BM ′=2,从而MN =22 答案：A2.解析：交线l 过B 与AC 平行，作CD ⊥l 于D ，连C 1D ，则C 1D 为A 1C 1与l 的距离，而CD 等于AC 上的高，即CD =512,Rt △C 1CD 中易求得C 1D =513=2.6 答案：C二、3.解析：以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，因为AQ =BQ =22a ,∴PQ ⊥AB ,同理可得PQ ⊥CD ，故线段PQ 的长为P 、Q 两点间的最短距离，在Rt △APQ 中，PQ =22)2()23(2222=-=-a a AP AQ a 答案：22a4.解析：显然∠F AD 是二面角E —AB —C 的平面角，∠F AD =30°,过F 作FG ⊥平面ABCD 于G ，则G 必在AD 上，由EF ∥平面ABCD .∴FG 为EF 与平面ABCD 的距离，即FG =2a . 答案：2a三、5.(1)证明：由于BC 1∥AD 1，则BC 1∥平面ACD 1 同理，A 1B ∥平面ACD 1，则平面A 1BC 1∥平面ACD 1(2)解：设两平行平面A 1BC 1与ACD 1间的距离为d ，则d 等于D 1到平面A 1BC 1的距离.易求A 1C 1=5，A 1B =25，BC 1=13，则cos A 1BC 1=652,则sin A 1BC 1=6561,则S 111C B A ∆=61,由于111111D C A B BC A D V V --=，则31S 11BC A ∆·d =)21(31111D C AD ⋅·BB 1,代入求得d =616112,即两平行平面间的距离为616112. (3)解：由于线段B 1D 1被平面A 1BC 1所平分，则B 1、D 1到平面A 1BC 1的距离相等，则由(2)知点B 1到平面A 1BC 1的距离等于616112. 6.解：(1)连结DB 交AC 于O ，连结EO ， ∵底面ABCD 是正方形 ∴DO ⊥AC ，又ED ⊥面ABCD ∴EO ⊥AC ，即∠EOD =45° 又DO =22a ，AC =2a ，EO =︒45cos DO =a ，∴S △EAC =22a (2)∵A 1A ⊥底面ABCD ，∴A 1A ⊥AC ，又A 1A ⊥A 1B 1 ∴A 1A 是异面直线A 1B 1与AC 间的公垂线 又EO ∥BD 1，O 为BD 中点，∴D 1B =2EO =2a ∴D 1D =2a ，∴A 1B 1与AC 距离为2a(3)连结B 1D 交D 1B 于P ，交EO 于Q ，推证出B 1D ⊥面EAC ∴B 1Q 是三棱锥B 1—EAC 的高，得B 1Q =23a32422322311a a a V EAC B =⋅⋅=-7.解：(1)∵BB 1⊥A 1E ，CC 1⊥A 1F ，BB 1∥CC 1 ∴BB 1⊥平面A 1EF 即面A 1EF ⊥面BB 1C 1C 在Rt △A 1EB 1中， ∵∠A 1B 1E =45°，A 1B 1=a∴A 1E =22a ,同理A 1F =22a ,又EF =a ，∴A 1E =22a 同理A 1F =22a ,又EF =a∴△EA 1F 为等腰直角三角形，∠EA 1F =90°过A 1作A 1N ⊥EF ，则N 为EF 中点，且A 1N ⊥平面BCC 1B 1 即A 1N 为点A 1到平面BCC 1B 1的距离 ∴A 1N =221a =又∵AA 1∥面BCC 1B ，A 到平面BCC 1B 1的距离为2a ∴a =2，∴所求距离为2(2)设BC 、B 1C 1的中点分别为D 、D 1，连结AD 、DD 1和A 1D 1，则DD 1必过点N ，易证ADD 1A 1为平行四边形.∵B 1C 1⊥D 1D ,B 1C 1⊥A 1N ∴B 1C 1⊥平面ADD 1A 1 ∴BC ⊥平面ADD 1A 1得平面ABC ⊥平面ADD 1A 1，过A 1作A 1M ⊥平面ABC ，交AD 于M ， 若A 1M =A 1N ，又∠A 1AM =∠A 1D 1N ，∠AMA 1=∠A 1ND 1=90° ∴△AMA 1≌△A 1ND 1,∴AA 1=A 1D 1=3,即当AA 1=3时满足条件. 8.解：(1)∵BC ∥AD ,BC ⊂面PBC ,∴AD ∥面PBC从而AD 与PC 间的距离就是直线AD 与平面PBC 间的距离. 过A 作AE ⊥PB ，又AE ⊥BC ∴AE ⊥平面PBC ，AE 为所求. 在等腰直角三角形P AB 中，P A =AB =a ∴AE =22a(2)作CM ∥AB ，由已知cos ADC =552 ∴tan ADC =21,即CM =21DM ∴ABCM 为正方形，AC =2a ,PC =3a过A 作AH ⊥PC ,在Rt △P AC 中，得AH =36 下面在AD 上找一点F ，使PC ⊥CF取MD 中点F ，△ACM 、△FCM 均为等腰直角三角形∴∠ACM +∠FCM =45°+45°=90°∴FC ⊥AC ,即FC ⊥PC ∴在AD 上存在满足条件的点F .［学法指导］立体几何中的策略思想及方法近年来，高考对立体几何的考查仍然注重于空间观点的建立和空间想象能力的培养.题目起点低，步步升高，给不同层次的学生有发挥能力的余地.大题综合性强，有几何组合体中深层次考查空间的线面关系.因此，高考复习应在抓好基本概念、定理、表述语言的基础上，以总结空间线面关系在几何体中的确定方法入手，突出数学思想方法在解题中的指导作用，并积极探寻解答各类立体几何问题的有效的策略思想及方法.一、领悟解题的基本策略思想高考改革稳中有变.运用基本数学思想如转化，类比，函数观点仍是考查中心，选择好典型例题，在基本数学思想指导下，归纳一套合乎一般思维规律的解题模式是受学生欢迎的，学生通过熟练运用，逐步内化为自己的经验，解决一般基本数学问题就会自然流畅.二、探寻立体几何图形中的基面立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地“立”起来.在具体的问题中，证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面.这个辅助平面的获取正是解题的关键所在，通过对这个平面的截得，延展或构造，纲举目张，问题就迎刃而解了.三、重视模型在解题中的应用学生学习立体几何是从认识具体几何模型到抽象出空间点、线、面的关系，从而培养空间想象能力.而数学问题中许多图形和数量关系都与我们熟悉模型存在着某种联系.它引导我们以模型为依据，找出起关键作用的一些关系或数量，对比数学问题中题设条件，突出特性，设法对原图形补形，拼凑、构造、嵌入、转化为熟知的、形象的、直观的模型，利用其特征规律获取优解.。

