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立体几何中的空间距离问题 PPT

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高三数学高考一本通立体几何第一轮复习课件 第6课时 空间距离

高三数学高考一本通立体几何第一轮复习课件 第6课时 空间距离
• 2、纵观近几年的高考，有关距离的概念 和计算仍然是高考重点内容之一，它常 以简单的多面体为载体，融线面关系于 立体几何图形之中，不仅考查了空间线 面平行和垂直关系，而且也考查了简单 几何体的概念和性质，既考查了知识， 也考查了学生分析解决问题的能力。
知识整合
• 1、距离的基本概念 • （1）点到面的距离：从平面外一点引一个平面的 垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这 个平面的距离。 • （2）直线到它平行平面的距离：一条直线上的任 一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到 平面的距离。 • （3）两个平行平面间的距离：两平行平面的公垂 线段的长度叫做两平行平面的距离。 • （4）两条异面直线间的距离是指两条异面直线的 公垂线夹在两异面直线间的公垂线段的长度。
例题精析
例题精析
例5：如图已知正方体ABCD－ A1B1C1D1的棱长为a，求异 面直线BD与B1C的距离。
例题精析
• 评析：异面直线距离转化为线面距离再转 化为点面间距离；或者异面直线距离转化 为两平行面间距离再转化点面距离。这是 大的思路，其中直接用定义求出要求的距 离除外。
• 1、两点间的距离求法：可以利用空间两点距离公式。 • 2、有关点到直线、点到平面的距离的求法。 （1）点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线段。 （2）点到平面的距离是有关距离问题的重点，它主要由 三种方法求得：①用定义，直接能作出这段距离，经论 证再计算。②用二面角的平面角性质：平面角的一边上 任意一点到另一边的距离都垂直于第二边所在的平面， 先作“点”所在平面与另一“平面”组成的二面角的平 面角，过“点”向平面角另一边作垂线，这垂线段长即 为此“点”到“平面”的距离。③转化为锥体的高，用 三棱锥体积公式求点到平面的距离。 • 3、直线和平面的距离与两平行平面的距离可转化为点 到平面的距离来求。

高中数学第一章空间向量与立体几何2.5空间中的距离课件新人教B版选择性必修第一册

高中数学第一章空间向量与立体几何2.5空间中的距离课件新人教B版选择性必修第一册

＝|－1| 3
＝
3 3
.
即点A到平面EFG的距离为
3 3
.
直线到平面、平面到平面的距离 [例4] 如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC ＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1.
(1)求证：BE∥平面DCF； (2)求BE到平面DCF的距离．
[解] (1)证明：∵四边形ADFE为矩形， ∴AE∥DF.又∵梯形ABCD中AB∥CD，AE∩AB＝A，DF∩DC＝D， AE，AB⊂平面ABE，DF，DC⊂平面DFC，∴平面ABE∥平面DFC， ∵BE⊂平面ABE，∴BE∥平面DCF. (2)如图，以D为原点，建立空间直角坐标系． ∵AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°， 则△ADB∽△BCD⇒ABDC ＝DCDB ， ∵CD＝1，BC＝2.∴BD＝ 5 ， ∴AD＝2 5 ，AB＝5，∴F(0，0，1)，
―AM→＝(4，0，0)＋λ(－4，3，1)＝(4－4λ，3λ，λ).
又―BM→·―AC→1 ＝0，∴(4－4λ，3λ，λ)·(－4，3，1)＝0，
∴λ＝183 ，∴―BM→＝4－8× 134，8× 133，183 ＝2103，2143，183 ，
∴|―BM→|＝
21032＋21432＋1832
＝4
设 E 满足―A1→E ＝λA―1→C1且 BE⊥A1C1，
―B→E ＝―BA→1 ＋―A1→E ＝(2，0，2)＋λ(－1， 3 ，0)＝(2－λ， 3 λ，2)， 又―B→E ⊥A―1→C1，∴(2－λ， 3 λ，2)·(－1， 3 ，0)＝0， ∴λ－2＋3λ＝0，∴λ＝12 ，∴―B→E ＝32， 23，2 .
.
|n |
4．相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 (1)当直线与平面平行时，直线上 任意一点到平面的距离 称为这条直线与这个平面

