《立体几何中的角度与距离问题》

第三节 立体几何中夹角与距离的计算一、求距离：1、点到平面的距离：①直接法：平面外一点P 在该平面上的射影为P ′，则线段PP ′的长度就是点到平面的距离， “一找二证三计算”；②等体积法：三棱锥换顶点等体积法。

2、直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；3、平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。

点到平面的距离平面到平面的距离直线到平面的距离⇒⎩⎨⎧ 二、求夹角1、两条异面直线所成的角：求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；2、直线和平面所成的角：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。

除特殊位置外，主要是指平面的斜线与它在平面内的射影之间的夹角；3、二面角：通常的作法有：①定义法：在二面角的棱上任取一点O （常指特殊点），过点O 分别在两个半平面内作垂直于棱的射线OA 和OB ，则∠AOB 即为所求二面角的平面角；②三垂线定理或逆定理：过一个半平面内一点P 向另一个半平面作垂线PA ，过点A 向棱作垂线AB ，连接PB ，则∠PAB 即为所求二面角的平面角；③自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．④射影面积法解之，cos θ＝SS '，其中S 为斜面面积，S ′为射影面积，θ为斜面与射影面所成的二面角题型一：异面直线的夹角及二面角例1、如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=12A(I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (II) 证明平面AMD ⊥平面CDE ； （III ）求二面角A-CD-E 的余弦值题型二：点面距离例2、如题（19）图，在四棱锥S ABCD -中，ADBC 且AD CD ⊥；平面CSD ⊥平面ABCD ，,22CS DS CS AD ⊥==；E 为BS 的中点，2,3CE AS ==．求：（Ⅰ）点A 到平面BCS 的距离； （Ⅱ）二面角E CD A --的大小．题型三：线面距离例3、如题（18）图，在五面体ABCDEF 中，AB ∥DC ，2BAD π∠=，2CD AD ==，四边形ABFE 为平行四边形，FA ⊥平面ABCD ，3,7FC ED ==（Ⅰ）直线AB 到平面EFCD 的距离； （Ⅱ）二面角F AD E --的平面角的正切值．题型四：线面夹角例4、如图3，在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =4, 17AA =点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥1A E.（Ⅰ）证明：平面1A DE ⊥平面11ACC A （Ⅱ）求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值题型五：点到面的距离例5、在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图：（1）求证：平面A1BC1∥平面ACD1；（2）求(1)中两个平行平面间的距离；（3）求点B1到平面A1BC1的距离。

立体几何（Ⅱ）——角与距离一、知识网络二、高考考点1.异面直线所成的角；异面直线间的距离.其中，异面直线所成的角是重点，也是难点。

2.直线和平面所成的角；直线与平面的距离.其中，在计算题中，直线和平面所成的角或距离问题为高考命题热点，它不但所占比例大，而且几乎年年有，次次出。

3.二面角、以二面角为载体引出的平行、垂直以及其它的角和距离问题。

三、知识要点1.异面直线所成的角异面直线间的距离（见专题26）2.直线和平面所成的角（1）斜线在平面内的射影（Ⅰ）有关概念：①过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影；这点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。

②一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线叫做这个平面的斜线；斜线和平面的交点叫做斜足；从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段。

③从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影。

（Ⅱ）定理：从平面外一点向平面所引的垂线段和斜线段中①射影等长斜线段等长；②射影较长斜线段较长；③斜线段长大于垂线段。

（2）直线和平面所成的角（Ⅰ）定义与命题①定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

特例：若直线与平面垂直，则说直线和平面所成的角是直角；若直线与平面平行或在平面内，则说直线与平面所成角是0°的角。

认知：设斜线l与平面所成角为θ，则θ∈（0°，90°）；设直线l与平面所成角为θ，则θ∈[0°，90°]。

②命题（最小角定理）：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。

（3）三垂线定理及其逆定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

立体几何中的角度与距离问题【基础知识】一．空间角度问题（一）理解空间中各种角的定义及其取值范围1．异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的概念。

2．各种角的取值范围：（1）异面直线所成的角的取值范围是：0°< θ ≤90°；（2）直线于平面所成的角的取值范围是： 0°≤ θ ≤90°；（3）二面角的大小可以用它的平面角来度量，通常认为二面角平面角的取值范围是： 0°< θ ≤180° （二）空间中的角的计算1、用直接法求角的一般步骤是：（1）找出或做出有关角的图形；（2）证明它符合定义（3）计算（一般通过解三角形）2、异面直线所成的角：用平移转化的方法使它成为相交直线所成的角。

当异面直线垂直时，运用直线垂直平面的定义或三垂线定理（或逆定理）判定所成角是90°.3． 斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段/斜线段及斜线段在平面内的射影。

4． 二面角要转化为其平面角，掌握以下三种基本做法：（1）直接利用定义；（2）利用三垂线定理及其逆定理（3）作棱的垂面另外，还要特别注意观察图形本身是否已含有所求的平面角注意：1.空间各种角的计算方法都是转化为平面角来计算的，应熟练掌握这种转化。

2.计算题必须有推理过程。

二．空间距离问题1．立体几何中的各种距离有：（1）点到直线的距离（2）点到平面的距离（3）平行直线间的距离（4）异面直线间的距离（5）直线与平面的距离（6）两个平面间的距离（7）球面上两点间距离2．空间七种距离求法，通常是转化为平面上两点间的距离：（1）找出或作出有关距离的图形；（2）证明它们就是所求的距离；（3）利用平面几何和解三角形的知识在平面内计算α βAOP A BOP αβ (1)(2)(3)3． 求异面直线距离（1）定义：关键确定公垂线段（2）转化为直线和平面间距离（过a 而与b 平行的平面）（3）转化为平面间距离（4）极值法4． 求点面距离其法有二：（1）直接法，确定垂足的位置（2）等体积法，同一个三棱锥，从不同的角度选择底和高计算体积并加以比较即可。

yzNB CC 11B 11A A 11 Mx浅谈空间角、距离--向量解法随着高考对立体几何考查力度的加大，立体几何中空间向量的运用，已成为解答立体几何问题的通性、通法．利用空间向量来解答问题，能将空间抽象思维转化为坐标运算问题，从而降低了对空间想象能力的要求．以多面体为载体，以空间向量为工具，来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题，是不少立体几何题的主要特征。

用空间向量解立体几何问题，较为程序化，思路自然且较少添加辅助线，更易于被学生接受。

1.空间中夹角的向量求法在立体几何中，空间的角有：异面直线所成的角，直线和平面所成的角，平面和平面所成的角即二面角。

俗称线线角，线面角、面面角。

我们经常遇到求角的问题，这个问题一般都是转化为直线与直线的角来计算，总是先定位，后算其值。

但有时定位非常麻烦，难点在于不知道所求的角在哪儿?辅助线怎么作?灵活运用向量法，这些问题就迎刃而解，下面通过几个例子来说明向量在求角中的应用。

1.1. 异面直线夹角的向量求法异面直线之间夹角的计算可以转化为异面直线间方向向量的夹角的计算，设异面直线n m ,所成的角为θ，则θ等于n m ,的方向向量b a ,所成的角或其补角的大小，则||||||cos b a b a ∙∙=θ。

例1（2000年高考新课程卷试题）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面三角形ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=900，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点。

（1）求BN 的长；（2）求><11,cos CB BA 的值。

解：以C 为原点建立如图空间直角坐标系， （1）B （0，1，0），N （1，0，1）， ∴3)01()10()01(||222=-+-+-=BN （2）)2,1,0(),0,0,0(),2,0,1(11B C A∴5||,6||11==CB BA ， 且3)2,1,0()2,0,1(11=⋅=⋅CB BA ， ∴1030||||111111,cos =>=<⋅⋅CB BA CB BA CB BA1.2. 直线与平面所成的角直线l 与平面α成角θ，a 是直线l 的方向向量，b 是平面α的一个法向量， 则|||||||,cos |sin b a b a b a ∙∙=><=θ。

第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题【学习目标】1.掌握各种角的定义，弄清异面直线所成的角与两直线所成的角，二面角与二面角的平面角，直线与平面所成的角和斜线与平面所成的角，二面角与两平面所成的角的联系与区别，弄清他们各自的取值范围。

2.细心体会求空间角的转化和数形结合思想。

3.掌握各种距离和距离的求解方法.【基础知识】知识点1.求点线、点面、线面距离的方法(1)若P 是平面α外一点，a 是平面α内的一条直线，过P 作平面α的垂线PO ，O 为垂足，过O 作OA ⊥a ，连接P A ，则以P A ⊥a ．则线段P A 的长即为P 点到直线a 的距离(如图所示)．(2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．(3)求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．知识点2.异面直线所成角的常用方法求异面直线所成角的一般步骤：(1)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线.(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角.(3)结论——设(2)所求角大小为θ.若090θ︒<≤︒，则θ即为所求；若90180θ︒<<︒，则180θ︒-即为所求.知识点3.直线与平面所成角的常用方法求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤(1)确定斜线与平面的交点(斜足)；(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形.知识点4.作二面角的三种常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①，则∠AOB 为二面角α-l -β的平面角.(2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图②，∠AOB 为二面角α-l -β的平面角.(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A 向另一个平面作垂线，垂足为B ，由点B 向二面角的棱作垂线，垂足为O ，连接AO ，则AOB ∠为二面角的平面角或其补角.如图③，AOB ∠为二面角l αβ--的平面角.知识点5.求体积的常用方法选择合适的底面，再利用体积公式求解.【考点剖析】考点一：异面直线所成的角例1．在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若2==AC BD ，且AC 与BD 所成的角为60°，则EG 的长为（）A ．1或2B ．2或3C ．1或3D ．12或32考点二：线面角例2．如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，底面ABC 是正三角形，AA '⊥底面ABC ，且1AB =，2AA '=，则直线BC '与平面ABB A ''所成角的正弦值为______．考点三：二面角例3．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==．(1)求证：PC BD ⊥；(2)求二面角P CD A --的正弦值．考点四：距离问题例4．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,,22AB BC AA AC AB BC ⊥===，E ，F 分别是11,AC AB 的中点．(1)证明：AE ∥平面11B C F ．(2)求点C 到平面11B C F 的距离．考点五：体积问题例5．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点F 为线段PC 上的点，过A ，D ，F 三点的平面与PB 交于点E ．(1)证明：//EF 平面ABCD ；(2)若E 为PB 中点，且2AB PA ==，求四棱锥P AEFD -的体积．【真题演练】1．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π62．如图，四棱锥S -ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ） A ．AC ⊥SBB ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角1．线面平行垂直的判定；2．线面角，异面直线所成角3．已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则A ．123θθθ≤≤B ．321θθθ≤≤C ．132θθθ≤≤D ．231θθθ≤≤4．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为A 235D 7 5．已知正方体1111ABCD ABCD -中，E 、F 分别为11、BB CC 的中点，那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为____________.6．如下图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面SAD ⊥平面ABCD ，2SA SD ==，3AB =． （1）求SA 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：AB SD ⊥．7．如图，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =． （1）证明：C//B 平面D P A ；（2）证明：C D B ⊥P ；（3）求点C 到平面D P A 的距离．8．如图，在圆锥PO 中，已知2PO O 的直径2AB =，点C 在AB 上，且30CAB ∠=，D 为AC 的中点．（I ）证明：AC ⊥平面POD ；（II ）求直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值．9．如图，P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，1PA =，P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O ．（Ⅰ）证明PA ⊥BF ；（Ⅰ）求面APB 与面DPB 所成二面角的大小的余弦值．10．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD ∥平面MAC ，PA PD =.(1)判断M 点在PB 的位置并说明理由；(2)记直线DM 与平面P AC 的交点为K ，求DK KM的值；(3)若异面直线CM 与AP M CD A --的平面角的正切值. 11．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AD =1，12AB AA ==，H ，F 分别是棱11C D ，1BB 的中点.(1)判断直线HF 与平面11A BCD 的位置关系，并证明你的结论；(2)求直线HF 与平面ABCD 所成角的正弦值；(3)在线段HF 上是否存在一点Q ，使得点Q 到平面11A BCD ，若存在，求出HQ HF的值；若不存在，说明理由. 【过关检测】1．在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，3AD =，点E 、F 分别是棱AB 、1AA 的中点，E 、F 、1C ∈平面α，直线11A D 平面P α=，则直线BP 与直线1CD 所成角的余弦值为（）A C 2．在正方体1111ABCD ABCD -中，E ，F 分别为棱AD ，11A B 的中点，则异面直线EF 与1CD 夹角的余弦值为（）A D3．如图所示，三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=，且2PA PB AB ===，=PC 则PC 与平面P AB 所成角的余弦值等于（）A B 4．在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若2==AC BD ，且AC 与BD 所成的角为60°，则EG 的长为（）A．1．1．125．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方形1111D C B A 的中心，则下列结论错误的是（） A ．BO AC ⊥B ．BO ∥平面1ACDC ．点B 到平面1ACD D ．直线BO 与直线1AD 的夹角为3π 6．在正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点，则下列结论中正确的是（） A ．1D D AF ⊥B ．二面角F AEC --的正切值为2C ．异面直线1A G 与EFD ．点G 到平面AEF 的距离是点C 到平面AEF 的距离的2倍7．如图，AB 是半球的直径，O 为球心，4,,AB M N =依次是半圆AB 上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且PN MB ⊥，(1)证明：平面PBM ⊥平面PON ；(2)若点P 在底面圆内的射影恰在BM 上，求二面角--A PB N 的余弦值．8．已知平面四边形ABCD ，2AB AD ==，60BAD ∠=︒，30BCD ∠=︒，现将ABD △沿BD 边折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，此时AD CD ⊥，点P 为线段AD 的中点.(1)求证：BP ⊥平面ACD ；(2)若M 为CD 的中点，求MP 与平面BPC 所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，求二面角P BM D --的平面角的余弦值.9．已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD .(1)求证：AC ⊥平面PBD ；(2)当1PD =，BD =PB 与AD 所成角的余弦值；10．已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的菱形，PD ⊥底面ABCD ．(1)求证：AC ⊥平面PBD ；(2)已知1PD =，（Ⅰ）当BD PB 与AD 所成角的余弦值；（Ⅰ）当直线PB 与平面ABCD 所成的角为45︒时，求四棱锥P ABCD -的体积．11．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12BB =.(1)求异面直线11B C 与1A C 所成角正切值的大小；(2)求点1B 与平面1A BC 的距离.第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题【学习目标】1.掌握各种角的定义，弄清异面直线所成的角与两直线所成的角，二面角与二面角的平面角，直线与平面所成的角和斜线与平面所成的角，二面角与两平面所成的角的联系与区别，弄清他们各自的取值范围。