第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题【学习目标】1.掌握各种角的定义，弄清异面直线所成的角与两直线所成的角，二面角与二面角的平面角，直线与平面所成的角和斜线与平面所成的角，二面角与两平面所成的角的联系与区别，弄清他们各自的取值范围。

2.细心体会求空间角的转化和数形结合思想。

3.掌握各种距离和距离的求解方法.【基础知识】知识点1.求点线、点面、线面距离的方法(1)若P 是平面α外一点，a 是平面α内的一条直线，过P 作平面α的垂线PO ，O 为垂足，过O 作OA ⊥a ，连接P A ，则以P A ⊥a ．则线段P A 的长即为P 点到直线a 的距离(如图所示)．(2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．(3)求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．知识点2.异面直线所成角的常用方法求异面直线所成角的一般步骤：(1)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线.(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角.(3)结论——设(2)所求角大小为θ.若090θ︒<≤︒，则θ即为所求；若90180θ︒<<︒，则180θ︒-即为所求.知识点3.直线与平面所成角的常用方法求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤(1)确定斜线与平面的交点(斜足)；(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形.知识点4.作二面角的三种常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①，则∠AOB 为二面角α-l -β的平面角.(2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图②，∠AOB 为二面角α-l -β的平面角.(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A 向另一个平面作垂线，垂足为B ，由点B 向二面角的棱作垂线，垂足为O ，连接AO ，则AOB ∠为二面角的平面角或其补角.如图③，AOB ∠为二面角l αβ--的平面角.知识点5.求体积的常用方法选择合适的底面，再利用体积公式求解.【考点剖析】考点一：异面直线所成的角例1．在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若2==AC BD ，且AC 与BD 所成的角为60°，则EG 的长为（）A ．1或2B ．2或3C ．1或3D ．12或32考点二：线面角例2．如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，底面ABC 是正三角形，AA '⊥底面ABC ，且1AB =，2AA '=，则直线BC '与平面ABB A ''所成角的正弦值为______．考点三：二面角例3．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==．(1)求证：PC BD ⊥；(2)求二面角P CD A --的正弦值．考点四：距离问题例4．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,,22AB BC AA AC AB BC ⊥===，E ，F 分别是11,AC AB 的中点．(1)证明：AE ∥平面11B C F ．(2)求点C 到平面11B C F 的距离．考点五：体积问题例5．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点F 为线段PC 上的点，过A ，D ，F 三点的平面与PB 交于点E ．(1)证明：//EF 平面ABCD ；(2)若E 为PB 中点，且2AB PA ==，求四棱锥P AEFD -的体积．【真题演练】1．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π62．如图，四棱锥S -ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ） A ．AC ⊥SBB ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角1．线面平行垂直的判定；2．线面角，异面直线所成角3．已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则A ．123θθθ≤≤B ．321θθθ≤≤C ．132θθθ≤≤D ．231θθθ≤≤4．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为A 235D 7 5．已知正方体1111ABCD ABCD -中，E 、F 分别为11、BB CC 的中点，那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为____________.6．如下图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面SAD ⊥平面ABCD ，2SA SD ==，3AB =． （1）求SA 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：AB SD ⊥．7．如图，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =． （1）证明：C//B 平面D P A ；（2）证明：C D B ⊥P ；（3）求点C 到平面D P A 的距离．8．如图，在圆锥PO 中，已知2PO O 的直径2AB =，点C 在AB 上，且30CAB ∠=，D 为AC 的中点．（I ）证明：AC ⊥平面POD ；（II ）求直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值．9．如图，P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，1PA =，P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O ．（Ⅰ）证明PA ⊥BF ；（Ⅰ）求面APB 与面DPB 所成二面角的大小的余弦值．10．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD ∥平面MAC ，PA PD =.(1)判断M 点在PB 的位置并说明理由；(2)记直线DM 与平面P AC 的交点为K ，求DK KM的值；(3)若异面直线CM 与AP M CD A --的平面角的正切值. 11．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AD =1，12AB AA ==，H ，F 分别是棱11C D ，1BB 的中点.(1)判断直线HF 与平面11A BCD 的位置关系，并证明你的结论；(2)求直线HF 与平面ABCD 所成角的正弦值；(3)在线段HF 上是否存在一点Q ，使得点Q 到平面11A BCD ，若存在，求出HQ HF的值；若不存在，说明理由. 【过关检测】1．在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，3AD =，点E 、F 分别是棱AB 、1AA 的中点，E 、F 、1C ∈平面α，直线11A D 平面P α=，则直线BP 与直线1CD 所成角的余弦值为（）A C 2．在正方体1111ABCD ABCD -中，E ，F 分别为棱AD ，11A B 的中点，则异面直线EF 与1CD 夹角的余弦值为（）A D3．如图所示，三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=，且2PA PB AB ===，=PC 则PC 与平面P AB 所成角的余弦值等于（）A B 4．在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若2==AC BD ，且AC 与BD 所成的角为60°，则EG 的长为（）A．1．1．125．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方形1111D C B A 的中心，则下列结论错误的是（） A ．BO AC ⊥B ．BO ∥平面1ACDC ．点B 到平面1ACD D ．直线BO 与直线1AD 的夹角为3π 6．在正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点，则下列结论中正确的是（） A ．1D D AF ⊥B ．二面角F AEC --的正切值为2C ．异面直线1A G 与EFD ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍7．如图，AB 是半球的直径，O 为球心，4,,AB M N =依次是半圆AB 上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且PN MB ⊥，(1)证明：平面PBM ⊥平面PON ；(2)若点P 在底面圆内的射影恰在BM 上，求二面角--A PB N 的余弦值．8．已知平面四边形ABCD ，2AB AD ==，60BAD ∠=︒，30BCD ∠=︒，现将ABD △沿BD 边折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，此时AD CD ⊥，点P 为线段AD 的中点.(1)求证：BP ⊥平面ACD ；(2)若M 为CD 的中点，求MP 与平面BPC 所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，求二面角P BM D --的平面角的余弦值.9．已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD .(1)求证：AC ⊥平面PBD ；(2)当1PD =，BD =PB 与AD 所成角的余弦值；10．已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD ．(1)求证：AC ⊥平面PBD ；(2)已知1PD =，（Ⅰ）当BD PB 与AD 所成角的余弦值；（Ⅰ）当直线PB 与平面ABCD 所成的角为45︒时，求四棱锥P ABCD -的体积．11．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12BB =.(1)求异面直线11B C 与1A C 所成角正切值的大小；(2)求点1B 与平面1A BC 的距离.第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题【学习目标】1.掌握各种角的定义，弄清异面直线所成的角与两直线所成的角，二面角与二面角的平面角，直线与平面所成的角和斜线与平面所成的角，二面角与两平面所成的角的联系与区别，弄清他们各自的取值范围。