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(1(共27张PPT)

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(1(共27张PPT)
4
3
D. 2
B.
答案:B
解析:建立坐标系如图,则 A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),O
∴=(0,1,0),1 =(-1,0,1).
设 n=(1,y,z)是平面 ABC1D1 的一个法向量,
· = = 0,
则
解得 y=0,z=1,∴n=(1,0,1).
1 · = -1 + = 0,
点到另一个平面的距离求解.注意:这个点要选取适当,以方便求解为主.
当堂检测
1.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量
n=(-1,0,1),则两平面间的距离是(
)
3
2
A.
B.
2
2
C. 3
D.3 2
答案:B
解析:∵两平行平面 α,β 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1),
(3)求平面EGF与平面ABD的距离.
思路分析： 根据两个平行平面间距离的定义,可将平面与平面间的距离转化为一个平面内一
点到另一个平面的距离,即点面距.
(1)证明:如图所示建立空间直角坐标系,
设AB=a,
则A1(a,0,0),B1(0,0,0),C1(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),
则向量在直线 l 上的投影向量=(a·μ)μ.点 P 到直线 l 的距离为
PQ= 2 -(·)2 .
2.两条平行直线之间的距离
求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,
则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.
点睛：点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,

北师版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 空间向量与立体几何 第2课时 空间中的距离问题

北师版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 空间向量与立体几何 第2课时 空间中的距离问题
距离,而'∥n0 ,所以向量在法向量 n0 方向上的投影向量的长度|·n0|
就等于线段PP'的长度.
点P到平面α的距离,等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量 ,在平
面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度,即d=| ·n0|.

n0= (平面
||
α 的法向量为 n)
=
1
1+3+3
=
7
,
7
即平面 PCD 和平面 ADC 所成锐二面角大小的余弦值为
7
.
7
规律方法
求点到平面的距离的方法
(1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即点到平面的距离.
(2)在三棱锥中利用等体积法求解.
(3)向量法.步骤如下:
变式训练如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面
以点 M 到平面 PCD 的距离为
| · 1 |
d=
| 1 |
=
|- 3|
1+3+3
=
21
.
7
(2)由(1)可知平面 PCD 的法向量为 n1=(1,- 3,- 3),
因为 A(0,0,0),D(0,2,0),C(0,1,1),
所以=(0,2,0), =(0,1,1).
设平面 ACD 的法向量为 n2=(x2,y2,z2),
距离.
解 ∵A(2,2,0),B(1,4,2),C(0,0,5),∴ =(-1,2,2), =(-2,-2,5), =(0,0,5).
设平面 ABC 的法向量为 n=(x,y,z),
· = - + 2 + 2 = 0,
7
1
则

立体几何中的向量方法(距离问题)

立体几何中的向量方法(距离问题)
解：如图1，设 AB AA1 AD 1，BAD BAA1 DAA1 60
化为向量问题
D1 A1 D A 图1
B B1
C1
依据向量的加法法则， AC1 AB AD AA1
进行向量运算
C
AC1 ( AB AD AA1 ) 2
2 2 2
2
AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
由 A1 AB A1 AD BAD 且 AB AD AA1 H 在 AC上.
AC ( AB BC )2 1 1 2cos 60 3
2
D1 A1 B1 H D B
C1
C
A
AC 3
AA1 AC AA1 ( AB BC ) AA1 AB AA1 BC cos60 cos60 1.
即 a 2 3 x 2 2(3 x 2 cos ) x
1 a 3 6cos
∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长.
思考(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少? 分析：面面距离转化为点面距离来求
解： 过 A1点作 A1 H 平面 AC 于点 H . 则 A1 H 为所求相对两个面之间 的距离 .
A1 B1 D C D1 C1
(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离 A B 是多少? (提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平 面的距离或两点间的距离）
思考(1)分析: BD BA BC BB 1 1 其中 ABC ABB1 120 ， B1 BC 60
空间“距离”问题
复习回顾：
1.异面直线所成角：
C