立体几何中角度距离的求法空间向量及其运算1 .空间向量的坐标表示及应用（1）数量积的坐标运算 _____________________________________________________ 设 a ＝（a 1，a 2，a 3），b ＝（b 1，b 2，b 3），则 a ·b ＝ _____________________________________ （2）共线与垂直的坐标表示设 a ＝（a 1，a 2，a 3）， b ＝（b 1，b 2，b 3），则 a ∥b ? ________a ⊥b ? _________ ? _______________________ （ a ，b 均为非零向量 ）. （3）模、夹角和距离公式 设 a ＝ （a 1， a 2， a3）， b ＝ （b 1，b 2，b3），设 A （a 1，b 1，c 1），B （a 2， b 2，c 2）， 则 d AB ＝|A →B|＝ ____2.空间向量的数量积及运算律 （1）数量积及相关概念① 两向量的夹角， 已知两个非零向量 a ，b ，在空间任取一点 O ，作O →A ＝a ，O →B ＝b ，则∠AOB叫做向量 a 与 b 的夹角，记作 ___________ ，其范围是 __________ ，若〈 a ，b 〉＝ 2π，则 称 a 与 b _________，记作 a ⊥ b .② ___________________________________________________ 两向量的数量积， 已知空间两个非零向量 a ，b ，则 _____________________________________ 叫做向量 a ，b 的数量积， 记作 ________ ，即 __________________ .（2）空间向量数量积的运算律①结合律： （λa ） ·b ＝ _____ ； ②交换律：a ·b ＝ _________③ ________________________分配律： a ·（b ＋ c ）＝ .2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理（1）共线向量定理对空间任意两个向量 a ，b （b ≠0） ，a ∥b 的充要条件是推论， 如图所示，点 P 在 l 上的充要条件是： O →P ＝O →A ＋ t a ①其中 a 叫直线 l 的方向向量， t ∈R ，在 l 上取 A →B ＝a ， 则①可化为 O →P ＝ ______________________ 或O →P ＝（1－t ）O →A ＋ tO →B.（2）共面向量定理的向量表达p ＝ __________ ，其中 x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，M →→→→→→yO →A ＋z O →B ， 其中 x ＋ y ＋ z ＝ .（3）空间向量基本定理，如果三个向量 a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量 p ，存在有序实数组 { x ，y ， z} ，使得 p ＝ ________ ，把 { a ， b ， c }叫做空间的一个基底 .则 |a |＝ a ·a ＝cos 〈a ， b 〉a ·b|a||b|用向量的方法求角度(一)知识清单1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1) 直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量.(2) 平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向n·a＝0量，则求法向量的方程组为.n·b＝02.空间向量与空间角的关系(1) ____________________________________________________________________________ 设异面直线l 1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cos θ＝__________ .(2) 设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l 与平面α所成角θ满足sin θ＝ ________ .(3) 求二面角的大小1°如图①，AB、CD 是二面角α—l—β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小2°如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ 满足cos θ＝ __________________________________ .(二) 题型题型一求异面直线所成的角例 1 如图所示，在长方体ABCD —A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3AA1＝2.E、F 分别是线段AB、BC 上的点，且EB＝BF＝1. 求直线EC1 与FD1所成的角的余弦值.解方法一以 A 为原点，A→B、A→D、A→A1分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D 1(0,3,2) ，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)，于是E→C1＝(1,3,2)，F→D1＝(－4,2,2)，设EC1 与FD1所|EC1·FD 1| ＝1× －4 ＋3×2＋2×2|E →C1| |·F→D1|12＋32＋22× －4 2＋22＋22∴直线EC1与FD1所成的角的余弦值为21.14方法二延长BA 至点E1，使AE1＝1，连接E1F、DE1、D1E1、有D1C1∥E1E，D1C1＝E1E，则四边形 D 1E1 EC1 是平行四边形＝21，＝14，成的角为β，则：cos β＝则E1D 1∥EC 1.于是∠ E1D 1F(或补角)为直线EC1与FD1所成的角.在Rt△BE1F中，E1F＝E1B2＋BF 2＝52＋12＝26.在 Rt △ D 1DE 1中， D 1E 1＝ DE 12＋DD 21＝ AE 12＋AD 2＋DD 12＝ 12＋32＋22＝ 14. 在 Rt △D 1DF 中，FD 1＝ FD 2＋DD 12＝ CF 2＋CD 2＋ DD 12＝ 22＋42＋22＝ 24.练习 1 如图，在四棱锥 O —ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的菱形， π∠ABC ＝4.OA ⊥底面 ABCD ，OA ＝2，M 为 OA 的中点， N 为 BC 的中点 . (1)证明：直线 MN ∥平面 OCD ；(2) 求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 .(1)证明作 AP ⊥CD 于点 P.如图，分别以 AB ，AP ，AO 所在直线为 x ， y ，z轴建立直角坐标系 .A(0,0,0)，B(1,0,0)，P 0， 22， 0 ，D － 22， 22， 0 ，题型二 求直线与平面所成的角例 2 如图所示，直三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 中，底面是等腰直角三角形， ∠ACB ＝90°，侧棱 AA 1＝2，D 、E 分别是 CC 1、A 1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是△ ABD 的重心 G. 求 A 1B 与平面 ABD 所成角的正弦值 .解建立空间直角坐标系，坐标原点为 C ，设 CA ＝ 2a ，则 A(2a,0,0)，B(0,2a,0)在△E 1FD 1 中，由余弦定理得： cos ∠ E1D 1F ＝ D 1E 12＋FD 21－ E 1 F 2 2×D1E 1×FD 1 21. 14 .∴直线 EC 1 与 FD 1所成的角的余弦值为21. 14 .D(0,0,1)， A 1(2a,0,2)， E(a ，a,1)，G ，23a ， 31 ，E →G ＝ － BD ＝(0， －2a,1)，·B →D ＝32a 2－23＝0，∴a ＝1，E →G ＝ －31，－ 13， a ，3，O(0,0,2)，M(0,0,1)， N 1－ 42， 42， 0 . M →N ＝OD ＝2， 2，22，－2 .设平面 OCD 的法向量为 n ＝ (x ， y ，z)， 则 n ·O →P ＝ 0， 22y －2z ＝0，n ·O →D ＝0.即－ 22x ＋ 22y －2z ＝ 0.取 z ＝ 2，解得 n ＝ (0,4， 2).∵M →N ·n ＝ 1－ 2，24，4，－ 1 ·(0,4， 2)＝0，∴MN ∥平面 OCD.(2)解设 AB 与 MD 所成角为 θ， ∵A →B ＝(1,0,0)，M →D ＝ － 2， 222∴ cos θ＝ |AB ·MD | |A →B||·M →D |ππ∴θ＝3.∴直线 AB 与 MD 所成的角为 3.22，－ 2 ，2， 2，－ 11－ 4 ， 4 ，－112， θ∈于是 cos 〈 n ，A →D 〉n·AD ＝ － 3 7 |n | |·A →D| 4× 2 3题型三 求二面角 例 3 如图，四边形 ABCD 为正方形， (1)证明：平面 PQC ⊥平面 DCQ ； (2)求二面角 Q — BP — C 的余弦值 .(1)证明如图，以 D 为坐标原点，线段以 AD 、DP 、DC 所在直线为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz. 依题意有 Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则 D →Q ＝(1,1,0) ，D →C ＝ (0,0,1) ，P →Q ＝(1，－ 1,0). 所以P →Q ·D →Q ＝0，P →Q ·D →C ＝0，即 PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC.又 DQ ∩DC ＝D ，所以 PQ ⊥平面 DCQ. 又 PQ? 平面 PQC ，所以平面 PQC ⊥平面 DCQ.(2)解依题意有 B(1,0,1)，C →B ＝(1,0,0)，B →P ＝(－1,2，－ 1).A 1B ＝(－2,2，－ 2).∵EG 为平面 ABD 的一个法向量， 且 cos 〈A →1B ，E →G 〉＝ A →1B ·E →G ＝ 32，∴A 1B 与平面 ABD 所成角的正弦值是 32. |A →1B||E →G| 3 3 练习 2 如图所示，在正三棱柱 ABC —A 1B 1C 1中， AB ＝4，AA 1＝ 7， 点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AC 上，且 DE ⊥A 1E. (1)证明：平面 A 1DE ⊥平面 ACC 1A 1； (2) 求直线 AD 和平面 A 1DE 所成角的正弦值 . (1)证明由正三棱柱 ABC —A 1B 1C 1的性质知，AA 1⊥平面 ABC.又DE? 平面 ABC ，所以DE ⊥AA 1.又 DE ⊥A 1E ，AA 1∩ A 1E ＝ A 1， 所以 DE ⊥平面 ACC 1A 1 .又 DE? 平面 A 1DE ， 故平面 A 1DE ⊥平面 ACC 1A 1. (2)解 如图所示，设 O 是 AC 的中点，以 O 为原点建立空间直角坐标 系，则相关各点的坐标分别是 A(2,0,0)， A 1(2,0， 7)， D(－ 1， 3，0)，E(－1,0,0).易知 A →1D ＝(－3， 3，－ 7)， D →E ＝(0，－ 3，0)，A →D ＝ (－3， 3，0).设 n ＝(x ， y ，z)是平面 A 1DE 的一个法向量，则 n ·D →→E ＝－ 3y ＝0， n ·A →1D ＝－ 3x ＋ 3y －7z ＝ 0. 解得 x ＝－ 37z ，y ＝0. 故可取 n ＝( 7，0，－ 3).故直线 AD 和平面 A 1DE 所成角的正弦值为21 8218 PD ⊥平面 ABCD ，PD ∥QA ， QA ＝AB ＝12PD.2 DA 的长为单位长，即 n设 n ＝ (x ， y ， z)是平面 PBC 的法向量，同理，设 m 是平面 PBQ 的法向量，故二面角 Q —BP —C 的余弦值为－ 515.B →D ＝(－2 3， 2,0). ∴B →D ·A →P ＝0，B →D ·A →C ＝0. ∴BD ⊥ AP ，BD ⊥AC.又∵ PA ∩ AC ＝ A ，∴ BD ⊥面PAC.(2)解 设平面 ABD 的法向量为 m ＝ (0,0,1)，设平面 PBD 的法向量为 n ＝ (x ， y ， z)， 则 n ·B →D ＝ 0，n ·B →P ＝ 0.∵B →P ＝ ( －2 3，0,3)，二距离的求法 ②等体积法，转化为求三棱锥的高③等价转移法； 则 B 到平面 α的距离 d④法向量法 .如图，设 AB 为平面 α的一条斜线段， n 为平面 α的法向量，2 题型则n ·C →B ＝ 0，n ·B →P ＝ 0，m ·BP ＝0，则 可取 m ＝ (1,1,1).所以 cos 〈 m ， n 〉 m ·P →Q ＝0，15 5(2)求二面角 P —BD —A 的大小 .(1)证明 如图，建立坐标系，则 A(0,0,0)， B(2 3，0,0)，C(2 3， 6,0)， y ＝ 3x ，解得2 3 z ＝ 3 x. 令 x ＝ 3， 则 n ＝ ( 3，3,2)，面角 P —BD — A 的大小为 60°.1.点面距的求法 ①垂面法：借助面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键题型一 用向量法求空间距离x ＝0，－x ＋2y －z ＝0. 因此可取 n ＝(0，－ 1，－ 2).练习 3 如图，在底面为直角梯形的四棱锥 P —ABCD 中， AD ∥BC ， ∠ABC ＝90°， PA ⊥平面 ABCD ，PA ＝3，AD ＝2，AB ＝2 3，BC ＝6.(1)求证： BD ⊥平面 PAC ；D(0,2,0)，P(0,0,3)，∴A →P ＝ (0,0,3)，A →C ＝(2 3，6,0)，－ 2 3x ＋ 2y ＝0， －2 3x ＋ 3z ＝ 0 ∴cos 〈m ，n 〉＝|m m ·||nn |＝21.例 1 在三棱锥 S —ABC 中，△ ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC ⊥平面 ABC ，SA ＝SC ＝2 3，M 、N 分别为 AB 、 SB 的中点，如图所示 . 求点 B 到平面 CMN 的距离 .说明 :点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础仍出于几何法 .如本题，事 实上，作 BH ⊥平面 CMN 于 H.由B →H ＝B →M ＋M →H 及B →H ·n ＝n ·B →M ， ∴|B →H ·n |＝|n ·B →M|＝|B →H| |·n |， ∴|B →H|＝|n ·|n B |M|，即 d ＝|n ·|n B |M|.解 取 AC 的中点 O ，连接 OS 、 OB.∵SA ＝SC ，AB ＝BC ， ∴AC ⊥SO ，AC ⊥ BO. ∵平面SAC ⊥平面 ABC ，平面 SAC ∩平面 ABC ＝AC ，∴ SO ⊥平面 ABC ，又∵ BO? 平面 ABC ，∴SO ⊥BO.如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz ，则 B （0,2 3， 0），C （－2,0,0），S （0,0,2 2），M （1， 3，0），N （0， 3， 2）. ∴C →M ＝ （3， 3， 0）， M →N ＝ （ － 1,0， 2）， M →B ＝ （－ 1， 3，0）. 设n ＝（x ，y ，z ）为平面 CMN 的一个法向量， ，取 z ＝1，则 x ＝2，y ＝－ 6，∴ n ＝（ 2，－ 6，1）.∴点 B 到平面 CMN 的距离 d ＝|n ·MB|＝432. 3练习 1 如图，△ BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面MCD ⊥平面 BCD ，AB ⊥平面 BCD ， AB ＝2 3 .求点 A 到平面 MBC的距离 .解 取 CD 中点 O ，连接 OB ，OM ，则 OB ⊥CD ，OM ⊥CD. 又平面 则MO ⊥平面 BCD .取O 为原点，直线 OC 、BO 、OM 为 x 轴、y 轴、z 轴， 建立空间直角坐标系如图 .OB ＝OM ＝ 3，则各点坐标分别为 C （1,0,0）， M （0,0， 3），B （0，－ 3，0），A （0，－ 3，2 3）.设 n ＝（x ，y ，z ）是 平面 MBC 的法向量，则 B →C ＝ （1， 3，0），B →M ＝（0， 3， 3）， 由 n ⊥B →C 得 x ＋ 3y ＝0； 由n ⊥B →M 得 3y ＋3z ＝0.取 n ＝（ 3，－1,1），B →A ＝（0,0,2 3）， 则点 A 到平面 MBC 的距离|B →A ·n | 2 3 2 15 d ＝|n | ＝5 ＝5 . 题型二 用等体积法求距离 例2 已知直二面角 D AB E 中，四边形ABCD 是边长为 2 的正方形， AE=EB,F 为 CEC →M ·n ＝3x ＋ 3y ＝0则→M →N ·n ＝－ x ＋ 2z ＝|n |上的点，且 BF 平面 ACE(1) 求证 AE 平面 BCE , (2) 求二面角 B AC E 的大小， (3) 求点 D 到平面 ACE 的距离练习 2、如图，已知正三棱柱 ABC — A 1B 1C 1的底面边长是 2， D 是侧棱 CC 1的中点，直 线 AD 与侧面 BB 1C 1C 所成的角为 45 ．AFE 为二面角 A BD C 的平面角 在 Rt BEF 中，BE 1,sin EBF CD 2 3， EFBD 22( 2)23Ⅱ) Ⅲ) 解： 求此正三棱柱的侧棱长； 求二面角 A BD C 的大小； 求点 C 到平面 ABD 的距离． Ⅰ)设正三棱柱BEABC— A 1B 1C 1的侧棱长为 x ． C取 BC 中点 E ，连 AE ． ABC 是正三角形， AE BC ．又底面 ABC 侧面 BB 1C 1C ， 且交线为 BC ． AE侧面BB 1C 1C ．连 ED ，则直线 AD 与侧面 BB 1C 1C 所成的角为AEADE 45 ． 在 Rt AED 中， tan45 ED3，解得 x 2 2 此正三棱1 x 42柱的侧棱长为 2 2 ． 注：也可用向量法求侧棱长． Ⅱ)解法 1：过 E 作 EF BD 于 F ，连 AF ，AE侧面 BB 1C 1C, AF BD ．EF BEsin EBF ，又33． 又AE 3,A 1AB1DC 1在 Rt AEF 中， tan AFE EF 3，故二面角 A BD C 的大小为 arctan3． 解法 2 ：（向量法，）Ⅲ）解法 1 ：由（Ⅱ）可知， BD 平面 AEF , 平面 AEF 平面 ABD ，且交线为 AF ， 过 E 作 EG AF 于G ，则 EG 平面 ABD解法 2 ：取 AB 中点 H ，连 CH 和 DH ，由 CA CB, DA DB ，易得平面 ABD 平面CHD ，且交线为 DH ．过点 C 作CI DH 于 I ，则CI 的长为点 C 到平面 ABD 的距离． 解法 3：等体积变换 :由 V C ABD V A BCD 可求．解法 4 ：（向量法，见后）题（Ⅱ） 、（Ⅲ）的向量解法：取 n 1 ( 6, 3,1). 又平面 BCD 的一个法向量 n 2 (0,0,1).结合图形可知，二面角 A BD C 的大小为 arccos 10 ． 10 Ⅲ)解法 4 ：由(Ⅱ)解法 2 ， n 1 ( 6, 3,1), CA (0, 1, 3)(0, 1, 3) ( 6, 3,1) 2 30( 6)2 ( 3) 2 12 10在 Rt AEF 中， EGAE EF AF3 33( 3) 2 ( 33)230 10E 为 BC 中点， 点C 到平面 ABD 的距离为 2EG2 30 10Ⅱ)解法 2：如图，建立空间直角坐标系 o xyz ． z A 则 A(0,0, 3), B(0, 1,0), C(0,1,0), D ( 2,1,0) ．设n 1（x, y, z ）为平面 ABD 的法向量． n 1n 2 AB 0,得AD 02 x y 3z 0n 1 n 2cos n 1 ,n 2n 1 n 210( 6, 3,1) (0,0,1) 2 2 210点 C 到平面 CA n 1n 1B1BC 1DCyABD 的距离 d5.设 A （2,3,1），B （4,1,2），C （6,3,7），D （－5，－4,8），则 D 到平面 ABC的距离为6 在空间直角坐标系 O —xyz 中，平面 OAB 的一个法向量为 n ＝（2，－2,1），已知点 P （－1,3,2）， 则点 P 到平面 OAB 的距离 d 等于（ B ） A. 4 B. 2 C .3 D .1练习题1.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为 a 的正方体 ABCO —A ′B ′C ′D ′，A ′C 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为22a2 在长方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1中， AA 1＝5，AB ＝12，那么直线 B 1C 1和平面 A 1BCD 1 的距离是 ___61033.正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为 1，E 、F 分别为 BB 1、CD 的中点，则点 F 到平面 A 1D 1E的距离为 __3105 _____ .4.在四面体 PABC 中， PA ，PB ，PC 两两垂直，设 PA ＝ PB ＝ PC ＝a ，则点 P 到平面 ABC 的距离为___33a49 17__________ . 17______ .7 已知在矩形 ABCD 中， AB ＝4，AD ＝ 3，沿对角线 AC 折叠，使面 ABC 与面 ADC 垂直，求 B 、 D 间的 距离． 解方法一 如图，过 D 、B 分别作 DE ⊥AC 于点 E ，BF ⊥AC 于点 F ，则由已知条件得 AC ＝5， 2 AD ·DC 12 AB ·BC 12 AD 2 9 7 ∴DE ＝ ＝ ，BF ＝ ＝ . ∴AE ＝ ＝ ＝CF. ∴EF ＝AC －2AE ＝ . AC 5 AC 5 ∴ ＝ AC 5 5 → → → → → 2 → → → 2 ∵DB ＝DE ＋EF ＋FB ， ∴|DB|2＝|DE ＋ EF ＋FB|2 → → → → → → → → → ＝DE 2＋EF 2＋FB 2＋2DE ·EF ＋2DE ·FB ＋2EF ·FB. ∵面 ADC ⊥面 ABC ，而 DE ⊥AC ， ∴DE ⊥面 ABC ，∴ DE ⊥ BF.（8 分） ∴|D →B |2＝D →E 2＋E →F 2＋F →B 2＝144＋49＋144＝337. 25 25 25 25 ∴|D →B |＝ 337，故 B 、D 间的距离为 337 55 方法二 过E 作 FB 的平行线交 AB 于 P 点，以E 为坐标原点， EC 、ED 所在直线分别为 x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，EF ＝ 57.（4 分） x 12 由方法一知 DE ＝FB ＝ ∴D 0，0， 152 ，B ∴|D →B|＝ 5 ，7 ，5 ＋ 7 2 ＋＋ 5 ＋ 0. 12 2 337 5＝5。