立体几何的求距离问题1、两点间的距离：连接两点的线段的长。

求法：（1）纳入三角形，将其作为三角形的一边，通过解三角形求得（2）用公式，A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)，则。

（3）利用向量的模，|AB|=||==…（4）两点间的球面距离：A，B为半径是R的球O上的两点，若＜,＞=? 则A，B两点间的球面距离为2、点到直线的距离：从点向直线作（相交）垂线，该点与垂足间的线段长。

求法：（1）解三角形：所求距离是某直角三角形的直角边长，解此三角形即可。

（2）等积法：所求距离是某三角形的一高，利用面积相等可求此距离。

(3 ) 利用三垂线定理：所求距离视作某平面的斜线段长，先求出此平面的垂线段和射影的长，再由勾股定理求出所求的距离。

（4）利用公式：A(x0,y0),到直线l:Ax?By?C?0的距离为。

基本思想是将点线距转化为点点距。

3、点到平面的距离与直线到平面的距离（重点）（1）从平面外一点引平面的一条垂线，这个点和___的距离，叫做这个点到这个平面的距离。

求法;①利用定义、做出平面的垂线，将垂线段纳入某个三角形内，通过解三角形求距离；②利用等积法、将此距离看作某个三棱锥的高，利用体积相等求出此距离；③利用向量、点A，平面?，满足A??,O??,??，则点A到平面?的距离d? （ n是平面?的法向量）（2）一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意_________到这个平面的_________，叫做这条直线和这个平面的距离。

（一条直线和一个平面平行时，直线上任意两点到平面的距离相等）求法：转化为点到平面的距离来求；（具体方法参照点到平面的距离的求法）4、两个平行平面的距离一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也_________另一个平面，这条直线叫做两个平面的__________，它夹在两个平行平面间的部分叫做这两个平面的_______,它的长度叫做两个平行平面的____________。