新高考数学空间距离及立体几何中的探索性问题精品课件

新高考数学空间距离及立体几何中的探索性问题精品课件
课堂考点探究
[解析]方法一:设M为直线AC上任意一点,过M作MN⊥BC1,垂足为N,连接AN,如图,设=λ=λ+λ(0≤λ≤1),=μ=μ+μ(0≤μ≤1),则=-= +-=(1-λ)+(μ-λ)+μ,=+.∵MN⊥BC1, ∴·=0,即[(1-λ)+(μ-λ)+μ]·(+)=0,∵AB⊥AD, AB⊥AA1, AD⊥AA1,∴(μ-λ)+μ=0,即μ-λ+μ=0,∴λ=2μ.∴=(1-2μ)-μ+ μ,∴||= ==,∴当μ=时,||取得最小值=,故异面直线AC与BC1之间的距离是.故选B.
[总结反思]点面距的求法:(1)几何法:①作出点到平面的垂线段,在直角三角形中,求这条垂线段的长度.②把待求的点面距看作三棱锥的高,利用三棱锥的等体积转换法求解.(2)向量法:点A到平面α的距离d=(其中B是平面α内一点,n是平面α的一个法向量).
课堂考点探究
课堂考点探究
变式题1 (1)正三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点均在表面积为8π的球O的球面上,AB=,则B1到平面A1BC的距离为( )A.1 B. C. D.
课堂考点探究
方法二:如图,取BC的中点E,连接B1E,DE,B1E交BC1于点G,DE交AC于点F,则==2,==2.连接B1D,FG,在△B1DE中,==2,∴FG DB1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易证B1D⊥AC,B1D⊥BC1,∴FG⊥AC,FG⊥BC1,∴FG为异面直线AC与BC1的公垂线段.∵B1D=,∴FG=,即异面直线AC与BC1之间的距离为.
课堂考点探究
方法三:如图,以D为原点,以,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1),C1(0,1,1),C(0,1,0),连接DB1,∴=(-1,1,0),=(-1,0,1),=(0,1,0),=(1,1,1),则·=0, ·=0,∴DB1⊥AC,DB1⊥BC1,∴异面直线AC与BC1之间的距离为==.