D BA C α一、空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角 1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π。

（2）求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决（3）具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角 2、直线与平面所成的角（1）直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。

（2）求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

（3）具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。

3、二面角（1）二面角的范围在课本中没有给出，一般是指],0(π，解题时要注意图形的位置和题目的要求。

（2）作二面角的平面角常有三种方法图一 图二 图三 ①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角； 如图一示②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角； 如图二示③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角 如图三示1、点到直线的距离：点Ｐ到直线a 的距离为点Ｐ到直线a 的垂线段的长，常先找或作直线a 所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作a 的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a 的距离。

在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可。

例1、在△ABC 中，AB=2，BC=3，AC=4，求点A 到BC 的距离。

解：作BC AD ⊥，垂足为D ，又 AB=2，BC=3，AC=4， 874322432cos 222222=⨯⨯-+=⋅-+=∴BC AC AB BC AC C815)87(1sin 2=-=∴C41538154321sin 4321=⨯⨯⨯=⨯⨯=∴∆C S ABC AD BC S ABC ⋅=∆21又 2153415322=⨯==∴∆BCS AD ABC∴点A 到BC 的距离为2152、点到平面的距离：点Ｐ到平面α的距离为点Ｐ到平面α的垂线段的长．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面α的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为n m :，则点Ａ，Ｂ到平面α的距离之比也为n m :．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面α的距离相等；③体积法例2、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，,22,2,51===AA BC AB E 在AD 上，且AE=1，F 在AB 上，且AF=3，（1）求点1C 到直线EF 的距离；（2）求点C 到平面EF C 1的距离。

立体几何第六课 §用空间向量求距离和角度一、知识点向量的常用方法 ①点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α的距离为②.异面直线间的距离 ：d =(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).③.直线AB 与平面所成角：sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).④.求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.二、例题1．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长为1，M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱1CC 上的点，且12CN C N ＝。

（Ⅰ）求二面角1B AM N --的平面角的余弦值；（Ⅱ）求点1B 到平面AMN 的距离。

2．如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ．底面ABCD 为矩形，,AD AB =，SA SD a ==．（Ⅰ）求证：CD SA ⊥；（Ⅱ）求二面角C SA D --的大小. 3.如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∠B 1A 1C 1=90°，D 、E 分别为CC 1和A 1B 1的中点，且A 1A=AC=2AB=2． (I)求证：C 1E∥平面A 1BD ； (Ⅱ)求点C 1到平面A 1BD 的距离．4.如图，在四棱锥ABCD P －中，底面ABCD 是菱形，060BAD ＝∠，2AB ＝，1PA ＝,⊥PA 平面ABCD ，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点. (Ⅰ) 求证：BE ∥平面PDF ；（Ⅱ）求证：平面PDF ⊥平面PAB ；（Ⅲ）求平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的大小.5.已知四边形ABCD 满足AD ∥BC ，12BA AD DC BC a ====，E 是BC 的中点，将BAE ∆沿着AE翻折成1B AE ∆，使面1B AE ⊥面AECD ，F 为1B D 的中点. （Ⅰ）求四棱1B AECD -的体积；（Ⅱ）证明：1B E ∥面ACF ；（Ⅲ）求面1ADB 与面1ECB 所成二面角的余弦值.6.如图，在四棱锥S —ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD是矩形，且SD AD ==，E 是SA 的中点。

DBA C α立体几何第三课 §用传统方法求距离和角度一、知识点1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π。

求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：①作平行四边形对边； ②作三角形中位线；（2）直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。

求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。

注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有αθ≤； （3）二面角的范围是],0(π，作二面角的平面角常有三种方法①定义法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角； ②三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；③射影面积法：θcos ⋅='S S (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成二面角的平面角) 2．空间的距离求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

点到平面的距离：点Ｐ到平面α的距离为点Ｐ到平面α的垂线段的长． 常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长，“一找二证三求”；②等体积法锥体体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高）二、例题1、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 例题1证明：在ADE ∆中，222AD AE DE =+，∴AE DE ⊥∵PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥又PA AE A ⋂=，∴DE ⊥平面PAE （2）DPE ∠为DP 与平面PAE 所成的角在Rt PAD ∆，42PD =，在Rt DCE ∆中，22DE =在Rt DEP ∆中，2PD DE =，∴030DPE ∠=2、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ．（1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ；（2）求证：AD PB ⊥；（3）求二面角A BC P --例题2证明：（1）ABD ∆为等边三角形且G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴BG ⊥平面PAD （2）PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点，∴AD PG ⊥且AD BG ⊥，PG BG G ⋂=，∴AD ⊥平面PBG ，PB ⊂平面PBG ，∴AD PB ⊥（3）由AD PB ⊥，AD ∥BC ，∴BC PB ⊥又BG AD ⊥，AD ∥BC ，∴BG BC ⊥∴PBG ∠为二面角A BC P --的平面角 在Rt PBG ∆中，PG BG =，∴045PBG ∠=3、如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点， 2, 2.CA CB CD BD AB AD ======（I ）求证：AO ⊥平面BCD ；（II ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （III ）求点E 到平面ACD 的距离。

高三数学高考第一轮复习——立体几何中的角度距离（文）人教实验A 版【本讲教育信息】一. 教学内容：立体几何中的角度距离二. 重点、难点： 1. 角度（1）两条异面直线所成角]2,0(π（2）直线与平面所成角]2,0[π（3）二面角],0[π2. 距离（1）作垂线 （2）体积转化【典型例题】[例1] PA 、PB 、PC 两两垂直，l 与PA 、PB 所成角为45°，60°，求l 与PC 所成角。

解：构造长方体1cos cos cos 222=++γβα1cos 41212=++γ 21cos =γ ︒=60γ[例2] 正四棱锥S —ABCD 中，AB=a ，SA=a 2，M 为SA 中点，N 为SC 中点。

（1）求BN ，DM 所成角的余弦值；（2）P 、Q 在SB 、CA 上，5:2::==QA CQ PB SP ，求PQ 与底面ABCD 所成角的正切值。

解：（1）⇒=⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⇒=⇒DF EM AB DF CD F AB EM SB E //21//21//中点为中点为MEFD EF MD //⇒H 为SN 中点BN EH 21//=⇒ a BN 26=a EH 46= 61cos 43426-=∠==HEF a HF a EF∴ 异面直线MD 、BN 所成角的余弦值为61（2）过P 作PH//SO 交BD 于H ∴ PH ⊥面ABCD ∴ ∠PQH 为PQ 与底面所成角222PH BH PB += ∴ a PH 14145=a HQ 1426= 13915tan ==∠HQ PH PQH[例3] SA ⊥面ABC ，AB ⊥BC ，DE 在面SAC 内，垂直平分SC ，交SC 、AC 于E 、D ，若SA=AB=1，BC=2，求二面角（1）B —SC —A 的余弦值；（2）E —BD —C 。

解：（1）⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫==⇒==SC SC DE SC BE BC SB AB SA 221面DEB∴ ∠DEB 为二面角A —SC —B 的平面角⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⊥BD BD SA DB SC BED SC 面面SAC∴ ∠EDC 为二面角C —BD —E 的平面角∴ BE DE DEB =∠cos CDDEEDC =∠cos∵ AB=SA=1 AC=3 SC=2∴ BE=1 DE=33 CD=332 ∴ 33cos =∠DEB ∵ 21cos ==∠CD DE EDC ∴ ︒=∠60EDC[例4] 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=1，求：（1）D 到面D 1AC 的距离； （2）C 到面AB 1D 1的距离；（3）M 为BB 1中点，M 到面D 1AC 的距离； （4）AC 1与BB 1的距离解：（1）连BD ∩AC=EB B DD AC AC DD BD AC 111面⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥过D 作DF ⊥D 1E 于F ，AC D DF E D DF DF AC 11面⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥∴∴ DF 为距离 33=DF（2）设C 到面AB 1D 1的距离为h ∴ h S V D AB D AB C ⋅=∆-111131 h V ⋅︒⋅⋅⋅=]60sin )2(21[31312正 332=h （3）连DM 交D 1E 于H ，设M 到面D 1AC 距离为hh DF HM DH = 3221=⇒=HM DH DH MG ∴ 23=h（4）),(),(11111A ACC BB d BB AC d 面=()22,11===BE A ACC B d 面[例5] 四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 为菱形，AB=2，∠BAD=60°，PB=PD ，PA=PC=6，求：（1）B 到面PAD 的距离； （2）BC 与PA 的距离； （3）AC 与PD 的距离。

三、空间的角与距离一．角1.异面直线所成的角： 范围是]2,0(π；一般方法是平移直线，构造三角形，把异面问题转化为共面问题来解决。

平移时，固定一条，平移另一条（在某平面内），或两条同时平移到某特殊位置，顶点选择在特殊位置上； 2.直线与平面所成的角： 范围是]2,0[π。

关键是：找过斜线上一点与平面垂直的直线；连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；把该角置于三角形中计算。

注:确定点的射影位置有以下几种方法：①结论：如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；；②两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上； ③利用三棱锥的有关性质：a.若侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，则顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b.若顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，则顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，则顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心； 3．二面角 二面角的范围一般是指],0(π。

