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弹性理论第三讲—张量理论2_573905609

弹性理论第三讲—张量理论2_573905609

一、张量代数
6、内积：并积加缩并的运算称为内积。 A Aijk ei e j e k
B Blmel e m
S Aijk ei e j e k Blmel e m Aijk Blm jm e i e k e l Aijk Blj ei e k el Sikl ei e k el Sikl Aijk Blj
12
直角坐标系
张量分量的转换规律，张量方程 小结： 1. 张量的性质； 2. 张量分量的转换规律； 3. 张量方程。
张量代数，商判则
13
张量代数，商判则
一、张量代数
1、相等： T = S Tij Sij T A Tij Aij 2、和、差： T = A B Tij Aij Bij 3、数积：
自由指标的阶数＝张量的阶数 自由指标的取值范围＝张量的维数
9
张量分量的转换规律，张量方程
二、张量分量的转换规律
2）张量分量的转换规律：
作用：判定某个数的集合是否为张量？ 可否满足分量转换规律是判别某个数的集 合是否表示一个张量的基本准则。 矢量a: ( a1 , a2 , a3 ) 数集： ( a1 , a , a3 )
10、各向同性张量：全部分量均不因坐标改 变而改变。
单位张量、球形张量、置换张量
31
常用特殊张量，主方向和主分量
Aijk Bkj ei Ti Aijk Bkj
18
张量代数，商判则
一、张量代数
9、并矢量：将k个独立矢量写在一起，称为并 矢量。 T abc ai b j ck ei e j e k
Ti ai b j ck
并矢量形成一个k阶张量
19
张量代数，商判则

弹性力学课件

弹性力学课件
弹性力学:梁的深度并不远小于 梁的跨度，而是同等大小的，那 么，横截面的正应力并不按直线 分布，而是按曲线变化的。


M (x) Iz
y
q
y h
(4
y2 h2

3) 5
这时，材料力学中给出的最大正 应力将具有很大的误差。
结构力学：研究杆系结构，弹性力学通常并不研究 杆件系统，但在20世纪50年代中叶发展起来的有限 单元法中(基于弹性力学的理论)，把连续体划分成 有限大小的单元构件，然后用结构力学里的位移法 、力法或混合法求解，更加显示了弹性力学与结构 力学结合综和应用的良好效果。
zx
yz
标轴的负方向为负。
yx y 负面：截面上的外法线 B 沿坐标轴的负方向
A
z
O
负面上的应力以沿坐标 y 轴的负方向为正，沿坐
（不考虑位置, 把应力当作均匀应力）标轴的正方向为负。
x 正应力符号规定与材力同，切应力与材力不相同。
连接前后两面中心的直线 z
ab作为矩轴，列出力矩平 衡方程，得
z
用各部分的长度和角度来表
C
z
示。
zx
zy
PA=x, PB=y , PC=z
线应变：单位长度的伸缩或相
yx y
yzP
xzxy x zy
x xz xy zx
对伸缩,亦称正应变. 用 表示 O A
z
x
切应变：各线段之间的直角的
改变.用 表示
yz
yx
y B
y
x: x方向的线段PA的线应变。z
第一章 绪论
§1.1 弹性力学的内容 §1.2 弹性力学的几个基本概念 §1.3 弹性力学的基本假定
§1.1 弹性力学的内容

弹性力学基础讲解

弹性力学基础讲解

弹性力学基础讲解一、基本物理量应力张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行于三个坐标平面的三个微平面，它们的外法线方向分别为三个坐标轴的方向，将三个剪应力平行于坐标轴的两个分量；由此共得九个应力分量，记为：=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ττττττττττ；每个分量的第一下标表示应力分量所在平面的外法线方向，第二下标表示应力分量的方向。

应力分量的正负号规定为：当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴同向时，应力分量的方向也与相应坐标轴同向；当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴反向时，应力分量的方向也与相应坐标轴反向。

3、应变弹性体内某一点的正应变（线应变）：设P 为弹性体内任意点，过P 点某一微元线段变形前的长度为l ?，变形后的长度为'l ?，定义P 点l 方向的正应变为：lll l ll ??-?=→?'lim 0ε。