专题12立体几何中的距离问题11月19日终稿

专题12立体几何中的距离问题11月19日终稿

专题12立体几何中的距离问题知识点一 距离问题之点到点 空间的距离共分六类:点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面;后两类均为平行状态下的计算，可以统一为点到面的距离，本节不做赘述.空间中的距离问题不但能解决长度问题，也能解决体积、夹角问题.(1)墙角体顶点到底面的距离为h ，墙角的三侧棱长分别为a ，b ，c 则有22221111h a b c =++ (2)设墙角体底面ABC △内一点M 到各侧面的距离分别为1h ，2h ，3h ，则点M 到顶点P 的距离:d 【例1】在三棱锥P ABC -中，2APC CPB BPA π∠=∠=∠=，并且3PA PB ==，4PC =，又D 是底面ABC内一点，则D 到三棱锥三个侧面的距离的平方和的最小值是 ．【例2】(浦东新区校级开学)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===，已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 和F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)，若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的平方取值范围为（ ）A ．(1B ．11[)52，C ．1(52，D ．1[1)5，【例3】(浦东新区校级模拟)三棱锥P ABC -中，侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，底面ABC 内一点M 到三个侧面的距离分别是2、3、6，那么PM = ．知识点二 距离问题之点到线【例4】如图，AB 垂直于BCD △所在的平面，AC AD =，:3:4BC BD =.当BCD △的面积最大时，点A 到直线CD 的距离为 ．题型三 距离问题之点到面点到面的距离通常可以利用等体积法或建系法处理，在小题中也可借助面面垂直将点到面的距离转化为点到线的距离，当遇到特殊几何体如墙角体还可以利用公式：墙角体顶点到底面的距离为h ，墙角的三侧棱长分别为a ，b ，c 则有22221111h a b c =++ 【例5】点A ，B 到平面α距离分別为12，20，若斜线AB 与α成30︒的角，则AB 的长等于 ．【例6】如图1，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则点1B 到平面11EAC 的距离为 ．【例7】如图1，在四面体A BCD -中，60DAB ∠=︒，45BAC ∠=︒，45CAD ∠=︒，4AB =，3AC =，4AD =. (1)求点C 到平面ABD 的距离; (2)求AB 与平面ACD 所成角.题型四 距离问题之折线段问题【例8】(浦东新区校级月考)如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是面对角线1BC 上一动点，Q 是底面ABCD 上一动点，则1D P PQ +的最小值是 ．图1图2图1图2图3【例9】如图1，在棱长均为ABCD 中，M 为AC 的中点，E 为AB 的中点，P 是DM 上的动点，Q 是平面ECD 上的动点，则AP PQ +的最小值是（ ）A B C D ．【例10】(兴庆区校级三模)如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1||||AA AD =||2AB =，E 为线段1B C 的中点，F 是棱11C D 上的动点，若点P 为线段1BD 上的动点，则||||PE PF +的最小值为 ．题型五 距离问题之异面直线距离 线到线之间的距离分为两类:当两直线平行时，两直线之间的距离等同于点到直线之间的距离(同题型二) 当两直线异面时，异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线之间的距离.法一:四面体体积1sin 6V abd θ=,a ,b 为四面体的一组对棱长，d 为对棱的公垂线段长，θ为异面直线夹角. 法二:转化为线到平行平面之间的距离，进一步转化为点到面的距离.注:(1)和两条异面直线都垂直且相交的的直线叫做两条直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段即为两条异面直线的公垂线段;(2)任意两条异面直线有且只有一条公垂线;证明:①存在性设m 、n 是两条异面直线，过m 上一点P 作直线a n ∥，则m 和a 确定一个平面α. 过P 作直线b α⊥，则b m ⊥，b a ⊥，b n ⊥，且b 和m 确定一个平面β.因为m 、n 异面，所以n 不在β内，且n 不会与β平行，这是因为如果n β∥，则a β∥或a β⊂. 因为P β∈，P a ∈，所以a 与β不平行，若a β⊂，因为b m ⊥，b a ⊥，m a P =，所以a 和m 重合，即m n ∥，矛盾， 所以n 与β不平行，即n 和β相交设这个交点为Q ，即Q β∈，过Q 作直线l m ⊥，则l b ∥所以l n ⊥，即l 同时垂直m 、n ，且l 和m 、n 交点分别为P 、Q ②唯一性由存在性的证明可知n 和β只有一个交点Q ，经过Q 点有且只有一条直线l m ⊥，因此异面直线的公垂线有且只有一条.(3)两条异面直线的公垂线段长是分别连接两条异面直线上两点的线段中最短的一条.【例11】如图1，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，点M ,N 分别在线段A D '，D C '上，且满足MN ∥平面A ACC ''，则线段MN 长度的取值范围为 ．【例12】已知正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，点M ,N 分别为线段AB '，AC 上的动点，点T 在平面 BCC B ''内，则||||MT NT +的最小值是（ ）A B C D ．1同步训练1.如图，与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB ，1CC ，11A D 所在直线的距离相等的点（ ） A ．有且只有1个 B ．有且只有2个C ．有且只有3个D ．有无数个2.已知平面α∥平面β.直线m α⊂，直线n β⊂，点A m ∈，点B n ∈.记点A ，B 之间距离为a ，点A 到直线n 的距离为b .直线m 和n 的距离为c ，则（ ） A ．b c a ≤≤ B ．a c b ≤≤C ．c a b ≤≤D ．c b a ≤≤3.(义乌市校级期中)一条线段AB 的两端点A ，B 和平面α的距离分别是30cm 和50cm ，P 为线段AB 上一点，且:3:7PA PB =，则P 到平面α的距离为（ ）A ．36cmB ．6cmC ．36cm 或6cmD ．以上都不对4.(广陵区校级月考)在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是AB 的中点，则点C 到平面1A DM 的距离为 ．5.如图，在单位正方体ABCD A B C D -''''中，E 为B C '中点，F 为棱D C ''上动点，P 为BD '上动点，求||||PE PF +的最小值.6.如图，在单位正方体ABCD A B C D -''''中，E ,F 为两动点，求C E EF '+的最小值 ．。