作二面角的平面角常有三种方法 ①定义法：②三垂线定理法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；③垂面法： 作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线所成的角就是二面角的平面角。

④面积射影法：θcos ⋅='S S (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成二面角的平面角)它对于任意多边形都成立，是求二面角的好方法.当作角困难时,易求斜面及射影面积,可直接用公式求出二面角的大小。

二．空间的距离（1）点到平面的距离常用求法 （点到直线的距离、直线到平面的距离及平面与平面间的距离（仅平行时）略） ①定义法：作垂线②转移法：平行线转移或中点转移（斜线中点）等 ③等体积法：（2）异面直线间的距离常有求法： 异面直线b a ,间的距离为b a ,间的公垂线段的长． ①定义法②转化为线面距离： 找或作出过b 且与a 平行的平面，则直线a 到平面的距离就是异面直线b a ,间的距离． ③转化为面面距离： 找或作出分别过b a ,且与b ，a 分别平行的平面，则它们距离就是异面直线b a ,间的距离． 1、已知四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 是菱形⊥︒=∠PD DAB ,60平面ABCD ，PD=AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中 点（1）证明平面PED ⊥平面PAB ；（2）求二面角P —AB —F 的平面角的余弦值ABC DA1E B1C12. 四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD.①若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；②证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°3. 如图，已知四棱锥P —ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的 正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°。

【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题21立体几何之夹角、距离问题目录一览一、典型例题讲解二、梳理必备知识三、基础知识过关四、解题技巧实战五、跟踪训练达标（1）面面夹角（2）线面夹角（3）点到线的距离（4）点到面的距离六、高考真题衔接1.空间中的角（1）异面直线所成角公式：设 a ， b 分别为异面直线1l ，2l 上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cos cos ,⋅== a b a b a bθ．（2）线面角公式：设l 为平面α的斜线， a 为l 的方向向量， n 为平面α的法向量，θ为二、梳理必备知识l 与α所成角的大小，则sin cos ,⋅== a n a n a nθ．（3）二面角公式：设1n ，2n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则12,= n n θ或12,- n n π（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cos ⋅= n n n n θ．2.空间中的距离求解空间中的距离（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．如图，设两条异面直线，a b 的公垂线的方向向量为 n ，这时分别在，a b 上任取，A B 两点，则向量在 n 上的正射影长就是两条异面直线，a b 的距离．则||||||||⋅=⋅= n AB n d AB n n 即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．（2）点到平面的距离A 为平面α外一点（如图）， n 为平面α的法向量，过A 作平面α的斜线AB 及垂线AH ．|n ||n |||||sin |||cos ,|=||n n ⋅⋅=⋅=⋅<>=⋅ AB AB AH AB AB AB n AB AB θ，||||⋅= AB n d n 三、解题技巧实战1．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB CD ∥，AB ⊥BC ，122BC CD PA PD AB =====，PC =E 为AB 的中点．(1)证明：BD ⊥平面APD ；(2)求平面APD 和平面CEP 的夹角的余弦值．在△CDO 中，易得222OC CD DO =+-又23PC =，∴222OC PO PC +=，∴PO则D （0，0，0），()22,0,0A ，(0,22,0B ∴()22,2,2CP =- ，()22,0,0CE = ，∵BD ⊥平面APD ，∴平面APD 的一个法向量为则2200n CP n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得22220220x y z x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，取∴1212cos ,212n n ==⨯ ，∴平面APD 和平面CEP 的夹角的余弦值为【点睛】方法点拨利用向量法求二面角的方法主要有两种：（平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的范围；两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．2．如图，已知多面体111ABC A B C -中，111,,A A B B C C 均垂直于平面ABC ,120ABC ∠= ，14A A =，111,2C C AB BC B B ====.请用空间向量的方法解答下列问题：求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值.由题意知()(0,3,0,1,0,0A B -设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为可知()(10,23,1,1,AC AB == 设平面1ABB 的法向量(,n x = 则10,0,n AB n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即30,20,x y z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩令1y =，则3,0x z =-=，可得平面111sin cos ,AC AC n AC θ⋅∴==⋅ ∴直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值是3．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝90°，M 为BB 1的中点，N 为BC 的中点．（1）求点M 到直线AC 1的距离；（2）求点N 到平面MA 1C 1的距离．则A(0，0，0)，A1(0，0，（1）直线AC1的一个单位方向向量为故点M 到直线AC1的距离（2）设平面MA1C1的法向量为则1111·0·0n A C n A M ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ,即202y x z =⎧⎨-=⎩不妨取x ＝1，得z ＝2，故因为N(1，1，0)，所以MN 故N 到平面MA1C1的距离222102102MN n d n -+-==++ 四、跟踪训练达标面面夹角1．（2023·全国·浮梁县第一中学校联考模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，E 为棱AD 上一点，,PE AD PA PC ⊥⊥，四边形BCDE 为矩形，且13,,//4BC PE BE PF PC PA ==== 平面BEF .(1)求证：PA ⊥平面PCD ；(2)求二面角F AB D --的大小.因为//PA 平面BEF ，平面PAC 又//BE CD ，所以AF AF DE BC GC ==则(1,0,0),(0,3,0),(3,0,0),A B D F -设平面ABF 的一个法向量为(m = 则7330444030AF m x y AB m x y ⎧⎧⋅=-++⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-+=⎩又平面ABD 的一个法向量为(0,0,1)n = 故二面角F AB D --的大小为π4.2．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）已知多面体ABCDEF 中，AD BC EF ∥∥，且4AD CD DE ===，2BC EF ==，π3BCD FED ∠∠==(1)证明：AD BF ⊥；(2)若BF =C AF B --的余弦值．在BCD △中，4DC =，2BC =2222cos BD BC DC BC DC =+-⋅⋅同时AD ∥BC ，可得DB AD ⊥因为BD AD ⊥，DF AD ⊥，且所以AD ⊥平面BDF ；又因为BF ⊂平面BDF ，所以AD （2）在BDF V 中，2BD FD ==即222BD FD BF +=，所以BD ⊥以D 为原点，,,DA DB DF 的方向分别为建立空间直角坐标系如图．其中(4,0,0),(0,23,0),(0,0,23),(2,23,0)A B F C -，所以()()()4,23,0,4,0,23,6,23,0AB AF AC =-=-=- 设向量(,,)n x y z = 为平面ABF 的法向量，满足0423004230n AB x y n AF x z ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪∴⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩ ，不妨令3x =，则2y z ==，故(3,2,2)n = ，设向量(,,)m p q r =为平面ACF 的法向量，满足0423006230m AF p r m AC p q ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪∴⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩ 不妨令3p =，则2,3r q ==，故(3,3,2)m = 131311cos ,||||44114m n m n m n ⋅〈〉===⨯ 由图可知二面角为锐角，所以二面角C AF B --的余弦值为131144.3．（2023·云南昆明·统考一模）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，ABC 是等边三角形，AB AD ⊥(1)从三个条件：①AC BD ⊥；②120ADC ∠=︒；③2BD AD =中任选一个作为已知条件，证明：1BC DC ⊥；(2)在（1）的前提下，若13AB AA =，P 是棱1BB 的中点，求平面1PDC 与平面1PDD 所成角的余弦值．【答案】(1)证明见详解(2)710对②：∵180ADC ABC ∠+∠=又∵AB AD ⊥，即90BAD ∠=可得90BCD ∠=︒，即BC CD ⊥又∵1CC ⊥平面ABCD ，BC ∴1BC CC ⊥，且1CD CC =I 故BC ⊥平面11CDD C ，注意到1DC ⊂平面11CDD C ，故对③：∵AB AD ⊥，即BAD ∠在Rt BAD 中，则sin ABD ∠故30,ABD CBD AB ∠=∠=︒=故90BCD BAD ∠=∠=︒，即BC 又∵1CC ⊥平面ABCD ，BC4．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）刍甍（chúméng）是中国古代数学书中提到的一种几何体，《九章算术》中对其有记载：“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．”，如图，在刍甍ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，平面BAE和平面CDE交于EF．(1)求证：//AB EF ；(2)若平面CDE ⊥平面ABCD ，4AB =，2EF =，ED FC =，AF =，求平面ADE 和平面BAE 所成角余弦值的绝对值．5．（2023·山西·校联考模拟预测）如图，直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，D 为1AA 的中点．(1)证明：11B D BC ⊥；(2)设,M N 分别是棱,AC BC 上的点，若点1,,,B D M N 在同一平面上，且ABC 的面积是CMN 的面积的3倍，求二面角1A B M N --的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)217【分析】（1）方法一：延长B 11B C BC ⊥可证得1BC ⊥平面方法二：结合垂直关系可以C 得结论；AB 设2AB = ，则()3,1,1D ，(0,2,0B ()13,1,1DB ∴=- ，(10,2,2BC =- 方法三：1AA ⊥ 平面ABC ，AB 10AA AB ∴⋅= ，10AA AC ⋅= ；则()3,1,0A ，232,,033M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,,033MA ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭ ，12MB ⎛=- ⎝ 设平面1AMB 的法向量(1,m x y = 则11111131033234233MA m x y MB m x y z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-++⎪⎩设平面1B MN 的法向量(2,x n y =，线面夹角6．（2023·北京·校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C-中，D，E，G分别为11,,AA AC BB的中点，11A C 与平面1EBB交于点F，AB BC==，12AC AA==，1C C BE⊥．(1)求证：F为11A C的中点；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线FG与平面BCD所成角的正弦值．条件①：平面ABC⊥平面1EBB；条件②：13BC=．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．由题意得()()(0,2,0,1,0,0,1,0,1B C D -()()2,0,1,1,2,0CD CB ∴== .设平面BCD 的法向量(),,n a b c = ，020,200n CD a c a b n CB ⎧⋅=+=⎧⎪∴∴⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩ ,2a =，则1,4b c =-=-，∴平面BCD 的法向量(2,1,4)n =-- 又()0,2,1FG =- ,设直线FG 与平面BCD 所成的角为则2105sin cos ,105n FG θ== ，所以直线FG 与平面BCD 所成角的正弦值为选条件②，因为5AB BC ==，AC由题意得()()(0,2,0,1,0,0,1,0,1B C D -()()2,0,1,1,2,0CD CB ∴== .设平面BCD 的法向量(),,n a b c = ，020,200n CD a c a b n CB ⎧⋅=+=⎧⎪∴∴⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩,2a =，则1,4b c =-=-，∴平面BCD 的法向量(2,1,4)n =-- 又()0,2,1FG =- ,设直线FG 与平面BCD 所成的角为则2105sin cos ,105n FG θ== ，所以直线FG 与平面BCD 所成角的正弦值为7．（2023·全国·模拟预测）如图，在几何体ABCDEF 中，四边形CDEF 是边长为2的正方形，AD DE ⊥，AB CD ∥，6AE =，1AB BD ==．(2)求直线BC与平面BEF所成角的正弦值．则()0,0,0D ，()1,0,0B ，E所以()0,2,0= EF ，(1,0,BE =- 设平面BEF 的法向量为n = 取1z =，得2x =，所以可取设直线BC 与平面BEF 所成的角为则sin cos ,BC BC n BC θ⋅== 所以直线BC 与平面BEF 所成角的正弦值为8．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 为等边三角形，四边形ABCD 为平行四边形，PAB PDC ∠=∠．(1)证明：四边形ABCD 为矩形；(2)若2PA AB ==，当四棱锥P ABCD -的体积最大时，求直线PB 与平面PDC 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)64【分析】（1）取AD 的中点线面垂直，再证得线线垂直即可建立空间直角坐标系，利用空间向量法求（2）由题意知，当平面PAD ⊥平面（1）知AB AD ⊥，所以以O 为原点，空间直角坐标系，因为2PA AB ==，则()0,0,0O ，B 设平面PDC 的法向量为(,,n x y z = 令3x =，则()3,0,1n =- ．又()1,2,3PB =- ，设直线PB 与平面则sin cos ,23n PB n PB n PBθ⋅=== 所以直线PB 与平面PDC 所成角的正弦值为9．（2023·四川凉山·二模）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点E ，F 分别是BC ，11A C 中点，平面11ABB A平面AEF l =．(1)证明：l EF ∥；(2)若AB AC ==，平面11ACC A ⊥平面11ABB A ，且1AB EF ⊥，求直线l 与平面11A B E 所成角的余弦值．∵E ，G 分别是BC ，AB 又∵1A F AC ∥且112A F AC =∴四边形1EGA F 为平行四边形，∴又EF ⊄平面11ABB A ，1AG ∵EF ⊂平面AEF ，平面（2）由三棱柱为直棱柱，∴平面设1AA a =，则1(0,22,0)B ，F 所以1(0,22,)AB a =- ，(0,EF = 又1AB EF ⊥，则10AB EF ⋅= ，解得所以(2,2,2)E ，(0,0,2)A ，则设平面11A B E 法向量为(,,n x y = 所以11100n A B n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2222x ⎧⎪⎨+⎪⎩由（1）知直线EF l ∥，则l 方向向量为设直线l 与平面11BCC B 所成角为则sin cos ,n EF n EF n EF α⋅===⋅ 所以直线l 与平面11BCC B 所成角的余弦值为10．（2023·江苏·统考一模）在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A B BA ⊥平面ABC ，侧面11A B BA 为菱形，1π3ABB ∠=，1AB AC ⊥，2AB AC ==，E 是AC 的中点.(1)求证：1A B⊥平面1AB C；(2)点P在线段1A E上（异于点1A，E），AP与平面1A BE所成角为π4，求1EPEA的值.点到线的距离11．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P −ABCD 中，AD BC ，190 1.2ADC PAB BC CD AD ∠=∠==== ，E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90︒.(1)在平面PAB 内是否存在一点M ，使得直线CM 平面PBE ，如果存在，请确定点M 的位置，如果不存在，请说明理由；(2)若二面角P −CD −A 的大小为45︒，求P 到直线CE 的距离.点E 为AD 的中点，AE ED ∴=1,2BC CD AD ED BC ==∴= ，AD BC ∥ ，即ED BC ∥，∴四边形BCDE 为平行四边形，即,,AB CD M M CD CM ⋂=∴∈∴ BE ⊂ 平面,PBE CM ⊂平面PBE CM ∴ 平面PBE ，,M AB AB ∈⊂ 平面PAB ，M ∴∈平面PAB ，故在平面PAB 内可以找到一点M （2）如图所示，ADC PAB ∠∠= 且异面直线PA 与CD 所成的角为又,,AB CD M AB CD ⋂=⊂平面AD ⊂ 平面,ABCD PA AD ∴⊥，又,,AD CD PA CD AD PA ⊥⊥⋂=CD \^平面PAD ，PD ⊂ 平面,PAD CD PD ∴⊥.因此PDA ∠是二面角P CD A --PA AD ∴=.因为112BC CD AD ===.以A 为坐标原点，平行于CD 的直线为⎫⎪⎭12．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，160A AC ∠=︒，1A B =(1)证明：平面11A ACC ⊥平面ABC ；(2)设M 为侧棱1CC 上的点，若平面1A BM 与平面ABCM 到直线11A B 距离．轴，建立空间直角坐标系，-中，底面四边形ABCD 13．（2022秋·天津河东·高三天津市第七中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD为菱形，E为棱PD的中点，O为边AB的中点.(1)求证：AE //平面POC ；(2)若侧面PAB ⊥底面ABCD ，且3ABC PAB π∠∠==，24AB PA ==；①求PD 与平面POC 所成的角；②在棱PD 上是否存在点F ，使点F 到直线OD 的距离为21，若存在，求DF DP 的值；若不存在，说明理由.（2）①在平面PAB 内过点O 作Oz 菱形ABCD 中3ABC π∠=，则OC ⊥以O 为原点，分别以,,OB OC Oz 所在直线为()()(1,0,3,0,23,0,4,23,0P C D --(1,0,3)OP =- ，(0,23,0)OC = ，设平面POC 的一个法向量为(,n x y = 则30230n OP x z n OC y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取=3x ，得设直线PD 与平面POC 所成的平面角为n PD ⋅ 4②设[],0,1DF DP λλ=∈14．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为4，点A 到平面1BC D 的．(1)求1BC D 的面积；(2)若2AB BC ==，动点E 在线段1DD 上移动，求1AEC 面积的取值范围．则(2,0,0)A ，1(0,2,1)C 设(0,0,)(01)E t t ≤≤，则(2,0,EA = 则直线1AC 的单位方向向量为u =r 则点E 到直线1AC 的距离为d EA = 所以1AEC 的面积1112AEC S AC =⋅△所以1AEC 面积的取值范围为32⎡⎢⎣15．（2022·全国·高三专题练习）在滨海文化中心有天津滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，14,2AB AD AA ===，圆台下底圆心O 为AB 的中点，直径为2，圆与直线AB 交于,E F ，圆台上底的圆心1O 在11A B 上，直径为1.（1）求1AC 与平面1A ED 所成角的正弦值；（2）求二面角1E A D F --的余弦值；（3）圆台上底圆周上是否存在一点P 使得1FP AC ⊥，若存在，求点P 到直线11A B 的距离，若不存在则说明理由.则1(2A ，0，2)，(0C ，4，0)，(2E ，1，所以11(2,4,2),(2,0,2),(2,1,0)A C DA DE =--==设平面1A ED 的法向量为(,,)n x y z = ，则有100n DA n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22020x z x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则=2y -，1z =-，故(1,n =- 所以111||2|cos ,|3||||A C n A C n A C n ⋅<>== ，故1AC 与平面1A ED 所成角的正弦值为23点到面的距离16．（2022秋·四川·高三四川省岳池中学校考阶段练习）如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面,120,3,ABC AB BC ABC PA D ∠==== 为线段PC 上一点，且BC BD ⊥.(1)在线段AC 上求一点M ，使得平面BPC ⊥平面BDM ，并证明；(2)求点C 到平面ABD 的距离.则33(0,,0),(,0,0),(0,22A B C -设PD PC λ= ,其中01λ≤≤，则BD BP PD BP PC λ=+=+ 因为BC BD ⊥，所以BC BD ⋅ 设平面BPC 的法向量为m = 则33022330m BC x y m PC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-=⎩ 设33(0,,0),22M b b -≤≤，MB17．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）如图所示的四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB CD ，AD AB ⊥，22DC AD a ===，PA PD =，二面角P AD B --的大小为135︒，点P 到底面ABCD 的距离为2a ．(1)过点P 是否存在直线l ，使直线l ∥平面ABCD ，若存在，作出该直线，并写出作法与理由；若不存在，请说明理由；(2)若2PM MC = ，求点M 到平面PAD 的距离．平面，建立空间直角坐标系，由条件（2）取线段AD 的中点为O ，线段连接,OE OP ，因为ABCD 为直角梯形，AB CD 所以//OE AB ，又AD AB ⊥，所以AD OE ⊥，因为PA PD =，所以PO AD ⊥，又PO OE O = ，,PO OE ⊂平面POE 所以AD ⊥平面POE ，过点O 在平面POE 内作直线ON ⊥则直线,,OA OE ON 两两垂直，以O 为原点，,,OA OE ON 为,,x y z 过点P 作//PF NO ，交直线OE 于点因为,ON OA ON OE ⊥⊥，,OA OE 所以ON ⊥平面ABCD ，故PF ⊥平面又点P 到底面ABCD 的距离为2a ，所以因为OE AD ⊥，OP AD ⊥，18．（2023·云南红河·统考二模）如图，在几何体ABCDEF中，菱形ABCD所在的平面与矩形BDEF所在的平面互相垂直．(1)若M 为线段BF 上的一个动点，证明：CM ∥平面ADE(2)若60BAD ∠=︒，2AB =，直线CF 与平面BCE F 到平面BCE 的距离．()3,1,0B ，()0,2,0C ，(0,0,E a19．（2023·北京·北京市八一中学校考模拟预测）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A CD E --为60°，DE CF ∥，CD DE ⊥，2AD =，3DE DC ==，6CF =．(1)求证：CD AE ⊥；(2)求直线DE 与平面AEF 所成角的正弦值．(3)直接写出λ的值，使得CG CF λ=，且三棱锥B ACG -【答案】(1)证明见解析CD AD ⊥ ，CD DE ⊥，ADE ∴∠即为二面角A CD F --的平面角，即∴(0,1,3)A ，(0,0,0),(0,3,0),(3,6,0)D E F ∴(0,2,3),(3,5,3),AE AF DE =-=-设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，230,3530.n AE y z n AF x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 令2z =，则所以(3,3,2)n =-，∴3330cos ,10310DE n DE n DE n ⋅===20．（2023·江西九江·统考二模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AC ⊥平面11AA B B ，13ABB ∠=，1AB =，12AC AA ==，D 为棱1BB 的中点．(1)求证：AD ⊥平面11AC D ；(2)若E 为棱BC 的中点，求三棱锥1E AC D -的体积．则()0,0,0A ，1,1,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，1,0,2D ⎛ ⎝所以1,1,02AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，1,0,2AD ⎛= ⎝ 设(),,n x y z =r为平面1AC D 的一个法向量，则10n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即1302223x z x y ⎧+=⎪⎨⎪-++⎩所以点E 到平面1AC D 的距离d =则三棱锥1E AC D -的体积13S V =1．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱111ABC A B C -中，112,,AA AB AC AA AB AC AB ===⊥⊥，D 为11A B 五、高考真题衔接的中点，E 为1AA 的中点，F 为CD 的中点．(1)求证：//EF 平面ABC ；(2)求直线BE 与平面1CC D 所成角的正弦值；(3)求平面1ACD 与平面1CC D 所成二面角的余弦值．则()2,0,0A 、()2,2,0B 、(2,0,2C 则10,,12EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，易知平面ABC 的一个法向量为EF ⊄ 平面ABC ，故//EF 平面2．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．由（1）得2AE =，所以12AA AB ==，1A B =则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以AC 则()1,1,1BD = ，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==,设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z = ，则m BD m BA ⎧⋅⎨⋅⎩ 可取()1,0,1m =-，3．（2021·天津·统考高考真题）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（I ）求证：1//D F 平面11A EC ；（II ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值．（III ）求二面角11A A C E --的正弦值．4．（2021·全国·统考高考真题）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．。