即正应变表示单位长度线段的伸长或缩短。

弹性体内某一点的剪应变（角应变）：设r l ?和s l ?为过P 点的两微元线段，变形前两线段相互垂直，定义变形后两线段间夹角的改变量（弧度）为角应变，夹角减小则角应变为正。

应变张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行三个坐标轴的线段，按上述原则定义各应变分量，得：=zz zy zx yz yy yx xz xy xx εεεεεεεεεε；两个下标相同的分量为正应变，其它为剪应变。

关于主应变和主应变方向的讨论与主应力基本相同，可以证明，主应变方向与主应力方向重合。

4、外力体积力：作用于弹性体内部每一点上，如重力、电磁力、惯性力等。

设V ?为包含P 点的微元体，作用于该微元体上的体积力为V F ?，则定义P 点的体积力为：{}Tz y x V V f f f V=??=→?F f 0lim。

表面力：作用于弹性体表面，如压力，约束力等。

设S ?为包含P 点的微元面，作用于该微元面上的表面力为S F ?，则定义P 点的表面力为：{}Tz y x S S s s s S=??=→?F s 0lim 。

弹性力学附录_张量

弹性力学附录_张量
定一单位矩阵：
11 12 13 1 0 0
21
22

23


0
1
0
31 32 33 0 0 1
i j 可起到换下标的作用
ija j i1a1 i2a2 i3a3 a (i)(i) i ai
ikTk j i iTij Tij
t t
xz yz

t zx t zy z
可表示为 ij （i=1,2,3; j=1,2,3）
应变张量： x , y , z , xy , yx , yz , zy , zx , xz
11, 22,33,12, 21, 23,32,31,13 ij (i, j 1,2,3)
a21x2 x1 a22 x2 x2 a23x2 x3
a31x1x1 a32 x1x2 a33x1x3
333
S
aijk xi xjxk aijk xi xjxk
i1 j1 k1
三重求和（27项）
n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。
例： ai xi a1x1 a2 x2 a3x3
ii 11 22 33
ijij i1i1 i2i2 i3i3
1111 12 12 13 13 2121 22 22 23 23 3131 3232 3333
ai，i
出
n
a b x i i i 是违约的，求和时要保留求和号 aibi xi
i1
*3、同项中出现两对（或多对）不同哑标表示双（多） 重求和
双重求和 S aij xi xj

弹性力学-第二章 张量基础知识

弹性力学-第二章 张量基础知识

′ x1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
′ x2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ′ x3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3
张量基础知识§ 第二章 张量基础知识§2-1
坐标系和矢量
e′ = Aije j i
表示
i 为自由指标，j 为哑标 为自由指标，
x3
(2.2)
e3 x1
e1 e2
x2
张量基础知识§ 第二章 张量基础知识§2-1
坐标系和矢量
A:求和约定、 A:求和约定、哑指标 求和约定 S = a1 x1 + a2 x2 + ⋯ an xn
= ∑ ai xi = ∑ a j x j = ∑ ak xk
i =1 j=1 k =1 n n n
显然， 与求和无关，可用任意字母代替。 显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。 为简化表达式，引入Einstein求和约定： Einstein求和约定 为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指 标在一项中重复一次 就表示对该指标求和， 重复一次， 标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取 遍正数1 这样重复的指标称为哑标 哑标。 遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。 于是 or or
i, j, k为顺序排列 为顺序排列 i, j, k为逆序排列 为逆序排列 i, j, k有两个相等 有两个相等 (2.5)
例如： 例如：
e123 = e231 = e312 = 1 e321 = e213 = e132 = −1 e111 = e121 = e232 = ⋯ = 0