3[1].2.1立体几何中的向量方法二：空间距离

3[1].2.1立体几何中的向量方法二：空间距离

VD1 A1BE VB A1D1E
A1
D1
E
C1
B1
D
C
A
B
3 面面距
例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，
求面A1DB与面D1CB1的距离. 解1:∵面D1CB1∥面A1BD ∴ D1到面A1BD的距离即 为面D1CB1到面A1BD的距离
平面A1 BD的一个法向量为 AC1 ( 1,1,1), 且 D1 A1 (1, 0, 0)
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则
一、两点间距离：
AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) ( z1 z2 )
2 2
2

a
2
a
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
3.2 立体几何中的向量方法
——距离问题
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题 中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （化为 向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及 它们之间夹角和距离等问题； （进行向量运算） （回到图形 （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 问题）
EC.n 3 21 h . 7 7 n
x B
D O E C y
练习2：
如图，已知：直角梯形OABC中， OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC， 且OS=OC=BC=1，OA=2. 求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值; (2)OS与面SAB所成角的余弦值; (3)二面角B－AS－O的余弦值.

高中数学 第一章 空间向量与立体空间向量研究距离、夹角问题课件 新人教A版选择性必修第一册

高中数学 第一章 空间向量与立体空间向量研究距离、夹角问题课件 新人教A版选择性必修第一册

，1 2
，1 2
，故
PB
DE 0 1 1 0 . 22
所以 PB DE .
由已知 EF PB，且 EF DE E ，所以 PB 平面 EFD.
25
（3）解：已知 PB EF ，由（2）可知 PB DF ，故 EFD 是平面 CPB 与平面
PBD 的夹角. 设点 F 的坐标为 (x ，y ，z) ，则 PF (x ，y ，z 1) .
2
2
设向量 CN 与 MA 的夹角为 ，
则直线 AM 和 CN 夹角的余弦值等于| cos | .
13
步骤二：进行向量运算
CN MA 1 (CA CD) (CA 1 CB)
2
2
1
2
CA
1
CA
CB 1 CD
CA 1 CD
CB
2
4
2
4
11111. 2848 2
又 △ABC 和△ACD 均为等边三角形，所以| MA | | CN | 3 . 2
则 n2 n2
PQ PR
0 0
，所以
2x y
y
2z
z 0
0
，所以
x y
3z 2 2z
.
取 n2
(3，4 ，2) ，则 cos n1 ，n2
n1 n1
n2 (0 ，0 ，1)
n2
1
(3，4 ，2) 2 29 .
29Biblioteka 29步骤三：回到图形问题
设平面
PQR
与平面
A1B1C1 的夹角为
，则 cos
设
m
(x,
y,
z)
是平面
A1BE
的法向量，则

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(PPT)-

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(PPT)-

预习验收 衔接课堂
1．若直线 l1 与直线 l2 的方向向量的夹角是 150°，则 l1 与 l2 这两 条异面直线所成的角等于( )
A．30°
B．150°
C．30°或 150°
D．以上均错
A 解析：异面直线所成的角为锐角或直角，且与方向向量的夹
角相等或互补，故选 A.
2．已知两平面的法向量分别为 m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，
()
A.13
B.
2 3
C.
3 3
D.23
C 解析： 依题意，建立坐标系如图所示，设四棱锥 S ABCD 的棱长为 2，
则 A(0，－1，0)，B(1，0，0)，S(0，0，1)，D(－1，0，0)，
所以 E 点坐标为12，0，12，
所以A→E＝12，1，12，S→D＝(－1，0，－1)，
所以
cos〈A→E，S→D〉＝|A→→E·→S→D|＝ |AE||SD|
截面 A1BD 的距离.
解： 如图，建立空间直角坐标系 D1xyz，则 A1(a，0，0)，A(a， 0，a)，B(a，a，a)，D(0，0，a)．
设平面 A1BD 的法向量 n＝(x，y，z)，则 n·D→B＝（x，y，z）·（a，a，0）＝0， n·A→1B＝（x，y，z）·（0，a，a）＝0，
33，
故异面直线
AE，SD
所成角的余弦值为
3 3.
1．应用向量法解题的两种方式：基向量法和坐标法．建立空间 直角坐标系时要充分利用题目中的垂直关系.
2．利用空间向量求两条异面直线所成的角，可以避免复杂的几 何作图和论证过程，只需通过相应的向量运算即可，但应注意：用 向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向向量的夹角 来求解的，两条异面直线所成角 θ 的取值范围是0，π2，而两向量的 夹角 α 的取值范围是[0，π]，所以两者相等或互补，即 cos θ＝|cos α|.