立体几何求角、距离的解法考点一、空间中的夹角空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为(0°，90°]、[0°，90°]和[0°，180°]。

（1）两条异面直线所成的角求法：○1先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；○2通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是]2,0(π，向量所成的角范围是],0[π，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角（2）直线和平面所成的角 求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。

除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”（3）二面角的度量是通过其平面角来实现的解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。

通常的作法有：（Ⅰ）定义法；（Ⅱ）利用三垂线定理或逆定理；（Ⅲ）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos ＝SS '，其中S 为斜面面积，S ′为射影面积， 为斜面与射影面所成的二面角例题1：已知边长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 、O 1是上下底面正方形的中心，求二面角O 1-BC-O 的大小。

2：已知边长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为A 1D 1、C 11的中点，求平面EFCA 与底面ABCD 所成的二面角。

点评：利用平面角定义法中特殊位置的线段。

3：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面ACD 1与平面BDC 1所成的二面角。

解：设AC 与BD 交于E ，CD 1与C 1D 交于F ，连EF 是所求二面角B-EF-C 的棱，连A 1C ，易证A 1C ⊥平面BDC 1，垂足为H ，取AD 1中点O ，连OC 交EF 于G ，连GH 。

高考数学专题——立体几何（空间向量求角与距离）一、空间向量常考形式与计算方法设直线l,m 的方向向量分别为l ⃗,m ⃗⃗⃗⃗，平面α,β的法向量分别为n ⃗⃗1,n 2⃗⃗⃗⃗⃗. （1）线线角：（正负问题）：用向量算取绝对值（因为线线角只能是锐角）直线l,m 所成的角为θ，则0≤θ≤π2，计算方法：cos θ=l⃗⋅m ⃗⃗⃗⃗|l⃗|⋅|m ⃗⃗⃗⃗|； （2）线面角：正常考你正弦值，因为算出来的是角的余角的余弦值 非正常考你余弦值，需要再算一步。

直线l 与平面α所成的角为θ，则0≤θ≤π2，计算方法：sin θ=|l ⃗⋅n 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗||l⃗|⋅|n ⃗⃗|； (3)二面角：同进同出为补角；一进一出为原角。

注意：考试从图中观察，若为钝角就取负值，若为锐角就取正值。

平面α,β所成的二面角为θ，则0≤θ≤π，如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝⟨AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗,CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⟩．如图②③，n ⃗⃗1,n 2⃗⃗⃗⃗⃗分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|n⃗⃗1⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n⃗⃗1|⋅|n2⃗⃗⃗⃗⃗⃗||，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)． (4)空间距离额计算：通常包含点到平面距离，异面直线间距离。

二、空间向量基本步骤空间向量求余弦值或正弦值四步法（1）建系：三垂直，尽量多点在轴上；左右下建系，建成墙角系；锥体顶点在轴上；对称面建系。

一定要注明怎样建成的坐标系（2）写点坐标（3）写向量：向量最好在面上或者轴上（可简化计算量） （4）法向量的简化计算直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个.（2）若直线l ⊥α，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作，有无数多个，任意两个都是共线向量.平面法向量的求法：设平面的法向量为α⃗=(x,y,z ).在平面内找出（或求出）两个不共线的向量a ⃗=(x 1,y 1,z 1)，b ⃗⃗=(x 2,y 2,z 2)，根据定义建立方程组，得到{α⃗×a ⃗=0α⃗×b ⃗⃗=0，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量.三、空间向量求距离向量方法求异面直线距离：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上任意两点的连结线段在公共法向量上的射影长。