弹性力学第二章

弹性力学第二章

强调指出：张量必须满足坐标变换，否则不能视为张量。也就是 说，从一个坐标系旋转到另一个新的坐标系，张量的表达形式不变。 即应有：T
= Ti1i2 ⋅⋅⋅in ei1 ⊗ ei2 ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ein = Ti1i2 ⋅⋅⋅in βi1′i1 ei1′ ⊗ β i2′ i2 ei2′ ⊗ = βi1′i1 β i2′ i2
n n 12 n 1
⊗ β in′ in ein′
2
βi′ i Ti i ⋅⋅⋅i ei′ ⊗ ei′ ⊗
⊗ ein′
⊗ ein′
= Ti1′i2′ ⋅⋅⋅in′ ei1′ ⊗ ei2′ ⊗
注：1.对于一个给定的张量，其各分量必须满足式（2.19）的转换 关系；否则，不能视为一个张量。 2.虽然张量的分量是随坐标系的变化而变化的，但张量的本身 则不随坐标系的变化而变化。 3.在一个给定的坐标系，若某一张量的所有分量都为零，则由 式（2.19）可知，在任意的坐标系中这一张量的所有分量也 必为零。这种张量称为零张量，用O表示。
a1 a2 = b1 c1 b2 c2 a3 b3 c3
(2.9)
设： a = ai ei
eijk和δij之间的关系及其证明 ：
若i、j、k三个指标中有两个取相同的值，则显然 (2.10) 式（2.10）两边都为零值；或l、m、n中有两个 取相同的值，上式两边也同样为零。下面证明： 当指标i、j、k取三个不同的值，且同时l、m、n 由式（2.10）等号右端行列式的 也取三个不同的值时，式（2.10）是否成立。 分析可知，任意两行或两列较 如： 换一次，行列式的绝对值不 变，仅改变符号，且其符号改 变规则与置换符号的定义是相 (b) 符合的。
12 n
12 n
(2.19)

附录 弹性力学参量的张量记法

附录 弹性力学参量的张量记法

应力分量：
可表示为：
缩写为
其中，如
同理，应变分量可缩写为：
向量
表示为
三阶线性方程组 可表示为 缩写为
二. 爱因斯坦求和约定
在如前述表达式的某项中，某指标重复出现一次，则 表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和，重复指标 称为哑指标（简称哑标）；
非重复指标表示要把该项在该指标的取值范围内遍历 列出，非重复指标出称为自由指标（简称自由标）。 例：
在Descartes坐标系下具有相同性质的一组物理量，可 用一带下标的字母表示。如 位移分量 u、v 、w可表示为 u1 、u2、u3，缩写为 ui（i =1, 2, 3） 坐标 x、y、z可表示为x1、 x2、 x3 ，缩写为 xi（i =1, 2, 3） 单位矢量 可表示为 ，缩写为 （i =1, 2, 3）
附录： 弹性力学参量的张量记法
前面给出的体力分量、面力分量、应力分量、应变分量和位 移分量，其表示方法引用的是记号法； 这是一种公认的弹性力学参量表示方法。 上世纪二十年代起，数学理论中的张量记法（指标表示法） 开始出现在力学文献及教科书中。
张量记法书写简洁，便于力学问题的理论推导。
一. 指标符号
求和指标
j求和
j-求和指标 i-自由指标
i历列
说明：
（1）对于重复次数大于1的指标，求和约定无效。例:
（2）哑标的有效范围仅限于本项。
（3）多重求和可采用不同的哑标表示。例:
（4）哑标可局部地成对替换。 （5）自由指标必须整体换名。 （6）当自由指标恰好在同一项中重复出现一次，为避免混 淆，应声明对该指标不求和。例:
三. 求导数的简记方法
微分算符简记法 例:
历列
历列共27项 求和

徐芝纶版弹性力学第五章精品课件张量分析

徐芝纶版弹性力学第五章精品课件张量分析
xi xi , j ij x j aii jk a jk
三．Ricci 符号
定义：
ei j k
1 1 0
ei j k
即：
e123 e231 e312 1 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 ... 0
a11
比较：
a12 a22 a32
a13 a23 ei j k a1i a2 j a3k erst a1r a2 s a3t a33
A a21 a31
特别地：
e1 e2 e12 k ek e123e3 e3
2
两个任意矢量的叉积
a b ai ei b j e j aib j ei e j aib j ei j k ek ei j k aib j ek c ( A2 5)
共27个分量，亦称为排列符号、置换符号
ei j k e j k i ek i j ei k j ek j i e j i k
e123 e231 e312 1
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13
e213 e132 e321 1
由此得
( A1 8)
ei j k ei j s jj ks js kj 3 ks ks 2 k s ei j k ei j k jj kk jk kj 3 3 jj 6
§A－2 矢量的基本运算
矢量a 分量ai
a a1e1 a2e2 a3e3 ai ei
3.混合积
1
基矢量混合积
(ei e j ) ek ei j r er ek ei j r δr k ei j k