高中数学选择性必修一课件：1.4.2 空间中的距离问题

高中数学选择性必修一课件：1.4.2 空间中的距离问题

|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
1．用向量法求点面距的方法与步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标( A→P ，α内两不共 线向量，平面α的法向量n)．
→ (4)求距离：d＝|A|Pn·|n|.
|自学导引|
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
1．正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，并且平面ABCD⊥平 面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动．若|CM|＝|BN|＝a(0＜a＜
2)． (1)求MN的长度； (2)当a为何值时，MN的长度最短．
|自学导引|
|课堂互动|
|素养达成|
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则点A，E，F，G的坐标分 别为(4,4,0)，(2,4,0)，(4,2,0)，(0,0，2)，则G→E＝(2,4，－2)，G→F＝(4,2， －2)，A→E＝(－2,0,0)．
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设n＝(x，y，z)为平面GEF的一个法向量，由nn··GG→→EF＝＝00，，
n·D→B＝ax＋ay＝0，
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→
故可设n＝(1，－1，－2)，故A1到平面BDM的距离d＝
|A1M·n| |n|
＝
0，0，－12a·1，－1，－2＝ 6
6 6 a.
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3．已知向量n＝(2,0,1)为平面α的法向量，点A(－1,2,1)在α内，则

空间向量与空间距离课件

空间向量与空间距离课件

A1B1 n n
2 3
A
x
Cy
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
(2) 求D1C到面A1BE的距离；
z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
(3) 求面A1DB与面D1CB1的距离；
(x,
y,
z)为面A1BE的法向量，
则
n
A1E
0,
x 1 y 0, 2
n A1B 0, y z 0,
即zy
2x, 2x,
取x＝1，得平面A1BE的 一个法向量n (1, 2, 2)
z
D1 A1
E
C1 B1
选点B1到面A1BE的斜向量为A1B1 0,1,0,
D
得B1到面A1BE的距离为d
点到平面的距离：
直线到平面的距离：
d
|
AP n |
平面到平面的距离：
n
异面直线的距离：
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
(1) 求B1到面A1BE的距离； z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
1)A1
E
=(-1,1 2
,0),A1B=(0,1,-1)设n
z
D1
A1
D
A
x
C1
B1
Cy
B
小结
利用法向量来解决上述立体几何题目，最大 的优点就是不用象在进行几何推理时那样去 确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决 问题。但是也有局限性，用代数推理解立体 几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系， 把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这 种方法解题的立体几何模型一般都是如：正 （长）方体、直棱柱、正棱锥等。

第一课距离问题

第一课距离问题

题型三 平面到平面的距离
正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距
离．
以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
D1 z A1
D
A x
C1
A1(1，0，1)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A1B＝(0 ，1，－1)，A1D＝(－1，0，－1)，A1D1＝(－1，0
＝1 (0，0，2 ·n＝2，|n|＝
以·nD→＝D21 ，·n|＝n|＝2，3|n|，＝所3以，d＝
2 3
＝2 3 3
，即点 D1 到平面 BDE所的以距d离＝为2323＝3 2. 33
，
以23d＝＝[(1规2)2作33律3点＝方，到2法即3平]3点面，求D的即点1 垂到点到线平平D，面1面到点B的平D到距E面垂离的B足距的D的E主离距的要为离距方2即3离法3为为.点23到3 平. 面的距离．
uP
A
Ql
1.点P到直线l的距离
设AP=a，则向量AP在直线上的投影向量AQ=(a·u)u 在RT△APQ中，由勾股定理得
则点P到直线l的距离为PQ= a2－a·u2
已知直线 l 过定点 A(2，3，1)，且 n＝(0，1，1)为其一个方向向量，则点 P(4，3，
2)到直线 l 的距离为
()
A.3 2 2
则AB＝(a，0，0)，PC＝(a，a，－3a)．
设AB，PC的公垂线的方向向量 为n＝(x，y，z)，
有 aann2b··＝AP＋CB==4baa，＝xx=+0a6y，-3az=0解⇒ xy＝＝得03，z，
取z＝1，则y＝3，有n＝(0，3，1)．
―→
a又＝A－P＝2(0，，0，3a)，