第35讲利用传统方法解决立体几何中的角度与距离问题一．解答题(共35小题)1．(2021•浙江模拟)如图，ΔPAB中，∠PAB=π2，PA=2AB=2，现将ΔPAB以PA为轴旋转，将B点旋转至C点，使得PB⊥AC．(Ⅰ)求BC；(Ⅱ)求PA与面PBC所成角的正弦值．【解答】解：(I)由题意可知，∠PAB=π2，故PA⊥AC，(3分)∵PB⊥AC，PA，PB⊂面PAB，PA∩PB=P，∴AC⊥面PAB，(5分) AB⊂面PAB，∴AC⊥AB，∴ΔABC为等腰直角三角形，∴BC=2．(7分)(II)取BC中点F，连接PF，AF，由ΔPAC是以ΔPAB以PA为轴旋转而成，故PB=PC，AB=AC(9分)∴AF⊥BC，PF⊥BC，所以BC⊥面PAF，过A作AG⊥PF交PF于G，∵BC⊥面PAF，∴BC⊥AG，∴AG⊥面PBC，(11分)∴∠APG=∠GAF即为PA与面PBC所成角，(12分)而PA⊥AB，PA⊥AC．∴PA⊥面ABC．∴PA⊥AF，∵BC=2,AC=AB=1，∴AF=22,PA=2，∴PF=322，∴sin∠APF=AFPF=22322=13．(15分)2．(2021•南开区期中)如图，已知多面体ABC-A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC= 120°，A1A=4．C1C=1，AB=BC=B1B=2．(Ⅰ)证明：AB1⊥平面A1B1C1；(Ⅱ)求平面BCC1与平面ABB1所成角的正弦值；(Ⅲ)线段B1B上是否存在一点M，使直线CM与平面A1B1C1所成的角的正弦值为210，若存在，求BM的长，若不存在，请说明理由．【解答】(Ⅰ)证明：取A1A中点N，连接B1N，则AN=B1B=2，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，所以A1A⎳B1B⎳C1C，所以四边形ABB1N是矩形，所以B1N=AB=2，所以A1B1=22，所以∠A1B1A=45°+45°=90°，所以AB1⊥A1B1，同理B1C1=22+12=5，又因AC=2⋅2sin60°=23，所以AC1=12+(23)2=13，于是AC21=AB21+B1C21，所以AB1⊥B1C1，因为A1B1∩B1C1=B1，所以AB1⊥平面A1B1C1．(Ⅱ)解：因为B1B⊥平面ABC，所以B1B⊥AB，B1B⊥BC，所以平面BCC1与平面ABB1所成角的平面角为∠ABC=120°，所以平面BCC1与平面ABB1所成角的正弦值为sin120°=sin60°=3 2．(Ⅲ)解：假设线段B1B上存在一点M，使直线CM与平面A1B1C1所成的角的正弦值为210，设成角为α，BM= t，在AB上取点D，使BD=BM，连接CD，由(Ⅰ)知AB1是平面A1B1C1的法线，设AB1与CM成角为β，则cosβ=|cos∠DMC|=MD2+MC2-CD22⋅MD⋅MC=2t2+22+t2-(t2+22-2⋅t⋅2⋅cos120°)2⋅2⋅t⋅t2+22=|t-1|2⋅t2+4，因为α+β=90°，所以sinα=cosβ，所以有|t-1|2⋅t2+4=210，整理得24t2-50t+21=0，解得t=32或712．所以线段B1B上存在一点M，使直线CM与平面A1B1C1所成的角的正弦值为210，BN的长度为32或712．3．(2021•浙江模拟)已知多面体ABCDE中，AE，CD均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，AE=2CD，AB= BC=CD，F是BE的中点．(Ⅰ)求证：DF⎳平面ABC；(Ⅱ)求直线BD与平面ABE所成角的正弦值．【解答】证明：(Ⅰ)取AB的中点H，连结FH，CH，∴FH是ΔEAB的中位线，∴FH⎳EA，且FH=12EA，∵AE，CD均垂直于平面ABC，且AE=2CD，∴FH⎳CD，且FH=CD，∴四边形FHCD为平行四边形，即FD⎳HC，∵HC⊂平面ABC，FD⊄平面ABC，∴DF⎳平面ABC．解：(Ⅱ)由AE⎳CD，得CD⎳平面ABE，∴点D到平面ABE的距离等于点C到平面ABE的距离，在平面ABC内过点C作CG⊥AB于点G，∵AE⊥平面ABC，∴平面ABE⊥平面ABC，∴CG⊥平面ABE，即CG就是C到平面ABE的距离，也就是点D到平面ABE的距离，设AB=BC=CD=2，则D到平面ABE的距离h=BC sin60°=3，BD=22，即直线BD与平面ABE所成角的正弦值为hBD=322=64．4．(2021春•湖北期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠ABC= 60°，PA=22，E是线段PC上的动点．(1)若E是线段PC中点时，证明：PA⎳平面EBD；(2)若直线PC与底面ABCD所成角的正弦值为63，且三棱锥E-PAB的体积为269，请确定E点的位置，并说明理由．【解答】解：(1)连接AC交BD于O，连接EO，∵底面ABCD是菱形，∴O是AC中点，又∵E是PC的中点，∴PA⎳EO，且PA⊄平面EBD，EO∈平面EBD，∴PA⎳平面EBD．(2)∵PA⊥底面ABCD，∴∠PCA为直线PC与底面ABCD所成的角，∴sin∠PCA=63，∴tan∠PCA=2，∴PAAC=2．又∵PA=22，∴AC=2，∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AB=AC=2，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥底面ABCD，且它们的交线是AB，在底面ABCD内，过点C作CF⊥AB，垂足为点F，则：CF⊥平面PAB，故点C到平面PAB的距离h2=CF=3⇒V E-PABV C-PAB=13∙SΔPAB∙h113∙SΔPAB∙h2=26913×22×3=PEPC=13．故E是线段PC上靠近点P的三等分点．5．(2021•丹东二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，点E在线段PC上，PA⎳平面EBD．(1)证明：点E为线段PC中点；(2)已知PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，点P到平面EBD的距离为1，四棱锥P-ABCD的体积为23，求PA．【解答】(1)证明：连接AC交BD于点O，连接OE，∵PA⎳平面EBD，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面EBD=OE，∴PA⎳OE，∵底面ABCD是菱形，∴O是AC的中点，∴E是PC的中点．(2)∵PA⊥平面ACBD，∴PA⊥OA，由(1)可知PA⎳OE，∴OA⊥OE，又平面ABCD是菱形，∴OA⊥BD，∴OA⊥平面EBD，∵PA⎳平面EBD，故P到平面EBD的距离等于A到平面EBD的距离，即OA=1，又∠ABC=60°，AB=BC，∴ΔABC是等边三角形，故AB=BC=AC=2，∴S菱形ABCD=2SΔABC=2×2×sin60°=23，∴V P-ABCD=13×23×PA=23，∴PA=3．6．(2021•嵊州市二模)如图，已知四棱锥P-ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，ΔPAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB⎳CD，AB⊥BC，PD=CD=BC=12AB，E为AB的中点．(I)证明：AD⊥PE；(Ⅱ)求直线PE与平面PBC所成角的正弦值．【解答】(Ⅰ)证明：取AD中点F，连接EF，PF，∵PA=PD，∴PF⊥AD，又EF为ΔABD的中位线，∴EF⎳BD．设PD=CD=BC=1，则AB=2，AD=2，BD=2，∴AD2+BD2=AB2，得AD⊥BD，故AD⊥EF．又EF∩PF=F，∴AD⊥平面PEF，得AD⊥PE；(Ⅱ)解：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，PF⊂平面PAD，PF⊥AD，∴PF⊥平面ABCD，三棱锥P-BCE的体积V P-BCE=13SΔBCE∙PF=13×12×1×1×22=212．取BC的中点G，连接FG，PG，∴FG⊥BC，又由PF⊥平面ABCD，知PF⊥BC，而FG∩PF=F，∴BC⊥平面PFG，故BC⊥PG．∵FG=32，PF=22，∴PG=PF2+FG2=112，则SΔPBC=12×1×112=114．设E到平面PBC的距离为h，则由V P-BCE=V E-PBC，知13SΔPBC∙h=212，即h=22 11．又PE=PF2+FE2=1，∴直线PE与平面PBC所成角的正弦值为h PE=2211．7．(2021•邢台月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB=32，ΔACD 是边长为2的等边三角形，ΔPAD是以AD为斜边的等腰直角三角形．(1)证明：平面PDC⊥平面PAB．(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．【解答】(1)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD且相交于AD，AB⊥AD，又AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD．又因为PA⊥PD，AB∩PA=A，所以PD⊥平面PAB．因为PD⊂平面PDC，所以平面PDC⊥平面PAB，(2)解：取AD 的中点O ，连接PO ，CO ，因为PA =PD ，所以PO ⊥AD ，又因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥CO ，因为AC =CD ，所以OC ⊥AD ．如图，建立空间直角坐标系O -xyz ，由题意得，A (0，1，0)，B 32,1,0 ，C (3,0,0)，D (0，-1，0)，P (0，0，1)，所以PA =(0,1,-1)，PC =(3,0,-1)，PB =32,1,-1 ．设平面PBC 的法向量为n =(x ,y ,z )，则n ⋅PB =0n ⋅PC =0 ，即32x +y -z =03x -z =0，令x =1，则z =3，y =32，所以n =1,32,3 ．所以|cos ‹n ,PA ›|=n ⋅PA |n ||PA | =32-32×194=11438，则直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为11438．8．(2021•台州期末)如图，在四棱锥P -ABCD 中，ΔPAD ，O 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，底面ABCD 为直角梯形，CD ⊥AD ，PB =1，AD =2DC =2BC =2，为线段AD 的中点．(1)证明：OB ⎳平面PCD ；(2)求二面角P -AD -B 的大小．【解答】解：(1)证明：由底面ABCD 为直角梯形，得OD ⎳BC ，又由AD =2BC ，O 为线段AD 中点，得OD =BC ，所以四边形OBCD为平行四边形，则OB⎳CD．又OB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，故OB⎳平面PCD．(2)由已知PO⊥AD，BO⊥AD，所以二面角P-AD-B的平面角为∠POB，由PB=1，PO=OD=1，PB=1，得ΔPOB是等边三角形，故∠POB=60°，所以P-AD-B的大小为60°．9．(2021春•上虞区期末)如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，ΔPAD是以AD为底的等腰直角三角形，AB=2BC=2CD=4，E为BC中点，且PE=11．(Ⅰ)求证：平面PAD⊥平面ABCD；(Ⅱ)求直线PE与平面PAB所成角的正弦值．【解答】解：(Ⅰ)过P作AD垂线，垂足为F，则F为AD中点，EF=3AD=22+22=22，∴PF=2则有PE2=PF2+FE2得，∠PFE=90°．又PF⊥AD，∴PF⊥平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD；(Ⅱ)∵EF⎳AB，∴E到平面PAB距离等于F到平面PAB距离．过F作AB垂线，垂足为G，在ΔPFG中，过F作PG垂线，垂足为Q，可证得：FQ⊥平面PAB．由PF∙FG=PG∙FQ，PF=2，FG=1，PG=3求得：FQ=63，从而sinθ=FQPE=6633，3310．(2021•浙江月考)如图，在三棱台ABC-DEF中，平面ACFD⊥平面DBC，∠ACB=60°，∠ACD=45°，AC=2AD．(Ⅰ)证明：AD⊥BC；(Ⅱ)若AD=2BC，求直线DE与平面DBC所成角的正弦值．【解答】(Ⅰ)证明：设AD=2a，则AC=2a，∵∠ACD=45°，在ΔACD中，由余弦定理知，AD2=AC2+CD2-2AC∙CD cos∠ACD，∴2a2=4a2+CD2-2∙2a∙CD∙22，解得CD=2a，∴AD2+CD2=AC2，即AD⊥CD，又平面ACFD⊥平面DBC，平面ACFD∩平面DBC=CD，AD⊂平面ACFD，∴AD⊥平面DBC，∵BC⊂平面DBC，∴AD⊥BC．(Ⅱ)解：由三棱台的性质知，DE⎳AB，故直线DE与平面DBC所成角即为直线AB与平面DBC所成角．由(Ⅰ)知，AD⊥平面DBC，∴∠ABD即为所求．∵AD=2BC，AD=2a，∴BC=a，在ΔABC中，由余弦定理知，AB2=AC2+BC2-2AC∙BC cos∠ACB=4a2+a2-2∙2a∙a∙12=3a2，∴AB=3a，在RtΔABD中，sin∠ABD=ADAB=2a3a=63．311．(2021•杭州期中)如图，三棱台ABC-DEF中，∠ABC=90°，AC=2AB=2DF，四边形ACFD为等腰梯形，∠ACF=45°，平面ABED⊥平面ACFD．(1)求证：AB⊥CF；(2)求直线BD与平面ABC所成角的正弦值．【解答】(1)证明：延长AD、BE、CF交于点P，∵四边形ACFD为等腰梯形，∠ACF=45°，∴∠APC=90°，即CP⊥AP，∵平面ABED⊥平面ACFD，平面ABED∩平面ACFD=AP，CP⊂平面ACFD，∴CP⊥平面ABED，∵AB⊂平面ABED，∴CP⊥AB．(2)解：由AC=2AB=2DF，可知D为PA的中点，设AB=DF=a，则PA=2a，BC=3a，由(1)知，CP⊥AB，∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，CP∩BC=C，CP、BC⊂平面PBC，∴AB⊥平面PBC，∴AB⊥PB，∴PB=PA2-AB2=a，BD=12PA=22a，过点P作PM⊥BC于点M，∵AB⊥平面PBC，PM⊂平面PBC，∴AB⊥PM，又AB∩BC=C，AB、BC⊂平面ABC，∴PM⊥平面ABC，∴PM⊥BC，由(1)知，CP⊥平面ABED，∴CP⊥PB，∴PM∙BC=CP∙PB，即PM∙3a=2a∙a，∴PM=23a=63a，∵D为PA的中点，∴D到平面ABC的距离h=12PM=66a，∴直线BD与平面ABC所成角的正弦值为h BD=66a22a=33．12．(2021•沙坪坝区校级期中)如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知点E，F，G分别是棱AD，AA1，AB的中点．(1)求异面直线BC1与B1D1所成角的大小；(2)求异面直线A1E和FG所成角的余弦值．【解答】解：(1)连接BD，可得∠DBC1为异面直线BC1与B1D1所成角，连接DC1，可知ΔDBC1为等边三角形，则∠DBC1=60°，即异面直线BC1与B1D1所成角的大小为60°；(2)连接A1B，则∠BA1E为异面直线A1E和FG所成角，由正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2．可得A1B=22，A1E=BE=5，∴cos∠BA1E=(22)2+(5)2-(5)22×22×5=105．∴异面直线A1E和FG所成角的余弦值为105．13．(2021春•杨浦区期中)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB、AD的中点．(1)求异面直线BC1与EF所成角的大小；(2)连接AC，与EF交于点M，点N在线段A1C上移动．求证MN与EF保持垂直；(3)已知点G是直线A1E上一点，过直线B1D1和点G的平面交平面A1EF于直线GH，试根据点G的不同位置，判断直线B1D1与直线DH的位置关系，并证明你的结论．【解答】解：(1)如图所示，连接BD，DC1，可得ΔBDC1为等边三角形．∵EF⎳BD，∴异面直线BC1与EF所成角为∠DBC1，大小为π3．(2)由正方体的性质可得：BD⊥平面ACC1A1，又MN⊂平面ACC1A1，∴BD⊥MN，又EF⎳BD，∴NN⊥EF．(3)过直线B1D1和点G的平面交平面A1EF于直线GH，∵EF⎳BD，BD⎳B1D1，∴EF⎳B1D1，∴直线B1D1与直线DH不可能平行．当三点D1，B，H共线时，DH∩B1D1=D1，此时直线B1D1与直线DH相交，点H为直线A1F上其它点时，直线B1D1与直线DH为异面直线．