弹性理论相关张量基础

弹性理论相关张量基础
e3
e3 e2
e1 e1
e2
Appendix A.2
a b (a j e j ) (bk e k ) a j bk (e j ek ) (eijk a j bk )ei
如果没有特殊说明，我们一般默认为右手系。
Appendix A.2
符号ij与erst
★ 叉积的几何意义是“面元矢 量”，其大小等于由矢量a 和b构成的平行四边形面积， 方向沿该面元的法线方向。
erst esrt erts etsr
3. 当三个指标轮流换位时(相当于指标连续对换两 次)，erst的值不变
erst estr etrs
Appendix A.2 Appendix A.2
符号ij与erst
当三个基矢量ei, ej, ek构成右手系时，有
符号ij与erst
u u1e1 u2 e2 u3e3
u e
i 1 3 i 1
i i
=ui ei
a b= a j b j ambm
只要指标 j 或 m 在同项内仅出现两次，且取值范围 和 i 相同。
a b= a1b1 a2b2 a3b3 ai bi =ai bi
Appendix A.1
d s
2
d x1 d x2 d x3
2
2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
ห้องสมุดไป่ตู้
ji , j f i 0
i换成k
jk , j f k 0
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
df
Appendix A.1
f d xi xi
Appendix A

弹性力学

弹性力学

弹性力学网络课程第一章绪论内容介绍知识点弹性力学的特点弹性力学的基本假设弹性力学的发展弹性力学的任务弹性力学的研究方法内容介绍：一. 内容介绍本章作为弹性力学课程的引言，主要介绍课程的研究对象、基本分析方法和特点；课程分析的基本假设和课程学习的意义以及历史和发展。

弹性力学的研究对象是完全弹性体，因此分析从微分单元体入手，基本方程为偏微分方程。

偏微分方程边值问题在数学上求解困难，使得弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。

本章介绍弹性力学分析的基本假设。

弹性力学分析中，必须根据已知物理量，例如外力、结构几何形状和约束条件等，通过静力平衡、几何变形和本构关系等，推导和确定基本未知量，位移、应变和应力等与已知物理量的关系。

由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成的，如果不分主次地考虑所有因素，问题是十分复杂的，数学推导将困难重重，以至于不可能求解。

课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程。

目前，有关弹性力学的文献和工程资料都是使用张量符号的。

如果你没有学习过张量概念，请进入附录一学习，或者查阅参考资料。

二. 重点1.课程的研究对象；2.基本分析方法和特点；3.弹性力学的基本假设；4.课程的学习意义；5.弹性力学的发展。

特点：弹性力学，又称弹性理论。

作为固体力学学科的一个分支，弹性力学的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。

构件承载能力分析是固体力学的基本任务，但是对于不同的学科分支，研究对象和方法是不同的。

弹性力学的研究对象是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛。

弹性是变形固体的基本属性，而“完全弹性”是对弹性体变形的抽象。

弹性力学-张量

弹性力学-张量

n
n
n
ai xi ajxj ak xk
i1
j1
k 1
显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母替代。
为简化体现式，引入Einstein求和约定：
每逢某个指标在一项中反复一次，就表达对该指标求和， 指标取遍正数1，2，…，n。这么反复旳指标称为哑标。
于是
or
or
S ai xi ajxj ak xk
1
例如： e123 e231 e312 1 3
k
循环方向 j
1 若(i, j,k) (1,2,3)或(2,3,1)或(3,1,2)时 正排列顺序
eijk －1 若(i, j,k) (2,1,3)或（1，3，2）或（3，2，1）时 逆排列顺序
0 若i, j,k中任意两指标相同时
1
1
3
2
eijk ( i,j,k =1,2,3) 共有27个元素
ai，i
ai xi
a1 x1
a2 x2
a3 x3
ij, j
ij
x j
i1
x1
i2
x2
i3
x3
*若反复出现旳标号不求和，应尤其申明
1.2.3 自由指标
一种体现式中假如出现非反复旳标号或一种方程每项中出现非
反复旳旳指标，称为自由指标。对于自由指标能够从最小数取
到最大数。
例如
xi aijxj
aij x j xi (aij ij )x j
② 微分运算
xi x j
xi, j
ij
aii a jk
jk
aij aklBiblioteka 1 2(ik
jl
il jk )