解：H =a b +c +b c +a +c a +b =a 2ab +ac +b 2bc +ba+c 2ca +cb，由柯西不等式可得H =a 2ab +ac +b 2bc +ba +c 2ca +cb≥(a +b +c )2(ab +bc )+(bc +ba )+(ac +bc )=(a 2+b 2+c 2)+2(ab +bc +ac )2(ab +bc +ac )≥32.即不等式H =a b +c +b c +a +c a +b ≥23成立.四、构造向量向量是是数学中的一个重要模型，具有“数”与“形”的双重身份.在解题时，可通过分析题目条件，找到题设条件中包含或内隐的一些向量知识，在原有题目的基础上构造出新向量模型.再利用向量的数乘运算、加法运算、减法运算、数量积公式、向量的模公式等来进行向量运算，求得问题的答案.例4.已知a ，b ，x ，y ∈R ，且a 2+b 2=1，x 2+y 2=1，求证:ax +by ≤1.分析：通过观察所要求证的结论ax +by ≤1可发现，ax +by 可由两个向量的乘积构成，由此可联想到向量的乘法运算，于是构造向量(a ,b )与向量(x ,y )，将问题转化为向量问题来求解.解：设m =(a ,b )，n =(x ,y )，则ax +by =m ·n =a 2+b 2·x 2+y 2cos θ，而cos θ≤1，所以ax +by ≤1.通过构造向量，将不等式问题转化为向量问题求解，能使解题过程变得更加简便且运算简单，可以轻松证明不等式.构造法是解答数学问题的一种重要方法.运用构造法解题，不仅能提升解题的效率，还有助于培养同学们的创造性思维能力和发散性思维能力.在构造数学模型时，要学会观察、分析、比较，将问题与其他知识关联起来，由此及彼，由一般到特殊，联想到合适的数学模型.当采用常规思路解题受阻时，要敢于尝试，转换思路，从已有的信息出发大胆联想、大胆猜测.可变换、重组题目中的数据或条件，结合头脑中已有的知识，构造出恰当的数学模型，为解题做好铺垫.（作者单位：西华师范大学数学与信息学院）立体几何中的距离问题主要是求点到直线的距离、异面直线之间的距离、两个平面之间的距离、点到平面的距离等.此类问题侧重于考查点、线、面的位置关系以及简单几何体的特征结构，对同学们的逻辑推理能力和空间想象能力的要求较高.本文主要谈一谈解答立体几何中距离问题的两个“妙招”.一、通过空间向量运算求解有些立体几何中的距离问题较为复杂，采用常规方法求解较为困难，此时，我们可以通过空间向量运算来解题.首先根据几何体的结构特征建立合适的空间直角坐标系，或选择合适的基底，将各个点、线段用向量或基底表示出来，然后运用向量的加法、减法、数乘运算法则、数量积公式、模的公式等，合理开展向量运算，求得空间中点、线、面之间的距离.例题：如图1，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为菱形，∠B 1A 1A =∠C 1A 1A =60°,AC =4,AB=2,平面ACC 1A 1⊥平面ABB 1A 1,Q 在线段AC 上移动，P 为棱AA 1的中点.若二面角B 1-PQ -C 1的平面角的余弦值为求点P 到平面BQB 1的距离.图1解题宝典43解题宝典解：连接AC 1.