用空间向量研究距离、夹角问题(第1课时)-高二数学教材配套教学精品课件

用空间向量研究距离、夹角问题(第1课时)-高二数学教材配套教学精品课件

→
2|k|
|BE·n|
2 11
于是点 B 到平面 EFG 的距离为 d＝
＝
＝
.
11
|n|
1＋1＋9|k|
新知应用
题型三：平面与平面的距离
5.正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 4，M，N，E，F 分别为 A1D1，A1B1，C1D1，
B1C1 的中点，求平面 AMN 与平面 EFBD 间的距离．

2 − ( ∙ )2 .
思考1：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？
求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线
间的距离就等于点P到直线m的距离.
∴ 两条平行直线之间的距离⟺点到直线的距离

空间中点到平面的距离
探究2：如何求平面α外一点点到平面α的距离？
设平面DA1C1的法向量为 = (, , )，所以 ⊥ 1, ⊥ 1,因为，由 ∙ 1 = 0 ，得
∙ 1 = 0
+=0
，
2 + = 0
(2)直线B1C到平面DA1C1的距离等于B1到平面DA1C1的距离．因为11=(1,0,0)，所以B1
不妨取y=1，则 = (2,1, −2) .
常见的空间中的距离有：点到直线、点到平面、两条平行线及两个平
行平面的距离;
常用的求解距离的方法有：传统方法和向量法.
02用空间向量研究距
离问题
P
A
R
T
O
N
E
空间中点到直线的距离
探究1：已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.如何利
用这些条件求点到直线的距离？
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立体几何中的空间距离问题
一、空间距离 1.两点间的距离:连接两点的① 线段的长度.
2.点到直线的距离：从直线外一点向直线引 垂线，② 点到垂足间线段 的长度.
3.点到平面的距离：自点向平面引垂线 ， ③ 点到垂足间线段 的长度.
4.平行直线间的距离：从两条平行线中的一 条上任意取一点向另一条直线引垂线,④___点 到垂足间线段 的长度.
5.异面直线间的距离:两条异面直线的公 垂线夹在这两条异面直线间的⑤ 线段 的长 度.
6.直线与平面间的距离:如果一条直线和 一个平面平行,从这条直线上任意一点向平 面引垂线,⑥ 这点到垂足间线段 的长度.
7.两平行平面间的距离：夹在两平行平 面之间的⑦ 公垂线段 的长度.
二、求距离的一般方法
1.两点间距离、点到直线的距离和两 平行线间的距离其实是平面几何中的问题， 可用平面几何方法求解.
（2）由于AD∥平面PBC，可考虑依据问 题情境在AD上选择具备特殊位置的点A， 然后推理过A点的平面PAD⊥平面PBC， 找到过点A的垂线.
(1)连接AC.因为PA⊥平面ABCD，所 以PA⊥CF. 又CF⊥PC，PA∩PC=P， 所以CF⊥平面PAC， 所以平面PFC⊥平面PAC. 过点A作AH⊥PC于H，所以PH⊥平面PCF， 即AH为点A到平面PCF的距离.
方法二：设 A 到平面 SBC 的距离为 h，∵VS-ABC＝VA-SBC， ∴13×SA×S△ABC＝13×h×S△SBC，其中 SA＝3a. 在△ABC 中，
AC＝ AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC
＝ 4a2＋4a2－2×4a2×－12＝2 3a，
S△ABC＝12AB·BC·sin∠ABC＝12×2a×2a× 23＝ 3a2.
2
1.对于空间中的距离，我们主要研究点 到平面的距离、直线和平面的距离及两个 平行平面之间的距离，其重点是点到平面 的距离.点到平面的距离要注意其作法，一 般要利用面面垂直的性质来做.求点到平面 的距离也可以用等体积法.
于是 h＝
＝32a·33aa22＝32a.
方法三：如图8-7-6，以A 为坐标原点，以AC，AS 所在直 线为y 轴，z 轴，以过 A 点且垂直于yOz 平面的直线为x 轴建 立空间直角坐标系.