弹性力学_张量

弹性力学_张量

e1 e2 e1e2
每个分量用一个标量 （具有两个下标）与两 个并在一起基矢量（并 矢）表示，称为二阶张 量。
xye1 e 2
xz e1 e 3
xx e1 e1
3 3 11e1 e1 12 e1 e 2 ...... 33 e3 e3 ij ei e j i 1 j 1
应力（张量）： x , y , z , xy , yx , yz , zy , zx , xz
11 , 22 , 33 , 12 , 21 , 23 , 32 , 31 , 13
ij (i, j 1,2,3)
应力张量
x xy xz yx y yz zx zy z
1.2 张量表示 1.2.1.下标记号法——张量的最简洁的一种表示方法 点的坐标(x,y,z) （矢径） x1 , x2 , x3 xi (i 1,2,3) 点的位移(u,v,w) 点的速度 v x , v y , v z
u1 , u 2 , u3 ui (i 1,2,3) v1 , v2 , v3 vi (i 1,2,3)
i 1 j1 k 1
3
3
3
三重求和（27项）
n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。 例题：
ai xi a1 x1 a2 x2 a3 x3
ii 11 22 33
ij ij i1 i1 i 2 i 2 i 3 i 3
ij (i, j 1,2,3)
x yx zx
应变张量
xy xz y yz 可表示为 zy z

弹性力学ppt课件

弹性力学ppt课件
一维问题分析与实例讲解
一维拉伸或压缩问题建模与求解
建立一维拉伸或压缩问题的数学模型
通过受力分析，确定物体在拉伸或压缩过程中的内力分布和变形情况。
求解一维拉伸或压缩问题的基本方法
运用弹性力学的基本原理和公式，如胡克定律、应力-应变关系等，对一维拉伸或压缩问 题进行求解。
一维拉伸或压缩问题的有限元分析
02
弹性力学分析方法与技巧
解析法求解思路及步骤
01
02
03
04
05
建立弹性力学基 本方程
选择适当的坐标 系和坐标…
求解基本方程
确定边界条件和 验证解析解的正
初始条件
确性
根据问题的具体条件和假 设，建立平衡方程、几何 方程和物理方程。
针对问题的特点，选择合 适的坐标系，如直角坐标 系、极坐标系或柱坐标系 ，并进行必要的坐标系转 换。
地基基础
地基基础是土木工程中的重要组成部分，弹性力学可用于分析地基的承载力和 变形特性。通过弹性力学方法，可以对地基进行稳定性评估和加固设计。
机械工程：零部件设计、优化等方面应用
零部件设计
在机械工程中，弹性力学可用于零部件的设计和强度校核。 例如，通过弹性力学分析，可以确定机械零件在受力时的应 力分布和变形情况，进而优化零件的形状和尺寸。
要较高的数学水平。
02
数值法优点
适用于复杂形状和边界条件的问题求解，具有较高的计算精度和效率；
缺点：需要专业的有限元软件支持，对计算机性能要求较高。
03
实验法优点
能够直接观测和验证物理现象和规律，为理论分析和数值模拟提供重要
依据；缺点：受实验条件和成本限制，难以实现大规模和复杂条件下的
实验研究。

弹性力学应力张量的定义

弹性力学应力张量的定义

弹性力学应力张量的定义
一个任意形状的三维物体，受到任意外力F作用，如下图所示。

●9这个应力分量可以简记为：
⎤
⎡⎥⎥⎤⎢⎡131211σσσττσxz xy x ⎥⎥⎥⎦
⎢⎢
⎢⎣=⎥⎦⎢⎢⎣=3332
31232221σσσσσσστττστσz zy zx yz y yx ij 这9个应力分量的整体构成了一个二阶对称张量，称
为应力张量。

其中，是弹性力学中应用非常广泛的一种张3311,,σσ 量记法，采用该记法能够极大地方便复杂弹性力学公式的书写和记忆。

●后面将证明，这9个应力分量（只有6个独立）可以表示出弹性体内任一点M 的所有截面上的应力。

也就是σ说，在弹性力学里，将采用上面的作为应力的度量。

ij
●类似地，可以定义出弹性力学里的应变张量和位移矢量。

{}
T
xy xz yz z y x ij τττσσσσ=6个独立的应力分量{}
T
xy xz yz z
y x ij εεεεεεε=6个独立的应变分量{}
T
w v u u i =3个独立的位移分量
●弹性力学的主要任务就是建立这15个变量所应满足的关系式（方程式），并用这些控制方程去求解实际一些弹性体的受力和变形。