∵四边形ACC 1A 1为菱形，∴AA 1=AC =A 1C 1=4,∵∠C 1A 1A =60°，∴△AC 1A 1是正三角形，∵P 为AA 1的中点，∴PC 1⊥AA 1,∵平面ACC 1A 1⊥平面ABB 1A 1，平面ACC 1A 1⋂平面ABB 1A 1=AA 1，∴PC 1⊥平面ABB 1A 1，在平面ABB 1A 1内，过点P 作PR ⊥AA 1，则PR 、PA 1、PC 1直线两两相互垂直，以点P 为坐标原点，建立如图2所示空间直角坐标系，可得P ()0,0,0,A 1()0,2,0,A ()0,-2,0,C 1()0,0,23，C (0,-4,23)，设 AQ =λ，AC =λ()0，-2,23，即Q ()0,-2()λ+1,23λ,∵AC =4,AB =2，∠B 1A 1A =60°，∴B 1()3,1,0，PB 1=()3,1,0，设平面PQB 1的法向量m =()x ,y ,z ，∴ìíîm ∙PQ =0,m ∙ PB 1=0,令x =1，可得m =æèöø1,-3,-λ+1λ，设二面角B 1-PQ -C 1的平面角为α，cos α=||m ∙n ||m ||n =，∴λ=12， AQ =12AC ，QB =)3,0,-3,设平面BQB 1的法向量为n =()x ,y ,z ，由ìíîn ∙ QB =0,n ∙ BB 1=0,得其中一个法向量为n =()1,0,1，∵PQ =()0,-3，3，∴点P 到平面BQB 1的距离为d =|| PQ ∙n ||n =.图2在运用该方法求空间中点、线、面之间的距离时，需首先建立合适的空间直角坐标系或选择合适的基底，然后通过空间向量运算求得点、线、面之间的距离.在求点到平面的距离或者异面直线之间的距离时，我们需借助向量的数量积公式a ∙b =||a ∙||||b cos <a ,b >得到点到平面的距离或者异面直线的距离d =||a cos <a ,b>=||||a ∙b ||||b ,通过向量运算即可求得问题的答案.二、借助等体积变换求解在求点到平面的距离时，我们常常可借助三棱锥的体积公式来解题.通过变换三棱锥的底面和高建立关系式，求得三棱锥的顶点到底面的距离.对于异面直线之间的距离、两个平面之间的距离、点到直线的距离问题，我们也可将其转化为点到平面的距离来求解，通过等体积变换，求得空间中点、线、面之间的距离.仍以上述例题为例.解：由上述解法可知， QB =()3,0,-3,∵ BB 1=()0,4,0， BB 1∙ QB =0,∴BB 1⊥QB ,△BQB 1为直角三角形，S △BQB 1=12×BB 1×QB =26，设点P 到平面BQB 1的距离为d ，连接BP ，由V Q -BPB 1=V P -BQB 1可知13×12×4×3×3=13×26d ，即d =，点P 到平面BQB 1的距离为26.我们将点P 到平面BQB 1的距离看作三棱锥Q -BPB 1的顶点P 到底面BQB 1的高，通过转换底面，分别根据三棱锥的体积公式求得V Q -BPB 1，V P -BQB 1，便可建立等量关系式，求得顶点P 到底面BQB 1的高.上述两种思路都是求解立体几何中点、线、面之间的距离问题的常用方法，也是较为便捷的方法，尤其是在采用常规思路解题遇到困难时，通过空间向量运算、等体积变换来解题，能有效提升解题的效率.（作者单位：江苏省淮安市金湖县第二中学）44。