14．(2013•温州一模)如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于RtΔABC所在平面，且PA=AB=AC，(Ⅰ)求证：PA⎳平面QBC；(Ⅱ)若PQ⊥平面QBC，求CQ与平面PBC所成角的正弦值．【解答】(Ⅰ)证明：过点Q作QD⊥BC于点D，∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD⊥平面ABC．又∵PA⊥平面ABC，∴QD⎳PA，又∵QD⊂平面QBC，PA⊄平面QBC，∴PA⎳平面QBC．(Ⅱ)∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，∴ΔPQB≅ΔPQC，∴BQ=CQ．∴点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC．∴AD⊥平面QBC，∴PQ⎳AD，AD⊥QD．∴四边形PADQ是矩形．设PA=AB=AC=2a，则PQ=AD=2a，PD=6a．又∵BC⊥PA，BC⊥PQ，∴BC⊥平面PADQ，从而平面PBC⊥平面PADQ，过Q作QH⊥PD于点H，则QH⊥平面PBC．∴∠QCH是CQ与平面PBC所成的角．在RtΔPQD中，PQ∙QD=PD∙QH，则QH=2∙2a6=233a，CQ=BQ=6a．∴sin∠QCH=QHCQ=233×16=23．∴CQ与平面PBC所成角的正弦值为23．15．(2021•湖南校级模拟)如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于RtΔABC所在平面，且PA=AB=AC．(1)求证：PA⎳平面QBC；(2)若PQ⊥平面QBC，求二面角Q-PB-A的钝二面角的余弦值．【解答】解：(I)证明：过点Q作QD⊥BC于点D，∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD⊥平面ABC，又∵PA⊥平面ABC，∴QD⎳PA，又∵QD⊂平面QBC，PA⊄平面QBC，∴PA⎳平面QBC．(Ⅱ)方法一：∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，∴ΔPQB≅ΔPQC，∴BQ=CQ．∴点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC，∴AD⊥平面QBC，∴PQ⎳AD，AD⊥QD，∴四边形PADQ是矩形．设PA=2a，∴PQ=AD=2a，PB=22a，∴BQ=6a．过Q作QR⊥PB于点R，∴QR=2a∙6a22a=62a，PR=PQ2PB=2a222a=22a，取PB中点M，连接AM，取PA的中点N，连接RN，∵PR=14PB=12PM，PN=12PA，∴MA⎳RN．∵PA=AB，∴AM⊥PB，∴RN⊥PB．∴∠QRN为二面角Q-PB-A的平面角．连接QN，则QN=QP2+PN2=2a2+a2=3a．又RN=22a，∴cos∠QRN=QR2+RN2-QN22QR∙RN=32a2+12a2-3a22×62a×22a=-33．即二面角Q-PB-A的余弦值为-3 3．16．(2013春•天心区校级月考)在空间几何体PQ-ABC中，PA⊥平面ABC，平面QBC⊥平面ABC，AB =AC，QB=QC．(1)求证：PA⎳平面QBC；(2)若PQ⊥平面QBC，试比较三棱锥Q-PBC与P-ABC的体积的大小，并说明理由．【解答】证明：(1)如图，取BC中点D，连QD，由QB=QC得QD⊥BC，∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD⊥平面ABC，又∵PA⊥平面ABC，∴QD⎳PA，又∵QD⊂平面QBC，∴PA⎳平面QBC．(2)解：连接AD，则AD⊥BC．∵平面QBC⊥平面ABC，面QBC∩面ABC=BC，∴AD⊥平面QBC．又∵PQ⊥平面QBC，∴PQ⎳AD．又由(1)知，四边形APQD是矩形，证明：(1)如图，取BC中点D，连QD，由QB=QC得QD⊥BC，∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD⊥平面ABC，又∵PA⊥平面ABC，∴QD⎳PA，又∵QD⊂平面QBC，∴PA⎳平面QBC．(2)连接AD，则AD⊥BC．∵平面QBC⊥平面ABC，面QBC∩面ABC=BC，∴AD⊥平面QBC．又∵PQ⊥平面QBC，∴PQ⎳AD．又由(1)知，四边形APQD是矩形，∴PQ=AD，PA=QD．∴V Q-PBC=V P-QBC=13∙12BC∙QD∙PQ，而V P-ABC=13∙12BC∙AD∙PA，则V Q-PBC=V P-ABC．∴PQ=AD，PA=QD．∴V Q-PBC=V P-QBC=13∙12BC∙QD∙PQ，而V P-ABC=13∙12BC∙AD∙PA，则V Q-PBC=V P-ABC．17．(2015•红桥区二模)如图，已知PA⊥平面ABC，PQ⊥平面QBC，且PA=PQ=AB=BC=2．(Ⅰ)求证：BC⊥平面PAQ；(Ⅱ)求二面角P-BC-Q的正弦值．【解答】解：(Ⅰ)证明：∵PA⊥平面ABC，PQ⊥平面QBC，BC⊂平面ABC，BC⊂平面QBC，∴PA⊥BC，PQ⊥BC，又PQ∩PA=P∴BC⊥平面PAQ⋯(4分)(Ⅱ)∵PA⊥平面ABC，∠PAC=∠PAB=90°，已知PA=AB=BC=2．∴PB=PC=22∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB=∠PQC=90°，∴ΔPQB≅ΔPQC，可得BQ=CQ=2取BC的中点D，连接QD，PD，则QD⊥BC，PD⊥BC∴∠PDQ为二面角P-BC-Q的平面角，∵AD=3,PD=7，∴sin∠PDQ=PQPD=PQPD=27=277故二面角P-BC-Q的正弦值277⋯13分18．(2021•通州区一模)如图所示的几何体中，平面PAD⊥平面ABCD，ΔPAD是直角三角形，∠APD= 90°，四边形ABCD是直角梯形，AB⎳DC，AB⊥AD，PQ⎳DC，PQ=PD=DC=1，PA=AB=2．(I)求证：PD⎳平面QBC；(Ⅱ)求证：QC⊥平面PABQ；(Ⅲ)在线段QB上是否存在点M，使得AM⊥BC，若存在，求QM的值；若不存在，请说明理由．【解答】(Ⅰ)证明：∵PQ⎳DC，PQ=PD=DC=1，∴四边形PQCD是平行四边形，∴PD⎳CQ，∵PD⊄平面QBC，CQ⊂平面QBC，∴PD⎳平面QBC．(Ⅱ)证明：∵∠APD=90°，∴PD⊥PA，∵平面PAD⊥平面ABCD，ΔPAD是直角三角形，四边形ABCD是直角梯形，AB⎳DC，AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，∵PD⎳QC，∴PA⊥QC，AB⊥QC，∵PA∩AB=A，∴QC⊥平面PABQ．(Ⅲ)解：存在．由(Ⅱ)可知QC⊥平面PABQ；作AM⊥BQ，交BQ于M，可知AM⊥CQ，BQ∩CQ=Q，所以AM⊥平面BCQ，BC⊂平面BCQ，∴AM⊥BC．QB=5，cos B=15，BM=215=255，QM=5-255=355．19．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F、G分别是AB、PC、CD的中点，|PA|=|AB|=|AD|=1，(1)求证：EF⎳平面PAD；(2)求证EF⊥CD，EF⊥PD，且|EF|=12|PD|；(3)求直线PD与AC所成的角；(4)求直线AP与平面PCD所成的角；(5)求平面PAB与平面PCD所成的角．【解答】解：(1)证明：取PD中点H，连FH，AH则FH平行且等于12CD，又CD平行且等于AB，E为AB中点，∴FH平行且等于AE∴AEFH为平行四边形，从而EF⎳AH，又EF⊄平面PAD，AH⊂平面PAD，∴EF⎳平面PAD(2)∵CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=APA在平面PAD内，AD在平面PAD内∴CD⊥面PAD又∵AH⊂平面PAD，∴CD⊥AH∵EF⎳AH∴CD⊥EF；∵PA|=|AB|=|AD|=1，H是中点，∴AH⊥PD，且|AH|=12|PD|；∵EF⎳AH且EF=AH，∴EF⊥PD，且|EF|=12|PD|；(3)取PB的中点M，连接AM，OM，则OM⎳PD，则OM与OC所成的角就是PD与AC所成的角，则OM=12|PD|=22，PB=2，AM=12PB=22，OA=12AC=22，则OA=AM=OM，则ΔOAM为正三角形，则∠AOM=60°，即直线PD与AC所成的角为60°．(4)由(2)知AH⊥平面PAD，则PH是PA在平面PAD上的射影，则∠PAH为直线AP与平面PCD所成的角，∵PA=AD，∴∠PAH=45°，即直线AP与平面PCD所成的角为45°．(5)过D作DN⊥平面ABCD，则∠PDN是平面PCD与平面PCD所成的角，同时也是平面PAB与平面PCD所成的角，∵∠PDN=∠PAH=45°，∴平面PAB与平面PCD所成的角是45°．20．(2021•五华区校级模拟)如图所示的几何体中，正方形ABCD所在平面垂直于平面APBQ，四边形APBQ为平行四边形，G为PC上一点，且BG⊥平面APC，AB=2．(1)求证：平面PAD⊥平面PBC；(2)当三棱锥P-ABC体积最大时，求直线CQ与平面APBQ所成角的正切值．【解答】(1)证明：因为平面ABCD⊥平面APBQ，平面APBQ∩平面ABCD=AB，四边形ABCD为正方形，即BC⊥AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面APBQ，又因为AP⊂平面APBQ，所以AP⊥BC，因为BG⊥面APC，AP⊂平面PAC，所以AP⊥BG，因为BC∩BG=B，BC，BG⊂平面PBC，所以AP⊥平面PBC，因为AP⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PBC．(2)解：VP-ABC=V C-APB=13⋅12⋅PA⋅PB⋅BC=13PA⋅PB，求三棱锥P-ABC体积的最大值，只需求PA⋅PB的最大值．令PA=m，PB=n，由(1)知AP⊥PB，所以m2+n2=4，当且仅当m=n=2，即PA=PB=2时，(V P-ABC)min=13mn≤13⋅m2+n22=23．因为四边形APBQ为平行四边形，所以BQ=PA=2，因为BC⊥平面APBQ，所以直线CQ与平面APBQ所成角的正切值为tan∠CQB=2．．21．如图，已知点P是三角形ABC所在平面外一点，且PA=BC=1，截面EFGH分别平行于PA，BC(点E，F，G，H分在棱AB，AC，PC，PB上)(1)求证：四边形EFGH 是平行四边形且周长为定值；(2)设PA 与BC 所成角为θ，求四边形EFGH 的面积的最大值．【解答】(1)证明：∵PA ⎳平面EFGH ，PA ⊂平面PAB ，平面PAB ∩平面EFGH =EH ∴PA ⎳EH ．同理可得PA ⎳GF ，可得EH ⎳GF ，同理得到EF ⎳HG ，∴四边形EGFH 中，两组对边分别平行，因此，四边形EFGH 为平行四边形．∵空间四边形ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是平行四边形．且PA =BC =1，∴EH AP =EB AB ①，EF BC =AE AB ②，则①+②得，EH AP +EF BC =EB +AEAB=1∵PA =BC =1，∴EF +EH =1，∴四边形EFGH 的周长=2，故四边形EFGH 的周长为定值．2)∵PA 与BC 所成角为θ，∴平行四边形EFGH 中∠HEF =θ或180°-θ，可得截面EFGH 的面积S =HE ∙EF ∙sin ∠EGE =HE ∙EF ∙sin θ，设EH AP =EB AB =λ，则EF BC =AE AB=1-λ，∴EH =λPA =λ，同理可得EF =1-λ，且0<λ<1，则S =λ(1-λ)sin θ≤λ+1-λ2 2sin θ=14sin θ，当且仅当λ=12等号成立，由此可得：当E 为AB 的中点时，截面EFGH 的面积最大，最大值为14sin θ．22．(2021•浙江模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=1，AD=DP=AP=3．∠BAD=∠BCD=90°．G是ΔBCD的重心，PG⊥底面ABCD．(Ⅰ)证明：AB⎳平面PCG；(Ⅱ)求直线CD与平面PAD所成角的正弦值．【解答】(Ⅰ)证明：过点G作GM⊥AD于M，交BD于Q，∵PG⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，∴PG⊥AD，又GM∩PG=G，GM、PG⊂平面PGM，∴AD⊥平面PGM，∵PM⊂平面PGM，∴AD⊥PM，∵DP=AP，∴AM=DM，即M为AD的中点，∵AB⊥AD，GM⊥AD，且AB和GM在同一平面，∴AB⎳GM，∴Q为BD的中点，∵G是ΔBCD的重心，∴C、G、Q三点共线，∴AB⎳CG，又AB⊄平面PCG，CG⊂平面PCG，∴AB⎳平面PCG．(Ⅱ)解：连接AQ ，∵AB =1，AD =DP =AP =3．∠BAD =∠BCD =90°，∴BD =2，AQ =CQ =12BD =1，∴AB =CQ =AQ ，而AB ⎳CQ ，∴四边形ABCQ 为菱形，∴MQ =12AB =12，GQ =13CQ =13，∴MG =MQ +GQ =56，PG =PM 2-MG 2=32AD 2-MG 2=32×3 2-56 2=143，∴CM =MQ +CQ =MQ +AB =12+1=32，CD =BD 2-BC 2=22-12=3，设C 到PM 的距离为h ，则S ΔCPM =12h ⋅PM =12PG ⋅CM ，∴h =PG ⋅CM PM=143×3232=143，设直线CD 与平面PAD 所成角为θ，则sin θ=h CD =1433=429，故直线CD 与平面PAD 所成角的正弦值为429．23．(2021春•浙江期末)如图．在四棱锥P -ABCD 中，AD ⎳BC ，∠BAD =90°，PA ⊥平面ABCD ，且BC =1，AP =AB =3，∠ADC =60°，M 、N 分别为棱PC ，PB 的中点．(1)求证：PB ⊥平面ADMN ；(2)求直线BD 与平面ADMN 所成角的正弦值．【解答】解：(1)证明：因为M ，N 分别为PC ，PB 的中点，所以MN ⎳BC ，又因为AD ⎳BC ，所以MN ⎳AD ．从而A ，D ，M ，N 四点共面，因为PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ．所以PA⊥AD，又因为AD⊥AB，AB∩PA=A，所以AD⊥平面PAB，从而AD⊥PB，因为AP=AB，且N为PB的中点，所以PB⊥AN，又因为AN∩AD=A，所以PB⊥平面ADMN．(2)如图，连结DN；由(1)知PB⊥平面ADMN，所以DN为直线BD在平面ADMN内的射影，且DN⊥BN，所以∠BDN即为直线BD与平面ADMN所成的角，在直角梯形ABCD内，过C作CH⊥AD于H，则四边形ABCH为矩形，CH=AB=3，AH=BC=1，在RtΔCDH中，DH=CHtan∠ADC=33=1，所以AD=AH+DH=2，BD=AD2+AB2=7，在RtΔBDN中，∠BND=90°，BN=12PB=62，BD=7，所以sin∠BDN=BNBD=627=4214．24．(2021•全国模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AB=12BC=1，PD⊥平面ABCD，PD=6，M为PC上的动点．(Ⅰ)当M为PC的中点时，在棱PB上是否存在点N，使得MN⎳平面PDA？说明理由；(Ⅱ)ΔBDM的面积最小时，求三棱锥M-BCD的体积．【解答】解：(Ⅰ)当N为PB中点时，MN⎳平面PDA．证明如下：取PB的中点N，连接MN，∵M ，N 分别为PC ，PB 中点，∴MN ⎳BC ，又BC ⎳AD ，∴MN ⎳AD ，又DA ⊂平面PDA ，MN ⊄平面PDA ，∴MN ⎳平面PDA ；(Ⅱ)由PD ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，知PD ⊥BD ，又BD ⊥CD ，CD ∩PD =D ，∴BD ⊥平面PCD ，又MD ⊂平面PDC ，∴BD ⊥MD ，∴ΔDBM 为直角三角形．当MD ⊥PC 时ΔBDM 的面积最小．在底面直角梯形ABCD 中，由∠ABC =∠BAD =90°，AD =AB =12BC =1，得CD =2，∴BD =22-(2)2=2．在Rt ΔPDC 中，由PD =6，CD =2，可得PC =22，MD =62．则CM =22，∴S ΔMCD =12×22×62=34．∴V M -BCD =V B -MCD =13S ΔMCD ∙BD =13×34×2=612．25．(2021•浙江模拟)如图，已知三棱锥P -ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，AB =AC =BC =PA =2，∠PAC =120°，PM =3MC．(Ⅰ)证明：BM ⊥PC ；(Ⅱ)求直线AB 和平面PBC 所成角的正弦值．【解答】解法一：(1)取AC 的中点E ，PC 的中点F ，连AF ，ME ，BE ．