为了加深对某一点M过任一微分面的应力矢量的理解。

特别地，让我们来看如下特例中定义的，过同一点的、不同方向截面的应力矢量：。

高等弹性力学+张量

高等弹性力学+张量
21
e1
e2
e3
习题： 1、用求和约定改写下式：； ( a ) d dx1 dx2 dx3 x1 x 2 x3
(b)
( x1 ) 2 ( x2 ) 2 ( x3 ) 2
2、将求和约定表达式写成展开形式：
(a)
aij b jk
(b)
cijj
3、证明：
显然，克罗内克尔记号表示单位矩阵的各个元素。
2
克罗内克尔记号满足张量变换关系，也是二阶张量，它有以下运 算规律。
21
§4
特殊的张量符号
如果 dij 符号的两个指标中有一个指标和同项中其它因子 的指标相重，则可以把该因子的那个重指标替换成dij的另 一个指标，而 dij 自动消失。dij 也称为换标符号。
1
§1
张量的定义
方向余弦ni'j 的第一下标对应于新坐标轴，而第二下标 对应于原坐标轴。则矢量在新老坐标系中的关系为
或者
上式可以缩写为：
或者
1
§1
张量的定义
考察矢量 A(a1, a2, a3)和OP(z 1, z 2, z3) ，作它们 的标量积，则：
显然，此标量积与坐标轴的选取无关，如果上述矢量作坐标 变换，则：
标量：只有大小、没有方向性的物理 量，与坐标系选择无关。 用字母表示，如温度T、时间t、密度 等。标量无下标。 矢量：有大小，又有方向性的物理量。 如矢径 （或黑体）、位 移 、力 等。 矢量也可以用它的标量表示：
x3
r
e3
x1 x2
e1
e2
3 r r1e1 r2e2 r3e3 ri ei i 1
反之，如z ‘ 为已知矢量，而ai为与坐标有关的三个标量，使 一次形式 在坐标变换时保持不变。根据矢量定义， 则ai 也是矢量。

弹性理论第二讲—张量理论_211207049

弹性理论第二讲—张量理论_211207049
物体内一点处的局部受力情况是一个具有双重 方向性的物 量 其中第 个是面元的方向 方向性的物理量，其中第一个是面元的方向， 用其法矢量表示，第二个是作用在该面元上的 应力矢量的方向。 应力矢量的方向
如何表示？？？
我们在物体内兴趣点周围截出一微单元，该点的 应力状态由各微分面上的应力情况表示。 应力状态由各微分面上的应力情况表示
哑指标：该重复指标称为哑指标。 自由指标：除哑标外，在表达式或者方程的某项中 非成对出现的其它指标。
a11 x1 a12 x2 a13 x3 x1
10
附录：指标符号
求和约定
a11 x1 a12 x2 a13 x3 x1
利用哑标简化方 a21 x1 a22 x2 a23 x3 程中的表达式 x2
u e
i 1
3
i i
u1e1 u2 e2 u3e3
9
附录：指标符号
求和约定 求 约定

定义：如果在表达式的某项中，某指标重复 重复地出现 两次，则表示要把该项 两次 该项在该指标 该指标的取值范围 取值范围内遍历 遍历 求和。 求和
u e
i 1

3
i i
u1e1 u2 e2 u3e3 ui ei
19
eijk ai b j e k
A－ 2

二者在矢量运算中的应用
[ a , b, c ] a b c a b c
三个矢量的混合积： a am e m , b b j e j , c ck e k ,
a b c (am e m ) (b j e j ck e k )
弹性力学基础及有限元
第二讲 张量理论