图8-7-6
∵在△ABC 中，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，
∴AC＝ AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝2 3a.
于是 A(0,0,0)，B(a， 3a,0)，C(0,2 3a,0)，S(0,0,3a). 设平面 SBC 的一个法向量 n＝(x，y，z).
由 n⊥S→B，n⊥S→C及S→B＝(a， 3a，－3a)，
S→C＝(0,2 3a，－3a)，
可得nn··SS→→BC＝＝a0·＋x＋2
3a·y－3a·z＝0， 3a·y－3a·z＝0，
在△SBC 中，SB＝ SA2＋AB2＝ 13a，BC＝2a，SC＝
SA2＋AC2＝
21a.cos∠SBC＝132a×2＋143aa2－×221aa2＝－
1， 13
∴sinபைடு நூலகம்SBC＝
1－113＝2
39 13 .
∴S△SBC＝12×SB×BC×sin∠SBC
＝12× 13a×2a×21339＝2 3a2，
练习2
如 图 ， 在 梯 形 ABCD 中 ， AD∥BC ， ∠ABC= ,AB=BC= 1 AD=1,PA⊥平面ABCD, 且PA=1，2 点F在AD上3 ，且CF⊥PC.
(1)求点A到平面PCF的距离；
(2)求AD与平面PBC间的距离.
（1）通过论证平面 PAC⊥平面 PCF，找到点A在平面PCF上的射影H位 于PC上，然后解三角形求AH的长.
2.直线与平面间的距离、平行平面间 的距离可归结为求⑧ 点面间 的距离.
一 异面直线的距离
与异面直线都垂直且相交的直线有且只有 一条，它叫两异面直线的公垂线.两条异面 直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段 的长度是两条异面直线的距离.
D’ A’
D A
C’
如图所示：线段_A_B
B’
为异面直线AA’
由已知AB=BC=1，所以AC= 2 ,PC= 3 . 在Rt△PAC中，得AH= 6.
3
(2)因为BC∥AD，BC 平面PBC，
所以AD∥平面PBC. 过A作AE⊥PB于E， 又AE⊥BC,PB∩BC=B, 所以AE⊥平面PBC, 所以AE的长度即为所求的距离. 在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=1, 所以AE= 2 .
C 与BC的距离。
B
练习1
在 直 三 棱 柱 ABC—A1B1C1 中 ， AA1=2 ， AB=BC=1 ， ∠ABC=90°. 点 D 是 BB1 中 点 ， 则异面直线DA1与B1C1的距离是
2
_____2 ___.
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
二 点面距离的求法
即x＋ 2
3y－3z＝0， 3y－3z＝0.
不妨取 n＝(3，
3，2).
设点 A 到平面 SBC 的距离为 d，
则 d＝|A→|Sn·|n|＝|0＋9＋0＋3＋6a4|＝32a.
线面距离、面面距离通常情况下 化归为点面距离求解，求空间点面距离， 若利用传统构造法，关键是“找射影”， 一般是应用垂面法求射影，或等积法间 接求.若利用向量法，建系和求平面法向 量是关键.
例 ：如图 8-7-4，S 是△ABC 所在平面外一点，AB＝BC ＝2a，∠ABC＝120°，且 SA⊥平面 ABC，SA＝3a，求点 A 到 平面 SBC 的距离.
图 8-7-4
解：方法一：如图8-7-5，作AD⊥BC 交BC 延长线于点D， 连接 SD.
∵SA⊥平面 ABC，∴SA⊥BC.
又 SA∩AD＝A，∴BC⊥平面 SAD. 又 BC⊂平面 SBC，
图 8-7-5
∴平面 SBC⊥平面 SAD，且平面 SBC∩平面 SAD＝SD. 过点 A 作 AH⊥SD 于 H，由平面与平面垂直的性质定理， 可知：AH⊥平面 SBC.于是 AH 即为点 A 到平面 SBC 的距离.
在 Rt△SAD 中，SA＝3a，AD＝AB×sin60°＝ 3a， ∴AH＝ SSAA×2＋AADD2＝ 33aa×2＋3a3a2＝32a， 即点 A 到平面 SBC 的距离为32a.