∵PA =AC ，∴AF ⊥PC ，又∵PM =3MC ，∴M 是CF 的中点，∴AF ⎳ME ，ME ⊥PC ，又∵AB =BC ，∴BE ⊥AC ，又∵面PAC ⊥面ABC 且二平面交于AC ，∴BE ⊥面PAC ，BE ⊥PC ．又∵ME ∩BE =E ，∴PC ⊥面MBE ，∴PC ⊥BM ．(2)由①知PC ⊥面MBE ，∴面MBE ⊥面PBC 且交于MB ，∴过E 作EH ⊥MB 垂足为H ，EH 即是E 到面PBC 的距离，∵BE ⊥ME ，∴EH =ME ⋅BE MB =12⋅3132=3913，又∵E 是AC 的中点，∴A 到面PBC 的距离h A =2EH =23913，∴AB 与面PBC 所成角的正弦值为h A AB=23913⋅12=3913．解法二：(1)取AC 的中点E ，连ME 、EB ，∵AB =BC =2，∴BE ⊥AC ，CE =1，又∵面PAC ⊥面ABC 且交于AC ．∴BE ⊥面PAC ，∴BE ⊥PC ，∵PA =AC =2，∠PAC =120°，又∵PM =3MC，∴CM =14PC =32，∠PCA =∠APC =30°，∵cos ∠PCA =32=CE 2+CM 2-ME 22CE ⋅CM，∴ME =12，CM ⊥ME ，∴PC ⊥面MBE ，PC ⊥BM ．(2)过P 作PO ⊥CA 交其延长线于O ，∵面PAC ⊥面ABC 且交于AC ，∴PO ⊥面ABC ，连BO 可得PB 2=PO 2+BO 2，又∵AC =AP =2，∠PAC =120°，∴PO =3，PC =23，AO =1，又∵OB =BE 2+OE 2=7，∴PB =PO 2+BO 2=10，∴cos ∠PBC =PB 2+BC 2-PC 22BC ⋅PB =1210，∴sin ∠PBC =39210，∴S ΔPBC =12BC ⋅PB ⋅sin ∠PBC =392，令A 到面PBC 的距离为h O ，则V A -PBC =V P -ABC∴13S ΔPBC ⋅h O =13S ΔABC ⋅PO ，h O =S ΔABC ⋅PO S ΔPBC =639，∴AB 与面PBC 所成角的正弦值为h o AB =6239=3913．解法三：(1)取AC 的中点O ，建立如图所示的坐标系，由已知可得O (0,0,0),C (1,0,0),B (0,3,0),A (-1,0,0)P (-2,0,3)，M 14,0,34，∴BM =14,-3,34 ，PC =(3,0,-3)，∴BM ⋅PC =34-34=0,BM ⊥PC∴BM ⊥PC ，(2)由(1)可知AB =(1,3,0),PB =(2,3,-3),BC=(1,-3,0)，设面PBC 的法向量为n=(x ,y ,z )，则n ⋅PB=2x +3y -3z =0n ⋅BC=x -3y =0，令y =1，则x =3，z =3，n=(3,1,3)，∴AB 与面PBC 所成角的正弦值为|cos <AB ,n >|=|AB ⋅n||AB ||n |=232⋅13=3913．26．如图所示，已知三棱锥P -ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，AB =20，D 为AB 的中点，且ΔPDB 是正三角形，PA ⊥PC ．(1)求证：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)求二面角D-AP-C的正弦值．(3)若M为PB的中点，求三棱锥M-BCD的体积．【解答】(1)证明：∵ΔPDB是正三角形，D为AB的中点，∴ΔPAB为直角三角形，且∠APB=90°，∴PA⊥PB∵PA⊥PC，PC∩PB=P，PB，PC⊂平面PBC，∴PA⊥平面PBC，∴PA⊥BC，∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∵AC∩BC=C，∴BC⊥平面PAC，∵BC⊂平面ABC，∴平面PAC⊥平面ABC．(2)解：取AP的中点F，连接DF，则DF⎳PB，即DF⊥PA，作DE⊥AC于E，则E为AC的中点，∠DFE为二面角D-AP-C的平面角．∵BC=4，AB=20，∴DE=2，DB=PB=10，∴DF=5，AC=86，PA=103，PC=221，EF=12PG=21，由余弦定理可得cos∠DFE=25+21-42×5×21=215，∴二面角D-AP-C的正弦值为1-2125=25．(3)解：∵ΔPAB中，D为AB的中点，M为PB的中点，∴DM⎳PA，∵DM⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，∴DM⎳平面PAC，∵PA⊥平面PBC，∴DM⊥平面PBC，∵DM=53，SΔBCM=12×12BC⋅PC=221，∴V M-BCD=V D-BCM=13DM⋅SΔBCM=13×53×221=107．27．(2021秋•荔湾区校级期末)如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED⎳PA，且PA=2ED=2．(1)证明：平面PAC⊥平面PCE；(2)若直线PC与平面ABCD所成的角为45°，求直线CD与平面PCE所成角的正弦值．【解答】(1)证明：连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF．∵O，F分别为AC，PC的中点，∴OF⎳PA，且OF=12PA，∵DE⎳PA，且DE=12PA，∴OF⎳DE，且OF=DE，∴四边形OFED为平行四边形，∴OD⎳EF，即BD⎳EF，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC．∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⎳EF，∴EF⊥平面PAC，∵FE⊂平面PCE，∴平面PAC⊥平面PCE．(2)因为直线PC与平面ABCD所成角为45°，所以∠PCA=45°，所以AC=PA=2，所以AC=AB，故ΔABC为等边三角形，设CD的中点为M，连接AM，则AM⊥CD，设点D到平面PCE的距离为h1，点P到平面CDE的距离为h2，则由V D-PCE=V P-CDE，得13∙S PCE∙h1=13∙S CDE∙h2(*)因为ED⊥面ABCD，AM⊂面ABCD，所以ED⊥AM，又AM⊥CD，CD∩DE=D，∴AM⊥面CDE；因为PA⎳DE，PA⊄平面CDE，DE⊂面CDE，所以PA⎳面CDE，所以点P到平面CDE的距离与点A到平面CDE的距离相等，即h2=AM=3，因为PE=EC=5，PC=22，所以SΔPCE=6，又SΔCDE=1，代入(*)得6∙h1=1∙3，所以h1=22，所以CD与平面PCE所成角的正弦值为2 4．28．(2021•澄海区校级月考)已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA=a，底面ABCD是边长为b的菱形，∠ABC=60°．(1)求证：平面PBD⊥平面PAC；(2)设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角O-PM-D的正切值是26，求a:b的值．【解答】(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，则PA⊥BD，因为ABCD为菱形，则AC⊥BD，又因为AD∩PA=A，则BD⊥平面PAC，又BD⊂平面PBD，故平面PBD⊥平面PAC；(2)解：过点O作OT⊥PM，交PM于点T，连接DT，因为OD⊥平面PAC，则由三垂线定理可得DT⊥PM，所以∠OTD是二面角O-PM-D的平面角，又OD=32b，OM=b4，AM=3b4，且OTOM=APPM，所以OT=aa2+916b2⋅b4=ab16a2+9b2，则tan∠OTD=ODOT=32b⋅16a2+9b2ab=26，所以ab=34，故a:b=3:4．29．(2021•温州模拟)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD，PA=1，PC=PD，底面ABCD是梯形，AB⎳CD，AB⊥BC，AB=BC=1，CD=2．(I)求证：PA⊥AB；(II)求直线AD与平面PCD所成角的大小．【解答】(I)证明：取CD的中点E，连接AE，PE，则AE⊥CD，PE⊥CD，∵AE∩PE=E，∴CD⊥平面PAE．∵PA⊂平面PAE，∴CD⊥PA，∵PA⊥AD，AD∩CD=D，∴PA⊥平面ABCD，∵AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB；(II)解：由题意，AD=PE=2．设A到平面PCD的距离为h，则由等体积可得13×12×2×2h=13×12×2×2×1，∴h=22∴直线AD与平面PCD所成角的正弦值为222=12，大小为30°．30．(2015秋•临海市校级月考)如图，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED= 90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=2．(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B-AD-C的正切值．【解答】(1)证明：在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=2，由AC=2，AB=2得AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；(2)解：作BF⊥AD，与AD交于点F，BO⊥CD，与CD交于点O，连接OF，由(1)知OF⊥AD，所以∠BFO就是二面角B-AD-C的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD2=BC2+BD2，得BD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB，由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD．在RtΔACD中，由DC=2，AC=2，得AD=6；在RtΔABD中，由BD=2，AB=2，AD=6得BF=23 3，BO=DE=1，∴OF=33∴tan∠BFO=3，所以二面角B-AD-C的正切值为3．31．(2014•滨州一模)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⎳BC，BC=2AD=4，AB=CD= 10．(Ⅰ)证明：BD⊥平面PAC；(Ⅱ)若二面角A-PC-D的大小为45°，求AP的值．【解答】(Ⅰ)证明：设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E，由四边形ABCD是等腰梯形，得CE=BC-AD2=1，DE=DC2-CE2=3，∴BE=DE，∴∠DBC=∠BCA=45°，∴∠BOC=90°，∴AC⊥BD，由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BD，又∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．(Ⅱ)解：作OH⊥PC于点H，连接DH，由(Ⅰ)知DO⊥平面PAC，∴DO⊥PC，∴PC⊥平面DOH，从而得到PC⊥OH，PC⊥DH，∴∠DHO是二面角A-PC-D的平面角，∵二面角A-PC-D的大小为45°，∴∠DHO =45°，由∠DBC =∠BCA =45°，BC =4，得OC =22，同理，得OA =2，∴AC =32，设PA =x ，则PC =x 2+18，在Rt ΔDOH 中，由DO =2，得OH =2，在Rt ΔPAC 中，由PA PC =OH OC ，得x x 2+18=222，解得x =6，即AP =6．32．(2021•义乌市模拟)如图1，平行四边形ABCE 中，AE =2CE =4,∠AEC =2π3，在CE 的延长线上取一点D ，使得ED =3CE ；现将ΔADE 沿AE 翻折到图2中△AD ′E 的位置，使得CD ′=55．(Ⅰ)求证：AE ⊥BD ′；(Ⅱ)求直线CD ′与面AD ′E 所成角的正弦值．【解答】解：(Ⅰ)证明：作BO ⊥AE 垂足为O ，根据题意得OA =1，则OE =3，又D ′E =DE =6，∠OED =π3，在ΔDEO 中，由余弦定理得OD =33，OD ′=OD =33，又(D ′E )2=(OE )2+(OD ′)2，由勾股定理得OD ′⊥AE ，又OB ⊥AE ，则AE ⊥平面BOD ′，又BD ′⊂平面BOD ′，故AE ⊥BD ′．(Ⅱ)∵BC⎳AE，∴BC⎳平面AD′E，∴C到平面AD′E的距离等于B到平面AD′E的距离，作BH⊥D′O的延长线于H，连OH，则∠CD′H为直线CD′与面AD′E所成的角，BH=32OB=32，∴直线CD′与面AD′E所成角的正弦值为：sin∠CD′H=CHD′H=3255=355110．33．(2021•浙江模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别是AB，AP的中点，AB⊥BC，MD⊥PC，MD⎳BC，BC=1，AB=2，PB=3，CD=2，PD=6．(Ⅰ)证明：PC⎳平面MND；(Ⅱ)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．【解答】(Ⅰ)证明：连接AC，交MD于E，再连接NE因为MD⎳BC，M是AB的中点，所以E是AC的中点，又N是AP的中点，所以NE⎳PC，且NE⊂平面MND，PC⊄平面MND所以PC⎳平面MND；(Ⅱ)解：过C作CF⊥MD于F，连接PF，又因为MD⊥PC，且CF∩PF=F所以MD⊥平面PFC，所以BC⊥平面PFC，所以平面PFC⊥平面PBC过F作FG⊥PC于G，又因为平面PFC∩平面PBC=PC，且FG⊂平面PFC，所以FG⊥平面PBC．在RTΔPBC中，PC=PB2-BC2=22，在直角梯形MBCD中MB=BC=1，CD=2，则FD=FC=1在RTΔPFD中，PF=PD2-FD2=5，在ΔPFC中，PF=5，FC=1，PC=22，则cos∠PFC=PF2+FC2-PC22PF⋅FC=-55，所以sin∠PFC=255，从而FG=2SΔPFCPC=PF⋅FC⋅sin∠PFCPC=22，又由MF=FD，PF⊥MD，知PM=PD=6，所以由PB2+PA2=2(PM2+MA2)可得PA=5，所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为2FGPA=105．34．(2021•浙江模拟)已知直角梯形ABCD，AB⎳CD，AB⊥BC，AB=BD=2CD，F为AD的中点，将ΔBCD沿BD翻折至ΔBDP．(Ⅰ)求证：BD⊥PF；(Ⅱ)若PF=32PD，求PB与平面PAD所成角的正弦值．【解答】解：(Ⅰ)证明：过点P作PE⊥BD于E，连接EF∵PD=1，BP=3，BD=2，∴∠BDP=60°，∴DE=12，BE=32，∴E是BD上靠近点D的四等分点，∵∠CBD=30°，∴∠ABD=60°，AB=BD，∴ΔABD为等边三角形，∵F为AD的中点，∴EF⊥BD，∵EF∩PE=E，EF、PE⊂平面PEF，∴BD⊥平面PEF，∵PF⊂平面PEF，∴BD⊥PF；(Ⅱ)过点P作PO⊥EF于O，过点B作BQ⊥平面PAD于Q，连接PQ，则PQ是BP在平面PAD内的射影，∴∠BPQ即为所求角，由(Ⅰ)可知，BD⊥平面PEF，∴BD⊥PO，PO⊥EF，∵EF∩BD=E，EF、BD⊂平面ABD，∴PO⊥平面ABD，∵EF=PE=PF=32，∴PO=34，∵PF=32PD=32，DF=1，∴cos∠FDP=1+1-342×1×1=58，∴sin∠FDP=398，∵V B-ADP=V P-ABD，∴13×12×1×2×398×BQ=13×34×4×34，解得BQ=613，∴sin∠BPQ=BQBP=6133=23913，∴PB与平面PAD所成角的正弦值为23913．35．(2021•浙江二模)已知三棱柱ABC-A1B1C1，ΔABC是正三角形，四边形ACC1A1是菱形且∠A1AC= 60°，M是A1C1的中点，MB=MC．(Ⅰ)证明：AM⊥BC；(Ⅱ)求直线AM与平面BCC1B1所成角的正弦值．【解答】(Ⅰ)证明：取BC中点为D，连结AD，MD，如图所示，由MB=MC得MD⊥BC，由ΔABC是正三角形，所以AD⊥BC，又MD∩AD=D，MD，AD⊂平面AMD，故BC⊥平面AMD，又AM⊂平面AMD，因此BC⊥AM；(Ⅱ)证明：设AD中点为E，平面AME交B1C1于N，连结NE，设A1A=AC=1．由MN⎳AD，所以C1N=14B1C1=14，由直角梯形DCC1N，则有DN=154，由BC⊥平面AMND，又BC⊂平面BCC1B1，所以平面BCC1B1⊥平面AMND，所以DN为AM在平面BCC1B1内的射影，所以∠END为AM与平面BCC1B1所成的角，在ΔEND中，DE2=EN2+DN2-2EN⋅DN cos∠END，由DE=34，EN=AM=72，DN=154得cos∠END=210521，所以sin∠END=21 21，所以直线AM与平面BCC1B1所成角的正弦值21 21．。