弹性力学应变张量

弹性力学应变张量

弹性力学应变张量弹性力学应变张量是应变力学中重要的概念。

它代表了物体表面在宏观尺度上的应变性质，即物体在特定力和外力作用下的形变特性。

它是坐标系中的二阶区域局部张量，用来描述物体的应变状态。

应变张量有三种形式：细胞型、本金型和应变张量。

细胞型应变张量是一种局部张量，用于描述各个空间点的应变变化，内含有两个元素：应变和比例系数。

应变量描述物体在特定外力作用下形变后的相对状态，而比例系数是物体形变量之间关系的量度。

本金型应变张量也是一种局部张量，用于表示有限体积单元之间的应变变化，其主要目的是用来判断有限体积单元的应变状态。

它的核心概念是细胞的对称性，把物体的应变分割成对称单元，从而更好地描述物体的应变特性。

应变张量是一种局部张量，它把物体在空间上应变形变的信息集体起来，用来反映物体的性质。

它不仅提供了物体性质的宏观描述，而且也提供了物体性质的细微变化。

弹性力学应变张量在结构力学、生物力学、工程材料学等领域应用广泛，在结构力学中，它可以提供精确的应变状态，从而使结构的应变分析更加准确；在生物力学中，它提供了物体在外力作用下形变的状态，从而可以更好地提供有效的人体力学研究；在工程材料学中，它可以提供物体在特定力和外力作用下，物体的应变性质，从而更好地提供工程材料的性能分析。

弹性力学应变张量在工程应用中有着很大的用途，而且它被应用到许多领域。

它可以用来描述不同结构的应变状态，也可以用来研究不同材料的性能分析。

它可以用于结构力学、生物力学、热力学等领域，可以提供有效的计算和分析。

因此，弹性力学应变张量是一种重要的概念，在结构力学、生物力学、工程材料学等领域都有重要的用途。

在实际应用中，可以用它来提供物体在特定力和外力作用下的应变性质，从而更好地提供有效的结构力学、生物力学或工程材料性能分析。

弹性力学张量分析学习—对于初学者很有用

弹性力学张量分析学习—对于初学者很有用

ei ej＝ ij
34
符号ij 与erst
当三个基矢量ei , ej , ek 构成右手系时，有
ei e j eijk ek
而对于左手系，有：
ei e j eijk ek
e3
e1 e1
e3 e2
e2
35
符号ij 与erst
2. 矢量的点积：
a b (a j e j ) (bk ek ) a j bk (e j ek ) a j bk jk a j b j ak bk
Advanced Mechanics of Composite Materials
补充材料 : 张量分析初步
1
目 录
引言
张量的基本概念，爱因斯坦求和约定
符号ij与erst
坐标与坐标转换
张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分
描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量；
低阶张量的梯度； 低阶张量的并积； 更高阶张量的缩并，等。
张量基本概念
应力张量
张量基本概念
张量的三种记法：
实体记法：
分解式记法：