谈谈立体几何中的点到直线距离的求法
首先，让我们快速了解立体几何中的点到直线距离的概念。

在立体几何中，点
到直线距离可以定义为给定点A在平面上，设置平行于平面的向量方向，用直线l
来表示。

点到直线距离是指点A到直线l的最近距离。

利用这个概念，我们可以根据点到直线距离来应用到日常生活当中，比如几何测量或者点和线在三维空间里的运算等。

要计算点到直线距离，一般可以采用几何证明的方法，如果假设给定的点为A，那么到线段的最短距离等于点A到直线向量乘以点A乘以直线向量的模的比值，再取其绝对值。

因此，点到直线距离计算公式可以表达为：D = |(AP × AB)|/|AB|，其中D为点到线段的最短距离，AP为点A到直线l的向量，AB为直线l的向量。

企业经常会用到立体几何中的点到直线距离的概念，用点到直线距离来精准地
计算两个位置点之间的距离，很有利于精确记录货物的投递位置。

此外，点到直线距离的计算主要是利用几何证明的方法，一般是引入一个半法线作为参考系，进行距离的精确计算，从而使得交通管理以及路线规划更为精准。

立体几何中最短距离的求解策略
在立体几何中，最短距离指的是从一点到另一点之间最短可到达的距离，也叫最短链接距离。

面对复杂的立体几何问题，如何求解最短距离，给出解决策略是非常有必要的。

解决立体几何中最短距离的求解策略主要分为三个步骤：
首先，我们需要分析最短距离的特点，也就是所谓的“直线最短”原则，也就是几何图形中的任意两点之间的最短距离必须是直线距离。

其次，根据几何图形的形状和特性，求解具体问题中的最短距离。

例如，分析棱柱之间的最短距离是什么，棱柱之间最短距离为棱柱的直径；分析球面上任意两点之间的最短距离是什么，球面任意两点之间的最短距离是一个弧线的弦长。

最后，运用数学原理求解最短距离的问题，按照古典几何计算思路，计算出最短距离的标准式；其次，运用现代几何理论，使用科学计算方法给出解决最短距离问题的数值解。

以上是解决立体几何中最短距离的求解策略，主要有分析最短距离特点、根据形状和特性求解具体最短距离、运用数学原理求解最短距离三个步骤。

做好最短距离求解既是立体几何研究的重点，也是解决实际工程问题的重要基础。