11e1e1 12e1e2 13e1e3 + 21e2e1 22e2e2 23e2e3 + 31e3e1 32e3e2 33e3e3
31
符号ij 与erst
erst 符号 (排列符号或置换符号，Eddington)
定义(笛卡尔坐标系)
1 erst 1 0
当r, s, t为正序排列时 当r, s, t为逆序排列时 当r, s, t中两个指标值相同时
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应变张量
x xy xz
yx
y
yz
可表示为
zx zy z
ij（i=1,2,3; j=1,2,3）
微分符号：
f f ,
x1 x2
f , x3
f xi
f ,i
(i f )
(i 1,2,3)
2 f 2 f 2 f 2 fBiblioteka x12,x22
,
x32
, x1 x2
f ,ij
(i, j 1,2,3)
aibi xi
i1
*3、同项中出现两对（或多对）不同哑标表示多重求和
双重求和 S aij xi xj
33
S
aij xi xj 展开式（9项）
i1 j1
S a11x1x1 a12 x1x2 a13x1x3
a21x2 x1 a22 x2 x2 a23x2 x3
a31x1x1 a32 x1x2 a33x1x3
每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和， 指标取遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。
于是
or
or
S ai xi ajxj ak xk
* 1、哑标的符号可以任意改变（仅表示求和）
*2、哑标只能成对出现,否则要加上求和号或特别指出
n
a b x 是违约的，求和时要保留求和号 ii i
应力张量
tyxx
t xy y
t t
xz yz
t zx t zy z
可表示为 ij （i=1,2,3; j=1,2,3）
应变张量： x , y , z , xy , yx , yz , zy , zx , xz
11, 22,33,12, 21, 23,32,31,13 ij (i, j 1,2,3)
约定： i, j,k, 英文字母下标表示三维指标，取值1，2，3. 在该约定
下，上述简写表达式后的说明 (i 1,2,3) 或 (i, j 1,2,3)在以后的 写法中将被略去。
n阶张量可表示为
a (i i1i2i3...in 1 1,2,3;i2 1,2,3; ;in 1,2,3)
哑标：在表达式的某项中，若某指标重复出现两 次，则表示要把该项指标在取值范围内遍历求和。 该重复指标称为“哑标”或“伪标”。
S a1x1 a2 x2 an xn
n
n
n
ai xi ajxj ak xk
i1
j1
k 1
显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。 为简化表达式，引入Einstein求和约定：
张量基本知识
第一章 张量代数
1.1 指标记法 1.1.1 求和约定、哑指标
1.1 基本概念
1. 标量：只有大小、没有方向性的物理量，与坐标系选
择无关。用字母表示，如温度T、时间t、密度 等。标量
无下标。
2体. ）矢、量位：移有u大、小力，F又等有。方矢向量性可的用物一理个量方。向如来矢确径定r（。或黑
于是引入二阶基：
e1 e2 e1e2
每个分量用一个标量
t xye1 e 2
xx e1 e1
（具有两个下标）与两 个并在一起基矢量（并
t xz e1 e3
矢）表示，称为二阶张
量。
11e1
e1
12
e1e2
......
33
e3
e3
3
3
ij
ei
ej
i1 j 1
从数学上说，可引入e1 e2 L en n 阶基， n阶基中有3n
点的坐标(x,y,z) （矢径） x1, x2 , x3 xi (i 1,2,3) 点的位移(u,v,w) u1,u2 ,u3 ui (i 1,2,3)
点的速度 vx , v y , vz v1, v2 , v3 vi (i 1,2,3)
应力（张量）： x , y , z ,t xy ,t yx ,t yz ,t zy ,t zx ,t xz 11, 22 , 33 , 12 , 21, 23 , 32 , 31, 13 ij (i, j 1,2,3)
ai1i2i3 ...in
1.2.2求和约定 （ Einstein求和约定）
rr
r r1e1
r r2e2
r r3e3
3
r ri ei
r ri ei
i 1
矢量点积的实例
设 a, b 为两矢量，其分量分别记为 ai , bi ，则：
3
a b a1b1 a2b2 a3b3 aibi aibi i 1
个基矢。
与 n 阶基相关连的量称为 n 阶张量。
n 0时为标量；n 1时为矢量；n 2 时为二阶张量（简
称张量）。
故矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量。标量由1个分量 组成，矢量由3个分量组成，二阶张量由9个分量组成；
三阶张量由27个分量组成，n阶张量由3n个分量组成。
1.2 张量表示
1.2.1.下标记号法——张量的最简洁的一种表示方法
在 n 方向（ n 为作用面的法矢），应力矢
pn n
为 pn ；
而在 n方向，应力矢为 pn .
这说明应力矢本身有方向，而且还与其
n
作用面方向有关，必须用两个方向才能
p n
描述应力矢。
常用的应力单元体也是如此：
每一个应力分量也必须用两个方向才能描述，第一个 方向为应力作用面的方向，第一个方向为应力作用的 方向。
3
r r1e1 r2 e2 r3e3 ri ei
i 1
（3）分量记法： 将矢量用其全部分量的集合 来表示
r（ r1、r2、r3 )
（4）矩阵记法：
r {r },{ri }
3,张量：有大小，并具有多重方向性的量（可描
述更复杂的物理量）。 如应力 、应变。
有些量不能只利用一个方向来确定。如应力： 它与两个方向有关
x3
3
r r1e1 r2 e2 r3e3 ri ei
r
其中
e1
、e2
、e3
i 1
为坐标的基矢量（单位
向量、基矢），r1、r2、r3为r在坐标轴的
投影（分量），都有一个下标。
x1
e3
e1
e2
x2
记法：
（1）实体记法：
r
（或黑体字母）
r
（2）分解式记法：同时写出矢量的分量和相应 分解分量的基。
333
S
aijk xi xjxk aijk xi xjxk
i1 j1 k1
三重求和（27项）
n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。
例题： ai xi a1x1 a2 x2 a3x3
ii 11 22 33
ijij i1i1 i2i2 i3i3 1111 12 12 13 13 2121 22 22 23 23 3131 3232 3333